Yuvarlanma eğrisi

, bir rulet veya yuvarlanma eğrisi (İngilizce: roulette), sikloidler, episikloidler, , , epitrokoidler, hipotrokoidler ve (involütleri) genelleştiren bir eğri türüdür.

Tanım

Gayriresmî tanım

Yeşil bir parabol, sabit kalan eşit mavi bir parabol boyunca yuvarlanır. Üreteç, yuvarlanan parabolün tepe noktasıdır ve kırmızı ile gösterilen yuvarlanma eğrisini tanımlar. Bu durumda ortaya çıkan yuvarlanma eğrisi bir .

Kabaca ifade etmek gerekirse, yuvarlanma eğrisi, belirli bir eğriye bağlı bir nokta ("üreteç" veya "kutup" olarak adlandırılır) tarafından, bu eğri sabit olan ikinci bir eğri boyunca kaymadan yuvarlanırken tanımlanan eğridir. Daha açık bir ifadeyle, hareketli bir düzleme bağlı bir eğri verildiğinde, eğri aynı alanı işgal eden sabit bir düzleme bağlı belirli bir eğri boyunca kaymadan yuvarlanır, o zaman hareketli düzleme bağlı bir nokta, sabit düzlemde yuvarlanma eğrisi veya rulet adı verilen bir eğriyi tanımlar.

Özel durumlar ve ilgili kavramlar

Yuvarlanan eğrinin bir doğru ve üretecin doğru üzerinde bir nokta olduğu durumda, yuvarlanma eğrisi sabit eğrinin bir olarak adlandırılır. Eğer yuvarlanan eğri bir çember ve sabit eğri bir doğru ise, o zaman yuvarlanma eğrisi bir . Eğer bu durumda, nokta çember üzerinde yer alıyorsa, yuvarlanma eğrisi bir sikloiddir.

İlgili bir kavram , verilen bir eğriye bağlı bir noktanın verilen iki (veya daha fazla) eğri boyunca kayarken tanımladığı eğridir.

Resmi tanım

Biçimsel olarak, eğriler Öklid düzleminde eğriler olmalıdır. "Sabit eğri" değişmez tutulur; "yuvarlanan eğri" bir sürekli kongrüans dönüşümüne tabi tutulur, öyle ki her zaman eğriler, her iki eğri boyunca alındığında aynı hızla hareket eden bir temas noktasında teğet olurlar (bu kısıtlamayı ifade etmenin başka bir yolu da iki eğrinin temas noktasının kongrüans dönüşümünün olmasıdır). Ortaya çıkan yuvarlanma eğrisi, aynı uyum dönüşümleri kümesine tabi tutulan üretecin locusu tarafından oluşturulur.

Orijinal eğrileri karmaşık düzlemde eğriler olarak modelleyerek, ${\displaystyle r,f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$, yuvarlanan (${\displaystyle r}$) ve sabit (${\displaystyle f}$) eğrilerinin iki olsun, öyle ki ${\displaystyle r(0)=f(0)}$, ${\displaystyle r'(0)=f'(0)}$ ve ${\displaystyle |r'(t)|=|f'(t)|\neq 0}$ tüm ${\displaystyle t}$ için. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle f}$ üzerinde yuvarlandıkça ${\displaystyle p\in \mathbb {C} }$ üretecinin yuvarlanma eğrisi daha sonra aşağıdaki eşleme tarafından verilir:

${\displaystyle t\mapsto f(t)+(p-r(t)){f'(t) \over r'(t)}.}$

Genellemeler

Yuvarlanan eğriye tek bir nokta yerine, verilen başka bir eğri hareketli düzlem boyunca taşınırsa, bir uyumlu eğriler ailesi üretilir. Bu ailenin zarfı yuvarlanma eğrisi veya rulet olarak da adlandırılabilir.

Daha yüksek uzaylarda yuvarlanma eğrileri kesinlikle hayal edilebilir ancak teğetlerden daha fazlasını hizalamak gerekir.

Örnek

Eğer sabit eğri bir (İngilizce: catenary) ve yuvarlanan eğri (İngilizce: roulette) bir doğru ise, şu sonuca varırız:

${\displaystyle f(t)=t+i(\cosh(t)-1)\qquad r(t)=\sinh(t)}$

${\displaystyle f'(t)=1+i\sinh(t)\qquad r'(t)=\cosh(t).}$

Doğrunun parametrelendirilmesi şu şekilde seçilir:

${\displaystyle |f'(t)|={\sqrt {1^{2}+\sinh ^{2}(t)}}={\sqrt {\cosh ^{2}(t)}}=|r'(t)|.}$

Yukarıdaki formülü uygulayarak şunu elde ederiz:

${\displaystyle f(t)+(p-r(t)){f'(t) \over r'(t)}=t-i+{p-\sinh(t)+i(1+p\sinh(t)) \over \cosh(t)}=t-i+(p+i){1+i\sinh(t) \over \cosh(t)}.}$

Eğer p = -i ise ifadenin sabit bir hayali kısmı vardır (yani -i) ve rulet yatay bir çizgidir. Bunun ilginç bir uygulaması, bir zincir eğrisi yaylarının eşleştirilmiş bir serisi olan bir yolda zıplamadan yuvarlanabilmesidir.

Yuvarlanma eğrileri listesi

Sabit eğri	Hareketli eğri	Üreteç noktası	Rulet (Yuvarlanma eğrisi)
Herhangi bir eğri	Doğru	Doğru üzerinde bir nokta	Eğrinin
Doğru	Herhangi	Herhangi
Doğru	Çember	Herhangi
Doğru	Çember	Çember üzerinde bir nokta	Sikloid
Doğru	Konik kesit	Koniğin merkezi	Sturm yuvarlanan eğrisi
Doğru	Konik kesit	Koniğin	Delaunay yuvarlanan eğrisi
Doğru	Parabol	Parabolün
Doğru	Elips	Elipsin	Eliptik zincir eğrisi
Doğru	Hiperbol	Hiperbolün	Hiperbolik zincir eğrisi
Doğru	Hiperbol	Hiperbolün merkezi	Dikdörtgen elastika^[]
Doğru		Merkez	Elips
Çember	Çember	Herhangi
Bir çemberin dışında	Çember	Herhangi	Epitrokoid
Bir çemberin dışında	Çember	Çemberin üzerinde bir nokta	Episikloid
Bir çemberin dışında	Aynı yarıçaplı çember	Herhangi
Bir çemberin dışında	Aynı yarıçaplı çember	Çemberin üzerinde bir nokta	Kardioid
Bir çemberin dışında	Yarıçapın yarısı kadar çember	Çemberin üzerinde bir nokta
Bir çemberin içinde	Çember	Herhangi	Hipotrokoid
Bir çemberin içinde	Çember	Çemberin üzerinde bir nokta
Bir çemberin içinde	Yarıçapın üçte biri kadar çember	Çemberin üzerinde bir nokta	Deltoid
Bir çemberin içinde	Yarıçapın dörtte biri kadar çember	Çemberin üzerinde bir nokta
Parabol	Ters yönde parametrelendirilmiş eşit parabol	Parabolün
	Doğru	Bkz. yukarıdaki örnekler	Doğru

Ayrıca bakınız

• Dişli
• Locus
• Süperpozisyon ilkesi
• Spirograf
• Tusi çifti

Notlar

1. ^ ^{a b} ""Cissoid" on www.2dcurves.com". 30 Kasım 2022 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 22 Aralık 2023. 
2. ^ ^{a b} ""Sturm's roulette" on www.mathcurve.com". 16 Eylül 2019 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 22 Aralık 2023. 
3. ^ ""Delaunay's roulette" on www.mathcurve.com". 13 Eylül 2019 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 22 Aralık 2023. 
4. ^ ^{a b c} ""Delaunay's roulette" on www.2dcurves.com". 12 Şubat 2019 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 22 Aralık 2023. 
5. ^ ""Roulette with straight fixed curve" on www.mathcurve.com". 13 Eylül 2019 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 22 Aralık 2023. 
6. ^ ""Centered trochoid" on mathcurve.com". 21 Eylül 2019 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 22 Aralık 2023. 

Kaynakça

• (1890) Notes on Roulettes and Glissettes from Cornell University Historical Math Monographs, originally published by Deighton, Bell & Co.
• Eric W. Weisstein, Roulette (MathWorld)

Konuyla ilgili okumalar

• Roulette at 2dcurves.com
• Base, roulante et roulettes d'un mouvement plan sur plan (Fransızca)
• Eine einheitliche Darstellung von ebenen, verallgemeinerten Rollbewegungen und deren Anwendungen (Almanca)