Riemann zeta işlevi

Matematikte Riemann zeta işlevi (ya da; Euler-Reimann zeta işlevi), Alman matematikçi Bernhard Riemann tarafından 1859'da olan ve asal sayıların dağılımıyla olan ilişkisinden ötürü sayı kuramında önemli yeri bulunan seçkin bir işlevdir. İşlev; fizik, olasılık kuramı ve uygulamalı istatistikte de kullanılmaktadır.

Karmaşık düzlemde Riemann zeta işlevi ζ(s). s noktasındaki renk ζ(s) değerini taşımaktadır. Güçlü renkler sıfıra yakın değerleri göstermektedir. s = 1 noktasındaki beyaz benek zeta işlevinin kutbunu simgelemektedir. Negatif gerçel eksen ve Re(s) = 1/2 doğrusu üzerinde yer alan siyah benekler ise sıfır noktalarıdır. Pozitif gerçel değerler kırmızı renkle gösterilmiştir.

Riemann zeta işlevi (Riemann zeta fonksiyonu), farklı şekillerde de ifade edilse de en yaygın gösterimi;

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\cdots \;\;\;\;\;\;\;\!}$

şeklindedir. Buradaki "S" karmaşık sayısı 1 'den farklı bir sayı olmalıdır.

Riemann zeta işlevinin, köklerinin dağılımına ilişkin bir sav olan Riemann önermesi birçok matematikçi tarafından şu ana dek çözülememiş en önemli problemi olarak görülmektedir.

Özel değerler

s > 1 için gerçel Riemann zeta fonksiyonu

Herhangi pozitif 2n çift tamsayısı için:

${\displaystyle \zeta (2n)={\frac {(-1)^{n+1}B_{2n}(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}}}$

Burada B_2n bir Bernoulli sayısıdır.

Negatif tam sayılar n ≥ 1 için:

${\displaystyle \zeta (-n)=-{\frac {B_{n+1}}{n+1}}}$

Böylece, özel olarak ζ içinde negatif çift tam sayılar kaybolur çünkü; "1" dışında tüm "m"ler için B_m = 0

pozitif tek tam sayılar için,bağıntının bu kadar basit olmadığı biliniyor.

${\displaystyle \zeta (-1)=-{\frac {1}{12}}}$

ıraksak seriler'e sonlu bir sonuç atamak için bir yol verir ki, sicim teorisi gibi bazı bağlamlarda yararlı olabilir..

${\displaystyle \zeta (0)={\frac {1}{2}};\!}$

veya

${\displaystyle \zeta (0)={\frac {-1}{2}};\!}$

${\displaystyle \zeta (1/2)\approx -1.4603545\!}$  

Bu doğrusal denklem kinetik sınır tabaka problemlerinin hesaplanmasında kullanılır.

${\displaystyle \zeta (1)=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots =\infty ;\!}$

Eğer 1'den büyük sayılara yaklaşılıyorsa bu harmonik seridir. Ama onun asıl değeri;

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\zeta (1+\varepsilon )+\zeta (1-\varepsilon )}{2}}}$

Buradaki ${\displaystyle \gamma =0.5772\ldots }$ Euler-Mascheroni sabitidir .

${\displaystyle \zeta (3/2)\approx 2.612;\!}$  

Bir kutu içindeki periyodik sınır şartları ile bir Bose–Einstein yoğunlaşması ve manyetik sistemlerde fiziği için bu kritik sıcaklığın hesaplanmasında gereklidir.

${\displaystyle \zeta (2)=1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}\approx 1.645;\!}$   (OEIS'de A013661 dizisi)

Bu eşitliğin gösterimi Basel problemi olarak bilinir.Bu sorunun toplam cevabı karşılıklıdır :Rastgele olarak seçilmiş iki sayının aralarında asal olma olasılığı nedir?

${\displaystyle \zeta (3)=1+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+\cdots \approx 1.202;\!}$  

Bu Apéry'in sabiti'dir.

${\displaystyle \zeta (4)=1+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}\approx 1.0823;\!}$  

Fizikteki türevine Planck kanunu bütünleştirilirse belirgin olur

Gösterimler

Mellin dönüşümü

Bir fonksiyon ƒ(x)'in, şu şekilde tanımlanır:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)x^{s-1}\,dx,}$

Bölge içinde burada integral tanımlanıyor. Burada bir Mellin dönüşümü olarak zeta-fonksiyonu için çeşitli ifadeler vardır. Eğer s'in gerçek parçası 1'den daha büyük ise,

${\displaystyle \Gamma (s)\zeta (s)=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}-1}}\,dx,}$

Burada Γ Gama fonksiyonunu ifade eder. Reimann, sınır değiştirerek şunu gösterdi:

${\displaystyle 2\sin(\pi s)\Gamma (s)\zeta (s)=i\oint _{C}{\frac {(-x)^{s-1}}{e^{x}-1}}\,dx}$

Her s için, burada C başlangıç ve +∞ da son sınırlarıdır ve başlangıcı çevreler.

Asal sayılara ilişkin bağlantıları ayrıca bulmak gerekebilir ve asal sayı teoremi eğer π(x) ise Re(s) > 1 değerleri ile

${\displaystyle \log \zeta (s)=s\int _{0}^{\infty }{\frac {\pi (x)}{x(x^{s}-1)}}\,dx,}$

Bir benzer Mellin dönüşümünü, Riemann asal-değer fonksiyonu J(x) içerir, bu değerler asal kuvvet pⁿ ve 1/n'in ağırlığı ile böylece

${\displaystyle J(x)=\sum {\frac {\pi (x^{1/n})}{n}}.}$

Şimdi elimizde;

${\displaystyle \log \zeta (s)=s\int _{0}^{\infty }J(x)x^{-s-1}\,dx.}$ var

Bu bağıntıda ters Mellin dönüşümünü asal sayı teoreminin anlamını sağlamada kullanılabilir. Riemann'ın asal-deger fonksiyonu ile çalışmak için daha kolaydır,ve π(x) ile bundan kurtulunabilir.

Teta fonksiyonları

Riemann zeta fonksiyonu bir ıraksak Mellin dönüşümü ile terimleri içinde resmen verilebilir

${\displaystyle \theta (\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp(\pi in^{2}\tau )}$ ile

${\displaystyle 2\pi ^{-s/2}\Gamma (s/2)\zeta (s)=\int _{0}^{\infty }\theta (it)t^{s/2-1}\,dt,}$

Bununla beraber bu integral s 'in herhangi bir değeri için yakınsak değildir ve böylece düzenlenmesine gerek vardır: bu zeta fonksiyonu için aşağıdaki bağıntı verilir:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad \pi ^{-s/2}\Gamma (s/2)\zeta (s)\\[6pt]&={\frac {1}{s-1}}-{\frac {1}{s}}+{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\left(\theta (it)-t^{-1/2}\right)t^{s/2-1}\,dt+{\frac {1}{2}}\int _{1}^{\infty }(\theta (it)-1)t^{s/2-1}\,dt.\end{aligned}}}$

Laurent serileri

Riemann zeta fonksiyonu tek s = 1'de tek katli bir tek ile .Bunun için bir Laurent serisi boyutu s = 1 de seriye açılabilir olsun;

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\gamma _{n}\;(s-1)^{n}.}$

γ_n sabitine deniliyor ve ile tanımlanabilir

${\displaystyle \gamma _{n}=\lim _{m\rightarrow \infty }{\left[\left(\sum _{k=1}^{m}{\frac {(\log k)^{n}}{k}}\right)-{\frac {(\log m)^{n+1}}{n+1}}\right]}.}$

Sabit terim γ₀Euler–Mascheroni sabitidir.

Integral

${\displaystyle s\in \mathbb {C} \setminus \{1\}}$ tümü için integral ilişkisi

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {2^{s-1}}{s-1}}-2^{s}\!\int _{0}^{\infty }\!\!\!{\frac {\sin(s\arctan t)}{(1+t^{2})^{\frac {s}{2}}(\mathrm {e} ^{\pi \,t}+1)}}\,\mathrm {d} t,}$

tutulanlar doğrudur,Zeta-fonksiyonunun bir sayısal evrimi için kullanılabilir.

Yükselen faktöriyel

Diğer serileri geliştirmede tam karmaşık düzlem için değeri kullanılan

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {s}{s-1}}-\sum _{n=1}^{\infty }\left(\zeta (s+n)-1\right){\frac {s(s+1)\cdots (s+n-1)}{(n+1)!}}.\!}$'dir

Bu bütün karmaşık sayılara Dirichlet serisi tanımını genişletmek için yinelemeli olarak kullanılabilir.

Riemann zeta fonksiyonu x^s−1; hareketi üzerinde bir integral içinde Mellin dönüşümüne benzer bir formda ayrıca görünür ve yine bu bağlamda terimleri içinde bir seri açılımına genişletilir.

Hadamard çarpımı

, temelinde açılımını verdi

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {e^{(\log(2\pi )-1-\gamma /2)s}}{2(s-1)\Gamma (1+s/2)}}\prod _{\rho }\left(1-{\frac {s}{\rho }}\right)e^{s/\rho },\!}$

burada çarpım ζ'nın önemsiz-olmayan sıfırlar ρ dir ve yine γ harfi Euler–Mascheroni sabiti ifade eder.Daha basit bir açılımı

${\displaystyle \zeta (s)=\pi ^{s/2}{\frac {\prod _{\rho }\left(1-{\frac {s}{\rho }}\right)}{2(s-1)\Gamma (1+s/2)}}.\!}$

dır Bu form s = 1,de basit kutuplar −2, −4, ... de açıkça görüntülenir önemsiz sıfırlar payda içinde gamma fonksiyonu terimine gereken ve s = ρda önemsiz olmayan (Ikinci formülde yakınsama sağlamak, çarpım sıfırların "çiftleri eşleştirme"si üzerine alınmalıdır, yani ρ formunun sıfırlarının bir çifti için faktörleri ve 1 − ρ birleştirilmelidir.)

Kritik şerit üzerinde logaritmik türev

${\displaystyle {\pi {\frac {dN}{dx}}(x)={\frac {1}{2i}}{\frac {d}{dx}}{\bigl (}\log(\zeta (1/2+ix))-\log(\zeta (1/2-ix)){\bigr )}-{\frac {2}{1+4x^{2}}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2n+1/2}{(2n+1/2)^{2}+x^{2}}}}}$

burada ${\displaystyle {\frac {dN(x)}{dx}}=\sum _{\rho }\delta (x-\rho )}$ kritik şerit 0 < Re(s) < 1 üzerinde ζ nın sıfırının yoğunluğudur.(δ ve toplam ζ'nin üzerinde önemsiz olmayan ρ of dir).

Küresel yakınsak seriler

zeta fonksiyonu için bir küresel yakınsak seri,tüm karmaşık sayılar için s değerleris = 1 + 2πin/log(2) dışında bazı n tam sayı için, 1930 içinde Helmut Hasse ile 1930'da bir varsayım sağlamış idi (bakınız. Euler toplamı):

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{1-2^{1-s}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n+1}}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(k+1)^{-s}.\!}$

serisi yalnızca Hasse'nin notlarına bir ek içinde gösterildi ve genel bilgiler kadar olmadı bu 60'lı yıllardan daha sonra yeniden araştırılmış idi (bakınız Sondow, 1994).

Hasse ayrıca küresel yakınsak seriyi kanıtlanmıştır

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}{\frac {(-1)^{k}}{(k+1)^{s-1}}}}$

aynı baskı içindedir.

yüksek hassasiyetli sayısal hesaplamalar için uygun çok hızlı yakınsak seriyi göstermişti. Algoritma, yararlanarak, Dirichlet eta fonksiyonu üzerine yazılar içinde tanımlanır.

Uygulamalar

Zeta fonksiyonu istatistik uygulamaları içinde oluşur (bak ve ).

ve kuantum alan teorisi içinde bir olasılığı olarak kullanılır.Bir önemli örnekte,Casimir etkisinin hesabı içinde açıkça Riemann zeta-fonksiyonu gösterilir.Zeta fonksiyon dinamik sistemlerin analizi için ayrıca kullanılır.

Sonsuz seriler

zeta fonksiyonu pozitif tamsayilarda değerlendirildiğinde sabitlerin bir sayısının sonsuz serisi gösterimi içinde belirir. Burada daha öte formüller yazısı içindedir

${\displaystyle 1=\sum _{n=2}^{\infty }(\zeta (n)-1)}$  ve aslında tek ve çift terimlerin iki toplamlarını da verir;   ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(\zeta (2n)-1)={\tfrac {3}{4}}}$   ve   ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(\zeta (2n+1)-1)={\tfrac {1}{4}}.}$

${\displaystyle \log 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)-1}{n}}.}$

${\displaystyle 1-\gamma =\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\zeta (n)-1}{n}}}$   burada γ Euler sabitidir.

${\displaystyle \log \pi =\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(2({\tfrac {3}{2}})^{n}-3)(\zeta (n)-1)}{n}}.}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\zeta (n)-1}{n}}{\mathfrak {I}}((1+i)^{n}-(1+i^{n}))}$   burada ${\displaystyle {\mathfrak {I}}}$  bir karmaşık sayının gösterilir.

Bazı zeta serileri daha karmaşık bağlantılarda değerlendirilir

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)-1}{2^{2n}}}={\frac {1}{6}}.}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)-1}{4^{2n}}}={\frac {13}{30}}-{\frac {\pi }{8}}.}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)-1}{8^{2n}}}={\frac {61}{126}}-{\frac {\pi }{16}}({\sqrt {2}}+1).}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(\zeta (4n)-1)={\frac {7}{8}}-{\frac {\pi }{4}}\left({\frac {e^{2\pi }+1}{e^{2\pi }-1}}\right).}$

Ayrıca bakınız

• Matematiksel fonksiyonların listesi

Notlar

1. ^ Bombieri, Enrico. "The Riemann Hypothesis - official problem description" (PDF). Clay Mathematics Institute. 13 Mart 2012 tarihinde kaynağından (PDF). Erişim tarihi: 5 Eylül 2009. 
2. ^ (1998). String Theory, Volume I: An Introduction to the Bosonic String. Cambridge University Press. s. 22. ISBN . 
3. ^ A J Kainz and U M Titulaer, An accurate two-stream moment method for kinetic boundary layer problems of linear kinetic equations, pp. 1855-1874, J. Phys. A: Mathem. and General, V 25, No 7, 1992
4. ^ & J. T. Anderson Excursions in Number Theory, pp. 29–35, Dover Publications Inc., 1988
5. ^ . 24 Şubat 2014 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 5 Nisan 2014. 
6. ^ . 1 Şubat 2014 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 1 Şubat 2014. 
7. ^ Unless otherwise noted, the formulas in this section are from § 4 of J. M. Borwein et al. (2000)

Kaynakça

• Riemann, Bernhard (1859), "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse", Monatsberichte der Berliner Akademie, 17 Haziran 2009 tarihinde kaynağından , erişim tarihi: 5 Eylül 2009 . Gesammelte Werke, Teubner, Leipzig (1892), Yeniden basım: Dover, New York (1953)
• Jacques Hadamard, Sur la distribution des zéros de la fonction ζ(s) et ses conséquences arithmétiques, Bulletin de la Societé Mathématique de France 14 (1896) s. 199–220
• Helmut Hasse, Ein Summierungsverfahren für die Riemannsche ζ-Reihe, (1930) Math. Z. 32 s. 458–464. (Globally convergent series expression.)
• & (1927). A Course in Modern Analysis, 4. basım, Cambridge University Press (Bölüm XIII)
• H. M. Edwards (1974). Riemann's Zeta Function. Academic Press. ISBN . 
• G. H. Hardy (1949). Divergent Series. Clarendon Press, Oxford. 
• A. Ivic (1985). The Riemann Zeta Function. John Wiley & Sons. ISBN . 
• A.A. Karatsuba (1992). The Riemann Zeta-Function. W. de Gruyter, Berlin. 
• Hugh L. Montgomery (2007). Multiplicative number theory I. Classical theory. 97. Cambridge University Press. ISBN .  10. Bölüm
• Donald J. Newman (1998). Analytic number theory. 177. Springer-Verlag. ISBN .  6. Bölüm
• E. C. Titchmarsh (1986). The Theory of the Riemann Zeta Function. Oxford University Press. 
• , David M. Bradley, (2000). "Computational Strategies for the Riemann Zeta Function" (PDF). J. Comp. App. Math. Cilt 121. ss. s. 11. 25 Eylül 2006 tarihinde kaynağından (PDF). Erişim tarihi: 5 Eylül 2009. KB1 bakım: Birden fazla ad: yazar listesi ()
• Djurdje Cvijović & Jacek Klinowski (2002). "Integral Representations of the Riemann Zeta Function for Odd-Integer Arguments". J. Comp. App. Math. Cilt 142. ss. s. 435-439. doi:10.1016/S0377-0427(02)00358-8. 31 Ocak 2009 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 5 Eylül 2009. 
• Djurdje Cvijović & Jacek Klinowski (1997). "Continued-fraction expansions for the Riemann zeta function and polylogarithms". Proc. Amer. Math. Soc. Cilt 125. ss. s. 2543-2550. doi:10.1090/S0002-9939-97-04102-6. 31 Ocak 2009 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 5 Eylül 2009. 
• Jonathan Sondow, "", Proc. Amer. Math. Soc. 120 (1994) 421–424.
• Jianqiang Zhao (1999). "Analytic continuation of multiple zeta functions". Proc. Amer. Math. Soc. Cilt 128. ss. s.1275-1283. 5 Mart 2003 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 5 Eylül 2009. 
• Guo Raoh: "The Distribution of the Logarithmic Derivative of the Riemann Zeta Function", Proceedings of the London Mathematical Society 1996; s. 3–72: 1–27

Dış bağlantılar

• Wolfram Mathworld'de Riemann zeta işlevi9 Şubat 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde .
• Seçili kökler tablosu17 Mayıs 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde .
• 1.000.000 kök içeren dosya29 Eylül 2007 tarihinde Wayback Machine sitesinde .
• Zeta işlevinin asal sayılar açısından önemine ilişkin genel bir değerlendirme
• Zeta İşlevinin X-Işını20 Kasım 2018 tarihinde Wayback Machine sitesinde . zetanın gerçel ve tümüyle karmaşık olduğu bölgelerin görsel sunumu
• Riemann zeta işlevi formül ve özdeşlikleri2 Haziran 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde .
• Riemann zeta işlevi ve ters üslerin diğer toplamları10 Eylül 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde .