Matematikte bir döşeme (veya karolama, süsleme), aralarında boşluk bırakmadan veya örtüşmeden bir düzlemi kaplayan düzlemsel şekiller kümesidir. Bu kavram daha yüksek boyutlar için de genellenebilir, bu genişletilmiş anlamı için döşeme yerine tesselasyon terimi kullanılır. Tesselasyon M. C. Escher'in eserlerinde sıkça görülebilir. Tesselasyona sanat tarihi boyunca, antik mimariden modern sanata kadar rastlanabilir.
![image](https://www.wikipedia.tr-tr.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraXBlZGlhLnRyLXRyLm5pbmEuYXovaW1hZ2UvYUhSMGNITTZMeTkxY0d4dllXUXVkMmxyYVcxbFpHbGhMbTl5Wnk5M2FXdHBjR1ZrYVdFdlkyOXRiVzl1Y3k5MGFIVnRZaTgyTHpaaEwxZGhiR3h3WVhCbGNsOW5jbTkxY0Mxd015MHhMbXB3Wnk4eU1EQndlQzFYWVd4c2NHRndaWEpmWjNKdmRYQXRjRE10TVM1cWNHYz0uanBn.jpg)
![image](https://www.wikipedia.tr-tr.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraXBlZGlhLnRyLXRyLm5pbmEuYXovaW1hZ2UvYUhSMGNITTZMeTkxY0d4dllXUXVkMmxyYVcxbFpHbGhMbTl5Wnk5M2FXdHBjR1ZrYVdFdlkyOXRiVzl1Y3k5MGFIVnRZaTh4THpGbEwwSjFZMnRtWVhOMFgySmxaUzVxY0djdk1qQXdjSGd0UW5WamEyWmhjM1JmWW1WbExtcHdadz09LmpwZw==.jpg)
Latince tessella, mozaik yapmakta kullanılan küp şekilli bir kil, taş veya cam parçasıdır. "Tessella" sözcüğü (kare anlamına gelen "tessera"dan gelir, onun kaynağı da "dört" anlamına gelen Yunanca sözcüktür) küçük kare anlamına gelir. Gündelik dilde parke, karo veya çini döşeme, bu malzemelerin tesselasyon şeklinde yere veya duvara döşenmesidir. Döşeme sözcüğü hem bu tür düzlem kaplayıcı cisim veya şekillere, hem de bu cisimlerle veya şekillerle kaplanmış yüzey için kullanılır. Anlam kargaşasına yol açmamak için, aşağıdaki metinde, düzlemi kaplayıcı şekiller için karo terimi kullanılacaktır, ama "karo"nun gündelik dildeki anlamının aksine, tessalasyon yapmakta kullanılan şekillerin dörtgen olma şartı yoktur.
Duvar kağıdı grupları
Öteleme simetrisi olan döşemeler "" olarak kategorilendirilebilir, bunlardan 17 tane vardır. El Hamra Sarayı'nda bu örüntü tiplerinin her birinden bulunur. Düzgün (eşkenar çokgenlerden meydana gelen) döşemelerden ikisi p6m, biri p4m kategorisine aittir.
Tesselasyon ve renkler
![image](https://www.wikipedia.tr-tr.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraXBlZGlhLnRyLXRyLm5pbmEuYXovaW1hZ2UvYUhSMGNITTZMeTkxY0d4dllXUXVkMmxyYVcxbFpHbGhMbTl5Wnk5M2FXdHBjR1ZrYVdFdlkyOXRiVzl1Y3k5MGFIVnRZaTgxTHpVekwxUnZjblZ6WDNkcGRHaGZjMlYyWlc1ZlkyOXNiM1Z5Y3k1emRtY3ZNakl3Y0hndFZHOXlkWE5mZDJsMGFGOXpaWFpsYmw5amIyeHZkWEp6TG5OMlp5NXdibWM9LnBuZw==.png)
Renkli bir döşemeden bahsederken, yanlış anlamaya yol açmamak için, renklerin döşemenin parçası mı olduğu yoksa sadece tekrar eden birim şekle mi ait olduğunun belirtilmesi gerekir. Ayrıca bakınız simetri.
Dört renk teoremi, normal bir Öklid düzlemindeki her bir döşemesi için, eğer dört renk kullanılırsa, her bir karonun komşularından farklı bir renkle boyanabileceğini önerir; bu boyamada aynı renge sahip iki karo pozitif uzunlukla bir kenar ile birbirine dokunamaz. Ancak, dört renk kuramının garantilediği renklendirme genelde tesselasyonun meydana getirdiği simetriyi muhafaza etmeyebilir. Tesselasyon simetrisine uyan bir renklendirme daha fazla sayıda renk gerektirebilir, sağdaki resimdeki örnekte görülebileceği gibi.
Dörtgenlerle tesselasyon
Herhangi bir dörtgen karonun kopyaları kullanılarak elde edilecek döşemenin belli simetri özellikleri vardır: 1) her bir dörtgen kenarının orta noktasında ikili dönel simetrisi vardır, 2) dörtgenlerin gösterdiği öteleme simetrisinin taban vektörleri ya a) dörtgenin köşegenleri veya b) köşegenlerden biri ve iki köşegenin toplamı veya farkıdır. Asimetrik bir dörtgen karo döşemesi 'ye aittir. Tekrarlanan temel şekil olarak dörtgen vardır. Buna denk bir önerme olarak, dörtgenin dönel merkezinden başlamak üzere iki öteleme vektörü arasında yer alan bir paralelogram çizebiliriz, bunu bir köşegen ile ikiy bölüp yarım şekillerden (üçgenlerden) birini temel şekil olarak alabiliriz. Bu üçgenin alanı, başlangıçtaki dörtgen ile aynı lana sahiptir ve kesip yapıştırma yoluyla inşa edilebilir.
Düzgün ve yarı-düzgün tesselasyonlar
, benzer oluşmuş yüksek simetrili bir tesselasyondur. Sadece üç tane düzgün tesselasyon vardır: bunlar eşkenar üşgenlerden, karelerden veya altıgenlerden meydana gelen döşemelerdir.
Yarı düzgün tesselasyonlar çeşitli düzgün çokgenlerden oluşur; bunlardan sekiz sınıf vardır. Bu çokgenlerin her bir köşedeki yerleşimi aynıdır. Kenar-kenara tesselasyonlar daha düzensizdir: tek şart, bitişik şekillerin tek bir kenarı paylaşmasıdır, yani bir şekil bir kenarının sadece bir kısmını başka bir şekille paylaşamaz. Başka tür tesselasyonlar da mevcuttur, kullanılan şekil ve bunların örüntüsüne bağlı olarak. Düzgün olan ve olmayan, periyodik ve aperiyodik (periyodik olmayan), simetrik ve asimetrik, ayrıca fraktal tesselasyonlar vardır, bunların yanı sıra başka sınıflandırmalar da sayılabilir.
İki farklı çokgen kullanan (Penrose döşemesi) aperiyodik örüntüler yaratan tesselasyonların en meşhur örneğidir. Bu döşemeler, özyineleme kullanarak kendi kendini üreten çokgen kümelerinden inşa edilen aperiyodik döşemeler sınıfına aittir.
Monohedral kaplama, tüm şekillerin birbirine benzer olduğu bir tesselasyondur. Spiral monohedral döşemeler arasında tarafından 1936'da keşfedilmiş olan Voderberg döşemesi ve tarafından 1970'lerde keşfedilen Hirschhorn döşemesi bulunmaktadır. Voderberg döşemesinin birim şekli konveks olmayan bir dokuzgen, Hirschhorn döşemesinin birim şekli ise düzgün olmayan bir beşgendir.
Öz-çifteş tesselasyonlar
Eğer bir şeklin kenarları ve köşelerinin yer değiştirmesi halinde gene aynı şekil ortaya çıkarsa (kare gibi) bu şeklin öz-çifteş (self dual) olduğu söylenebilir. Düzgün döşemeler ve petekler öz-çifteş olabilir. ile {4,3n−2,4} olarak betimlenen tüm n-boyutlu hiperkübik petekler öz çifteştir.
![]() |
Tesselasyonlar ve bilgisayar modeleri
![image](https://www.wikipedia.tr-tr.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraXBlZGlhLnRyLXRyLm5pbmEuYXovaW1hZ2UvYUhSMGNITTZMeTkxY0d4dllXUXVkMmxyYVcxbFpHbGhMbTl5Wnk5M2FXdHBjR1ZrYVdFdlkyOXRiVzl1Y3k5MGFIVnRZaTlrTDJReEwwWnBibWwwWlY5bGJHVnRaVzUwWDNSeWFXRnVaM1ZzWVhScGIyNHVjM1puTHpJeU1IQjRMVVpwYm1sMFpWOWxiR1Z0Wlc1MFgzUnlhV0Z1WjNWc1lYUnBiMjR1YzNabkxuQnVadz09LnBuZw==.png)
(Bilgisayar grafiği) sahasında, çokgenlerden oluşan veri kümelerinin idaresi ve onların grafik sunumu ((rendering)) için kullanışlı yapılara bölünmesi için sık sık tesselasyon teknikleri kullanılır. Normalde, en azından gerçek zamanlı (renderingde), görüntüyü oluşturan verilerin üçgenler halinde döşemsi yapılır, bu işleme bazen denir. Tesselasyon, bilgisayar grafikleme arayüzlerinden (DirectX 11) ve OpenGL'nin temel özelliğidir.
Bilgisayar eşlikli tasarımda oluşturulan tasarım, bir sınır temsil topoloji modeli ile temsil edilir. Bunda, yüzey ve kenarlar ile sınırlandırılmış analitik üç boyutlu yüzey ve eğriler, 3 boyutlu bir cismin kesintisiz sınırını oluşturur. Herhangi bir 3 boyutlu cisim doğrudan analiz edilemeyecek kadar karmaşık olabilir. Bu cisimler, kolay analiz edilebilen küçük 3-boyutlu hacim elemanlarından oluşan bir ağ ile kaplanır, genelde bu ağ ya düzensiz tetrahedronlar veya düzensiz oluşur. Bu ağ, için kullanılır.
Bir yüzeyin genelde teker teker yüzey ve kenarlardan oluşturulur, öyle ki ki özgün cismin yüzeyindeki limit noktalar ağın parçası olur. Özgün yüzeyin bu ağ tarafından benzetilmesi, ağı oluşturan fonksiyonun üç parametresi tarafından belirlenir.
- Gerçek yüzey ile düzlemsel yaklaşıklık arasındaki en büyük uzaklık ("sarkma" tabir edilir). Bu parametre ağın özgün yüzeye yeterince benzemesini sağlar.
- Benzetme çokgeninin en büyük boyu. Bu parametre daha ayrıntılı analiz için yeterince detay kalmasını sağlar.
- İki benzetme çokgeni arasındaki en büyük düzlemsel açı. Bu parametre çok küçük tümsek veya oyukların ağ içinde kaybolmamasını saplar.
Bu parametreler ağ üreten algoritmaların işleyişini belirler. Bazı bilgisayar analizleri uyumsal (adaptif) ağlar gerektirir. Böyle durumlarda analizin gereksinimine göre ağ, yerel olarak daha detaylı hale getirilebilir.
Bazı jeodesik kubbeler, mümkün olduğunca eşkenarlı olan üçgenlerle bir kürenin yüzyeyini kaplayarak tasarlanır.
Doğada tesselasyonlar
![image](https://www.wikipedia.tr-tr.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraXBlZGlhLnRyLXRyLm5pbmEuYXovaW1hZ2UvYUhSMGNITTZMeTkxY0d4dllXUXVkMmxyYVcxbFpHbGhMbTl5Wnk5M2FXdHBjR1ZrYVdFdlkyOXRiVzl1Y3k5MGFIVnRZaTg1THpsbUwxUmxjM05sYkd4aGRHVmtYMUJoZG1WdFpXNTBYMU4xYm5KcGMyVmZUR0Z1WkhOallYQmxMbXB3Wnk4eU1qQndlQzFVWlhOelpXeHNZWFJsWkY5UVlYWmxiV1Z1ZEY5VGRXNXlhWE5sWDB4aGJtUnpZMkZ3WlM1cWNHYz0uanBn.jpg)
Bazaltik lav akıntıları katılaştıktan sonra çoğu zaman büzülme kuvvetlerinin etkisiyle sütunsal yaparlar. Meydana gelen yaygın çatlak ağı genelde altıgensel lav sütunlar oluşturur. Bunun bir örneği, Kuzey İrlanda'daki 'deki sütün dizilimidir.
Tazmanya'daki , kayaçların dörtgen bloklar şeklinde çatlamış olduğu ender bir tortul kayaç oluşumudur.
Bir çokgenin kenarları ile bir köşede birleşen kenar sayısı arasındaki ilişki
![image](https://www.wikipedia.tr-tr.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraXBlZGlhLnRyLXRyLm5pbmEuYXovaW1hZ2UvYUhSMGNITTZMeTkxY0d4dllXUXVkMmxyYVcxbFpHbGhMbTl5Wnk5M2FXdHBjR1ZrYVdFdlkyOXRiVzl1Y3k5MGFIVnRZaTh4THpGa0wxZGhiR3h3WVhCbGNsOW5jbTkxY0MxamJXMHRNUzVxY0djdk1qSXdjSGd0VjJGc2JIQmhjR1Z5WDJkeWIzVndMV050YlMweExtcHdadz09LmpwZw==.jpg)
![image](https://www.wikipedia.tr-tr.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraXBlZGlhLnRyLXRyLm5pbmEuYXovaW1hZ2UvYUhSMGNITTZMeTkxY0d4dllXUXVkMmxyYVcxbFpHbGhMbTl5Wnk5M2FXdHBjR1ZrYVdFdlkyOXRiVzl1Y3k5MGFIVnRZaTlsTDJVM0wxZGhiR3h3WVhCbGNsOW5jbTkxY0Mxd05HY3RNUzVxY0djdk1qSXdjSGd0VjJGc2JIQmhjR1Z5WDJkeWIzVndMWEEwWnkweExtcHdadz09LmpwZw==.jpg)
Sonsuz bir tesselasyonda, bir çokgenin ortalama kenar sayısı olsun,
bir noktada birleşen kenarların ortalama sayısı olsun. Öyleyse
Örneğin, maddesindeki tesselasyonlar için (a,b) ikilileri şunlardır: .
Bir kenarın bir köşeden öteye devam etmesi ayrı bir kenar olarak sayılır. Örneğin, resimdeki tuğlalar altıgen sayılırlar ve bu döşeme için (6, 3) birleşimini elde edilir. Benzer şekilde, banyo zeminlerinde sık görülen sepet örgüsü örüntüsü için değerleri kullanılır.
Kendini tekrar eden bir döşemede, tekrar eden kısım için ortalamalar kullanılabilir. Genelde, bu ortalamalar tüm düzleme yayılan bir bölgenin limit değeri olarak sayılır. Sonsuz bir karo dizisi veya merkezden uzaklaştıkça küçülen karolar durumunda, tekrar eden şeklin "dışındaki" bölge ihmal edilemez ve limit hesaplamasında o da bir parke olarak sayılmalıdır. Bazı aşırı durumlarda limit değerler yoktur veya bölgenin sonsuza doğru nasıl genişletildiğine bağlıdır.
Sınırlı bir tessalasyon ve çokgenler için bu eşitlik vardır:
burada yüz sayısı ve
köşe sayısıdır,
ise katsayısıdır (düzlemsel ve içi delik olmayan bir çokgen için bu sayı 2'dir). Düzlemden söz ederken birim şeklin "dışı" da bir yüz olarak sayılır.
Her yüzdeki kenarlar toplanınca elde edilen sayı tüm tesselasyondaki kenar sayısının iki katıdır, bu sayı yüz sayısı ve köşe sayısı cinsinden ifade edilebilir. Benzer şekilde, bir köşede birleşen kenarlar, tüm köşeler için toplanınca, toplam kenar sayısının iki katını verir. Bu iki sonuçtan kolaylıkla yukarıdaki formüle varılabilir.
Çoğu zaman bir yüzün kenar sayısı ile bir yüzün köşe sayısı aynıdır ve bir köşede birleşen kenar sayısı ile bir köşede birleşen yüz sayısı aynıdır. Ancak, sadece bir köşeden birbirine değen iki kare durumunda örneğin, dış yüzdeki kenar sayısı 8'dir, yani eğer köşe sayısı sayılacaksa ortak köşenin iki kere sayılması gerekir. Benzer şekilde, o köşede birleşen kenar sayısı 4'tür, dolayısıyla o köşede birleşen yüz sayısı iki kere sayılmalıdır.
İçi delik bir karonun başka karolarla doldurulmuş olması yukarıda verilen denklem için geçerli değildir çünkü dışarıdaki ve içerideki kenarların oluşturduğu kenar ağları birbirinden ayrıktır. Ancak, delikli karo kendi kendine dokunabilecek şekilde bir kesik olursa, yani "delik" ile dış kenarı birleştiren bir kenar olursa, denklem geçerlidir. Bu karonun kenar sayısını saymak için kesiğin iki kere sayılması gerekir.
Yukarıdaki denklemi düzlemi kaplayan şekiller yerine Platonik cisimleri oluşturan şekiller için uygulanırsa tam sayılar elde edilir çünkü eşit sayıların ortalaması alınmış olur: tetrahedron, küp ve dodekahedron için, sırasıyla için 1,2 ve 3 değerleri elde edilir.
Sonlu bir çokyüzlü için denklem değerlendirince, sonsuz bir çokyüzlü olarak bunu genişletirken delik sayısının yüz ve köşe sayısı ile orantılı olarak arttığını ve limitinin 4'ten büyük olduğunu görülebilir. Örneğin, küplerden oluşan, tek küp kalınlığında bir tabaka düşenelim; her 2 × 2 küpten bir tanesi çıkartılmış olsun, bu deliklerin her biri Euler karakteristik katsayısını -2 azaltır. Her delik için 10 yüz ve 8 kenar olduğu için, böylesi bir yüzey (4, 5) kombinasyonuna sahiptir, çünkü
Elde edilen sonuç, kenarların doğru parçaları olmasına, yüzlerin de düzlem parçaları olmasına bağlı değildir: kenarlar birer eğri ve yüzler de birer eğri yüzey olabilir (patolojik durumları çözmek için kullanılacak matematik sadeleştirmeleri saymazsak).
Başka uzaylarda tesselasyonlar
![]() Bir küre yüzeyinin kesik ikozahedron ile kaplanması. | ![]() Bir simit, tekrarlayan bir matrisi ile kaplanabilir. | ![]() M.C.Escher, Circle Limit III (1959) |
İki boyutlu Öklid düzlemini döşemenin yanı sıra, başka n-boyutlu uzayları da n-boyutlu politoplarla doldurarak "döşemek" mümkündür. Başka uzayların tesselasyonları genelde olarak adlandırılır. Diğer uzayların tesselasyonlarına örnekler:
- n-boyutlu Öklid uzayının tesselasyonları. Örneğin, üç boyutlu Öklid uzayını küplerle doldurarak kübik petek oluşturmak.
- n-boyutlu tesselasyonu, ya (küresel döşeme, küresel çokyüzlü) veya n-boyutlu (eliptik döşeme, ).
- Düzgün bir dodekahedronun ona dıştan teğet bir küre üzerindeki izdüşümü, iki boyutlu kürenin düzgün küresel beşgenlerden oluşan bir tesselasyonunu meydana getirir. Köşelerin çapucu (antipodal) haritasının (küredeki her haritayı kürenin karşı tarafındaki izdüşümünün) biğrleçimi ise meydana getirir, bu izdüşümsel düzlemin bir döşemesidir.
- n-boyutlu hiperbolik uzayın tesselasyonları. Örneğin, M. C. Escher'in Circle Limit III eseri, kullanarak birbirine benzer, balık gibi şekiller ile hiperbolik düzlemin bir tesselasyonudur. Hiperbolik düzlem, eğer
ise, p-kenarlı şekillerden q tanesinin birbirine değdiği bir tesselasyona izin verir. Circle Limit III, üçlüler halinde bir araya gelen sekizgenlerin bir döşemesi olarak anlaşılabilir, resimde kenarların her biri yerine pürüzlü çizgiler yer almaktadır ve her sekizgen dört balığa bölünmüştür.
Katmanlı bir uzay (manifold) döşemesine karşılık gelmeyen de vardır, çünkü bunlar yerel olarak küresel değildir (yerel Öklitçi, katmanlı bir uzay gibi), örneğin ve . Bunlar daha genel uzayların düşemeleri olarak görülebilir.
Ayrıca bakınız
- - 28 düzenli 3-boyutlu tessellasayonlar,
- - tesselasyon bulmak için kullnaılan cebirsel gruplar
- Dört renk teoremi
- Girih karoları
- Mozaik
- - hava fotoğraflarının tesselasynlarını kullanana sanatçı
- - eşkenar üçgenler döşemeleri
- Karo
- - needlepoint with polyiamonds (equilateral triangles)
- - 17 adet iki boyutlu tekrar eden örüntüler
Notlar
- ^ tessellate 7 Ocak 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde ., Merriam-Webster Online
- ^ (PDF). 15 Şubat 2010 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi. Erişim tarihi: 27 Mayıs 2010.
Kaynakça
- and G. C. Shephard. Tilings and Patterns. New York: W. H. Freeman & Co., 1987. .
- . , Section IV : Tessellations and Honeycombs. Dover, 1973. .
- (1974), Noneuclidean tesselations and their groups, Academic Press, ISBN
Dış bağlantılar
Wikimedia Commons'ta Tessellation ile ilgili ortam dosyaları bulunmaktadır. |
- Tesselasyon dersleri3 Ağustos 2016 tarihinde Wayback Machine sitesinde .
- Döşeme ansiklopedisi26 Ocak 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde .
- Math Forum Tesselasyon dersleri15 Haziran 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde .
- M. C. Escher'in matematiksel sanatı12 Ocak 2014 tarihinde Wayback Machine sitesinde . - sanatta tesselasyon
- Düzlemi kaplayan 14 tip konveks beşgenler17 Aralık 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde .
- Tiling Plane & Fancy9 Kasım 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde .
- Grotesque Geometry, Andrew Crompton8 Eylül 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde .
- Tessellations.org - sanatsal bakış açılı pek çok örnek ve ders26 Ağustos 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde .
- Tessellation.info Sanatçı ve konuya göre kategorilendirilmiş 500 tesselasyonun veritabanı16 Mart 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde .
- döşemeler ve tesselasyonlar6 Şubat 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde .
- - Bu örüntü göçen bir silindiri betimler
- Hyperbolik Tesselasyonlar10 Eylül 2006 tarihinde Wayback Machine sitesinde ., David E. Joyce,
wikipedia, wiki, viki, vikipedia, oku, kitap, kütüphane, kütübhane, ara, ara bul, bul, herşey, ne arasanız burada,hikayeler, makale, kitaplar, öğren, wiki, bilgi, tarih, yukle, izle, telefon için, turk, türk, türkçe, turkce, nasıl yapılır, ne demek, nasıl, yapmak, yapılır, indir, ücretsiz, ücretsiz indir, bedava, bedava indir, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, resim, müzik, şarkı, film, film, oyun, oyunlar, mobil, cep telefonu, telefon, android, ios, apple, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, pc, web, computer, bilgisayar