Sinüs (matematik)

Matematikte sinüs, trigonometrik bir fonksiyon. Sin kısaltmasıyla ifade edilir.

Sinüs
Genel bilgiler
Genel tanım	${\displaystyle \sin(\alpha )={\frac {\textrm {karsi}}{\textrm {hipotenus}}}}$
Buluş motivasyonu
Çözüm tarihi	Gupta dönemi
Uygulama alanları	Trigonometri, , Fourier serisi, vb.
Tanım kümesi, değer kümesi ve görüntü kümesi
Tanım kümesi	(−∞, +∞) ^a
Görüntü kümesi	[−1, 1] ^a
Temel özellikler
Eşlik	tek
Periyot	2π
Belirli değerler
	0
Maksimum	(2kπ + π/2, 1)^b
Minimum	(2kπ − π/2, −1)
Belirli özellikler
Kök	kπ
	kπ + π/2
	kπ
	0
İlgili fonksiyonlar
	Kosekant
Ters	Arksinüs
Türev	${\displaystyle f'(x)=\cos(x)}$
Terstürev	${\displaystyle \int f(x)\,dx=-\cos(x)+C}$
Diğer İlişkili	cos, tan, csc, sec, cot
Seri tanımı
Taylor serisi	${\displaystyle {\begin{aligned}x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \\[8pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\\[8pt]\end{aligned}}}$
	${\displaystyle {\cfrac {x}{1+{\cfrac {x^{2}}{2\cdot 3-x^{2}+{\cfrac {2\cdot 3x^{2}}{4\cdot 5-x^{2}+{\cfrac {4\cdot 5x^{2}}{6\cdot 7-x^{2}+\ddots }}}}}}}}.}$
^aReel sayılar için ^bk değişkeni bir tam sayıdır.

Sinüs'ün periyodunun gösterimi.

Sinüs'ün dik üçgende gösterimi. o/h.

Merkezi orijin olan 1 birim yarıçaplı çember üzerindeki bir noktanın y eksenine göre koordinatıdır. Orijinden noktaya çizilen bir doğrunun y ekseniyle yaptığı açı kullanılarak ya da aynı açıya sahip bir dik üçgende, bu açının karşısındaki kenarın hipotenüse bölümüyle hesaplanır.

Sinüs fonksiyonu çoğunlukla ışık, ses, harmonik osilatörlerin konumu ve hızı, güneş ışığı yoğunluğu, gündüz uzunluğu ve yıl içindeki ortalama sıcaklık değişimleri gibi periyodik olayları modellemek için kullanılır.

Sinüs fonksiyonunun tarihi Gupta dönemi Hint astronomisinde kullanılan fonksiyonlarına kadar uzanır. Sinüs fonksiyonu Sanskritçe'den Arapça'ya, daha sonra Arapçadan Latince'ye çevrilmiştir.

Dik üçgen tanımı

Bir dar açı olan α'nın sinüsünü tanımlamak için α açısını içeren bir dik üçgen düşünün. Yandaki görselde  açısı ilgili açı olmak üzere ABC üçgeninin üç kenarını şu şekilde isimlendirebiliriz:

• Karşı kenar, ilgili açının karşısındaki kenardır (yandaki üçgende o kenarıdır).
• Hipotenüs, dik açının karşısındaki kenardır (yandaki üçgende h kenarıdır). Hiptenüs bir dik açılı üçgende her zaman en uzun kenardır.
• Komşu kenar, son kalan kenardır (yandaki üçgende a kenarıdır). Komşu kenar hem dik açıya hem de ilgili açıya komşudur.

Böyle bir üçgende açının sinüsü karşı kenarın hipotenüsü bölümü ile bulunur, veya:

${\displaystyle \sin(\alpha )={\frac {\textrm {karsi}}{\textrm {hipotenus}}}}$

Diğer trigonometrik fonksiyonlar da benzer şekilde tanımlanabilir; Mesela, bir açının kosinüsü komşu kenar ile hipotenüsün oranıdır, bununla beraber tanjant karşı kenar ile komşu kenarın oranınıdır.

Birim çember tanımı

Trigonometride birim çember, yarıçapı bir olan ve Kartezyen koordinat sisteminde merkezi orijin'de (0, 0) olan çemberdir.

Orijinden geçen ve x ekseninin pozitif yarımıyla θ açısı yapan bir çizginin birim çember ile kesişimi bir nokta verir. Bu kesişim noktasının x ve y koordinatları sırasıyla cos(θ) ve sin(θ)'e eşittir.

Dik üçgen tanımının aksine birim çember tanımındaki açı bütün gerçek sayılar olabilir.

• ${\displaystyle y=\sin(\theta )}$ kırmızı ile gösterilen sinüs fonksiyonunun x ekseniyle θ açısı yapan birim çemberdeki yeşil noktanın y koordinatından (kırmızı nokta) çizilişini gösteren animasyon.

Özdeşlikler

Bunlar ${\displaystyle \theta }$'nın tüm değerleri için geçerlidir.

${\displaystyle \sin(\theta )=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\csc(\theta )}}}$

Çarpmaya göre tersi

Sinüs fonksiyonunun çarpmaya göre tersi kosekanttır. Başka bir deyişle sin(A)'nın çarpmaya göre tersi csc(A) veya cosec(A)'dır. Bir dik üçgende, hipotenüs'ün karşı dik kenara oranına kosekant denir:

${\displaystyle \csc(A)={\frac {1}{\sin(A)}}={\frac {\textrm {hipotenus}}{\textrm {karsi}}}={\frac {h}{o}}.}$

Ters fonksiyonu

Sinüs fonksiyonunun tersi arcsinüstür. y = arcsin(x) fonksiyonu sin(y) = x olarak ifade edilebilir. sin(y) = x'i ifade eden birçok y sayısı vardır. Örneğin sin(0) = 0, aynı zamanda sin(π) = 0, sin(2π) = 0 vb. arcsin fonksiyonu da çok değerlidir: arcsin(0) = 0, aynı zamanda arcsin(0) = π, arcsin(0) = 2π vb. Yalnızca tek bir değer belirtildiğinde, fonksiyon kısıtlanır. Bu kısıtlama ile, tanım kümesindeki her bir x için arcsin(x) ifadesi yalnızca tek bir değere karşılık gelir, bu da asıl değer olarak adlandırılır. Bu özellikler tüm ters trigonometrik fonksiyonlarda uygulanır.

${\displaystyle \theta =\arcsin \left({\frac {\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}}\right)=\sin ^{-1}\left({\frac {a}{h}}\right).}$

k ∈ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(y)=x\iff &y=\arcsin(x)+2\pi k,{\text{ veya }}\\&y=\pi -\arcsin(x)+2\pi k\end{aligned}}}$

Tek bir denklemde:

${\displaystyle \sin(y)=x\iff y=(-1)^{k}\arcsin(x)+\pi k}$

${\displaystyle \arcsin }$ için bu iki denklem doğru olabilir

${\displaystyle \sin(\arcsin(x))=x\!}$

ve

${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}\leq \theta \leq {\frac {\pi }{2}}{\text{ ise }}\arcsin(\sin(\theta ))=\theta \quad }$

Kalkülüs

Sinüs fonksiyonu için:

${\displaystyle f(x)=\sin(x)}$

Türevi:

${\displaystyle f'(x)=\cos(x)}$

İlkel fonksiyonu:

${\displaystyle \int f(x)\,dx=-\cos(x)+C}$

C entegrasyon sabitini temsil ediyor.

Yazılımdaki uygulamaları

Diğer trigonometrik fonksiyonlarla beraber sinüs fonksiyonu birçok programlama dillerinde ve platformlarında mevcuttur. Bilgi işlemde genel olarak sin şeklinde kısaltılır.

Intel x87 FPU'ların 80387 ve daha sonraki jenerasyonlarında olduğu gibi bazı CPU mimarileri sinüs için hazır talimatlar içerir.

Proglamlama dillerinde sin genelde ya hazır bir fonksiyondur ya da dilin standart matematik kütüphanesinde bulunur.

Örneğin, C standart kütüphanesinde sinüs fonksiyonları math.h dosyasında tanımlıdır: sin(double), sinf(float) ve sinl(long double). Her fonksiyonun parametrelerinin veri tipi kayan noktadır ve radyan türünden bir açıyı belirtir. Her fonksiyon aldığı veri tipini geri verir. C standart kütüphanesinde sinüsle beraber bir sürü başka trigonometrik fonksiyon da tanımlanmıştır, mesela kosinüs, arksinüs ve hiperbolik sinüs(sinh).

Benzer olarak, Python dilinde de sinüs fonksiyonu (math.sin(x)) hazır math modülünde tanımlıdır. CPython'un matematik fonksiyonları C math kütüphanesini çağırır.

Sinüs hesaplamak için standart bir algoritma yoktur. kayan nokta hesaplamaları için kullanılan en yaygın standart IEEE 754-2008 sinüs gibi trigonometrik fonksiyonların hesaplanması hakkında bilgi vermemektedir.

Sinüs hesaplamak için kullanılan algoritmalar hız, kesinlik, taşınabilirlik veya veri girişi aralığı gibi sınırlamalar için dengelenebilir. Bu, farklı algoritmaların farklı sonuçlar vermesine yol açabilir, özellikle çok büyük veri girişi (Örneğin: sin(1022)) gibi özel durumlar için.

Özellikle 3 boyutlu bilgisayar grafiklerinde kullanılan yaygın bir optimizasyon tekniği sinüs değerlerinin bir tablosunu önceden hesaplamaktır, örnepin her derece için bir değer. Bu yöntem her seferinde değeri hesaplamak yerine u tablodan bakıp kullanmayı sağlar.

CORDIC algoritması bilimsel hesap makinelerinde yaygın olarak kullanılmaktadır.

Tur tabanlı uygulamaları

Bazı yazılım kütüphaneleri veri giriş açısını yarım tur (180 derece) veya ${\displaystyle \pi }$ radyan olarak almaktadır. Açıyı yarım turla veya turla ifade etmek bazen kesinliklik ve verimlilik avantajları sağlayabilir.

Environment	Function name	Angle units
MATLAB	sinpi	yarım tur
OpenCL	sinpi	yarım tur
R	sinpi	yarım tur
Julia	sinpi	yarım tur
CUDA	sinpi	yarım tur
ARM	sinpi	yarım tur

Ayrıca bakınız

• Kosinüs
• Tanjant
• Kotanjant
• Dönüşüm formülleri

Kaynakça

1. ^ Uta C. Merzbach, Carl B. Boyer (2011), A History of Mathematics, Hoboken, N.J.: John Wiley & Sons, 3rd ed., p. 189.
2. ^ Grand Challenges of Informatics, Paul Zimmermann. September 20, 2006 – p. 14/31 "Archived copy" (PDF). 16 Temmuz 2011 tarihinde kaynağından (PDF). Erişim tarihi: 11 Eylül 2010. 
3. ^ ^{a b} "MATLAB Documentation sinpi 7 Ağustos 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde .
4. ^ ^{a b} "R Documentation sinpi 7 Ağustos 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde .
5. ^ "OpenCL Documentation sinpi 27 Ekim 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde .
6. ^ "Julia Documentation sinpi 20 Şubat 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde .
7. ^ "CUDA Documentation sinpi 7 Ağustos 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde .
8. ^ "ARM Documentation sinpi 17 Ekim 2019 tarihinde Wayback Machine sitesinde .