Matematikte, diferansiyel denklem, bir ya da birden fazla fonksiyonu ve bunların türevlerini ilişkilendiren denklemdir.Fizik, kimya, mühendislik, biyoloji ve ekonomi alanlarında matematiksel modeller genellikle diferansiyel denklemler kullanılarak ifade edilirler. Bu denklemlerde, fonksiyonlar genellikle fiziksel ya da finansal değerlere, fonksiyon türevleriyse değerlerin değişim hızlarına denk gelir.
Çeşitleri
Diferansiyel denklemler temel olarak iki kola ayrılırlar:
Diferansiyel denklemler bilinmeyenlerin birbirleri ve katsayılarla ilgili konumlarına göre: , Doğrusal olmayan diferansiyel denklemler olarak da gruplanmaktadır. Doğrusal denklemlerin teorisi gelişmiş olmasına rağmen doğrusal olmayan denklemlerin keyfiyet analizi zordur ve bazen mümkün değildir. Bu durumlarda sayısal analiz teknikleri uygulanır.
Kısmi diferansiyel denklemler, katsayıların durumlarına ve zamana ait türevin mevcudiyetine göre
- şeklinde alt gruplara ayrılırlar.
Son iki tip denklem, zamana ait türevin mevcudiyetinden ötürü olarak isimlendirilir.
Modern uygulamaların zorlaması ile ortaya çıkan:
tiplerindeki denklemler yukardakilerden farklı olarak değerlendirilebilirler.
Sabit ortamlarda denklemler verilere göre:
şeklinde sınıflandırılırlar. Sabit olmayan bir ortamda tanımlı denklemlere veya denir.
Birçok denklemden oluşan ilişkilere denklem sistemi adı verilir.
Diferansiyel Denklemlerin Tarihi
Diferansiyel denklemler, Isaac Newton ve Gottfried Leibniz'in Kalkülüs'ü ortaya atması ile başlar. Isaac Newton, 1671 yılında yayınlanan Methodus fluxionum et Serierum Infinitarum isimli kitabının ikinci bölümünde üç tip diferansiyel denklem tanımlamıştır:
Tüm durumlarda , 'in bilinmeyen bir fonksiyonu (ya da ve 'nin) ve verilmiş bir fonksiyondur.
Isaac Newton bu ve diğer örnekleri kitabında Sonsuz seriler yöntemini kullanarak çözer ve çözümlerin yalnız bir tane olup olmadığını sorgular.
Jakob Bernouilli 1695 yılında Bernoulli diferansiyel denklemi'ni ortaya attı ve bu denklem şu formda bir Adi diferansiyel denklemdir:
Sonraki yıllarda Gottfried Leibniz bu denklemin çözümünü, denklemi basitleştirerek bulmuştur.
Isı gövdenin içinde üretilir ve sınırda soğutularak sabit durumlu bir sıcaklık dağılımı sağlanır.
Uygulamalar
Diferansiyel denklemlerin etüdü, soyut ve uygulamalı matematik, fizik ve mühendislikte geniş bir alandır. Bu bilim dallarınının tümü, çeşitli türlerdeki diferansiyel denklemlerin özellikleri ile ilgilidir.
Soyut matematik, çözümlerin varlığına ve benzersizliğine odaklanırken, uygulamalı matematik, çözümlere yaklaşım yöntemlerinin kesin gerekçesini vurgular.
Diferansiyel denklemler, göksel hareketten köprü tasarımına ve nöronlar arasındaki etkileşimlere kadar neredeyse her fiziksel, teknik veya biyolojik sürecin modellenmesinde önemli bir rol oynar.
Gerçek hayat problemlerini çözmek için kullanılanlar gibi diferansiyel denklemler, mutlaka doğrudan çözülebilir olmayabilir, yani kapalı biçimli çözümleri yoktur. Bunun yerine, çözümler sayısal yöntemler kullanılarak yaklaşık olarak bulunabilir.
Fizik ve kimya ile ilgili birçok temel yasa diferansiyel denklemlerle formülleştirilebilir. Biyoloji ve ekonomi'de karmaşık sistemlerin davranışını model için diferansiyel denklemler kullanılır.
Diferansiyel denklemlerin matematiksel teorisi, ilk olarak denklemlerin ortaya çıktığı ve sonuçların uygulama bulduğu bilimlerle birlikte gelişti. Ancak, bazen oldukça farklı bilimsel alanlardan kaynaklanan çeşitli problemler, aynı diferansiyel denklemlere yol açabilir. Bu olduğunda, denklemlerin arkasındaki matematiksel teori, çeşitli doğa olaylarının arkasındaki birleştirici bir ilke olarak görülebilir. Örneğin atmosferdeki ışık ve sesin ve bir havuz yüzeyinde dalgaların yayılmasını düşünün. Hepsi aynı ikinci dereceden kısmi diferansiyel denklem olan dalga denklemi ile tanımlanabilir, bu ise ışık ve sesin dalga şekillerini sudaki bilinen dalgalar gibi düşünmemizi sağlar. Teorisi Joseph Fourier tarafından geliştirilen ısı iletimi, başka bir ikinci dereceden kısmi diferansiyel denklem olan ısı denklemi ile ifade edilir. Görünüşe göre farklı görünen birçok difüzyon işleminin aynı denklemle tanımlandığı ortaya çıkmıştır örn. finanstaki Black–Scholes denklemi, ısı denklemi ile ilişkilidir.
Doğada ve teknolojide çok sayıda doğa olayı, diferansiyel denklemler ve bunlara dayalı matematiksel modeller ile tanımlanabilir. Bazı tipik örnekler şunlardır:
- Birçok fiziksel teori, diferansiyel denklemlere dayanır: Newton mekaniği'nde hareket denklemleri veya salınımlar, yük bileşenlerinin davranışı, elektrodinamik, Maxwell denklemleri, kuantum mekaniği Schrödinger denklemi ile ifade edilir.
- Astronomi'de gök cisimlerinin yörüngeleri ve güneşin içindeki türbülans,
- Biyoloji'de büyüme, akışkanlar veya kaslar veya Evrim teorisindeki süreçler.
- Kimya'da reaksiyonların kinetiği,
- Elektrik mühendisliği'nde elektrik devreleri'nin enerji depolama elemanlarıyla davranışı,
- Diferansiyel geometri'de yüzeylerin davranışı,
- Akışkanlar mekaniği'nde bu akışların davranışı,
- Ekonomi'de ekonomik büyüme süreçlerinin analizi.
- Bilişim'de, resim-restorasyonu (resimlerden yazı veya logoların hesaplanması)
Diferansiyel denklemler alanı matematiğe belirleyici bir ivme kazandırdı. Güncel matematik araştırmalarının birçok bölümü farklı türdeki diferansiyel denklemlerin varlığı, tekliği ve kararlılık teorisi üzerinedir.
Yazılım
Maple: dsolve
Xcas: desolve(y'=k*y,y)
Dış bağlantılar
- MIT Professor Arthur Mattuck's Differential Equations Course Homepage 2 Ocak 2016 tarihinde Wayback Machine sitesinde .: MIT Course Website Kursu ve Türkçe tercümesi 5 Mart 2016 tarihinde Wayback Machine sitesinde ..
Kaynakça
- ^ Dennis G. Zill (15 Mart 2012). A First Course in Differential Equations with Modeling Applications. Cengage Learning. ISBN . 17 Ocak 2020 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 27 Ağustos 2020.
- ^ Newton, Isaac. (c.1671). Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum (The Method of Fluxions and Infinite Series), published in 1736 [Opuscula, 1744, Vol. I. p. 66].
- ^ Bernoulli, Jacob (1695), "Explicationes, Annotationes & Additiones ad ea, quae in Actis sup. de Curva Elastica, Isochrona Paracentrica, & Velaria, hinc inde memorata, & paratim controversa legundur; ubi de Linea mediarum directionum, alliisque novis", Acta Eruditorum
- ^ Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems, Berlin, New York: Springer-Verlag,
- ^ Peterson, Ivars (2002). "Filling in Blanks". Science News. Society for Science &. 161 (19): 299-300. doi:10.2307/4013521. 27 Haziran 2009 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 11 Mayıs 2008.
- ^ . 23 Kasım 2013 tarihinde kaynağından arşivlendi.
- ^ "Symbolic algebra and Mathematics with Xcas" (PDF). 29 Temmuz 2014 tarihinde kaynağından (PDF).
wikipedia, wiki, viki, vikipedia, oku, kitap, kütüphane, kütübhane, ara, ara bul, bul, herşey, ne arasanız burada,hikayeler, makale, kitaplar, öğren, wiki, bilgi, tarih, yukle, izle, telefon için, turk, türk, türkçe, turkce, nasıl yapılır, ne demek, nasıl, yapmak, yapılır, indir, ücretsiz, ücretsiz indir, bedava, bedava indir, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, resim, müzik, şarkı, film, film, oyun, oyunlar, mobil, cep telefonu, telefon, android, ios, apple, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, pc, web, computer, bilgisayar
Matematikte diferansiyel denklem bir ya da birden fazla fonksiyonu ve bunlarin turevlerini iliskilendiren denklemdir Fizik kimya muhendislik biyoloji ve ekonomi alanlarinda matematiksel modeller genellikle diferansiyel denklemler kullanilarak ifade edilirler Bu denklemlerde fonksiyonlar genellikle fiziksel ya da finansal degerlere fonksiyon turevleriyse degerlerin degisim hizlarina denk gelir CesitleriDiferansiyel denklemler temel olarak iki kola ayrilirlar Normal diferansiyel denklemler veya adi diferansiyel denklemler Kismi diferansiyel denklemler Diferansiyel denklemler bilinmeyenlerin birbirleri ve katsayilarla ilgili konumlarina gore Dogrusal olmayan diferansiyel denklemler olarak da gruplanmaktadir Dogrusal denklemlerin teorisi gelismis olmasina ragmen dogrusal olmayan denklemlerin keyfiyet analizi zordur ve bazen mumkun degildir Bu durumlarda sayisal analiz teknikleri uygulanir Kismi diferansiyel denklemler katsayilarin durumlarina ve zamana ait turevin mevcudiyetine gore seklinde alt gruplara ayrilirlar Son iki tip denklem zamana ait turevin mevcudiyetinden oturu olarak isimlendirilir Modern uygulamalarin zorlamasi ile ortaya cikan tiplerindeki denklemler yukardakilerden farkli olarak degerlendirilebilirler Sabit ortamlarda denklemler verilere gore Sinir deger seklinde siniflandirilirlar Sabit olmayan bir ortamda tanimli denklemlere veya denir Bircok denklemden olusan iliskilere denklem sistemi adi verilir Diferansiyel Denklemlerin TarihiDiferansiyel denklemler Isaac Newton ve Gottfried Leibniz in Kalkulus u ortaya atmasi ile baslar Isaac Newton 1671 yilinda yayinlanan Methodus fluxionum et Serierum Infinitarum isimli kitabinin ikinci bolumunde uc tip diferansiyel denklem tanimlamistir dydx f x displaystyle frac dy dx f x dydx f x y displaystyle frac dy dx f x y x1 y x1 x2 y x2 y displaystyle x 1 frac partial y partial x 1 x 2 frac partial y partial x 2 y Tum durumlarda y displaystyle y x displaystyle x in bilinmeyen bir fonksiyonu ya da x1 displaystyle x 1 ve x2 displaystyle x 2 nin ve f displaystyle f verilmis bir fonksiyondur Isaac Newton bu ve diger ornekleri kitabinda Sonsuz seriler yontemini kullanarak cozer ve cozumlerin yalniz bir tane olup olmadigini sorgular Jakob Bernouilli 1695 yilinda Bernoulli diferansiyel denklemi ni ortaya atti ve bu denklem su formda bir Adi diferansiyel denklemdir y P x y Q x yn displaystyle y prime P x y Q x y n Sonraki yillarda Gottfried Leibniz bu denklemin cozumunu denklemi basitlestirerek bulmustur Isi denklemi cozulerek olusturulan bir pompa govdesindeki isi transferinin gorsellestirilmesi Isi govdenin icinde uretilir ve sinirda sogutularak sabit durumlu bir sicaklik dagilimi saglanir UygulamalarDiferansiyel denklemlerin etudu soyut ve uygulamali matematik fizik ve muhendislikte genis bir alandir Bu bilim dallarininin tumu cesitli turlerdeki diferansiyel denklemlerin ozellikleri ile ilgilidir Soyut matematik cozumlerin varligina ve benzersizligine odaklanirken uygulamali matematik cozumlere yaklasim yontemlerinin kesin gerekcesini vurgular Diferansiyel denklemler goksel hareketten kopru tasarimina ve noronlar arasindaki etkilesimlere kadar neredeyse her fiziksel teknik veya biyolojik surecin modellenmesinde onemli bir rol oynar Gercek hayat problemlerini cozmek icin kullanilanlar gibi diferansiyel denklemler mutlaka dogrudan cozulebilir olmayabilir yani kapali bicimli cozumleri yoktur Bunun yerine cozumler sayisal yontemler kullanilarak yaklasik olarak bulunabilir Fizik ve kimya ile ilgili bircok temel yasa diferansiyel denklemlerle formullestirilebilir Biyoloji ve ekonomi de karmasik sistemlerin davranisini model icin diferansiyel denklemler kullanilir Diferansiyel denklemlerin matematiksel teorisi ilk olarak denklemlerin ortaya ciktigi ve sonuclarin uygulama buldugu bilimlerle birlikte gelisti Ancak bazen oldukca farkli bilimsel alanlardan kaynaklanan cesitli problemler ayni diferansiyel denklemlere yol acabilir Bu oldugunda denklemlerin arkasindaki matematiksel teori cesitli doga olaylarinin arkasindaki birlestirici bir ilke olarak gorulebilir Ornegin atmosferdeki isik ve sesin ve bir havuz yuzeyinde dalgalarin yayilmasini dusunun Hepsi ayni ikinci dereceden kismi diferansiyel denklem olan dalga denklemi ile tanimlanabilir bu ise isik ve sesin dalga sekillerini sudaki bilinen dalgalar gibi dusunmemizi saglar Teorisi Joseph Fourier tarafindan gelistirilen isi iletimi baska bir ikinci dereceden kismi diferansiyel denklem olan isi denklemi ile ifade edilir Gorunuse gore farkli gorunen bircok difuzyon isleminin ayni denklemle tanimlandigi ortaya cikmistir orn finanstaki Black Scholes denklemi isi denklemi ile iliskilidir Dogada ve teknolojide cok sayida doga olayi diferansiyel denklemler ve bunlara dayali matematiksel modeller ile tanimlanabilir Bazi tipik ornekler sunlardir Bircok fiziksel teori diferansiyel denklemlere dayanir Newton mekanigi nde hareket denklemleri veya salinimlar yuk bilesenlerinin davranisi elektrodinamik Maxwell denklemleri kuantum mekanigi Schrodinger denklemi ile ifade edilir Astronomi de gok cisimlerinin yorungeleri ve gunesin icindeki turbulans Biyoloji de buyume akiskanlar veya kaslar veya Evrim teorisindeki surecler Kimya da reaksiyonlarin kinetigi Elektrik muhendisligi nde elektrik devreleri nin enerji depolama elemanlariyla davranisi Diferansiyel geometri de yuzeylerin davranisi Akiskanlar mekanigi nde bu akislarin davranisi Ekonomi de ekonomik buyume sureclerinin analizi Bilisim de resim restorasyonu resimlerden yazi veya logolarin hesaplanmasi Diferansiyel denklemler alani matematige belirleyici bir ivme kazandirdi Guncel matematik arastirmalarinin bircok bolumu farkli turdeki diferansiyel denklemlerin varligi tekligi ve kararlilik teorisi uzerinedir YazilimMaple dsolve Xcas desolve y k y y Dis baglantilarVikikitap Vikikitapta bu konu hakkinda daha fazla bilgi var Linear Algebra MIT Professor Arthur Mattuck s Differential Equations Course Homepage 2 Ocak 2016 tarihinde Wayback Machine sitesinde MIT Course Website Kursu ve Turkce tercumesi 5 Mart 2016 tarihinde Wayback Machine sitesinde Kaynakca Dennis G Zill 15 Mart 2012 A First Course in Differential Equations with Modeling Applications Cengage Learning ISBN 1 285 40110 7 17 Ocak 2020 tarihinde kaynagindan Erisim tarihi 27 Agustos 2020 Newton Isaac c 1671 Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum The Method of Fluxions and Infinite Series published in 1736 Opuscula 1744 Vol I p 66 Bernoulli Jacob 1695 Explicationes Annotationes amp Additiones ad ea quae in Actis sup de Curva Elastica Isochrona Paracentrica amp Velaria hinc inde memorata amp paratim controversa legundur ubi de Linea mediarum directionum alliisque novis Acta Eruditorum Hairer Ernst Norsett Syvert Paul Wanner Gerhard 1993 Solving ordinary differential equations I Nonstiff problems Berlin New York Springer Verlag ISBN 978 3 540 56670 0 Peterson Ivars 2002 Filling in Blanks Science News Society for Science amp 38 161 19 299 300 doi 10 2307 4013521 27 Haziran 2009 tarihinde kaynagindan Erisim tarihi 11 Mayis 2008 23 Kasim 2013 tarihinde kaynagindan arsivlendi Symbolic algebra and Mathematics with Xcas PDF 29 Temmuz 2014 tarihinde kaynagindan PDF