Eski Mısır matematiği, Eski Mısır'da yaklaşık MÖ 3000 ila 300 yılları arasında, Eski Mısır Krallığı'ndan kabaca Helenistik Mısır'ın başlangıcına kadar geliştirilen ve kullanılan matematiktir. Eski Mısırlılar, saymak ve genellikle çarpma ve kesirleri içeren yazılı matematik problemlerini çözmek için bir sayı sistemi kullandılar. Mısır matematiğinin kanıtı, papirüs üzerine yazılmış, hayatta kalan az sayıda kaynakla sınırlıdır. Bu metinlerden, eski Mısırlıların, mimari mühendislik için yararlı olan üç boyutlu şekillerin yüzey alanını ve hacmini belirlemek gibi geometri kavramlarını ve sabit kesen yöntemi (Latince: regula falsi, İngilizce: false position method) ve ikinci dereceden denklemler gibi cebir kavramlarını anladıkları bilinmektedir.
Genel Bakış
Abydos'taki Tomb U-j'de bulunan fildişi etiketlerle matematiğin kullanımının yazılı kanıtı en az MÖ 3200'e kadar uzanmaktadır. Görünüşe göre bu etiketler mezar eşyaları için etiket olarak kullanılmış ve bazılarına rakamlar yazılmıştır. 400.000 öküz, 1.422.000 keçi ve 120.000 mahkûmun sunulmasını gösteren Narmer Macehead'de 10'lu taban sayı sisteminin kullanımına dair daha fazla kanıt bulunabilir.
Eski Krallık'ta (MÖ 2690-2180) matematiğin kullanımına ilişkin kanıtlar azdır, ancak Meidum'da bir mastaba yakınındaki duvardaki, mastabanın eğimi için yönergeler veren yazıtlardan bazı sonuçlar çıkarılabilir. Diyagramdaki çizgiler bir arşın aralıklarla dizilidir ve bu ölçü biriminin kullanımını göstermektedir.
En eski gerçek matematiksel belgeler, 12. Hanedanlığa (yaklaşık MÖ 1990–1800) aittir. Kahun Papirüsü'nün ve Berlin Papirüsü 6619 koleksiyonunun çok daha geniş bir parçası olan Moskova Papirüsü, , bu döneme tarihlenmektedir. İkinci Ara Dönem'e (MÖ 1650) tarihlenen Rhind Papirüsünün, 12. hanedandan daha eski bir matematiksel metne dayandığı söylenir.
Moskova Matematik Papirüsü ve Rhind Papirüsü, matematiksel problem metinleri olarak adlandırılır. Çözümleri olan bir dizi problemden oluşurlar. Bu metinler bir öğretmen veya tipik matematik problemlerini çözmekle uğraşan bir öğrenci tarafından yazılmış olabilir.
Eski Mısır matematiğinin ilginç bir özelliği, birim kesirlerin kullanılmasıdır. Mısırlılar, kesirler için ve
gibi bazı özel gösterimler kullandılar ve bazı metinlerde
için, ancak diğer kesirler tümü
biçiminin birim kesirleri veya bu tür birim kesirlerin toplamları olarak yazılır. Yazıcılar, bu kesirlerle çalışmalarına yardımcı olmak için tablolar kullandılar. Örneğin Mısır Matematiksel Deri Rulosu, diğer birim kesirlerin toplamı olarak ifade edilen birim kesirler tablosudur. Rhind Papirüsü ve diğer bazı metinler
tabloları içerir. Bu tablolar, yazarların
biçiminin herhangi bir kısmını birim kesirlerin toplamı olarak yeniden yazmalarına olanak sağladı.
Yeni Krallık döneminde (yaklaşık MÖ 1550–1070) matematik problemlerinden edebi 'de bahsedilir ve Ramses III zamanından kalma 'da arazi ölçümleri kaydedilir. Deir el-Medina işçi köyünde, mezarların taş ocağında taşınırken rekor miktarda çamurun taşındığı birkaç ostraca (yazı yüzeyi olarak kullanılan bir çömlek parçası) bulundu.
Kaynakça
Eski Mısır matematiğini anlama çabaları günümüzde, mevcut kaynakların yetersizliği nedeniyle sekteye uğramaktadır. Var olan kaynaklar aşağıdaki metinleri içerir (bunlar genellikle Orta Krallık ve İkinci Ara Dönem'e tarihlenir):
- Moskova Papirüsü
- Mısır Matematiksel Deri Rulosu
- Lahun Matematiksel Papirüsü
- MÖ 1800 civarında yazılmış Berlin Papirüsü 6619
- Akhmim Ahşap Tableti
- Reisner Papirüsü, Mısır'ın erken 12. hanedanına tarihlenmektedir ve antik Thinis kasabası Nag el-Deir'de bulunmuştur.
- Rhind Papirüsü (RMP - Rhind Mathematical Papyrus), İkinci Ara Döneme (MÖ 1650) tarihlenir, ancak yazarı Ahmes, onu şimdi kaybolmuş bir Orta Krallık papirüsünün bir kopyası olarak tanımlar. RMP, en büyük matematiksel metindir.
Yeni Krallık'tan kalan, hesaplamalarla ilgili az miktarda matematiksel metin ve yazıt vardır:
- Papirüs Anastasi I, Hori adlı bir yazar tarafından yazılmış ve Amenemope adlı bir yazara hitaben (kurgusal) bir mektup olarak yazılmış bir edebi metindir. Mektubun bir bölümü birkaç matematik problemini tanımlar.
- Ostracon Senmut 153, hiyeratik olarak yazılmış bir metindir.
- Ostracon Turin 57170, hiyeratik olarak yazılmış bir metindir.
- Deir el-Medina'dan Ostraca, hesaplamalar içerir. Örneğin Ostracon IFAO 1206, muhtemelen bir mezarın taş ocakçılığı ile ilgili hacimlerin hesaplanmasını göstermektedir.
Sayılar
Mısırlılar eskiden sağdan sola yazarlardı ve sayının en önemsiz rakamları önce yazılırdı, böylece sonuçta sayıların sırası bizimkine karşılık gelirdi. Eski Mısır metinleri hiyeroglif veya hiyeratik olarak yazılabilir. Her iki gösterimde de sayı sistemi her zaman 10 tabanına göre verilmiştir. 1 sayısı basit bir vuruşla, 2 sayısı iki vuruşla vb. temsil edildi. 10, 100, 1.000, 10.000 ve 1.000.000 sayılarının kendi hiyeroglifleri vardı. 10 sayısı öküz çekmesi veya nal, 100 sayısı sarmal bir ip veya salyangoz ile temsil edilir, 1000 sayısı bir lotus çiçeği veya nilüfer çiçeği ile temsil edilir, 10.000 sayısı bir parmakla temsil edilir, 100.000 sayısı bir kurbağa veya iribaş ile ve bir milyon ise iki elini kaldırmış bir adam (Tanrı Heh olabilir) tarafından temsil edilir.
|
|
|
|
|
|
|
Eski Mısır'da herhangi bir sayı iki şekilde yazılabilirdi: kelimelerle ve sayılarla. Örneğin, 30 sayısını yazmak için sıradan hiyeroglifler kullanılabilir:
|
veya aynısı sayılarla yazılırsa (üç tane on):
|
![image](https://www.wikipedia.tr-tr.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraXBlZGlhLnRyLXRyLm5pbmEuYXovaW1hZ2UvYUhSMGNITTZMeTkxY0d4dllXUXVkMmxyYVcxbFpHbGhMbTl5Wnk5M2FXdHBjR1ZrYVdFdlkyOXRiVzl1Y3k5MGFIVnRZaTh4THpGa0wxQnlhVzVqWlhOelgwNWxabVZ5ZEdsaFltVjBYMkpsWm05eVpWOW9aWEpmYldWaGJDMUZYekUxTlRreExVbE5SMTg1TmpRMUxXZHlZV1JwWlc1MExtcHdaeTgyTURCd2VDMVFjbWx1WTJWemMxOU9aV1psY25ScFlXSmxkRjlpWldadmNtVmZhR1Z5WDIxbFlXd3RSVjh4TlRVNU1TMUpUVWRmT1RZME5TMW5jbUZrYVdWdWRDNXFjR2M9LmpwZw==.jpg)
Mısır rakamları, Hanedanlık Öncesi döneme kadar uzanmaktadır. Abydos'un fildişi etiketleri bu sayı sisteminin kullanımını kaydeder. Adak öğelerin sayısını belirtmek için adak sahnelerinde sayıları görmek de yaygındır. Kralın kızı Neferetiabet'e 1000 öküz, ekmek, bira vb.
Mısır sayı sistemi eklemeliydi. Büyük sayılar, kabartma koleksiyonlarıyla temsil edildi ve değer, tek tek sayıların bir araya getirilmesiyle elde edildi.
![image](https://www.wikipedia.tr-tr.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraXBlZGlhLnRyLXRyLm5pbmEuYXovaW1hZ2UvYUhSMGNITTZMeTkxY0d4dllXUXVkMmxyYVcxbFpHbGhMbTl5Wnk5M2FXdHBjR1ZrYVdFdlkyOXRiVzl1Y3k5MGFIVnRZaTh3THpBMEwwTnZkVzUwYzE5MGIyMWlYemMxWDJkcGVtVm9MV3hsY0hOcGRYTXVjRzVuTHpZd01IQjRMVU52ZFc1MGMxOTBiMjFpWHpjMVgyZHBlbVZvTFd4bGNITnBkWE11Y0c1bi5wbmc=.png)
Mısırlılar neredeyse yalnızca 1/n biçimindeki kesirleri kullandılar. Dikkate değer bir istisna, matematiksel metinlerde sıklıkla bulunan 2/3 kesiridir. Çok nadiren 3/4'ü belirtmek için özel bir kabartma kullanıldı. 1/2 kesiri, ikiye katlanmış bir keten parçasını tasvir etmiş olabilecek bir kabartma ile temsil edildi. 2/3 kesiri, 2 (farklı boyutta) vuruş ve bir ağızla tasvir eden bir kabartma ile temsil edildi. Kesirlerin geri kalanı her zaman bir sayının üzerine birleştirilmiş bir ağızla temsil edildi.
|
|
|
|
|
|
Rhind Papirüsü'nden kesir yazma örneği:
|
5 + 1⁄2 + 1⁄7 + 1⁄14 (= 5 5⁄7)
Aritmetik
Toplama ve çıkarma
Rhind (Ahmes) Papirüsü'nde (yaklaşık MÖ 1550) ekleme ya da çıkarma için kullanılan hiyeroglif gösterilmektedir:
|
Bu hiyeroglifin "bacaklarının" yönü yazı yönüyle örtüşüyorsa (Mısırlılar genellikle sağdan sola yazıyordu), o zaman "toplama", aksi takdirde "çıkarma" anlamına geliyordu. Ancak, Moskova Matematik Papirüsünde (MÖ 1850), çizginin sonuna doğru yönlendirilmiş bir çift bacak sayısının karesi anlamına geliyordu.
Toplama ondan büyük bir sayı ile sonuçlanırsa, yükselen bir hiyeroglifte on yazılır.
Örneğin: 2343 + 1671
|
+
|
Tüm aynı tür hiyeroglifleri bir araya topluyoruz ve şunları elde ediyoruz:
|
Hadi dönüşelim:
|
Nihai sonuç şuna benzer:
|
Çarpma ve bölme
Mısır çarpımı, Eski Krallığa bağlanan bir yöntemle, çarpılacak sayının (çarpılan) tekrar tekrar ikiye katlanması ve ikiye katlamalardan hangisinin toplanacağının seçilmesiyle (esasen bir ikili aritmetik biçimi) yapıldı. Çarpılan, şekil 1'in yanına yazılmıştır; çarpan daha sonra kendisine eklendi ve sonuç 2 sayısının yanına yazıldı. İşlem, ikiye katlama çarpanın yarısından büyük bir sayı verene kadar sürdürüldü. Ardından, iki katına çıkan sayılar (1, 2, vb.), cevabı oluşturmak için mevcut hesaplamaların sonuçlarından hangisinin bir araya getirilmesi gerektiğini seçmek için çarpandan tekrar tekrar çıkarılır.
Daha büyük sayılar için kısa bir yol olarak, çarpılan da hemen 10, 100, 1000, 10000 vb. ile çarpılabilir.
Örneğin, Rhind Papirüsü (RMP) üzerindeki Problem 69, (RMP'nin gerçek hiyeratik yazısı yerine) Hiyeroglif semboller kullanılmış gibi temsil edilirse aşağıdaki çizimi sağlar.
80 × 14 işleminin sonucunu hesaplamak | ||||||||||
Eski Mısır hesabı | Modern hesap | |||||||||
Sonuç | Çarpan | Sonuç | Çarpan | |||||||
|
| 80 | 1 | |||||||
|
| ![]() | 800 | 10 | ||||||
|
| 160 | 2 | |||||||
|
| ![]() | 320 | 4 | ||||||
|
| 1120 | 14 |
, nihai cevabı üretmek için bir araya getirilen ara sonuçları gösterir.
Yukarıdaki tablo, 1120'yi 80'e bölmek için de kullanılabilir. Bu sorunu, toplamı 1120'ye ulaşan 80'in çarpanlarının toplamı olarak bölümü (80) bularak çözerdik. Bu örnekte, 10 + 4 = 14 bölümü verir. Bölme algoritmasının daha karmaşık bir örneği Problem 66 tarafından sağlanmıştır. Toplam 3200 ro yağ, 365 günde eşit olarak dağıtılacaktır.
1 | 365 | |
2 | 730 | |
4 | 1460 | |
8 | 2920 | ![]() |
2/3 | ![]() | |
1/10 | ![]() | |
1/2190 | ![]() |
İlk olarak, yazar 365'in olası en büyük katına ulaşılıncaya kadar art arda ikiye katlar, ki bu 3200'den küçüktür. Bu durumda 8 kere 365, 2920'dir ve 365'in katlarının daha fazla eklenmesi açıkça 3200'den daha büyük bir değer verecektir. çarpı 365'in bize ihtiyacımız olan 280 değerini verdiğini kaydetti. Dolayısıyla, 3200'ün 365'e bölünmesinin
'a eşit olması gerektiğini buluyoruz.
Cebir
Mısır cebir problemleri hem Rhind Papirüsünde hem de Moskova Papirüsünde ve diğer bazı kaynaklarda görülmektedir.
Hiyeroglif olarak: Aha | |||
|
Aha problemleri, miktarı ve parçalarının toplamı verildiğinde bilinmeyen miktarları (Aha olarak anılır) bulmayı içerir. Rhind Papirüsü ayrıca bu tür problemlerden dördünü içerir. Moskova Papirüsünün 1., 19. ve 25. problemleri, Aha problemidir. Örneğin problem 19, birinden 1 ve 1⁄2 kez alınan ve 10 yapmak için 4'e eklenen bir miktarın hesaplamasını ister. Başka bir deyişle, modern matematiksel gösterimde aşağıdaki doğrusal denklemi çözmemiz istenir:
Bu Aha problemlerini çözmek, sabit kesen yöntemi (regula falsi) adı verilen bir tekniği içerir. Bu teknik aynı zamanda yanlış varsayım yöntemi olarak da adlandırılır. Yazıcı, problemin cevabının ilk tahminini değiştirir. Yanlış varsayımı kullanan çözüm, gerçek yanıtla orantılı olacak ve yazar bu oranı kullanarak yanıtı bulacaktır.
Matematiksel yazılar, yazarların kesirli problemleri tam sayı kullanan problemlere dönüştürmek için (en az) ortak katları kullandığını göstermektedir. Bu bağlamda kesirlerin yanına kırmızı yardımcı numaralar yazılır.
Horus göz kesirlerinin kullanımı, geometrik ilerleme hakkında bazı (ilkel) bilgileri gösterir. Aritmetik ilerlemelerin bilgisi, matematiksel kaynaklardan da apaçık anlaşılmaktadır.
İkinci dereceden denklemler
Eski Mısırlılar, ikinci dereceden (kuadratik) denklemleri geliştiren ve çözen ilk uygarlıktı. Bu bilgi Berlin Papirüs parçasında bulunur. Ayrıca Mısırlılar, Rhind Papirüsü'nde bulunan birinci derece cebirsel denklemleri de çözmüşlerdir.
Geometri
![image](https://www.wikipedia.tr-tr.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraXBlZGlhLnRyLXRyLm5pbmEuYXovaW1hZ2UvYUhSMGNITTZMeTkxY0d4dllXUXVkMmxyYVcxbFpHbGhMbTl5Wnk5M2FXdHBjR1ZrYVdFdlkyOXRiVzl1Y3k5bUwyWmtMMDF2YzJ0dmRTMXdZWEI1Y25WekxtcHdadz09LmpwZw==.jpg)
Antik Mısır'dan geometri ile ilgili yalnızca sınırlı sayıda problem vardır. Geometrik problemler hem Moskova Papirüsünde (MMP-Moscow Mathematical Papyrus) hem de Rhind Papirüsünde (RMP) ortaya çıkar. Örnekler, Eski Mısırlıların birkaç geometrik şeklin alanlarını, silindir ve piramit hacimlerini nasıl hesaplayacaklarını bildiklerini gösteriyor.
- Alan:
- Üçgenler: Yazarlar, bir üçgenin alanını hesaplayan problemleri kaydeder (RMP ve MMP).
- Dikdörtgenler: Dikdörtgen bir arazi parçasının alanıyla ilgili problemler RMP ve MMP'de görülmektedir. Benzer bir problem, Londra'daki 'nde yer almaktadır.
- Daireler: RMP'nin Problem 48'i bir dairenin alanını (bir sekizgen ile yakınsayarak) ve çevreleyen kareyi karşılaştırmaktadır. Bu problemin sonucu, yazarın 9 khet çapında yuvarlak bir alanın alanını bulduğu problem 50'de kullanılır.
- Yarımküre: MMP'deki Problem 10, bir yarım kürenin alanını buluyor.
Mısırlılar geometri alanında bir dikdörtgen, üçgen ve yamuk alanı için kesin formülleri biliyorlardı. Kenarları a, b, c, d olan keyfi bir dörtgenin alanı yaklaşık olarak şu şekilde hesaplandı:; Bu kaba formül, şekil bir dikdörtgene yakınsa kabul edilebilir kesinlik sağlar.
Mısırlılar, çapı d olan bir S çemberinin alanının, kenarı çapın 8/9'u olan bir karenin alanına eşit olduğunu varsaydılar: Bu kural,
≈ 3,1605 yaklaşımına karşılık gelir. (% 1'den az hata).
Moskova Matematik Papirüsünün 10. problemine dayanan bazı araştırmacılar, Mısırlıların bir kürenin alanını hesaplamak için kesin formülü bildiklerine inanıyordu, ancak diğer bilim adamları buna katılmıyorlar.
- Hacimler:
- Silindirik tahıl ambarları: Birkaç problem silindirik tahıl ambarlarının (RMP 41-43) hacmini hesaplarken, RMP Problem 60, bir piramit yerine bir sütun veya bir koni ile ilgili görünmektedir. Oldukça küçük ve diktir, dört avuç içi (her kübit başına) seke (eğimin tersi).'nün IV.3 bölümünde bir Dairesel tabanlı tahıl ambarı, RMP 43 ile aynı prosedürü kullanarak bulunur.
- Dikdörtgen tahıl ambarları: Moskova Papirüsü (Problem 14) ve Rhind Papirüsü'nde çeşitli problemler (44, 45, 46) dikdörtgen bir tahıl ambarının hacmi ile ilgilidir.
- Kesik piramit (frustum): Kesik bir piramidin hacmi MMP 14'te hesaplanır.
Mısırlılar paralel yüzlü, silindir, koni ve piramitlerin hacimlerini hesaplayabilirlerdi. Mısırlılar kesik piramidin hacmini hesaplamak için aşağıdaki kuralı kullandılar (Moskova Matematik Papirüsünün 14. Problemi): alt taban a, üst b ve h yüksekliğinin bir kenarı ile düzenli kesik bir piramide sahip olalım; daha sonra hacim aşağıdaki (doğru) formül kullanılarak hesaplandı:
Oxyrinchus'ta bulunan eski bir papirüs parşömeni, Mısırlıların kesilmiş bir koninin hacmini de hesaplayabildiğini gösteriyor. Bu bilgiyi bir su saati yapmak için kullandılar. Örneğin, Amenhotep III tarafından Karnak'ta bir su saati yapıldığı biliniyor.
![image](https://www.wikipedia.tr-tr.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraXBlZGlhLnRyLXRyLm5pbmEuYXovaW1hZ2UvYUhSMGNITTZMeTkxY0d4dllXUXVkMmxyYVcxbFpHbGhMbTl5Wnk5M2FXdHBjR1ZrYVdFdlkyOXRiVzl1Y3k5MGFIVnRZaTh5THpKa0wwTnNaWEJ6ZVdSeVpTMXZlSGx5YUhsdVkyaDFjeTFpYjNKamFHRnlaSFF1YW5Cbkx6SXlNSEI0TFVOc1pYQnplV1J5WlMxdmVIbHlhSGx1WTJoMWN5MWliM0pqYUdGeVpIUXVhbkJuLmpwZw==.jpg)
Mısır Üçgeni
Mısır üçgeni, en boy oranı 3:4:5 olan dik açılı bir üçgendir. Birinci yüzyılda Plutarch, On Isis and Osiris adlı çalışmasında bu üçgen hakkında şunları yazdı: "Görünüşe göre Mısırlılar, Birliğin doğasını üçgenlerin en güzeliyle karşılaştırıyorlar." Belki de bu yüzden bu üçgene Mısırlı üçgen denilmiştir [14]. Nitekim Yunan bilim adamları, Mısır'da dik açı oluşturmak için 12 eş parçaya bölünmüş bir ipin kullanıldığını bildirdi.
Mısır üçgeni, örneğin piramitlerin inşasında Mısırlı araştırmacılar ve mimarlar tarafından dik açılar oluşturmak için aktif olarak kullanıldı. Tarihçi Van der Waerden bu gerçeği sorgulamaya çalıştı, ancak daha sonraki çalışmalar bunu doğruladı.
Seqed
RMP'nin 56. problemi, geometrik benzerlik fikrinin anlaşıldığını göstermektedir. Bu problem, seqed olarak da bilinen oranın uzanmasını/yükselişini tartışmaktadır. Piramitleri inşa etmek için böyle bir formüle ihtiyaç duyulacaktır. Bir sonraki problemde (Problem 57), bir piramidin yüksekliği, taban uzunluğu ve seked (eğimin tersi için kullanılan Mısır terimi) ile hesaplanırken, Problem 58 tabanın uzunluğunu ve yüksekliğini verir ve seqed'i hesaplamak için bu ölçümleri kullanır. Problem 59'da 1. kısım seqed'i hesaplarken, ikinci kısım cevabı kontrol etmek için bir hesaplama olabilir: Tabanı 12 [arşın] ve seqed'i 5 avuç içi 1 parmak olan bir piramit inşa ederseniz, yüksekliği nedir?
Ayrıca bakınız
Kaynakça
- ^ a b c d e (2006). "Ancient Egyptian Mathematics: New Perspectives on Old Sources". The Mathematical Intelligencer. 28 (1): 19-27. doi:10.1007/bf02986998.
- ^ a b c Burton, David (2005). The History of Mathematics: An Introduction. McGraw–Hill. ISBN .
- ^ Rossi, Corinna (2007). Architecture and Mathematics in Ancient Egypt. Cambridge University Press. ISBN .
- ^ a b c d e f g Katz V, , , Dauben JW, Plofker K, Berggren JL (2007). The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. Princeton University Press. ISBN .
- ^ Reimer, David (11 Mayıs 2014). Count Like an Egyptian: A Hands-on Introduction to Ancient Mathematics (İngilizce). Princeton University Press. ISBN .
- ^ a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x Clagett, Marshall Ancient Egyptian Science, A Source Book. Volume Three: Ancient Egyptian Mathematics (Memoirs of the American Philosophical Society) American Philosophical Society. 1999
- ^ Gardiner Alan H. Egyptian grammar: being an introduction to the study of hieroglyphs 3rd ed., rev. London: 1957, s. 197.
- ^ (1993). A History of Mathematical Notations. Dover Publications. ss. 229-230. ISBN .
- ^ Karpinski, Louis C., Algebraical Developments Among the Egyptians and Babylonians, The American Mathematical Monthly: journal, (1917), Vol. 24, No: 6, p.259., doi:10.2307/2973180, https://www.jstor.org/stable/2973180 14 Eylül 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde .
- ^ Moore, Deborah Lela (1994). The African roots of mathematics (2. bas.). Detroit, Mich.: Professional Educational Services. ISBN .
- ^ a b Greeks Science Before the Greeks Science, New Series, Vol.73, No. 1831, (31 Ocak 1930), s. 109–121
- ^ Digitalegypt web sitesi: Lahun Papyrus IV.3 26 Haziran 2012 tarihinde Wayback Machine sitesinde .
- ^ a b History of Mathematics, Volume I 1970.
- ^ WW Struve (1930). Mathematischer Papyrus des Museum in Moskau. Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik, Abteilung A. Berlin: Springer. s. 157.
- ^ Van der Waerden BL Science awakening. The Mathematics of Ancient Egypt, Babylon and Greece, ss. 44-45
- ^ (2013). "Chapter 1. Ancient Egypt and Babylon". History of Mathematics. (unpublished). s. 5. 28 Haziran 2020 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 6 Eylül 2020.
Konuyla ilgili yayınlar
- Boyer, Carl B. 1968. History of Mathematics. John Wiley. Reprint Princeton U. Press (1985).
- Chace, Arnold Buffum. 1927–1929. The Rhind Mathematical Papyrus: Free Translation and Commentary with Selected Photographs, Translations, Transliterations and Literal Translations. 2 vols. Classics in Mathematics Education 8. Oberlin: Mathematical Association of America. (Reprinted Reston: National Council of Teachers of Mathematics, 1979).
- Clagett, Marshall. 1999. Ancient Egyptian Science: A Source Book. Volume 3: Ancient Egyptian Mathematics. Memoirs of the American Philosophical Society 232. Philadelphia: American Philosophical Society.
- Couchoud, Sylvia. 1993. Mathématiques égyptiennes: Recherches sur les connaissances mathématiques de l'Égypte pharaonique. Paris: Éditions Le Léopard d'Or
- Daressy, G. "Ostraca," Cairo Museo des Antiquities Egyptiennes Catalogue General Ostraca hieraques, vol 1901, number 25001-25385.
- Gillings, Richard J. 1972. Mathematics in the Time of the Pharaohs. MIT Press. (Dover reprints available).
- . 2003. "Ägyptische Algorithmen". Wiesbaden: Harrassowitz
- Johnson, G., Sriraman, B., Saltztstein. 2012. "Where are the plans? A socio-critical and architectural survey of early Egyptian mathematics"| In , Editor. Crossroads in the History of Mathematics and Mathematics Education. Monographs in Mathematics Education 12, Information Age Publishing, Inc., Charlotte, NC
- Neugebauer, Otto (1969) [1957]. The Exact Sciences in Antiquity (2 bas.). Dover Publications. ISBN . 14 Ağustos 2020 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 6 Eylül 2020.
- Peet, Thomas Eric. 1923. The Rhind Mathematical Papyrus, British Museum 10057 and 10058. London: The University Press of Liverpool limited and Hodder & Stoughton limited
- Reimer, David (2014). Count Like an Egyptian: A Hands-on Introduction to Ancient Mathematics. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN .
- Robins, R. Gay. 1995. "Mathematics, Astronomy, and Calendars in Pharaonic Egypt". In Civilizations of the Ancient Near East, edited by Jack M. Sasson, John R. Baines, Gary Beckman, and Karen S. Rubinson. Vol. 3 of 4 vols. New York: Charles Schribner's Sons. (Reprinted Peabody: Hendrickson Publishers, 2000). 1799–1813
- Robins, R. Gay, and Charles C. D. Shute. 1987. The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text. London: British Museum Publications Limited.
- Sarton, George. 1927. Introduction to the History of Science, Vol 1. Willians & Williams.
- Strudwick, Nigel G., and Ronald J. Leprohon. 2005. Texts from the Pyramid Age. Brill Academic Publishers. .
- Struve, Vasilij Vasil'evič, and Boris Aleksandrovič Turaev. 1930. Mathematischer Papyrus des Staatlichen Museums der Schönen Künste in Moskau. Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik; Abteilung A: Quellen 1. Berlin: J. Springer
- Van der Waerden, B.L. 1961. Science Awakening". Oxford University Press.
- Vymazalova, Hana. 2002. Wooden Tablets from Cairo...., Archiv Orientalni, Vol 1, pages 27–42.
- Wirsching, Armin. 2009. Die Pyramiden von Giza – Mathematik in Stein gebaut. (2. bas.) Books on Demand. .
Dış bağlantılar
- . 10 Nisan 2000 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 22 Şubat 2021. (Mısır Aritmetiği)
- . 6 Kasım 2013 tarihinde kaynağından arşivlendi.
wikipedia, wiki, viki, vikipedia, oku, kitap, kütüphane, kütübhane, ara, ara bul, bul, herşey, ne arasanız burada,hikayeler, makale, kitaplar, öğren, wiki, bilgi, tarih, yukle, izle, telefon için, turk, türk, türkçe, turkce, nasıl yapılır, ne demek, nasıl, yapmak, yapılır, indir, ücretsiz, ücretsiz indir, bedava, bedava indir, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, resim, müzik, şarkı, film, film, oyun, oyunlar, mobil, cep telefonu, telefon, android, ios, apple, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, pc, web, computer, bilgisayar
Eski Misir matematigi Eski Misir da yaklasik MO 3000 ila 300 yillari arasinda Eski Misir Kralligi ndan kabaca Helenistik Misir in baslangicina kadar gelistirilen ve kullanilan matematiktir Eski Misirlilar saymak ve genellikle carpma ve kesirleri iceren yazili matematik problemlerini cozmek icin bir sayi sistemi kullandilar Misir matematiginin kaniti papirus uzerine yazilmis hayatta kalan az sayida kaynakla sinirlidir Bu metinlerden eski Misirlilarin mimari muhendislik icin yararli olan uc boyutlu sekillerin yuzey alanini ve hacmini belirlemek gibi geometri kavramlarini ve sabit kesen yontemi Latince regula falsi Ingilizce false position method ve ikinci dereceden denklemler gibi cebir kavramlarini anladiklari bilinmektedir Genel BakisAbydos taki Tomb U j de bulunan fildisi etiketlerle matematigin kullaniminin yazili kaniti en az MO 3200 e kadar uzanmaktadir Gorunuse gore bu etiketler mezar esyalari icin etiket olarak kullanilmis ve bazilarina rakamlar yazilmistir 400 000 okuz 1 422 000 keci ve 120 000 mahkumun sunulmasini gosteren Narmer Macehead de 10 lu taban sayi sisteminin kullanimina dair daha fazla kanit bulunabilir Narmer Macehead on Narmer Macehead arka Narmer Macehead deki cizimler Eski Krallik ta MO 2690 2180 matematigin kullanimina iliskin kanitlar azdir ancak Meidum da bir mastaba yakinindaki duvardaki mastabanin egimi icin yonergeler veren yazitlardan bazi sonuclar cikarilabilir Diyagramdaki cizgiler bir arsin araliklarla dizilidir ve bu olcu biriminin kullanimini gostermektedir En eski gercek matematiksel belgeler 12 Hanedanliga yaklasik MO 1990 1800 aittir Kahun Papirusu nun ve Berlin Papirusu 6619 koleksiyonunun cok daha genis bir parcasi olan Moskova Papirusu bu doneme tarihlenmektedir Ikinci Ara Donem e MO 1650 tarihlenen Rhind Papirusunun 12 hanedandan daha eski bir matematiksel metne dayandigi soylenir Moskova Matematik Papirusu ve Rhind Papirusu matematiksel problem metinleri olarak adlandirilir Cozumleri olan bir dizi problemden olusurlar Bu metinler bir ogretmen veya tipik matematik problemlerini cozmekle ugrasan bir ogrenci tarafindan yazilmis olabilir Eski Misir matematiginin ilginc bir ozelligi birim kesirlerin kullanilmasidir Misirlilar kesirler icin 12 13 displaystyle tfrac 1 2 tfrac 1 3 ve 23 displaystyle tfrac 2 3 gibi bazi ozel gosterimler kullandilar ve bazi metinlerde 34 displaystyle tfrac 3 4 icin ancak diger kesirler tumu 1n displaystyle tfrac 1 n biciminin birim kesirleri veya bu tur birim kesirlerin toplamlari olarak yazilir Yazicilar bu kesirlerle calismalarina yardimci olmak icin tablolar kullandilar Ornegin Misir Matematiksel Deri Rulosu diger birim kesirlerin toplami olarak ifade edilen birim kesirler tablosudur Rhind Papirusu ve diger bazi metinler 2n displaystyle tfrac 2 n tablolari icerir Bu tablolar yazarlarin 1n displaystyle tfrac 1 n biciminin herhangi bir kismini birim kesirlerin toplami olarak yeniden yazmalarina olanak sagladi Yeni Krallik doneminde yaklasik MO 1550 1070 matematik problemlerinden edebi de bahsedilir ve Ramses III zamanindan kalma da arazi olcumleri kaydedilir Deir el Medina isci koyunde mezarlarin tas ocaginda tasinirken rekor miktarda camurun tasindigi birkac ostraca yazi yuzeyi olarak kullanilan bir comlek parcasi bulundu KaynakcaEski Misir matematigini anlama cabalari gunumuzde mevcut kaynaklarin yetersizligi nedeniyle sekteye ugramaktadir Var olan kaynaklar asagidaki metinleri icerir bunlar genellikle Orta Krallik ve Ikinci Ara Donem e tarihlenir Moskova Papirusu Misir Matematiksel Deri Rulosu Lahun Matematiksel Papirusu MO 1800 civarinda yazilmis Berlin Papirusu 6619 Akhmim Ahsap Tableti Reisner Papirusu Misir in erken 12 hanedanina tarihlenmektedir ve antik Thinis kasabasi Nag el Deir de bulunmustur Rhind Papirusu RMP Rhind Mathematical Papyrus Ikinci Ara Doneme MO 1650 tarihlenir ancak yazari Ahmes onu simdi kaybolmus bir Orta Krallik papirusunun bir kopyasi olarak tanimlar RMP en buyuk matematiksel metindir Yeni Krallik tan kalan hesaplamalarla ilgili az miktarda matematiksel metin ve yazit vardir Papirus Anastasi I Hori adli bir yazar tarafindan yazilmis ve Amenemope adli bir yazara hitaben kurgusal bir mektup olarak yazilmis bir edebi metindir Mektubun bir bolumu birkac matematik problemini tanimlar Ostracon Senmut 153 hiyeratik olarak yazilmis bir metindir Ostracon Turin 57170 hiyeratik olarak yazilmis bir metindir Deir el Medina dan Ostraca hesaplamalar icerir Ornegin Ostracon IFAO 1206 muhtemelen bir mezarin tas ocakciligi ile ilgili hacimlerin hesaplanmasini gostermektedir SayilarMisirlilar eskiden sagdan sola yazarlardi ve sayinin en onemsiz rakamlari once yazilirdi boylece sonucta sayilarin sirasi bizimkine karsilik gelirdi Eski Misir metinleri hiyeroglif veya hiyeratik olarak yazilabilir Her iki gosterimde de sayi sistemi her zaman 10 tabanina gore verilmistir 1 sayisi basit bir vurusla 2 sayisi iki vurusla vb temsil edildi 10 100 1 000 10 000 ve 1 000 000 sayilarinin kendi hiyeroglifleri vardi 10 sayisi okuz cekmesi veya nal 100 sayisi sarmal bir ip veya salyangoz ile temsil edilir 1000 sayisi bir lotus cicegi veya nilufer cicegi ile temsil edilir 10 000 sayisi bir parmakla temsil edilir 100 000 sayisi bir kurbaga veya iribas ile ve bir milyon ise iki elini kaldirmis bir adam Tanri Heh olabilir tarafindan temsil edilir 1 10 100 1000 10 000 100 000 1 000 000 Eski Misir da herhangi bir sayi iki sekilde yazilabilirdi kelimelerle ve sayilarla Ornegin 30 sayisini yazmak icin siradan hiyeroglifler kullanilabilir veya aynisi sayilarla yazilirsa uc tane on Eski Krallik tan prenses nin Giza daki mezarinda bulunan dikili tas levha MO 2590 2565 kirectasi uzerine resim simdi Louvre Muzesindedir Misir rakamlari Hanedanlik Oncesi doneme kadar uzanmaktadir Abydos un fildisi etiketleri bu sayi sisteminin kullanimini kaydeder Adak ogelerin sayisini belirtmek icin adak sahnelerinde sayilari gormek de yaygindir Kralin kizi Neferetiabet e 1000 okuz ekmek bira vb Misir sayi sistemi eklemeliydi Buyuk sayilar kabartma koleksiyonlariyla temsil edildi ve deger tek tek sayilarin bir araya getirilmesiyle elde edildi Bu sahne bir sigir sayisini tasvir etmektedir Misirbilimci Lepsius tarafindan kopyalanmistir Ortadaki kayitta solda 835 boynuzlu sigir goruyoruz hemen arkasinda 220 hayvan inek ve sagda 2235 keci var En alttaki kayitta solda 760 esek ve sagda 974 keci goruyoruz Misirlilar neredeyse yalnizca 1 n bicimindeki kesirleri kullandilar Dikkate deger bir istisna matematiksel metinlerde siklikla bulunan 2 3 kesiridir Cok nadiren 3 4 u belirtmek icin ozel bir kabartma kullanildi 1 2 kesiri ikiye katlanmis bir keten parcasini tasvir etmis olabilecek bir kabartma ile temsil edildi 2 3 kesiri 2 farkli boyutta vurus ve bir agizla tasvir eden bir kabartma ile temsil edildi Kesirlerin geri kalani her zaman bir sayinin uzerine birlestirilmis bir agizla temsil edildi 1 2 displaystyle 1 2 1 3 displaystyle 1 3 2 3 displaystyle 2 3 1 4 displaystyle 1 4 1 5 displaystyle 1 5 3 4 displaystyle 3 4 Rhind Papirusu nden kesir yazma ornegi 5 1 2 1 7 1 14 5 5 7 AritmetikToplama ve cikarma Rhind Ahmes Papirusu nde yaklasik MO 1550 ekleme ya da cikarma icin kullanilan hiyeroglif gosterilmektedir veya Bu hiyeroglifin bacaklarinin yonu yazi yonuyle ortusuyorsa Misirlilar genellikle sagdan sola yaziyordu o zaman toplama aksi takdirde cikarma anlamina geliyordu Ancak Moskova Matematik Papirusunde MO 1850 cizginin sonuna dogru yonlendirilmis bir cift bacak sayisinin karesi anlamina geliyordu Toplama ondan buyuk bir sayi ile sonuclanirsa yukselen bir hiyeroglifte on yazilir Ornegin 2343 1671 Tum ayni tur hiyeroglifleri bir araya topluyoruz ve sunlari elde ediyoruz Hadi donuselim Nihai sonuc suna benzer Carpma ve bolme Misir carpimi Eski Kralliga baglanan bir yontemle carpilacak sayinin carpilan tekrar tekrar ikiye katlanmasi ve ikiye katlamalardan hangisinin toplanacaginin secilmesiyle esasen bir ikili aritmetik bicimi yapildi Carpilan sekil 1 in yanina yazilmistir carpan daha sonra kendisine eklendi ve sonuc 2 sayisinin yanina yazildi Islem ikiye katlama carpanin yarisindan buyuk bir sayi verene kadar surduruldu Ardindan iki katina cikan sayilar 1 2 vb cevabi olusturmak icin mevcut hesaplamalarin sonuclarindan hangisinin bir araya getirilmesi gerektigini secmek icin carpandan tekrar tekrar cikarilir Daha buyuk sayilar icin kisa bir yol olarak carpilan da hemen 10 100 1000 10000 vb ile carpilabilir Ornegin Rhind Papirusu RMP uzerindeki Problem 69 RMP nin gercek hiyeratik yazisi yerine Hiyeroglif semboller kullanilmis gibi temsil edilirse asagidaki cizimi saglar 80 14 isleminin sonucunu hesaplamakEski Misir hesabi Modern hesapSonuc Carpan Sonuc Carpan80 1800 10160 2320 41120 14 nihai cevabi uretmek icin bir araya getirilen ara sonuclari gosterir Yukaridaki tablo 1120 yi 80 e bolmek icin de kullanilabilir Bu sorunu toplami 1120 ye ulasan 80 in carpanlarinin toplami olarak bolumu 80 bularak cozerdik Bu ornekte 10 4 14 bolumu verir Bolme algoritmasinin daha karmasik bir ornegi Problem 66 tarafindan saglanmistir Toplam 3200 ro yag 365 gunde esit olarak dagitilacaktir 3200 yi 365 e bolmek 1 3652 7304 14608 29202 3 24313 displaystyle 243 tfrac 1 3 1 10 3612 displaystyle 36 tfrac 1 2 1 2190 16 displaystyle tfrac 1 6 Ilk olarak yazar 365 in olasi en buyuk katina ulasilincaya kadar art arda ikiye katlar ki bu 3200 den kucuktur Bu durumda 8 kere 365 2920 dir ve 365 in katlarinin daha fazla eklenmesi acikca 3200 den daha buyuk bir deger verecektir 2 3 1 10 1 2190 displaystyle 2 3 1 10 1 2190 carpi 365 in bize ihtiyacimiz olan 280 degerini verdigini kaydetti Dolayisiyla 3200 un 365 e bolunmesinin 8 2 3 1 10 1 2190 displaystyle 8 2 3 1 10 1 2190 a esit olmasi gerektigini buluyoruz CebirMisir cebir problemleri hem Rhind Papirusunde hem de Moskova Papirusunde ve diger bazi kaynaklarda gorulmektedir Hiyeroglif olarak Aha Aha problemleri miktari ve parcalarinin toplami verildiginde bilinmeyen miktarlari Aha olarak anilir bulmayi icerir Rhind Papirusu ayrica bu tur problemlerden dordunu icerir Moskova Papirusunun 1 19 ve 25 problemleri Aha problemidir Ornegin problem 19 birinden 1 ve 1 2 kez alinan ve 10 yapmak icin 4 e eklenen bir miktarin hesaplamasini ister Baska bir deyisle modern matematiksel gosterimde asagidaki dogrusal denklemi cozmemiz istenir 32 x 4 10 displaystyle frac 3 2 times x 4 10 Bu Aha problemlerini cozmek sabit kesen yontemi regula falsi adi verilen bir teknigi icerir Bu teknik ayni zamanda yanlis varsayim yontemi olarak da adlandirilir Yazici problemin cevabinin ilk tahminini degistirir Yanlis varsayimi kullanan cozum gercek yanitla orantili olacak ve yazar bu orani kullanarak yaniti bulacaktir Matematiksel yazilar yazarlarin kesirli problemleri tam sayi kullanan problemlere donusturmek icin en az ortak katlari kullandigini gostermektedir Bu baglamda kesirlerin yanina kirmizi yardimci numaralar yazilir Horus goz kesirlerinin kullanimi geometrik ilerleme hakkinda bazi ilkel bilgileri gosterir Aritmetik ilerlemelerin bilgisi matematiksel kaynaklardan da apacik anlasilmaktadir Ikinci dereceden denklemler Eski Misirlilar ikinci dereceden kuadratik denklemleri gelistiren ve cozen ilk uygarlikti Bu bilgi Berlin Papirus parcasinda bulunur Ayrica Misirlilar Rhind Papirusu nde bulunan birinci derece cebirsel denklemleri de cozmuslerdir GeometriMoskova Papirusu nden Problem 14 un goruntusu Problem kesik piramidin boyutlarini gosteren bir cizim icerir Antik Misir dan geometri ile ilgili yalnizca sinirli sayida problem vardir Geometrik problemler hem Moskova Papirusunde MMP Moscow Mathematical Papyrus hem de Rhind Papirusunde RMP ortaya cikar Ornekler Eski Misirlilarin birkac geometrik seklin alanlarini silindir ve piramit hacimlerini nasil hesaplayacaklarini bildiklerini gosteriyor Alan Ucgenler Yazarlar bir ucgenin alanini hesaplayan problemleri kaydeder RMP ve MMP Dikdortgenler Dikdortgen bir arazi parcasinin alaniyla ilgili problemler RMP ve MMP de gorulmektedir Benzer bir problem Londra daki nde yer almaktadir Daireler RMP nin Problem 48 i bir dairenin alanini bir sekizgen ile yakinsayarak ve cevreleyen kareyi karsilastirmaktadir Bu problemin sonucu yazarin 9 khet capinda yuvarlak bir alanin alanini buldugu problem 50 de kullanilir Yarimkure MMP deki Problem 10 bir yarim kurenin alanini buluyor Misirlilar geometri alaninda bir dikdortgen ucgen ve yamuk alani icin kesin formulleri biliyorlardi Kenarlari a b c d olan keyfi bir dortgenin alani yaklasik olarak su sekilde hesaplandi S a c2 b d2 displaystyle S frac a c 2 cdot frac b d 2 Bu kaba formul sekil bir dikdortgene yakinsa kabul edilebilir kesinlik saglar Misirlilar capi d olan bir S cemberinin alaninin kenari capin 8 9 u olan bir karenin alanina esit oldugunu varsaydilar S d d9 2 89d 2 displaystyle S left d frac d 9 right 2 left frac 8 9 d right 2 Bu kural p 4 89 2 displaystyle pi approx 4 cdot left frac 8 9 right 2 3 1605 yaklasimina karsilik gelir 1 den az hata Moskova Matematik Papirusunun 10 problemine dayanan bazi arastirmacilar Misirlilarin bir kurenin alanini hesaplamak icin kesin formulu bildiklerine inaniyordu ancak diger bilim adamlari buna katilmiyorlar Hacimler Silindirik tahil ambarlari Birkac problem silindirik tahil ambarlarinin RMP 41 43 hacmini hesaplarken RMP Problem 60 bir piramit yerine bir sutun veya bir koni ile ilgili gorunmektedir Oldukca kucuk ve diktir dort avuc ici her kubit basina seke egimin tersi nun IV 3 bolumunde bir Dairesel tabanli tahil ambari RMP 43 ile ayni proseduru kullanarak bulunur Dikdortgen tahil ambarlari Moskova Papirusu Problem 14 ve Rhind Papirusu nde cesitli problemler 44 45 46 dikdortgen bir tahil ambarinin hacmi ile ilgilidir Kesik piramit frustum Kesik bir piramidin hacmi MMP 14 te hesaplanir Misirlilar paralel yuzlu silindir koni ve piramitlerin hacimlerini hesaplayabilirlerdi Misirlilar kesik piramidin hacmini hesaplamak icin asagidaki kurali kullandilar Moskova Matematik Papirusunun 14 Problemi alt taban a ust b ve h yuksekliginin bir kenari ile duzenli kesik bir piramide sahip olalim daha sonra hacim asagidaki dogru formul kullanilarak hesaplandi V a2 ab b2 h3 displaystyle V a 2 ab b 2 cdot frac h 3 Oxyrinchus ta bulunan eski bir papirus parsomeni Misirlilarin kesilmis bir koninin hacmini de hesaplayabildigini gosteriyor Bu bilgiyi bir su saati yapmak icin kullandilar Ornegin Amenhotep III tarafindan Karnak ta bir su saati yapildigi biliniyor Oxyrhynch deki cizimlere gore su saatinin yeniden yapilandirilmasiMisir Ucgeni Misir ucgeni en boy orani 3 4 5 olan dik acili bir ucgendir Birinci yuzyilda Plutarch On Isis and Osiris adli calismasinda bu ucgen hakkinda sunlari yazdi Gorunuse gore Misirlilar Birligin dogasini ucgenlerin en guzeliyle karsilastiriyorlar Belki de bu yuzden bu ucgene Misirli ucgen denilmistir 14 Nitekim Yunan bilim adamlari Misir da dik aci olusturmak icin 12 es parcaya bolunmus bir ipin kullanildigini bildirdi Misir ucgeni ornegin piramitlerin insasinda Misirli arastirmacilar ve mimarlar tarafindan dik acilar olusturmak icin aktif olarak kullanildi Tarihci Van der Waerden bu gercegi sorgulamaya calisti ancak daha sonraki calismalar bunu dogruladi Seqed RMP nin 56 problemi geometrik benzerlik fikrinin anlasildigini gostermektedir Bu problem seqed olarak da bilinen oranin uzanmasini yukselisini tartismaktadir Piramitleri insa etmek icin boyle bir formule ihtiyac duyulacaktir Bir sonraki problemde Problem 57 bir piramidin yuksekligi taban uzunlugu ve seked egimin tersi icin kullanilan Misir terimi ile hesaplanirken Problem 58 tabanin uzunlugunu ve yuksekligini verir ve seqed i hesaplamak icin bu olcumleri kullanir Problem 59 da 1 kisim seqed i hesaplarken ikinci kisim cevabi kontrol etmek icin bir hesaplama olabilir Tabani 12 arsin ve seqed i 5 avuc ici 1 parmak olan bir piramit insa ederseniz yuksekligi nedir Ayrica bakinizMatematik tarihi Geometri tarihi Misir hiyeroglifleri ve veKaynakca a b c d e 2006 Ancient Egyptian Mathematics New Perspectives on Old Sources The Mathematical Intelligencer 28 1 19 27 doi 10 1007 bf02986998 a b c Burton David 2005 The History of Mathematics An Introduction McGraw Hill ISBN 978 0 07 305189 5 Rossi Corinna 2007 Architecture and Mathematics in Ancient Egypt Cambridge University Press ISBN 978 0 521 69053 9 a b c d e f g Katz V Dauben JW Plofker K Berggren JL 2007 The Mathematics of Egypt Mesopotamia China India and Islam A Sourcebook Princeton University Press ISBN 0 691 11485 4 Reimer David 11 Mayis 2014 Count Like an Egyptian A Hands on Introduction to Ancient Mathematics Ingilizce Princeton University Press ISBN 9781400851416 a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x Clagett Marshall Ancient Egyptian Science A Source Book Volume Three Ancient Egyptian Mathematics Memoirs of the American Philosophical Society American Philosophical Society 1999 978 0 87169 232 0 Gardiner Alan H Egyptian grammar being an introduction to the study of hieroglyphs 3rd ed rev London 1957 s 197 1993 A History of Mathematical Notations Dover Publications ss 229 230 ISBN 0486677664 Karpinski Louis C Algebraical Developments Among the Egyptians and Babylonians The American Mathematical Monthly journal 1917 Vol 24 No 6 p 259 doi 10 2307 2973180 https www jstor org stable 2973180 14 Eylul 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde Moore Deborah Lela 1994 The African roots of mathematics 2 bas Detroit Mich Professional Educational Services ISBN 1884123007 a b Greeks Science Before the Greeks Science New Series Vol 73 No 1831 31 Ocak 1930 s 109 121 Digitalegypt web sitesi Lahun Papyrus IV 3 26 Haziran 2012 tarihinde Wayback Machine sitesinde a b History of Mathematics Volume I 1970 WW Struve 1930 Mathematischer Papyrus des Museum in Moskau Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik Astronomie und Physik Abteilung A Berlin Springer s 157 Van der Waerden BL Science awakening The Mathematics of Ancient Egypt Babylon and Greece ss 44 45 2013 Chapter 1 Ancient Egypt and Babylon History of Mathematics unpublished s 5 28 Haziran 2020 tarihinde kaynagindan Erisim tarihi 6 Eylul 2020 Konuyla ilgili yayinlarBoyer Carl B 1968 History of Mathematics John Wiley Reprint Princeton U Press 1985 Chace Arnold Buffum 1927 1929 The Rhind Mathematical Papyrus Free Translation and Commentary with Selected Photographs Translations Transliterations and Literal Translations 2 vols Classics in Mathematics Education 8 Oberlin Mathematical Association of America Reprinted Reston National Council of Teachers of Mathematics 1979 0 87353 133 7 Clagett Marshall 1999 Ancient Egyptian Science A Source Book Volume 3 Ancient Egyptian Mathematics Memoirs of the American Philosophical Society 232 Philadelphia American Philosophical Society 0 87169 232 5 Couchoud Sylvia 1993 Mathematiques egyptiennes Recherches sur les connaissances mathematiques de l Egypte pharaonique Paris Editions Le Leopard d Or Daressy G Ostraca Cairo Museo des Antiquities Egyptiennes Catalogue General Ostraca hieraques vol 1901 number 25001 25385 Gillings Richard J 1972 Mathematics in the Time of the Pharaohs MIT Press Dover reprints available 2003 Agyptische Algorithmen Wiesbaden Harrassowitz Johnson G Sriraman B Saltztstein 2012 Where are the plans A socio critical and architectural survey of early Egyptian mathematics In Editor Crossroads in the History of Mathematics and Mathematics Education Monographs in Mathematics Education 12 Information Age Publishing Inc Charlotte NC Neugebauer Otto 1969 1957 The Exact Sciences in Antiquity 2 bas Dover Publications ISBN 978 0 486 22332 2 14 Agustos 2020 tarihinde kaynagindan Erisim tarihi 6 Eylul 2020 Peet Thomas Eric 1923 The Rhind Mathematical Papyrus British Museum 10057 and 10058 London The University Press of Liverpool limited and Hodder amp Stoughton limited Reimer David 2014 Count Like an Egyptian A Hands on Introduction to Ancient Mathematics Princeton NJ Princeton University Press ISBN 978 0 691 16012 2 Robins R Gay 1995 Mathematics Astronomy and Calendars in Pharaonic Egypt In Civilizations of the Ancient Near East edited by Jack M Sasson John R Baines Gary Beckman and Karen S Rubinson Vol 3 of 4 vols New York Charles Schribner s Sons Reprinted Peabody Hendrickson Publishers 2000 1799 1813 Robins R Gay and Charles C D Shute 1987 The Rhind Mathematical Papyrus An Ancient Egyptian Text London British Museum Publications Limited 0 7141 0944 4 Sarton George 1927 Introduction to the History of Science Vol 1 Willians amp Williams Strudwick Nigel G and Ronald J Leprohon 2005 Texts from the Pyramid Age Brill Academic Publishers 90 04 13048 9 Struve Vasilij Vasil evic and Boris Aleksandrovic Turaev 1930 Mathematischer Papyrus des Staatlichen Museums der Schonen Kunste in Moskau Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik Abteilung A Quellen 1 Berlin J Springer Van der Waerden B L 1961 Science Awakening Oxford University Press Vymazalova Hana 2002 Wooden Tablets from Cairo Archiv Orientalni Vol 1 pages 27 42 Wirsching Armin 2009 Die Pyramiden von Giza Mathematik in Stein gebaut 2 bas Books on Demand 978 3 8370 2355 8 Dis baglantilar 10 Nisan 2000 tarihinde kaynagindan arsivlendi Erisim tarihi 22 Subat 2021 Misir Aritmetigi 6 Kasim 2013 tarihinde kaynagindan arsivlendi