Azərbaycanca
Беларускі
Dansk
Deutsch
Española
Français
Indonesia
Italiana
日本語
Қазақ
Lietuvos
Nederlands
Português
Русский
සිංහල
แบบไทย
Türkçe
Українська
中國人
United State
Afrikaans
Matematikte bir döşeme (veya karolama, süsleme), aralarında boşluk bırakmadan veya örtüşmeden bir düzlemi kaplayan düzlemsel şekiller kümesidir. Bu kavram daha yüksek boyutlar için de genellenebilir, bu genişletilmiş anlamı için döşeme yerine tesselasyon terimi kullanılır. Tesselasyon M. C. Escher'in eserlerinde sıkça görülebilir. Tesselasyona sanat tarihi boyunca, antik mimariden modern sanata kadar rastlanabilir.
Latince tessella, mozaik yapmakta kullanılan küp şekilli bir kil, taş veya cam parçasıdır. "Tessella" sözcüğü (kare anlamına gelen "tessera"dan gelir, onun kaynağı da "dört" anlamına gelen Yunanca sözcüktür) küçük kare anlamına gelir. Gündelik dilde parke, karo veya çini döşeme, bu malzemelerin tesselasyon şeklinde yere veya duvara döşenmesidir. Döşeme sözcüğü hem bu tür düzlem kaplayıcı cisim veya şekillere, hem de bu cisimlerle veya şekillerle kaplanmış yüzey için kullanılır. Anlam kargaşasına yol açmamak için, aşağıdaki metinde, düzlemi kaplayıcı şekiller için karo terimi kullanılacaktır, ama "karo"nun gündelik dildeki anlamının aksine, tessalasyon yapmakta kullanılan şekillerin dörtgen olma şartı yoktur.
Duvar kağıdı grupları
Öteleme simetrisi olan döşemeler "" olarak kategorilendirilebilir, bunlardan 17 tane vardır. El Hamra Sarayı'nda bu örüntü tiplerinin her birinden bulunur. Düzgün (eşkenar çokgenlerden meydana gelen) döşemelerden ikisi p6m, biri p4m kategorisine aittir.
Tesselasyon ve renkler
Renkli bir döşemeden bahsederken, yanlış anlamaya yol açmamak için, renklerin döşemenin parçası mı olduğu yoksa sadece tekrar eden birim şekle mi ait olduğunun belirtilmesi gerekir. Ayrıca bakınız simetri.
Dört renk teoremi, normal bir Öklid düzlemindeki her bir döşemesi için, eğer dört renk kullanılırsa, her bir karonun komşularından farklı bir renkle boyanabileceğini önerir; bu boyamada aynı renge sahip iki karo pozitif uzunlukla bir kenar ile birbirine dokunamaz. Ancak, dört renk kuramının garantilediği renklendirme genelde tesselasyonun meydana getirdiği simetriyi muhafaza etmeyebilir. Tesselasyon simetrisine uyan bir renklendirme daha fazla sayıda renk gerektirebilir, sağdaki resimdeki örnekte görülebileceği gibi.
Dörtgenlerle tesselasyon
Herhangi bir dörtgen karonun kopyaları kullanılarak elde edilecek döşemenin belli simetri özellikleri vardır: 1) her bir dörtgen kenarının orta noktasında ikili dönel simetrisi vardır, 2) dörtgenlerin gösterdiği öteleme simetrisinin taban vektörleri ya a) dörtgenin köşegenleri veya b) köşegenlerden biri ve iki köşegenin toplamı veya farkıdır. Asimetrik bir dörtgen karo döşemesi 'ye aittir. Tekrarlanan temel şekil olarak dörtgen vardır. Buna denk bir önerme olarak, dörtgenin dönel merkezinden başlamak üzere iki öteleme vektörü arasında yer alan bir paralelogram çizebiliriz, bunu bir köşegen ile ikiy bölüp yarım şekillerden (üçgenlerden) birini temel şekil olarak alabiliriz. Bu üçgenin alanı, başlangıçtaki dörtgen ile aynı lana sahiptir ve kesip yapıştırma yoluyla inşa edilebilir.
Düzgün ve yarı-düzgün tesselasyonlar
, benzer oluşmuş yüksek simetrili bir tesselasyondur. Sadece üç tane düzgün tesselasyon vardır: bunlar eşkenar üşgenlerden, karelerden veya altıgenlerden meydana gelen döşemelerdir.
Yarı düzgün tesselasyonlar çeşitli düzgün çokgenlerden oluşur; bunlardan sekiz sınıf vardır. Bu çokgenlerin her bir köşedeki yerleşimi aynıdır. Kenar-kenara tesselasyonlar daha düzensizdir: tek şart, bitişik şekillerin tek bir kenarı paylaşmasıdır, yani bir şekil bir kenarının sadece bir kısmını başka bir şekille paylaşamaz. Başka tür tesselasyonlar da mevcuttur, kullanılan şekil ve bunların örüntüsüne bağlı olarak. Düzgün olan ve olmayan, periyodik ve aperiyodik (periyodik olmayan), simetrik ve asimetrik, ayrıca fraktal tesselasyonlar vardır, bunların yanı sıra başka sınıflandırmalar da sayılabilir.
İki farklı çokgen kullanan Penrose döşemesi aperiyodik örüntüler yaratan tesselasyonların en meşhur örneğidir. Bu döşemeler, özyineleme kullanarak kendi kendini üreten çokgen kümelerinden inşa edilen aperiyodik döşemeler sınıfına aittir.
Monohedral kaplama, tüm şekillerin birbirine benzer olduğu bir tesselasyondur. Spiral monohedral döşemeler arasında tarafından 1936'da keşfedilmiş olan Voderberg döşemesi ve tarafından 1970'lerde keşfedilen Hirschhorn döşemesi bulunmaktadır. Voderberg döşemesinin birim şekli konveks olmayan bir dokuzgen, Hirschhorn döşemesinin birim şekli ise düzgün olmayan bir beşgendir.
Öz-çifteş tesselasyonlar
Eğer bir şeklin kenarları ve köşelerinin yer değiştirmesi halinde gene aynı şekil ortaya çıkarsa (kare gibi) bu şeklin öz-çifteş (self dual) olduğu söylenebilir. Düzgün döşemeler ve petekler öz-çifteş olabilir. ile {4,3n−2,4} olarak betimlenen tüm n-boyutlu hiperkübik petekler öz çifteştir.
 |
Tesselasyonlar ve bilgisayar modeleri
Bilgisayar grafiği sahasında, çokgenlerden oluşan veri kümelerinin idaresi ve onların grafik sunumu (rendering) için kullanışlı yapılara bölünmesi için sık sık tesselasyon teknikleri kullanılır. Normalde, en azından gerçek zamanlı renderingde, görüntüyü oluşturan verilerin üçgenler halinde döşemsi yapılır, bu işleme bazen denir. Tesselasyon, bilgisayar grafikleme arayüzlerinden DirectX 11 ve OpenGL'nin temel özelliğidir.
Bilgisayar eşlikli tasarımda oluşturulan tasarım, bir sınır temsil topoloji modeli ile temsil edilir. Bunda, yüzey ve kenarlar ile sınırlandırılmış analitik üç boyutlu yüzey ve eğriler, 3 boyutlu bir cismin kesintisiz sınırını oluşturur. Herhangi bir 3 boyutlu cisim doğrudan analiz edilemeyecek kadar karmaşık olabilir. Bu cisimler, kolay analiz edilebilen küçük 3-boyutlu hacim elemanlarından oluşan bir ağ ile kaplanır, genelde bu ağ ya düzensiz tetrahedronlar veya düzensiz oluşur. Bu ağ, için kullanılır.
Bir yüzeyin genelde teker teker yüzey ve kenarlardan oluşturulur, öyle ki ki özgün cismin yüzeyindeki limit noktalar ağın parçası olur. Özgün yüzeyin bu ağ tarafından benzetilmesi, ağı oluşturan fonksiyonun üç parametresi tarafından belirlenir.
- Gerçek yüzey ile düzlemsel yaklaşıklık arasındaki en büyük uzaklık ("sarkma" tabir edilir). Bu parametre ağın özgün yüzeye yeterince benzemesini sağlar.
- Benzetme çokgeninin en büyük boyu. Bu parametre daha ayrıntılı analiz için yeterince detay kalmasını sağlar.
- İki benzetme çokgeni arasındaki en büyük düzlemsel açı. Bu parametre çok küçük tümsek veya oyukların ağ içinde kaybolmamasını saplar.
Bu parametreler ağ üreten algoritmaların işleyişini belirler. Bazı bilgisayar analizleri uyumsal (adaptif) ağlar gerektirir. Böyle durumlarda analizin gereksinimine göre ağ, yerel olarak daha detaylı hale getirilebilir.
Bazı jeodesik kubbeler, mümkün olduğunca eşkenarlı olan üçgenlerle bir kürenin yüzyeyini kaplayarak tasarlanır.
Doğada tesselasyonlar
Bazaltik lav akıntıları katılaştıktan sonra çoğu zaman büzülme kuvvetlerinin etkisiyle sütunsal yaparlar. Meydana gelen yaygın çatlak ağı genelde altıgensel lav sütunlar oluşturur. Bunun bir örneği, Kuzey İrlanda'daki 'deki sütün dizilimidir.
Tazmanya'daki , kayaçların dörtgen bloklar şeklinde çatlamış olduğu ender bir tortul kayaç oluşumudur.
Bir çokgenin kenarları ile bir köşede birleşen kenar sayısı arasındaki ilişki
Sonsuz bir tesselasyonda, 
bir çokgenin ortalama kenar sayısı olsun, 
bir noktada birleşen kenarların ortalama sayısı olsun. Öyleyse 
Örneğin, maddesindeki tesselasyonlar için (a,b) ikilileri şunlardır: 
.
Bir kenarın bir köşeden öteye devam etmesi ayrı bir kenar olarak sayılır. Örneğin, resimdeki tuğlalar altıgen sayılırlar ve bu döşeme için (6, 3) birleşimini elde edilir. Benzer şekilde, banyo zeminlerinde sık görülen sepet örgüsü örüntüsü için 
değerleri kullanılır.
Kendini tekrar eden bir döşemede, tekrar eden kısım için ortalamalar kullanılabilir. Genelde, bu ortalamalar tüm düzleme yayılan bir bölgenin limit değeri olarak sayılır. Sonsuz bir karo dizisi veya merkezden uzaklaştıkça küçülen karolar durumunda, tekrar eden şeklin "dışındaki" bölge ihmal edilemez ve limit hesaplamasında o da bir parke olarak sayılmalıdır. Bazı aşırı durumlarda limit değerler yoktur veya bölgenin sonsuza doğru nasıl genişletildiğine bağlıdır.
Sınırlı bir tessalasyon ve çokgenler için bu eşitlik vardır:
burada 
yüz sayısı ve 
köşe sayısıdır, 
ise katsayısıdır (düzlemsel ve içi delik olmayan bir çokgen için bu sayı 2'dir). Düzlemden söz ederken birim şeklin "dışı" da bir yüz olarak sayılır.
Her yüzdeki kenarlar toplanınca elde edilen sayı tüm tesselasyondaki kenar sayısının iki katıdır, bu sayı yüz sayısı ve köşe sayısı cinsinden ifade edilebilir. Benzer şekilde, bir köşede birleşen kenarlar, tüm köşeler için toplanınca, toplam kenar sayısının iki katını verir. Bu iki sonuçtan kolaylıkla yukarıdaki formüle varılabilir.
Çoğu zaman bir yüzün kenar sayısı ile bir yüzün köşe sayısı aynıdır ve bir köşede birleşen kenar sayısı ile bir köşede birleşen yüz sayısı aynıdır. Ancak, sadece bir köşeden birbirine değen iki kare durumunda örneğin, dış yüzdeki kenar sayısı 8'dir, yani eğer köşe sayısı sayılacaksa ortak köşenin iki kere sayılması gerekir. Benzer şekilde, o köşede birleşen kenar sayısı 4'tür, dolayısıyla o köşede birleşen yüz sayısı iki kere sayılmalıdır.
İçi delik bir karonun başka karolarla doldurulmuş olması yukarıda verilen denklem için geçerli değildir çünkü dışarıdaki ve içerideki kenarların oluşturduğu kenar ağları birbirinden ayrıktır. Ancak, delikli karo kendi kendine dokunabilecek şekilde bir kesik olursa, yani "delik" ile dış kenarı birleştiren bir kenar olursa, denklem geçerlidir. Bu karonun kenar sayısını saymak için kesiğin iki kere sayılması gerekir.
Yukarıdaki denklemi düzlemi kaplayan şekiller yerine Platonik cisimleri oluşturan şekiller için uygulanırsa tam sayılar elde edilir çünkü eşit sayıların ortalaması alınmış olur: tetrahedron, küp ve dodekahedron için, sırasıyla 
için 1,2 ve 3 değerleri elde edilir.
Sonlu bir çokyüzlü için denklem değerlendirince, sonsuz bir çokyüzlü olarak bunu genişletirken delik sayısının yüz ve köşe sayısı ile orantılı olarak arttığını ve limitinin 4'ten büyük olduğunu görülebilir. Örneğin, küplerden oluşan, tek küp kalınlığında bir tabaka düşenelim; her 2 × 2 küpten bir tanesi çıkartılmış olsun, bu deliklerin her biri Euler karakteristik katsayısını -2 azaltır. Her delik için 10 yüz ve 8 kenar olduğu için, böylesi bir yüzey (4, 5) kombinasyonuna sahiptir, çünkü 
Elde edilen sonuç, kenarların doğru parçaları olmasına, yüzlerin de düzlem parçaları olmasına bağlı değildir: kenarlar birer eğri ve yüzler de birer eğri yüzey olabilir (patolojik durumları çözmek için kullanılacak matematik sadeleştirmeleri saymazsak).
Başka uzaylarda tesselasyonlar
 Bir küre yüzeyinin kesik ikozahedron ile kaplanması. |  Bir simit, tekrarlayan bir matrisi ile kaplanabilir. |  M.C.Escher, Circle Limit III (1959) |
İki boyutlu Öklid düzlemini döşemenin yanı sıra, başka n-boyutlu uzayları da n-boyutlu politoplarla doldurarak "döşemek" mümkündür. Başka uzayların tesselasyonları genelde olarak adlandırılır. Diğer uzayların tesselasyonlarına örnekler:
- n-boyutlu Öklid uzayının tesselasyonları. Örneğin, üç boyutlu Öklid uzayını küplerle doldurarak kübik petek oluşturmak.
- n-boyutlu tesselasyonu, ya (küresel döşeme, küresel çokyüzlü) veya n-boyutlu (eliptik döşeme, ).
- Düzgün bir dodekahedronun ona dıştan teğet bir küre üzerindeki izdüşümü, iki boyutlu kürenin düzgün küresel beşgenlerden oluşan bir tesselasyonunu meydana getirir. Köşelerin çapucu (antipodal) haritasının (küredeki her haritayı kürenin karşı tarafındaki izdüşümünün) biğrleçimi ise meydana getirir, bu izdüşümsel düzlemin bir döşemesidir.
- n-boyutlu hiperbolik uzayın tesselasyonları. Örneğin, M. C. Escher'in Circle Limit III eseri, kullanarak birbirine benzer, balık gibi şekiller ile hiperbolik düzlemin bir tesselasyonudur. Hiperbolik düzlem, eğer
![image]()
ise, p-kenarlı şekillerden q tanesinin birbirine değdiği bir tesselasyona izin verir. Circle Limit III, üçlüler halinde bir araya gelen sekizgenlerin bir döşemesi olarak anlaşılabilir, resimde kenarların her biri yerine pürüzlü çizgiler yer almaktadır ve her sekizgen dört balığa bölünmüştür.
Katmanlı bir uzay (manifold) döşemesine karşılık gelmeyen de vardır, çünkü bunlar yerel olarak küresel değildir (yerel Öklitçi, katmanlı bir uzay gibi), örneğin ve . Bunlar daha genel uzayların düşemeleri olarak görülebilir.
Ayrıca bakınız
- - 28 düzenli 3-boyutlu tessellasayonlar,
- - tesselasyon bulmak için kullnaılan cebirsel gruplar
- Dört renk teoremi
- Girih karoları
- Mozaik
- - hava fotoğraflarının tesselasynlarını kullanana sanatçı
- - eşkenar üçgenler döşemeleri
- Karo
- - needlepoint with polyiamonds (equilateral triangles)
- - 17 adet iki boyutlu tekrar eden örüntüler
Notlar
- ^ tessellate 7 Ocak 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde ., Merriam-Webster Online
- ^ (PDF). 15 Şubat 2010 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi. Erişim tarihi: 27 Mayıs 2010.
Kaynakça
- and G. C. Shephard. Tilings and Patterns. New York: W. H. Freeman & Co., 1987. .
- . , Section IV : Tessellations and Honeycombs. Dover, 1973. .
- (1974), Noneuclidean tesselations and their groups, Academic Press, ISBN
Dış bağlantılar
| Wikimedia Commons'ta Tessellation ile ilgili ortam dosyaları bulunmaktadır. |
- Tesselasyon dersleri3 Ağustos 2016 tarihinde Wayback Machine sitesinde .
- Döşeme ansiklopedisi26 Ocak 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde .
- Math Forum Tesselasyon dersleri15 Haziran 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde .
- M. C. Escher'in matematiksel sanatı12 Ocak 2014 tarihinde Wayback Machine sitesinde . - sanatta tesselasyon
- Düzlemi kaplayan 14 tip konveks beşgenler17 Aralık 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde .
- Tiling Plane & Fancy9 Kasım 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde .
- Grotesque Geometry, Andrew Crompton8 Eylül 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde .
- Tessellations.org - sanatsal bakış açılı pek çok örnek ve ders26 Ağustos 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde .
- Tessellation.info Sanatçı ve konuya göre kategorilendirilmiş 500 tesselasyonun veritabanı16 Mart 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde .
- döşemeler ve tesselasyonlar6 Şubat 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde .
- - Bu örüntü göçen bir silindiri betimler
- Hyperbolik Tesselasyonlar10 Eylül 2006 tarihinde Wayback Machine sitesinde ., David E. Joyce,
wikipedia, wiki, viki, vikipedia, oku, kitap, kütüphane, kütübhane, ara, ara bul, bul, herşey, ne arasanız burada,hikayeler, makale, kitaplar, öğren, wiki, bilgi, tarih, yukle, izle, telefon için, turk, türk, türkçe, turkce, nasıl yapılır, ne demek, nasıl, yapmak, yapılır, indir, ücretsiz, ücretsiz indir, bedava, bedava indir, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, resim, müzik, şarkı, film, film, oyun, oyunlar, mobil, cep telefonu, telefon, android, ios, apple, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, pc, web, computer, bilgisayar
Matematikte bir doseme veya karolama susleme aralarinda bosluk birakmadan veya ortusmeden bir duzlemi kaplayan duzlemsel sekiller kumesidir Bu kavram daha yuksek boyutlar icin de genellenebilir bu genisletilmis anlami icin doseme yerine tesselasyon terimi kullanilir Tesselasyon M C Escher in eserlerinde sikca gorulebilir Tesselasyona sanat tarihi boyunca antik mimariden modern sanata kadar rastlanabilir Kaldirim parkelerinin bir tesselasyonuBir ari petegi tesselasyonlu bir dogal yapi ornegidir Latince tessella mozaik yapmakta kullanilan kup sekilli bir kil tas veya cam parcasidir Tessella sozcugu kare anlamina gelen tessera dan gelir onun kaynagi da dort anlamina gelen Yunanca sozcuktur kucuk kare anlamina gelir Gundelik dilde parke karo veya cini doseme bu malzemelerin tesselasyon seklinde yere veya duvara dosenmesidir Doseme sozcugu hem bu tur duzlem kaplayici cisim veya sekillere hem de bu cisimlerle veya sekillerle kaplanmis yuzey icin kullanilir Anlam kargasasina yol acmamak icin asagidaki metinde duzlemi kaplayici sekiller icin karo terimi kullanilacaktir ama karo nun gundelik dildeki anlaminin aksine tessalasyon yapmakta kullanilan sekillerin dortgen olma sarti yoktur Duvar kagidi gruplariOteleme simetrisi olan dosemeler olarak kategorilendirilebilir bunlardan 17 tane vardir El Hamra Sarayi nda bu oruntu tiplerinin her birinden bulunur Duzgun eskenar cokgenlerden meydana gelen dosemelerden ikisi p6m biri p4m kategorisine aittir Tesselasyon ve renklerBu paralelkenar oruntusu bir duzlemi kaplamadan once boyanirsa her bir paralelkenarin komsularindan farkli bir renge sahip olabilmesi icin yedi farkli renk kullanilmasi gerekir Bu doseme sekli bir simit yuzeyinin dosenmesine benzetilebilir Eger doseme boyamadan once yapilirsa sadece dort renk yeterlidir Renkli bir dosemeden bahsederken yanlis anlamaya yol acmamak icin renklerin dosemenin parcasi mi oldugu yoksa sadece tekrar eden birim sekle mi ait oldugunun belirtilmesi gerekir Ayrica bakiniz simetri Dort renk teoremi normal bir Oklid duzlemindeki her bir dosemesi icin eger dort renk kullanilirsa her bir karonun komsularindan farkli bir renkle boyanabilecegini onerir bu boyamada ayni renge sahip iki karo pozitif uzunlukla bir kenar ile birbirine dokunamaz Ancak dort renk kuraminin garantiledigi renklendirme genelde tesselasyonun meydana getirdigi simetriyi muhafaza etmeyebilir Tesselasyon simetrisine uyan bir renklendirme daha fazla sayida renk gerektirebilir sagdaki resimdeki ornekte gorulebilecegi gibi Dortgenlerle tesselasyonHerhangi bir dortgen karonun kopyalari kullanilarak elde edilecek dosemenin belli simetri ozellikleri vardir 1 her bir dortgen kenarinin orta noktasinda ikili donel simetrisi vardir 2 dortgenlerin gosterdigi oteleme simetrisinin taban vektorleri ya a dortgenin kosegenleri veya b kosegenlerden biri ve iki kosegenin toplami veya farkidir Asimetrik bir dortgen karo dosemesi ye aittir Tekrarlanan temel sekil olarak dortgen vardir Buna denk bir onerme olarak dortgenin donel merkezinden baslamak uzere iki oteleme vektoru arasinda yer alan bir paralelogram cizebiliriz bunu bir kosegen ile ikiy bolup yarim sekillerden ucgenlerden birini temel sekil olarak alabiliriz Bu ucgenin alani baslangictaki dortgen ile ayni lana sahiptir ve kesip yapistirma yoluyla insa edilebilir Duzgun ve yari duzgun tesselasyonlardosemede altigenlerden olusan bir tesselasyon benzer olusmus yuksek simetrili bir tesselasyondur Sadece uc tane duzgun tesselasyon vardir bunlar eskenar usgenlerden karelerden veya altigenlerden meydana gelen dosemelerdir Yari duzgun tesselasyonlar cesitli duzgun cokgenlerden olusur bunlardan sekiz sinif vardir Bu cokgenlerin her bir kosedeki yerlesimi aynidir Kenar kenara tesselasyonlar daha duzensizdir tek sart bitisik sekillerin tek bir kenari paylasmasidir yani bir sekil bir kenarinin sadece bir kismini baska bir sekille paylasamaz Baska tur tesselasyonlar da mevcuttur kullanilan sekil ve bunlarin oruntusune bagli olarak Duzgun olan ve olmayan periyodik ve aperiyodik periyodik olmayan simetrik ve asimetrik ayrica fraktal tesselasyonlar vardir bunlarin yani sira baska siniflandirmalar da sayilabilir Iki farkli cokgen kullanan Penrose dosemesi aperiyodik oruntuler yaratan tesselasyonlarin en meshur ornegidir Bu dosemeler ozyineleme kullanarak kendi kendini ureten cokgen kumelerinden insa edilen aperiyodik dosemeler sinifina aittir Monohedral kaplama tum sekillerin birbirine benzer oldugu bir tesselasyondur Spiral monohedral dosemeler arasinda tarafindan 1936 da kesfedilmis olan Voderberg dosemesi ve tarafindan 1970 lerde kesfedilen Hirschhorn dosemesi bulunmaktadir Voderberg dosemesinin birim sekli konveks olmayan bir dokuzgen Hirschhorn dosemesinin birim sekli ise duzgun olmayan bir besgendir Oz ciftes tesselasyonlarEger bir seklin kenarlari ve koselerinin yer degistirmesi halinde gene ayni sekil ortaya cikarsa kare gibi bu seklin oz ciftes self dual oldugu soylenebilir Duzgun dosemeler ve petekler oz ciftes olabilir ile 4 3n 2 4 olarak betimlenen tum n boyutlu hiperkubik petekler oz ciftestir Tesselasyonlar ve bilgisayar modelericozmek icin bir diskin tesselasyonu Bilgisayar grafigi sahasinda cokgenlerden olusan veri kumelerinin idaresi ve onlarin grafik sunumu rendering icin kullanisli yapilara bolunmesi icin sik sik tesselasyon teknikleri kullanilir Normalde en azindan gercek zamanli renderingde goruntuyu olusturan verilerin ucgenler halinde dosemsi yapilir bu isleme bazen denir Tesselasyon bilgisayar grafikleme arayuzlerinden DirectX 11 ve OpenGL nin temel ozelligidir Bilgisayar eslikli tasarimda olusturulan tasarim bir sinir temsil topoloji modeli ile temsil edilir Bunda yuzey ve kenarlar ile sinirlandirilmis analitik uc boyutlu yuzey ve egriler 3 boyutlu bir cismin kesintisiz sinirini olusturur Herhangi bir 3 boyutlu cisim dogrudan analiz edilemeyecek kadar karmasik olabilir Bu cisimler kolay analiz edilebilen kucuk 3 boyutlu hacim elemanlarindan olusan bir ag ile kaplanir genelde bu ag ya duzensiz tetrahedronlar veya duzensiz olusur Bu ag icin kullanilir Bir yuzeyin genelde teker teker yuzey ve kenarlardan olusturulur oyle ki ki ozgun cismin yuzeyindeki limit noktalar agin parcasi olur Ozgun yuzeyin bu ag tarafindan benzetilmesi agi olusturan fonksiyonun uc parametresi tarafindan belirlenir Gercek yuzey ile duzlemsel yaklasiklik arasindaki en buyuk uzaklik sarkma tabir edilir Bu parametre agin ozgun yuzeye yeterince benzemesini saglar Benzetme cokgeninin en buyuk boyu Bu parametre daha ayrintili analiz icin yeterince detay kalmasini saglar Iki benzetme cokgeni arasindaki en buyuk duzlemsel aci Bu parametre cok kucuk tumsek veya oyuklarin ag icinde kaybolmamasini saplar Bu parametreler ag ureten algoritmalarin isleyisini belirler Bazi bilgisayar analizleri uyumsal adaptif aglar gerektirir Boyle durumlarda analizin gereksinimine gore ag yerel olarak daha detayli hale getirilebilir Bazi jeodesik kubbeler mumkun oldugunca eskenarli olan ucgenlerle bir kurenin yuzyeyini kaplayarak tasarlanir Dogada tesselasyonlarGun batiminda mozaik kaldirim tasi biciminde kayalar Eaglehawk Neck Tazmanya Bazaltik lav akintilari katilastiktan sonra cogu zaman buzulme kuvvetlerinin etkisiyle sutunsal yaparlar Meydana gelen yaygin catlak agi genelde altigensel lav sutunlar olusturur Bunun bir ornegi Kuzey Irlanda daki deki sutun dizilimidir Tazmanya daki kayaclarin dortgen bloklar seklinde catlamis oldugu ender bir tortul kayac olusumudur Bir cokgenin kenarlari ile bir kosede birlesen kenar sayisi arasindaki iliskiBu dikdortgen tuglalari bir araya getiren tesselasyon kenar kenara bir doseme olarak degerlendirilirse topolojik olarak esittir Her altigen yassilastirilarak bir dortgene donusmustur dortgenin uzun kenari iki komsu tugla tarafindan ikiye bolunmustur Bu sepet orgusu dosemesi topolojik olarak esittir her dortgenin bir kenari iki komsu dortgenin ortak kosesi tarafindan bolunmus iki kenar gibi sayilabilir Sonsuz bir tesselasyonda a displaystyle a bir cokgenin ortalama kenar sayisi olsun b displaystyle b bir noktada birlesen kenarlarin ortalama sayisi olsun Oyleyse a 2 b 2 4 displaystyle a 2 b 2 4 Ornegin maddesindeki tesselasyonlar icin a b ikilileri sunlardir 3 6 313 5 334 427 4 4 6 3 displaystyle 3 6 3 tfrac 1 3 5 3 tfrac 3 4 4 tfrac 2 7 4 4 6 3 Bir kenarin bir koseden oteye devam etmesi ayri bir kenar olarak sayilir Ornegin resimdeki tuglalar altigen sayilirlar ve bu doseme icin 6 3 birlesimini elde edilir Benzer sekilde banyo zeminlerinde sik gorulen sepet orgusu oruntusu icin 5 313 displaystyle 5 3 tfrac 1 3 degerleri kullanilir Kendini tekrar eden bir dosemede tekrar eden kisim icin ortalamalar kullanilabilir Genelde bu ortalamalar tum duzleme yayilan bir bolgenin limit degeri olarak sayilir Sonsuz bir karo dizisi veya merkezden uzaklastikca kuculen karolar durumunda tekrar eden seklin disindaki bolge ihmal edilemez ve limit hesaplamasinda o da bir parke olarak sayilmalidir Bazi asiri durumlarda limit degerler yoktur veya bolgenin sonsuza dogru nasil genisletildigine baglidir Sinirli bir tessalasyon ve cokgenler icin bu esitlik vardir a 2 b 2 4 1 xF 1 xV displaystyle a 2 b 2 4 left 1 frac chi F right left 1 frac chi V right burada F displaystyle F yuz sayisi ve V displaystyle V kose sayisidir x displaystyle chi ise katsayisidir duzlemsel ve ici delik olmayan bir cokgen icin bu sayi 2 dir Duzlemden soz ederken birim seklin disi da bir yuz olarak sayilir Her yuzdeki kenarlar toplaninca elde edilen sayi tum tesselasyondaki kenar sayisinin iki katidir bu sayi yuz sayisi ve kose sayisi cinsinden ifade edilebilir Benzer sekilde bir kosede birlesen kenarlar tum koseler icin toplaninca toplam kenar sayisinin iki katini verir Bu iki sonuctan kolaylikla yukaridaki formule varilabilir Cogu zaman bir yuzun kenar sayisi ile bir yuzun kose sayisi aynidir ve bir kosede birlesen kenar sayisi ile bir kosede birlesen yuz sayisi aynidir Ancak sadece bir koseden birbirine degen iki kare durumunda ornegin dis yuzdeki kenar sayisi 8 dir yani eger kose sayisi sayilacaksa ortak kosenin iki kere sayilmasi gerekir Benzer sekilde o kosede birlesen kenar sayisi 4 tur dolayisiyla o kosede birlesen yuz sayisi iki kere sayilmalidir Ici delik bir karonun baska karolarla doldurulmus olmasi yukarida verilen denklem icin gecerli degildir cunku disaridaki ve icerideki kenarlarin olusturdugu kenar aglari birbirinden ayriktir Ancak delikli karo kendi kendine dokunabilecek sekilde bir kesik olursa yani delik ile dis kenari birlestiren bir kenar olursa denklem gecerlidir Bu karonun kenar sayisini saymak icin kesigin iki kere sayilmasi gerekir Yukaridaki denklemi duzlemi kaplayan sekiller yerine Platonik cisimleri olusturan sekiller icin uygulanirsa tam sayilar elde edilir cunku esit sayilarin ortalamasi alinmis olur tetrahedron kup ve dodekahedron icin sirasiyla a 2 b 2 displaystyle a 2 b 2 icin 1 2 ve 3 degerleri elde edilir Sonlu bir cokyuzlu icin denklem degerlendirince sonsuz bir cokyuzlu olarak bunu genisletirken delik sayisinin yuz ve kose sayisi ile orantili olarak arttigini ve a 2 b 2 displaystyle a 2 b 2 limitinin 4 ten buyuk oldugunu gorulebilir Ornegin kuplerden olusan tek kup kalinliginda bir tabaka dusenelim her 2 2 kupten bir tanesi cikartilmis olsun bu deliklerin her biri Euler karakteristik katsayisini 2 azaltir Her delik icin 10 yuz ve 8 kenar oldugu icin boylesi bir yuzey 4 5 kombinasyonuna sahiptir cunku a 2 b 2 6 4 1 2 10 1 2 8 displaystyle a 2 b 2 6 4 1 2 10 1 2 8 Elde edilen sonuc kenarlarin dogru parcalari olmasina yuzlerin de duzlem parcalari olmasina bagli degildir kenarlar birer egri ve yuzler de birer egri yuzey olabilir patolojik durumlari cozmek icin kullanilacak matematik sadelestirmeleri saymazsak Baska uzaylarda tesselasyonlarBir kure yuzeyinin kesik ikozahedron ile kaplanmasi Bir simit tekrarlayan bir matrisi ile kaplanabilir M C Escher Circle Limit III 1959 Iki boyutlu Oklid duzlemini dosemenin yani sira baska n boyutlu uzaylari da n boyutlu politoplarla doldurarak dosemek mumkundur Baska uzaylarin tesselasyonlari genelde olarak adlandirilir Diger uzaylarin tesselasyonlarina ornekler n boyutlu Oklid uzayinin tesselasyonlari Ornegin uc boyutlu Oklid uzayini kuplerle doldurarak kubik petek olusturmak n boyutlu tesselasyonu ya kuresel doseme kuresel cokyuzlu veya n boyutlu eliptik doseme Duzgun bir dodekahedronun ona distan teget bir kure uzerindeki izdusumu iki boyutlu kurenin duzgun kuresel besgenlerden olusan bir tesselasyonunu meydana getirir Koselerin capucu antipodal haritasinin kuredeki her haritayi kurenin karsi tarafindaki izdusumunun bigrlecimi ise meydana getirir bu izdusumsel duzlemin bir dosemesidir n boyutlu hiperbolik uzayin tesselasyonlari Ornegin M C Escher in Circle Limit III eseri kullanarak birbirine benzer balik gibi sekiller ile hiperbolik duzlemin bir tesselasyonudur Hiperbolik duzlem eger 1p 1q lt 12 displaystyle tfrac 1 p tfrac 1 q lt tfrac 1 2 ise p kenarli sekillerden q tanesinin birbirine degdigi bir tesselasyona izin verir Circle Limit III ucluler halinde bir araya gelen sekizgenlerin bir dosemesi olarak anlasilabilir resimde kenarlarin her biri yerine puruzlu cizgiler yer almaktadir ve her sekizgen dort baliga bolunmustur Katmanli bir uzay manifold dosemesine karsilik gelmeyen de vardir cunku bunlar yerel olarak kuresel degildir yerel Oklitci katmanli bir uzay gibi ornegin ve Bunlar daha genel uzaylarin dusemeleri olarak gorulebilir Ayrica bakiniz 28 duzenli 3 boyutlu tessellasayonlar tesselasyon bulmak icin kullnailan cebirsel gruplar Dort renk teoremi Girih karolari Mozaik hava fotograflarinin tesselasynlarini kullanana sanatci eskenar ucgenler dosemeleri Karo needlepoint with polyiamonds equilateral triangles 17 adet iki boyutlu tekrar eden oruntulerNotlar tessellate 7 Ocak 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde Merriam Webster Online PDF 15 Subat 2010 tarihinde kaynagindan PDF arsivlendi Erisim tarihi 27 Mayis 2010 Kaynakcaand G C Shephard Tilings and Patterns New York W H Freeman amp Co 1987 ISBN 0 7167 1193 1 Section IV Tessellations and Honeycombs Dover 1973 ISBN 0 486 61480 8 1974 Noneuclidean tesselations and their groups Academic Press ISBN 978 0 12465450 1 Dis baglantilarWikimedia Commons ta Tessellation ile ilgili ortam dosyalari bulunmaktadir Tesselasyon dersleri3 Agustos 2016 tarihinde Wayback Machine sitesinde Doseme ansiklopedisi26 Ocak 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde Math Forum Tesselasyon dersleri15 Haziran 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde M C Escher in matematiksel sanati12 Ocak 2014 tarihinde Wayback Machine sitesinde sanatta tesselasyon Duzlemi kaplayan 14 tip konveks besgenler17 Aralik 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde Tiling Plane amp Fancy9 Kasim 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde Grotesque Geometry Andrew Crompton8 Eylul 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde Tessellations org sanatsal bakis acili pek cok ornek ve ders26 Agustos 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde Tessellation info Sanatci ve konuya gore kategorilendirilmis 500 tesselasyonun veritabani16 Mart 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde dosemeler ve tesselasyonlar6 Subat 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde Bu oruntu gocen bir silindiri betimler Hyperbolik Tesselasyonlar10 Eylul 2006 tarihinde Wayback Machine sitesinde David E Joyce