Deltoid eğrisi

Geometride, triküspoid eğri veya Steiner eğrisi olarak da bilinen deltoid eğri, üç oluşan bir . Başka bir deyişle, bir çemberin çevresi üzerindeki bir noktanın, yarıçapının üç veya bir buçuk katı olan bir çemberin içinde kaymadan oluşturduğu yuvarlanma eğrisidir. Adını, benzediği büyük Yunanca delta (Δ) harfinden alır.

                     Sabit dış çember                      Yuvarlanan çember (dış çemberin yarıçapının 1/3'ü)                      Yuvarlanan çember üzerinde çevresel bir noktanın izlenmesi ile oluşan deltoid eğri

Daha geniş anlamda, bir "deltoid", dışa doğru içbükey olan eğrilerle bağlanmış üç köşesi olan ve iç noktaları dışbükey küme olmayan herhangi bir kapalı şekle atıfta bulunabilir.

Denklemler

Bir hiposikloid (döndürme ve ötelemeye kadar) aşağıdaki parametrik denklemler ile temsil edilebilir:

${\displaystyle x=(b-a)\cos(t)+a\cos \left({\frac {b-a}{a}}t\right)\,}$

${\displaystyle y=(b-a)\sin(t)-a\sin \left({\frac {b-a}{a}}t\right)\,,}$

burada a yuvarlanan çemberin yarıçapı, b söz konusu çemberin içinde yuvarlandığı çemberin yarıçapı ve t sıfır ile 6π arasında değişir. (Yukarıdaki çizimde b = 3a deltoidi izliyor).

Karmaşık koordinatlarda bu şu hale gelir;

${\displaystyle z=2ae^{it}+ae^{-2it}}$.

Kartezyen denklemi vermek için t değişkeni bu denklemlerden çıkarılabilir;

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}+18a^{2}(x^{2}+y^{2})-27a^{4}=8a(x^{3}-3xy^{2}),\,}$

dolayısıyla deltoid dördüncü dereceden bir . Kutupsal koordinatlarda bu şöyle olur:

${\displaystyle r^{4}+18a^{2}r^{2}-27a^{4}=8ar^{3}\cos 3\theta \,.}$

Eğrinin ${\displaystyle t=0,\,\pm {\tfrac {2\pi }{3}}}$'e karşılık gelen üç tekilliği vardır. Yukarıdaki parametrelendirme eğrinin rasyonel olduğunu ve sıfır olduğunu ima eder.

Bir doğru parçası her bir ucu deltoid üzerinde olacak şekilde kayabilir ve deltoide teğet kalabilir. Teğetlik noktası deltoidin etrafını iki kez dolaşırken her bir uç deltoidin etrafını bir kez dolaşır.

Deltoidin şöyledir:

${\displaystyle x^{3}-x^{2}-(3x+1)y^{2}=0,\,}$

ve orijinde bir çift noktası vardır, bu nokta y ↦ iy hayali dönüşü ile çizim için görünür hale getirilebilir, bu da

${\displaystyle x^{3}-x^{2}+(3x+1)y^{2}=0\,}$

eğrisini gerçek düzlemin orijininde bir çift nokta ile verir.

Alan ve çevre

Deltoidin alanı ${\displaystyle 2\pi a^{2}}$'dir, burada yine a yuvarlanan dairenin yarıçapıdır; dolayısıyla deltoidin alanı yuvarlanan dairenin iki katıdır.

Deltoidin çevresi (toplam yay uzunluğu) 16a'dır.

Tarihçe

Sıradan sikloidler Galileo Galilei ve Marin Mersenne tarafından 1599 gibi erken bir tarihte incelenmiştir ancak sikloidal eğriler ilk olarak 1674 yılında Ole Rømer tarafından dişli dişleri için en iyi biçim üzerinde çalışırken düşünülmüştür. Leonhard Euler gerçek deltoidin ilk kez 1745 yılında optik bir problemle bağlantılı olarak ele alındığını iddia etmektedir.

Uygulamalar

Deltoidler matematiğin çeşitli alanlarında ortaya çıkar. Örneğin:

• Üçüncü dereceden karmaşık özdeğerlerinin kümesi bir deltoid oluşturur.
• Üçüncü mertebeden kümesinin bir kesiti bir deltoid oluşturur.
• Gruba ait birimcil matrislerin olası izlerinin kümesi. SU(3) bir deltoid oluşturur.
• İki deltoidin kesişimi, altı mertebeden bir ailesini parametrize eder.
• Verilen üçgenin tüm kümesi, bir deltoid şeklinde bir oluşturur. Bu, 1856'da eğrinin şeklini ve simetrisini tanımlayan Jakob Steiner'den sonra Steiner deltoidi veya Steiner'in hiposikloidi olarak bilinir.
• Bir üçgenin , köşeleri kenarortayların orta noktalarında olan bir deltoiddir (yukarıda tanımlanan daha geniş anlamda). Deltoidin kenarları, üçgenin kenarlarına asimptotik olan hiperbol yaylarıdır.
• Bir deltoid, bir çözüm olarak önerilmiştir.

Ayrıca bakınız

• , dört tepe noktası olan bir eğri
• , dairesel yaylardan oluşan üç köşeli bir eğri
• , hiperbolik çizgilerden oluşan üç köşeli bir eğri
• (İngilizce: Pseudotriangle), üç teğet dışbükey küme arasında üç köşeli bir bölge
• Tusi çifti, iki köşeli bir rulet
• Uçurtma, deltoid olarak da adlandırılır

Notlar

1. ^ "Area bisectors of a triangle". www.se16.info. 10 Mayıs 2019 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 26 Ekim 2017. 
2. ^ ^{a b} Weisstein, Eric W. "Deltoid." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Deltoid.html 25 Ekim 2017 tarihinde Wayback Machine sitesinde .
3. ^ Lockwood
4. ^ Dunn, J. A., and Pretty, J. A., "Halving a triangle," 56, May 1972, 105-108.
5. ^ "Medians and Area Bisectors of a Triangle". 10 Mayıs 2019 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 22 Aralık 2023. 

Kaynakça

• E. H. Lockwood (1961). "Chapter 8: The Deltoid". A Book of Curves. Cambridge University Press. 
• J. Dennis Lawrence (1972). A catalog of special plane curves. Dover Publications. ss. 131-134. ISBN . 
• Wells D (1991). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. New York: Penguin Books. ss. 52. ISBN . 
• "Tricuspoid" at MacTutor's Famous Curves Index
• "Deltoid" at MathCurve
• Sokolov, D.D. (2001), "Steiner curve", Hazewinkel, Michiel (Ed.), Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN