Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde maksimum ilkesi veya maksimum modülüs prensibi veya en büyük mutlak değer teoremi holomorf bir fonksiyonunun tanım kümesi olan bir bölgede fonksiyonun mutlak değeri olan 'nin yerel bir maksimuma sahip olamayacağını belirten önemli bir sonuçtur.
![image](https://www.wikipedia.tr-tr.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraXBlZGlhLnRyLXRyLm5pbmEuYXovaW1hZ2UvYUhSMGNITTZMeTkxY0d4dllXUXVkMmxyYVcxbFpHbGhMbTl5Wnk5M2FXdHBjR1ZrYVdFdlkyOXRiVzl1Y3k5MGFIVnRZaTgzTHpkbUwwMWhlR2x0ZFcxZmJXOWtkV3gxYzE5d2NtbHVZMmx3YkdVdWNHNW5Mekl5TUhCNExVMWhlR2x0ZFcxZmJXOWtkV3gxYzE5d2NtbHVZMmx3YkdVdWNHNW4ucG5n.png)
Başka bir deyişle, f ya sabit bir fonksiyondur ya da f 'nin tanım kümesi olan bölgede bulunan her z0 için, z0 'a keyfi derecede yakın ve |f |'nin z0'da alacağı değerden daha büyük değerler veren noktalar bulunur.
Teoremin kesin ifadesi
C 'nin bağlantılı, açık bir alt kümesi olan D bölgesinde tanımlı, holomorf ve karmaşık değerler alan bir f fonksiyonunu alalım. Eğer z0, kendi etrafındaki belli bir tüm z ler için
özelliğini sağlayan bir nokta ise, o zaman f, D üzerinde, sabittir.
Teoremin kanıtları ve sonuçları
Teoremin değişik kanıtları mevcuttur:
Teoremin en basit kanıtı, açık gönderim teoremini varsaymakla gerçekleşir. Eğer fonksiyon sabit değilse ve fonksiyonun mutlak değeri yerel bir maksimuma sahipse, o zaman bu yerel maksimum ulaşıldığı nokta etrafındaki, D içinde kalan bir açık komşulukaçık gönderim teoremi sayesinde açık bir kümeye gönderilecektir. Bu açık kümede ise, bariz bir şekilde mutlak değeri 'nun mutlak değerinden daha büyük noktalar vardır ve bu bir çelişkidir.
Bir diğer kanıtın genel fikri ise şudur: f 'nin karmaşık doğal logaritması olan
- log f(z) = log |f(z)| + i arg f(z)
eşitliğini kullanarak ve holomorf fonksiyonların gerçel ve sanal kısımlarının harmonik fonksiyon olduğu gerçeğini gözlemleyerek log |f(z)| 'nin harmonik olduğunu elde ederiz. z0 bu fonksiyon için de yerel bir maksimum olacağı sebebiyle, de kullanılarak, |f(z)| 'nin sabit olduğu elde edilir. O zaman, Cauchy-Riemann denklemlerini kullanarak f'(z)=0 olduğunu gösteririz ve bu sayede, f(z)'nin de sabit olduğu gösterilir.
Teoremin hemen arkasından elde edilen bir sonuç ise minimum ilkesidir ve şu bu ilke de şu şekilde ifade edilir: Eğer f, sınırlı bir D bölgesi üzerinde holomorf, bu bölgenin sınırı üzerinde sürekli ise ve f 'nin bu bölge üzerinde sıfırı yoksa, o zaman |f (z)| minimum değerini sınır üzerinde alır.
Uygulamalar
Maksimum ilkesinin karmaşık analizin değişik yerlerinde birçok kullanımı vardır. Mesela, şu durumlarda kullanılabilir:
- Cebirin temel teoremini kanıtlamada (Değişik kaynaklarda bu teoremin bu ilke vasıtasıyla kanıtlandığı görülebilir.),
- Schwarz önsavının kanıtlanmasında (ki bu önsavın karmaşık analizin birçok yerinde uygulaması mevcuttur.),
- kanıtlanmasında (ki bu ilke de bu maddede açıklanan maksimum ilkesinin sınırsız bölgelere genişletilmesidir.).
Kaynakça
- , The Theory of Functions (2. baskı) (1939) Oxford University Press. (5. üniteye bakınız)
- E.D. Solomentsev (2001), "Maximum-modulus principle", Hazewinkel, Michiel (Ed.), Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN
Dış bağlantılar
- Eric W. Weisstein, Maximum Modulus Principle (MathWorld)
wikipedia, wiki, viki, vikipedia, oku, kitap, kütüphane, kütübhane, ara, ara bul, bul, herşey, ne arasanız burada,hikayeler, makale, kitaplar, öğren, wiki, bilgi, tarih, yukle, izle, telefon için, turk, türk, türkçe, turkce, nasıl yapılır, ne demek, nasıl, yapmak, yapılır, indir, ücretsiz, ücretsiz indir, bedava, bedava indir, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, resim, müzik, şarkı, film, film, oyun, oyunlar, mobil, cep telefonu, telefon, android, ios, apple, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, pc, web, computer, bilgisayar
Matematigin bir alt dali olan karmasik analizde maksimum ilkesi veya maksimum modulus prensibi veya en buyuk mutlak deger teoremi holomorf bir f displaystyle f fonksiyonunun tanim kumesi olan bir bolgede fonksiyonun mutlak degeri olan f displaystyle f nin yerel bir maksimuma sahip olamayacagini belirten onemli bir sonuctur cos z nin orijin merkezli birim dairedeki z ler icin mutlak degerinin modulusunun bir gosterimi kirmizi renkte Teoremden de tahmin edilebilecegi gibi fonksiyonun mutlak degerinin en buyuk degerine birim dairenin icinde ulasilamaz baska bir deyisle kirmizi ile gosterilen yuzeydeki en buyuk degere bu yuzeyin kenarinda sinirinda ulasilir Baska bir deyisle f ya sabit bir fonksiyondur ya da f nin tanim kumesi olan bolgede bulunan her z0 icin z0 a keyfi derecede yakin ve f nin z0 da alacagi degerden daha buyuk degerler veren noktalar bulunur Teoremin kesin ifadesiC nin baglantili acik bir alt kumesi olan D bolgesinde tanimli holomorf ve karmasik degerler alan bir f fonksiyonunu alalim Eger z0 kendi etrafindaki belli bir tum z ler icin f z0 f z displaystyle f z 0 geq f z ozelligini saglayan bir nokta ise o zaman f D uzerinde sabittir Teoremin kanitlari ve sonuclariTeoremin degisik kanitlari mevcuttur Teoremin en basit kaniti acik gonderim teoremini varsaymakla gerceklesir Eger fonksiyon sabit degilse ve fonksiyonun mutlak degeri yerel bir maksimuma sahipse o zaman bu yerel maksimum ulasildigi nokta etrafindaki D icinde kalan bir acik komsulukacik gonderim teoremi sayesinde acik bir kumeye gonderilecektir Bu acik kumede ise bariz bir sekilde mutlak degeri f z0 displaystyle f z 0 nun mutlak degerinden daha buyuk noktalar vardir ve bu bir celiskidir Bir diger kanitin genel fikri ise sudur f nin karmasik dogal logaritmasi olan log f z log f z i arg f z esitligini kullanarak ve holomorf fonksiyonlarin gercel ve sanal kisimlarinin harmonik fonksiyon oldugu gercegini gozlemleyerek log f z nin harmonik oldugunu elde ederiz z0 bu fonksiyon icin de yerel bir maksimum olacagi sebebiyle de kullanilarak f z nin sabit oldugu elde edilir O zaman Cauchy Riemann denklemlerini kullanarak f z 0 oldugunu gosteririz ve bu sayede f z nin de sabit oldugu gosterilir Teoremin hemen arkasindan elde edilen bir sonuc ise minimum ilkesidir ve su bu ilke de su sekilde ifade edilir Eger f sinirli bir D bolgesi uzerinde holomorf bu bolgenin siniri uzerinde surekli ise ve f nin bu bolge uzerinde sifiri yoksa o zaman f z minimum degerini sinir uzerinde alir UygulamalarMaksimum ilkesinin karmasik analizin degisik yerlerinde bircok kullanimi vardir Mesela su durumlarda kullanilabilir Cebirin temel teoremini kanitlamada Degisik kaynaklarda bu teoremin bu ilke vasitasiyla kanitlandigi gorulebilir Schwarz onsavinin kanitlanmasinda ki bu onsavin karmasik analizin bircok yerinde uygulamasi mevcuttur kanitlanmasinda ki bu ilke de bu maddede aciklanan maksimum ilkesinin sinirsiz bolgelere genisletilmesidir Kaynakca The Theory of Functions 2 baski 1939 Oxford University Press 5 uniteye bakiniz E D Solomentsev 2001 Maximum modulus principle Hazewinkel Michiel Ed Encyclopaedia of Mathematics Kluwer Academic Publishers ISBN 978 1556080104 Dis baglantilarEric W Weisstein Maximum Modulus Principle MathWorld