Pólya'nın sayma teoremi (Redfield – Pólya teoremi olarak da bilinir), bir küme üzerindeki bir sayısını veren izleyen ve genelleştiren bir kombinatorik teoremidir. Teorem; ilk olarak 1927 yılında tarafından yayımlanmış, 1937'de ise teoremin ortaya çıkardığı sonuçları birçok sayma problemine, özellikle kimyasal bileşiklerin sayımına uygulayarak büyük ölçüde yaygınlaştıran George Pólya tarafından yeniden keşfedilmiştir.
Pólya'nın sayma teoremi, ve teorisi bağlamında da çeşitli uygulama alanlarına sahiptir.
Basitleştirilmiş, ağırlıksız versiyon
X, sonlu bir küme ve G, X kümesinin permütasyonlarının grubu (ya da X kümesi üzerinde sonlu bir simetri grubu) olsun. Bu durumda X kümesi, sonlu sayıda boncuktan oluşan bir yığını temsil edebilir ve G, bu boncukların permütasyonlarından oluşan bir grup olabilir. Örneğin, X kümesi bir daire etrafındaki n adet boncuktan oluşan bir ise bu küme üzerinde dönme simetrisi önem taşır. Bu nedenle G, Cn olur. Benzer şekilde, X kümesi bir daire etrafındaki n adet boncuktan oluşan bir ise bu küme üzerinde dönme ve önem taşır. Bu nedenle G, Dn olur. Bunun dışında, Y'nin sonlu sayıda renkten (boncukların renkleri) oluşan bir küme olduğunu varsayalım. Bu boncukların renkli düzenlemelerinin kümesi (başka bir deyişle, biçimindeki fonksiyonların kümesi), YX olsun. Bu durumda G grubu, YX kümesinin üzerinde davranır. Pólya'nın sayma teoremi, aşağıdaki formülle G grubunun YX kümesi üzerindeki davranışının yörünge sayısını hesaplayarak boncukların renkli düzenlemelerinin sayısını verir:
(, kullanılan renklerin sayısı ve c(g), G grubunun bir g elemanının X'in permütasyonu olarak değerlendirilmesi durumunda bulundurduğu sayısıdır).
Tam, ağırlıklı versiyon
Teoremin daha genel ve daha önemli olan versiyonunda, kullanılan renkler bir ya da daha fazla şekilde ağırlıklandırılır ve renklerden oluşan kümenin sonlu katsayılara sahip bir üretim fonksiyonuna sahip olması şartıyla sonsuz sayıda renk kullanılabilir. Kullanılan renklere verilen ağırlık değerlerinin sayısı, kümenin üretim fonksiyonunun değişken sayısını belirler. Tek değişkenli durumda,
fonksiyonu, her w ≥ 0 tam sayısı için ağırlık değeri w olan fw adet renk bulunmak üzere renk kümesinin üretim fonksiyonu olur. Çok değişkenli durumda ise her rengin ağırlığı, doğal sayılardan oluşan bir vektördür. Bu şekildeki her vektörü için ağırlık değeri olan adet renk bulunmak üzere
fonksiyonu, renk kümesinin üretim fonksiyonu olur.
Teorem, olarak adlandırılan çok değişkenli başka bir fonksiyon daha kullanır:
(n, X kümesinin eleman sayısı ve ck(g), G grubunun bir g elemanının X'in permütasyonu olarak değerlendirilmesi durumunda bulundurduğu k elemanlı döngü sayısıdır).
X kümesinin elemanı olan boncukların renkli bir düzenlemesi, G grubunun YX kümesi üzerindeki davranışının bir yörüngesidir. φ ∈ YX fonksiyonu, bu yörüngenin temsilci bir elemanı olmak üzere bu biçimdeki bir düzenlemenin ağırlığı, her x ∈ X elemanı için φ(x) renklerinin ağırlıklarının toplamı olarak tanımlanır. Teorem, boncukların renkli düzenlemelerinin ağırlıklarına göre sayısını veren üretim fonksiyonunun aşağıdaki bağıntı ile verildiğini belirtir:
Çok değişkenli durumda ise teorem, aşağıdaki gibi ifade edilebilir:
Bu bağıntıyı daha önce verilen basitleştirilmiş versiyona indirgemek için, m adet rengin kullanıldığını ve her birinin ağırlığının 0 olduğunu kabul edebiliriz. O hâlde, f(t) = m ve
Pólya'nın sayma teoreminin çizge kuramında ağaçlara ve kimyada açık halkalı moleküllere uygulanması sırasında, "boncukların" renkli bir düzenlemesi aslında bu yolla elde edilen düzenlemelerin bir düzenlemesi olarak kabul edilir. Böylece, renk kümesinin üretim fonksiyonu olan f, "renkli" düzenlemelerin üretim fonksiyonu olan F fonksiyonundan türetilir ve Pólya'nın sayma teoremi, özyinelemeli bir formül hâline gelir.
Örnekler
Renkli küpler
Verilen m değişik renk kullanılarak bir küpün yüzleri boyanıyor. Küpün istenildiği kadar ve istenen istikametlerde döndürülmesiyle elde edilen herhangi iki boyama özdeş kabul edildiğinde bu boyama işleminin kaç farklı biçimde gerçekleştirilebileceğinin hesaplanması için Pólya'nın sayma teoreminin ağırlıksız versiyonu kullanılabilir.
X, küpün yüzlerinden oluşan bir küme, Y, m farklı renkten oluşan bir küme ve G, küpün dönme simetrilerinden oluşan bir grup olsun. Teoremin bahsedilen probleme uygulanabilmesi için G grubunun her bir elemanının X kümesinin bir permütasyonu olarak değerlendirilmesi durumunda bulundurduğu döngü sayısı hesaplanmalıdır. Bu doğrultuda, G grubunun 24 elemanı aşağıdaki gibi beş gruba ayrılabilir:
- Birim eleman:
- Bu şekilde yalnızca bir permütasyon bulunur ve döngü sayısı, e birim elemanı göstermek üzere, olarak verilir.
- Yüzeylerin 90 derecelik dönme hareketleri:
- Bu permütasyonlar, seçilen bir yüzeyin ve onun karşısında bulunan yüzeyin merkezinden geçen bir eksen etrafında küpü döndürür. Bu şekilde altı permütasyon bulunur ve döngü sayıları, olarak verilir.
- Yüzeylerin 180 derecelik dönme hareketleri:
- Bu permütasyonlar, küpü bir öncekine benzer şekilde hareket ettirir. Bu şekilde üç permütasyon bulunur ve döngü sayıları, olarak verilir.
- Köşelerin 120 derecelik dönme hareketleri:
- Bu permütasyonlar, cisim köşegeni etrafında küpü döndürür. Bu şekilde sekiz permütasyon bulunur ve döngü sayıları, olarak verilir.
- Kenarların 180 derecelik dönme hareketleri:
- Bu permütasyonlar, birbirine paralel olup aynı yüzeyde bulunmayan iki kenarın orta noktalarını birleştiren bir eksen etrafında küpü döndürür. Bu şekilde altı permütasyon bulunur ve döngü sayıları, olarak verilir.
Bu değerler, Pólya'nın sayma teoreminde yerine konulduğunda
farklı boyamanın gerçekleştirilebileceği sonucuna ulaşılır.
Eşyapılı olmayan basit çizgeler
Çizge kuramında bir , herhangi bir veya aynı iki köşeyi birleştiren birden fazla kenarı bulunmayan bir yönsüz çizge olarak tanımlanır. Belirli bir sayıda bulunan köşeler birleştirilerek eşyapılı olmayan kaç adet basit çizge oluşturulabileceğinin hesaplanması için Pólya'nın sayma teoreminin ağırlıksız versiyonu kullanılabilir.
Bir basit çizgeyi, kenarların renkli bir düzenlemesi olarak yorumlamak mümkündür. m adet köşeden oluşan bir basit çizge için X, çizilebilecek adet kenardan oluşan bir küme, Y = {siyah, beyaz} kümesi ise bu kenarların görünüp görünmeyeceğini belirleyen bir renk kümesi olsun. simetrik grubu, X kümesinin üzerinde davranır: G kümesinin elemanı olan bir φ permütasyonu, {a, b} biçimindeki bir kenarı {φ(a), φ(b)} kenarına dönüştürür. Buna göre, m kenarlı basit çizgelerden oluşan bir eşyapı sınıfı, G grubunun YX kümesi üzerindeki davranışının bir yörüngesi olur. Bu grubun her bir elemanının X kümesinin bir permütasyonu olarak değerlendirilmesi durumunda bulundurduğu döngü sayısı teoremde yerine konulduğunda istenen sonuca ulaşılır.
Bir simetrik grup elemanının döngü sayısı, o elemanın bulunduğu bağlıdır. Bu nedenle eşyapılı olmayan m köşeli basit çizgelerin sayısını bulmak için, verilen m değerine göre Sm grubunun eşlenik sınıflarının incelenmesi gerekir. Örneğin, m = 3 alındığında S3 grubunun elemanları aşağıdaki gibi incelenebilir:
- [102031] :
- Bu şekilde iki permütasyon bulunur ve bu permütasyonlar, X kümesinin her bir elemanını bir diğerine dönüştürebilir. Bu nedenle bu permütasyonların döngü sayısı 1 olur.
- [112130] döngü tipi:
- Bu şekilde üç permütasyon bulunur ve bu permütasyonlar, kenarlardan birini sabit tutarken diğerlerini birbirine dönüştürür. Bu nedenle bu permütasyonların döngü sayısı 2 olur.
- [132030] döngü tipi:
- Bu şekilde bir permütasyon bulunur ve bu permütasyon bütün kenarları sabit tutar. Bu nedenle bu permütasyonun döngü sayısı 3 olur.
Bu değerler, Pólya'nın sayma teoreminde yerine konulduğunda
adet eşyapılı olmayan m köşeli basit çizge olduğu sonucu elde edilir. Bu eşyapı sınıfları, sağda gösterilmiştir.
Benzer işlemler, m = 4 değeri için de tekrarlanabilir:
- [10203041] döngü tipi:
- Bu şekilde 6 permütasyon bulunur ve bu permütasyonlar, X kümesinin elemanlarını biri dört elemanlı, diğeri iki elemanlı olan iki farklı döngüye ayırır. Bu nedenle bu permütasyonların döngü sayısı 2 olur.
- [11203140] döngü tipi:
- Bu şekilde 8 permütasyon bulunur ve bu permütasyonlar, X kümesinin elemanlarını üç elemanlı iki farklı döngüye ayırır. Bu nedenle bu permütasyonların döngü sayısı 2 olur.
- [10223040] döngü tipi:
- Bu şekilde 3 permütasyon bulunur ve bu permütasyonlar, kenarlardan iki tanesini sabit tutarken diğer kenarları iki elemanlı iki farklı döngüye ayırır. Bu nedenle bu permütasyonların döngü sayısı 4 olur.
- [12213040] döngü tipi:
- Bu şekilde 6 permütasyon bulunur ve bu permütasyonlar, kenarlardan iki tanesini sabit tutarken diğer kenarları iki elemanlı iki farklı döngüye ayırır. Bu nedenle bu permütasyonların döngü sayısı 4 olur.
- [14203040] döngü tipi:
- Bu şekilde bir permütasyon bulunur ve bu permütasyon bütün kenarları sabit tutar. Bu nedenle bu permütasyonun döngü sayısı 6 olur.
Bu değerler, Pólya'nın sayma teoreminde yerine konulduğunda
adet eşyapılı olmayan m köşeli basit çizge olduğu sonucu elde edilir. Bu eşyapı sınıfları, sağda gösterilmiştir.
Eşyapılı olmayan basit çizgelerin sayısı incelenirken Pólya'nın sayma teoreminin ağırlıklı versiyonu da kullanılabilir. Böylece, söz konusu çizgeleri kenar sayısına göre sınıflandıran bir üretim fonksiyonu elde edilebilir. Bunun için, siyah renge boyanan (görünen) bir kenarın ağırlığının 1, beyaz renge boyanan (görünmeyen) bir kenarın ağırlığının ise 0 olduğunu söyleyebiliriz. Bu durumda bir çizgenin kenar sayısı, o çizgeye karşılık gelen renkli düzenlemenin ağırlığına eşit olur. Ayrıca, verilen ağırlık değerleri için f0 = 1 ve f1 = 1 olur. Bu durumda renk kümesinin üretim fonksiyonu, olarak yazılabilir.
Üç köşeli basit çizgeler için, kenardan oluşan X kümesi üzerinde davranan S3 grubunun döngü indeksi, yukarıdaki inceleme göz önünde bulundurularak şu şekilde ifade edilebilir:
Böylece, istenen üretim fonksiyonu aşağıdaki gibi elde edilebilir:
Dört köşeli basit çizgeler için ise kenardan oluşan X kümesi üzerinde davranan S4 grubunun döngü indeksi, yukarıdaki inceleme göz önünde bulundurularak şu şekilde ifade edilebilir:
Böylelikle,
olduğu sonucuna varılabilir.
Kolye ve bilezikler
Kolyeler
Kombinatorikte, n uzunluğunda bir k'lı kolye, k elemanlı bir ile oluşturulan n karakterli dizelerin her bir bir diğerine denk kabul edilmesiyle oluşan bir olarak tanımlanır. Bu denklik sınıfları, k farklı renkle boyanabilen n adet boncuğun bir çember etrafına dizilmesiyle oluşan yapıları temsil eder. Bu tanımdan yola çıkılarak bir kolye, bir n karakterli dizeler üzerindeki davranışının bir yörüngesi olarak kabul edilebilir.
X, n adet boncuktan oluşan bir küme; Y, k farklı renkten oluşan bir küme ve G, döngüsel grup Cn olsun. Birbirinden farklı, n uzunluğundaki k'lı kolyelerin sayısını Nk(n) ile gösterelim. Bu değerin hesaplanması için Pólya'nın sayma teoreminin ağırlıksız versiyonu kullanılabilir. Bunun için, G grubunun her bir elemanının X kümesinin bir permütasyonu olarak değerlendirilmesi durumunda bulundurduğu döngü sayısının hesaplanması gerekir. G grubu, da kullanılarak G = ⟨g⟩ biçiminde ifade edilebilir. z ∈ olmak üzere G grubunun bir gz elemanının , |gz| = x olarak verilirse e = gn olmak üzere gxz = e olur. Bu durumda olur. O hâlde,
yazılabilir. Bu koşulu sağlayan en küçük x pozitif tam sayısı, olacaktır. Bu nedenle olur. G grubunun her bir elemanı, n elemanlı X kümesinin bir permütasyonu olarak değerlendirileceği için, grubun üretici elemanı olan g'nin n elemanlı bir olması gerekir. Bu noktadan hareketle, olarak bulunur. Böylece,
eşitliği elde edilir.
Bu sonuçtan daha kullanışlı bir bağıntının elde edilmesi için, z ∈ {0, 1, ..., n-1} olmak üzere denkleminin çözümlerinin sayısı hesaplanmalıdır. Bu ifade, denklemi ile aynı anlama gelmektedir. Buradan, denklemin çözüm sayısının olduğu anlaşılır (, Euler'in fi fonksiyonunu göstermektedir.). Buna göre,
olduğu sonucuna varılabilir.
Bu bağıntı yoluyla, kullanılan boncuk ve renk sayısı bilinen bir kolyenin kaç farklı şekilde oluşturulabileceğini hesaplamak mümkündür. Fakat hangi rengin kaç defa kullanıldığının bilindiği durumlarda Pólya'nın sayma teoreminin ağırlıklı versiyonu kullanılarak renkli boncuklardan oluşan her bir çoklu küme için kaç farklı kolye oluşturulabileceğini gösteren bir üretim fonksiyonunun elde edilmesi gerekir. Bu fonksiyonu Nn,k(t1, t2, ...) ile gösterelim. Yukarıda belirtildiği üzere, G = ⟨g⟩ ve z ∈ olmak üzere olur. G grubunun bir gz elemanı, aynı zamanda X kümesinin bir permütasyonu olduğu için durumunda ve x tam sayısının bundan farklı herhangi bir değeri için olur.
Bunun dışında, 1 < i ≤ k aralığındaki her i tam sayısı için ri ifadesi bir rengi temsil etmek üzere Y = {r1, r2, ..., rk} yazılabilir. Bu kümenin her bir elemanı için, olmak üzere biçiminde bir ağırlık değeri tanımlandığında elde edilecek olan üretim fonksiyonu, oluşabilecek kolyelerin sayısını renklerin kullanım sayısına göre gruplandırır. Bu durumda, her ağırlık değeri (w) için fw = 1 olur. Buna göre,
yazılabilir. Böylece, istenen üretim fonksiyonu aşağıdaki gibi elde edilebilir:
Bilezikler
Kombinatorikte, n uzunluğunda bir k'lı bilezik, k elemanlı bir ile oluşturulan n karakterli dizelerin her bir ve yansımasının bir diğerine denk kabul edilmesiyle oluşan bir olarak tanımlanır (Bu durumda her bir dize, tersten yazılmış hâli ile aynı denklik sınıfında bulunur). Bu denklik sınıfları, kolyelerin temsil ettiği yapıların belli bir eksen etrafındaki yansımalarının birbirine denk kabul edilmesiyle somutlaştırılabilir. Bu tanımdan yola çıkılarak bir bilezik, bir n karakterli dizeler üzerindeki davranışının bir yörüngesi olarak kabul edilebilir.
X, n adet boncuktan oluşan bir küme; Y, k farklı renkten oluşan bir küme ve G, dihedral grup Dn olsun. Birbirinden farklı, n uzunluğundaki k'lı bileziklerin sayısını Bk(n) ile gösterelim. Bu değerin hesaplanması için, kolyelerde de olduğu gibi, Pólya'nın sayma teoreminin ağırlıksız versiyonu kullanılabilir. G = Dn grubu, n kenarlı bir düzgün çokgene ait n adet dönme simetrisi ve n adet oluşmaktadır. Bu çokgenin saat yönünde 360/n derecelik bir dönüşünü, a elemanı ile gösterelim. Benzer şekilde, çokgenin her bir yansıma simetrisini s1, s2, ..., sn elemanları ile gösterelim. Bu durumda G grubunu, a0 = e olmak üzere G = ({e, a, a2, ..., an, s1, s2, ..., sn}, ) biçiminde ifade edebiliriz (, fonksiyonların bileşke işlemini göstermektedir).
Bir önceki bölümde belirtildiği üzere, z ∈ olmak üzere olur. Yansıma simetrisini gösteren elemanlar için ise simetri eksenlerinin düzgün çokgene ait köşe ve kenarları birbirine bağlama durumuna göre aşağıdaki eşitlik geçerli olur:
Böylelikle, şu sonuca ulaşılabilir:
dolayısıyla
Kolyelerde olduğu gibi bileziklerde de bu yolla ulaşılan bir bağıntı, yalnızca kullanılan boncuk ve renk sayısının bilindiği durumlarda istenen sonucu verir. Renkli boncuklardan oluşan her bir çoklu kümeden kaç farklı bilezik oluşturulabileceğini gösteren bir üretim fonksiyonunun elde edilmesi için Pólya'nın sayma teoreminin ağırlıklı versiyonu kullanılmalıdır. Bu fonksiyonu Bn,k(t1, t2, ...) ile gösterelim. Bir önceki bölümde belirtildiği üzere, z ∈ olmak üzere G grubunun bir az elemanı, aynı zamanda X kümesinin bir permütasyonu olduğu için durumunda ve x tam sayısının bundan farklı herhangi bir değeri için olur. Yansıma simetrisini gösteren elemanların bulundurduğu döngüler ise ya bir ya da iki elemanlı olacaktır. Bu durumda aşağıdaki eşitlik geçerli olur:
Kullanılan renklerin ağırlıklandırılması, kolyelerdekine benzer şekilde gerçekleştirilebilir: olmak üzere Y = {r1, r2, ..., rk} kümesinin her bir elemanı için olsun. Bu durumda, her ağırlık değeri (w) için fw = 1 olur. Buna göre,
yazılabilir. Böylece, istenen üretim fonksiyonu aşağıdaki gibi elde edilebilir:
dolayısıyla
Köklü üçlü ağaçlar
Çizge kuramında bir , bir köşesi kök olarak belirlenmiş bir olarak tanımlanır. ise, her bir köşesi tam olarak üç adet alt köşeye sahip olan (düğüm) ya da hiçbir alt köşeye sahip olmayan (yaprak) ağaçların ismidir. Pólya'nın sayma teoremi, belli bir düğüm sayısına sahip kaç adet eşyapılı olmayan köklü üçlü ağaç oluşturulabileceğini hesaplamada kullanılabilir. Bir köklü ağaç, başka bir köklü ağacın düğümlerinin alt köşelerinin dizilimlerinin değiştirilmesiyle elde edilebiliyorsa bu iki ağaç eşyapılı olur. Buna göre, köklü bir üçlü ağacın bir düğümünün alt köşeleri üzerinde davranan grup, S3 simetrik grubu olur. Bu grubun döngü indeksi,
olarak yazılabilir.
Bir köklü üçlü ağaç, ya bir yaprak ya da her biri yine bir köklü üçlü ağaç olan üç adet alt köşesi bulunan bir düğüm olarak değerlendirilebilir. Pólya'nın sayma teoremi, köklü üçlü ağaçların bu özyinelemeli yapısını fonksiyonel bir eşitliğe çevirir. Bunun için, bir köklü üçlü ağacın ağırlık değerini bu ağacın düğümlerinin sayısı olarak tanımlayalım. Eşyapılı olmayan köklü üçlü ağaçların sayısını düğümlerinin sayısına göre veren üretim fonksiyonu, F(t) olsun. Bir düğümün sahip olduğu üç alt köşeyi, düğüm sayısı ile ağırlıklandırılmış köklü üçlü ağaçlar ile "boyadığımızda" yeni bir köklü üçlü ağaç elde ederiz. Bu nedenle, renk kümesinin üretim fonksiyonu olur. Bu durumda Pólya'nın sayma teoremi,
ifadesini köklü üçlü ağaçların üretim fonksiyonu olarak verir. Ancak bu işlem sırasında ağacın kökü hesaba katılmadığı için bu fonksiyon ile üretilen bir köklü üçlü ağacın ağırlık değeri, olması gerekenden bir eksik bulunur. Bu nedenle,
olur. Bu ifade, n düğümlü köklü üçlü ağaçların sayısını veren tn dizisi için a, b ve c sayıları negatif olmayan tam sayılar olmak üzere aşağıda verilen özyinelemeli bağıntıya denktir:
Bu dizinin ilk birkaç terimi aşağıdaki gibidir:
Teoremin ispatı
Teoremin ağırlıksız versiyonunun ispatı, bir küme üzerindeki bir grup davranışının yörünge sayısını veren kullanılarak yapılabilir. Burnside önsavı, bir X kümesinin üzerinde davranan bir G grubu için aşağıdaki biçimde ifade edilebilir:
(, X kümesinin G grubuna ait bir g elemanı tarafından sabitlenen elemanlarından oluşan kümedir).
YX kümesinin bir elemanının X kümesinin bir permütasyonu tarafından sabitlenmesi için, aynı döngüdeki her bir elemanın aynı renge sahip olması gerekir. Bu nedenle,
olur. Burnside önsavı, bu bilgi de kullanılarak G grubunun YX kümesi üzerindeki davranışına uygulandığında olmak üzere,
sonucuna ulaşılır.
Teoremin ağırlıklı versiyonunun ispatında, f ve F üretim fonksiyonları aşağıdaki gibi ifade edilecektir:
- , bir ağırlık vektörüdür.
- , ağırlığı olan renklerin sayısıdır.
- , ağırlığı olan birbirinden farklı renkli düzenlemelerin sayısıdır.
- olarak tanımlanıyor.
Bir ağırlık vektörü için değerinin hesaplanmasında Burnside önsavı kullanılabilir. kümesi, ağırlığı olan renkli düzenlemelerin kümesi olmak üzere,
olur. Bu durumda,
yazılabilir.
YX kümesinin bir elemanının X kümesinin bir permütasyonu tarafından sabitlenmesi için, aynı döngüdeki her bir elemanın aynı renge sahip olması gerekir. Bu nedenle, bir g ∈ G elemanının her bir döngüsü (q) için yapılabilecek boyamaları ağırlığına göre veren üretim fonksiyonu
olur. Buna göre,
eşitliği sağlanır. Böylece,
olduğu sonucuna ulaşılır.
Kaynakça
- ^ a b c Redfield, J. Howard (1927). "The Theory of Group-Reduced Distributions". . 49 (3): 433-455. doi:10.2307/2370675. JSTOR 2370675. MR 1506633.
- ^ a b c d Pólya, G. (1937). "Kombinatorische Anzahlbestimmungen für Gruppen, Graphen und chemische Verbindungen". . 68 (1): 145-254. doi:10.1007/BF02546665.
- ^ Riedel, M. R. (2020). "Pólya’s enumeration theorem and the symbolic method". Stuttgart Üniversitesi. [1] 5 Temmuz 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde .
- ^ a b ; Palmer, E. (1967). "The Enumeration Methods of Redfield". . 89 (2): 373-384. doi:10.2307/2373127. JSTOR 2373127. MR 0214487.
- ^ (1995), "9.3 The Cycle Index", Applied Combinatorics, New York: Wiley, ss. 365-371, ISBN
- ^ Jin, J. (2018). "Analysis and Applications of Burnside's Lemma". Massachusetts Institute of Technology. [2] 5 Temmuz 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde .
- ^ a b c Pólya, G.; Read, R. C. (1987). Combinatorial Enumeration of Groups, Graphs, and Chemical Compounds. New York: Springer-Verlag. ISBN . MR 0884155.
- ^ Eric W. Weisstein, Simple Graph (MathWorld)
- ^ a b c d Eric W. Weisstein, Necklace (MathWorld)
- ^ Eric W. Weisstein, Rooted Tree (MathWorld)
- ^ Eric W. Weisstein, Cauchy-Frobenius Lemma (MathWorld)
- ^ Burnside, W. "On Some Properties of Groups of Odd Order." Proc. London Math. Soc. 33, 162-184, 1900.
Dış bağlantılar
- Chyzak, F (1997). Enumerating alcohols and other classes of chemical molecules, an example of Pólya theory11 Mayıs 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde ..
- Eric W. Weisstein, Polya Enumeration Theorem (MathWorld).
- Zenil, H.; Pavlyk, O. (2011). Applying the Pólya-Burnside Enumeration Theorem 11 Ekim 2019 tarihinde Wayback Machine sitesinde .. .
wikipedia, wiki, viki, vikipedia, oku, kitap, kütüphane, kütübhane, ara, ara bul, bul, herşey, ne arasanız burada,hikayeler, makale, kitaplar, öğren, wiki, bilgi, tarih, yukle, izle, telefon için, turk, türk, türkçe, turkce, nasıl yapılır, ne demek, nasıl, yapmak, yapılır, indir, ücretsiz, ücretsiz indir, bedava, bedava indir, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, resim, müzik, şarkı, film, film, oyun, oyunlar, mobil, cep telefonu, telefon, android, ios, apple, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, pc, web, computer, bilgisayar
Polya nin sayma teoremi Redfield Polya teoremi olarak da bilinir bir kume uzerindeki bir sayisini veren izleyen ve genellestiren bir kombinatorik teoremidir Teorem ilk olarak 1927 yilinda tarafindan yayimlanmis 1937 de ise teoremin ortaya cikardigi sonuclari bircok sayma problemine ozellikle kimyasal bilesiklerin sayimina uygulayarak buyuk olcude yayginlastiran George Polya tarafindan yeniden kesfedilmistir Polya nin sayma teoremi ve teorisi baglaminda da cesitli uygulama alanlarina sahiptir Basitlestirilmis agirliksiz versiyonX sonlu bir kume ve G X kumesinin permutasyonlarinin grubu ya da X kumesi uzerinde sonlu bir simetri grubu olsun Bu durumda X kumesi sonlu sayida boncuktan olusan bir yigini temsil edebilir ve G bu boncuklarin permutasyonlarindan olusan bir grup olabilir Ornegin X kumesi bir daire etrafindaki n adet boncuktan olusan bir ise bu kume uzerinde donme simetrisi onem tasir Bu nedenle G Cn olur Benzer sekilde X kumesi bir daire etrafindaki n adet boncuktan olusan bir ise bu kume uzerinde donme ve onem tasir Bu nedenle G Dn olur Bunun disinda Y nin sonlu sayida renkten boncuklarin renkleri olusan bir kume oldugunu varsayalim Bu boncuklarin renkli duzenlemelerinin kumesi baska bir deyisle X Y displaystyle X to Y bicimindeki fonksiyonlarin kumesi YX olsun Bu durumda G grubu YX kumesinin uzerinde davranir Polya nin sayma teoremi asagidaki formulle G grubunun YX kumesi uzerindeki davranisinin yorunge sayisini hesaplayarak boncuklarin renkli duzenlemelerinin sayisini verir YX G 1 G g Gmc g displaystyle left Y X G right frac 1 G sum g in G m c g m Y displaystyle m Y kullanilan renklerin sayisi ve c g G grubunun bir g elemaninin X in permutasyonu olarak degerlendirilmesi durumunda bulundurdugu sayisidir Tam agirlikli versiyonTeoremin daha genel ve daha onemli olan versiyonunda kullanilan renkler bir ya da daha fazla sekilde agirliklandirilir ve renklerden olusan kumenin sonlu katsayilara sahip bir uretim fonksiyonuna sahip olmasi sartiyla sonsuz sayida renk kullanilabilir Kullanilan renklere verilen agirlik degerlerinin sayisi kumenin uretim fonksiyonunun degisken sayisini belirler Tek degiskenli durumda f t f0 f1t f2t2 displaystyle f t f 0 f 1 t f 2 t 2 cdots fonksiyonu her w 0 tam sayisi icin agirlik degeri w olan fw adet renk bulunmak uzere renk kumesinin uretim fonksiyonu olur Cok degiskenli durumda ise her rengin agirligi dogal sayilardan olusan bir vektordur Bu sekildeki her a w1 w2 textstyle mathbf a w 1 w 2 ldots vektoru icin agirlik degeri a textstyle mathbf a olan fa textstyle f mathbf a adet renk bulunmak uzere f t1 t2 w1 w2 Nfat1w1t2w2 displaystyle f t 1 t 2 ldots sum w 1 w 2 ldots in mathbb N f mathbf a t 1 w 1 t 2 w 2 cdots fonksiyonu renk kumesinin uretim fonksiyonu olur Teorem olarak adlandirilan cok degiskenli baska bir fonksiyon daha kullanir ZG t1 t2 tn 1 G g Gt1c1 g t2c2 g tncn g displaystyle Z G t 1 t 2 ldots t n frac 1 G sum g in G t 1 c 1 g t 2 c 2 g cdots t n c n g n X kumesinin eleman sayisi ve ck g G grubunun bir g elemaninin X in permutasyonu olarak degerlendirilmesi durumunda bulundurdugu k elemanli dongu sayisidir X kumesinin elemani olan boncuklarin renkli bir duzenlemesi G grubunun YX kumesi uzerindeki davranisinin bir yorungesidir f YX fonksiyonu bu yorungenin temsilci bir elemani olmak uzere bu bicimdeki bir duzenlemenin agirligi her x X elemani icin f x renklerinin agirliklarinin toplami olarak tanimlanir Teorem boncuklarin renkli duzenlemelerinin agirliklarina gore sayisini veren uretim fonksiyonunun asagidaki baginti ile verildigini belirtir F t ZG f t f t2 f t3 f tn displaystyle F t Z G f t f t 2 f t 3 ldots f t n Cok degiskenli durumda ise teorem asagidaki gibi ifade edilebilir F t1 t2 ZG f t1 t2 f t12 t22 f t13 t23 f t1n t2n displaystyle F t 1 t 2 ldots Z G f t 1 t 2 ldots f t 1 2 t 2 2 ldots f t 1 3 t 2 3 ldots ldots f t 1 n t 2 n ldots Bu bagintiyi daha once verilen basitlestirilmis versiyona indirgemek icin m adet rengin kullanildigini ve her birinin agirliginin 0 oldugunu kabul edebiliriz O halde f t m ve YX G F 0 ZG m m m 1 G g Gmc g displaystyle left Y X G right F 0 Z G m m ldots m frac 1 G sum g in G m c g Polya nin sayma teoreminin cizge kuraminda agaclara ve kimyada acik halkali molekullere uygulanmasi sirasinda boncuklarin renkli bir duzenlemesi aslinda bu yolla elde edilen duzenlemelerin bir duzenlemesi olarak kabul edilir Boylece renk kumesinin uretim fonksiyonu olan f renkli duzenlemelerin uretim fonksiyonu olan F fonksiyonundan turetilir ve Polya nin sayma teoremi ozyinelemeli bir formul haline gelir OrneklerRenkli kupler Verilen m degisik renk kullanilarak bir kupun yuzleri boyaniyor Kupun istenildigi kadar ve istenen istikametlerde dondurulmesiyle elde edilen herhangi iki boyama ozdes kabul edildiginde bu boyama isleminin kac farkli bicimde gerceklestirilebileceginin hesaplanmasi icin Polya nin sayma teoreminin agirliksiz versiyonu kullanilabilir X kupun yuzlerinden olusan bir kume Y m farkli renkten olusan bir kume ve G kupun donme simetrilerinden olusan bir grup olsun Teoremin bahsedilen probleme uygulanabilmesi icin G grubunun her bir elemaninin X kumesinin bir permutasyonu olarak degerlendirilmesi durumunda bulundurdugu dongu sayisi hesaplanmalidir Bu dogrultuda G grubunun 24 elemani asagidaki gibi bes gruba ayrilabilir Birim eleman Bu sekilde yalnizca bir permutasyon bulunur ve dongu sayisi e birim elemani gostermek uzere c e 6 textstyle c e 6 olarak verilir Yuzeylerin 90 derecelik donme hareketleri Bu permutasyonlar secilen bir yuzeyin ve onun karsisinda bulunan yuzeyin merkezinden gecen bir eksen etrafinda kupu dondurur Bu sekilde alti permutasyon bulunur ve dongu sayilari c g 3 textstyle c g 3 olarak verilir Yuzeylerin 180 derecelik donme hareketleri Bu permutasyonlar kupu bir oncekine benzer sekilde hareket ettirir Bu sekilde uc permutasyon bulunur ve dongu sayilari c g 4 textstyle c g 4 olarak verilir Koselerin 120 derecelik donme hareketleri Bu permutasyonlar cisim kosegeni etrafinda kupu dondurur Bu sekilde sekiz permutasyon bulunur ve dongu sayilari c g 2 textstyle c g 2 olarak verilir Kenarlarin 180 derecelik donme hareketleri Bu permutasyonlar birbirine paralel olup ayni yuzeyde bulunmayan iki kenarin orta noktalarini birlestiren bir eksen etrafinda kupu dondurur Bu sekilde alti permutasyon bulunur ve dongu sayilari c g 3 textstyle c g 3 olarak verilir Bu degerler Polya nin sayma teoreminde yerine konuldugunda YX G 124 m6 3m4 12m3 8m2 displaystyle left Y X G right frac 1 24 left m 6 3m 4 12m 3 8m 2 right farkli boyamanin gerceklestirilebilecegi sonucuna ulasilir Esyapili olmayan basit cizgeler Cizge kuraminda bir herhangi bir veya ayni iki koseyi birlestiren birden fazla kenari bulunmayan bir yonsuz cizge olarak tanimlanir Belirli bir sayida bulunan koseler birlestirilerek esyapili olmayan kac adet basit cizge olusturulabileceginin hesaplanmasi icin Polya nin sayma teoreminin agirliksiz versiyonu kullanilabilir Bir basit cizgeyi kenarlarin renkli bir duzenlemesi olarak yorumlamak mumkundur m adet koseden olusan bir basit cizge icin X cizilebilecek m2 textstyle binom m 2 adet kenardan olusan bir kume Y siyah beyaz kumesi ise bu kenarlarin gorunup gorunmeyecegini belirleyen bir renk kumesi olsun G Sm textstyle G S m simetrik grubu X kumesinin uzerinde davranir G kumesinin elemani olan bir f permutasyonu a b bicimindeki bir kenari f a f b kenarina donusturur Buna gore m kenarli basit cizgelerden olusan bir esyapi sinifi G grubunun YX kumesi uzerindeki davranisinin bir yorungesi olur Bu grubun her bir elemaninin X kumesinin bir permutasyonu olarak degerlendirilmesi durumunda bulundurdugu dongu sayisi teoremde yerine konuldugunda istenen sonuca ulasilir Uc koseli tum basit cizgelerEsyapili olmayan uc koseli basit cizgeler Bir simetrik grup elemaninin dongu sayisi o elemanin bulundugu baglidir Bu nedenle esyapili olmayan m koseli basit cizgelerin sayisini bulmak icin verilen m degerine gore Sm grubunun eslenik siniflarinin incelenmesi gerekir Ornegin m 3 alindiginda S3 grubunun elemanlari asagidaki gibi incelenebilir 102031 Bu sekilde iki permutasyon bulunur ve bu permutasyonlar X kumesinin her bir elemanini bir digerine donusturebilir Bu nedenle bu permutasyonlarin dongu sayisi 1 olur 112130 dongu tipi Bu sekilde uc permutasyon bulunur ve bu permutasyonlar kenarlardan birini sabit tutarken digerlerini birbirine donusturur Bu nedenle bu permutasyonlarin dongu sayisi 2 olur 132030 dongu tipi Bu sekilde bir permutasyon bulunur ve bu permutasyon butun kenarlari sabit tutar Bu nedenle bu permutasyonun dongu sayisi 3 olur Bu degerler Polya nin sayma teoreminde yerine konuldugunda YX G 16 2 21 3 22 23 4 displaystyle left Y X G right frac 1 6 2 cdot 2 1 3 cdot 2 2 2 3 4 adet esyapili olmayan m koseli basit cizge oldugu sonucu elde edilir Bu esyapi siniflari sagda gosterilmistir Esyapili olmayan dort koseli basit cizgeler Benzer islemler m 4 degeri icin de tekrarlanabilir 10203041 dongu tipi Bu sekilde 6 permutasyon bulunur ve bu permutasyonlar X kumesinin elemanlarini biri dort elemanli digeri iki elemanli olan iki farkli donguye ayirir Bu nedenle bu permutasyonlarin dongu sayisi 2 olur 11203140 dongu tipi Bu sekilde 8 permutasyon bulunur ve bu permutasyonlar X kumesinin elemanlarini uc elemanli iki farkli donguye ayirir Bu nedenle bu permutasyonlarin dongu sayisi 2 olur 10223040 dongu tipi Bu sekilde 3 permutasyon bulunur ve bu permutasyonlar kenarlardan iki tanesini sabit tutarken diger kenarlari iki elemanli iki farkli donguye ayirir Bu nedenle bu permutasyonlarin dongu sayisi 4 olur 12213040 dongu tipi Bu sekilde 6 permutasyon bulunur ve bu permutasyonlar kenarlardan iki tanesini sabit tutarken diger kenarlari iki elemanli iki farkli donguye ayirir Bu nedenle bu permutasyonlarin dongu sayisi 4 olur 14203040 dongu tipi Bu sekilde bir permutasyon bulunur ve bu permutasyon butun kenarlari sabit tutar Bu nedenle bu permutasyonun dongu sayisi 6 olur Bu degerler Polya nin sayma teoreminde yerine konuldugunda YX G 124 6 22 8 22 3 24 6 24 26 11 displaystyle left Y X G right frac 1 24 6 cdot 2 2 8 cdot 2 2 3 cdot 2 4 6 cdot 2 4 2 6 11 adet esyapili olmayan m koseli basit cizge oldugu sonucu elde edilir Bu esyapi siniflari sagda gosterilmistir Esyapili olmayan basit cizgelerin sayisi incelenirken Polya nin sayma teoreminin agirlikli versiyonu da kullanilabilir Boylece soz konusu cizgeleri kenar sayisina gore siniflandiran bir uretim fonksiyonu elde edilebilir Bunun icin siyah renge boyanan gorunen bir kenarin agirliginin 1 beyaz renge boyanan gorunmeyen bir kenarin agirliginin ise 0 oldugunu soyleyebiliriz Bu durumda bir cizgenin kenar sayisi o cizgeye karsilik gelen renkli duzenlemenin agirligina esit olur Ayrica verilen agirlik degerleri icin f0 1 ve f1 1 olur Bu durumda renk kumesinin uretim fonksiyonu f t 1 t textstyle f t 1 t olarak yazilabilir Uc koseli basit cizgeler icin 32 3 textstyle binom 3 2 3 kenardan olusan X kumesi uzerinde davranan S3 grubunun dongu indeksi yukaridaki inceleme goz onunde bulundurularak su sekilde ifade edilebilir ZG t1 t2 t3 16 t13 3t1t2 2t3 displaystyle Z G t 1 t 2 t 3 frac 1 6 left t 1 3 3t 1 t 2 2t 3 right Boylece istenen uretim fonksiyonu asagidaki gibi elde edilebilir F t ZG t 1 t2 1 t3 1 16 t 1 3 3 t 1 t2 1 2 t3 1 t3 t2 t 1 displaystyle begin aligned F t amp Z G left t 1 t 2 1 t 3 1 right amp frac 1 6 left t 1 3 3 t 1 t 2 1 2 t 3 1 right amp t 3 t 2 t 1 end aligned Dort koseli basit cizgeler icin ise 42 6 textstyle binom 4 2 6 kenardan olusan X kumesi uzerinde davranan S4 grubunun dongu indeksi yukaridaki inceleme goz onunde bulundurularak su sekilde ifade edilebilir ZG t1 t2 t3 t4 124 t16 9t12t22 8t32 6t2t4 displaystyle Z G t 1 t 2 t 3 t 4 frac 1 24 left t 1 6 9t 1 2 t 2 2 8t 3 2 6t 2 t 4 right Boylelikle F t ZG t 1 t2 1 t3 1 t4 1 124 t 1 6 9 t 1 2 t2 1 2 8 t3 1 2 6 t2 1 t4 1 t6 t5 2t4 3t3 2t2 t 1 displaystyle begin aligned F t amp Z G left t 1 t 2 1 t 3 1 t 4 1 right amp frac 1 24 left t 1 6 9 t 1 2 t 2 1 2 8 t 3 1 2 6 t 2 1 t 4 1 right amp t 6 t 5 2t 4 3t 3 2t 2 t 1 end aligned oldugu sonucuna varilabilir Kolye ve bilezikler Kolyeler Kombinatorikte n uzunlugunda bir k li kolye k elemanli bir ile olusturulan n karakterli dizelerin her bir bir digerine denk kabul edilmesiyle olusan bir olarak tanimlanir Bu denklik siniflari k farkli renkle boyanabilen n adet boncugun bir cember etrafina dizilmesiyle olusan yapilari temsil eder Bu tanimdan yola cikilarak bir kolye bir n karakterli dizeler uzerindeki davranisinin bir yorungesi olarak kabul edilebilir X n adet boncuktan olusan bir kume Y k farkli renkten olusan bir kume ve G dongusel grup Cn olsun Birbirinden farkli n uzunlugundaki k li kolyelerin sayisini Nk n ile gosterelim Bu degerin hesaplanmasi icin Polya nin sayma teoreminin agirliksiz versiyonu kullanilabilir Bunun icin G grubunun her bir elemaninin X kumesinin bir permutasyonu olarak degerlendirilmesi durumunda bulundurdugu dongu sayisinin hesaplanmasi gerekir G grubu da kullanilarak G g biciminde ifade edilebilir z Z textstyle mathbb Z olmak uzere G grubunun bir gz elemaninin gz x olarak verilirse e gn olmak uzere gxz e olur Bu durumda n xz textstyle n mid xz olur O halde xz 0 modn displaystyle xz equiv 0 pmod n x zebob n z 0 modnebob n z displaystyle x frac z ebob n z equiv 0 pmod frac n ebob n z yazilabilir Bu kosulu saglayan en kucuk x pozitif tam sayisi nebob n z textstyle frac n ebob n z olacaktir Bu nedenle gz nebob n z textstyle g z frac n ebob n z olur G grubunun her bir elemani n elemanli X kumesinin bir permutasyonu olarak degerlendirilecegi icin grubun uretici elemani olan g nin n elemanli bir olmasi gerekir Bu noktadan hareketle c gz ebob n z textstyle c g z ebob n z olarak bulunur Boylece YX G 1n z 0n 1kebob n z displaystyle left Y X G right frac 1 n sum z 0 n 1 k ebob n z esitligi elde edilir Bu sonuctan daha kullanisli bir bagintinin elde edilmesi icin z 0 1 n 1 olmak uzere d ebob n z textstyle d ebob n z denkleminin cozumlerinin sayisi hesaplanmalidir Bu ifade ebob nd zd 1 textstyle ebob frac n d frac z d 1 denklemi ile ayni anlama gelmektedir Buradan denklemin cozum sayisinin f nd textstyle varphi frac n d oldugu anlasilir f displaystyle varphi Euler in fi fonksiyonunu gostermektedir Buna gore Nk n 1n d nf nd kd 1n d nf d knd displaystyle N k n frac 1 n sum d mid n varphi frac n d k d frac 1 n sum d mid n varphi d k frac n d oldugu sonucuna varilabilir Bu baginti yoluyla kullanilan boncuk ve renk sayisi bilinen bir kolyenin kac farkli sekilde olusturulabilecegini hesaplamak mumkundur Fakat hangi rengin kac defa kullanildiginin bilindigi durumlarda Polya nin sayma teoreminin agirlikli versiyonu kullanilarak renkli boncuklardan olusan her bir coklu kume icin kac farkli kolye olusturulabilecegini gosteren bir uretim fonksiyonunun elde edilmesi gerekir Bu fonksiyonu Nn k t1 t2 ile gosterelim Yukarida belirtildigi uzere G g ve z Z textstyle mathbb Z olmak uzere c gz ebob n z textstyle c g z ebob n z olur G grubunun bir gz elemani ayni zamanda X kumesinin bir permutasyonu oldugu icin x nebob n z textstyle x frac n ebob n z durumunda cx gz ebob n z textstyle c x g z ebob n z ve x tam sayisinin bundan farkli herhangi bir degeri icin cx gz 0 textstyle c x g z 0 olur Bunun disinda 1 lt i k araligindaki her i tam sayisi icin ri ifadesi bir rengi temsil etmek uzere Y r1 r2 rk yazilabilir Bu kumenin her bir elemani icin a1 1 0 0 textstyle mathbf a 1 1 0 cdots 0 a2 0 1 0 0 textstyle mathbf a 2 0 1 0 cdots 0 textstyle ldots ak 0 0 1 textstyle mathbf a k 0 cdots 0 1 olmak uzere w ri ai textstyle w r i mathbf a i biciminde bir agirlik degeri tanimlandiginda elde edilecek olan uretim fonksiyonu olusabilecek kolyelerin sayisini renklerin kullanim sayisina gore gruplandirir Bu durumda her agirlik degeri w icin fw 1 olur Buna gore f t1 t2 t1 t2 displaystyle f t 1 t 2 ldots t 1 t 2 cdots yazilabilir Boylece istenen uretim fonksiyonu asagidaki gibi elde edilebilir Nn k t1 t2 ZG t1 t2 t12 t22 t1n t2n 1 G g G t1 t2 c1 g t12 t22 c2 g t1n t2n cn g 1n z 0n 1 t1 t2 c1 gz t12 t22 c2 gz t1n t2n cn gz 1n d n t1nd t2nd df nd 1n d n t1d t2d ndf d displaystyle begin aligned N n k t 1 t 2 ldots amp Z G t 1 t 2 cdots t 1 2 t 2 2 cdots ldots t 1 n t 2 n cdots amp frac 1 G sum g in G t 1 t 2 cdots c 1 g t 1 2 t 2 2 cdots c 2 g cdots t 1 n t 2 n cdots c n g amp frac 1 n sum z 0 n 1 t 1 t 2 cdots c 1 g z t 1 2 t 2 2 cdots c 2 g z cdots t 1 n t 2 n cdots c n g z amp frac 1 n sum d mid n t 1 frac n d t 2 frac n d cdots d varphi frac n d amp frac 1 n sum d mid n t 1 d t 2 d cdots frac n d varphi d end aligned Bilezikler Kombinatorikte n uzunlugunda bir k li bilezik k elemanli bir ile olusturulan n karakterli dizelerin her bir ve yansimasinin bir digerine denk kabul edilmesiyle olusan bir olarak tanimlanir Bu durumda her bir dize tersten yazilmis hali ile ayni denklik sinifinda bulunur Bu denklik siniflari kolyelerin temsil ettigi yapilarin belli bir eksen etrafindaki yansimalarinin birbirine denk kabul edilmesiyle somutlastirilabilir Bu tanimdan yola cikilarak bir bilezik bir n karakterli dizeler uzerindeki davranisinin bir yorungesi olarak kabul edilebilir X n adet boncuktan olusan bir kume Y k farkli renkten olusan bir kume ve G dihedral grup Dn olsun Birbirinden farkli n uzunlugundaki k li bileziklerin sayisini Bk n ile gosterelim Bu degerin hesaplanmasi icin kolyelerde de oldugu gibi Polya nin sayma teoreminin agirliksiz versiyonu kullanilabilir G Dn grubu n kenarli bir duzgun cokgene ait n adet donme simetrisi ve n adet olusmaktadir Bu cokgenin saat yonunde 360 n derecelik bir donusunu a elemani ile gosterelim Benzer sekilde cokgenin her bir yansima simetrisini s1 s2 sn elemanlari ile gosterelim Bu durumda G grubunu a0 e olmak uzere G e a a2 an s1 s2 sn displaystyle circ biciminde ifade edebiliriz displaystyle circ fonksiyonlarin bileske islemini gostermektedir Bir onceki bolumde belirtildigi uzere z Z textstyle mathbb Z olmak uzere c az ebob n z textstyle c a z ebob n z olur Yansima simetrisini gosteren elemanlar icin ise simetri eksenlerinin duzgun cokgene ait kose ve kenarlari birbirine baglama durumuna gore asagidaki esitlik gecerli olur c sz n 1 2n tek isen 2n cift ve z tek ise n 2 2n cift ve z cift ise displaystyle c s z begin cases n 1 2 amp n text tek ise n 2 amp n text cift ve z text tek ise n 2 2 amp n text cift ve z text cift ise end cases Boylelikle su sonuca ulasilabilir YX G 12n z 0n 1kebob n z z 1nkc sz 12Nk n 12n z 1nkc sz displaystyle begin aligned left Y X G right amp frac 1 2n left sum z 0 n 1 k ebob n z sum z 1 n k c s z right amp frac 1 2 N k n frac 1 2n sum z 1 n k c s z end aligned dolayisiyla Bk n 12Nk n 14 k 1 kn2n cift ise12Nk n 12kn 12n tek ise displaystyle B k n begin cases tfrac 1 2 N k n tfrac 1 4 k 1 k frac n 2 amp n text cift ise 10px tfrac 1 2 N k n tfrac 1 2 k frac n 1 2 amp n text tek ise end cases Kolyelerde oldugu gibi bileziklerde de bu yolla ulasilan bir baginti yalnizca kullanilan boncuk ve renk sayisinin bilindigi durumlarda istenen sonucu verir Renkli boncuklardan olusan her bir coklu kumeden kac farkli bilezik olusturulabilecegini gosteren bir uretim fonksiyonunun elde edilmesi icin Polya nin sayma teoreminin agirlikli versiyonu kullanilmalidir Bu fonksiyonu Bn k t1 t2 ile gosterelim Bir onceki bolumde belirtildigi uzere z Z textstyle mathbb Z olmak uzere G grubunun bir az elemani ayni zamanda X kumesinin bir permutasyonu oldugu icin x nebob n z textstyle x frac n ebob n z durumunda cx az ebob n z textstyle c x a z ebob n z ve x tam sayisinin bundan farkli herhangi bir degeri icin cx az 0 textstyle c x a z 0 olur Yansima simetrisini gosteren elemanlarin bulundurdugu donguler ise ya bir ya da iki elemanli olacaktir Bu durumda asagidaki esitlik gecerli olur cx sz 1n tek ve x 1 ise n 1 2n tek ve x 2 isen 2n cift z tek ve x 2 ise2n cift z cift ve x 1 ise n 2 2n cift z cift ve x 2 ise displaystyle c x s z begin cases 1 amp n text tek ve x 1 text ise n 1 2 amp n text tek ve x 2 text ise n 2 amp n text cift z text tek ve x 2 text ise 2 amp n text cift z text cift ve x 1 text ise n 2 2 amp n text cift z text cift ve x 2 text ise end cases Kullanilan renklerin agirliklandirilmasi kolyelerdekine benzer sekilde gerceklestirilebilir a1 1 0 0 textstyle mathbf a 1 1 0 cdots 0 a2 0 1 0 0 textstyle mathbf a 2 0 1 0 cdots 0 textstyle ldots ak 0 0 1 textstyle mathbf a k 0 cdots 0 1 olmak uzere Y r1 r2 rk kumesinin her bir elemani icin w ri ai textstyle w r i mathbf a i olsun Bu durumda her agirlik degeri w icin fw 1 olur Buna gore f t1 t2 t1 t2 displaystyle f t 1 t 2 ldots t 1 t 2 cdots yazilabilir Boylece istenen uretim fonksiyonu asagidaki gibi elde edilebilir Bn k t1 t2 ZG t1 t2 t12 t22 t1n t2n 1 G g G t1 t2 c1 g t12 t22 c2 g t1n t2n cn g 12Nn k t1 t2 12n z 1n t1 t2 c1 sz t12 t22 c2 sz displaystyle begin aligned B n k t 1 t 2 ldots amp Z G t 1 t 2 cdots t 1 2 t 2 2 cdots ldots t 1 n t 2 n cdots amp frac 1 G sum g in G t 1 t 2 cdots c 1 g t 1 2 t 2 2 cdots c 2 g cdots t 1 n t 2 n cdots c n g amp frac 1 2 N n k t 1 t 2 ldots frac 1 2n sum z 1 n t 1 t 2 cdots c 1 s z t 1 2 t 2 2 cdots c 2 s z end aligned dolayisiyla Bn k t1 t2 12Nn k t1 t2 12 t1 t2 t12 t22 n 12n tek ise12Nn k t1 t2 14 t1 t2 2 t12 t22 n 22 t12 t22 n2 n cift ise displaystyle B n k t 1 t 2 ldots begin cases tfrac 1 2 N n k t 1 t 2 ldots tfrac 1 2 t 1 t 2 cdots t 1 2 t 2 2 cdots frac n 1 2 amp n text tek ise 10px tfrac 1 2 N n k t 1 t 2 ldots tfrac 1 4 left t 1 t 2 cdots 2 t 1 2 t 2 2 cdots frac n 2 2 t 1 2 t 2 2 cdots frac n 2 right amp n text cift ise end cases Koklu uclu agaclar Cizge kuraminda bir bir kosesi kok olarak belirlenmis bir olarak tanimlanir ise her bir kosesi tam olarak uc adet alt koseye sahip olan dugum ya da hicbir alt koseye sahip olmayan yaprak agaclarin ismidir Polya nin sayma teoremi belli bir dugum sayisina sahip kac adet esyapili olmayan koklu uclu agac olusturulabilecegini hesaplamada kullanilabilir Bir koklu agac baska bir koklu agacin dugumlerinin alt koselerinin dizilimlerinin degistirilmesiyle elde edilebiliyorsa bu iki agac esyapili olur Buna gore koklu bir uclu agacin bir dugumunun alt koseleri uzerinde davranan grup S3 simetrik grubu olur Bu grubun dongu indeksi ZS3 t1 t2 t3 16 t13 3t1t2 2t3 displaystyle Z S 3 t 1 t 2 t 3 frac 1 6 left t 1 3 3t 1 t 2 2t 3 right olarak yazilabilir Bir koklu uclu agac ya bir yaprak ya da her biri yine bir koklu uclu agac olan uc adet alt kosesi bulunan bir dugum olarak degerlendirilebilir Polya nin sayma teoremi koklu uclu agaclarin bu ozyinelemeli yapisini fonksiyonel bir esitlige cevirir Bunun icin bir koklu uclu agacin agirlik degerini bu agacin dugumlerinin sayisi olarak tanimlayalim Esyapili olmayan koklu uclu agaclarin sayisini dugumlerinin sayisina gore veren uretim fonksiyonu F t olsun Bir dugumun sahip oldugu uc alt koseyi dugum sayisi ile agirliklandirilmis koklu uclu agaclar ile boyadigimizda yeni bir koklu uclu agac elde ederiz Bu nedenle renk kumesinin uretim fonksiyonu f t F t textstyle f t F t olur Bu durumda Polya nin sayma teoremi F t 3 3F t F t2 2F t3 6 displaystyle frac F t 3 3F t F t 2 2F t 3 6 ifadesini koklu uclu agaclarin uretim fonksiyonu olarak verir Ancak bu islem sirasinda agacin koku hesaba katilmadigi icin bu fonksiyon ile uretilen bir koklu uclu agacin agirlik degeri olmasi gerekenden bir eksik bulunur Bu nedenle F t 1 t6 F t 3 3F t F t2 2F t3 displaystyle F t 1 frac t 6 cdot left F t 3 3F t F t 2 2F t 3 right olur Bu ifade n dugumlu koklu uclu agaclarin sayisini veren tn dizisi icin a b ve c sayilari negatif olmayan tam sayilar olmak uzere asagida verilen ozyinelemeli bagintiya denktir t0 1tn 1 16 a b c ntatbtc 3 a 2b ntatb 2 3a nta displaystyle begin aligned t 0 amp 1 t n 1 amp frac 1 6 left sum a b c n t a t b t c 3 sum a 2b n t a t b 2 sum 3a n t a right end aligned Bu dizinin ilk birkac terimi asagidaki gibidir 1 1 1 2 4 8 17 39 89 211 507 1238 3057 7639 19241 OEIS de A000598 dizisi Teoremin ispatiTeoremin agirliksiz versiyonunun ispati bir kume uzerindeki bir grup davranisinin yorunge sayisini veren kullanilarak yapilabilir Burnside onsavi bir X kumesinin uzerinde davranan bir G grubu icin asagidaki bicimde ifade edilebilir X G 1 G g G Xg displaystyle X G frac 1 G sum g in G X g Xg displaystyle X g X kumesinin G grubuna ait bir g elemani tarafindan sabitlenen elemanlarindan olusan kumedir YX kumesinin bir elemaninin X kumesinin bir permutasyonu tarafindan sabitlenmesi icin ayni dongudeki her bir elemanin ayni renge sahip olmasi gerekir Bu nedenle YX g Y c g displaystyle left Y X g right Y c g olur Burnside onsavi bu bilgi de kullanilarak G grubunun YX kumesi uzerindeki davranisina uygulandiginda m Y textstyle m Y olmak uzere YX G 1 G g Gmc g displaystyle left Y X G right frac 1 G sum g in G m c g sonucuna ulasilir Teoremin agirlikli versiyonunun ispatinda f ve F uretim fonksiyonlari asagidaki gibi ifade edilecektir w w1 w2 displaystyle omega w 1 w 2 ldots bir agirlik vektorudur fw displaystyle f omega agirligi w displaystyle omega olan renklerin sayisidir mw displaystyle m omega agirligi w displaystyle omega olan birbirinden farkli renkli duzenlemelerin sayisidir tw t1w1t2w2 displaystyle t omega t 1 w 1 t 2 w 2 cdots olarak tanimlaniyor f t1 t2 w1 w2 Nfwtw displaystyle f t 1 t 2 ldots sum w 1 w 2 ldots in mathbb N f omega t omega F t1 t2 w1 w2 Nmwtw displaystyle F t 1 t 2 ldots sum w 1 w 2 ldots in mathbb N m omega t omega Bir w textstyle omega agirlik vektoru icin mw displaystyle m omega degerinin hesaplanmasinda Burnside onsavi kullanilabilir YX w textstyle Y X omega kumesi agirligi w textstyle omega olan renkli duzenlemelerin kumesi olmak uzere mw YX w G 1 G g G YX wg displaystyle m omega left Y X omega G right frac 1 G sum g in G left Y X omega g right olur Bu durumda F t1 t2 1 G g G wtw YX wg displaystyle F t 1 t 2 ldots frac 1 G sum g in G omega t omega left Y X omega g right yazilabilir YX kumesinin bir elemaninin X kumesinin bir permutasyonu tarafindan sabitlenmesi icin ayni dongudeki her bir elemanin ayni renge sahip olmasi gerekir Bu nedenle bir g G elemaninin her bir dongusu q icin yapilabilecek boyamalari agirligina gore veren uretim fonksiyonu f t1 q t2 q t3 q w1 w2 Nfwt1w1 q t2w2 q displaystyle f left t 1 q t 2 q t 3 q ldots right sum w 1 w 2 ldots in mathbb N f omega t 1 w 1 q t 2 w 2 q cdots olur Buna gore wtw YX wg q dongusudur gf t1 q t2 q t3 q f t1 t2 c1 g f t12 t22 c2 g f t1n t2n cn g displaystyle begin aligned sum omega t omega left Y X omega g right amp prod q text dongusudur g f left t 1 q t 2 q t 3 q ldots right amp f t 1 t 2 ldots c 1 g f left t 1 2 t 2 2 ldots right c 2 g cdots f left t 1 n t 2 n ldots right c n g end aligned esitligi saglanir Boylece F t1 t2 1 G g Gf t1 t2 c1 g f t12 t22 c2 g f t1n t2n cn g ZG f t1 t2 f t12 t22 f t13 t23 f t1n t2n displaystyle begin aligned F t 1 t 2 ldots amp frac 1 G sum g in G f t 1 t 2 ldots c 1 g f left t 1 2 t 2 2 ldots right c 2 g cdots f left t 1 n t 2 n ldots right c n g amp Z G f t 1 t 2 ldots f t 1 2 t 2 2 ldots f t 1 3 t 2 3 ldots ldots f t 1 n t 2 n ldots end aligned oldugu sonucuna ulasilir Kaynakca a b c Redfield J Howard 1927 The Theory of Group Reduced Distributions 49 3 433 455 doi 10 2307 2370675 JSTOR 2370675 MR 1506633 a b c d Polya G 1937 Kombinatorische Anzahlbestimmungen fur Gruppen Graphen und chemische Verbindungen 68 1 145 254 doi 10 1007 BF02546665 Riedel M R 2020 Polya s enumeration theorem and the symbolic method Stuttgart Universitesi 1 5 Temmuz 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde a b Palmer E 1967 The Enumeration Methods of Redfield 89 2 373 384 doi 10 2307 2373127 JSTOR 2373127 MR 0214487 1995 9 3 The Cycle Index Applied Combinatorics New York Wiley ss 365 371 ISBN 0 471 59504 7 Jin J 2018 Analysis and Applications of Burnside s Lemma Massachusetts Institute of Technology 2 5 Temmuz 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde a b c Polya G Read R C 1987 Combinatorial Enumeration of Groups Graphs and Chemical Compounds New York Springer Verlag ISBN 0 387 96413 4 MR 0884155 Eric W Weisstein Simple Graph MathWorld a b c d Eric W Weisstein Necklace MathWorld Eric W Weisstein Rooted Tree MathWorld Eric W Weisstein Cauchy Frobenius Lemma MathWorld Burnside W On Some Properties of Groups of Odd Order Proc London Math Soc 33 162 184 1900 Dis baglantilarChyzak F 1997 Enumerating alcohols and other classes of chemical molecules an example of Polya theory11 Mayis 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde Eric W Weisstein Polya Enumeration Theorem MathWorld Zenil H Pavlyk O 2011 Applying the Polya Burnside Enumeration Theorem 11 Ekim 2019 tarihinde Wayback Machine sitesinde