Manyetik Reynolds sayısı

Manyetik hidrodinamikte, manyetik Reynolds sayısı (R_m) bir boyutsuz nicelik olup, bir iletken ortamın hareketiyle bir manyetik alanın adveksiyon veya indüksiyonunun, göreceli etkilerini tahmin eder. Bu sayı, akışkanlar mekaniğindeki Reynolds sayısının manyetik bir benzeridir ve genellikle şu şekilde tanımlanır:

${\displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm {m} }={\frac {UL}{\eta }}~~\sim {\frac {\mathrm {induction} }{\mathrm {diffusion} }}}$

burada

• ${\displaystyle U}$ akışın tipik bir hız ölçeğidir,
• ${\displaystyle L}$ akışın tipik bir uzunluk ölçeğidir,
• ${\displaystyle \eta }$ .

İletken bir akışkanın hareketiyle manyetik alanın üretilme mekanizması dinamo teorisinin konusudur. Ancak, manyetik Reynolds sayısı çok büyük olduğunda, difüzyon ve dinamo daha az önem kazanır ve bu durumda odak, genellikle manyetik alanın akış üzerindeki etkisine kayar.

Türetme

Manyetik hidrodinamik teorisinde, manyetik Reynolds sayısı türetilebilir:

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=\nabla \times (\mathbf {u} \times \mathbf {B} )+\eta \nabla ^{2}\mathbf {B} }$

burada

• ${\displaystyle \mathbf {B} }$ manyetik alan,
• ${\displaystyle \mathbf {u} }$ akışkan hızı,
• ${\displaystyle \eta }$ .

Sağdaki ilk terim, plazmadaki elektromanyetik indüksiyon etkilerini ve ikinci terim etkilerini hesaplar. Bu iki terimin göreceli önemi, oranlarını alarak bulunabilir; bu oran manyetik Reynolds sayısı ${\displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm {m} }}$'dir. Her iki terimin de ${\displaystyle \nabla \sim 1/L}$ olacak şekilde bir ölçek uzunluğunu ${\displaystyle L}$ ve ${\displaystyle \mathbf {u} \sim U}$ olacak şekilde bir ölçek hızını ${\displaystyle U}$ paylaştığı varsayılırsa, indüksiyon terimi şu şekilde yazılabilir:

${\displaystyle \nabla \times (\mathbf {u} \times \mathbf {B} )\sim {\frac {UB}{L}}}$

ve difüzyon terimi şu şekilde yazılabilir:

${\displaystyle \eta \nabla ^{2}\mathbf {B} \sim {\frac {\eta B}{L^{2}}}.}$

Bu iki terimin oranı dolayısıyla

${\displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm {m} }={\frac {UL}{\eta }}.}$

Büyük ve küçük R_m için genel özellikler

${\displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm {m} }\ll 1}$ olduğunda, adveksiyon nispeten önemsizdir ve bu durumda manyetik alan, akıştan ziyade sınır koşulları tarafından belirlenen saf bir difüzyon durumuna doğru eğilim gösterir.

${\displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm {m} }\gg 1}$ olduğunda, uzunluk ölçeği L üzerinde difüzyon nispeten önemsizdir. Manyetik alanın akı çizgileri, adveksiyonun dengeleyebileceği kadar kısa bir uzunluk ölçeğinde gradyanlar yoğunlaşana kadar akışkan akışı ile birlikte taşınır.

Değer aralığı

Dünya için ${\displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm {m} }}$ değerinin yaklaşık 10³ mertebesinde olduğu tahmin edilmektedir. Disipasyon önemlidir, ancak sıvı demir dış çekirdekteki hareket manyetik bir alanı destekler. Güneş sisteminde çalışan diğer dinamo mekanizmaları olan gök cisimleri de vardır, örneğin Jüpiter, Satürn ve Merkür; ve çalışmayanlar, örneğin Mars, Venüs ve Ay.

İnsan ölçeği çok küçüktür, bu nedenle genellikle ${\displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm {m} }\ll 1}$. Bir iletken sıvının hareketiyle manyetik alan üretimi, yalnızca cıva veya sıvı sodyum kullanılarak yapılan birkaç büyük deneyde gerçekleştirilmiştir.

Sınırlar

Kalıcı manyetizasyonun mümkün olmadığı durumlarda, örneğin Curie sıcaklığının üzerinde, bir manyetik alanı korumak için ${\displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm {m} }}$'nin yeterince büyük olması gerekir ki indüksiyon difüzyonu aşabilsin. İndüksiyon için önemli olan hızın mutlak büyüklüğü değil, akıştaki göreceli farklılıklar ve kaymalardır, bu farklılıklar manyetik alan çizgilerini uzatır ve büker. Bu durumda manyetik Reynolds sayısının daha uygun bir formu aşağıdaki gibi olur:

${\displaystyle \mathrm {\hat {R}} _{\mathrm {m} }={\frac {L^{2}S}{\eta }}}$

burada S, gerinimin bir ölçüsüdür. En bilinen sonuçlardan biri Backus'a aittir, ve bir küredeki akışla manyetik alan oluşturmanın minimum ${\displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm {m} }}$ değerinin şu şekilde olduğunu belirtir:

${\displaystyle \mathrm {\hat {R}} _{\mathrm {m} }\geq \pi ^{2}}$

burada ${\displaystyle L=a}$ kürenin yarıçapıdır ve ${\displaystyle S=e_{max}}$ maksimum gerinim hızıdır. Bu sınır, Proctor tarafından yaklaşık %25 oranında iyileştirilmiştir.

Bir akış tarafından manyetik alan oluşturulmasına ilişkin birçok çalışma, hesaplama açısından uygun olan periyodik küpü dikkate alır. Bu durumda minimum değer şu şekilde bulunmuştur:

${\displaystyle \mathrm {\hat {R}} _{\mathrm {m} }=2.48}$

burada ${\displaystyle S}$ uzunlukları ${\displaystyle 2\pi }$ olan ölçeklendirilmiş bir alandaki kök-ortalama-kare gerinimidir. Küpte küçük uzunluk ölçeklerinde kayma dışlanırsa, minimum ${\displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm {m} }=1.73}$ olur, burada ${\displaystyle U}$ kök-ortalama-kare değerdir.

Reynolds sayısı ve Peclet sayısı ile ilişkisi

Manyetik Reynolds sayısı, hem hem de Reynolds sayısı ile benzer bir formdadır. Üçü de belirli bir fiziksel alan için advektif ve difüzyon etkilerinin oranını verir ve hız ile uzunluğun bir difüzyon katsayısına bölünmesi şeklindedir. Manyetik Reynolds sayısı, manyetohidrodinamik akıştaki manyetik alanla ilgiliyken, Reynolds sayısı akışkanın hızıyla ve Peclet sayısı ise ısı ile ilişkilidir. Bu boyutsuz gruplar, ilgili yönlendirici denklemlerin boyutsuzlaştırılmasından ortaya çıkar: indüksiyon denklemi, Navier–Stokes denklemleri ve ısı denklemi.

Girdap akımı freni ile ilişkisi

Boyutsuz manyetik Reynolds sayısı, ${\displaystyle R_{m}}$, fiziksel bir akışkanın yer almadığı durumlarda da kullanılır.

${\displaystyle R_{m}=\mu \sigma }$ × (karakteristik uzunluk) × (karakteristik hız)

${\displaystyle \mu }$ manyetik geçirgenlik

${\displaystyle \sigma }$ elektriksel iletkenliktir.

${\displaystyle R_{m}<1}$ olduğunda yüzey katmanı etkisi ihmal edilebilir ve torku, bir indüksiyon motorunun teorik eğrisini takip eder.

${\displaystyle R_{m}>30}$ olduğunda yüzey katmanı etkisi baskın hale gelir ve fren torku, hız arttıkça indüksiyon motoru modelinin öngördüğünden çok daha yavaş azalır.

Ayrıca bakınız

• Manyetik hidrodinamik
• Reynolds sayısı

Kaynakça

1. ^ Davies, C.; ve diğerleri. (2015). "Constraints from material properties on the dynamics and evolution of Earth's core" (PDF). Nature Geoscience. 8 (9). ss. 678-685. Bibcode:2015NatGe...8..678D. doi:10.1038/ngeo2492. 31 Mayıs 2024 tarihinde kaynağından (PDF). Erişim tarihi: 29 Mayıs 2024. 
2. ^ Gailitis, A.; ve diğerleri. (2001). "Magnetic field saturation in the Riga dynamo experiment". Physical Review Letters. 86 (14). ss. 3024-3027. arXiv:physics/0010047 $2. Bibcode:2001PhRvL..86.3024G. doi:10.1103/PhysRevLett.86.3024. (PMID) 11290098. 
3. ^ Steiglitz, R.; U. Muller (2001). "Experimental demonstration of a homogeneous two-scale dynamo". Physics of Fluids. 13 (3). ss. 561-564. Bibcode:2001PhFl...13..561S. doi:10.1063/1.1331315. 
4. ^ Moncheaux, R.; ve diğerleri. (2007). "Generation of a Magnetic Field by Dynamo Action in a Turbulent Flow of Liquid Sodium". Physical Review Letters. 98 (4). s. 044502. arXiv:physics/0701075 $2. Bibcode:2007PhRvL..98d4502M. doi:10.1103/PhysRevLett.98.044502. (PMID) 17358779. 
5. ^ Moffatt, K. (2000). "Reflections on Magnetohydrodynamics" (PDF). ss. 347-391. 29 Eylül 2007 tarihinde kaynağından (PDF). Erişim tarihi: 29 Mayıs 2024. 
6. ^ Backus, G. (1958). "A class of self-sustaining dissipative spherical dynamos". Ann. Phys. 4 (4). ss. 372-447. Bibcode:1958AnPhy...4..372B. doi:10.1016/0003-4916(58)90054-X. 
7. ^ Proctor, M. (1977). "On Backus' necessary condition for dynamo action in a conducting sphere". Geophysical & Astrophysical Fluid Dynamics. 9 (1). ss. 89-93. Bibcode:1977GApFD...9...89P. doi:10.1080/03091927708242317. 
8. ^ Willis, A. (2012). "Optimization of the Magnetic Dynamo". Physical Review Letters. 109 (25). s. 251101. arXiv:1209.1559 $2. Bibcode:2012PhRvL.109y1101W. doi:10.1103/PhysRevLett.109.251101. (PMID) 23368443. 
9. ^ Ripper, M.D; Endean, V.G (Mar 1975). "Eddy-Current Braking-Torque Measurements on a Thick Copper Disc". Proc IEE. 122 (3). ss. 301-302. doi:10.1049/piee.1975.0080. 

Diğer okumalar

• Moffatt, H. Keith, 2000, "Reflections on Magnetohydrodynamics" 29 Eylül 2007 tarihinde Wayback Machine sitesinde .. In: Perspectives in Fluid Dynamics () (Ed. G.K. Batchelor, H.K. Moffatt & M.G. Worster) Cambridge University Press, p 347–391.
• P. A. Davidson, 2001, An Introduction to Magnetohydrodynamics (), Cambridge University Press.