Gradyan teoremi

Bir skaler alanın yön türevi (gradyan) artımın en çok olduğu yere doğru yönelmiş bir vektör alanını verir ve büyüklüğü değişimin en büyük değerine eşittir.

Bu şekiller açıktan koyuya doğru artan skaler alanları ve artışa doğru yönelmiş yöntürevi vektörünü göstermektedir.

Örneklemek gerekirse bir odadaki zamandan bağımsız sıcaklık dağılımı düşünülebilir. Sıcaklık dağılımı skaler bir alandır ve kartezyen koordinatlarda ${\displaystyle \phi =\phi (x,y,z)\,}$ olarak gösterilebilir. Bu dağılımın yöntürevi en çok ısınan yeri işaret edecektir ve yöntürevi büyüklüğü de o yöndeki ısınmanın miktarını verecektir. Başka bir örnek olarak bir yokuş ele alınabilir. Yokuşa onu üstten kesen bir düzlemden bakılırsa ortaya çıkan fonksiyon yokuşun eğim profili ${\displaystyle H=H(x,y)\,}$'i verir (basitlik için yokuşu iki boyutta düşünmek faydalı olacaktır). Bu fonksiyonun yöntürevi yokuşun en dik yerini, yöntürevinin büyüklüğü de bu yerin dikliğini verir.

Tanım

x genelleştirilmiş koordinatların kapalı gösterimi olmak üzere ${\displaystyle x=(x_{1},\dots ,x_{n})}$ bir f(x) fonksiyonunun yöntürevi

${\displaystyle \nabla f=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},\dots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right)}$

şeklinde gösterilir. Burada ${\displaystyle \nabla \,}$, del işlemcisini temsil etmektedir. Başka bir gösterim ise grad' ftir.

Örnek

${\displaystyle f(x,y,z)=x^{3}+e^{2y}-\cos(wz)\,}$ olmak üzere f fonksiyonunun gradyanı:

${\displaystyle \nabla f={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{3x^{2}},{2e^{2y}},{w\sin(wz)}\end{pmatrix}}.}$

olarak elde edilir.

Bir göndermeyi doğrusallaştırma

Herhangi bir f(x) göndermeyi, bir ${\displaystyle x_{0}}$ noktasında

${\displaystyle g(x)=f(x_{0})+(\nabla _{x}f(x_{0}))^{T}(x-x_{0})}$

yaklaşımı yapılarak doğrusallaştırılabilir. g(x) doğrusu f(x) göndermesinin ${\displaystyle x_{0}}$ noktasında halidir.

Ayrıca bakınız

• Kısmi türev
• Diverjans
• Rotasyonel
• Del İşlemcisi

Kaynakça

1. ^ Bachman, David (2007). Advanced Calculus Demystified. New York: McGraw-Hill. ISBN . 

• Korn, Theresa M.; Korn, Granino Arthur (2000). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers: Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review. Dover Publications. ss. 157-160. ISBN . OCLC 43864234. 

Dış bağlantılar

Vikisözlük'te gradyan ile ilgili tanım bulabilirsiniz.

• . Khan Academy. 11 Haziran 2016 tarihinde kaynağından arşivlendi. 
• Kuptsov, L.P. (2001), "Gradient", Hazewinkel, Michiel (Ed.), Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN  .
• Eric W. Weisstein, Gradient (MathWorld)