Yayıcı

Kuantum mekaniği ve Kuantum alan kuramı içinde yayıcı belirli bir zamanda bir yerden başka bir yere seyahat etmek ya da belirli bir enerji ve momentum ile seyahat için bir parçacığın olasılık genliği verir. Yayıcılar Feynman diyagramları iç hatları üzerinde sanal parçacık'ların katkısını temsil etmek üzere kullanılmaktadır. Ayrıca partikül uygun dalga operatörünün tersi olarak görülebilir ve bu nedenle sıklıkla Green fonksiyonları olarak adlandırılır.

Göreli olmayan yayıcılar

Göreli olmayan kuantum mekaniği yayıcısı daha sonraki bir zamanda başka bir mekânsal noktaya tek seferde tek bir mekansal noktadan seyahat için bir temel için genlik verir.Bu Schrödinger denklemi için bir Green fonksiyonu'dur. Bu sistem, bir ${\displaystyle H}$' e sahipse daha sonra uygun yayıcıyı karşılayan bir ${\displaystyle K(x,t;x',t')}$ fonksiyonu olduğu anlamına gelir.

${\displaystyle \left(H_{x}-i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\right)K(x,t;x',t')=-i\hbar \delta (x-x')\delta (t-t')}$

Burada ${\displaystyle H_{x}}$ ${\displaystyle x}$ koordinatlar cinsinden yazılı Hamiltoniyeni gösterir ve ${\displaystyle \delta (x)}$ Dirac delta fonksiyonu'nu gösterir. Bu, aynı zamanda aşağıdaki gibi yazılabilir

${\displaystyle K(x,t;x',t')=\langle x|{\hat {U}}(t,t')|x'\rangle }$

Burada ${\displaystyle {\hat {U}}(t,t')}$ için ${\displaystyle t}$ zamanındaki konumdan alarak sistemi ${\displaystyle t'}$ zamandaki konuma taşıyan zaman evrim operatörüdür.

Kuantum mekaniğindeki Yol İntegrali

Kuantum mekanik yayıcısı da kullanılarak bulunabilir

${\displaystyle K(x,t;x',t')=\int \exp \left[{\frac {i}{\hbar }}\int _{t}^{t'}L({\dot {q}},q,t)dt\right]D[q(t)]}$

burada sınır koşulları yol integrali q(t)=x, q(t')=x' içerir.Burada ${\displaystyle L}$ sistemi temsil eder.

Serbest Parçacık yayıcısı ve Harmonik Osilatör

Zaman öteleme değişmeyen sistemi için,yayıcısı sadece (t-t') zaman farkına bağlıdır.belki böylece şu şekilde yeniden yazılabilir

${\displaystyle K(x,t;x',t')=K(x,x';t-t')}$.

Tek boyutlu serbest parçacığın için Yayıcı ,yoluyla elde edilen aşırı bir ifade ile daha sonra ise

${\displaystyle K(x,x';t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }dk\,e^{ik(x-x')}e^{-i\hbar k^{2}t/(2m)}=\left({\frac {m}{2\pi i\hbar t}}\right)^{1/2}e^{-m(x-x')^{2}/(2i\hbar t)}}$.

Tek boyutlu harmonik osilatörün yayıcısı olduğu

${\displaystyle K(x,x';t)=\left({\frac {m\omega }{2\pi i\hbar \sin \omega t}}\right)^{1/2}\exp \left(-{\frac {m\omega ((x^{2}+x'^{2})\cos \omega t-2xx')}{2i\hbar \sin \omega t}}\right)}$.

N-boyutlu bir durumda, yayıcı;

${\displaystyle K({\vec {x}},{\vec {x}}';t)=\prod _{q=1}^{N}K(x_{q},x_{q}';t)}$.

ürünü ile kolayca elde edilebilir.

Göreli Yayıcılar

Göreli kuantum mekaniği ve kuantum alan kuramı'nda Yayıcı 'dir. için iki uzayzaman noktası arasındaki genliğini verir .

Skaler yayıcı

kuantum alan kuramında serbest (etkileşmeyen) teorisi kullanılır, daha karmaşık teorilere gerekli kavramları göstermek için hizmet veren bir kullanışlı ve basit bir örnektir.Sıfır parçacıkların spinini açıklar. Skaler serbest alan teorisi için çok sayıda olası Yayıcılar vardır. Şimdi en yaygın olanları açıklayalım.

Konum uzayı

Klein–Gordon denklemi konum uzayı yayıcılarının Green fonksiyonu'dur.Bu karşıladığı fonksiyonların ${\displaystyle G(x,y)}$ olduğu anlamına gelir

${\displaystyle (\square _{x}^{2}+m^{2})G(x,y)=-\delta (x-y)}$

burada:

• ${\displaystyle x,y}$ iki nokta arasında 'dır.
• ${\displaystyle \square _{x}^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}}$ operatorü hareket eden ${\displaystyle x}$ naktasının koordinatlarıdır.
• ${\displaystyle \delta (x-y)}$ Dirac delta fonksiyonu'dur.

( kuantum alan kuramı hesabında,burada ışık hızı birim olarak kullanılır, ${\displaystyle c}$,1'dir.)

Burada 4-boyutlu gözden kaçmamalıdır.Yayıcı için Fourier dönüşümü denklemi kullanılabilir, eldesi

${\displaystyle \,(-p^{2}+m^{2})G(p)=-1.}$

Bu denklemin duyarlılığı tersine çevrilerek bulunabilir. ${\displaystyle xf(x)=1}$ belirtilerek denkleminin çözümü ${\displaystyle f(x)=1/(x\pm i\epsilon )=1/x\pm i\pi \delta (x)}$ idi.,bununla birlikte ${\displaystyle \epsilon }$ limit sıfırı işaret etmektedir.Aşağıda nedensellik kaynaklı işaretin gereksinmesinin doğru seçimi tartışılmaktadır.Bunun çözümü

${\displaystyle G(x,y)={\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int d^{4}p\,{\frac {e^{-ip(x-y)}}{p^{2}-m^{2}\pm i\epsilon }}}$

burada ${\displaystyle p(x-y):=p_{0}(x^{0}-y^{0})-{\vec {p}}\cdot ({\vec {x}}-{\vec {y}})}$ iç çarpımıdır.

Yukarıda deformasyonu ifadesi içinde Yayıcı için farklı seçimde yollar var. kontür seçimi genellikle ${\displaystyle p_{0}}$ integral terimleri içinde ifade edilir.

integrandin iki kutbu var idi, burada değişik yayıcı yolları önlemek için çok farklı seçimler vardır. ${\displaystyle p_{0}:=\pm {\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}}}$

Nedensellik yayıcısı

Geciken Yayıcı:

Kontur iki kutbu üzerinde saat yönünde Gecikmeli Nedensellik yayıcısı gidişi sağlar. Eğer ${\displaystyle x}$ sıfır ise ve ${\displaystyle y}$ uzaysı(uzay ağırlıklı)(space-like)dır veya eğer ${\displaystyle x^{0}<y^{0}}$ (örneğin eğer ${\displaystyle x}$'ın geleceği ${\displaystyle y}$ ise).

eşdeğeri hesaplanan bu kontur seçimidir :

${\displaystyle G_{ret}(x,y)=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int d^{4}p\,{\frac {e^{-ip(x-y)}}{(p_{0}+i\epsilon )^{2}-{\vec {p}}^{2}-m^{2}}}=\left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{2\pi }}\delta (\tau _{xy}^{2})-{\frac {mJ_{1}(m\tau _{xy})}{4\pi \tau _{xy}}}&{\textrm {if}}\,y\prec x\\0&{\textrm {otherwise}}\end{matrix}}\right.}$

Burada

${\displaystyle \tau _{xy}:={\sqrt {(x^{0}-y^{0})^{2}-({\vec {x}}-{\vec {y}})^{2}}}}$

${\displaystyle x}$ dan ${\displaystyle y}$ ye 'dır ve ${\displaystyle J_{1}}$ bir 'dur. Bu bağıntının Minkowski uzay-zamanı için ${\displaystyle y\prec x}$ anlamı ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ dır. anlamı

${\displaystyle y^{0}<x^{0}}$ ve ${\displaystyle \tau _{xy}^{2}\geq 0}$.

Burada ayrıca ifade içindeki terim skaler alan operatörü'ünün olarak ifade edilebilir

${\displaystyle G_{ret}(x,y)=i\langle 0|\left[\Phi (x),\Phi (y)\right]|0\rangle \Theta (x^{0}-y^{0})}$

burada ${\displaystyle \Theta (x):=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{için}}&x\geq 0\\0&{\mbox{için}}&x<0\end{matrix}}\right.}$

'dur ve

${\displaystyle \left[\Phi (x),\Phi (y)\right]:=\Phi (x)\Phi (y)-\Phi (y)\Phi (x)}$

'dür.

İleri yayıcı:

Nedensellik ileri yayıcısı Her iki kutup altında saat yönünün tersine giden kontur verir. Burada ${\displaystyle x}$ sıfır ise ve ${\displaystyle y}$ uzaygibidir veya eğer ${\displaystyle x^{0}>y^{0}}$ (${\displaystyle y}$,${\displaystyle x}$)'ın geçmişi olmaktadır. bu kontür seçimi limit hesabı eşdeğeri:

${\displaystyle G_{adv}(x,y)=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int d^{4}p\,{\frac {e^{-ip(x-y)}}{(p_{0}-i\epsilon )^{2}-{\vec {p}}^{2}-m^{2}}}=\left\{{\begin{matrix}-{\frac {1}{2\pi }}\delta (\tau _{xy}^{2})+{\frac {mJ_{1}(m\tau _{xy})}{4\pi \tau _{xy}}}&{\textrm {if}}\,x\prec y\\0&{\textrm {otherwise}}.\end{matrix}}\right.}$

Bu ifade, ardından serbest skalar alan 'ü cinsinden ifade edilebilir. Bu durumda,

${\displaystyle G_{adv}(x,y)=-i\langle 0|\left[\Phi (x),\Phi (y)\right]|0\rangle \Theta (y^{0}-x^{0}).}$

Feynman yayıcısı

Feynman propagator with mass 0.2. Image borders are at x = ±2 and y = ±2

Feynman propagator with mass 2

Feynman propagator with mass 20

Feynman propagator with mass 200

Feynman propagatorSol kutup altında sağ kutup aşarak kontur verir.

sınırı hesaplanırken eşdeğer seçilen kontür şudur (see Huang p30):

${\displaystyle \ G_{F}(x,y)}$	${\displaystyle \ =\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int d^{4}p\,{\frac {e^{-ip(x-y)}}{p^{2}-m^{2}+i\epsilon }}}$
	${\displaystyle \ =\left\{{\begin{matrix}-{\frac {1}{4\pi }}\delta (s)+{\frac {m}{8\pi {\sqrt {s}}}}H_{1}^{(1)}(m{\sqrt {s}})&{\textrm {if}}\,s\geq 0\\-{\frac {im}{4\pi ^{2}{\sqrt {-s}}}}K_{1}(m{\sqrt {-s}})&{\textrm {if}}\,s<0.\end{matrix}}\right.}$

Burada

${\displaystyle s:=(x^{0}-y^{0})^{2}-({\vec {x}}-{\vec {y}})^{2}.}$

Burada ${\displaystyle x}$ ve ${\displaystyle y}$ 'da iki noktadır,ve üs içinde nokta bir 'ıdır. ${\displaystyle H_{1}^{(1)}}$ ise bir Hankel fonksiyonu'dur ve ${\displaystyle K_{1}}$ is bir 'dur.

Bu ifade , alan teorisi itibarıyla doğrudan elde edilebilir serbest skaler alanın ürünü, yani,her alınan ürün uzay-zaman noktaları aynı zaman sıralıdır:

${\displaystyle \ G_{F}(x-y)}$	${\displaystyle \ =i\langle 0|T(\Phi (x)\Phi (y))|0\rangle }$
	${\displaystyle \ =i\langle 0|[\Theta (x^{0}-y^{0})\Phi (x)\Phi (y)+\Theta (y^{0}-x^{0})\Phi (y)\Phi (x)]|0\rangle .}$

Bu bağıntı 'dir alan operatörleri komutu olduğu sürece ve birlikte başka bir zaman noktaları ${\displaystyle x}$ ve ${\displaystyle y}$ ile; bir aralığı ile ayrılır. alanlar arasında tek parçacık momentumun durumlarına komple bir set eklemek için Lorentz kovaryant normalleştirmesi herzamanki türetmedir sonra nedensel zamanı sıralama veren ${\displaystyle \Theta }$ fonksiyonlarının ile elde edilebileceğini gösteriyor Enerji ekseni boyunca integrand yukarıdaki gibi olduğu takdirde(dolayısıyla sonsuz sanal kısmı, gerçek off line kutup taşımak için).

Yayıcısı da kuantum teorisi kullanılarak elde edilebilir.

Momentum Uzay Yayıcısı

Pozisyon uzay yayıcıların Fourier dönüşümü 'daki yayıcılar gibi düşünülebilir. Böylece pozisyon uzay yayıcılar çok daha basit bir şekil alırlar.

entegrasyon kontur(yukarıya bakınız) uygunluğu hakkında bir hatırlatma anlaşılır olsa da genellikle açık bir${\displaystyle \epsilon }$ terimi ile yazılır.Bu ${\displaystyle \epsilon }$ terimine (bkz. aşağıda) sınır şartları ve nedensellik dahildir. (aşağıya bakınız)

${\displaystyle p}$ için Momentum uzayda nedensel ve Feynman yayıcılar şunlardır:

${\displaystyle {\tilde {G}}_{ret}(p)={\frac {1}{(p_{0}+i\epsilon )^{2}-{\vec {p}}^{2}-m^{2}}}}$

${\displaystyle {\tilde {G}}_{adv}(p)={\frac {1}{(p_{0}-i\epsilon )^{2}-{\vec {p}}^{2}-m^{2}}}}$

${\displaystyle {\tilde {G}}_{F}(p)={\frac {1}{p^{2}-m^{2}+i\epsilon }}.}$

Işıktan daha hızlı?

Feynman yayıcısının ilk bakışta şaşırtıcı bazı özellikleri var. Özellikle, komütatör aksine, bu yayıcı spacelike aralıklarla hızlı bir şekilde düşer,,yayıcı dışında sıfırdan farklı değerlerdedir.Parçacık hareketi bir genlik olarak yorumlanır, ışık hızından daha hızlı seyahat için bu sanal parçacığa çevrilmelidir. Bunun nedensellik ile nasıl bağdaştırılabileceği durumu net değildir: ışıktan daha hızlı mesajları göndermek için ışıktan-hızlı sanal parçacıklar kullanabilirmiyiz? klasik mekanikte cevap hayır: klasik mekanik'te parçacıklar ve nedensel etkileri seyahat yapabileceğiniz boyunca aralıkları aynı iken Bu, kuantum alan teorisinde artık bir gerçek,birbirlerine etkileyen operatörlerin olduğunu belirleyen komütatör'ler var burada..Yani ne yayıcısı olan spacelike kısmını temsil eder?QFT içindeki vakum aktif katılımcı olup ve alan değerleri belirsizlik ilkesi ile ilişkilidir; alan değerleri bile partikül sayısı sıfır için belirsizdir. Önemli bir dalgalanma bulmak için alan vakum değeri ${\displaystyle \Phi (x)}$ sıfırdan farklı bir olasılık genliği vardır (veya,daha doğrusu küçük bir bölge üzerinde alan ortalama ile elde edilen bir operatör varsa, ).Ayrıca, mekansal ilişkili dalgalanmalar alanların dinamiklerini bir ölçüde etkiler analogu,sadece bu vakum içindeki yerel olmayan dalgalanmalar korelasyonu için genlik ölçülmesi Spacelike-ayrılmış-alanlar için sıfırdan farklı zaman-sıralı üründür Nitekim yayıcı genellikle serbest alan için bir iki nokta korelasyon fonksiyonu olarak adlandırılır.kuantum alan teorisi postülatları spacelike seperasyonunda birbirleri ile tüm operatörler gidip gelir rastgele değişkenlerde korelasyonlar vardır.bunlarda herhangi bir EPR korelasyonu sayesinde olabilidiğne göre mesajlarda artık bu korelasyon yoluyla gönderilebilir Sanal parçacıklar açısından spacelike seperasyonunun yayıcısı sonunda vakum içinde ya da vakumdan çıkan bir sanal çifti tespit için ortada sanal bir parçacık-antiparçacık çifti oluşturmak için amplitüd hesaplama aracı olarak da düşünülebilir.Feynman dili, bu tür oluşturma ve imha işlemleri ışık konisinin dışına alabilir zaman içinde ileriye ve geriye doğru dolaşan sanal bir parçacık buna eşdeğerdir.Bununla birlikte,hiçbir nedensellik ilkesini ihlal buna dahil değildir.

Feynman diyagramlarındaki yayıcılar

Partikül etkileşimlerin Feynman diyagramları için yayıcıların olasılık genliği yaygın olarak kullanılır.Bu hesaplamalar genellikle Momentum uzayda yapılmaktadır,her hattı İlk veya son hallerine gelen veya giden bir parçacık temsil etmez.genlik her iç hat için bir yayıcı bir faktör olarak alınır, Genel olarak,hatların buluştuğu her iç köşe için, teorisinin bir etkileşim terimi orantılı bir faktör olacak Bu reçeteler Feynman kuralları olarak bilinir.İç hatlara sanal parçacıklar karşılık gelir.Yayıcısı enerji ve hareket klasik denklemleri tarafından izin verilmeyen momentum kombinasyonları ortada olmadığından,sanal parçacıkların (kabuk dışı) olmasına izin verdiği söyleniyor.Yayıcısı ters dalga denklemi elde edilenler aslında, genel olarak kabuk üzerinde tekillikler olacaktır.Yayıcısı parçacık tarafından taşınan enerji bile negatif olabilir.Bu durum, bir parçacığın yerine tek bir yol gidiyor olarak basitçe yorumlanabilir, onun zıddı antiparçacık başka bir yol gidiyor ve bu nedenle pozitif bir enerji karşıt akışı taşıyor.Yayıcı bütün olasılıkları kapsar.Fermiyonlar durumunda enerji ve momentumu olan yayıcı değildir (bkz. aşağıda),yani eksi işaretleri konusunda dikkatli olması gerektiği ifade ediliyor. (aşağıya bakınız)diyagramda, bir kapalı devre içeren her yerde kapalı kabuk olabilir,Bununla birlikte, çevrime katılan sanal parçacıkların enerjileri ve momentumlarını kısmen döngü içinde başka eşit ve zıt bir miktarda değişiklik bir yana dengelenebilir,Genel olarak, işlemi tarafından ele alınması gereken bir durum olarak yayıcı ürünleri bu integrallerde, sapma meydana gelebilir.

Diğer teoriler

Parçacığın kendi yayıcısı 'e sahip olursa genel olarak biraz daha karmaşıktır.kuantum elektrodinamik'te elektron'u temsil eden alanı için kullanılan Feynman diyagramlarında bu parçacığın spin veya polarizasyon endeksi içerecek şekilde Momentum-uzay yayıcısı formu vardır.

${\displaystyle {\tilde {S}}_{F}(p)={(\gamma ^{\mu }p_{\mu }+m) \over p^{2}-m^{2}+i\epsilon }}$

Burada ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$ 'ler Dirac denkleminin kovaryant formülasyonu olarak görünüyor. bazen yazılarak kullanılır. kısaca

${\displaystyle {\tilde {S}}_{F}(p)={1 \over \gamma ^{\mu }p_{\mu }-m+i\epsilon }={1 \over p\!\!\!/-m+i\epsilon }}$

Konum uzayımız:

${\displaystyle S_{F}(x-y)=\int {{d^{4}p \over (2\pi )^{4}}\,e^{-ip\cdot (x-y)}}\,{(\gamma ^{\mu }p_{\mu }+m) \over p^{2}-m^{2}+i\epsilon }=\left({\gamma ^{\mu }(x-y)_{\mu } \over |x-y|^{5}}+{m \over |x-y|^{3}}\right)J_{1}(m|x-y|).}$

Bu Feynman yayıcısı ile ile ilgili

${\displaystyle S_{F}(x-y)=(i\partial \!\!\!/+m)G_{F}(x-y)}$

burada ${\displaystyle \partial \!\!\!/:=\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }}$.

yayıcı için bir içinde bir 'nu ölçek sabitlemek sözleşme seçimine bağlıdır bir fotoniçin yayıcı,Feynman ve tarafından kullanılan ölçüdür.

${\displaystyle {-ig^{\mu \nu } \over p^{2}+i\epsilon }.}$

Tekil fonksiyonlarla ilişkisi

Skaler yayıcı için Green fonksiyonları Klein–Gordon denklemidir Kuantum alan kuramı'nın önemli olan ilgili tekil fonksiyonları vardır. Biz Bjorken ve Drell aşağıda gösterimde izleyin. Ayrıca Bogolyubov ve Shirkov (Ek A) Bkz. Bu fonksiyon en basit alan operatörlerin ürünlerinin açısından tanımlanır.

Klein–Gordon denkleminin çözümü

Pauli–Jordan fonksiyonu

Iki skaler alan operatörleri komütatör Pauli–Jordan fonksiyonu tanımlar ${\displaystyle \Delta (x-y)}$ by

${\displaystyle \langle 0|\left[\Phi (x),\Phi (y)\right]|0\rangle =i\Delta (x-y)}$

ile

${\displaystyle \,\Delta (x-y)=G_{adv}(x-y)-G_{ret}(x-y)}$

Bu memnun eder ${\displaystyle \,\Delta (x-y)=-\Delta (y-x)}$ ve eğer sıfır ${\displaystyle (x-y)^{2}<0}$.

Pozitif ve negatif frekans parçaları (kesme yayıcılar)

Biz bir relativistik değişmez biçimde bazen kesme yayıcı denilen pozitif ve negatif frekans parçaları ${\displaystyle \Delta (x-y)}$ tanımlayabiliriz.

Bu bize pozitif frekans parçasını tanımlamamızı sağlar:

${\displaystyle \Delta _{+}(x-y)=\langle 0|\Phi (x)\Phi (y)|0\rangle }$,

ve negatif frekans parçası:

${\displaystyle \Delta _{-}(x-y)=\langle 0|\Phi (y)\Phi (x)|0\rangle }$.

Bu tatmin edicidir.

${\displaystyle \,i\Delta =\Delta _{+}-\Delta _{-}}$

ve

${\displaystyle (\Box _{x}^{2}+m^{2})\Delta _{\pm }(x-y)=0.}$

Yardımcı fonksiyon

Iki skaler alan operatörler anti-komütatör tarafından ${\displaystyle \Delta _{1}(x-y)}$ fonksiyonunu tanımlar

${\displaystyle \langle 0|\left\{\Phi (x),\Phi (y)\right\}|0\rangle =\Delta _{1}(x-y)}$

ile

${\displaystyle \,\Delta _{1}(x-y)=\Delta _{+}(x-y)+\Delta _{-}(x-y).}$

Bu karşılar ${\displaystyle \,\Delta _{1}(x-y)=\Delta _{1}(y-x).}$

Klein-Gordon denklemi için Green fonksiyonları

Klein-Gordon denkleminin bütün Green fonksiyonları için geri, ileri ve Feynman Yayıcısı yukarıda tanımlanıyor. Bunlar tekil fonksiyonlarla ilişkilidir

• ${\displaystyle \,G_{ret}(x-y)=-\Delta (x-y)\Theta (x_{0}-y_{0})}$
• ${\displaystyle \,G_{adv}(x-y)=\Delta (x-y)\Theta (y_{0}-x_{0})}$
• ${\displaystyle \,2G_{F}(x-y)=-i\Delta _{1}(x-y)+\epsilon (x_{0}-y_{0})\Delta (x-y)}$

burada ${\displaystyle \,\epsilon (x_{0}-y_{0})=2\Theta (x_{0}-y_{0})-1.}$

Kaynakça

1. ^ Saddle point approximation 18 Eylül 2015 tarihinde Wayback Machine sitesinde ., planetmath.org
2. ^ ^{a b c d} Bjorken and Drell, Appendix C

• Bjorken, J.D., , Relativistic Quantum Fields (Appendix C.), New York: McGraw-Hill 1965, .
• N. N. Bogoliubov, , Introduction to the theory of quantized fields, Wiley-Interscience, (Especially pp. 136–156 and Appendix A)
• Edited by ve , Relativity, Groups and Topology, section Dynamical Theory of Groups & Fields, (Blackie and Son Ltd, Glasgow), Especially p615-624,
• Griffiths, David J., Introduction to Elementary Particles, New York: John Wiley & Sons, 1987.
• Halliwell, J.J., Orwitz, M. Sum-over-histories origin of the composition laws of relativistic quantum mechanics and quantum cosmology, arXiv:gr-qc/9211004
• , Quantum Field Theory: From Operators to Path Integrals (New York: J. Wiley & Sons, 1998),
• Itzykson, Claude, Zuber, Jean-Bernard Quantum Field Theory, New York: McGraw-Hill, 1980.
• Pokorski, Stefan, Gauge Field Theories, Cambridge: Cambridge University Press, 1987. (Has useful appendices of Feynman diagram rules, including propagators, in the back.)
• Schulman, Larry S., Techniques & Applications of Path Integration, Jonh Wiley & Sons (New York-1981)
• Griffith, D, Introduction to Quantum Mechanics.

Dış bağlantılar

• Three Methods for Computing the Feynman Propagator30 Ocak 2016 tarihinde Wayback Machine sitesinde .