Matematikte, 'in adını taşıyan Niven teoremi, 0° ≤ θ ≤ 90° aralığında θ derecesinin sinüsünün de rasyonel bir sayı olduğu tek rasyonel θ değerlerinin şunlar olduğunu belirtir:
Radyan cinsinden, 0 ≤ x ≤ π/2, x/π'nin rasyonel olması ve sin x'in rasyonel olması gerekir. Sonuç olarak, bu tür değerler yalnızca sin 0 = 0, sin π/6 = 1/2 ve sin π/2 = 1'dir.
Teorem, Niven'in irrasyonel sayılar üzerine kitabında Corollary 3.12 (yani Doğal sonuç 3.12) olarak yer almaktadır.
Teorem, diğer trigonometrik fonksiyonlar için de geçerlidir. θ'nın rasyonel değerleri için, sinüs veya kosinüsün tek rasyonel değerleri 0, ±1/2 ve ±1'dir; sekant veya kosekantın tek rasyonel değerleri ±1 ve ±2; tanjant veya kotanjantın tek rasyonel değerleri ise 0 ve ±1'dir.'de Lemma 12 olarak görünür.
Tarihçe
Niven'in teoreminin ispatı İrrasyonel Sayılar ("Irrational Numbers") adlı kitabında yer almaktadır. Teorem daha önce ve J. M. H. Olmstead tarafından kanıtlanmıştı. 1933 tarihli makalesinde Lehmer, kosinüs için teoremi daha genel bir sonucu kanıtlayarak ispatladı. Yani Lehmer, ve ile asal tam sayıları için sayısının derecesinde bir cebirsel sayı olduğunu göstermiştir, burada Euler totient fonksiyonu anlamına gelmektedir. Rasyonel sayıların derecesi 1 olduğundan, olması gerekir ve bu nedenle tek olasılık 1, 2, 3, 4 veya 6'dır. Daha sonra, trigonometrik özdeşliğini kullanarak sinüs için karşılık gelen bir sonucu kanıtladı. 1956 yılında Niven, Lehmer'in sonucunu diğer trigonometrik fonksiyonlara genişletti. Diğer matematikçiler sonraki yıllarda yeni kanıtlar verdiler.
Ayrıca bakınız
- Pisagor üçlüleri, trigonometrik fonksiyonların her zaman rasyonel değerler alacağı dik üçgenler oluşturur, ancak dar açılar rasyonel değildir.
- Trigonometrik fonksiyonlar
- Trigonometrik sayı
Kaynakça
- ^ Schaumberger, Norman (1974). "A Classroom Theorem on Trigonometric Irrationalities". . 5 (1). ss. 73-76. doi:10.2307/3026991. JSTOR 3026991.
- ^ a b c d (1956). Irrational Numbers. The . The Mathematical Association of America. s. 41. MR 0080123.
- ^ a b Kosinüs durumu için bir kanıt Bennett, Curtis D.; Glass, A. M. W.; Székely, Gábor J. (2004). "Fermat's last theorem for rational exponents". American Mathematical Monthly. 111 (4). ss. 322-329. doi:10.2307/4145241. JSTOR 4145241. MR 2057186.
- ^ Lehmer, Derrick H. (1933). "A note on trigonometric algebraic numbers". The American Mathematical Monthly. 40 (3). ss. 165-166. doi:10.2307/2301023. JSTOR 2301023.
Konuyla ilgili okumalar
- Olmsted, J. M. H. (1945). "Rational values of trigonometric functions". The American Mathematical Monthly. 52 (9). ss. 507-508. JSTOR 2304540.
- Jahnel, Jörg (2010). "When is the (co)sine of a rational angle equal to a rational number?". arXiv:1006.2938 $2.
- Caroline Nunn (2021), "A Proof of a Generalization of Niven's Theorem Using Algebraic Number Theory", Rose-Hulman Undergraduate Mathematics Journal, 22 (2)
Dış bağlantılar
- Eric W. Weisstein, Niven's Theorem (MathWorld)
- ProofWiki'de Niven teoremi
- YouTube'da Niven's Theorem
wikipedia, wiki, viki, vikipedia, oku, kitap, kütüphane, kütübhane, ara, ara bul, bul, herşey, ne arasanız burada,hikayeler, makale, kitaplar, öğren, wiki, bilgi, tarih, yukle, izle, telefon için, turk, türk, türkçe, turkce, nasıl yapılır, ne demek, nasıl, yapmak, yapılır, indir, ücretsiz, ücretsiz indir, bedava, bedava indir, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, resim, müzik, şarkı, film, film, oyun, oyunlar, mobil, cep telefonu, telefon, android, ios, apple, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, pc, web, computer, bilgisayar
Bu sayfanin herhangi bir incelenmis surumu bulunmuyor bu yuzden standartlara uygunluk acisindan kontrol edilmemis olabilir Matematikte in adini tasiyan Niven teoremi 0 8 90 araliginda 8 derecesinin sinusunun de rasyonel bir sayi oldugu tek rasyonel 8 degerlerinin sunlar oldugunu belirtir sin 0 0 sin 30 12 sin 90 1 displaystyle begin aligned sin 0 circ amp 0 10pt sin 30 circ amp frac 1 2 10pt sin 90 circ amp 1 end aligned Radyan cinsinden 0 x p 2 x p nin rasyonel olmasi ve sin x in rasyonel olmasi gerekir Sonuc olarak bu tur degerler yalnizca sin 0 0 sin p 6 1 2 ve sin p 2 1 dir Teorem Niven in irrasyonel sayilar uzerine kitabinda Corollary 3 12 yani Dogal sonuc 3 12 olarak yer almaktadir Teorem diger trigonometrik fonksiyonlar icin de gecerlidir 8 nin rasyonel degerleri icin sinus veya kosinusun tek rasyonel degerleri 0 1 2 ve 1 dir sekant veya kosekantin tek rasyonel degerleri 1 ve 2 tanjant veya kotanjantin tek rasyonel degerleri ise 0 ve 1 dir de Lemma 12 olarak gorunur TarihceNiven in teoreminin ispati Irrasyonel Sayilar Irrational Numbers adli kitabinda yer almaktadir Teorem daha once ve J M H Olmstead tarafindan kanitlanmisti 1933 tarihli makalesinde Lehmer kosinus icin teoremi daha genel bir sonucu kanitlayarak ispatladi Yani Lehmer k displaystyle k ve n displaystyle n ile n gt 2 displaystyle n gt 2 asal tam sayilari icin 2cos 2pk n displaystyle 2 cos 2 pi k n sayisinin f n 2 displaystyle varphi n 2 derecesinde bir cebirsel sayi oldugunu gostermistir burada f displaystyle varphi Euler totient fonksiyonu anlamina gelmektedir Rasyonel sayilarin derecesi 1 oldugundan f n 2 displaystyle varphi n 2 olmasi gerekir ve bu nedenle tek olasilik n displaystyle n 1 2 3 4 veya 6 dir Daha sonra sin 8 cos 8 p 2 displaystyle sin theta cos theta pi 2 trigonometrik ozdesligini kullanarak sinus icin karsilik gelen bir sonucu kanitladi 1956 yilinda Niven Lehmer in sonucunu diger trigonometrik fonksiyonlara genisletti Diger matematikciler sonraki yillarda yeni kanitlar verdiler Ayrica bakinizPisagor ucluleri trigonometrik fonksiyonlarin her zaman rasyonel degerler alacagi dik ucgenler olusturur ancak dar acilar rasyonel degildir Trigonometrik fonksiyonlar Trigonometrik sayiKaynakca Schaumberger Norman 1974 A Classroom Theorem on Trigonometric Irrationalities 5 1 ss 73 76 doi 10 2307 3026991 JSTOR 3026991 a b c d 1956 Irrational Numbers The The Mathematical Association of America s 41 MR 0080123 a b Kosinus durumu icin bir kanit Bennett Curtis D Glass A M W Szekely Gabor J 2004 Fermat s last theorem for rational exponents American Mathematical Monthly 111 4 ss 322 329 doi 10 2307 4145241 JSTOR 4145241 MR 2057186 Lehmer Derrick H 1933 A note on trigonometric algebraic numbers The American Mathematical Monthly 40 3 ss 165 166 doi 10 2307 2301023 JSTOR 2301023 Konuyla ilgili okumalarOlmsted J M H 1945 Rational values of trigonometric functions The American Mathematical Monthly 52 9 ss 507 508 JSTOR 2304540 Jahnel Jorg 2010 When is the co sine of a rational angle equal to a rational number arXiv 1006 2938 2 Caroline Nunn 2021 A Proof of a Generalization of Niven s Theorem Using Algebraic Number Theory Rose Hulman Undergraduate Mathematics Journal 22 2 Dis baglantilarEric W Weisstein Niven s Theorem MathWorld ProofWiki de Niven teoremi YouTube da Niven s Theorem