Bu maddede bulunmasına karşın yetersizliği nedeniyle bazı bilgilerin hangi kaynaktan alındığı belirsizdir.Aralık 2020) () ( |
Küme, matematikte farklı nesnelerin topluluğu veya yığını olarak tanımlanmaktadır. Bu tanımdaki "nesne" soyut ya da somut bir şeydir. Fakat her ne olursa olsun iyi tanımlanmış olan bir şeyi, bir eşyayı ifade etmektedir. Örneğin, "Tüm canlılar topluluğu", "Dilimiz alfabesindeki harflerin topluluğu", "Masamın üzerindeki tüm kâğıtlar" tümcelerindeki nesnelerin anlaşılabilir, belirgin oldukları, kısaca iyi tanımlı oldukları açıkça ifade edilmektedir. Dolayısıyla bu tümcelerin her biri bir kümeyi tarif etmektedir. O halde, matematikte "İyi tanımlı nesnelerin topluluğuna küme denir." biçiminde bir tanımlama yapılmaktadır.
Tanımda geçen nesne sözcüğü aslında yeterince açıklık ifade eden bir sözcük değildir. Ama sezgisel olarak, kümeyi oluşturan nesnelerin iyice tanımlı olduklarını; yani belirgin, başka nesnelerden ayırt edilebilir şeyler olduklarını düşünüyoruz demektir. Bir bakıma, bir kümeyi oluşturan nesnelerin tek tek neler olduklarını düşünmekten çok, bir arada düşünebilir olmaları önemsenir.
Bir kümeyi oluşturan nesnelere o kümenin ögeleri veya elemanları adı verilir. Güneş, evrendeki yıldızlar kümesinin bir ögesidir. Bir kümenin ögesi olan nesne o kümenin içinde veya kümeye aittir. Küme tanımına göre bir öge ya kümenin içinde ya da içinde değildir.
Küme Kavramının Kökeni
Küme kavramının matematiğe Georg Cantor (1845-1918) ile girdiği kabul edilir. Georg Cantor kümeyi iyi tanımlanmış ve birbirinden farklı nesneler topluluğu olarak tanımlamaktadır.İyi tanımlanmış ile kastedilen, herkes tarafından aynı şekilde anlaşılan bir tanımdır.
Cantor'dan öncede, adına küme denilmese bile matematikçiler bu kavramı yer yer örtülü bir şekilde kullanırdı. Cantor, kümeler kuramının temellerine ilişkin kapsamlı soruları ortaya koydu. Bu gelişmeler, matematiğe ve özellikle formalist akıma 20. yüzyılın ilk yarısında katkı verdi.
Almanca küme kelimesi "Menge", Bernard Bolzano tarafından adlı çalışmasında ortaya atıldı.
Küme teorisinin kurucularından Georg Cantor, transfinit küme teorisi üzerine yazdığı Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre adlı çalışmasının başında şu tanımı verdi:
Bir küme, algı veya düşüncemizin belirli, ayırt edilebilir nesnelerinin bir araya toplanmasıdır — ve bu nesnelere kümenin elemanları denir.
Bertrand Russell, küme ve sınıf arasındaki ayrımı (bir küme bir sınıftır, ancak tüm kümelerin sınıfı gibi bazı sınıflar küme değildir; bkz. Russell paradoksu) tanıttı:
Matematikçiler bir manifold, aggregate, Menge, ensemble veya benzeri bir isimle uğraştıklarında, özellikle ilgili terimlerin sayısı sonlu olduğunda, ilgili nesneyi (ki aslında bir sınıftır) terimlerinin numaralandırılmasıyla tanımlanmış olarak kabul etmek ve bu durumda bir tek terimden oluşabileceği göz önünde bulundurulur, bu durumda o tek terim sınıftır.
Sezgisel kümeler kuramı
Bir kümenin en önemli özelliği, elemanlara sahip olabilmesidir; bu elemanlar aynı zamanda üyeler olarak da adlandırılır. İki küme, aynı elemanlara sahip olduklarında eşittir. Daha kesin bir ifadeyle, A ve B kümeleri, A'nın her elemanı B'nin bir elemanıysa ve B'nin her elemanı da A'nın bir elemanıysa eşittir; bu özellik kümelerin genişletilebilirliği olarak adlandırılır.
Basit bir küme kavramı matematikte son derece faydalı olmuştur, ancak setlerin nasıl oluşturulabileceği konusunda herhangi bir kısıtlama olmadığında paradokslar ortaya çıkar:
- Russell paradoksu, "kendilerini içermeyen tüm kümelerin kümesi"nin, yani {x | x bir küme ve x ∉ x}, var olamayacağını gösterir.
- Cantor paradoksu, "tüm kümelerin kümesi"nin var olamayacağını gösterir.
Sezgisel kümeler kuramı, bir kümenin farklı elemanların bir koleksiyonu olarak tanımlar, ancak "iyi tanımlanmış" teriminin belirsizliği nedeniyle sorunlar ortaya çıkar.
Aksiyomatik küme kuramı
Sezgisel küme teorisinin orijinal formülasyonundan bu yana, bu paradoksları çözmek için yapılan çabalarda, setlerin(küme) özellikleri aksiyomlarla tanımlanmıştır. , bir küme kavramını olarak ele alır. Aksiyomların amacı, birinci dereceden mantığı kullanarak setlerle ilgili belirli matematiksel önermelerin (ifadelerin) doğruluğunu veya yanlışlığını çıkarmak için temel bir çerçeve sağlamaktır. Ancak, Gödel'in eksiklik teoremlerine göre, kullanarak herhangi bir aksiyomatik küme teorisinin paradoks içermeyen olduğunu kanıtlamak mümkün değildir.
Kümeler nasıl tanımlanır ve küme gösterimi
Matematik metinlerinde, kümeler genellikle A, B, C gibi büyük harflerle italik olarak gösterilir. Bir küme, özellikle elemanları da set olan durumlarda, bir koleksiyon veya aile olarak da adlandırılabilir.
Sıralı gösterim
Sıralı veya numaralı gösterim, bir kümenin elemanlarını süslü parantezler arasında virgülle ayrılarak listelemek suretiyle bir küme tanımlar:
Bir kümede, önemli olan her elemanın içinde olup olmadığıdır, bu nedenle sıralı gösterimde elemanların sıralaması önemsizdir (buna karşılık, bir dizide, demette veya bir kümenin permütasyonunda, terimlerin sıralaması önemlidir). Örneğin, {2, 4, 6} ve {7, 4, 8, 6}aynı kümeyi temsil eder.
Çok sayıda elemana sahip olan setler, özellikle örtük bir desene uyanlar, üyelerin listesi '...' işareti kullanılarak kısaltılabilir. Örneğin, ilk bin pozitif tam sayı kümesi, sıralı gösterimde aşağıdaki gibi belirtilebilir:
{1, 2, 3, 4 ... 1000}
Sonsuz kümelerin sıralı gösterimi
, sonsuz bir eleman listesine sahip olan bir kümedir. Sonsuz bir seti sıralı gösterimde tanımlamak için, listeyin sonuna veya her iki ucuna da noktalama işareti konur ve bu şekilde liste sonsuz bir şekilde devam ettiği ifade edilir. Örneğin, pozitif olmayan tam sayıların kümesi aşağıdaki gibi sıralı gösterimde tanımlanabilir:
{0, 1, 2, 3, 4 ...}
ve tüm tamsayıların kümesi ise:
{... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 ...}
Anlamsal tanım
Bir küme tanımlamanın başka bir yolu, elemanların neler olduğunu belirlemek için bir kural kullanmaktır:
Bu tür bir tanım, bir anlamsal açıklama olarak adlandırılır.
Küme oluşturucu(set-builder) gösterimi
Set-builder gösterimi, elemanlar üzerindeki bir koşula dayalı olarak daha büyük bir kümeden bir seçimi belirtir. Örneğin, F kümesi aşağıdaki gibi tanımlanabilir:
Bir F kümesi, şu şekilde tanımlanabilir:
Bu gösterimde, dikey çizgi "|" "şunu ki" anlamına gelir ve tanım, "F, n'nin 0 ile 19 (dahil) arasında bir tamsayı olduğu tüm n sayılarının kümesidir" şeklinde yorumlanabilir. Bazı yazarlar dikey çizgi yerine iki nokta üst üste ":" kullanır.
Tanımlama yöntemlerinin sınıflandırılması
Felsefe, tanım türlerini sınıflandırmak için belirli terimler kullanır:
- Bir , üyeliği belirlemek için bir kural kullanır. Anlamsal tanımlar ve set-builder gösterimi kullanan tanımlar buna örnek verilebilir.
- Bir , bir küme hakkında tüm elemanlarını listeleyerek tanımlar. Bu tür tanımlar aynı zamanda sayım(enumerative) niteliğindedir.
- Bir , bir küme hakkında örnekler vererek tanımlar; noktalama işaretleri içeren bir liste bunun bir örneğidir.
Elemanı olma
Eğer B bir küme ve x B'nin bir elemanı ise, bu kısaltma şeklinde x ∈ B olarak yazılır ve aynı zamanda "x B'ye aittir" veya "x B'de bulunur" şeklinde okunabilir. "y B'nin bir elemanı değildir" ifadesi y ∉ B şeklinde yazılır ve aynı zamanda "y B'de değil" şeklinde okunabilir.
Örneğin,, ve kümelere göre,
4 ∈ A ve 12 ∈ F; 20 ∉ F ve yeşil∉ B.
Boş Küme
Hiçbir elemanı olmayan kümeye boş küme (veya null kümesi) denir ve hiçbir elemana sahip olmayan tek kümedir. Boş küme ∅, , ϕ, veya ϕ sembolleri ile gösterilir.
Önemli Not: kümesi, boş küme ifade etmemektedir. Bu küme bir elemana sahiptir.
Birim(singleton) kümeler
Bir birim kümesi, tam olarak bir elemana sahip olan bir kümedir. Bu tür bir küme {x} şeklinde yazılabilir, burada x elemandır. {x} kümesi ve x elemanı farklı anlamlara gelir; Halmos, bir şapka içeren bir kutunun şapkayla aynı olmadığı benzetmesini çizer.
Alt kümeler
Eğer kümenin A her elemanı aynı zamanda B kümesinde yer alıyorsa, A kümesi B'nin bir alt kümesi veya B içinde yer alan bir küme olarak tanımlanır. Bu durumu ifade etmek için A ⊆ B veya B ⊇ A şeklinde yazılır. İkinci gösterim B A'yı içerir şeklinde okunabilir. ⊆ tarafından sağlanan kümeler arası ilişkiye dahil etme veya içermeyi denir. İki küme birbirlerini içerdiklerinde eşittirler: A ⊆ B ve B ⊆ A, A = B ile eşdeğerdir.
Eğer A, B'nin bir alt kümesi ise ancak A, B'ye eşit değilse, A B'nin bir gerçek alt kümesi olarak adlandırılır. Bu durum A ⊊ B şeklinde yazılabilir. Benzer şekilde, B ⊋ A B'nin bir gerçek üst kümesi anlamına gelir, yani B A'yı içerir ve A'ya eşit değildir.
Üçüncü çift ⊂ ve ⊃ operatörleri farklı yazarlar tarafından farklı şekillerde kullanılır: bazı yazarlar A ⊂ B ve B ⊃ A ifadesini A'nın B'nin herhangi bir alt kümesini temsil etmek için kullanırken, diğerleri A'nın yalnızca gerçek bir alt kümesi olduğu durumlar için A ⊂ B ve B ⊃ A kullanır.
Örnekler:
- Tüm insanlar kümesi, tüm memeliler kümesinin uygun bir alt kümesidir.
- {1, 3} ⊂ {1, 2, 3, 4}.
- {1, 2, 3, 4} ⊆ {1, 2, 3, 4}.
Boş küme, her kümenin bir alt kümesidir ve her küme kendisinin bir alt kümesidir:
- ∅ ⊆ A.
- A ⊆ A.
Euler ve Venn diyagramları
Bir , bir küme koleksiyonunun grafiksel bir temsilidir; her bir küme, içindeki elemanlarıyla birlikte bir döngü tarafından çevrili bir düzlem bölgesi olarak gösterilir. Eğer A, B'nin bir alt kümesi ise, A'yı temsil eden bölge, B'yi temsil eden bölgenin tamamen içinde yer alır. İki kümenin ortak elemanı yoksa, bölgeler birbirleriyle örtüşmez.
Buna karşılık, bir Venn diyagramı, n kümenin grafiksel bir temsilidir ve n döngü düzlemi, seçilen n kümenin her biri için (belki hepsi veya hiçbiri), seçilen kümelere ait olan ve diğerlerine ait olmayan elemanlar için bir bölge olacak şekilde düzlemi 2n bölgeye böler. Örneğin, küme A, B ve C ise, A ve C içinde bulunan ve B'nin dışında olan elemanlar için bir bölge olmalıdır (böyle elemanlar olmasa bile).
Küme Kavramları
- Eğer a elemanı A kümesine aitse bu ifade olarak; ait değilse biçiminde göstermektedir.
- A kümesinin eleman sayısı belirtilirken s(A) veya m(A) ifadesi kullanılmaktadır.
- A ile B'nin kesişimi şeklinde gösterilmektedir.
- A ile B'nin birleşimi şeklinde gösterilmektedir.
- A'nın B'den farkı , B'nin A'dan farkı olarak gösterilmektedir.
- Eğer A kümesinin elemanlarının aynısı B kümesinde de varsa (A,B'nin alt kümesidir.) veya (B, A'yı kapsar.) ifadesi kullanılmaktadır. Eğer yoksa sembollerin üstüne bir çizik atılmaktadır.
- Hiçbir ögesi bulunmayan kümeye boş küme denir. Boş küme, ya da şeklinde gösterilmektedir. Boş küme, bütün kümelerin alt kümesidir.
- Bütün kümeleri kapsayan kümeye evrensel küme denir. Evrensel küme şeklinde gösterilir.
- Eğer ise A, B kümesine denktir. Eğer A ve B kümelerinin elemanları aynıysa , hiçbir elemanları aynı değilse ayrık küme olurlar.
- kümesinde A'dan ayrık olan elemanlar gösterilirken, bu elemanlar A'nın tümleyeni kümesinde toplanır. A'nın üstünde bir virgül veya kısa çizgi olarak gösterilir.
Kümelerin Gösterimi
Kümenin elemanları aşağıdaki 3 yolla gösterilebilir.
- Liste Yöntemi: Kümenin elemanları sembolü içine, her bir elemanın arasına virgül konularak yazılır. Örneğin, ise, tür.
- Ortak özelik yöntemi: Kümenin elemanlarını, daha somut ya da daha kolay algılanır biçimde gerektiğinde sözel, gerektiğinde matematiksel bir ifade olarak ortaya koyma biçimidir. Burada "" ifadesi "öyle x'lerden oluşur ki" diye okunur. Bu ifade biçiminde de yazılmaktadır.
- Şema Yöntemi: Küme, kapalı bir eğri içinde her eleman bir nokta ile gösterilip noktanın yanına elemanın adı yazılarak (sol üstteki resim) gösterilir. Bu gösterime Venn şeması ile gösterimi denir.
Kullanılan Simgeler
Simge | Simgenin açıklaması | Simge | Simgenin açıklaması |
---|---|---|---|
∈ | Elemanıdır | ∪ | Birleşim |
∉ | Elemanı değildir | ∩ | Kesişim |
∋ | Eleman olarak kapsar | ⊎ | Birden fazla küme bileşenleri |
⊂ | Alt kümesi | ∅ | Boş küme |
⊃ | Üst kümesi | ≇ | Ne yaklaşık ne de fiili olarak |
⊆ | Alt küme veya eşit | ≤ | Küçük veya eşit |
⊇ | Üst küme veya eşit | ≥ | Büyük veya eşit |
≠ | Eşit değil | ≮ | Küçük değil |
< | Küçüktür | ≰ | Küçük veya eşit değil |
> | Büyüktür | ≱ | Büyük veya eşit değil |
≡ | Denktir | ≢ | Denk değil |
≈ | Hemen hemen eşit | ≅ | Yaklaşık olarak eşit |
∼ | Benzer | ⋚ | Küçük eşit veya büyük |
≫ | Çok daha büyük | ≪ | Çok daha küçük |
= | Eşit | ≠ | Eşit değil |
Eşit Küme ve Denk Küme
Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir. Eleman sayıları eşit olan kümelere denk kümeler denir.
- A kümesi B kümesine eşit ise biçiminde gösterilir.
- C kümesi D kümesine denk ise biçiminde gösterilir.
Önemli Not: Eşit olan kümeler aynı zamanda denktir. Fakat denk kümeler eşit olmayabilir.
Özel Sayı Kümeleri
Matematikçilerin o kadar sık atıfta bulundukları matematiksel öneme sahip kümeler vardır ki, onları tanımlamak için özel isimler ve notasyon kuralları edinmişlerdir. Bu önemli kümeler, matematik metinlerinde kalın (örneğin ) veya tahta kalın () yazı karakteriyle temsil edilir. Bunlar şunları içerir:
- veya , doğal sayılar kümesi: (bazı matematikçiler 0'ı dahil etmemektedir.)
- veya , tam sayılar kümesi (negatif tam sayılar, pozitif tam sayılar ve 0 dahil):
- veya , rasyonel sayılar kümesi (tam sayılar ve kesirli ifadeler dahil): . Örneğin, ve
- veya , reel sayılar kümesi: [rasyonel sayılar kümesi ve irrasyonel sayılar kümesi ( gibi kesirli ifade biçiminde yazılamayan cebirsel sayıların yanı sıra ve gibi sayılar) dahil]
- veya , karmaşık sayılar kümesi: . Örneğin, .
Yukarıda yer alan sayı kümelerinin her biri sonsuz sayıda elemana sahiptir. Her biri bulunduğu satırın altında yer alan kümelerin bir alt kümesidir.
Pozitif veya negatif sayı kümeleri, küme sembolünün üzerine veya sembolü konularak ifade edilmektedir. Örneğin; pozitif tam sayılar kümesi , negatif tam sayılar kümesi biçiminde ifade edilmektedir.
Fonksiyonlar
Bir A kümesinden B kümesine olan bir fonksiyon (veya eşleme), her bir A kümesi elemanına B kümesinden bir "çıktı" atayan bir kuraldır; daha formel olarak, bir fonksiyon, A kümesinin her elemanını tam olarak bir B kümesi elemanına bağlayan özel bir . Bir fonksiyon şu şekillerde adlandırılır:
- İnjektif Birebir (veya tekil) ise, A kümesinin her iki farklı elemanını farklı B elemanlarına eşler.
- Örten (veya üzerine) ise, her B elemanı için en az bir A elemanı ona eşlenir.
- Bİrebir Örten (veya bir-bir karşılıklı) ise, fonksiyon hem injektif hem de sürjektif olup her A elemanı benzersiz bir B elemanıyla eşlenir ve her B elemanı da benzersiz bir A elemanıyla eşlenir, böylece eşlenmemiş elemanlar bulunmaz.
İnjektif bir fonksiyon enjeksiyon, sürjektif bir fonksiyon sürjeksiyon ve bijektif bir fonksiyon bire-bir karşılıklı veya bijeksiyon olarak adlandırılır.
Sayallık (kardinalite)
Bir kümenin cardinality (kardinalite) değeri, o kümenin eleman sayısıdır. Örneğin, B = {mavi, beyaz, kırmızı} kümesi için |B| = 3'dür. Kümelendirmede tekrar eden elemanlar sayılmaz, bu nedenle B = {mavi, beyaz, kırmızı, mavi, beyaz} kümesi için de |B| = 3'tür.
Daha kesin bir ifadeyle, iki küme aynı kardinaliteye sahipse, aralarında bire-bir'e ilişkilendirme sağlayan bir fonksiyon bulunur.
Boş kümenin kardinalite değeri sıfırdır.
Sonsuz kümeler ve sonsuz kardinalite
Bazı kümelerin elemanları sayılamazdır veya . Örneğin, doğal sayıların kümesi N sonsuzdur. Aslında, yukarıdaki bölümde bahsedilen tüm özel sayı kümeleri sonsuzdur. Sonsuz kümelerin kardinalite değeri sonsuzdur.
Bazı sonsuz kardinaliteler diğerlerinden daha büyüktür. Küme teorisi açısından en önemli sonuçlardan biri, gerçel sayıların kümesinin doğal sayıların kümesinden daha büyük kardinaliteye sahip olmasıdır. N'ye eşit veya daha küçük kardinalite değerine sahip kümeler "sayılabilir kümeler" olarak adlandırılır. Bunlar ya sonlu kümelerdir ya da N ile aynı kardinaliteye sahip "sayılabilir sonsuz kümelerdir". Bazı yazarlar "sayılabilir" terimini "sayılabilir sonsuz" anlamında kullanır. N'den daha büyük kardinalite değerine sahip kümeler "sayılabilir olmayan kümeler" olarak adlandırılır.
Ancak, bir doğru üzerindeki noktaların kardinalite değeri (yani bir doğru üzerindeki nokta sayısı), o doğrunun bir segmentinin, tüm düzlemin ve hatta herhangi bir sonlu boyutlu Öklidyen uzayın kardinalite değeriyle aynıdır.
Süreklilik hipotezi
Georg Cantor tarafından 1878 yılında formüle edilen süreklilik hipotezi, değeriyle bir doğruyun kardinalite değeri arasında bir kümenin olmadığını ifade eder. 1963 yılında , süreklilik hipotezinin, Zermelo-Fraenkel küme teorisiyle (seçim aksiyomunu içeren) ZFC aksiyom sistemi içinde bağımsız olduğunu kanıtlamıştır.(ZFC, aksiyomatik küme teorisinin en yaygın olarak incelenen versiyonudur.)
Evrensel Küme
Üzerinde işlem yapılan, bütün kümeleri kapsayan kümeye evrensel küme denir. Evrensel küme genellikle ile gösterilmektedir. Yabancı kaynaklarda çoğunlukla ile gösterilmektedir.
Ayrıca Bakınız
Kaynakça
- ^ Dauben, Joseph W. (1979). Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite. Boston: Harvard University Press. ISBN .
- ^ José Ferreirós (16 Ağustos 2007). Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics. Birkhäuser Basel. ISBN .
- ^ Steve Russ (9 Aralık 2004). The Mathematical Works of Bernard Bolzano. OUP Oxford. ISBN .
- ^ William Ewald; William Bragg Ewald (1996). From Kant to Hilbert Volume 1: A Source Book in the Foundations of Mathematics. OUP Oxford. s. 249. ISBN .
- ^ Paul Rusnock; Jan Sebestík (25 Nisan 2019). Bernard Bolzano: His Life and Work. OUP Oxford. s. 430. ISBN .
- ^ Bertrand Russell (1903) , chapter VI: Classes
- ^ a b Halmos 1960, s. 2.
- ^ Jose Ferreiros (1 Kasım 2001). Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN .
- ^ Seymor Lipschutz; Marc Lipson (22 Haziran 1997). Schaum's Outline of Discrete Mathematics. McGraw Hill Professional. s. 1. ISBN .
- ^ Halmos 1960, s. 1.
- ^ . www.mathsisfun.com. 16 Temmuz 2006 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 19 Ağustos 2020.
- ^ Charles Roberts (24 Haziran 2009). Introduction to Mathematical Proofs: A Transition. CRC Press. s. 45. ISBN .
- ^ David Johnson; David B. Johnson; Thomas A. Mowry (June 2004). Finite Mathematics: Practical Applications (Docutech Version). W. H. Freeman. s. 220. ISBN .
- ^ Ignacio Bello; Anton Kaul; Jack R. Britton (29 Ocak 2013). Topics in Contemporary Mathematics. Cengage Learning. s. 47. ISBN .
- ^ Susanna S. Epp (4 Ağustos 2010). Discrete Mathematics with Applications. Cengage Learning. s. 13. ISBN .
- ^ Alfred Basta; Stephan DeLong; Nadine Basta (1 Ocak 2013). Mathematics for Information Technology. Cengage Learning. s. 3. ISBN .
- ^ Laura Bracken; Ed Miller (15 Şubat 2013). Elementary Algebra. Cengage Learning. s. 36. ISBN .
- ^ Halmos 1960, s. 4.
- ^ a b c Frank Ruda (6 Ekim 2011). Hegel's Rabble: An Investigation into Hegel's Philosophy of Right. Bloomsbury Publishing. s. 151. ISBN .
- ^ a b c John F. Lucas (1990). Introduction to Abstract Mathematics. Rowman & Littlefield. s. 108. ISBN .
- ^ Weisstein, Eric W. . mathworld.wolfram.com (İngilizce). 1 Mart 2000 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 19 Ağustos 2020.
- ^ Ralph C. Steinlage (1987). College Algebra. West Publishing Company. ISBN .
- ^ a b Marek Capinski; Peter E. Kopp (2004). Measure, Integral and Probability. Springer Science & Business Media. s. 2. ISBN .
- ^ . www.mathsisfun.com. 4 Ocak 2015 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 19 Ağustos 2020.
- ^ Stoll, Robert (1974). Sets, Logic and Axiomatic Theories. W. H. Freeman and Company. ss. 5. ISBN .
- ^ Halmos 1960, Sect.2.
- ^ Felix Hausdorff (2005). Set Theory. American Mathematical Soc. s. 30. ISBN .
- ^ Peter Comninos (6 Nisan 2010). Mathematical and Computer Programming Techniques for Computer Graphics. Springer Science & Business Media. s. 7. ISBN .
- ^ a b Halmos 1960, s. 3.
- ^ Halmos 1960, s. 8.
- ^ George Tourlakis (13 Şubat 2003). Lectures in Logic and Set Theory: Volume 2, Set Theory Cambridge University Press. s. 137. ISBN 978-1-139-43943-5.
- ^ a b c d e George Tourlakis (13 February 2003). Lectures in Logic and Set Theory: Volume 2, Set Theory 27 Nisan 2021 tarihinde Wayback Machine sitesinde .. Cambridge University Press. p. 137. ISBN 978-1-139-43943-5.
- ^ Yiannis N. Moschovakis (1994). Notes on Set Theory. Springer Science & Business Media. ISBN .
- ^ Arthur Charles Fleck (2001). Formal Models of Computation: The Ultimate Limits of Computing. World Scientific. s. 3. ISBN .
- ^ William Johnston (25 Eylül 2015). The Lebesgue Integral for Undergraduates. The Mathematical Association of America. s. 7. ISBN .
- ^ Karl J. Smith (7 Ocak 2008). Mathematics: Its Power and Utility. Cengage Learning. s. 401. ISBN .
- ^ John Stillwell (16 Ekim 2013). The Real Numbers: An Introduction to Set Theory and Analysis. Springer Science & Business Media. ISBN .
- ^ David Tall (11 Nisan 2006). Advanced Mathematical Thinking. Springer Science & Business Media. s. 211. ISBN .
- ^ Cantor, Georg (1878). "Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre". . 1878 (84): 242-258. doi:10.1515/crll.1878.84.242. 5 Şubat 2021 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 9 Haziran 2023.
- ^ Cohen, Paul J. (15 Aralık 1963). "The Independence of the Continuum Hypothesis". Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 50 (6): 1143-1148. Bibcode:1963PNAS...50.1143C. doi:10.1073/pnas.50.6.1143 . JSTOR 71858. (PMC) 221287 $2. (PMID) 16578557.
- ^ Stoll, Robert R. (1979). Set Theory and Logic. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN .
- Halmos, Paul R. (1960). Naive Set Theory. Princeton, N.J.: Van Nostrand. ISBN .
wikipedia, wiki, viki, vikipedia, oku, kitap, kütüphane, kütübhane, ara, ara bul, bul, herşey, ne arasanız burada,hikayeler, makale, kitaplar, öğren, wiki, bilgi, tarih, yukle, izle, telefon için, turk, türk, türkçe, turkce, nasıl yapılır, ne demek, nasıl, yapmak, yapılır, indir, ücretsiz, ücretsiz indir, bedava, bedava indir, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, resim, müzik, şarkı, film, film, oyun, oyunlar, mobil, cep telefonu, telefon, android, ios, apple, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, pc, web, computer, bilgisayar
Bu maddede kaynak listesi bulunmasina karsin metin ici kaynaklarin yetersizligi nedeniyle bazi bilgilerin hangi kaynaktan alindigi belirsizdir Lutfen kaynaklari uygun bicimde metin icine yerlestirerek maddenin gelistirilmesine yardimci olun Aralik 2020 Bu sablonun nasil ve ne zaman kaldirilmasi gerektigini ogrenin Kume matematikte farkli nesnelerin toplulugu veya yigini olarak tanimlanmaktadir Bu tanimdaki nesne soyut ya da somut bir seydir Fakat her ne olursa olsun iyi tanimlanmis olan bir seyi bir esyayi ifade etmektedir Ornegin Tum canlilar toplulugu Dilimiz alfabesindeki harflerin toplulugu Masamin uzerindeki tum kagitlar tumcelerindeki nesnelerin anlasilabilir belirgin olduklari kisaca iyi tanimli olduklari acikca ifade edilmektedir Dolayisiyla bu tumcelerin her biri bir kumeyi tarif etmektedir O halde matematikte Iyi tanimli nesnelerin topluluguna kume denir biciminde bir tanimlama yapilmaktadir Tanimda gecen nesne sozcugu aslinda yeterince aciklik ifade eden bir sozcuk degildir Ama sezgisel olarak kumeyi olusturan nesnelerin iyice tanimli olduklarini yani belirgin baska nesnelerden ayirt edilebilir seyler olduklarini dusunuyoruz demektir Bir bakima bir kumeyi olusturan nesnelerin tek tek neler olduklarini dusunmekten cok bir arada dusunebilir olmalari onemsenir Bir kumeyi olusturan nesnelere o kumenin ogeleri veya elemanlari adi verilir Gunes evrendeki yildizlar kumesinin bir ogesidir Bir kumenin ogesi olan nesne o kumenin icinde veya kumeye aittir Kume tanimina gore bir oge ya kumenin icinde ya da icinde degildir Iki kumenin kesisimi her iki kumede bulunan ortak ogelerden olusur Venn diyagraminda gosterimi Kume Kavraminin KokeniGeorg Cantor kume teorisinin kurucularindan biri olarak Beitrage zur Begrundung der transfiniten Mengenlehre adli eserinin basinda su tanimi vermistir Bir kume algimizin veya dusuncemizin belirli ayrik nesnelerini bir araya getirme ki bunlara kumenin elemanlari denir islemidir Bu ceviride Almancada Menge kelimesi kume aggregate olarak cevrilmistir Kume kavraminin matematige Georg Cantor 1845 1918 ile girdigi kabul edilir Georg Cantor kumeyi iyi tanimlanmis ve birbirinden farkli nesneler toplulugu olarak tanimlamaktadir Iyi tanimlanmis ile kastedilen herkes tarafindan ayni sekilde anlasilan bir tanimdir Cantor dan oncede adina kume denilmese bile matematikciler bu kavrami yer yer ortulu bir sekilde kullanirdi Cantor kumeler kuraminin temellerine iliskin kapsamli sorulari ortaya koydu Bu gelismeler matematige ve ozellikle formalist akima 20 yuzyilin ilk yarisinda katki verdi Almanca kume kelimesi Menge Bernard Bolzano tarafindan adli calismasinda ortaya atildi Kume teorisinin kurucularindan Georg Cantor transfinit kume teorisi uzerine yazdigi Beitrage zur Begrundung der transfiniten Mengenlehre adli calismasinin basinda su tanimi verdi Bir kume algi veya dusuncemizin belirli ayirt edilebilir nesnelerinin bir araya toplanmasidir ve bu nesnelere kumenin elemanlari denir Bertrand Russell kume ve sinif arasindaki ayrimi bir kume bir siniftir ancak tum kumelerin sinifi gibi bazi siniflar kume degildir bkz Russell paradoksu tanitti Matematikciler bir manifold aggregate Menge ensemble veya benzeri bir isimle ugrastiklarinda ozellikle ilgili terimlerin sayisi sonlu oldugunda ilgili nesneyi ki aslinda bir siniftir terimlerinin numaralandirilmasiyla tanimlanmis olarak kabul etmek ve bu durumda bir tek terimden olusabilecegi goz onunde bulundurulur bu durumda o tek terim siniftir Sezgisel kumeler kurami Bir kumenin en onemli ozelligi elemanlara sahip olabilmesidir bu elemanlar ayni zamanda uyeler olarak da adlandirilir Iki kume ayni elemanlara sahip olduklarinda esittir Daha kesin bir ifadeyle A ve B kumeleri A nin her elemani B nin bir elemaniysa ve B nin her elemani da A nin bir elemaniysa esittir bu ozellik kumelerin genisletilebilirligi olarak adlandirilir Basit bir kume kavrami matematikte son derece faydali olmustur ancak setlerin nasil olusturulabilecegi konusunda herhangi bir kisitlama olmadiginda paradokslar ortaya cikar Russell paradoksu kendilerini icermeyen tum kumelerin kumesi nin yani x x bir kume ve x x var olamayacagini gosterir Cantor paradoksu tum kumelerin kumesi nin var olamayacagini gosterir Sezgisel kumeler kurami bir kumenin farkli elemanlarin bir koleksiyonu olarak tanimlar ancak iyi tanimlanmis teriminin belirsizligi nedeniyle sorunlar ortaya cikar Aksiyomatik kume kurami Sezgisel kume teorisinin orijinal formulasyonundan bu yana bu paradokslari cozmek icin yapilan cabalarda setlerin kume ozellikleri aksiyomlarla tanimlanmistir bir kume kavramini olarak ele alir Aksiyomlarin amaci birinci dereceden mantigi kullanarak setlerle ilgili belirli matematiksel onermelerin ifadelerin dogrulugunu veya yanlisligini cikarmak icin temel bir cerceve saglamaktir Ancak Godel in eksiklik teoremlerine gore kullanarak herhangi bir aksiyomatik kume teorisinin paradoks icermeyen oldugunu kanitlamak mumkun degildir Kumeler nasil tanimlanir ve kume gosterimiMatematik metinlerinde kumeler genellikle A B C gibi buyuk harflerle italik olarak gosterilir Bir kume ozellikle elemanlari da set olan durumlarda bir koleksiyon veya aile olarak da adlandirilabilir Sirali gosterim Sirali veya numarali gosterim bir kumenin elemanlarini suslu parantezler arasinda virgulle ayrilarak listelemek suretiyle bir kume tanimlar A 1 2 3 4 displaystyle mathrm A 1 2 3 4 B al ak kara boz displaystyle B al ak kara boz Bir kumede onemli olan her elemanin icinde olup olmadigidir bu nedenle sirali gosterimde elemanlarin siralamasi onemsizdir buna karsilik bir dizide demette veya bir kumenin permutasyonunda terimlerin siralamasi onemlidir Ornegin 2 4 6 ve 7 4 8 6 ayni kumeyi temsil eder Cok sayida elemana sahip olan setler ozellikle ortuk bir desene uyanlar uyelerin listesi isareti kullanilarak kisaltilabilir Ornegin ilk bin pozitif tam sayi kumesi sirali gosterimde asagidaki gibi belirtilebilir 1 2 3 4 1000 Sonsuz kumelerin sirali gosterimi sonsuz bir eleman listesine sahip olan bir kumedir Sonsuz bir seti sirali gosterimde tanimlamak icin listeyin sonuna veya her iki ucuna da noktalama isareti konur ve bu sekilde liste sonsuz bir sekilde devam ettigi ifade edilir Ornegin pozitif olmayan tam sayilarin kumesi asagidaki gibi sirali gosterimde tanimlanabilir 0 1 2 3 4 ve tum tamsayilarin kumesi ise 3 2 1 0 1 2 3 4 Anlamsal tanim Bir kume tanimlamanin baska bir yolu elemanlarin neler oldugunu belirlemek icin bir kural kullanmaktir A uyeleri ilk dort pozitif tamsayi olan bir kume olsun B Fransiz bayraginin renklerinin kumesi olsun Bu tur bir tanim bir anlamsal aciklama olarak adlandirilir Kume olusturucu set builder gosterimi Set builder gosterimi elemanlar uzerindeki bir kosula dayali olarak daha buyuk bir kumeden bir secimi belirtir Ornegin F kumesi asagidaki gibi tanimlanabilir Bir F kumesi su sekilde tanimlanabilir F n n bir tam sayi ve 0 n 19 displaystyle F n mid n text bir tam sayi ve 0 leq n leq 19 Bu gosterimde dikey cizgi sunu ki anlamina gelir ve tanim F n nin 0 ile 19 dahil arasinda bir tamsayi oldugu tum n sayilarinin kumesidir seklinde yorumlanabilir Bazi yazarlar dikey cizgi yerine iki nokta ust uste kullanir Tanimlama yontemlerinin siniflandirilmasi Felsefe tanim turlerini siniflandirmak icin belirli terimler kullanir Bir uyeligi belirlemek icin bir kural kullanir Anlamsal tanimlar ve set builder gosterimi kullanan tanimlar buna ornek verilebilir Bir bir kume hakkinda tum elemanlarini listeleyerek tanimlar Bu tur tanimlar ayni zamanda sayim enumerative niteligindedir Bir bir kume hakkinda ornekler vererek tanimlar noktalama isaretleri iceren bir liste bunun bir ornegidir Elemani olmaEger B bir kume ve x B nin bir elemani ise bu kisaltma seklinde x B olarak yazilir ve ayni zamanda x B ye aittir veya x B de bulunur seklinde okunabilir y B nin bir elemani degildir ifadesi y B seklinde yazilir ve ayni zamanda y B de degil seklinde okunabilir Ornegin A 1 2 3 4 displaystyle mathrm A 1 2 3 4 B mavi beyaz kirmizi displaystyle B mavi beyaz kirmizi ve F n n bir tam sayi ve 0 n 19 displaystyle F n mid n text bir tam sayi ve 0 leq n leq 19 kumelere gore 4 A ve 12 F 20 F ve yesil B Bos KumeHicbir elemani olmayan kumeye bos kume veya null kumesi denir ve hicbir elemana sahip olmayan tek kumedir Bos kume displaystyle emptyset ϕ displaystyle displaystyle veya ϕ sembolleri ile gosterilir Onemli Not displaystyle emptyset kumesi bos kume ifade etmemektedir Bu kume bir elemana sahiptir Birim singleton kumelerBir birim kumesi tam olarak bir elemana sahip olan bir kumedir Bu tur bir kume x seklinde yazilabilir burada x elemandir x kumesi ve x elemani farkli anlamlara gelir Halmos bir sapka iceren bir kutunun sapkayla ayni olmadigi benzetmesini cizer Alt kumelerEger kumenin A her elemani ayni zamanda B kumesinde yer aliyorsa A kumesi B nin bir alt kumesi veya B icinde yer alan bir kume olarak tanimlanir Bu durumu ifade etmek icin A B veya B A seklinde yazilir Ikinci gosterim B A yi icerir seklinde okunabilir tarafindan saglanan kumeler arasi iliskiye dahil etme veya icermeyi denir Iki kume birbirlerini icerdiklerinde esittirler A B ve B A A B ile esdegerdir Eger A B nin bir alt kumesi ise ancak A B ye esit degilse A B nin bir gercek alt kumesi olarak adlandirilir Bu durum A B seklinde yazilabilir Benzer sekilde B A B nin bir gercek ust kumesi anlamina gelir yani B A yi icerir ve A ya esit degildir Ucuncu cift ve operatorleri farkli yazarlar tarafindan farkli sekillerde kullanilir bazi yazarlar A B ve B A ifadesini A nin B nin herhangi bir alt kumesini temsil etmek icin kullanirken digerleri A nin yalnizca gercek bir alt kumesi oldugu durumlar icin A B ve B A kullanir Ornekler Tum insanlar kumesi tum memeliler kumesinin uygun bir alt kumesidir 1 3 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 Bos kume her kumenin bir alt kumesidir ve her kume kendisinin bir alt kumesidir A A A Euler ve Venn diyagramlariA B nin bir alt kumesidir B A nin bir ust kumesidir Bir bir kume koleksiyonunun grafiksel bir temsilidir her bir kume icindeki elemanlariyla birlikte bir dongu tarafindan cevrili bir duzlem bolgesi olarak gosterilir Eger A B nin bir alt kumesi ise A yi temsil eden bolge B yi temsil eden bolgenin tamamen icinde yer alir Iki kumenin ortak elemani yoksa bolgeler birbirleriyle ortusmez Buna karsilik bir Venn diyagrami n kumenin grafiksel bir temsilidir ve n dongu duzlemi secilen n kumenin her biri icin belki hepsi veya hicbiri secilen kumelere ait olan ve digerlerine ait olmayan elemanlar icin bir bolge olacak sekilde duzlemi 2n bolgeye boler Ornegin kume A B ve C ise A ve C icinde bulunan ve B nin disinda olan elemanlar icin bir bolge olmalidir boyle elemanlar olmasa bile Kume KavramlariEger a elemani A kumesine aitse bu ifade a A displaystyle a in A olarak ait degilse a A displaystyle a not in A biciminde gostermektedir A kumesinin eleman sayisi belirtilirken s A veya m A ifadesi kullanilmaktadir A ile B nin kesisimi A B displaystyle A cap B seklinde gosterilmektedir A ile B nin birlesimi A B displaystyle A cup B seklinde gosterilmektedir A nin B den farki A B displaystyle A B B nin A dan farki B A displaystyle B A olarak gosterilmektedir Eger A kumesinin elemanlarinin aynisi B kumesinde de varsa A B displaystyle A subseteq B A B nin alt kumesidir veya B A displaystyle B supseteq A B A yi kapsar ifadesi kullanilmaktadir Eger yoksa sembollerin ustune bir cizik atilmaktadir Hicbir ogesi bulunmayan kumeye bos kume denir Bos kume displaystyle displaystyle ya da displaystyle emptyset seklinde gosterilmektedir Bos kume butun kumelerin alt kumesidir Butun kumeleri kapsayan kumeye evrensel kume denir Evrensel kume E displaystyle mathrm E seklinde gosterilir Eger s A s B displaystyle s A equiv s B ise A B kumesine denktir Eger A ve B kumelerinin elemanlari ayniysa A B displaystyle A B hicbir elemanlari ayni degilse ayrik kume A B displaystyle A neq B olurlar E displaystyle mathrm E kumesinde A dan ayrik olan elemanlar gosterilirken bu elemanlar A nin tumleyeni A A displaystyle A A kumesinde toplanir A nin ustunde bir virgul veya kisa cizgi olarak gosterilir Kumelerin GosterimiVenn Semasi Ornegi Kumenin elemanlari asagidaki 3 yolla gosterilebilir Liste Yontemi Kumenin elemanlari displaystyle displaystyle sembolu icine her bir elemanin arasina virgul konularak yazilir Ornegin A a b a b c displaystyle A a b a b c ise s A 3 displaystyle s A 3 tur Ortak ozelik yontemi Kumenin elemanlarini daha somut ya da daha kolay algilanir bicimde gerektiginde sozel gerektiginde matematiksel bir ifade olarak ortaya koyma bicimidir A x displaystyle A x Burada x displaystyle x ifadesi oyle x lerden olusur ki diye okunur Bu ifade x displaystyle x biciminde de yazilmaktadir Sema Yontemi Kume kapali bir egri icinde her eleman bir nokta ile gosterilip noktanin yanina elemanin adi yazilarak sol ustteki resim gosterilir Bu gosterime Venn semasi ile gosterimi denir Kullanilan SimgelerSimge Simgenin aciklamasi Simge Simgenin aciklamasi Elemanidir Birlesim Elemani degildir Kesisim Eleman olarak kapsar Birden fazla kume bilesenleri Alt kumesi Bos kume Ust kumesi Ne yaklasik ne de fiili olarak Alt kume veya esit Kucuk veya esit Ust kume veya esit Buyuk veya esit Esit degil Kucuk degil lt Kucuktur Kucuk veya esit degil gt Buyuktur Buyuk veya esit degil Denktir Denk degil Hemen hemen esit Yaklasik olarak esit Benzer Kucuk esit veya buyuk Cok daha buyuk Cok daha kucuk Esit Esit degilEsit Kume ve Denk KumeAyni elemanlardan olusan kumelere esit kumeler denir Eleman sayilari esit olan kumelere denk kumeler denir A kumesi B kumesine esit ise A B displaystyle A B biciminde gosterilir C kumesi D kumesine denk ise C D displaystyle C equiv D biciminde gosterilir Onemli Not Esit olan kumeler ayni zamanda denktir Fakat denk kumeler esit olmayabilir Ozel Sayi KumeleriDogal sayilar N tam sayilar Z icinde yer alir tam sayilar Q rasyonel sayilar icinde yer alir rasyonel sayilar R gercel sayilar icinde yer alir ve gercel sayilar C kompleks sayilar icinde yer alir Matematikcilerin o kadar sik atifta bulunduklari matematiksel oneme sahip kumeler vardir ki onlari tanimlamak icin ozel isimler ve notasyon kurallari edinmislerdir Bu onemli kumeler matematik metinlerinde kalin ornegin Z displaystyle mathbf Z veya tahta kalin Z displaystyle mathbb Z yazi karakteriyle temsil edilir Bunlar sunlari icerir N displaystyle mathrm N veya N displaystyle mathbb N dogal sayilar kumesi N 0 1 2 3 4 displaystyle mathrm N 0 1 2 3 4 bazi matematikciler 0 i dahil etmemektedir Z displaystyle mathrm Z veya Z displaystyle mathbb Z tam sayilar kumesi negatif tam sayilar pozitif tam sayilar ve 0 dahil Z 3 2 1 0 1 2 3 displaystyle mathrm Z 3 2 1 0 1 2 3 Q displaystyle Q veya Q displaystyle mathbb Q rasyonel sayilar kumesi tam sayilar ve kesirli ifadeler dahil Q a b a b Z b 0 displaystyle Q a backslash b a b in Z b neq 0 Ornegin 3 2 Q displaystyle 3 backslash 2 in Q ve 4 4 1 Q displaystyle 4 4 backslash 1 in Q R displaystyle R veya R displaystyle mathbb R reel sayilar kumesi rasyonel sayilar kumesi ve irrasyonel sayilar kumesi 2 displaystyle sqrt 2 gibi kesirli ifade biciminde yazilamayan cebirsel sayilarin yani sira p displaystyle pi ve e displaystyle e gibi sayilar dahil C displaystyle C veya C displaystyle mathbb C karmasik sayilar kumesi C a bi a b R displaystyle C a bi a b in R Ornegin 1 2i C displaystyle 1 2i in C Yukarida yer alan sayi kumelerinin her biri sonsuz sayida elemana sahiptir Her biri bulundugu satirin altinda yer alan kumelerin bir alt kumesidir Pozitif veya negatif sayi kumeleri kume sembolunun uzerine displaystyle veya displaystyle sembolu konularak ifade edilmektedir Ornegin pozitif tam sayilar kumesi Z displaystyle Z negatif tam sayilar kumesi Z displaystyle Z biciminde ifade edilmektedir FonksiyonlarBir A kumesinden B kumesine olan bir fonksiyon veya esleme her bir A kumesi elemanina B kumesinden bir cikti atayan bir kuraldir daha formel olarak bir fonksiyon A kumesinin her elemanini tam olarak bir B kumesi elemanina baglayan ozel bir Bir fonksiyon su sekillerde adlandirilir Injektif Birebir veya tekil ise A kumesinin her iki farkli elemanini farkli B elemanlarina esler Orten veya uzerine ise her B elemani icin en az bir A elemani ona eslenir BIrebir Orten veya bir bir karsilikli ise fonksiyon hem injektif hem de surjektif olup her A elemani benzersiz bir B elemaniyla eslenir ve her B elemani da benzersiz bir A elemaniyla eslenir boylece eslenmemis elemanlar bulunmaz Injektif bir fonksiyon enjeksiyon surjektif bir fonksiyon surjeksiyon ve bijektif bir fonksiyon bire bir karsilikli veya bijeksiyon olarak adlandirilir Sayallik kardinalite Bir kumenin cardinality kardinalite degeri o kumenin eleman sayisidir Ornegin B mavi beyaz kirmizi kumesi icin B 3 dur Kumelendirmede tekrar eden elemanlar sayilmaz bu nedenle B mavi beyaz kirmizi mavi beyaz kumesi icin de B 3 tur Daha kesin bir ifadeyle iki kume ayni kardinaliteye sahipse aralarinda bire bir e iliskilendirme saglayan bir fonksiyon bulunur Bos kumenin kardinalite degeri sifirdir Sonsuz kumeler ve sonsuz kardinalite Bazi kumelerin elemanlari sayilamazdir veya Ornegin dogal sayilarin kumesi N sonsuzdur Aslinda yukaridaki bolumde bahsedilen tum ozel sayi kumeleri sonsuzdur Sonsuz kumelerin kardinalite degeri sonsuzdur Bazi sonsuz kardinaliteler digerlerinden daha buyuktur Kume teorisi acisindan en onemli sonuclardan biri gercel sayilarin kumesinin dogal sayilarin kumesinden daha buyuk kardinaliteye sahip olmasidir N ye esit veya daha kucuk kardinalite degerine sahip kumeler sayilabilir kumeler olarak adlandirilir Bunlar ya sonlu kumelerdir ya da N ile ayni kardinaliteye sahip sayilabilir sonsuz kumelerdir Bazi yazarlar sayilabilir terimini sayilabilir sonsuz anlaminda kullanir N den daha buyuk kardinalite degerine sahip kumeler sayilabilir olmayan kumeler olarak adlandirilir Ancak bir dogru uzerindeki noktalarin kardinalite degeri yani bir dogru uzerindeki nokta sayisi o dogrunun bir segmentinin tum duzlemin ve hatta herhangi bir sonlu boyutlu Oklidyen uzayin kardinalite degeriyle aynidir Sureklilik hipotezi Georg Cantor tarafindan 1878 yilinda formule edilen sureklilik hipotezi degeriyle bir dogruyun kardinalite degeri arasinda bir kumenin olmadigini ifade eder 1963 yilinda sureklilik hipotezinin Zermelo Fraenkel kume teorisiyle secim aksiyomunu iceren ZFC aksiyom sistemi icinde bagimsiz oldugunu kanitlamistir ZFC aksiyomatik kume teorisinin en yaygin olarak incelenen versiyonudur Evrensel KumeEvrensel Kume Ornegi Uzerinde islem yapilan butun kumeleri kapsayan kumeye evrensel kume denir Evrensel kume genellikle E displaystyle E ile gosterilmektedir Yabanci kaynaklarda cogunlukla U displaystyle U ile gosterilmektedir Ayrica BakinizOge Gonderme Fonksiyon Baginti Kumeler kurami Belirtisiz Bulanik KumeKaynakca Dauben Joseph W 1979 Georg Cantor His Mathematics and Philosophy of the Infinite Boston Harvard University Press ISBN 0 691 02447 2 Jose Ferreiros 16 Agustos 2007 Labyrinth of Thought A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics Birkhauser Basel ISBN 978 3 7643 8349 7 Steve Russ 9 Aralik 2004 The Mathematical Works of Bernard Bolzano OUP Oxford ISBN 978 0 19 151370 1 William Ewald William Bragg Ewald 1996 From Kant to Hilbert Volume 1 A Source Book in the Foundations of Mathematics OUP Oxford s 249 ISBN 978 0 19 850535 8 Paul Rusnock Jan Sebestik 25 Nisan 2019 Bernard Bolzano His Life and Work OUP Oxford s 430 ISBN 978 0 19 255683 7 Bertrand Russell 1903 chapter VI Classes a b Halmos 1960 s 2 Jose Ferreiros 1 Kasim 2001 Labyrinth of Thought A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics Springer Science amp Business Media ISBN 978 3 7643 5749 8 Seymor Lipschutz Marc Lipson 22 Haziran 1997 Schaum s Outline of Discrete Mathematics McGraw Hill Professional s 1 ISBN 978 0 07 136841 4 Halmos 1960 s 1 www mathsisfun com 16 Temmuz 2006 tarihinde kaynagindan arsivlendi Erisim tarihi 19 Agustos 2020 Charles Roberts 24 Haziran 2009 Introduction to Mathematical Proofs A Transition CRC Press s 45 ISBN 978 1 4200 6956 3 David Johnson David B Johnson Thomas A Mowry June 2004 Finite Mathematics Practical Applications Docutech Version W H Freeman s 220 ISBN 978 0 7167 6297 3 Ignacio Bello Anton Kaul Jack R Britton 29 Ocak 2013 Topics in Contemporary Mathematics Cengage Learning s 47 ISBN 978 1 133 10742 2 Susanna S Epp 4 Agustos 2010 Discrete Mathematics with Applications Cengage Learning s 13 ISBN 978 0 495 39132 6 Alfred Basta Stephan DeLong Nadine Basta 1 Ocak 2013 Mathematics for Information Technology Cengage Learning s 3 ISBN 978 1 285 60843 3 Laura Bracken Ed Miller 15 Subat 2013 Elementary Algebra Cengage Learning s 36 ISBN 978 0 618 95134 5 Halmos 1960 s 4 a b c Frank Ruda 6 Ekim 2011 Hegel s Rabble An Investigation into Hegel s Philosophy of Right Bloomsbury Publishing s 151 ISBN 978 1 4411 7413 0 a b c John F Lucas 1990 Introduction to Abstract Mathematics Rowman amp Littlefield s 108 ISBN 978 0 912675 73 2 Weisstein Eric W mathworld wolfram com Ingilizce 1 Mart 2000 tarihinde kaynagindan arsivlendi Erisim tarihi 19 Agustos 2020 Ralph C Steinlage 1987 College Algebra West Publishing Company ISBN 978 0 314 29531 6 a b Marek Capinski Peter E Kopp 2004 Measure Integral and Probability Springer Science amp Business Media s 2 ISBN 978 1 85233 781 0 www mathsisfun com 4 Ocak 2015 tarihinde kaynagindan arsivlendi Erisim tarihi 19 Agustos 2020 Stoll Robert 1974 Sets Logic and Axiomatic Theories W H Freeman and Company ss 5 ISBN 9780716704577 Halmos 1960 Sect 2 Felix Hausdorff 2005 Set Theory American Mathematical Soc s 30 ISBN 978 0 8218 3835 8 Peter Comninos 6 Nisan 2010 Mathematical and Computer Programming Techniques for Computer Graphics Springer Science amp Business Media s 7 ISBN 978 1 84628 292 8 a b Halmos 1960 s 3 Halmos 1960 s 8 George Tourlakis 13 Subat 2003 Lectures in Logic and Set Theory Volume 2 Set Theory Cambridge University Press s 137 ISBN 978 1 139 43943 5 a b c d e George Tourlakis 13 February 2003 Lectures in Logic and Set Theory Volume 2 Set Theory 27 Nisan 2021 tarihinde Wayback Machine sitesinde Cambridge University Press p 137 ISBN 978 1 139 43943 5 Yiannis N Moschovakis 1994 Notes on Set Theory Springer Science amp Business Media ISBN 978 3 540 94180 4 Arthur Charles Fleck 2001 Formal Models of Computation The Ultimate Limits of Computing World Scientific s 3 ISBN 978 981 02 4500 9 William Johnston 25 Eylul 2015 The Lebesgue Integral for Undergraduates The Mathematical Association of America s 7 ISBN 978 1 939512 07 9 Karl J Smith 7 Ocak 2008 Mathematics Its Power and Utility Cengage Learning s 401 ISBN 978 0 495 38913 2 John Stillwell 16 Ekim 2013 The Real Numbers An Introduction to Set Theory and Analysis Springer Science amp Business Media ISBN 978 3 319 01577 4 David Tall 11 Nisan 2006 Advanced Mathematical Thinking Springer Science amp Business Media s 211 ISBN 978 0 306 47203 9 Cantor Georg 1878 Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre 1878 84 242 258 doi 10 1515 crll 1878 84 242 5 Subat 2021 tarihinde kaynagindan Erisim tarihi 9 Haziran 2023 Cohen Paul J 15 Aralik 1963 The Independence of the Continuum Hypothesis Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America 50 6 1143 1148 Bibcode 1963PNAS 50 1143C doi 10 1073 pnas 50 6 1143 JSTOR 71858 PMC 221287 2 PMID 16578557 Stoll Robert R 1979 Set Theory and Logic Mineola N Y Dover Publications ISBN 0 486 63829 4 Halmos Paul R 1960 Naive Set Theory Princeton N J Van Nostrand ISBN 0 387 90092 6