Aşağıdaki matematiksel seriler listesi sonlu ve sonsuz toplamlar için formüller içerir Toplamları değerlendirmek

Matematiksel seriler listesi

Aşağıdaki matematiksel seriler listesi, sonlu ve sonsuz toplamlar için formüller içerir. Toplamları değerlendirmek için diğer araçlarla birlikte kullanılabilir.

Burada $0^{0}$ , $1$ değerine sahip olduğu kabul edilir
$\{x\}$ , $x$ 'in kesirli kısmını ifade eder.
$B_{n}(x)$ bir .
$B_{n}$ bir Bernoulli sayısıdır ve burada; $B_{1}=-{\frac {1}{2}}$ 'dir.
$E_{n}$ bir Euler sayısıdır.
$\zeta (s)$ Riemann zeta fonksiyonudur.
$\Gamma (z)$ gama fonksiyonudur.
$\psi _{n}(z)$ bir poligama fonksiyonudur.
$\operatorname {Li} _{s}(z)$ bir .
$n \choose k$ .
$\exp(x)$ , $x$ 'in üstel'ini belirtir.

Kuvvetler toplamı

Bkz. .

$\sum _{k=0}^{m}k^{n-1}={\frac {B_{n}(m+1)-B_{n}}{n}}$

İlk birkaç değer şunlardır:

$\sum _{k=1}^{m}k={\frac {m(m+1)}{2}}$
$\sum _{k=1}^{m}k^{2}={\frac {m(m+1)(2m+1)}{6}}={\frac {m^{3}}{3}}+{\frac {m^{2}}{2}}+{\frac {m}{6}}$
$\sum _{k=1}^{m}k^{3}=\left[{\frac {m(m+1)}{2}}\right]^{2}={\frac {m^{4}}{4}}+{\frac {m^{3}}{2}}+{\frac {m^{2}}{4}}$

Bkz. zeta sabitleri.

$\zeta (2n)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2n}}}=(-1)^{n+1}{\frac {B_{2n}(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}}$

İlk birkaç değer şunlardır:

$\zeta (2)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$ (Basel problemi)
$\zeta (4)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{4}}}={\frac {\pi ^{4}}{90}}$
$\zeta (6)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{6}}}={\frac {\pi ^{6}}{945}}$

Kuvvet serileri

Düşük mertebeli polilogaritmalar

Sonlu toplamlar:

$\sum _{k=m}^{n}z^{k}={\frac {z^{m}-z^{n+1}}{1-z}}$ , (geometrik seri)
$\sum _{k=0}^{n}z^{k}={\frac {1-z^{n+1}}{1-z}}$
$\sum _{k=1}^{n}z^{k}={\frac {1-z^{n+1}}{1-z}}-1={\frac {z-z^{n+1}}{1-z}}$
$\sum _{k=1}^{n}kz^{k}=z{\frac {1-(n+1)z^{n}+nz^{n+1}}{(1-z)^{2}}}$
$\sum _{k=1}^{n}k^{2}z^{k}=z{\frac {1+z-(n+1)^{2}z^{n}+(2n^{2}+2n-1)z^{n+1}-n^{2}z^{n+2}}{(1-z)^{3}}}$
$\sum _{k=1}^{n}k^{m}z^{k}=\left(z{\frac {d}{dz}}\right)^{m}{\frac {1-z^{n+1}}{1-z}}$

Sonsuz toplamlar, $|z|<1$ için geçerli (bkz. ):

$\operatorname {Li} _{n}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k^{n}}}$

Aşağıdaki, düşük tam sayı mertebeli polilogaritmaları içinde özyinelemeli olarak hesaplamak için yararlı bir özelliktir:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {Li} _{n}(z)={\frac {\operatorname {Li} _{n-1}(z)}{z}}$
$\operatorname {Li} _{1}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k}}=-\ln(1-z)$
$\operatorname {Li} _{0}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }z^{k}={\frac {z}{1-z}}$
$\operatorname {Li} _{-1}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }kz^{k}={\frac {z}{(1-z)^{2}}}$
$\operatorname {Li} _{-2}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }k^{2}z^{k}={\frac {z(1+z)}{(1-z)^{3}}}$
$\operatorname {Li} _{-3}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }k^{3}z^{k}={\frac {z(1+4z+z^{2})}{(1-z)^{4}}}$
$\operatorname {Li} _{-4}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }k^{4}z^{k}={\frac {z(1+z)(1+10z+z^{2})}{(1-z)^{5}}}$

Üstel fonksiyon

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k!}}=e^{z}$
$\sum _{k=0}^{\infty }k{\frac {z^{k}}{k!}}=ze^{z}$ (bkz. Poisson dağılımı ortalaması)
$\sum _{k=0}^{\infty }k^{2}{\frac {z^{k}}{k!}}=(z+z^{2})e^{z}$ (bkz. Poisson dağılımının (ikinci momenti))
$\sum _{k=0}^{\infty }k^{3}{\frac {z^{k}}{k!}}=(z+3z^{2}+z^{3})e^{z}$
$\sum _{k=0}^{\infty }k^{4}{\frac {z^{k}}{k!}}=(z+7z^{2}+6z^{3}+z^{4})e^{z}$
$\sum _{k=0}^{\infty }k^{n}{\frac {z^{k}}{k!}}=z{\frac {d}{dz}}\sum _{k=0}^{\infty }k^{n-1}{\frac {z^{k}}{k!}}\,\!=e^{z}T_{n}(z)$

burada; $T_{n}(z)$ .

Trigonometrik, ters trigonometrik, hiperbolik ve ters hiperbolik fonksiyonlar ilişkisi

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k+1}}{(2k+1)!}}=\sin z$
$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{2k+1}}{(2k+1)!}}=\sinh z$
$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k}}{(2k)!}}=\cos z$
$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{2k}}{(2k)!}}=\cosh z$
$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}(2^{2k}-1)2^{2k}B_{2k}z^{2k-1}}{(2k)!}}=\tan z,|z|<{\frac {\pi }{2}}$
$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(2^{2k}-1)2^{2k}B_{2k}z^{2k-1}}{(2k)!}}=\tanh z,|z|<{\frac {\pi }{2}}$
$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}2^{2k}B_{2k}z^{2k-1}}{(2k)!}}=\cot z,|z|<\pi$
$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {2^{2k}B_{2k}z^{2k-1}}{(2k)!}}=\coth z,|z|<\pi$
$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}(2^{2k}-2)B_{2k}z^{2k-1}}{(2k)!}}=\csc z,|z|<\pi$
$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {-(2^{2k}-2)B_{2k}z^{2k-1}}{(2k)!}}=\operatorname {csch} z,|z|<\pi$
$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}E_{2k}z^{2k}}{(2k)!}}=\operatorname {sech} z,|z|<{\frac {\pi }{2}}$
$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {E_{2k}z^{2k}}{(2k)!}}=\sec z,|z|<{\frac {\pi }{2}}$
$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}z^{2k}}{(2k)!}}=\operatorname {ver} z$ ()
$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}z^{2k}}{2(2k)!}}=\operatorname {hav} z$ ()
$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(2k)!z^{2k+1}}{2^{2k}(k!)^{2}(2k+1)}}=\arcsin z,|z|\leq 1$
$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(2k)!z^{2k+1}}{2^{2k}(k!)^{2}(2k+1)}}=\operatorname {arcsinh} {z},|z|\leq 1$
$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k+1}}{2k+1}}=\arctan z,|z|<1$
$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{2k+1}}{2k+1}}=\operatorname {arctanh} z,|z|<1$
$\ln 2+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}(2k)!z^{2k}}{2^{2k+1}k(k!)^{2}}}=\ln \left(1+{\sqrt {1+z^{2}}}\right),|z|\leq 1$

Değiştirilmiş faktöriyel paydalar

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!}{2^{4k}{\sqrt {2}}(2k)!(2k+1)!}}z^{k}={\sqrt {\frac {1-{\sqrt {1-z}}}{z}}},|z|<1$
$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {2^{2k}(k!)^{2}}{(k+1)(2k+1)!}}z^{2k+2}=\left(\arcsin {z}\right)^{2},|z|\leq 1$
$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\prod _{k=0}^{n-1}(4k^{2}+\alpha ^{2})}{(2n)!}}z^{2n}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\alpha \prod _{k=0}^{n-1}[(2k+1)^{2}+\alpha ^{2}]}{(2n+1)!}}z^{2n+1}=e^{\alpha \arcsin {z}},|z|\leq 1$

Binom katsayıları

$(1+z)^{\alpha }=\sum _{k=0}^{\infty }{\alpha \choose k}z^{k},|z|<1$ (bkz (Binom teoremi § Genelleştirilmiş Newton binom teoremi))
$\sum _{k=0}^{\infty }{{\alpha +k-1} \choose k}z^{k}={\frac {1}{(1-z)^{\alpha }}},|z|<1$
$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k+1}}{2k \choose k}z^{k}={\frac {1-{\sqrt {1-4z}}}{2z}},|z|\leq {\frac {1}{4}}$ , Catalan sayıları üreteç fonksiyonu
$\sum _{k=0}^{\infty }{2k \choose k}z^{k}={\frac {1}{\sqrt {1-4z}}},|z|<{\frac {1}{4}}$ , üreteç fonksiyonu
$\sum _{k=0}^{\infty }{2k+\alpha \choose k}z^{k}={\frac {1}{\sqrt {1-4z}}}\left({\frac {1-{\sqrt {1-4z}}}{2z}}\right)^{\alpha },|z|<{\frac {1}{4}}$

Harmonik sayılar

(Bkz , kendileri ${\textstyle H_{n}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{j}}}$ olarak tanımlanmıştır)

$\sum _{k=1}^{\infty }H_{k}z^{k}={\frac {-\ln(1-z)}{1-z}},|z|<1$
$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {H_{k}}{k+1}}z^{k+1}={\frac {1}{2}}\left[\ln(1-z)\right]^{2},\qquad |z|<1$
$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}H_{2k}}{2k+1}}z^{2k+1}={\frac {1}{2}}\arctan {z}\log {(1+z^{2})},\qquad |z|<1$
$\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{2n}{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}{\frac {z^{4n+2}}{4n+2}}={\frac {1}{4}}\arctan {z}\log {\frac {1+z}{1-z}},\qquad |z|<1$

Binom katsayıları

$\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}=2^{n}$
$\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}=0,{\text{ burada; }}n\geq 1$
$\sum _{k=0}^{n}{k \choose m}={n+1 \choose m+1}$
$\sum _{k=0}^{n}{m+k-1 \choose k}={n+m \choose n}$ (bkz )
$\sum _{k=0}^{n}{\alpha \choose k}{\beta \choose n-k}={\alpha +\beta \choose n}$ (bkz )

Trigonometrik fonksiyonlar

Sinüsler ve kosinüsler toplamı, Fourier serileri'nde ortaya çıkar.

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos(k\theta )}{k}}=-{\frac {1}{2}}\ln(2-2\cos \theta )=-\ln \left(2\sin {\frac {\theta }{2}}\right),0<\theta <2\pi$
$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(k\theta )}{k}}={\frac {\pi -\theta }{2}},0<\theta <2\pi$
$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}\cos(k\theta )={\frac {1}{2}}\ln(2+2\cos \theta )=\ln \left(2\cos {\frac {\theta }{2}}\right),0\leq \theta <\pi$
$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}\sin(k\theta )={\frac {\theta }{2}},-{\frac {\pi }{2}}\leq \theta \leq {\frac {\pi }{2}}$
$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos(2k\theta )}{2k}}=-{\frac {1}{2}}\ln(2\sin \theta ),0<\theta <\pi$
$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2k\theta )}{2k}}={\frac {\pi -2\theta }{4}},0<\theta <\pi$
$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\cos[(2k+1)\theta ]}{2k+1}}={\frac {1}{2}}\ln \left(\cot {\frac {\theta }{2}}\right),0<\theta <\pi$
$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin[(2k+1)\theta ]}{2k+1}}={\frac {\pi }{4}},0<\theta <\pi$ ,
$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}=\pi \left({\dfrac {1}{2}}-\{x\}\right),\ x\in \mathbb {R}$
$\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin \left(2\pi kx\right)}{k^{2n-1}}}=(-1)^{n}{\frac {(2\pi )^{2n-1}}{2(2n-1)!}}B_{2n-1}(\{x\}),\ x\in \mathbb {R} ,\ n\in \mathbb {N}$
$\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos \left(2\pi kx\right)}{k^{2n}}}=(-1)^{n-1}{\frac {(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}}B_{2n}(\{x\}),\ x\in \mathbb {R} ,\ n\in \mathbb {N}$
$B_{n}(x)=-{\frac {n!}{2^{n-1}\pi ^{n}}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{n}}}\cos \left(2\pi kx-{\frac {\pi n}{2}}\right),0<x<1$
$\sum _{k=0}^{n}\sin(\theta +k\alpha )={\frac {\sin {\frac {(n+1)\alpha }{2}}\sin(\theta +{\frac {n\alpha }{2}})}{\sin {\frac {\alpha }{2}}}}$
$\sum _{k=0}^{n}\cos(\theta +k\alpha )={\frac {\sin {\frac {(n+1)\alpha }{2}}\cos(\theta +{\frac {n\alpha }{2}})}{\sin {\frac {\alpha }{2}}}}$
$\sum _{k=1}^{n-1}\sin {\frac {\pi k}{n}}=\cot {\frac {\pi }{2n}}$
$\sum _{k=1}^{n-1}\sin {\frac {2\pi k}{n}}=0$
$\sum _{k=0}^{n-1}\csc ^{2}\left(\theta +{\frac {\pi k}{n}}\right)=n^{2}\csc ^{2}(n\theta )$
$\sum _{k=1}^{n-1}\csc ^{2}{\frac {\pi k}{n}}={\frac {n^{2}-1}{3}}$
$\sum _{k=1}^{n-1}\csc ^{4}{\frac {\pi k}{n}}={\frac {n^{4}+10n^{2}-11}{45}}$

Rasyonel fonksiyonlar

$\sum _{n=a+1}^{\infty }{\frac {a}{n^{2}-a^{2}}}={\frac {1}{2}}H_{2a}$
$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}+a^{2}}}={\frac {1+a\pi \coth(a\pi )}{2a^{2}}}$
$\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n^{4}+4a^{4}}}={\dfrac {1}{8a^{4}}}+{\dfrac {\pi (\sinh(2\pi a)+\sin(2\pi a))}{8a^{3}(\cosh(2\pi a)-\cos(2\pi a))}}$
$n$ 'nin herhangi bir 'unun sonsuz bir serisi, açıklandığı gibi kullanılarak poligama fonksiyonu'nun sonlu bir serisine indirgenebilir. Bu gerçek, rasyonel fonksiyonların sonlu serilerine de uygulanabilir ve seri çok sayıda terim içerdiğinde bile sonucun sabit zamanda hesaplanmasına izin verir.

Üstel fonksiyon

$\displaystyle {\dfrac {1}{\sqrt {p}}}\sum _{n=0}^{p-1}\exp \left({\frac {2\pi in^{2}q}{p}}\right)={\dfrac {e^{\pi i/4}}{\sqrt {2q}}}\sum _{n=0}^{2q-1}\exp \left(-{\frac {\pi in^{2}p}{2q}}\right)$ (bkz. )
$\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-\pi n^{2}}={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}$

Nümerik seriler

Bu numerik seriler, yukarıda listelenen serilerdeki sayılar eklenerek bulunabilir.

Alternatif harmonik seriler

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\cdots =\ln 2$
$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{2k-1}}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}}$

Faktöriyellerin tersinin toplamı

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\cdots =e$
$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k)!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{4!}}+{\frac {1}{6!}}+{\frac {1}{8!}}+\cdots ={\frac {1}{2}}\left(e+{\frac {1}{e}}\right)=\cosh 1$
$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(3k)!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{6!}}+{\frac {1}{9!}}+{\frac {1}{12!}}+\cdots ={\frac {1}{3}}\left(e+{\frac {2}{\sqrt {e}}}\cos {\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)$
$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(4k)!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{4!}}+{\frac {1}{8!}}+{\frac {1}{12!}}+{\frac {1}{16!}}+\cdots ={\frac {1}{2}}\left(\cos 1+\cosh 1\right)$

Trigonometri ve π

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k+1)!}}={\frac {1}{1!}}-{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{5!}}-{\frac {1}{7!}}+{\frac {1}{9!}}+\cdots =\sin 1$
$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k)!}}={\frac {1}{0!}}-{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{4!}}-{\frac {1}{6!}}+{\frac {1}{8!}}+\cdots =\cos 1$
$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}+1}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{17}}+\cdots ={\frac {1}{2}}(\pi \coth \pi -1)$
$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k^{2}+1}}=-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{17}}+\cdots ={\frac {1}{2}}(\pi \operatorname {csch} \pi -1)$
$3+{\frac {4}{2\times 3\times 4}}-{\frac {4}{4\times 5\times 6}}+{\frac {4}{6\times 7\times 8}}-{\frac {4}{8\times 9\times 10}}+\cdots =\pi$

Üçgensel sayıların tersi

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{T_{k}}}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{15}}+\cdots =2$

Burada; $T_{n}=\sum _{k=1}^{n}k$

Dörtyüzlüsel sayıların tersi

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{Te_{k}}}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{20}}+{\frac {1}{35}}+\cdots ={\frac {3}{2}}$

Burada; $Te_{n}=\sum _{k=1}^{n}T_{k}$

Üstel ve logaritmalar

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)(2k+2)}}={\frac {1}{1\times 2}}+{\frac {1}{3\times 4}}+{\frac {1}{5\times 6}}+{\frac {1}{7\times 8}}+{\frac {1}{9\times 10}}+\cdots =\ln 2$
$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}k}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{64}}+{\frac {1}{160}}+\cdots =\ln 2$
$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{2^{k}k}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{3^{k}k}}={\Bigg (}{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}{\Bigg )}-{\Bigg (}{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{18}}{\Bigg )}+{\Bigg (}{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{81}}{\Bigg )}-{\Bigg (}{\frac {1}{64}}+{\frac {1}{324}}{\Bigg )}+\cdots =\ln 2$
$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{3^{k}k}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{4^{k}k}}={\Bigg (}{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}{\Bigg )}+{\Bigg (}{\frac {1}{18}}+{\frac {1}{32}}{\Bigg )}+{\Bigg (}{\frac {1}{81}}+{\frac {1}{192}}{\Bigg )}+{\Bigg (}{\frac {1}{324}}+{\frac {1}{1024}}{\Bigg )}+\cdots =\ln 2$

Ayrıca bakınız

Notlar

^ Weisstein, Eric W. "Haversine". MathWorld. 10 Mart 2005 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 6 Kasım 2015.
^ ^a ^b ^c ^d Wilf, Herbert R. (1994). generatingfunctionology (PDF). Academic Press, Inc. 27 Nisan 2021 tarihinde kaynağından (PDF). Erişim tarihi: 13 Temmuz 2023.
^ ^a ^b ^c ^d (PDF). 10 Haziran 2003 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi.
^
$f(x)={\frac {\pi }{4}}$ fonksiyonun Fourier açılımını $0<x<\pi$ aralığında hesaplayın:
- ${\frac {\pi }{4}}=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}\sin[nx]+d_{n}\cos[nx]$
$\Rightarrow {\begin{cases}c_{n}={\begin{cases}{\frac {1}{n}}\quad (n{\text{ tek}})\\0\quad (n{\text{ çift}})\end{cases}}\\d_{n}=0\quad (\forall n)\end{cases}}$
^ . Wolfram Research. 28 Eylül 2011 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 2 Haziran 2011.
^ Hofbauer, Josef. (PDF). 20 Temmuz 2007 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi. Erişim tarihi: 2 Haziran 2011.
^ Sondow, Jonathan; Weisstein, Eric W. . MathWorld—A Wolfram Web Resource. 17 Ağustos 2000 tarihinde kaynağından arşivlendi.
^ ; (1964). "6.4 Polygamma functions". . s. 260. ISBN .

Kaynakça

İntegraller listesi içeren birçok kitapta, seriler listesi de vardır.
${\frac {\pi }{4}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\left(-1\right)^{k}}{2k+1}}$

wikipedia, wiki, viki, vikipedia, oku, kitap, kütüphane, kütübhane, ara, ara bul, bul, herşey, ne arasanız burada,hikayeler, makale, kitaplar, öğren, wiki, bilgi, tarih, yukle, izle, telefon için, turk, türk, türkçe, turkce, nasıl yapılır, ne demek, nasıl, yapmak, yapılır, indir, ücretsiz, ücretsiz indir, bedava, bedava indir, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, resim, müzik, şarkı, film, film, oyun, oyunlar, mobil, cep telefonu, telefon, android, ios, apple, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, pc, web, computer, bilgisayar

Asagidaki matematiksel seriler listesi sonlu ve sonsuz toplamlar icin formuller icerir Toplamlari degerlendirmek icin diger araclarla birlikte kullanilabilir Burada 00 displaystyle 0 0 1 displaystyle 1 degerine sahip oldugu kabul edilir x displaystyle x x displaystyle x in kesirli kismini ifade eder Bn x displaystyle B n x bir Bn displaystyle B n bir Bernoulli sayisidir ve burada B1 12 displaystyle B 1 frac 1 2 dir En displaystyle E n bir Euler sayisidir z s displaystyle zeta s Riemann zeta fonksiyonudur G z displaystyle Gamma z gama fonksiyonudur psn z displaystyle psi n z bir poligama fonksiyonudur Lis z displaystyle operatorname Li s z bir nk displaystyle n choose k exp x displaystyle exp x x displaystyle x in ustel ini belirtir Kuvvetler toplamiBkz k 0mkn 1 Bn m 1 Bnn displaystyle sum k 0 m k n 1 frac B n m 1 B n n Ilk birkac deger sunlardir k 1mk m m 1 2 displaystyle sum k 1 m k frac m m 1 2 k 1mk2 m m 1 2m 1 6 m33 m22 m6 displaystyle sum k 1 m k 2 frac m m 1 2m 1 6 frac m 3 3 frac m 2 2 frac m 6 k 1mk3 m m 1 2 2 m44 m32 m24 displaystyle sum k 1 m k 3 left frac m m 1 2 right 2 frac m 4 4 frac m 3 2 frac m 2 4 Bkz zeta sabitleri z 2n k 1 1k2n 1 n 1B2n 2p 2n2 2n displaystyle zeta 2n sum k 1 infty frac 1 k 2n 1 n 1 frac B 2n 2 pi 2n 2 2n Ilk birkac deger sunlardir z 2 k 1 1k2 p26 displaystyle zeta 2 sum k 1 infty frac 1 k 2 frac pi 2 6 Basel problemi z 4 k 1 1k4 p490 displaystyle zeta 4 sum k 1 infty frac 1 k 4 frac pi 4 90 z 6 k 1 1k6 p6945 displaystyle zeta 6 sum k 1 infty frac 1 k 6 frac pi 6 945 Kuvvet serileriDusuk mertebeli polilogaritmalar Sonlu toplamlar k mnzk zm zn 11 z displaystyle sum k m n z k frac z m z n 1 1 z geometrik seri k 0nzk 1 zn 11 z displaystyle sum k 0 n z k frac 1 z n 1 1 z k 1nzk 1 zn 11 z 1 z zn 11 z displaystyle sum k 1 n z k frac 1 z n 1 1 z 1 frac z z n 1 1 z k 1nkzk z1 n 1 zn nzn 1 1 z 2 displaystyle sum k 1 n kz k z frac 1 n 1 z n nz n 1 1 z 2 k 1nk2zk z1 z n 1 2zn 2n2 2n 1 zn 1 n2zn 2 1 z 3 displaystyle sum k 1 n k 2 z k z frac 1 z n 1 2 z n 2n 2 2n 1 z n 1 n 2 z n 2 1 z 3 k 1nkmzk zddz m1 zn 11 z displaystyle sum k 1 n k m z k left z frac d dz right m frac 1 z n 1 1 z Sonsuz toplamlar z lt 1 displaystyle z lt 1 icin gecerli bkz Lin z k 1 zkkn displaystyle operatorname Li n z sum k 1 infty frac z k k n Asagidaki dusuk tam sayi mertebeli polilogaritmalari icinde ozyinelemeli olarak hesaplamak icin yararli bir ozelliktir ddzLin z Lin 1 z z displaystyle frac mathrm d mathrm d z operatorname Li n z frac operatorname Li n 1 z z Li1 z k 1 zkk ln 1 z displaystyle operatorname Li 1 z sum k 1 infty frac z k k ln 1 z Li0 z k 1 zk z1 z displaystyle operatorname Li 0 z sum k 1 infty z k frac z 1 z Li 1 z k 1 kzk z 1 z 2 displaystyle operatorname Li 1 z sum k 1 infty kz k frac z 1 z 2 Li 2 z k 1 k2zk z 1 z 1 z 3 displaystyle operatorname Li 2 z sum k 1 infty k 2 z k frac z 1 z 1 z 3 Li 3 z k 1 k3zk z 1 4z z2 1 z 4 displaystyle operatorname Li 3 z sum k 1 infty k 3 z k frac z 1 4z z 2 1 z 4 Li 4 z k 1 k4zk z 1 z 1 10z z2 1 z 5 displaystyle operatorname Li 4 z sum k 1 infty k 4 z k frac z 1 z 1 10z z 2 1 z 5 Ustel fonksiyon k 0 zkk ez displaystyle sum k 0 infty frac z k k e z k 0 kzkk zez displaystyle sum k 0 infty k frac z k k ze z bkz Poisson dagilimi ortalamasi k 0 k2zkk z z2 ez displaystyle sum k 0 infty k 2 frac z k k z z 2 e z bkz Poisson dagiliminin ikinci momenti k 0 k3zkk z 3z2 z3 ez displaystyle sum k 0 infty k 3 frac z k k z 3z 2 z 3 e z k 0 k4zkk z 7z2 6z3 z4 ez displaystyle sum k 0 infty k 4 frac z k k z 7z 2 6z 3 z 4 e z k 0 knzkk zddz k 0 kn 1zkk ezTn z displaystyle sum k 0 infty k n frac z k k z frac d dz sum k 0 infty k n 1 frac z k k e z T n z burada Tn z displaystyle T n z Trigonometrik ters trigonometrik hiperbolik ve ters hiperbolik fonksiyonlar iliskisi k 0 1 kz2k 1 2k 1 sin z displaystyle sum k 0 infty frac 1 k z 2k 1 2k 1 sin z k 0 z2k 1 2k 1 sinh z displaystyle sum k 0 infty frac z 2k 1 2k 1 sinh z k 0 1 kz2k 2k cos z displaystyle sum k 0 infty frac 1 k z 2k 2k cos z k 0 z2k 2k cosh z displaystyle sum k 0 infty frac z 2k 2k cosh z k 1 1 k 1 22k 1 22kB2kz2k 1 2k tan z z lt p2 displaystyle sum k 1 infty frac 1 k 1 2 2k 1 2 2k B 2k z 2k 1 2k tan z z lt frac pi 2 k 1 22k 1 22kB2kz2k 1 2k tanh z z lt p2 displaystyle sum k 1 infty frac 2 2k 1 2 2k B 2k z 2k 1 2k tanh z z lt frac pi 2 k 0 1 k22kB2kz2k 1 2k cot z z lt p displaystyle sum k 0 infty frac 1 k 2 2k B 2k z 2k 1 2k cot z z lt pi k 0 22kB2kz2k 1 2k coth z z lt p displaystyle sum k 0 infty frac 2 2k B 2k z 2k 1 2k coth z z lt pi k 0 1 k 1 22k 2 B2kz2k 1 2k csc z z lt p displaystyle sum k 0 infty frac 1 k 1 2 2k 2 B 2k z 2k 1 2k csc z z lt pi k 0 22k 2 B2kz2k 1 2k csch z z lt p displaystyle sum k 0 infty frac 2 2k 2 B 2k z 2k 1 2k operatorname csch z z lt pi k 0 1 kE2kz2k 2k sech z z lt p2 displaystyle sum k 0 infty frac 1 k E 2k z 2k 2k operatorname sech z z lt frac pi 2 k 0 E2kz2k 2k sec z z lt p2 displaystyle sum k 0 infty frac E 2k z 2k 2k sec z z lt frac pi 2 k 1 1 k 1z2k 2k ver z displaystyle sum k 1 infty frac 1 k 1 z 2k 2k operatorname ver z k 1 1 k 1z2k2 2k hav z displaystyle sum k 1 infty frac 1 k 1 z 2k 2 2k operatorname hav z k 0 2k z2k 122k k 2 2k 1 arcsin z z 1 displaystyle sum k 0 infty frac 2k z 2k 1 2 2k k 2 2k 1 arcsin z z leq 1 k 0 1 k 2k z2k 122k k 2 2k 1 arcsinh z z 1 displaystyle sum k 0 infty frac 1 k 2k z 2k 1 2 2k k 2 2k 1 operatorname arcsinh z z leq 1 k 0 1 kz2k 12k 1 arctan z z lt 1 displaystyle sum k 0 infty frac 1 k z 2k 1 2k 1 arctan z z lt 1 k 0 z2k 12k 1 arctanh z z lt 1 displaystyle sum k 0 infty frac z 2k 1 2k 1 operatorname arctanh z z lt 1 ln 2 k 1 1 k 1 2k z2k22k 1k k 2 ln 1 1 z2 z 1 displaystyle ln 2 sum k 1 infty frac 1 k 1 2k z 2k 2 2k 1 k k 2 ln left 1 sqrt 1 z 2 right z leq 1 Degistirilmis faktoriyel paydalar k 0 4k 24k2 2k 2k 1 zk 1 1 zz z lt 1 displaystyle sum k 0 infty frac 4k 2 4k sqrt 2 2k 2k 1 z k sqrt frac 1 sqrt 1 z z z lt 1 k 0 22k k 2 k 1 2k 1 z2k 2 arcsin z 2 z 1 displaystyle sum k 0 infty frac 2 2k k 2 k 1 2k 1 z 2k 2 left arcsin z right 2 z leq 1 n 0 k 0n 1 4k2 a2 2n z2n n 0 a k 0n 1 2k 1 2 a2 2n 1 z2n 1 eaarcsin z z 1 displaystyle sum n 0 infty frac prod k 0 n 1 4k 2 alpha 2 2n z 2n sum n 0 infty frac alpha prod k 0 n 1 2k 1 2 alpha 2 2n 1 z 2n 1 e alpha arcsin z z leq 1 Binom katsayilari 1 z a k 0 ak zk z lt 1 displaystyle 1 z alpha sum k 0 infty alpha choose k z k z lt 1 bkz Binom teoremi Genellestirilmis Newton binom teoremi k 0 a k 1k zk 1 1 z a z lt 1 displaystyle sum k 0 infty alpha k 1 choose k z k frac 1 1 z alpha z lt 1 k 0 1k 1 2kk zk 1 1 4z2z z 14 displaystyle sum k 0 infty frac 1 k 1 2k choose k z k frac 1 sqrt 1 4z 2z z leq frac 1 4 Catalan sayilari uretec fonksiyonu k 0 2kk zk 11 4z z lt 14 displaystyle sum k 0 infty 2k choose k z k frac 1 sqrt 1 4z z lt frac 1 4 uretec fonksiyonu k 0 2k ak zk 11 4z 1 1 4z2z a z lt 14 displaystyle sum k 0 infty 2k alpha choose k z k frac 1 sqrt 1 4z left frac 1 sqrt 1 4z 2z right alpha z lt frac 1 4 Harmonik sayilar Bkz kendileri Hn j 1n1j textstyle H n sum j 1 n frac 1 j olarak tanimlanmistir k 1 Hkzk ln 1 z 1 z z lt 1 displaystyle sum k 1 infty H k z k frac ln 1 z 1 z z lt 1 k 1 Hkk 1zk 1 12 ln 1 z 2 z lt 1 displaystyle sum k 1 infty frac H k k 1 z k 1 frac 1 2 left ln 1 z right 2 qquad z lt 1 k 1 1 k 1H2k2k 1z2k 1 12arctan zlog 1 z2 z lt 1 displaystyle sum k 1 infty frac 1 k 1 H 2k 2k 1 z 2k 1 frac 1 2 arctan z log 1 z 2 qquad z lt 1 n 0 k 02n 1 k2k 1z4n 24n 2 14arctan zlog 1 z1 z z lt 1 displaystyle sum n 0 infty sum k 0 2n frac 1 k 2k 1 frac z 4n 2 4n 2 frac 1 4 arctan z log frac 1 z 1 z qquad z lt 1 Binom katsayilari k 0n nk 2n displaystyle sum k 0 n n choose k 2 n k 0n 1 k nk 0 burada n 1 displaystyle sum k 0 n 1 k n choose k 0 text burada n geq 1 k 0n km n 1m 1 displaystyle sum k 0 n k choose m n 1 choose m 1 k 0n m k 1k n mn displaystyle sum k 0 n m k 1 choose k n m choose n bkz k 0n ak bn k a bn displaystyle sum k 0 n alpha choose k beta choose n k alpha beta choose n bkz Trigonometrik fonksiyonlarSinusler ve kosinusler toplami Fourier serileri nde ortaya cikar k 1 cos k8 k 12ln 2 2cos 8 ln 2sin 82 0 lt 8 lt 2p displaystyle sum k 1 infty frac cos k theta k frac 1 2 ln 2 2 cos theta ln left 2 sin frac theta 2 right 0 lt theta lt 2 pi k 1 sin k8 k p 82 0 lt 8 lt 2p displaystyle sum k 1 infty frac sin k theta k frac pi theta 2 0 lt theta lt 2 pi k 1 1 k 1kcos k8 12ln 2 2cos 8 ln 2cos 82 0 8 lt p displaystyle sum k 1 infty frac 1 k 1 k cos k theta frac 1 2 ln 2 2 cos theta ln left 2 cos frac theta 2 right 0 leq theta lt pi k 1 1 k 1ksin k8 82 p2 8 p2 displaystyle sum k 1 infty frac 1 k 1 k sin k theta frac theta 2 frac pi 2 leq theta leq frac pi 2 k 1 cos 2k8 2k 12ln 2sin 8 0 lt 8 lt p displaystyle sum k 1 infty frac cos 2k theta 2k frac 1 2 ln 2 sin theta 0 lt theta lt pi k 1 sin 2k8 2k p 284 0 lt 8 lt p displaystyle sum k 1 infty frac sin 2k theta 2k frac pi 2 theta 4 0 lt theta lt pi k 0 cos 2k 1 8 2k 1 12ln cot 82 0 lt 8 lt p displaystyle sum k 0 infty frac cos 2k 1 theta 2k 1 frac 1 2 ln left cot frac theta 2 right 0 lt theta lt pi k 0 sin 2k 1 8 2k 1 p4 0 lt 8 lt p displaystyle sum k 0 infty frac sin 2k 1 theta 2k 1 frac pi 4 0 lt theta lt pi k 1 sin 2pkx k p 12 x x R displaystyle sum k 1 infty frac sin 2 pi kx k pi left dfrac 1 2 x right x in mathbb R k 1 sin 2pkx k2n 1 1 n 2p 2n 12 2n 1 B2n 1 x x R n N displaystyle sum limits k 1 infty frac sin left 2 pi kx right k 2n 1 1 n frac 2 pi 2n 1 2 2n 1 B 2n 1 x x in mathbb R n in mathbb N k 1 cos 2pkx k2n 1 n 1 2p 2n2 2n B2n x x R n N displaystyle sum limits k 1 infty frac cos left 2 pi kx right k 2n 1 n 1 frac 2 pi 2n 2 2n B 2n x x in mathbb R n in mathbb N Bn x n 2n 1pn k 1 1kncos 2pkx pn2 0 lt x lt 1 displaystyle B n x frac n 2 n 1 pi n sum k 1 infty frac 1 k n cos left 2 pi kx frac pi n 2 right 0 lt x lt 1 k 0nsin 8 ka sin n 1 a2sin 8 na2 sin a2 displaystyle sum k 0 n sin theta k alpha frac sin frac n 1 alpha 2 sin theta frac n alpha 2 sin frac alpha 2 k 0ncos 8 ka sin n 1 a2cos 8 na2 sin a2 displaystyle sum k 0 n cos theta k alpha frac sin frac n 1 alpha 2 cos theta frac n alpha 2 sin frac alpha 2 k 1n 1sin pkn cot p2n displaystyle sum k 1 n 1 sin frac pi k n cot frac pi 2n k 1n 1sin 2pkn 0 displaystyle sum k 1 n 1 sin frac 2 pi k n 0 k 0n 1csc2 8 pkn n2csc2 n8 displaystyle sum k 0 n 1 csc 2 left theta frac pi k n right n 2 csc 2 n theta k 1n 1csc2 pkn n2 13 displaystyle sum k 1 n 1 csc 2 frac pi k n frac n 2 1 3 k 1n 1csc4 pkn n4 10n2 1145 displaystyle sum k 1 n 1 csc 4 frac pi k n frac n 4 10n 2 11 45 Rasyonel fonksiyonlar n a 1 an2 a2 12H2a displaystyle sum n a 1 infty frac a n 2 a 2 frac 1 2 H 2a n 0 1n2 a2 1 apcoth ap 2a2 displaystyle sum n 0 infty frac 1 n 2 a 2 frac 1 a pi coth a pi 2a 2 n 0 1n4 4a4 18a4 p sinh 2pa sin 2pa 8a3 cosh 2pa cos 2pa displaystyle displaystyle sum n 0 infty frac 1 n 4 4a 4 dfrac 1 8a 4 dfrac pi sinh 2 pi a sin 2 pi a 8a 3 cosh 2 pi a cos 2 pi a n displaystyle n nin herhangi bir unun sonsuz bir serisi aciklandigi gibi kullanilarak poligama fonksiyonu nun sonlu bir serisine indirgenebilir Bu gercek rasyonel fonksiyonlarin sonlu serilerine de uygulanabilir ve seri cok sayida terim icerdiginde bile sonucun sabit zamanda hesaplanmasina izin verir Ustel fonksiyon1p n 0p 1exp 2pin2qp epi 42q n 02q 1exp pin2p2q displaystyle displaystyle dfrac 1 sqrt p sum n 0 p 1 exp left frac 2 pi in 2 q p right dfrac e pi i 4 sqrt 2q sum n 0 2q 1 exp left frac pi in 2 p 2q right bkz n e pn2 p4G 34 displaystyle displaystyle sum n infty infty e pi n 2 frac sqrt 4 pi Gamma left frac 3 4 right Numerik serilerBu numerik seriler yukarida listelenen serilerdeki sayilar eklenerek bulunabilir Alternatif harmonik seriler k 1 1 k 1k 11 12 13 14 ln 2 displaystyle sum k 1 infty frac 1 k 1 k frac 1 1 frac 1 2 frac 1 3 frac 1 4 cdots ln 2 k 1 1 k 12k 1 11 13 15 17 19 p4 displaystyle sum k 1 infty frac 1 k 1 2k 1 frac 1 1 frac 1 3 frac 1 5 frac 1 7 frac 1 9 cdots frac pi 4 Faktoriyellerin tersinin toplami k 0 1k 10 11 12 13 14 e displaystyle sum k 0 infty frac 1 k frac 1 0 frac 1 1 frac 1 2 frac 1 3 frac 1 4 cdots e k 0 1 2k 10 12 14 16 18 12 e 1e cosh 1 displaystyle sum k 0 infty frac 1 2k frac 1 0 frac 1 2 frac 1 4 frac 1 6 frac 1 8 cdots frac 1 2 left e frac 1 e right cosh 1 k 0 1 3k 10 13 16 19 112 13 e 2ecos 32 displaystyle sum k 0 infty frac 1 3k frac 1 0 frac 1 3 frac 1 6 frac 1 9 frac 1 12 cdots frac 1 3 left e frac 2 sqrt e cos frac sqrt 3 2 right k 0 1 4k 10 14 18 112 116 12 cos 1 cosh 1 displaystyle sum k 0 infty frac 1 4k frac 1 0 frac 1 4 frac 1 8 frac 1 12 frac 1 16 cdots frac 1 2 left cos 1 cosh 1 right Trigonometri ve p k 0 1 k 2k 1 11 13 15 17 19 sin 1 displaystyle sum k 0 infty frac 1 k 2k 1 frac 1 1 frac 1 3 frac 1 5 frac 1 7 frac 1 9 cdots sin 1 k 0 1 k 2k 10 12 14 16 18 cos 1 displaystyle sum k 0 infty frac 1 k 2k frac 1 0 frac 1 2 frac 1 4 frac 1 6 frac 1 8 cdots cos 1 k 1 1k2 1 12 15 110 117 12 pcoth p 1 displaystyle sum k 1 infty frac 1 k 2 1 frac 1 2 frac 1 5 frac 1 10 frac 1 17 cdots frac 1 2 pi coth pi 1 k 1 1 kk2 1 12 15 110 117 12 pcsch p 1 displaystyle sum k 1 infty frac 1 k k 2 1 frac 1 2 frac 1 5 frac 1 10 frac 1 17 cdots frac 1 2 pi operatorname csch pi 1 3 42 3 4 44 5 6 46 7 8 48 9 10 p displaystyle 3 frac 4 2 times 3 times 4 frac 4 4 times 5 times 6 frac 4 6 times 7 times 8 frac 4 8 times 9 times 10 cdots pi Ucgensel sayilarin tersi k 1 1Tk 11 13 16 110 115 2 displaystyle sum k 1 infty frac 1 T k frac 1 1 frac 1 3 frac 1 6 frac 1 10 frac 1 15 cdots 2 Burada Tn k 1nk displaystyle T n sum k 1 n k Dortyuzlusel sayilarin tersi k 1 1Tek 11 14 110 120 135 32 displaystyle sum k 1 infty frac 1 Te k frac 1 1 frac 1 4 frac 1 10 frac 1 20 frac 1 35 cdots frac 3 2 Burada Ten k 1nTk displaystyle Te n sum k 1 n T k Ustel ve logaritmalar k 0 1 2k 1 2k 2 11 2 13 4 15 6 17 8 19 10 ln 2 displaystyle sum k 0 infty frac 1 2k 1 2k 2 frac 1 1 times 2 frac 1 3 times 4 frac 1 5 times 6 frac 1 7 times 8 frac 1 9 times 10 cdots ln 2 k 1 12kk 12 18 124 164 1160 ln 2 displaystyle sum k 1 infty frac 1 2 k k frac 1 2 frac 1 8 frac 1 24 frac 1 64 frac 1 160 cdots ln 2 k 1 1 k 12kk k 1 1 k 13kk 12 13 18 118 124 181 164 1324 ln 2 displaystyle sum k 1 infty frac 1 k 1 2 k k sum k 1 infty frac 1 k 1 3 k k Bigg frac 1 2 frac 1 3 Bigg Bigg frac 1 8 frac 1 18 Bigg Bigg frac 1 24 frac 1 81 Bigg Bigg frac 1 64 frac 1 324 Bigg cdots ln 2 k 1 13kk k 1 14kk 13 14 118 132 181 1192 1324 11024 ln 2 displaystyle sum k 1 infty frac 1 3 k k sum k 1 infty frac 1 4 k k Bigg frac 1 3 frac 1 4 Bigg Bigg frac 1 18 frac 1 32 Bigg Bigg frac 1 81 frac 1 192 Bigg Bigg frac 1 324 frac 1 1024 Bigg cdots ln 2 Ayrica bakinizSeri matematik Integraller listesi Toplam Ozdeslikler Taylor serisi Binom teoremiNotlar Weisstein Eric W Haversine MathWorld 10 Mart 2005 tarihinde kaynagindan Erisim tarihi 6 Kasim 2015 a b c d Wilf Herbert R 1994 generatingfunctionology PDF Academic Press Inc 27 Nisan 2021 tarihinde kaynagindan PDF Erisim tarihi 13 Temmuz 2023 a b c d PDF 10 Haziran 2003 tarihinde kaynagindan PDF arsivlendi f x p4 displaystyle f x frac pi 4 fonksiyonun Fourier acilimini 0 lt x lt p displaystyle 0 lt x lt pi araliginda hesaplayin p4 n 0 cnsin nx dncos nx displaystyle frac pi 4 sum n 0 infty c n sin nx d n cos nx cn 1n n tek 0 n cift dn 0 n displaystyle Rightarrow begin cases c n begin cases frac 1 n quad n text tek 0 quad n text cift end cases d n 0 quad forall n end cases Wolfram Research 28 Eylul 2011 tarihinde kaynagindan arsivlendi Erisim tarihi 2 Haziran 2011 Hofbauer Josef PDF 20 Temmuz 2007 tarihinde kaynagindan PDF arsivlendi Erisim tarihi 2 Haziran 2011 Sondow Jonathan Weisstein Eric W MathWorld A Wolfram Web Resource 17 Agustos 2000 tarihinde kaynagindan arsivlendi 1964 6 4 Polygamma functions s 260 ISBN 0 486 61272 4 KaynakcaIntegraller listesi iceren bircok kitapta seriler listesi de vardir p4 k 0 1 k2k 1 displaystyle frac pi 4 sum k 0 infty frac left 1 right k 2k 1

Yayın tarihi: Temmuz 06, 2024, 14:59 pm