Multinom dağılımı

Olasılık kuramı ve istatistik bilim kollarında, multinom dağılımı binom dağılımının genelleştirilmesidir.

Multinom

Olasılık kütle fonksiyonu
Yığmalı dağılım fonksiyonu
Parametreler	${\displaystyle n>0}$ denemeler sayısı (tam sayı) ${\displaystyle p_{1},\ldots p_{k}}$ olay olasılıkları(${\displaystyle \Sigma p_{i}=1}$)
	${\displaystyle X_{i}\in \{0,\dots ,n\}}$ ${\displaystyle \Sigma X_{i}=n\!}$
Olasılık kütle fonksiyonu (OYF)	${\displaystyle {\frac {n!}{x_{1}!\cdots x_{k}!}}p_{1}^{x_{1}}\cdots p_{k}^{x_{k}}}$
Birikimli dağılım fonksiyonu (YDF)
Ortalama	${\displaystyle E\{X_{i}\}=np_{i}}$
Medyan
Mod
Varyans	${\displaystyle {\mathrm {Var} }(X_{i})=np_{i}(1-p_{i})}$ ${\displaystyle {\mathrm {Cov} }(X_{i},X_{j})=-np_{i}p_{j}}$ (${\displaystyle i\neq j}$)
Çarpıklık
Fazladan basıklık
Entropi
Moment üreten fonksiyon (mf)	${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{k}p_{i}e^{t_{i}}\right)^{n}}$
Karakteristik fonksiyon

Binom dağılım n sayıda her biri istatistiksel olarak bağımsız olan ' içinde her bir deneme için başarı olasılığı bilinip ve aynı olursa elde edilebilen başarılı sonuç sayısının olasılık dağılımıdır.

Bir multinom dağılımında her deneme sonlu bir sabit olan k sayıda mümkün sonuçtan sadece tek birinin gerçekleşmesi ile son bulur. Bu k sayıda mümkün sonucun her biri için sabit olasılıklar, yani

p₁, ..., p_k

bulunmaktadır; bunlar için

p_i ≥ 0 eğer i = 1, ..., k

ve ${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}p_{i}=1}$ n sayıda bağımsız deneme yapılır.

O zaman rassal değişkenler olan ${\displaystyle X_{i}}$ n deneme yapılırsa i sayılı sonucun gözümlenmesi sayısını ifade eder. ${\displaystyle X=(X_{1},\ldots ,X_{k})}$ ifadesi ise n ve vektör p parametreleri olan bir multinom dağılımı gösterir. Vektör p=(p₁, ..., p_k) olarak da yazılabilir.

Tanımlama

Olasılık kütle fonksiyonu

Multinom dağılımı için olasılık kütle fonksiyonu şudur:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x_{1},\ldots ,x_{k};n,p_{1},\ldots ,p_{k})&{}=\Pr(X_{1}=x_{1}{\mbox{ ve }}\dots {\mbox{ ve }}X_{k}=x_{k})\\\\&{}={\begin{cases}{\displaystyle {n! \over x_{1}!\cdots x_{k}!}p_{1}^{x_{1}}\cdots p_{k}^{x_{k}}},\quad &{\mbox{eğer }}\sum _{i=1}^{k}x_{i}=n\\\\0&{\mbox{diğer hallerde,}}\end{cases}}\end{aligned}}}$

burada x₁, ..., x_k negatif olmayan tam sayılardır.

Özellikleri

Beklenen değer şudur:

${\displaystyle \operatorname {E} (X_{i})=np_{i}.}$

Kovaryans matrisi şöyle gösterilir:

Bu matrisin orta çarprazında bulunan elemanlar bir binom dağılımlı rassal değişken için varyansdırlar:

${\displaystyle \operatorname {var} (X_{i})=np_{i}(1-p_{i}).}$

Orta çapraz dışındaki elemenlar kovaryans değerleridir:

${\displaystyle \operatorname {cov} (X_{i},X_{j})=-np_{i}p_{j}}$

Burada i, j birinden her zaman farklıdır.

Bütün kovaryans değerleri negatif işaretlidir; çünkü sabit bir N değeri için, bir multinom vektörünün bir parçasında olan artış, diğer bir parçasında bir düşüş olmasını gerektirir.

Bu kovaryans matrisi kertesi k - 1 olan bir k × k büyüklüğünde bir matristir.

Bununla ilişkili olan bir diğer matrik corelasyon matrisidir. Korelasyon matrisinin ana çapraz dışı elemanları şöyle bulunurlar:

${\displaystyle \rho (X_{i},X_{j})=-{\sqrt {\frac {p_{i}p_{j}}{(1-p_{i})(1-p_{j})}}}.}$

ve ana çapraz elemanlarının 1 olduğu aşikardır. Dikkat edilirse bu matris elemanlarının hesaplanmasında örneklem büyüklüğü hiç rol oynamaz. Bu matrisin her bir k parçası uygun bir i indeksi için ayrı ayrı olarak n ve p_i parametreleri olan bir binom dağılımı gösterir.

Bir multinom dağılımı için destek

${\displaystyle \{(n_{1},\dots ,n_{k})\in \mathbb {N} ^{k}|n_{1}+\cdots +n_{k}=n\}.}$

değerinde sağlanır ve bunun eleman sayısı

${\displaystyle {n+k-1 \choose k}=\left\langle {\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\rangle ,}$

olur. Bu k tipte olan bir n-kombinasyonudur.

İlişkili dağılımlar

• Eğer k = 2 ise multinom dağılımı bir binom dağılımı ile aynıdır
• istatistikte multinom dağılımının .

Ayrıca bakınız

Kaynakça

Bibliyografya

• Merran Evans, Nicholas Hastings ve Brian Peacock (2000) Statistical Distribution 3ncu ed. Wiley: New York say.134-13 isbn = 0-471-37124-6