Tam trigonometrik değerler

Matematikte, trigonometrik fonksiyonların değerleri ${\displaystyle \cos(\pi /4)\approx 0.707}$ gibi yaklaşık olarak veya ${\displaystyle \cos(\pi /4)={\sqrt {2}}/2}$ gibi tam olarak ifade edilebilir. Trigonometrik tablolar birçok yaklaşık değer içerirken, belirli açılar için kesin değerler aritmetik işlemler ve karekök kombinasyonu ile ifade edilebilir. Bu şekilde ifade edilebilen trigonometrik değerlere sahip açılar tam olarak pergel ve düzeç ile inşa edilebilen açılardır ve bu değerlere inşa edilebilir sayılar denir.

Yaygın açılar

15°, 18° veya 22,5°'nin katları olan açıların trigonometrik fonksiyonları basit cebirsel değerlere sahiptir. Bu değerler 0° ile 45° arasındaki açılar için aşağıdaki tabloda listelenmiştir. Aşağıdaki tabloda “Tanımsız” etiketi ${\displaystyle 1:0}$ oranını temsil etmektedir. Trigonometrik fonksiyonların kod alanı reel sayılar olarak alınırsa, bu girdiler olurken, kod alanı olarak alınırsa, bu girdiler ${\displaystyle \infty }$ değerini alır (bkz. ).

Radyan	Derece	sin	cos	tan	cot	sec	csc
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0^{\circ }}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$	Tanımsız	${\displaystyle 1}$	Tanımsız
${\displaystyle {\frac {\pi }{12}}}$	${\displaystyle 15^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}}$	${\displaystyle 2-{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle 2+{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}({\sqrt {3}}-1)}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}({\sqrt {3}}+1)}$
${\displaystyle {\frac {\pi }{10}}}$	${\displaystyle 18^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {2}}{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}{5}}}$	${\displaystyle {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {10}}{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}}{5}}}$	${\displaystyle {\sqrt {5}}+1}$
${\displaystyle {\frac {\pi }{8}}}$	${\displaystyle 22.5^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}-1}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}+1}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}$
${\displaystyle {\frac {\pi }{6}}}$	${\displaystyle 30^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}}$	${\displaystyle 2}$
${\displaystyle {\frac {\pi }{5}}}$	${\displaystyle 36^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {2}}{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}}$	${\displaystyle {\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}{5}}}$	${\displaystyle {\sqrt {5}}-1}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {10}}{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}}{5}}}$
${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$	${\displaystyle 45^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$		${\displaystyle 1}$		${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Bu aralığın dışındaki açılar için trigonometrik değerler (yansıma ve kaydırma özdeşlikleri) uygulanarak bulunabilir, örneğin

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}&&\sin({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&{}=\cos(\theta ),\\[5mu]&&\sin(2\pi +\theta )&{}=\sin(\pi -\theta )&&{}=\sin(\theta ),\quad &&\sin(\pi +\theta )&&{}=\sin(-\theta )&&{}=-\sin(\theta ),\\[5mu]&&\cos(2\pi +\theta )&{}=\cos(-\theta )&&{}=\cos(\theta ),\quad &&\cos(\pi +\theta )&&{}=\cos(\pi -\theta )&&{}=-\cos(\theta ).\end{alignedat}}}$

Trigonometrik sayılar

Bir trigonometrik sayı, π'nin bir rasyonel radyan katının olarak ifade edilebilen bir sayıdır.${\displaystyle \sin(x)=\cos(x-\pi /2)}$ olduğundan, sinüs durumu bu tanımdan çıkarılabilir. Bu nedenle herhangi bir trigonometrik sayı ${\displaystyle \cos(2\pi k/n)}$ şeklinde yazılabilir, burada k ve n tam sayılardır. Bu sayı, karmaşık sayının gerçek kısmı olarak düşünülebilir. ${\displaystyle \cos(2\pi k/n)+i\sin(2\pi k/n)}$. De Moivre formülü, bu formdaki sayıların olduğunu gösterir:

${\displaystyle \left(\cos \left({\frac {2\pi k}{n}}\right)+i\sin \left({\frac {2\pi k}{n}}\right)\right)^{n}=\cos(2\pi k)+i\sin(2\pi k)=1}$

Birimin kökü xⁿ - 1 polinomunun bir (kökü) olduğundan, cebirseldir. Trigonometrik sayı, birimin kökünün ve karmaşık eşleniğinin ortalaması olduğundan ve cebirsel sayılar aritmetik işlemler altında kapalı olduğundan, her trigonometrik sayı cebirseldir. Trigonometrik sayıların minimal polinomları . Buna karşılık, göre, sıfır olmayan herhangi bir cebirsel sayının sinüs veya kosinüsü her zaman aşkındır.

Birliğin herhangi bir kökünün reel kısmı bir trigonometrik sayıdır. Niven teoremine göre, tek rasyonel trigonometrik sayılar 0, 1, -1, 1/2 ve -1/2'dir.

İnşa edilebilirlik

Bir açı, ancak ve ancak sinüsü (veya eşdeğer olarak kosinüsü) tam sayılara uygulanan aritmetik işlemler ve kareköklerin bir kombinasyonu ile ifade edilebiliyorsa pergel ve çizgeç ile oluşturulabilir. İlave olarak, ${\displaystyle \pi }$ radyanın rasyonel katı olan bir açı, ancak ve ancak ${\displaystyle a\pi /b}$ radyan olarak ifade edildiğinde inşa edilebilir, burada a ve b aralarında asal tam sayılardır, paydanın asal çarpanlara ayrılması, b, bazı ikinin kuvveti ile herhangi bir sayıda farklı (Fermat asalının) çarpımıdır (bir Fermat asalı, ikinin kuvvetinden bir büyük asal sayıdır).

Böylece, örneğin, ${\displaystyle 2\pi /15=24^{\circ }}$ inşa edilebilir bir açıdır çünkü 15, 3 ve 5 Fermat asallarının çarpımıdır. Benzer şekilde ${\displaystyle \pi /12=15^{\circ }}$ inşa edilebilir bir açıdır çünkü 12, bir Fermat asalının (3) iki (4) katıdır. Ancak ${\displaystyle \pi /9=20^{\circ }}$ oluşturulabilir bir açı değildir, çünkü ${\displaystyle 9=3\cdot 3}$ iki kez çarpan olarak 3 içerdiğinden “farklı” Fermat asallarının çarpımı değildir ve ${\displaystyle \pi /7\approx 25.714^{\circ }}$ de değildir, çünkü 7 bir Fermat asalı değildir.

Yukarıdaki tanımlamadan, tam sayı derecelik bir açının ancak ve ancak bu derece 3'ün bir katı ise inşa edilebilir olduğu sonucu çıkar.

İnşa edilebilir değerler

45°

Bir (yansıma özdeşliğinden), ${\displaystyle \cos(45^{\circ })=\sin(90^{\circ }-45^{\circ })=\sin(45^{\circ })}$. Pisagor trigonometrik özdeşliğinde]] yerine konulması ${\displaystyle \sin(45^{\circ })^{2}+\cos(45^{\circ })^{2}=1}$, elde edilir. ${\displaystyle 2\sin(45^{\circ })^{2}-1=0}$. Pozitif kök alındığında, ${\displaystyle \sin(45^{\circ })=\cos(45^{\circ })=1/{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}/2}$ bulunur.

30° ve 60°

Sinüs ve kosinüsün 30 ve 60 derecelik değerleri eşkenar üçgen analizi ile elde edilir. Eşkenar üçgende 3 açı eşittir ve toplamı 180°'dir, dolayısıyla her bir köşe açısı 60°'dir. Bir köşe ikiye bölündüğünde, 30-60-90 açılarına sahip elde edilir. Simetri gereği, ikiye bölünen kenar eşkenar üçgenin kenarının yarısıdır, bu nedenle ${\displaystyle \sin(30^{\circ })=1/2}$ sonucuna varılır. Pisagor ve yansıma özdeşlikleri ${\displaystyle \sin(60^{\circ })=\cos(30^{\circ })={\sqrt {1-(1/2)^{2}}}={\sqrt {3}}/2}$ sonucunu verir.

18°, 36°, 54° ve 72°

${\displaystyle \sin(18^{\circ })}$ değeri, sinüs ve kosinüs için (çoklu açı formülleri) kullanılarak türetilebilir. Sinüs için çift açı formülü ile:

${\displaystyle \sin(36^{\circ })=2\sin(18^{\circ })\cos(18^{\circ })}$

Kosinüs için üç kat açı formülü ile:

${\displaystyle \cos(54^{\circ })=\cos ^{3}(18^{\circ })-3\sin ^{2}(18^{\circ })\cos(18^{\circ })=\cos(18^{\circ })(1-4\sin ^{2}(18^{\circ }))}$

sin(36°) = cos(54°) olduğundan, bu iki ifadeyi eşitler ve cos(18°)'nin bir katsayısını sadeleştiririz:

${\displaystyle 2\sin(18^{\circ })=1-4\sin ^{2}(18^{\circ })}$

Bu ikinci dereceden denklemin yalnızca bir pozitif kökü vardır:

${\displaystyle \sin(18^{\circ })={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}}$

Pisagor özdeşliği ${\displaystyle \cos(18^{\circ })}$ değerini verir ve ikili ve üçlü açı formülleri 36°, 54° ve 72° sinüs ve kosinüs değerlerini verir.

3°'nin kalan katları

0-90° arasındaki 3°'nin katları olan diğer tüm açıların sinüs ve kosinüsleri yukarıda açıklanan açılardan ve (toplam ve fark formüllerinden) türetilebilir. Özellikle,

${\displaystyle {\begin{aligned}3^{\circ }&=18^{\circ }-15^{\circ },&24^{\circ }&=54^{\circ }-30^{\circ },&51^{\circ }&=60^{\circ }-9^{\circ },&78^{\circ }&=60^{\circ }+18^{\circ },&\\6^{\circ }&=36^{\circ }-30^{\circ },&27^{\circ }&=45^{\circ }-18^{\circ },&57^{\circ }&=30^{\circ }+27^{\circ },&81^{\circ }&=45^{\circ }+36^{\circ },&\\9^{\circ }&=45^{\circ }-36^{\circ },&33^{\circ }&=60^{\circ }-27^{\circ },&63^{\circ }&=45^{\circ }+18^{\circ },&84^{\circ }&=54^{\circ }+30^{\circ },&\\12^{\circ }&=30^{\circ }-18^{\circ },&39^{\circ }&=30^{\circ }+9^{\circ },&66^{\circ }&=36^{\circ }+30^{\circ },&87^{\circ }&=60^{\circ }+27^{\circ }.&\\15^{\circ }&=45^{\circ }-30^{\circ },&42^{\circ }&=60^{\circ }-18^{\circ },&69^{\circ }&=60^{\circ }+9^{\circ },&\\21^{\circ }&=30^{\circ }-9^{\circ },&48^{\circ }&=30^{\circ }+18^{\circ },&75^{\circ }&=45^{\circ }+30^{\circ },&\end{aligned}}}$

Örneğin, ${\displaystyle 24^{\circ }=60^{\circ }-36^{\circ }}$ olduğundan, kosinüsü, kosinüs farkı formülü ile türetilebilir:

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(24^{\circ })&=\cos(60^{\circ })\cos(36^{\circ })+\sin(60^{\circ })\sin(36^{\circ })\\&={\frac {1}{2}}{\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}{\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}\\&={\frac {1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}}{8}}\end{aligned}}}$

Yarım açılar

Eğer payda, “b”, 2'nin ek faktörleriyle çarpılırsa, sinüs ve kosinüs (yarım açı formülleri) ile türetilebilir. Örneğin, 22,5° (π/8 rad) 45°'nin yarısıdır, dolayısıyla sinüs ve kosinüsü şöyledir:

${\displaystyle \sin(22.5^{\circ })={\sqrt {\frac {1-\cos(45^{\circ })}{2}}}={\sqrt {\frac {1-{\frac {\sqrt {2}}{2}}}{2}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}$

${\displaystyle \cos(22.5^{\circ })={\sqrt {\frac {1+\cos(45^{\circ })}{2}}}={\sqrt {\frac {1+{\frac {\sqrt {2}}{2}}}{2}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}$

Yarım açı formüllerinin tekrar tekrar uygulanması iç içe radikallere, özellikle de ${\displaystyle {\sqrt {2\pm \cdots }}}$ biçimindeki iç içe 2'nin kareköklerine yol açar. Genel olarak, ${\displaystyle \beta /2^{n}}$ biçimindeki çoğu açının sinüs ve kosinüsü, ${\displaystyle \beta }$ cinsinden 2'nin iç içe geçmiş karekökleri kullanılarak ifade edilebilir. Özellikle, eğer bir açı aşağıdaki gibi yazılabiliyorsa; $${\displaystyle \alpha =\pi \left({\frac {1}{2}}-\sum _{i=1}^{k}{\frac {\prod _{j=1}^{i}b_{j}}{2^{i+1}}}\right)=\pi \left({\frac {1}{2}}-{\frac {b_{1}}{4}}-{\frac {b_{1}b_{2}}{8}}-{\frac {b_{1}b_{2}b_{3}}{16}}-\ldots -{\frac {b_{1}b_{2}\ldots b_{k}}{2^{k+1}}}\right)}$$

burada ${\displaystyle b_{k}\in [-2,2]}$ ve ${\displaystyle b_{i}}$ ${\displaystyle i<k}$ için -1, 0 veya 1 ise, o halde

$${\displaystyle \cos(\alpha )={\frac {b_{1}}{2}}{\sqrt {2+b_{2}{\sqrt {2+b_{3}{\sqrt {2+\ldots +b_{k-1}{\sqrt {2+2\sin \left({\frac {\pi b_{k}}{4}}\right)}}}}}}}}}$$

ve eğer ${\displaystyle b_{1}\neq 0}$ ise o zaman$${\displaystyle \sin(\alpha )={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-b_{2}{\sqrt {2+b_{3}{\sqrt {2+b_{4}{\sqrt {2+\ldots +b_{k-1}{\sqrt {2+2\sin \left({\frac {\pi b_{k}}{4}}\right)}}}}}}}}}}}$$

Örneğin, ${\displaystyle {\frac {13\pi }{32}}=\pi \left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}-{\frac {1}{32}}\right)}$, yani ${\displaystyle (b_{1},b_{2},b_{3},b_{4})=(1,-1,1,-1)}$ ise aşağıdaki sonuç elde edilir: $${\displaystyle \cos \left({\frac {13\pi }{32}}\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+2\sin \left({\frac {-\pi }{4}}\right)}}}}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}}}}$$ $${\displaystyle \sin \left({\frac {13\pi }{32}}\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}}}}$$

17'nin paydası

17 bir Fermat asalı olduğundan, düzenli bir 17-gen inşa edilebilir, bu da ${\displaystyle 2\pi /17}$ radyan gibi açıların sinüs ve kosinüslerinin karekökler cinsinden ifade edilebileceği anlamına gelir. Özellikle, 1796'da Carl Friedrich Gauss şunu göstermiştir:

${\displaystyle \cos \left({\frac {2\pi }{17}}\right)={\frac {-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}+2{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {170+38{\sqrt {17}}}}}}}{16}}}$

${\displaystyle {\frac {k2^{n}\pi }{17}}}$ (${\displaystyle k,n}$ tam sayıları için) biçimindeki diğer inşa edilebilir açıların sinüs ve kosinüsleri bundan türetilebilir.

1°'nin inşa edilemezliği

İnşa edilebilirlikte tartışıldığı gibi, yalnızca ${\displaystyle \pi }$ radyanın rasyonel katları olan belirli açılar kareköklerle ifade edilebilen trigonometrik değerlere sahiptir. ${\displaystyle \pi /180=\pi /(2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5)}$ radyan olan 1° açısı, paydada tekrarlanan 3 faktörüne sahiptir ve bu nedenle ${\displaystyle \sin(1^{\circ })}$ sadece karekökler kullanılarak ifade edilemez. İlgili bir soru da küp kökler kullanılarak ifade edilip edilemeyeceğidir. Aşağıdaki iki yaklaşım kullanılabilir, ancak her ikisi de (karmaşık bir sayının küp kökü) içeren bir ifade ile sonuçlanır.

Üçlü açı özdeşliğini kullanarak, ${\displaystyle \sin(1^{\circ })}$'i bir kübik polinomun kökü olarak tanımlayabiliriz: ${\displaystyle \sin(3^{\circ })=-4x^{3}+3x}$. Bu polinomun üç kökü ${\displaystyle \sin(1^{\circ })}$, ${\displaystyle \sin(59^{\circ })}$ ve ${\displaystyle -\sin(61^{\circ })}$'dir. ${\displaystyle \sin(3^{\circ })}$ inşa edilebilir olduğundan, bunun için bir ifade (Cardano formülü) içine yerleştirilerek ${\displaystyle \sin(1^{\circ })}$ için bir ifade elde edilebilir. Ancak, kübiğin üç kökü de reel olduğundan, bu bir örneğidir ve ifade karmaşık bir sayının küp kökünü almayı gerektirecektir.

Alternatif olarak, De Moivre formülü ile:

${\displaystyle {\begin{aligned}(\cos(1^{\circ })+i\sin(1^{\circ }))^{3}&=\cos(3^{\circ })+i\sin(3^{\circ }),\\[4mu](\cos(1^{\circ })-i\sin(1^{\circ }))^{3}&=\cos(3^{\circ })-i\sin(3^{\circ }).\end{aligned}}}$

Küp kökleri alarak ve denklemleri toplayarak veya çıkararak aşağıdakileri elde ederiz:

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(1^{\circ })&=\;{\frac {1}{2}}\left({\sqrt[{3}]{\cos(3^{\circ })+i\sin(3^{\circ })}}+{\sqrt[{3}]{\cos(3^{\circ })-i\sin(3^{\circ })}}\right),\\[5mu]\sin(1^{\circ })&={\frac {1}{2i}}\left({\sqrt[{3}]{\cos(3^{\circ })+i\sin(3^{\circ })}}-{\sqrt[{3}]{\cos(3^{\circ })-i\sin(3^{\circ })}}\right).\end{aligned}}}$

Ayrıca bakınız

• , 15°'nin katları için kesin değerleri bulmak için kullanılır
• Trigonometrik özdeşlikler listesi

Kaynakça

1. ^ Abramowitz & Stegun 1972, p. 74, 4.3.46
2. ^ ^{a b} Niven, Ivan. Numbers: Rational and Irrational, 1961. Random House. , Vol. 1. ISSN 0548-5932. Ch. 5
3. ^ Lehmer, D. H. (1933). "A Note on Trigonometric Algebraic Numbers". The American Mathematical Monthly. 40 (3). ss. 165-166. doi:10.2307/2301023. JSTOR 2301023. 
4. ^ Burger, Edward B.; Tubbs, Robert (17 Nisan 2013). Making Transcendence Transparent: An intuitive approach to classical transcendental number theory (İngilizce). Springer Science & Business Media. s. 44. ISBN . 
5. ^ Schaumberger, Norman (1974). "A Classroom Theorem on Trigonometric Irrationalities". . 5 (1). ss. 73-76. doi:10.2307/3026991. JSTOR 3026991. 
6. ^ Martin, George E. (1998), Geometric Constructions, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, New York, doi:10.1007/978-1-4612-0629-3, ISBN , MR 1483895 
7. ^ Martin, George E. (1998), Geometric Constructions, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, New York, s. 46, doi:10.1007/978-1-4612-0629-3, ISBN , MR 1483895 
8. ^ Fraleigh, John B. (1994), A First Course in Abstract Algebra, 5th, Addison Wesley, ISBN , MR 0225619 
9. ^ "Exact Value of sin 18°". math-only-math. 19 Mayıs 2024 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 26 Eylül 2024. 
10. ^ Weiß, Adam (1851). Handbuch Der Trigonometrie (Almanca). J. L. Schmid. ss. 72-74. 
11. ^ Durbha, Subramanyam (2012). "A Geometric Method of Finding the Trigonometric Ratios of 22 ½° and 75°". Mathematics in School. 41 (3). ss. 22-23. JSTOR 23269221. 
12. ^ ^{a b} Servi, L. D. (April 2003). "Nested Square Roots of 2". The American Mathematical Monthly. 110 (4). ss. 326-330. doi:10.1080/00029890.2003.11919968. 
13. ^ Arthur Jones, Sidney A. Morris, Kenneth R. Pearson, Abstract Algebra and Famous Impossibilities, Springer, 1991, , p. 178.
14. ^ Callagy, James J. "The central angle of the regular 17-gon", Mathematical Gazette 67, December 1983, 290–292.
15. ^ Parent, James T. (June 2011). "Exact values for the sin of all integers" (PDF). Interactive Mathematics. 16 Nisan 2024 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF). Erişim tarihi: 5 Şubat 2024. 
16. ^ ^{a b} Kowalski, Travis (November 2016). "The Sine of a Single Degree" (PDF). The College Mathematics Journal. 47 (5). ss. 322-332. doi:10.4169/college.math.j.47.5.322. 12 Şubat 2024 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF). Erişim tarihi: 26 Eylül 2024. 

Bibliyografya

• Lehmer, D. H. (1933). "A note on trigonometric algebraic numbers". American Mathematical Monthly. 40 (3). ss. 165-166. doi:10.2307/2301023. JSTOR 2301023. 
• ; , (Ed.) (1972). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover Publications. ISBN . 
• Watkins, William; Zeitlin, Joel (1993). "The minimal polynomial of cos(2*π/n)". American Mathematical Monthly. 100 (5). ss. 471-474. doi:10.2307/2324301. JSTOR 2324301. 
• Girstmair, Kurt (1997). "Some linear relations between values of trigonometric functions at k*π/n" (PDF). Acta Arithmetica. 81 (4). ss. 387-498. doi:10.4064/aa-81-4-387-398. MR 1472818. 
• Conway, John H.; Radin, Charles; Sadun, Lorenzo (1999). "On angles whose squared trigonometric functions are rational". Discrete & Computational Geometry. 22 (3). ss. 321-332. arXiv:math-ph/9812019 $2. doi:10.1007/PL00009463. MR 1706614. 
• Bracken, Paul; Cizek, Jiri (2002). "evaluation of quanum mechanical perturbative sums in terms of quadratic surds and their use in the approximation of ζ(3)/π³". International Journal of Quantum Chemistry. Cilt 90. ss. 42-53. doi:10.1002/qua.1803. 
• Servi, L. D. (2003). "Nested square roots of 2". American Mathematical Monthly. 110 (4). ss. 326-330. doi:10.2307/3647881. JSTOR 3647881. 
• Beslin, Scott; de Angelis, Valerio (2004). "The minimal polynomials of sin(2*π/p) and cos(2*π/p)". Mathematics Magazine. 77 (2). ss. 146-149. doi:10.1080/0025570X.2004.11953242. JSTOR 3219105. 
• Tangsupphathawat, Pinthira; Laohakosol, Vichian (2016). "Minimal polynomials of algebraic cosine values at rational multiples of π". Journal of Integer Sequences. Cilt 19. s. 16.2.8.