Düzgün dışbükey uzay

Matematikte düzgün dışbükey uzay Banach uzaylarının en yaygın örneklerindendir. Kavram, tarafından 1936 yılında tanımlanmıştır.

Tanım

Bir düzgün dışbükey uzay, her ${\displaystyle 0<\varepsilon \leq 2}$ için

${\displaystyle \|x\|=1,\|y\|=1,\|x-y\|\geq \varepsilon \implies \left\|{\frac {x+y}{2}}\right\|\leq 1-\delta }$

ifadesinin doğru olmasını sağlayan bir ${\displaystyle \delta >0}$ sayısının varolduğu normlu bir uzaydır. Sezgisel bir bakışla, bu tür uzaylarda, birim yuvardaki her doğru parçasının orta noktası, doğru parçası kısa olmadığı sürece birim yuvarın oldukça içerisinde yer almaktadır.

Özellikleri

• Tanımdaki birim küre şartı kapalı birim yuvar ile değiştirilebilir. O zaman, düzgün dışbükey uzay tanımı, her ${\displaystyle 0<\varepsilon \leq 2}$ için

${\displaystyle \|x\|\leq 1,\|y\|\leq 1,\|x-y\|\geq \varepsilon \implies \left\|{\frac {x+y}{2}}\right\|\leq 1-\delta }$

ifadesinin doğru olmasını sağlayan bir ${\displaystyle \delta >0}$ sayısının varolduğu normlu bir uzay olarak yapılır.

• her düzgün dışbükey Banach uzayının olduğunu ifade eder; ancak, bunun tersi yönde ifade doğru değildir.
• Her düzgün dışbükey Banach uzayı bir . Diğer deyişle, düzgün dışbükey bir Banach uzayındaki bir ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ dizisi bir ${\displaystyle f}$ elemanına zayıf yakınsıyorsa ve ${\displaystyle \|f_{n}\|\to \|f\|}$ norm yakınsaklığı da sağlanıyorsa, o zaman ${\displaystyle f_{n}}$ dizisi ${\displaystyle f}$'ye güçlü yakınsar; yani, ${\displaystyle \|f_{n}-f\|\to 0}$ olur.
• Bir Banach uzayının düzgün duşbükey olması ancak ve ancak bu uzayın olan ${\displaystyle X^{*}}$'ın olmasıyla mümkündür.
• Her düzgün dışbükey uzay aynı zamanda kesin dışbükeydir. Sezgisel olarak, kesin dışbükeylik üçgen eşitsizliğinin doğrusal bağımsız olan elemanlar için güçlü bir şekilde sağlanması anlamına gelmektedir; diğer deyişle, ${\displaystyle x,y}$ doğrusal bağımsız olan elemanlarsa, ${\displaystyle \|x+y\|<\|x\|+\|y\|}$ sağlanmaktadır. Düzgün dışbükeylikte ise bu özellik doğrusal bağımsızlık koşuluna yer bırakmadan düzgün bir şekilde istenmektedir.

Örnekler

• Her düzgün dışbükeydir.
• Düzgün dışbükey Banach uzaylarının kapalı altuzayları yine düzgün dışbükeydir.
• Clarkson eşitsizlikleri sayesinde, ${\displaystyle 1<p<\infty }$ olmak üzere, L^p uzayları düzgün dışbükeydir. Ancak, ${\displaystyle L^{\infty }}$ düzgün dışbükey uzay değildir.

Ayrıca bakınız

Kaynakça

1. ^ Clarkson, J. A. (1936). "Uniformly convex spaces". Trans. Amer. Math. Soc. 40 (3). American Mathematical Society. ss. 396-414. doi:10.2307/1989630. JSTOR 1989630. .
2. ^ Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. 2nci. Boca Raton, FL: CRC Press. s. 524, Example 16.2.3. ISBN . 

Genel kaynaklar

• (1956). "On the uniform convexity of ${\displaystyle L^{p}}$ and ${\displaystyle l^{p}}$". Ark. Mat. Cilt 3. ss. 239-244. doi:10.1007/BF02589410. .
• Beauzamy, Bernard (1985) [1982]. Introduction to Banach Spaces and their Geometry. İyileştirilmiş ikinci. North-Holland. ISBN . 
• (1972). "Banach spaces which can be given an equivalent uniformly convex norm". . 13 (3–4). ss. 281-288. doi:10.1007/BF02762802. 
• and Benyamini, Yoav. Geometric nonlinear functional analysis. Colloquium publications, 48. American Mathematical Society.