Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında negatif binom dağılım bir ayrık olasılık dağılım tipi olup Pascal dağılımı ve Polya dağılımı bu dağılımın özel halleridir.
Olasılık kütle fonksiyonu![]() | |
Yığmalı dağılım fonksiyonu | |
Parametreler | () (real) |
---|---|
Olasılık kütle fonksiyonu (OYF) | |
Birikimli dağılım fonksiyonu (YDF) | |
Ortalama | |
Medyan | |
Mod | |
Varyans | |
Çarpıklık | |
Fazladan basıklık | |
Entropi | |
Moment üreten fonksiyon (mf) | |
Karakteristik fonksiyon |
Negatif binom dağılımın tanımlanması
Olasılık kütle fonksiyonu
Negatif binom dağılımları iki parametre ile tam olarak tanımlanan bir dağılımlar ailesidir. Bu nedenle istatistik tanıtıcı yazınlarında değişik şekilde tanımlar ortaya atılmıştır. Popüler olarak kullanılan bir tanım açıklanacaktır: Bu tanıma göre negatif binom dairesi için iki reel-değerli parametre p, 0 < p < 1 ve r, r > 0 olur. Matematik notasyon ile negatif binom dağılım gösteren bir rassal değişken X şöyle gösterilir:
- X ~ NegBin(r, p).
- Bu halde olasılık kütle fonksiyonu şöyle verilir:
burada k = 0,1,2,... ve
ve = (r - 1)! .
Sınırsal hal
Alternatif ikinci bir tanımda ise λ ve p parametreleri şöyle tanımlanır:
ve olasılık kütle fonksiyonu şöyle verilir:
Burada λ ve r negatif olmayan reel parametrelerdir.
Bu tanıma göre şu eşitlik ifadesi ortaya çıkar:
Bu ifade ise bir Poisson dağılımı gösteren ve Poisson oranı λ olan bir Poisson dağılım için olasılık kütle fonksiyonudur. Böylece bu ikinci tanımla negatif binom dağılımının limitte Poisson dağılımına yaklaşan bir dağılım olduğu ve r parametresinin da bu yaklaşımı kontrol parametresi olduğu açıklaşır; r değeri büyüdükçe negatif binom Poissona daha çok yaklaşacaktır. Böylece negatif binom dağılımı Poisson dağılım yerine kullanılan daha sağlam bir dağılım olmaktadır. Büyük r değeri için Poisson'a yaklaşılır ve uygun değerler daha kolayca bulunur; ama büyük r değerlerinde varyanslar küçük r değerlerinden daha büyük olur.
Gamma-Poisson bileşiği
Üçüncü değişik bir tanım ise, nagatif binom dağılımının Poisson dağılımlarının sürekli bir bileşiğinden ortaya çıktığı ve bu bileşiği temin eden Poisson oranlı dağılımın bir gamma dağılımı olması gerçeğine dayanır. O zaman formel notasyon ile negatif binom için olasılık kütle fonksiyonu şöyle olur:
Bu nedenle negatif binom fonksiyonu aynı zamanda gamma-Poisson bileşiği dağılım olarak da bilinmektedir.
Yığmalı dağılım fonksiyonu
Yığmalı dağılım fonksiyonu bir terimleri ile şöyle verilir:
Ortaya çıkma
Bir Bernoulli tipi süreçde bekleme zamanı
r değerinin bir tam sayı olduğu özel hal için negatif binom dağılımı Paskal dağılımı olarak bilinir. Paskal dağılımı bağımsız ve aynı şekilde dağılmış bir seri Bernoulli deneyi sonucunda başarı ve belli sayıda başarısızlık sonucu doğmasi için gerekli olasılık dağılımıdır. k+r sayıda p başarı olasılıklı Bernoulli deneyi k sayıda başarısızlık ve r sayıda başarı için, en son deney sonucu başarı ise, bir negatif binom dağılımı kullanmak uygun ve yeterlidir. Diğer bir ifade ile, nagatif binom dağılımı bir için her denemede başarı olasılığı p olan ve r tane başarı elde etmek için gerekli başarısızlık sayısının olasılığını açıklayan bir dağılımdır.
Örneğin olarak bir tekrar tekrar zar atıp en son olarak 3 defa 6 gelme denemesine bakılsın. Burada her bir zar atışı için 'başarı' (6 gelmesi) 1/6dir. 3 defa bu başarı elde edilmesi için deneme sayısı (2,3,4,5,6,...) değerde bir sonsuz seridir. Bu sayıda deneme yapma olasılığı bir (kaydırılmış) negatif-binom dağılımı gösteren rassal değişkendir. 3 tane başarı (6) gelmeden önce gereken başarısızlık sayısı ise (0, 1, 2, 3, ...) yine bir sonsuz seridir. Böylece başarısızlık sayısı da bir negatif binom dağılım gösteren bir diğer rassal değişkendir.
Eğer r=1 ise ilk başarıyı elde etmeden başarısızlıklar sayısının (yani (k+1)inci denemede başarının} olasılık dağılımı elde edilir ve bu şu geometrik dağılımdır:
Fazla sapmalı bir Poisson
Yukarıda açıklanan bir tanıma göre negatif binom dağılımı Poisson dağılımına yaklaşık olduğu zamanlar Poisson dağılımı yerine kullanılabilir. Eğer veriler aralıklı, bir yukarı limit olmadan pozitif iseler ve örnek varyansı örnek ortalama değerinden büyük ise özellikle bu yaklaşım kullanışlı olmaya başlar. Bu tip verilerde eğer ornek ortalaması ve varyansı birbirine eşitse, Poisson dağılımı kullanılması uygundur. Fakat varyans değeri artıp ortalama değerini geçince, yani fazla sapma olan bir Poisson süreç ortaya çıkarsa, negatif binom yaklaşımı kullanma uygunluğu daha da önem kazanır.
Diğer dağılımlara bağlantılar
- Geometrik dağılım negatif binom dağılımının özel bir halidir; yani
- Şu anlamda negatif binom dağılımı Poisson dağılımına yaklaşır:
- Negatif binom dağılımı aralıklı faz tipli dağılımın bir özel halidir.
Özellikler
p parametresi için örnekleme ve nokta tahmini
p parametresi bilinmediği farzedilsin ve bir deneme yapıp bu denemeyi uygulamaya başlamadan örnek almanın ta r sayıda başarı elde edilmesine kadar devam edileceğine karar verilmiş olsun. Bu deney için yeterli istatistik k başarısızlık sayısı olur. Bu deneyle p tahmin yapmak için en küçük varyans ortaya çıkaracak yansız nokta kestirim
olur. Bazı kişiler sağduyu ile
ifadesini uygun bir kestirim olarak ortaya atmışlardır; ancak bunu yanlı bir kestirim olduğu ispat edilmiştir.
Örnekler
Bir sokak satıcısı 30 tane daire bulunan bir küçük sokağa gelmiştir. Bu sokakta 5 tane kavun satıncaya kadar sırayla her bir dairenin kapısını çalmaya karar vermiştir. Her bir dairede tek bir kavun satışı için olasılığın %40 olduğunu ve tek kavun için satış yapmama olasılığının %60 olduğunu hayat deneyiminden bilmektedir.
Çok iyi düşünür ama pek iş bulamamış bir üniversite matematik mezunu kavun satıcısının şu soru aklını çeler:
"Son beşinci kavunu ninci daireye satmak için 'olasılık kütle fonksiyonu' ne olmalıdır?"
İleri istatistik bilgisine göre k + r sayıda Bernoulli denemesinde son denemede başarı kazanması için k sayıda başarısızlık ve r sayıda başarı kazanmanın olasılığı bir negatif binom dağılımı olan NegBin(r, p) ile bulunur. 5 tane kavun satma 5 tane başarı kazanma olmakta ve bunu başarmak için kapısını çalmasi gereken daire sayısı k+5=n olmalıdır. İlgilendiği rassal değişken daire sayısıdır; bu nedenle k=n - 5 değerini bir NegBin(5,0.40) kütle fonksiyonuna koyması gerekir. Dairelerin dağılımı için, yani (n > 5) için, şu kütle fonksiyonu elde edilir:
Şimdi iyi matematik bilen kavuncu olasılık sorularını cevap verecek hale gelmiştir ve birkaç soruya kafasını yorar:
1. 10uncu dairenin kapısını çaldiktan sonra 5 kavun satma hedefine erişme olasılığı nedir?
2. 8inci dairenin kapısını çalmadan veya kapısını çaldıktan hemen sonra hedefine erişme olasılığı ne olur?
8inci dairede ve daha önce hedefine varmayı bulmak için, 5inci, 6inci, 7inci veya 8inci dairede hedefe varma olasılıkların bulunması ve birbirine toplanması gerekir:
3. Matematik mezunu kavuncunun 30 daire kapısını çalıp da hedefine varamaması olasılığı nedir?
Kavunmu yiyenlere afiyet olsun diye düşünür matematikçi kavuncu!!
Ayrıca bakınız
Kaynakça
- ^ Haldane Article
wikipedia, wiki, viki, vikipedia, oku, kitap, kütüphane, kütübhane, ara, ara bul, bul, herşey, ne arasanız burada,hikayeler, makale, kitaplar, öğren, wiki, bilgi, tarih, yukle, izle, telefon için, turk, türk, türkçe, turkce, nasıl yapılır, ne demek, nasıl, yapmak, yapılır, indir, ücretsiz, ücretsiz indir, bedava, bedava indir, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, resim, müzik, şarkı, film, film, oyun, oyunlar, mobil, cep telefonu, telefon, android, ios, apple, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, pc, web, computer, bilgisayar
Olasilik kurami ve istatistik bilim dallarinda negatif binom dagilim bir ayrik olasilik dagilim tipi olup Pascal dagilimi ve Polya dagilimi bu dagilimin ozel halleridir Negatif binom Olasilik kutle fonksiyonu Kirmizi cizgi ortalamayi gosterir ve yesil cizgi icin yaklasik uzunluk 2s olur Yigmali dagilim fonksiyonuParametreler r gt 0 displaystyle r gt 0 0 lt p lt 1 displaystyle 0 lt p lt 1 real k 0 1 2 displaystyle k in 0 1 2 ldots Olasilik kutle fonksiyonu OYF G r k k G r pr 1 p k displaystyle frac Gamma r k k Gamma r p r 1 p k Birikimli dagilim fonksiyonu YDF Ip r k 1 burada Ip x y displaystyle I p r k 1 text burada I p x y Ortalama r1 pp displaystyle r frac 1 p p MedyanMod r 1 1 p p if r gt 1 displaystyle lfloor r 1 1 p p rfloor text if r gt 1 0 if r 1 displaystyle 0 text if r leq 1 Varyans r1 pp2 displaystyle r frac 1 p p 2 Carpiklik 2 pr 1 p displaystyle frac 2 p sqrt r 1 p Fazladan basiklik 6r p2r 1 p displaystyle frac 6 r frac p 2 r 1 p EntropiMoment ureten fonksiyon mf p1 1 p et r displaystyle left frac p 1 1 p e t right r Karakteristik fonksiyon p1 1 p eit r displaystyle left frac p 1 1 p e i t right r Negatif binom dagilimin tanimlanmasiOlasilik kutle fonksiyonu Negatif binom dagilimlari iki parametre ile tam olarak tanimlanan bir dagilimlar ailesidir Bu nedenle istatistik tanitici yazinlarinda degisik sekilde tanimlar ortaya atilmistir Populer olarak kullanilan bir tanim aciklanacaktir Bu tanima gore negatif binom dairesi icin iki reel degerli parametre p 0 lt p lt 1 ve r r gt 0 olur Matematik notasyon ile negatif binom dagilim gosteren bir rassal degisken X soyle gosterilir X NegBin r p Bu halde olasilik kutle fonksiyonu soyle verilir f k r p k r 1k pr 1 p k displaystyle f k r p k r 1 choose k cdot p r cdot 1 p k burada k 0 1 2 ve k r 1k G k r k G r 1 k rk displaystyle k r 1 choose k frac Gamma k r k cdot Gamma r 1 k cdot r choose k ve r 1 Sinirsal hal Alternatif ikinci bir tanimda ise l ve p parametreleri soyle tanimlanir l r p 1 1 displaystyle lambda r cdot p 1 1 p rr l displaystyle p frac r r lambda ve olasilik kutle fonksiyonu soyle verilir g k lkk G r k G r r l k 1 1 lr r displaystyle g k frac lambda k k cdot frac Gamma r k Gamma r r lambda k cdot frac 1 left 1 frac lambda r right r Burada l ve r negatif olmayan reel parametrelerdir Bu tanima gore su esitlik ifadesi ortaya cikar limr g k lkk 1 1exp l displaystyle lim r to infty g k frac lambda k k cdot 1 cdot frac 1 exp lambda Bu ifade ise bir Poisson dagilimi gosteren ve Poisson orani l olan bir Poisson dagilim icin olasilik kutle fonksiyonudur Boylece bu ikinci tanimla negatif binom dagiliminin limitte Poisson dagilimina yaklasan bir dagilim oldugu ve r parametresinin da bu yaklasimi kontrol parametresi oldugu aciklasir r degeri buyudukce negatif binom Poissona daha cok yaklasacaktir Boylece negatif binom dagilimi Poisson dagilim yerine kullanilan daha saglam bir dagilim olmaktadir Buyuk r degeri icin Poisson a yaklasilir ve uygun degerler daha kolayca bulunur ama buyuk r degerlerinde varyanslar kucuk r degerlerinden daha buyuk olur Gamma Poisson bilesigi Ucuncu degisik bir tanim ise nagatif binom dagiliminin Poisson dagilimlarinin surekli bir bilesiginden ortaya ciktigi ve bu bilesigi temin eden Poisson oranli dagilimin bir gamma dagilimi olmasi gercegine dayanir O zaman formel notasyon ile negatif binom icin olasilik kutle fonksiyonu soyle olur f k displaystyle f k 0 Poisson k l Gamma l r 1 p p dl displaystyle int 0 infty mathrm Poisson k lambda cdot mathrm Gamma lambda r 1 p p mathrm d lambda 0 lkk exp l lr 1exp lp 1 p G r 1 p p rdl displaystyle int 0 infty frac lambda k k exp lambda cdot frac lambda r 1 exp lambda p 1 p Gamma r 1 p p r mathrm d lambda 1k G r pr1 1 p r 0 l r k 1exp l 1 p dl displaystyle frac 1 k Gamma r p r frac 1 1 p r int 0 infty lambda r k 1 exp lambda 1 p mathrm d lambda 1k G r pr1 1 p r 1 p r kG r k displaystyle frac 1 k Gamma r p r frac 1 1 p r 1 p r k Gamma r k G r k k G r pr 1 p k displaystyle frac Gamma r k k Gamma r p r 1 p k Bu nedenle negatif binom fonksiyonu ayni zamanda gamma Poisson bilesigi dagilim olarak da bilinmektedir Yigmali dagilim fonksiyonu Yigmali dagilim fonksiyonu bir terimleri ile soyle verilir F k Ip r k 1 displaystyle F k I p r k 1 Ortaya cikmaBir Bernoulli tipi surecde bekleme zamani r degerinin bir tam sayi oldugu ozel hal icin negatif binom dagilimi Paskal dagilimi olarak bilinir Paskal dagilimi bagimsiz ve ayni sekilde dagilmis bir seri Bernoulli deneyi sonucunda basari ve belli sayida basarisizlik sonucu dogmasi icin gerekli olasilik dagilimidir k r sayida p basari olasilikli Bernoulli deneyi k sayida basarisizlik ve r sayida basari icin en son deney sonucu basari ise bir negatif binom dagilimi kullanmak uygun ve yeterlidir Diger bir ifade ile nagatif binom dagilimi bir icin her denemede basari olasiligi p olan ve r tane basari elde etmek icin gerekli basarisizlik sayisinin olasiligini aciklayan bir dagilimdir Ornegin olarak bir tekrar tekrar zar atip en son olarak 3 defa 6 gelme denemesine bakilsin Burada her bir zar atisi icin basari 6 gelmesi 1 6dir 3 defa bu basari elde edilmesi icin deneme sayisi 2 3 4 5 6 degerde bir sonsuz seridir Bu sayida deneme yapma olasiligi bir kaydirilmis negatif binom dagilimi gosteren rassal degiskendir 3 tane basari 6 gelmeden once gereken basarisizlik sayisi ise 0 1 2 3 yine bir sonsuz seridir Boylece basarisizlik sayisi da bir negatif binom dagilim gosteren bir diger rassal degiskendir Eger r 1 ise ilk basariyi elde etmeden basarisizliklar sayisinin yani k 1 inci denemede basarinin olasilik dagilimi elde edilir ve bu su geometrik dagilimdir f k p 1 p k displaystyle f k p cdot 1 p k Fazla sapmali bir Poisson Yukarida aciklanan bir tanima gore negatif binom dagilimi Poisson dagilimina yaklasik oldugu zamanlar Poisson dagilimi yerine kullanilabilir Eger veriler aralikli bir yukari limit olmadan pozitif iseler ve ornek varyansi ornek ortalama degerinden buyuk ise ozellikle bu yaklasim kullanisli olmaya baslar Bu tip verilerde eger ornek ortalamasi ve varyansi birbirine esitse Poisson dagilimi kullanilmasi uygundur Fakat varyans degeri artip ortalama degerini gecince yani fazla sapma olan bir Poisson surec ortaya cikarsa negatif binom yaklasimi kullanma uygunlugu daha da onem kazanir Diger dagilimlara baglantilarGeometrik dagilim negatif binom dagiliminin ozel bir halidir yaniGeometrik p NegBin 1 p displaystyle mathrm Geometrik p mathrm NegBin 1 p dd Su anlamda negatif binom dagilimi Poisson dagilimina yaklasir Poisson l limr NegBin r r l r displaystyle mathrm Poisson lambda lim r to infty mathrm NegBin r r lambda r dd Negatif binom dagilimi aralikli faz tipli dagilimin bir ozel halidir Ozelliklerp parametresi icin ornekleme ve nokta tahmini p parametresi bilinmedigi farzedilsin ve bir deneme yapip bu denemeyi uygulamaya baslamadan ornek almanin ta r sayida basari elde edilmesine kadar devam edilecegine karar verilmis olsun Bu deney icin yeterli istatistik k basarisizlik sayisi olur Bu deneyle p tahmin yapmak icin en kucuk varyans ortaya cikaracak yansiz nokta kestirim p r 1r k 1 displaystyle hat p frac r 1 r k 1 olur Bazi kisiler sagduyu ile p rr k displaystyle tilde p frac r r k ifadesini uygun bir kestirim olarak ortaya atmislardir ancak bunu yanli bir kestirim oldugu ispat edilmistir OrneklerBir sokak saticisi 30 tane daire bulunan bir kucuk sokaga gelmistir Bu sokakta 5 tane kavun satincaya kadar sirayla her bir dairenin kapisini calmaya karar vermistir Her bir dairede tek bir kavun satisi icin olasiligin 40 oldugunu ve tek kavun icin satis yapmama olasiliginin 60 oldugunu hayat deneyiminden bilmektedir Cok iyi dusunur ama pek is bulamamis bir universite matematik mezunu kavun saticisinin su soru aklini celer Son besinci kavunu ninci daireye satmak icin olasilik kutle fonksiyonu ne olmalidir Ileri istatistik bilgisine gore k r sayida Bernoulli denemesinde son denemede basari kazanmasi icin k sayida basarisizlik ve r sayida basari kazanmanin olasiligi bir negatif binom dagilimi olan NegBin r p ile bulunur 5 tane kavun satma 5 tane basari kazanma olmakta ve bunu basarmak icin kapisini calmasi gereken daire sayisi k 5 n olmalidir Ilgilendigi rassal degisken daire sayisidir bu nedenle k n 5 degerini bir NegBin 5 0 40 kutle fonksiyonuna koymasi gerekir Dairelerin dagilimi icin yani n gt 5 icin su kutle fonksiyonu elde edilir f n n 5 5 15 1 0 450 6n 5 n 14 253n 55n displaystyle f n n 5 5 1 choose 5 1 0 4 5 0 6 n 5 n 1 choose 4 2 5 frac 3 n 5 5 n Simdi iyi matematik bilen kavuncu olasilik sorularini cevap verecek hale gelmistir ve birkac soruya kafasini yorar 1 10uncu dairenin kapisini caldiktan sonra 5 kavun satma hedefine erisme olasiligi nedir f 10 0 1003290624 displaystyle f 10 0 1003290624 2 8inci dairenin kapisini calmadan veya kapisini caldiktan hemen sonra hedefine erisme olasiligi ne olur 8inci dairede ve daha once hedefine varmayi bulmak icin 5inci 6inci 7inci veya 8inci dairede hedefe varma olasiliklarin bulunmasi ve birbirine toplanmasi gerekir f 5 0 01024 displaystyle f 5 0 01024 f 6 0 03072 displaystyle f 6 0 03072 f 7 0 055296 displaystyle f 7 0 055296 f 8 0 0774144 displaystyle f 8 0 0774144 j 58f j 0 17367 displaystyle sum j 5 8 f j 0 17367 3 Matematik mezunu kavuncunun 30 daire kapisini calip da hedefine varamamasi olasiligi nedir 1 j 530f j 1 I0 4 5 30 5 1 1 0 99849 0 00151 displaystyle 1 sum j 5 30 f j 1 I 0 4 5 30 5 1 approx 1 0 99849 0 00151 Kavunmu yiyenlere afiyet olsun diye dusunur matematikci kavuncu Ayrica bakinizKaynakca Haldane Article