Hipergeometrik dağılım

Olasılık kuramında ve istatistikte, hipergeometrik dağılım sonlu bir içinden tekrar geri koymadan birbiri arkasına n tane nesnenin çekilmesi işlemi için başarı sayısının dağılımını bir ayrık olasılık dağılımı şekilde betimler.

Hipergeometrik

Olasılık kütle fonksiyonu
Yığmalı dağılım fonksiyonu
Parametreler	${\displaystyle {\begin{aligned}N&\in 0,1,2,\dots \\m&\in 0,1,2,\dots ,N\\n&\in 0,1,2,\dots ,N\end{aligned}}\,}$
	${\displaystyle \scriptstyle {k\,\in \,\max {(0,\,n+m-N)},\,\dots ,\,\min {(m,\,n)}}\,}$
Olasılık kütle fonksiyonu (OYF)	${\displaystyle {{{m \choose k}{{N-m} \choose {n-k}}} \over {N \choose n}}}$
Birikimli dağılım fonksiyonu (YDF)
Ortalama	${\displaystyle nm \over N}$
Medyan
Mod	${\displaystyle \left\lfloor {\frac {(n+1)(m+1)}{N+2}}\right\rfloor }$
Varyans	${\displaystyle n(m/N)(1-m/N)(N-n) \over (N-1)}$
Çarpıklık	${\displaystyle {\frac {(N-2m)(N-1)^{\frac {1}{2}}(N-2n)}{[nm(N-m)(N-n)]^{\frac {1}{2}}(N-2)}}}$
Fazladan basıklık	${\displaystyle \left[{\frac {N^{2}(N-1)}{n(N-2)(N-3)(N-n)}}\right]}$ ${\displaystyle \cdot \left[{\frac {N(N+1)-6N(N-n)}{m(N-m)}}\right.}$ ${\displaystyle +\left.{\frac {3n(N-n)(N+6)}{N^{2}}}-6\right]}$
Entropi
Moment üreten fonksiyon (mf)	${\displaystyle {\frac {{N-m \choose n}\scriptstyle {\,_{2}F_{1}(-n,-m;N-m-n+1;e^{t})}}{N \choose n}}\,\!}$
Karakteristik fonksiyon	${\displaystyle {\frac {{N-m \choose n}\scriptstyle {\,_{2}F_{1}(-n,-m;N-m-n+1;e^{it})}}{N \choose n}}}$

Yaygın bir örnek, hatalı ve hatasız malları sınıflandıran bir ihtimal tablosunda gösterilebilir:

	Çekilmiş	Çekilmemiş	Toplam
Hatalı	k	m − k	m
Hatasız	n − k	N + k − n − m	N − m
Toplam	n	N − n	N

İçinde m sayıdan daha fazla hatalı mal birimi olmadığını kabul ettiğimiz N birimlik bir mal teslimi yapılmıştır. Bu N sayıdaki malların içinden tam n sayıda bir örnek alınıp bunlar kontrolden geçilirse bu örnek içinde tam k tane hatalı mal birimi bulunacağı hipergeometrik dağılım ile açıklanır.

Genel olarak: Eğer bir X rassal değişkeni N, m ve n parametreleri olan bir hipergeometrik dağılım gösterirse, tam olarak k sayıda başarı elde edilmesi, şu fonksiyonla bulunur:

${\displaystyle f(k;N,m,n)={{{m \choose k}{{N-m} \choose {n-k}}} \over {N \choose n}}.}$

k değeri max(0, n+m−N) ile min(m, n) arasındaysa olasılık pozitiftir.

Bu formül şöyle daha da açıklanabilir: (Geri koyulmadan) alınabilmesi mümkün örnek sayısı ${\displaystyle {\tbinom {N}{n}}}$ 'dir. Hatalı nesne sayısının k olması için ${\displaystyle {\tbinom {m}{k}}}$ sayıda ihtimal bulunur; geride kalan kısmın hatasız nesnelerle doldurulması için de ${\displaystyle {\tbinom {N-m}{n-k}}}$ ihtimal mevcuttur.

k, 0 ve N arasında her tam sayı değeri alabildiği için ve olasılık değerlerinin toplamı 1 olduğu için, kombinatorik matematikte bu .

Uygulama ve bir örnek

Hipergeometrik dağılımın klasik uygulaması geri koymadan örnekleme adı verilebilen bir denemedir. Bir küp problemi düşünülsün: bir küpün içinde iki tip küçük top, beyaz ve siyah, bulunduğu düşünülsün. Aynen bir binom dağılımı için yapılan deneme gibi, küpten bir beyaz top çekmeye başarı adı verilsin ve alternatif olan siyah top çekmek başarısızlık sayılsın. N küpte bulunan toplam top sayısı, m küpteki beyaz top sayısı ve böylece N − m ise küpteki siyah top sayısı olsun. Şimdi küpün içinde 5 beyaz ve 45 siyah top olduğu varsayılsın. Gözleri kapalı olarak küpten birer birer 10 tane top çekilsin ve her çekilen top küpe geri konulmasın. Bu deneme geri koyulmadan örnekleme olur.

Araştırmayı ilgilendiren soru: Bu çekişte küpten tam 4 tane beyaz top çekme (yani ima ile 6 tane de siyah top çekme) olasılığı nedir? Buna binom dağılım modeli uygulanamaz; çünkü her çekilişte başarı olasılığı değişmektedir. Bu problem iki kategorik değişkeni sınıflandıran olumsallık tablosunda şöyle özetlenebilir:

	Çekilmiş	Çekilmemiş	Toplam
Beyaz toplar	4 (k)	1 = 5 − 4 (m − k)	5 (m)
Siyah toplar	6 = 10 − 4 (n − k)	39 = 50 + 4 − 10 − 5 (N + k − n − m)	45 (N − m)
Toplam	10 (n)	40 (N − n)	50 (N)

Küpten tam olarak k tane beyaz top çekmenin olasılığı şu formül kullanılarak hesaplanir:

${\displaystyle \Pr(K=k)=f(k;N,m,n)={{{m \choose k}{{N-m} \choose {n-k}}} \over {N \choose n}}.}$

Bu problem için k = 4 olduğundan 4 tane beyaz top (ve 6 tane siyah top) çekme olasılığı

${\displaystyle \Pr(K=4)=f(4;50,5,10)={{{5 \choose 4}{{45} \choose {6}}} \over {50 \choose 10}}=0.003964583\dots .}$

çok düşük bir değerde (yaklaşık 0,004) olup, olabilirliği nerede ise sıfıra eşittir. Bu bir değişik ifade ile açıklanırsa bu rassal deneme (yani içinde 50 top bulunan bir küpten 10 tane top çekip hiçbirini geri koyulmamasi denemesini) 1000 defa tekrarlanırsa 4 beyaz (ve 7 siyah) top elde etmek ancak 4 defa ortaya çıkan bir sonuç olacaktır.

Bu sefer küpten 5 tane beyaz (ve 5 tane siyah) top çekme olasılığına göz atılsın. İki kategorik değişkeni sınıflandıran olumsallık tablosu şöyle kurulur:

	Çekilmiş	Çekilmemiş	Toplam
Beyaz toplar	5 (k)	0 = 5 − 5 (m − k)	5 (m)
Siyah toplar	5 = 10 − 5 (n − k)	40 = 50 + 5 − 10 − 5 (N + k − n − D)	45 (N − m)
Toplam	10 (n)	40 (N − n)	50 (N)

Olasılık şöyle hesaplanabilir (Dikkat edilirse paydalar hep aynıdır):

${\displaystyle \Pr[K=5]=f(5;50,5,10)={{{5 \choose 5}{{45} \choose {5}}} \over {50 \choose 10}}=0.0001189375\dots ,}$

Beklendiği gibi 5 beyaz top çekme olasılığı, 4 beyaz top çekme olasılığının çok daha altındadır.

Simetriler

Hipergeometrik dağılımda n ve m parametreleri arasında çok önemli simetriler vardır. Bu simetriler verilen küp problemi için önemli değil gibi görünmektedirler. Gerçekten verilen bazı hipergeometrik dağılım gösteren problemlerde n ve m parametreleri hiçbir problem olmadan birbiriyle değiştirilebilir. Ancak hayat/ölüm sorunlarına hipergeometrik dağılım uygulanmaya başlayınca önemleri anlaşılabilir.

Parametreler olan n ve m arasındaki simetriler şöyle sıralanabilirler:

• Bu halde siyah ve beyaz en basitçe rol değiştirmektedirler.

f(k;N,m,n) = f(n − k;N,N − m,n)

Bunu daha kolay anlamak için siyah toplar beyaza; beyaz toplar siyaha boyanınca neyin değiştiğini düşünmek gerektir.

• Bu halde çekilmiş ve çekilmemiş toplar rol değiştirmektedirler.

f(k;N,m,n) = f(m − k;N,m,N − n)

• Bu simetriyi anlamak için topları çekme hareketini unutup, zaten çekilmiş olan toplara dikkat

çekilmektedir ve zaten çekilmiş olan toplara etiket yapıştırma işlemine benzer:

f(k;N,m,n) = f(k;N,n,m)

İlişkili dağılımlar

X ~ Hypergeometrik(${\displaystyle m}$, ${\displaystyle N}$, ${\displaystyle n}$) ve ${\displaystyle p=m/N}$ olsun.

• Eğer ${\displaystyle n=1}$ ise ${\displaystyle X}$ rassal değişkeni ${\displaystyle p}$ parametreli bir Bernoulli dağılımı gösterir.
• Eğer 0 veya 1 e eşit olmayan ${\displaystyle n}$ ve ${\displaystyle p}$ ile karşılaştırılınca ${\displaystyle N}$ ve ${\displaystyle m}$ büyük değerlerde iseler, o halde

${\displaystyle P[X\leq x]\approx P[Y\leq x]}$

Burada ${\displaystyle Y}$ rassal değişkeni parametreleri ${\displaystyle n}$ ve ${\displaystyle p}$ olan bir binom dağılım gösterir.

• Eğer 0 veya 1 e eşit olmayan ${\displaystyle n}$ ve ${\displaystyle p}$ ile karşılaştırılınca ${\displaystyle N}$ ve ${\displaystyle m}$ büyük değerlerde iseler, o halde

${\displaystyle P[X\leq x]\approx \Phi \left({\frac {x-np}{\sqrt {np(1-p)}}}\right)}$

Burada ${\displaystyle \Phi }$ bir standart normal dağılım gösterir.

Ayrıca bakınız

• Matematiksel fonksiyonların listesi
• Binom dağılımı
• Örnekleme
• Küp problemi
• Hipergeometrik fonksiyon

Kaynakça

• Yazılım (C++ ve Ruby) kaynakları ile hipergeometrik dağılım hesaplayıcısı24 Şubat 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde .