Küresel harmonikler

Matematikte, küresel harmonikler Laplace denkleminin çözüm kümesinin açısal kısmıdır. Küresel koordinatların bir sistemi içinde küre yüzeyinde tanımlanır, Fourier serisi ise çember üzerinde tanımlanır. Laplace'ın küresel harmonikleri ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}}$ tarafından ilk 1782 yılında tanıtılan bir sistemin küresel harmonik formlarının özel bir kümesidir. Küresel harmoniklerden birkaçının kökleri sağda gösterimlenmiştir. Küresel harmonikler pek çok yerde teorik önem taşımaktadır ve özellikle atomik yörünge , , geoitleri ve gezegen ve yıldızların manyetik alanlarının temsili ve kozmik mikrodalga arka plan radyasyonu karakterizasyonu hesaplanmasında kullanılan pratik uygulamaları vardır. Küresel harmonikler , dolaylı aydınlatma (, , , vb) ve 3D şekillerin tanınması gibi konularda geniş bir yelpazede özel bir rol oynamaktadır.

İlk birkaç küresel harmonikler görsel temsilleri. Burada mavi kısımlar fonksiyonun pozitif bölgelerini ve sarı kısımlar negatif bölgeleri temsil eder.

Tarihçe

Küresel harmonikler üç boyut içerisinde Newton'un evrensel kütleçekim yasasının ile bağlantısı nedeniyle 1782 yılında, ilk kez Mécanique Célestesi içinde araştırdı, x_i noktalarında yerleşik nokta kütlelerin kümesinin bir x noktasında ilişkisini belirleyen m_i ile veriliyor idi

${\displaystyle V(\mathbf {x} )=\sum _{i}{\frac {m_{i}}{|\mathbf {x} _{i}-\mathbf {x} |}}.}$

yukardaki toplamda her terim için bir nokta kütle Newtonyen potansiyeli bireyseldir. İlk kez r = |x| ve r₁ = |x₁| nin kuvvetleri içinde Newtonyen potansiyelin açılımını Adrien-Marie Legendre araştırdı. O bunu r ≤ r₁ için araştırmıştı.

${\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} |}}=P_{0}(\cos \gamma ){\frac {1}{r_{1}}}+P_{1}(\cos \gamma ){\frac {r}{r_{1}^{2}}}+P_{2}(\cos \gamma ){\frac {r^{2}}{r_{1}^{3}}}+\cdots }$

burada γ vektörler x ve x₁ arasındaki açıdır. Fonksiyonlar P_iLegendre polinomlarıdır ve bu küresel harmoniklerin bir özel durumudur. Sonradan, "in his 1782 memoire" 'de, Laplace x₁ ve x arasında γ açısını göstermek için küresel koordinatlarda kullanılan katsayıları araştırdı. (daha detaylı analiz için bakınız )

1867'de, William Thomson (Lord Kelvin) ve burada içinde tanıttı, ayrıca bu fonksiyonların içinde "küresel harmonikler" adı ilk kez tanıtıldı. Katı harmonikler çözümleridir.

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}=0.}$

ile küresel koordinatlar içinde Laplace denklemi incelendi, Thomson ve Tait Laplace'ın küresel harmoniklerini açıkladı. "Laplace'ın katsayıları" terimi bir çizgi boyunca tanıtılan çözümlerin tanımlanan özel sistemi için William Whewellle çalışıyordu, oysa diğer için bu düzenleme korundu şöyle ki Laplace ve Legendre ile tanıtılmış olan özellikler idi.

19.yy Fourier serisinde gelişmeler, ısı denklemi ve dalga denkleminin çözümü gibi dörtgen domenler içinde fizik problemlerinin yaygın bir çeşidinin çözümünü olası yapar. Bu trigonometrik fonksiyonlar serisi içindeki fonksiyonların açılımı ile sağlanabilir. Oysa bir Fourier serisinin bir içinde de temel titreşim modları gösterilebilir, küresel harmonikler benzer şekilde bir kürenin temel titreşim modları ile gösterilebiliyor. Fourier serilerinin teorisinin trigonometrik fonksiyonlar tarafından birçok açıdan genelleştirilmiş şekilleri küresel harmoniklerdeki açılımlar olarak yerini almaktadır. Bu, aslında Laplace ve Legendre tarafından incelenen gök mekaniği gibi küresel simetri içeren sorunları içinde bir nimet oldu.

20. yy kuantum mekaniğinin doğumu için küresel harmoniklerin fizik sahnedeki önemi zaten yaygındı. Küresel harmonikler işlemcisinin karesinin

${\displaystyle -i\hbar \mathbf {r} \times \nabla ,}$

ve bunun için bu farklı düzenlenimini gösterir.

Laplace'ın küresel harmonikleri

Gerçek (Laplace) küresel harmonikler ℓ= 0, ..., 4 (yukarıdan aşağıya) ve m = 0, ..., 4 (soldan sağa) için ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}}$ ve Negatif dereceli harmonikler ${\displaystyle Y_{\ell }^{-m}}$ z ${\displaystyle 90^{\circ }/m}$ ile pozitif dereceli olanlara göre yaklaşık döndürülmüştür

Laplace denklemi skalar(eğimsiz) bir alanın gradyanının diverjansı f in sıfır olduğunu vurgular. küresel koordinatlarda ise bu şöyledir:

${\displaystyle \nabla ^{2}f={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}=0.}$

Yani f(r,θ,φ) = R(r)Y(θ,φ) formunda bulunan problemin çözümleri düşünülüyor. sonucu, iki diferansiyel denklemin Laplace denklemine uyarlanması ile :

${\displaystyle {\frac {1}{R}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {dR}{dr}}\right)=\lambda ,\qquad {\frac {1}{Y}}{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial Y}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{Y}}{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial \varphi ^{2}}}=-\lambda .}$

İkinci denklem Y varsayımı ile sadeleştirilebilir Y(θ,φ) = Θ(θ)Φ(φ) biçimi var. İkinci denklem için yine değişkenlerin ayrılması uygulanarak diferansiyel denklemlerin çifti için verilen yol

${\displaystyle {\frac {1}{\Phi (\varphi )}}{\frac {d^{2}\Phi (\varphi )}{d\varphi ^{2}}}=-m^{2}}$

${\displaystyle \lambda \sin ^{2}(\theta )+{\frac {\sin(\theta )}{\Theta (\theta )}}{\frac {d}{d\theta }}\left[\sin(\theta ){\frac {d\Theta }{d\theta }}\right]=m^{2}}$

Bu bazı m sayıları içindir. Öncelikle, m bir karmaşık sabittir, ama bir Φ periyodik fonksiyonu böylece 2π periyoduna eşit bölündüğü için m zorunlu olarak bir tam sayı ve Φ e^±imφ karmaşık üstellerin bir doğrusal bileşimidir. Çözüm fonksiyonu Y(θ,φ); kürenin kutup bölgelerinde düzenlidir, burada θ=0,π dir. Domenin ikinci denklemin sınır noktalarında Θ çözümü bu düzenlilik uyarlaması ile bir λ parametresinin kuvveti m λ = ℓ(ℓ+1) formunda olan bazı negatif olmayan ℓ ≥ |m| tam sayılar içindir; bu ayrıca terimleri içinde aşağıda açıklanmıştır. Ayrıca, içinde bu denklemin t = cosθ dönüşümü değişken dönüşümlerinin bir yer değişimidir, böylece çözüm ${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )}$ birçoğuludur. Sonuç olarak, R için denklem R(r) = Ar^ℓ + Br^−ℓ−1;biçiminin çözümü var ve gerekli çözüm R³ boyunca düzenli olan B = 0 kuvvetleridir.

Burada Y(θ,φ) = Θ(θ)Φ(φ).özel biçiminin sahip olduğu varsayılan çözüm idi. ℓ,nin verilen bir çözümü için burada 2ℓ+1 bu biçimlerin bağımsız çözümleridir, m ile −ℓ ≤ m ≤ ℓ her tam sayı için tektir. Burada açısal çözümler bir çarpımıdır. Burada bir olarak gösterilebilir ve asosiye Legendre polinomları:

${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=N\,e^{im\varphi }\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })}$

yerine getirip

${\displaystyle r^{2}\nabla ^{2}Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=-\ell (\ell +1)Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ).}$

Burada ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}}$ ℓ ve m derecenin bir küresel harmonik fonksiyonu olarak adlandırılır, ${\displaystyle P_{\ell }^{m}}$ bir , N bir normalizasyon sabitidir ve θ ve φ sırasıyla represent eş-enlem ve boylamı gösteriyor. Özel olarak, θ veya kutup açısı, Güney Kutup'ta π den Kuzey Kutupta 0 a kadar aralıklıdır. Ekvatorda π/2'nin varsayılan değeri ve boylam φ veya , 0 ≤ φ < 2π ile tüm değerleri varsayabiliriz.Bir sabitlenmiş ℓ tam sayısı için,özdeğer probleminin her Y(θ,φ) çözümü

${\displaystyle r^{2}\nabla ^{2}Y=-\ell (\ell +1)Y}$

${\displaystyle Y_{\ell }^{m}}$ nin bir . Aslında, böyle bir çözüm için, r^ℓY(θ,φ) böyle bir küresel koordinatlar içinde bağıntıları harmoniktir (bakınız aşağıda) ve burada gösterilen boyut sayılı polinomlar gibi 2ℓ+1 doğrusal bağımlıdır.

Bir küre merkezli orijininde Laplace denklemi için genel çözüm uygun ölçek çarpanı r^ℓ ile çarpılan küresel harmonik fonksiyonlarının bir ,

${\displaystyle f(r,\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell }^{m}\,r^{\ell }\,Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ),}$

Burada ${\displaystyle f_{\ell }^{m}}$ sabitlerdir ve çarpanlar ${\displaystyle r^{\ell }\,Y_{\ell }^{m}}$ olarak biliniyor. Bir açılım gibi içinde değerdir

${\displaystyle r<R={\frac {1}{\limsup \nolimits _{\ell \to \infty }|f_{\ell }^{m}|^{\frac {1}{\ell }}}}.}$

Yörünge açısal momentum

Kuantum mekanikte, Laplace'ın küresel harmonikleri terimleri içinde anlamlıdır

${\displaystyle \mathbf {L} =-i\hbar \mathbf {x} \times \nabla =L_{x}\mathbf {i} +L_{y}\mathbf {j} +L_{z}\mathbf {k} .}$

${\displaystyle \hbar }$ kuantum mekanikte gelenekseldir; bu ${\displaystyle \hbar =1}$ içindeki birimler içinde çalışma için gelenekseldir. Küresel harmonikler yörünge açısal momentumun karesinin özfonksiyonlarıdır

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} ^{2}&=-r^{2}\nabla ^{2}+\left(r{\frac {\partial }{\partial r}}+1\right)r{\frac {\partial }{\partial r}}\\&=-{1 \over \sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\sin \theta {\partial \over \partial \theta }-{1 \over \sin ^{2}\theta }{\partial ^{2} \over \partial \varphi ^{2}}.\end{aligned}}}$

Laplace'ın küresel harmonikleri yörünge açısal momentumun karesinin özfonksiyonları ile ortaktır ve azimutal eksen ile ilgili dönmelerin üreteçleridir:

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{z}&=-i\left(x{\frac {\partial }{\partial y}}-y{\frac {\partial }{\partial x}}\right)\\&=-i{\frac {\partial }{\partial \varphi }}.\end{aligned}}}$

Bu operatörlerdeki değişme ve R³ üzerinde normal dağılıma sırasıyla kare-integrallenebilir f fonksiyonunun Hilbert uzayı üzerinde :

${\displaystyle {\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}\int _{\mathbf {R} ^{3}}|f(x)|^{2}e^{-|x|^{2}/2}\,dx<\infty .}$

Daha ötesi, L² bir .

Eğer Y, L²'nin bir ortak özfonksiyonu ve L_z, ise

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} ^{2}Y&=\lambda Y\\L_{z}Y&=mY\end{aligned}}}$

ile tanımlanır. Bazı gerçek sayılar m ve λ için. Burada m aslında bir tam sayı olmalıdır, Y için periyodik bir sayı ile koordinat φ içinde 2π ile eşit bölen periyot olmalı. Dahası, yine

${\displaystyle \mathbf {L} ^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}}$

ve L_x, L_y, L_z nin her biri öz-eşleniktir, bu aşağıda şöyledir λ ≥ m².

Bu E_λ,m ile bu ortak özuzayı ve tanımı ile ifade

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{+}&=L_{x}+iL_{y}\\L_{-}&=L_{x}-iL_{y}\end{aligned}}}$

İse L₊ ve L₋ ile L² değişme ve L₊, L₋, L_z ile üretilen Lie cebri , değişmelilik ilişkileri ile

${\displaystyle [L_{z},L_{+}]=L_{+},\quad [L_{z},L_{-}]=-L_{-},\quad [L_{+},L_{-}]=2L_{z}.}$

Böylece L₊ : E_λ,m → E_λ,m+1 (bu bir "operatörü yükseltmek"tir) ve L₋ : E_λ,m → E_λ,m−1 (bu bir "indirgeyici işlemci"dir). Özel olarak, Lk+ : E_λ,m → E_λ,m+k yeterince büyük k için sıfır olmalı, çünkü λ ≥ m² eşitsizliği önemsiz olmayan ortak her özuzayın içindekini tutmalı. Diyelimki Y ∈ E_λ,m bir sıfır olmayan ortak özfonksiyon olsun ve diyelim ki k en küçük tam sayı olsun, böylece

${\displaystyle L_{+}^{k}Y=0.}$

ise, yine

${\displaystyle L_{-}L_{+}=\mathbf {L} ^{2}-L_{z}^{2}-L_{z}}$

bu aşağıda şöyledir

${\displaystyle 0=L_{-}L_{+}^{k}Y=(\lambda -(m+k)^{2}-(m+k))Y.}$

Böylece ℓ = m+k pozitif tam sayı için λ = ℓ(ℓ+1).

Kurallar

Diklik ve normalleştirme

Birkaç farklı normalleştirmeler Laplace küresel harmonik fonksiyonları için yaygın kullanım içindedir. Bölüm boyunca, biz bu standart yöntemi kullanıyoruz (bak )

${\displaystyle P_{\ell }^{-m}=(-1)^{m}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}P_{\ell }^{m}}$

Rodrigues'in aşağıdaki formül ile verilen doğal normalleştirme ki şudur: Sismolojide, Laplace küresel harmonikleri (bu kurallar bu yazı içinde kullanıldı)

${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )={\sqrt {{(2\ell +1) \over 4\pi }{(\ell -m)! \over (\ell +m)!}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\varphi }}$

olarak genel tanımıdır. içinde ise:

${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=(-1)^{m}{\sqrt {{(2\ell +1) \over 4\pi }{(\ell -m)! \over (\ell +m)!}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\varphi }}$

ortonormal olan şudur.

${\displaystyle \int _{\theta =0}^{\pi }\int _{\varphi =0}^{2\pi }Y_{\ell }^{m}\,Y_{\ell '}^{m'*}\,d\Omega =\delta _{\ell \ell '}\,\delta _{mm'},}$

burada δ_ijKronecker delta ve dΩ = sinθ dφ dθ dır. Bu olasılığın normalize olmasını sağlar, çünkü bu normalleştirme kuantum mekaniğinde kullanılır, örneğin

${\displaystyle \int {|Y_{\ell }^{m}|^{2}d\Omega }=1.}$

Jeodezi ve spektral analiz kullanım disiplinleri

${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )={\sqrt {{(2\ell +1)}{(\ell -m)! \over (\ell +m)!}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\varphi }}$

birim güce sahip olan

${\displaystyle {1 \over 4\pi }\int _{\theta =0}^{\pi }\int _{\varphi =0}^{2\pi }Y_{\ell }^{m}\,Y_{\ell '}^{m'*}d\Omega =\delta _{\ell \ell '}\,\delta _{mm'}.}$

manyetikler topluluğunun, aksine Schmidt yarı normalize harmonikleri kullanır

${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )={\sqrt {(\ell -m)! \over (\ell +m)!}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\varphi }}$

bu normalleştirmedir

${\displaystyle \int _{\theta =0}^{\pi }\int _{\varphi =0}^{2\pi }Y_{\ell }^{m}\,Y_{\ell '}^{m'*}d\Omega ={4\pi \over (2\ell +1)}\delta _{\ell \ell '}\,\delta _{mm'}.}$

Kuantum mekaniğinde bu normalleştirmede bazen kullanılır ve sonra adına Racah'ın normalleşmesi dendi.

Bunun yukarıdaki normalleştirilmiş küresel harmonik fonksiyonların tümünü karşılayacak olduğu gösterilebilir

${\displaystyle Y_{\ell }^{m*}(\theta ,\varphi )=(-1)^{m}Y_{\ell }^{-m}(\theta ,\varphi ),}$

burada üstsimge * ye karmaşık eşlenik denir. Karşıt olarak, bu denklem küresel harmonik fonksiyonlar ile ilişkisinden aşağıdadır.

Condon-Shortley fazı

Küresel harmonik fonksiyonların tanım karışıklıklarının tek kaynağı endişeleri m > 0, 1 için (−1)^m'in bir faz faktörü hariç, kuantum mekanik literatür içinde Condon–Shortley fazı olarak sık anılır. Kuantum mekanik topluluğu içinde ya da tanımı içinde küresel harmonik fonksiyonların tanımına eklemek için bu içeren uygulama yaygındır. Burada küresel harmonik fonksiyonların tanımı içinde Condon–Shortley fazını kullanmaya gerek yoktur, ama o dahil özel uygulamalarını bazı kuantum mekanik işlemcileri kolaylaştırabilir. Geodezi ve manyetik topluluk hiçbir zaman ne küresel harmonik fonksiyonların kendi tanımı ne de asosiye Legendre polinomlarının olanlar içinde Condon–Shortley faz faktörünü içeriyor.^[]

Gerçek form

Küresel harmoniklerin bir gerçek tabanı onların karmaşık analog terimleri içinde tanımlanabilir çerçevesi ile

${\displaystyle {\begin{aligned}Y_{\ell m}&={\begin{cases}\displaystyle {i \over {\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{m}-(-1)^{m}\,Y_{\ell }^{-m}\right)&{\text{if}}\ m<0\\\displaystyle Y_{\ell }^{0}&{\text{if}}\ m=0\\\displaystyle {1 \over {\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{-m}+(-1)^{m}\,Y_{\ell }^{m}\right)&{\text{if}}\ m>0.\end{cases}}\\&={\begin{cases}\displaystyle {i \over {\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{-|m|}-(-1)^{m}\,Y_{\ell }^{|m|}\right)&{\text{if}}\ m<0\\\displaystyle Y_{\ell }^{0}&{\text{if}}\ m=0\\\displaystyle {1 \over {\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{-|m|}+(-1)^{m}\,Y_{\ell }^{|m|}\right)&{\text{if}}\ m>0.\end{cases}}\end{aligned}}}$

Condon-Shortley faz kuralı tutarlılık için burada kullanılmıştır. Karşılık gelen ters denklemler

${\displaystyle Y_{\ell }^{m}={\begin{cases}\displaystyle {1 \over {\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell |m|}-iY_{\ell ,-|m|}\right)&{\text{if}}\ m<0\\\displaystyle Y_{\ell 0}&{\text{if}}\ m=0\\\displaystyle {(-1)^{m} \over {\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell |m|}+iY_{\ell ,-|m|}\right)&{\text{if}}\ m>0.\end{cases}}}$

Gerçek küresel harmonikler bazen tesseral küresel harmonikler olarak biliniyor. Bu işlevler yukarıda karmaşık olanlar aynı ortonormalite özelliklere sahiptir. m > 0 harmonikler ile cos tip'inin olduğu söylenir ve böylece sine tip'inin m < 0 ile. Bunun nedeni olarak Legendre polinomları açısından işlevleri yazılarak görülebilir.

${\displaystyle Y_{\ell m}={\begin{cases}\displaystyle {\sqrt {2}}{\sqrt {{(2\ell +1) \over 4\pi }{(\ell -m)! \over (\ell +m)!}}}P_{\ell }^{m}(\cos \theta )\cos m\varphi &{\mbox{if }}m>0\\\displaystyle {\sqrt {{(2\ell +1) \over 4\pi }{(\ell -m)! \over (\ell +m)!}}}P_{\ell }^{m}(\cos \theta )&{\mbox{if }}m=0\\\displaystyle {\sqrt {2}}{\sqrt {{(2\ell +1) \over 4\pi }{(\ell -|m|)! \over (\ell +|m|)!}}}P_{\ell }^{|m|}(\cos \theta )\sin |m|\varphi &{\mbox{if }}m<0.\end{cases}}}$

Aynı sinüs ve kosinüs faktörler de kartezyen gösterimi ile ilgilidir, aşağıdaki alt bölümde görülebilir.

kadar gerçek küresel harmoniklerin listesi için bakınız ve ${\displaystyle \ell =4}$ içeriyor, bunun yukarıdaki denklemlerin çıkışı ile uyumlu olduğu görülebilir.

Kuantum kimyada kullanımı

Hidrojen atomu için analitik çözümlerden bilindiği gibi, dalga fonksiyonunun açısal kısmının özfonksiyonlarının küresel harmonikleri bulunmaktadır. Ancak, manyetik şartlar olmaksızın göreli olmayan Schrödinger denkleminin çözümleri gerçek hale getirilebilir. Programlar daha sonra karmaşık cebir kullanmak gerekmez gibi gerçek formlar yoğun, kuantum kimyası için temel fonksiyonlarında kullanılan budur. İşte, bu gerçek fonksiyonlar, karmaşık olanları olduğu gibi aynı alanı kapsayan dikkat etmek önemlidir.

Örneğin olarak görülebileceği gibi, olağan p işlevleri (${\displaystyle l=1}$) karmaşıktır ve eksen yön karışımı, ama gerçek versiyonlar aslında sadece x, y ve z.

Kartezyen formu içinde küresel harmonikler

Kartezyen koordinatlar içinde normalize küresel harmonikler ifadesi aşağıdadır (Condon-Shortley fazı):

${\displaystyle r^{\ell }\,{\begin{pmatrix}Y_{\ell }^{m}\\Y_{\ell }^{-m}\end{pmatrix}}=\left[{\frac {2\ell +1}{4\pi }}\right]^{1/2}{\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z){\begin{pmatrix}(-1)^{m}(A_{m}+iB_{m})\\\qquad (A_{m}-iB_{m})\\\end{pmatrix}},\qquad m>0.}$

ve 'm = 0 için:

${\displaystyle r^{\ell }\,Y_{\ell }^{0}\equiv {\sqrt {\frac {2\ell +1}{4\pi }}}{\bar {\Pi }}_{\ell }^{0}.}$

Burada

${\displaystyle A_{m}(x,y)=\sum _{p=0}^{m}{\binom {m}{p}}x^{p}y^{m-p}\cos((m-p){\frac {\pi }{2}}),}$

${\displaystyle B_{m}(x,y)=\sum _{p=0}^{m}{\binom {m}{p}}x^{p}y^{m-p}\sin((m-p){\frac {\pi }{2}}),}$

ve

${\displaystyle {\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z)=\left[{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}\right]^{1/2}\sum _{k=0}^{\left\lfloor (\ell -m)/2\right\rfloor }(-1)^{k}2^{-\ell }{\binom {\ell }{k}}{\binom {2\ell -2k}{\ell }}{\frac {(\ell -2k)!}{(\ell -2k-m)!}}\;r^{2k}\;z^{\ell -2k-m}.}$

${\displaystyle m=0}$ için bu

${\displaystyle {\bar {\Pi }}_{\ell }^{0}(z)=\sum _{k=0}^{\left\lfloor \ell /2\right\rfloor }(-1)^{k}2^{-\ell }{\binom {\ell }{k}}{\binom {2\ell -2k}{\ell }}\;r^{2k}\;z^{\ell -2k}.}$

ya indirgenir

Örnekler

${\displaystyle {\bar {\Pi }}_{m}^{\ell }(z)}$, ${\displaystyle A_{m}(x,y)\,}$ ve ${\displaystyle B_{m}(x,y)\,}$ için biz yukarıdakilerden açıkça listelenmiş şu bağıntıları elde ederiz:

${\displaystyle Y_{3}^{1}=-{\frac {1}{r^{3}}}\left[{\tfrac {7}{4\pi }}\cdot {\tfrac {3}{16}}\right]^{1/2}(5z^{2}-r^{2})(x+iy)=-\left[{\tfrac {7}{4\pi }}\cdot {\tfrac {3}{16}}\right]^{1/2}(5\cos ^{2}\theta -1)(\sin \theta e^{i\varphi })}$

${\displaystyle Y_{4}^{-2}={\frac {1}{r^{4}}}\left[{\tfrac {9}{4\pi }}\cdot {\tfrac {5}{32}}\right]^{1/2}(7z^{2}-r^{2})(x-iy)^{2}=\left[{\tfrac {9}{4\pi }}\cdot {\tfrac {5}{32}}\right]^{1/2}(7\cos ^{2}\theta -1)(\sin ^{2}\theta e^{-2i\varphi })}$

Bu (burada) ve (burada) listelenmiş fonksiyon ile bu kabul doğrulanabilir.

Gerçek form

Gerçek küresel harmonikler formuna yukardaki denklemler kullanılıyor, ${\displaystyle m>0}$ için bunun olduğu görülmektedir. Yalnızca ${\displaystyle A_{m}}$ terimleri (kosinüs) içeriyor ve ${\displaystyle m<0}$ için yalnızca ${\displaystyle B_{m}}$ terimleri (sinüs) içeriyor:

${\displaystyle r^{\ell }\,{\begin{pmatrix}Y_{\ell m}\\Y_{\ell -m}\end{pmatrix}}=\left[{\frac {2\ell +1}{4\pi }}\right]^{1/2}{\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z){\begin{pmatrix}A_{m}\\B_{m}\\\end{pmatrix}},\qquad m>0.}$

ve m = 0 için:

${\displaystyle r^{\ell }\,Y_{\ell 0}\equiv {\sqrt {\frac {2\ell +1}{4\pi }}}{\bar {\Pi }}_{\ell }^{0}.}$

Spektrum analizi

Sinyal işlemci içinde kuvvet spektrumu

bir f fonksiyonunun toplam kuvveti kare fonksiyonun integrali olarak literatüründe tanımlanıyor, bu domenin bölgesi ile bölünür. Gerçek birim-kuvvet küresel harmonik fonksiyonların özellikleri kullanılıyor, bu birim küre üzerinde tanımlanan bir fonksiyonun toplam gücünü doğrulamak için basitçe Parseval teoreminin bir genellemesi spektral katsayılarla ilişkilidir:

${\displaystyle {\frac {1}{4\,\pi }}\int _{\Omega }|f(\Omega )|^{2}\,d\Omega =\sum _{\ell =0}^{\infty }S_{f\!f}(\ell ),}$

burada

${\displaystyle S_{f\!f}(\ell )={\frac {1}{2\ell +1}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }|f_{\ell m}|^{2}}$

açısal kuvvet spektrumu olarak tanımlanıyor. Benzer bir şekilde, bir iki fonksiyon arasında çapraz güç tanımlayabilirsiniz

${\displaystyle {\frac {1}{4\,\pi }}\int _{\Omega }f(\Omega )\,g^{\ast }(\Omega )\,d\Omega =\sum _{\ell =0}^{\infty }S_{fg}(\ell ),}$

burada

${\displaystyle S_{fg}(\ell )={\frac {1}{2\ell +1}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell m}g_{\ell m}^{\ast }}$

çapraz-kuvvet spektrumu olarak tanımlanıyor. Eğer fonksiyonlar f ve g have bir (yani spektral katsayılar f₀₀ ve g₀₀ sıfırdır) ortada sıfır var, ise sırasıyla S_ff(ℓ) ve S_fg(ℓ) fonksiyon'ların değişken için ve ℓ derecesi için eşdeğişken katkısını gösterir. Bu yaygın e (çapraz-)kuvvet spektrum formunun bir kuvvet kanunu ile iyi yaklaşıklıktır

${\displaystyle S_{f\!f}(\ell )=C\,\ell ^{\beta }.}$

Eğer β = 0,spektrum eş kuvvet her derecesine sahip olarak "beyaz"dır. Eğer β < 0 ise, spektrum "kırmızı" olarak adlandırılan düşük dereceden de daha kuvvetli yüksek dereceden uzun dalgadır. Sonuç olarak, eğer β > 0 ise, spektrum "mavi" olarak adlandırılıyor. S_ff(ℓ)nin büyüklüğünün derecesi üzerinde durum son kesit içinde fnin diferansiyellenebilirliklerinin derecesine göredir.

Diferansiyellenebilir özellikler

Ayrıca orijinal fonksiyonunun S_ff(ℓ)in terimleri içinde f orijinal fonksiyonunun anlaşılabilir. Özel olarak, eğer S_ff(ℓ) ℓ → ∞ olarak ℓ'nin herhangi daha hızlı çürüyorsa, f . Ve dahası S_ff(ℓ) üstel bozunma ise f küre üzerinde aslında .

Diferansiyellenebilirlik için S_ff(ℓ) in büyüklüğü ile ilişkili durumları Fourier serisinin katsayılarının büyümesindeki analog sonuçlara benzer ise genel teknik olarak teorisi kullanılıyor. Özellikle eğer

${\displaystyle \sum _{\ell =0}^{\infty }(1+\ell ^{2})^{s}S_{ff}(\ell )<\infty ,}$

ise f Sobolev uzayı H^s(S²) içindedir. Özel olarak, f

${\displaystyle S_{ff}(\ell )=O(\ell ^{-s})\quad {\rm {{as\ }\ell \to \infty }}}$

şartıyla tüm sler için sonsuz türevlenebilir anlamına gelir.

Küresel harmonikleri gösterimleme

Birim küre ve nodal çizgiler üzerinde ${\displaystyle Y_{\ell m}}$ nin şematik gösterimi.${\displaystyle {\text{Re}}[Y_{\ell m}]}$ büyük çemberler kutuplara geçerek m boyunca 0'a eşittir ve ℓ−m boyunca eşit enlem çemberleri. Fonksiyon değişiklikleri bu hatlardan birini kestiği her zaman işareti.

n = 5 derecenin küresel harmoniklerinin 3D renkli çizimi. unutmadan n = ℓ.

${\displaystyle Y_{\ell }^{m}}$ Laplace küresel harmonikler burada "" göz önüne alınarak görselleştirilebilir, şöyle ki, burada ${\displaystyle {\text{Re}}[Y_{\ell }^{m}]=0}$, küre üzerinde noktaların kümesi veya karşıt olarak burada ${\displaystyle {\text{Im}}[Y_{\ell }^{m}]=0}$. dir ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}}$nin düğüm çizgileri çemberin oluşumudur: bazıları enlemlerdir ve diğerleri boylamlardır. Enlemsel ve bağımsız boyuna tarifi içinde ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}}$nin sıfırlarının sayısının sayılması ile her tipinin düğüm çizgilerinin sayısı belirlenebilir. Enine yönünde için, asosiye Legendre polinomlarının sanal ve gerçek bileşenleri her ℓ−|m| sıfırlarına sahiptir, oysa, uzunlamasına yön için, trigonometrik sin ve cos fonksiyonları 2|m| sıfırlara sahiptir.

Eğer küresel harmonik derece m (sol-üst resim) sıfır ise, küresel harmonik fonksiyonlar boylam bağlı olmayan ve olarak adlandırılır. Bu gibi küresel harmonikler bir özel durumudur Eğer ℓ = |m| (Şekilde sağ alt) ise, burada enlem içinde sıfır geçidi yoktur ve fonksiyonlar sektörel olarak adlandırılır. Diğer durumlar için, küre fonksiyonları ve bu tesseral olarak adlandırılır.

Daha genel ℓ derecesinin küresel harmonikleri are Laplace tabanı ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}}$nın böyle olması gerekmez ve burada nodal(düğümsel) kümeler oldukça genel bir tipi olabilir.

Küresel harmoniklerin listesi

İlk birkaç ortonormalize edilmiş Laplace küresel harmonik(=salınan) için analitik bağlantılar kullanılan Condon-Shortley faz kuralı:

${\displaystyle Y_{0}^{0}(\theta ,\varphi )={1 \over 2}{\sqrt {1 \over \pi }}}$

${\displaystyle Y_{1}^{-1}(\theta ,\varphi )={1 \over 2}{\sqrt {3 \over 2\pi }}\,\sin \theta \,e^{-i\varphi }}$

${\displaystyle Y_{1}^{0}(\theta ,\varphi )={1 \over 2}{\sqrt {3 \over \pi }}\,\cos \theta }$

${\displaystyle Y_{1}^{1}(\theta ,\varphi )={-1 \over 2}{\sqrt {3 \over 2\pi }}\,\sin \theta \,e^{i\varphi }}$

${\displaystyle Y_{2}^{-2}(\theta ,\varphi )={1 \over 4}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\,\sin ^{2}\theta \,e^{-2i\varphi }}$

${\displaystyle Y_{2}^{-1}(\theta ,\varphi )={1 \over 2}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\,\sin \theta \,\cos \theta \,e^{-i\varphi }}$

${\displaystyle Y_{2}^{0}(\theta ,\varphi )={1 \over 4}{\sqrt {5 \over \pi }}\,(3\cos ^{2}\theta -1)}$

${\displaystyle Y_{2}^{1}(\theta ,\varphi )={-1 \over 2}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\,\sin \theta \,\cos \theta \,e^{i\varphi }}$

${\displaystyle Y_{2}^{2}(\theta ,\varphi )={1 \over 4}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\,\sin ^{2}\theta \,e^{2i\varphi }}$

Yüksek boyutlar

Klasik küresel harmonikler üç-boyutlu Öklid uzayı içerisinde birim küre S² üzerinde fonksiyonlar olarak tanımlanıyor. Küresel harmonikler yüksek-boyutlu Öklid uzayı Rⁿ için genelleştirilebilir olarak aşağıdadır. Diyelim ki P_ℓn değişkenleri içinde ℓ derecesinin ifade eder. Şöyle ki, bir P polinomu P_ℓ içinde şunu sağlıyor.

${\displaystyle P(\lambda \mathbf {x} )=\lambda ^{\ell }P(\mathbf {x} ).}$

Diyelim ki P_ℓ nin altuzayı ifadesi A_ℓ tüm polinomlarının oluşturuyor; bu . Diyelim ki H_ℓ birim kürenin üzerindeki fonksiyonların uzayını ifade ediyor

${\displaystyle S^{n-1}=\{\mathbf {x} \in \mathbf {R} ^{n}\,\mid \,|x|=1\}}$

A_ℓ dan sınırlandırılarak elde edilir.

aşağıdaki özellikler uyar:

• H_ℓ uzayının toplamı ye göre Sⁿ⁻¹ üzerinde sürekli fonksiyonun kümesi içinde iledir. Bir sonuç olarak, bu uzayın toplamı küre üzerinde kare integrallenebilir fonksiyonların L²(Sⁿ⁻¹) uzayı içinde ayrıca yoğunluktur. Böylece bir küresel harmoniklerin bir serisi içinde küre teklik ayrışması üzerinde her kare integrallenebilir fonksiyon, burada L² içinde anlamı yakınsak seridir.
• Tüm f ∈ H_ℓ ,için tek olan

${\displaystyle \Delta _{S^{n-1}}f=-\ell (\ell +n-2)f.}$

burada Δ_Sⁿ⁻¹Sⁿ⁻¹ üzerinde . Bu operatör üç boyutlu Laplacian'ın açısal kısmının analoğudur. Demek ki,n boyutlarda Laplasyen olarak parçalanır

${\displaystyle \nabla ^{2}=r^{1-n}{\frac {\partial }{\partial r}}r^{n-1}{\frac {\partial }{\partial r}}+r^{-2}\Delta _{S^{n-1}}.}$

• Bu ve H_ℓ uzayı önceki özelliği takip eden L²(Sⁿ⁻¹) dan iç çarpıma göre ortogonaldir. Demek ki,

${\displaystyle \int _{S^{n-1}}f{\bar {g}}\,d\Omega =0}$

f ∈ H_ℓ ve g ∈ H_k for k ≠ ℓ.için

• Aksine, H_ℓ uzayı Δ_Sⁿ⁻¹ nın öz uzayları tamdır. Özel olarak, ${\displaystyle \Delta _{S^{n-1}}^{-1}}$ için bir uygulaması H_ℓ uzayları diğer kanıtları veriyor. İkişerli ortogonal ve L²(Sⁿ⁻¹) içinde tamdır.
• Her homojen polinom P ∈ P_ℓ formu içinde teklik yazılabilir

${\displaystyle P(x)=P_{\ell }(x)+|x|^{2}P_{\ell -2}+\cdots +{\begin{cases}|x|^{\ell }P_{0}&\ell {\rm {\ even}}\\|x|^{\ell -1}P_{1}(x)&\ell {\rm {\ odd}}\end{cases}}}$

burada P_j ∈ A_j. Özel olarak,

${\displaystyle \dim \mathbf {H} _{\ell }={\binom {n+\ell -1}{n-1}}-{\binom {n+\ell -3}{n-1}}.}$

yüksek boyutlar içinde küresel harmoniklerin bir ortogonal tabanı metodu ile ile inşa edilebilir, küresel Laplasyen için Sturm-Liouville problemi çözümü ile

${\displaystyle \Delta _{S^{n-1}}=\sin ^{2-n}\phi {\frac {\partial }{\partial \phi }}\sin ^{n-2}\phi {\frac {\partial }{\partial \phi }}+\sin ^{-2}\phi \Delta _{S^{n-2}}}$

burada φ Sⁿ⁻¹ üzerinde bir küresel koordinat sistemi içinde eksenel koordinattır. Bir işlem gibi sonuçtur

${\displaystyle Y_{l_{1},\dots l_{n-1}}(\theta _{1},\dots \theta _{n-1})={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{il_{1}\theta _{1}}\prod _{j=2}^{n-1}{}_{j}{\bar {P}}_{l_{j}}^{l_{n-2}}(\theta _{j})}$

burada |ℓ₁| ≤ ℓ₂ ≤ ... ≤ ℓ_n−1 indisleri karşılar ve özdeğer −ℓ_n−1(ℓ_n−1 + n−2)dır. Çarpım içindeki fonksiyonlar terimleri içinde tanımlanıyor

${\displaystyle {}_{j}{\bar {P}}_{L}^{l}(\theta )={\sqrt {{\frac {2L+j-1}{2}}{\frac {(L+l+j-2)!}{(L-l)!}}}}\sin ^{\frac {2-j}{2}}(\theta )P_{L+{\frac {j-2}{2}}}^{-(l+{\frac {j-2}{2}})}(\cos \theta )}$

Gösterim teorisi ile bağlantısı

H_ℓ uzayı ℓ derecenin küresel harmoniğinin bir ()nokta çevresinde dönmelerin simetri bir ve çift örtüktür. Aslında, iki-boyutlu küre üzerinde dönme hareketi ve böylece ayrıca fonksiyon düzeni ile H_ℓ üzerinde

${\displaystyle \psi \mapsto \psi \circ \rho }$

ψ için bir küresel harmonik ve ρ bir dönme ve H_ℓ gösterimi SO(3)ün bir .

H_ℓnın ögeleri A_ℓnın ögelerinin küre için sınırlandırılmış olarak ortaya çıkar: üç-boyutlu öklid uzayı R³ üzerinde ℓ derecenin homojen harmonik polinomlarıdır. ψ ∈ A_ℓ nin ile, burada ${\displaystyle \psi _{i_{1}\dots i_{\ell }}}$ indisler üzerinde teklik şartı ile belirlenen simetrik katsayılardır,

${\displaystyle \psi (x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{i_{1}\dots i_{\ell }}\psi _{i_{1}\dots i_{\ell }}x_{i_{1}}\cdots x_{i_{\ell }}.}$

Durum that ψ be harmonik is tensör ${\displaystyle \psi _{i_{1}\dots i_{\ell }}}$ onaylanması için eşdeğerdir ve indislerin her çifti üzerinde bağımsız olmalı. Böylece SO(3), H_ℓ nin indirgenemez gösterim olarak ℓ derecesinin izsizlik uzayı için izomorfiktir.

Daha genel olarak, yüksek boyutlar içinde tutan analog durumlar: üzerinde küresel harmoniklerin H_ℓ uzayı izsiz simetrik ℓ-tensörler için karşılık gelen SO(n+1)nin indirgenemez gösterimidir. Bununla birlikte, oysa SO(2)nin ve SO(3) ün her indirgenemez tensör gösterimi bu türündür,yüksek boyutlar içinde özel ortogonal gruplar ek bir indirgenemez gösterimleri var ve bu tutum içinde ortaya çıkmaz.

Özel ortogonal grupların have ek var ve tensör gösterimleri değildir ve tipik olarak küresel harmonikler değildir. bir istisna SO(3)ün : strictly speaking these are SU(2) ve SO(3)ün gösterimidir. sırayla, SU(2) birim kuaterniyonların grubu ile özdeştir ve ile ile bu çakışma, 3-küre üzerinde küresel harmoniklerin uzayı SO(3)ün belli dönmesidir, kuaterniyonik çarpım ile harekete göre.

Genellemeler

PSL(2,C)'nin grubu ile tarif edilmektedir. Bu grup ile ilgili olarak, küre genel eşdeğeridir. Grup PSL(2,C) (uygun) izomorf ve iki küre üzerinde hareket Minkowski uzayında göksel küre üzerinde Lorentz grubunun eylemi ile uygundur. Lorentz grubunun küresel harmonik analoğu bir ile verilir; bundan başka, küresel harmoniklerin terimleri içinde yeniden ifade edileblir. SO(3) = PSU(2) olarak PSL(2,C)nin bir Daha genel olarak, hipergeometrik serisi herhangi bir simetrilerini açıklamak için jeneralize olabilir; Özellikle, hipergeometrik serisi herhangi bir Lie grubu için geliştirilmiş olabilir.

Ayrıca bakınız

Wikimedia Commons'ta Küresel harmonikler ile ilgili ortam dosyaları bulunmaktadır.

• Küresel harmoniklerin tablosu

Notlar

1. ^ A historical account of various approaches to spherical harmonics in three-dimensions can be found in Chapter IV of . The term "Laplace spherical harmonics" is in common use; see and .
2. ^ The approach to spherical harmonics taken here is found in Courant & Hilbert 1966, §V.8, §VII.5.
3. ^ Fizik uygulamalarda sıklıkla sonsuzda kaybolan bu çözüm alınır,A = 0 yapıyor.Bu küresel harmoniklerin açısal kısmı etkilemez.
4. ^
5. ^ Messiah, Albert (1999). Quantum mechanics : two volumes bound as one (Two vol. bound as one, unabridged reprint bas.). Mineola, NY: Dover. ISBN . 
6. ^ al.], Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloë; transl. from the French by Susan Reid Hemley ... [et (1996). Quantum mechanics. Wiley-Interscience: Wiley. ISBN . 
7. ^ Heiskanen and Moritz, Physical Geodesy, 1967, eq. 1-62
8. ^ .
9. ^
10. ^ ;
11. ^ Higuchi, Atsushi (1987). "Symmetric tensor spherical harmonics on the N-sphere and their application to the de Sitter group SO(N,1)". Journal of Mathematical Physics. 28 (7). ^[]
12. ^ N. Vilenkin, Special Functions and the Theory of Group Representations, Am. Math. Soc. Transl.,vol. 22, (1968).
13. ^ J. D. Talman, Special Functions, A Group Theoretic Approach, (based on lectures by E.P. Wigner), W. A. Benjamin, New York (1968).
14. ^ W. Miller, Symmetry and Separation of Variables, Addison-Wesley, Reading (1977).
15. ^ A. Wawrzyńczyk, Group Representations and Special Functions, Polish Scientific Publishers. Warszawa (1984).

Kaynakça

Cite edilmiş kaynaklar

• ; Hilbert, David (1962), Methods of Mathematical Physics, Volume I, Wiley-Interscience .
• Edmonds, A.R. (1957), Angular Momentum in Quantum Mechanics, Princeton University Press, ISBN  
• Eremenko, Alexandre; Jakobson, Dmitry; Nadirashvili, Nikolai (2007), "On nodal sets and nodal domains on ${\displaystyle S^{2}}$ and ${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}}$", , 57 (7), ss. 2345-2360, ISSN 0373-0956, MR2394544 
• MacRobert, T.M. (1967), Spherical harmonics: An elementary treatise on harmonic functions, with applications, Pergamon Press .
• Meijer, Paul Herman Ernst; Bauer, Edmond (2004), Group theory: The application to quantum mechanics, Dover, ISBN  .
• Solomentsev, E.D. (2001), "Spherical harmonics", Hazewinkel, Michiel (Ed.), Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN  .
• ; (1971), Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton, N.J.: Princeton University Press, ISBN  .
• Unsöld, Albrecht (1927), "Beiträge zur Quantenmechanik der Atome", Annalen der Physik, 387 (3), ss. 355-393, Bibcode:1927AnP...387..355U, doi:10.1002/andp.19273870304 .
• Watson, G. N.; Whittaker, E. T. (1927), A Course of Modern Analysis, Cambridge University Press, s. 392 .

Genel kaynakça

• E.W. Hobson, The Theory of Spherical and Ellipsoidal Harmonics, (1955) Chelsea Pub. Co., .
• C. Müller, Spherical Harmonics, (1966) Springer, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 17, .
• E. U. Condon and G. H. Shortley, The Theory of Atomic Spectra, (1970) Cambridge at the University Press, , See chapter 3.
• J.D. Jackson, Classical Electrodynamics,
• Albert Messiah, Quantum Mechanics, volume II. (2000) Dover. .
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Section 6.7. Spherical Harmonics", Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3. bas.), New York: Cambridge University Press, ISBN  
• D. A. Varshalovich, A. N. Moskalev, V. K. Khersonskii Quantum Theory of Angular Momentum, (1988) World Scientific Publishing Co., Singapore,
• Eric W. Weisstein, Spherical harmonics (MathWorld)