Hamilton mekaniği klasik mekaniğin tekrar formüle edilmesiyle geliştirilmiş ve Hamilton olmayan klasik mekanik ile aynı sonuçları öngörmüş bir teoridir. Teoriye daha soyut bir bakış açısı kazandıran Hamilton mekaniği klasik mekaniğe kıyasla farklı bir matematiksel formülasyon kullanmaktadır. Tarihi açıdan önemli bir çalışma olan Hamilton mekaniği ileriki yıllarda istatistiksel mekanik ve kuantum mekaniği konularının da geliştirilmesine önemli katkılarda bulunmuştur.
Hamilton mekaniği ilk olarak William Rowan Hamilton tarafından 1833 yılında, klasik mekanik 'nden itibaren ele alınarak tekrar formüle edilmiştir. Lagranjiyen mekaniği ise klasik mekaniğin önceki önemli formülasyonlarından birisidir ve Joseph Louis Lagrange tarafından 1788 yılında geliştirilmiştir.
Genel bakış
Hamilton mekaniğinde klasik bir sistem r = (q, p) ile ifade edilir. Koordinatdaki her bir bileşen qi, pi sistemin referans noktasını göstermektedir.
Sistemin zaman içindeki değişimi Hamilton denklemi tarafından özgün biçimde aşağıdaki gibi tanımlanmaktadır;
ve denklem içerisindeki (q, p, t) Hamiltonyen'ı ifade etmektedir. Hamiltonyen genelde sistemin toplam enerjisine eşittir ancak bunun geçerli olmadığı durumlar da vardır. Kapalı bir sistemde Hamiltonyen H sistemin kinetik ve potansiyel enerjisinin toplamına eşittir.
Newton mekaniğinde, zamandaki değişim sistem içerisindeki her parçacığa etki eden toplam kuvvet hesaplanarak elde edilir ve Newton'ın ikinci yasası kullanılarak hem hızın hem de pozisyonun zaman içindeki değişimi hesaplanır. Buna karşın Hamilton mekaniğinde zamandaki değişim, sistemin Hamiltonyen'ı genel koordinatlarda hesaplandıktan sonra Hamilton denklemine yerleştirilerek elde edilir. Bu yöntem Lagranjiyen mekaniğinde kullanılan yöntem ile aynıdır. Aşağıda da gösterildi üzere, Hamiltonyen aslında q ve t değerlerinin sabit tutulup p 'yi iki değişkeli bir eleman olarak tanımlayan bir Lagranjiyen Legendre dönüşümüdür. Buna bağlı olarak her iki yaklaşım da aynı genelleştirilmiş momentum değerleri için aynı denklemleri verir. Lagranjiyen mekaniği yerine Hamilton mekaniği kullanılmasının temel nedeni ise Hamiltonyen sistemlerin simplektik (symplectic structure) yapısından kaynaklanmaktadır.
Hamilton mekaniği zıplayan bir top, bir sarkac veya salınım yapan bir yay gibi basit sistemlerin hareketini açıklamak için kullanılabilir. Bu basit sistemlerdeki enerji, kinetik enerji ve potansiyel enerji arasında zamanla değişime uğrayarak birbirine dönüşür. Buna ek olarak Hamilton mekaniğinin gücünün asıl görüldüğü nokta daha karmaşık dinamik sistemlerdir. Gezegenlerin yörünge hareketleri, gök mekaniği gibi alanlar buna birer örnektir. Sistemin hareket eksenlerindeki özgürlük arttıkça, sistemin zamana bağlı değişkelerinin hesaplanması zorlaşır. Çoğu durumda ise bu sistemler kaotik davranışlar gösterir.
Temel fiziksel yorum
Hamilton mekaniğinin en temel yorumlarından birisi, 1 boyutta hareket eden mv kütleli bir cisme uygulanan Hamiltonyen'dır. Hamiltonyen, sistemin toplam enerjisini yani kinetik ve potansiyel enerjisinin toplamını ifade etmektedir. Geleneksel olarak kinetik enerji T ve potansiyel enerji V ile gösterilir. Denklemlerde görünen q pozisyonu ifade eden koordinat iken p ise momentumu ifade etmektedir. Böylece;
T'nin sadece p'ye bağlı bir fonksiyon, V'nin ise sadece q'ya bağlı bir fonksiyon olduğu açıkça görülmektedir.
Bu örnekte, p'nin zamana bağlı türevi Newtonyan kuvvete eşittir. Buda birinci Hamiltonyen denkleminin ifade ettiği gibi kuvvet, potansiyel enerjinin negatif gradyanına eşittir. q'nun zamana bağlı türevi ise hıza eşittir. Buda ikinci Hamiltonyen denkleminin ifade ettiği gibi parçacığın hızı, kinetik enerjinin momentuma bağlı türevine eşittir.
Hamiltonyenin Lagranjiyen kullanılarak hesaplanması
Genel koordinatlar qi ve genel hızlar q̇i ve zaman cinsinden verilen bir Lagranjiyen
Lagranjiyenin genel hızlara göre türevi alınarak momentum hesaplanır:
Önceki ifade de değişkenlerin yerleri değiştirilerek genel hızlar q̇i genel momentum cinsinden tanımlanır.
H'ın genel tanımı olan L'in Legendre dönüşümü kullanılarak Hamiltonyen hesaplanır:
Sonrasında ise hızlar yukarıdaki denklemde yerlerine yazılır.
Hamilton'un denklemlerinin türetilmesi
Hamilton denklemleri; Lagranjiyenin zamana, genel koordinatlara qi ve genel hızlara q̇i göre toplam türevine bakılarak elde edilir.
Genel momentum denklemi ise aşağıdaki gibi tanımlanır;
Bu tanım Lagranjiyenin toplam türevinde yerine yazılırsa elde edilen sonuç;
Denklem aşağıdaki şekilde tekrar yazılabilir;
Ve eşitlik tekrar düzenlenmesiyle birlikte şu hale gelir;
Eşitliğin sol tarafı, öncesinde de yazıldığı üzere Hamiltonyeni ifade etmektedir. Böylece;
Buna ek olarak Hamiltonyen 'in doğrudan zaman göre toplam türevini hesaplamak da mümkündür. Yukarıda, Lagranjiyen 'in üzerinde yapılan hesaplamalara benzer bir işlem uygulandığında sonuç şu şekilde olacaktır;
Dikkatli bakıldığı takdirde yukarıdaki iki bağımsız denklemin sağ taraflarının birbirine eşit olduğu gözlemlenmektedir. Böylece sonuç aşağıdaki şekli almaktadır;
Yukarıda işlenen hesaplamalar "" olarak yapıldığından dolayı denklemin iki tarafına da karşılık gelen terimler aşağıdaki gibi ifade edilir;
"On-shell" Lagranjiyen denklemlerinin getirdiği üzere;
Ve aşağıdaki haliyle tekrar yazıldığında;
Böylece Hamiltonyen denklemleri aşağıdaki sonuçları sağlar;
Lagranjiyen mekaniğinin yeni bir formülasyonu olarak
Hareket denklemleri Larganjiyen mekaniği ile başlayarak genelleştirilmiş koordinat sistemi üzerine kurulmuştur
ve genelleştirilmiş hız ile örtüşmektedir.
Lagranjiyen genel formunda aşağıdaki şekilde yazılır;
alt indisler ise bu türdeki tüm N değişkenleri tanımlar. Hamilton mekaniğinin amacı genelleştirilmiş hız değişkenlerini genelleştirilmiş momentum değişkenleri ile değiştirmektir. Genelleştirilmiş momentum değişkenleri konjuge momentum olarak da bilinmektedir. Böylelikle bazı sistemleri ele alarak incelemek mümkün hale gelmektedir. Quantum mekaniğindeki bazı problemler bunlara örnek olarak sayılabilir ve Hamilton mekaniğinin yardımı olmadan bu sistemler çok daha karmaşık bir hal almaktadır.
Tanımlanan her bir genelleştirilmiş hız için, buna karşılık gelen bir genelleştirilmiş konjuge momentum vardır ve aşağıdaki şekilde ifade edilir;
Kartezyen koordinat sistemlerinde genelleştirilmiş momentum tam olarak lineer (doğrusal) momentuma karşılık gelir. Dairesel (kutupsal) koordinat sisteminde ise açısal hız ile ilişkilendirilen genelleştirilmiş momentum açısal momentuma karşılık gelir. Rastgele bir seçim ile tanımlanan genelleştirilmiş koordinat sistemleri her zaman sezgisel bir konjuge momentum karşılığına sahip olmayabilir.
Bu koordinata bağımlı formülasyonda açıkça görünmeyen bir durum vardır. Aynı simplektik (symplectic) manifoldlardaki farklı genelleştirilmiş koordinatlar, farklı koordinat yamalarından çok da farklı değillerdir (matematiksel formülasyonu aşağıda görünmektedir).
Lagranjiyenin Legendre dönüşümü olan Hamiltonyen şu şekildedir;
Eğer ki genelleştirilmiş koordinatları tanımlayan dönüşüm denklemleri t'den bağımsız ise ve Lagranjiyen 0, 1 veya 2. dereceden homojen bir fonksiyonun ürünlerinin toplamından oluşuyor ise, Hamiltonyen H toplam enerji E = T + V 'ye eşittir.
Hamiltonyen H'in tanımında gösterilen eşitliğin her tarafı bir diferansiyel denklem oluşturmaktadır:
Eşlenik katsayıları ve konjuge momentumun önceki tanımını bu denklemde yerine yazarak Hamilton mekaniğinin hareket denklemleri elde edilir. Bu denklemler aynı zamanda Hamilton mekaniğinin standart (canonical) denklemleri olarak da bilinir:
Hamilton denklemleri 2n tane birinci dereceden diferansiyel denklemden oluşmasına karşın Lagrange denklemleri n tane ikinci dereceden diferansiyel denklemden oluşur. Buna karşın Hamilton denklemleri, hareket denklemlerine açık bir çözüm bulmayı kolaylaştırmaz. Bir takım önemli teorik sonuçlar elde edilebilebilmesi Hamilton denklemlerinin sağladığı bazı avantajlardandır. Bu durum momentum ve koordinatların neredeyse simetrik role sahip bağımsız değişkenler olması ile mümkündür.
Hamilton denklemlerinin Lagrange denklemleri üzerindeki bir diğer avantajı ise simetri bulunan herhangi bir koordinatın çözüm denklemlerinin ihmal edilebilmesidir. Simetri bulunan sistemlerde yani Hamiltonyenin ortaya çıkmadığı koordinatlarda, bu sisteme karşılık gelen momentumlar korunur. Bu sayede problem n koordinatdan (n − 1) koordinata indirgenmiş olur.
Lagrange ve Hamilton yaklaşımları, klasik mekanik teorisinde ve kuantum mekaniğinin formülasyonları için daha derin sonuçların zeminini oluşturmaktadır.
Hamiltonyen sistemlerin geometrisi
Possion parantezi yoluyla quantum mekaniğine genellenmesi
Hamilton denklemleri yukarıda da görüldüğü üzere klasik mekanikte tutarlı bir şekilde sonuç vermektedir ancak kuantum mekaniğinde aynı durum geçerli değildir. Bunun nedeni klasik mekanikte sistem içindeki bir parçacığın konum ve momentum bilgisinin anlık olarak herhangi bir anda kesin olarak bilinebilmesine karşın kuantum mekaniğinde bu durum söz konusu değildir. Buna rağmen denklemler genelleştirilerek klasik mekaniğe uygulandığı gibi kuantum mekaniğine de uygulanabilir. Poisson cebirin p ve q üzerindeki yapısı tekrar oluşturularak Moyal parantezleri cebirine çevirilebilir.
Özellikle, daha genel bir forma sahip Hamilton denklemleri şu şekildedir;
ve denklem içindeki f, p ve q'nun birer fonksiyonu iken ise Hamiltonyendir.
Elektromanyetik alan içerisindeki yüklü parçacık
Elektromanyetik alan içerisinde bulunan yüklü bir parçacığın Hamiltonyeni, Hamilton mekaniğinin iyi bir illüstrasyonudur. Kartezyen koordinatlarda (örneğin qi = xi) relativistik olmayan klasik bir parçacığın elektromanyetik alan içindeki Hamiltonyeni aşağıdaki gibidir (standard birimler kullanıldığı takdirde);
ve denklem içerisindeki e elektrik yükü, φ skaler elektrik potansiyeli, Ai yönlü manyetik vektör potansiyelinin elemanlarıdır. Bu durum minimum etkileşim olarak adlandırılır.
Genelleştirilmiş momentum ise aşağıdaki gibi ifade edilir;
Hızların momentum cinsinden ifade edilmesinin ardından denklem yeniden düzenlenir ve;
Eğer ki momentumun tanımını ve hızın momentum cinsinden tanımını yukarıda bulunan Hamiltonyene eklersek, sonrasında ise sadeleştirme adımlarını yaparsak elde edeceğimiz sonuç;
Bu sonuç kuantum mekaniğinde sıklıkla kullanılmaktadır.
Elektromanyetik alan içerisindeki relativistik yüklü parçacık
Relativistik yüklü bir parçacığın Lagranjiyeni şu şekilde tanımlanmaktadır;
Buna göre parçacığın toplam momentumu aşağıdaki gibidir;
bu denklem kinetik momentum ve potansiyel momentumun toplamı anlamına gelir.
Yukarıdaki denklemi hız için çözdüğümüzde elde edeceğimiz sonuç;
Böylece Hamiltonyen;
Bununla birlikte kuvvet denklemi elde edilebilir (bu denklem aynı zamanda Euler-Lagrange denklemine denktir):
aynı zamanda aşağıdaki eşitlik kolayca türetilebilir;
Buna denk olan bir başka Hamiltonyen tanımı aşağıdaki gibi gösterilebilir. Burada Hamiltonyen relativistik kinetik momentuma bağlı bir foksiyondur p = γmẋ(t),
Bu yöntem ile P'nin deneysel olarak ölçülememesine karşın p deneysel olarak ölçülebilir. Bu hesaplamada Hamiltonyenin (toplam enerji) relativistik enerji (kinetik + durgun kütle) E = γmc2 ve potansiyel enerji V = eφ toplamı olduğu göz önünde bulundurulmalıdır.
ÖNCEKİ BAŞLIK
Lagranjiyen mekaniğinin yeni bir formülasyonu olarak
Hamiltonyen sistemlerin geometrisi
Hamiltonyen bir sistem zaman R üzerinde bulunan lif yumağı E olarak anlaşılabilir. Fiberler Et, t ∈ R burada konum uzaylarıdır. Böylece Lagranjiyen E üzerinde bulunan jet yumağı J'dir. Lagranjiyenin lif benzeri Legendre dönüşümlerinin alınmasıyla, zaman üzerinde çiftle yumak fonksiyonları oluşturulur. Burada t'de bulunan lif kotanjant uzayı T*Et'dir. Doğal simplektik form ile donatılmış ve bu fonksiyon Hamiltonyendir.
ÖNCEKİ BAŞLIK
Possion parantezi yoluyla quantum mekaniğine genellenmesi
Matematiksel kurgu
Simplektik manifold içerisinde herhangi bir düzgün (smooth) gerçel değerli fonksyion Hamiltonyen sistem tanımlamak için kullanılabilir. foksiyonu Hamiltonyen olarak bilinir ve enerji fonksiyonu olarak da kullanılır. Böylece simplektik manifold faz uzayı olarak da adlandırılır. Hamiltonyen, simplektik manifold üzerinde özel bir vektör alanı tanımlar ve bu alan Hamiltonyen vektör alanı olarak adlandırılır.
Özel bir çeşit simplektik vektör alanı olan Hamiltonyen vektör alanı, manifold üzerinde Hamiltonyen akışını oluşturur. Bu durum manifoldun tek parametreli dönüşüm ailesidir. Eğrilerin parametreleri genel olarak zaman olarak adlandırılır. Başka bir deyişle simplektikmorfizmin izotopisi özdeşlik ile başlar. Liouville teorem ile birlikte her bir simplektikmofizm, faz uzayındaki hacim formunu korur. Hamiltonyen akış tarafından oluşturulan simplektikmorfizmin bir araya gelmesi genellikle Hamiltonyen sistemlerin Hamiltonyen mekaniği olarak adlandırılır.
Simplektik yapı Poisson parantezlerini de üretmektedir. Possion parantezleri Lie cebiri yapıları manifoldları üzerindeki fonksiyonların uzaylarını tanımlar. Tanımlanan fonksiyon f ile
Eğer ki ρ gibi bir olasılık dağılımı tanımlarsak, bunun konvektif türevi 0 olarak gösterilir ve
bunun nedeni faz uzayı hızı (ṗi, q̇i)'nın diverjansının sıfır olmasıdır ve olasılık korunmaktadır. Bu durum Liouville teoremi olarak adlandırılır.
Simplektik manifold üzerindeki her bir düzgün (smooth) fonksiyon G, simplektikmorfizmin tek parametreli bir ailesini meydana getirir. Eğer ki {G, H} = 0 durumu sağlanır ise, G korunur ve simplektikmorfizm bir simetri dönüşümüdür.
Bir Hamiltonyen birden fazla korunan nicelik içerebilir Gi. Eğer ki simplektik manifold 2n boyuta sahipse ve sistemde n tane bağımsız fonksiyonumsu olan korunmuş nicelik Gi var ise Hamiltonyen Liouville integral alınabilirdir. Liouville-Arnold teoremi, yerel olarak herhangi bir Liouville integral alınabilir Hamiltonyeninin, bir simplektomorfizm vasıtasıyla, korunan nicelikleri Gi ile yeni bir Hamiltoniyene dönüştürülebileceğini ifade eder. Gi koordinatlarının bu yeni formu aksiyon açısı koordinatları olarak adlandırılır. Dönüştürülen Hamiltonyen sadece Gi'a bağımlıdır. Böylece hareket denklemleri şu basit forma sahip olurlar;
Bu durum bazı F fonksiyonları için tanımlanır. KAM teoremi tarafından yönetilen integre edilebilir sistemlerden küçük sapmalara odaklanan tam bir alan vardır.
Hamiltonyen vektör alanının integral alınabilir olması ile ilgili açık bir soru vardır. Genelde Hamiltonyen sistemler kaotikdir. Ölçüm konsepti, tamamlayıcılık, integral alınabilirlik ve durağan olma durumu yetersiz şekilde tanımlanır. Bu durumda, dinamik sistemlerin incelenmesi öncelikli olarak niteldir, nicel bir bilim değildir.
Riemannian manifoldlar
Önem arz eden özel durumlardan bir tanesi ikinci dereceden (quadratic) oluşan Hamiltonyenlerdir. Bu durumda Hamiltonyen aşağıdaki şekilde yazılabilir;
Denklemde bulunan ⟨, ⟩q, bazen kometrik olarak da adlandırılır ve konfigürasyon uzayı q'ya kotanjant uzayında fiber T∗qQ'da düzgünce değişiklik gösterir. Bu Hamiltonyen tamamen kinetic kısımdan oluşmaktadır.
Riemann manifold veya yarı Riemann manifold göz önünde bulundurulduğunda, Riemann metriğin tanjant ve kotanjant demetleri arasında doğrusal izomorfizme yol açtığı görülür. Bu isomorfizm kullanılarak kometric tanımlanabilir. Koordinatlar içerisinde kometriği tanımlayan matriks, metriği tanımlayan matriksin tersidir. Hamiltonyen için Hamilton-Jacobi denklemlerinin çözümü, manifoldlarda bulunan jeodezik ile aynıdır. Bilhassa, bu durumda gözlenen Hamiltonyen akış, jeodezik akış ile aynıdır. Bu çözümün varlığına ve varlığının oluşturduğu setin tamamlayıcılığına dair detaylı bilgi jeodezik makalesinde daha detaylı anlatılmıştır.
Alt Riemannyen (Sub-Riemannian) manifoldlar
Kometriğin (cometric)'in dejenere olduğu durumlar aynı zamanda tersine çevrilemediği durumlardır. Bu durumlarda Riemann manifoldunu ve dolayısıyla metriği elde etmek olanaksızdır. Buna rağmen Hamiltonyen halen daha hesaplanabilir. Konfigürasyon manifold uzayı Q'nun her bir noktası q'da dejenere halde bulunan kometriğin derecesi, konfigürasyon manifold uzayı Q'nun boyutundan daha azdır ve bu durum Alt Riemannyen manifoldu olarak adlandırılır.
Yine bu durumdaki Hamiltonyen, Alt Riemannyen Hamiltonyen olarak adlandırılır. Her bir Hamiltonyen özgün olarak bir kometrik belirler ve aynı şekilde her bir kometrik özgün bir Hamiltonyen belirler. Buradan şu sonuç çıkarılabilir ki: her bir Alt Riemannyen manifold özgün olarak kendi Alt Riemannyen Hamiltonyeni tarafından belirlenir. Tersi de aynı zamanda geçerlidir: Her bir Alt Riemannyen manifold özgün bir Alt Riemannyen Hamiltonyene sahiptir. Alt Riemanyenn jeodeziklerin varlığı Chow-Rashevskii teoremi tarafından ortaya atılmıştır. Devamlı ve gerçel değerlerden oluşan bir Heisenberg grubu, Alt Riemanyenn manifoldlarına basit bir örnektir. Heisenberg grubu için Hamiltonyenin gösterimi ise aşağıdaki gibidir;
ve pz Hamiltonyene eklenmemiştir.
Poisson cebir
Hamiltonyen sistemler farklı yöntemler ile genelleştirilebilirler. Simplektik manifold üzerinde bulunan düzgün (smooth) bir fonksiyonun cebirine basitçe bakmak yerine, Hamiltonyen mekaniği genel komütatif birimsel gerçek Poisson cebir (general commutative unital real Poisson algebra) üstüne formüle edilebilir. Bir durum Poisson cebirinde devamlı doğrusal (lineer) fonksiyonumsudur. Bu fonksiyonumsu bazı uygun topolojiler ile donatılmıştır ve barındırdığı her element A için A2 pozitif olmayan gerçel sayılar kümesi düşer.
İleri seviyedeki genelleştirmeler Nambu dinamikleri ile tanımlanmıştır.
Kaynakça
- ^ Bu türetme Arnol'd 1989, ss. 65-66'den.
Konuyla ilgili yayınlar
- Landau, Lev Davidovich; (1976). Mechanics. . 1. Sykes, J. B. (John Bradbury), Bell, J. S. (3. bas.). Oxford. ISBN . OCLC 2591126. 16 Haziran 2020 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 16 Ocak 2022.
- ; (1978). Foundations of mechanics (2d ed., rev., enl., and reset bas.). Reading, Mass.: Benjamin/Cummings Pub. Co. ISBN . OCLC 3516353.
- Arnol'd, V. I.; Kozlov, V. V.; Neĩshtadt, A. I. (1988). "Mathematical aspects of classical and celestial mechanics". Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Dynamical Systems III. 3. Anosov, D. V. Berlin: Springer-Verlag. ISBN . OCLC 16404140. 9 Aralık 2022 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 16 Ocak 2022.
- Arnol'd, V. I. (1989), Mathematical methods of classical mechanics (2. bas.), New York: Springer-Verlag, ISBN , OCLC 18681352
- ; Poole, Charles P. Jr.; Safko, John L. (2002). (3. bas.). San Francisco: Addison Wesley. ISBN . OCLC 47056311.
- ; Kupershmidt, B A (31 Ağustos 1977). "The structure of Hamiltonian mechanics". Russian Mathematical Surveys. 32 (4): 177-243. Bibcode:1977RuMaS..32..177V. doi:10.1070/RM1977v032n04ABEH001642. ISSN 0036-0279.
wikipedia, wiki, viki, vikipedia, oku, kitap, kütüphane, kütübhane, ara, ara bul, bul, herşey, ne arasanız burada,hikayeler, makale, kitaplar, öğren, wiki, bilgi, tarih, yukle, izle, telefon için, turk, türk, türkçe, turkce, nasıl yapılır, ne demek, nasıl, yapmak, yapılır, indir, ücretsiz, ücretsiz indir, bedava, bedava indir, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, resim, müzik, şarkı, film, film, oyun, oyunlar, mobil, cep telefonu, telefon, android, ios, apple, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, pc, web, computer, bilgisayar
Hamilton mekanigi klasik mekanigin tekrar formule edilmesiyle gelistirilmis ve Hamilton olmayan klasik mekanik ile ayni sonuclari ongormus bir teoridir Teoriye daha soyut bir bakis acisi kazandiran Hamilton mekanigi klasik mekanige kiyasla farkli bir matematiksel formulasyon kullanmaktadir Tarihi acidan onemli bir calisma olan Hamilton mekanigi ileriki yillarda istatistiksel mekanik ve kuantum mekanigi konularinin da gelistirilmesine onemli katkilarda bulunmustur Hamilton mekanigi ilk olarak William Rowan Hamilton tarafindan 1833 yilinda klasik mekanik nden itibaren ele alinarak tekrar formule edilmistir Lagranjiyen mekanigi ise klasik mekanigin onceki onemli formulasyonlarindan birisidir ve Joseph Louis Lagrange tarafindan 1788 yilinda gelistirilmistir Genel bakisHamilton mekaniginde klasik bir sistem r q p ile ifade edilir Koordinatdaki her bir bilesen qi pi sistemin referans noktasini gostermektedir Sistemin zaman icindeki degisimi Hamilton denklemi tarafindan ozgun bicimde asagidaki gibi tanimlanmaktadir dpdt H q dqdt H p displaystyle frac mathrm d boldsymbol p mathrm d t frac partial mathcal H partial boldsymbol q quad quad frac mathrm d boldsymbol q mathrm d t frac partial mathcal H partial boldsymbol p ve denklem icerisindeki H H displaystyle H H q p t Hamiltonyen i ifade etmektedir Hamiltonyen genelde sistemin toplam enerjisine esittir ancak bunun gecerli olmadigi durumlar da vardir Kapali bir sistemde Hamiltonyen H sistemin kinetik ve potansiyel enerjisinin toplamina esittir Newton mekaniginde zamandaki degisim sistem icerisindeki her parcaciga etki eden toplam kuvvet hesaplanarak elde edilir ve Newton in ikinci yasasi kullanilarak hem hizin hem de pozisyonun zaman icindeki degisimi hesaplanir Buna karsin Hamilton mekaniginde zamandaki degisim sistemin Hamiltonyen i genel koordinatlarda hesaplandiktan sonra Hamilton denklemine yerlestirilerek elde edilir Bu yontem Lagranjiyen mekaniginde kullanilan yontem ile aynidir Asagida da gosterildi uzere Hamiltonyen aslinda q ve t degerlerinin sabit tutulup p yi iki degiskeli bir eleman olarak tanimlayan bir Lagranjiyen Legendre donusumudur Buna bagli olarak her iki yaklasim da ayni genellestirilmis momentum degerleri icin ayni denklemleri verir Lagranjiyen mekanigi yerine Hamilton mekanigi kullanilmasinin temel nedeni ise Hamiltonyen sistemlerin simplektik symplectic structure yapisindan kaynaklanmaktadir Hamilton mekanigi ziplayan bir top bir sarkac veya salinim yapan bir yay gibi basit sistemlerin hareketini aciklamak icin kullanilabilir Bu basit sistemlerdeki enerji kinetik enerji ve potansiyel enerji arasinda zamanla degisime ugrayarak birbirine donusur Buna ek olarak Hamilton mekaniginin gucunun asil goruldugu nokta daha karmasik dinamik sistemlerdir Gezegenlerin yorunge hareketleri gok mekanigi gibi alanlar buna birer ornektir Sistemin hareket eksenlerindeki ozgurluk arttikca sistemin zamana bagli degiskelerinin hesaplanmasi zorlasir Cogu durumda ise bu sistemler kaotik davranislar gosterir Temel fiziksel yorum Hamilton mekaniginin en temel yorumlarindan birisi 1 boyutta hareket eden mv kutleli bir cisme uygulanan Hamiltonyen dir Hamiltonyen sistemin toplam enerjisini yani kinetik ve potansiyel enerjisinin toplamini ifade etmektedir Geleneksel olarak kinetik enerji T ve potansiyel enerji V ile gosterilir Denklemlerde gorunen q pozisyonu ifade eden koordinat iken p ise momentumu ifade etmektedir Boylece H T V T p22m V V q displaystyle mathcal H T V quad quad T frac p 2 2m quad quad V V q T nin sadece p ye bagli bir fonksiyon V nin ise sadece q ya bagli bir fonksiyon oldugu acikca gorulmektedir Bu ornekte p nin zamana bagli turevi Newtonyan kuvvete esittir Buda birinci Hamiltonyen denkleminin ifade ettigi gibi kuvvet potansiyel enerjinin negatif gradyanina esittir q nun zamana bagli turevi ise hiza esittir Buda ikinci Hamiltonyen denkleminin ifade ettigi gibi parcacigin hizi kinetik enerjinin momentuma bagli turevine esittir Hamiltonyenin Lagranjiyen kullanilarak hesaplanmasi Genel koordinatlar qi ve genel hizlar q i ve zaman cinsinden verilen bir Lagranjiyen Lagranjiyenin genel hizlara gore turevi alinarak momentum hesaplanir pi qi q i t L q i displaystyle p i q i dot q i t frac partial mathcal L partial dot q i Onceki ifade de degiskenlerin yerleri degistirilerek genel hizlar q i genel momentum pi displaystyle p i cinsinden tanimlanir H in genel tanimi olan L in Legendre donusumu kullanilarak Hamiltonyen hesaplanir H iq i L q i L iq ipi L displaystyle mathcal H sum i dot q i frac partial mathcal L partial dot q i mathcal L sum i dot q i p i mathcal L Sonrasinda ise hizlar yukaridaki denklemde yerlerine yazilir Hamilton un denklemlerinin turetilmesiHamilton denklemleri Lagranjiyenin zamana genel koordinatlara qi ve genel hizlara q i gore toplam turevine bakilarak elde edilir dL i L qidqi L q idq i L tdt displaystyle mathrm d mathcal L sum i left frac partial mathcal L partial q i mathrm d q i frac partial mathcal L partial dot q i mathrm d dot q i right frac partial mathcal L partial t mathrm d t Genel momentum denklemi ise asagidaki gibi tanimlanir pi L q i displaystyle p i frac partial mathcal L partial dot q i Bu tanim Lagranjiyenin toplam turevinde yerine yazilirsa elde edilen sonuc dL i L qidqi pidq i L tdt displaystyle mathrm d mathcal L sum i left frac partial mathcal L partial q i mathrm d q i p i mathrm d dot q i right frac partial mathcal L partial t mathrm d t Denklem asagidaki sekilde tekrar yazilabilir dL i L qidqi d piq i q idpi L tdt displaystyle mathrm d mathcal L sum i left frac partial mathcal L partial q i mathrm d q i mathrm d left p i dot q i right dot q i mathrm d p i right frac partial mathcal L partial t mathrm d t Ve esitlik tekrar duzenlenmesiyle birlikte su hale gelir d ipiq i L i L qidqi q idpi L tdt displaystyle mathrm d left sum i p i dot q i mathcal L right sum i left frac partial mathcal L partial q i mathrm d q i dot q i mathrm d p i right frac partial mathcal L partial t mathrm d t Esitligin sol tarafi oncesinde de yazildigi uzere Hamiltonyeni ifade etmektedir Boylece dH i L qidqi q idpi L tdt displaystyle mathrm d mathcal H sum i left frac partial mathcal L partial q i mathrm d q i dot q i mathrm d p i right frac partial mathcal L partial t mathrm d t Buna ek olarak Hamiltonyen in dogrudan zaman gore toplam turevini hesaplamak da mumkundur Yukarida Lagranjiyen in uzerinde yapilan hesaplamalara benzer bir islem uygulandiginda sonuc su sekilde olacaktir dH i H qidqi H pidpi H tdt displaystyle mathrm d mathcal H sum i left frac partial mathcal H partial q i mathrm d q i frac partial mathcal H partial p i mathrm d p i right frac partial mathcal H partial t mathrm d t Dikkatli bakildigi takdirde yukaridaki iki bagimsiz denklemin sag taraflarinin birbirine esit oldugu gozlemlenmektedir Boylece sonuc asagidaki sekli almaktadir i L qidqi q idpi L tdt i H qidqi H pidpi H tdt displaystyle sum i left frac partial mathcal L partial q i mathrm d q i dot q i mathrm d p i right frac partial mathcal L partial t mathrm d t sum i left frac partial mathcal H partial q i mathrm d q i frac partial mathcal H partial p i mathrm d p i right frac partial mathcal H partial t mathrm d t Yukarida islenen hesaplamalar olarak yapildigindan dolayi denklemin iki tarafina da karsilik gelen terimler asagidaki gibi ifade edilir H qi L qi H pi q i H t L t displaystyle frac partial mathcal H partial q i frac partial mathcal L partial q i quad quad frac partial mathcal H partial p i dot q i quad quad frac partial mathcal H partial t partial mathcal L over partial t On shell Lagranjiyen denklemlerinin getirdigi uzere ddt L q i L qi 0 displaystyle frac mathrm d mathrm d t frac partial mathcal L partial dot q i frac partial mathcal L partial q i 0 Ve asagidaki haliyle tekrar yazildiginda L qi p i displaystyle frac partial mathcal L partial q i dot p i Boylece Hamiltonyen denklemleri asagidaki sonuclari saglar H qj p j H pj q j H t L t displaystyle frac partial mathcal H partial q j dot p j quad quad frac partial mathcal H partial p j dot q j quad quad frac partial mathcal H partial t partial mathcal L over partial t Lagranjiyen mekaniginin yeni bir formulasyonu olarakHareket denklemleri Larganjiyen mekanigi ile baslayarak genellestirilmis koordinat sistemi uzerine kurulmustur qj j 1 N displaystyle left left q j right j 1 ldots N right ve genellestirilmis hiz ile ortusmektedir q j j 1 N displaystyle left left dot q j right j 1 ldots N right Lagranjiyen genel formunda asagidaki sekilde yazilir L qj q j t displaystyle mathcal L left q j dot q j t right alt indisler ise bu turdeki tum N degiskenleri tanimlar Hamilton mekaniginin amaci genellestirilmis hiz degiskenlerini genellestirilmis momentum degiskenleri ile degistirmektir Genellestirilmis momentum degiskenleri konjuge momentum olarak da bilinmektedir Boylelikle bazi sistemleri ele alarak incelemek mumkun hale gelmektedir Quantum mekanigindeki bazi problemler bunlara ornek olarak sayilabilir ve Hamilton mekaniginin yardimi olmadan bu sistemler cok daha karmasik bir hal almaktadir Tanimlanan her bir genellestirilmis hiz icin buna karsilik gelen bir genellestirilmis konjuge momentum vardir ve asagidaki sekilde ifade edilir pj L q j displaystyle p j frac partial mathcal L partial dot q j Kartezyen koordinat sistemlerinde genellestirilmis momentum tam olarak lineer dogrusal momentuma karsilik gelir Dairesel kutupsal koordinat sisteminde ise acisal hiz ile iliskilendirilen genellestirilmis momentum acisal momentuma karsilik gelir Rastgele bir secim ile tanimlanan genellestirilmis koordinat sistemleri her zaman sezgisel bir konjuge momentum karsiligina sahip olmayabilir Bu koordinata bagimli formulasyonda acikca gorunmeyen bir durum vardir Ayni simplektik symplectic manifoldlardaki farkli genellestirilmis koordinatlar farkli koordinat yamalarindan cok da farkli degillerdir matematiksel formulasyonu asagida gorunmektedir Lagranjiyenin Legendre donusumu olan Hamiltonyen su sekildedir H qj pj t iq ipi L qj q j t displaystyle mathcal H left q j p j t right left sum i dot q i p i right mathcal L left q j dot q j t right Eger ki genellestirilmis koordinatlari tanimlayan donusum denklemleri t den bagimsiz ise ve Lagranjiyen 0 1 veya 2 dereceden homojen bir fonksiyonun urunlerinin toplamindan olusuyor ise Hamiltonyen H toplam enerji E T V ye esittir Hamiltonyen H in taniminda gosterilen esitligin her tarafi bir diferansiyel denklem olusturmaktadir dH i H qi dqi H pi dpi H t dt i q idpi pidq i L qi dqi L q i dq i L t dt displaystyle begin aligned mathrm d mathcal H amp sum i left left partial mathcal H over partial q i right mathrm d q i left partial mathcal H over partial p i right mathrm d p i right left partial mathcal H over partial t right mathrm d t qquad qquad quad quad amp sum i left dot q i mathrm d p i p i mathrm d dot q i left partial mathcal L over partial q i right mathrm d q i left partial mathcal L over partial dot q i right mathrm d dot q i right left partial mathcal L over partial t right mathrm d t end aligned Eslenik katsayilari ve konjuge momentumun onceki tanimini bu denklemde yerine yazarak Hamilton mekaniginin hareket denklemleri elde edilir Bu denklemler ayni zamanda Hamilton mekaniginin standart canonical denklemleri olarak da bilinir H qj p j H pj q j H t L t displaystyle frac partial mathcal H partial q j dot p j quad quad frac partial mathcal H partial p j dot q j quad quad frac partial mathcal H partial t frac partial mathcal L partial t Hamilton denklemleri 2n tane birinci dereceden diferansiyel denklemden olusmasina karsin Lagrange denklemleri n tane ikinci dereceden diferansiyel denklemden olusur Buna karsin Hamilton denklemleri hareket denklemlerine acik bir cozum bulmayi kolaylastirmaz Bir takim onemli teorik sonuclar elde edilebilebilmesi Hamilton denklemlerinin sagladigi bazi avantajlardandir Bu durum momentum ve koordinatlarin neredeyse simetrik role sahip bagimsiz degiskenler olmasi ile mumkundur Hamilton denklemlerinin Lagrange denklemleri uzerindeki bir diger avantaji ise simetri bulunan herhangi bir koordinatin cozum denklemlerinin ihmal edilebilmesidir Simetri bulunan sistemlerde yani Hamiltonyenin ortaya cikmadigi koordinatlarda bu sisteme karsilik gelen momentumlar korunur Bu sayede problem n koordinatdan n 1 koordinata indirgenmis olur Lagrange ve Hamilton yaklasimlari klasik mekanik teorisinde ve kuantum mekaniginin formulasyonlari icin daha derin sonuclarin zeminini olusturmaktadir Hamiltonyen sistemlerin geometrisi section Possion parantezi yoluyla quantum mekanigine genellenmesiHamilton denklemleri yukarida da goruldugu uzere klasik mekanikte tutarli bir sekilde sonuc vermektedir ancak kuantum mekaniginde ayni durum gecerli degildir Bunun nedeni klasik mekanikte sistem icindeki bir parcacigin konum ve momentum bilgisinin anlik olarak herhangi bir anda kesin olarak bilinebilmesine karsin kuantum mekaniginde bu durum soz konusu degildir Buna ragmen denklemler genellestirilerek klasik mekanige uygulandigi gibi kuantum mekanigine de uygulanabilir Poisson cebirin p ve q uzerindeki yapisi tekrar olusturularak Moyal parantezleri cebirine cevirilebilir Ozellikle daha genel bir forma sahip Hamilton denklemleri su sekildedir dfdt f H f t displaystyle frac mathrm d f mathrm d t left f mathcal H right frac partial f partial t ve denklem icindeki f p ve q nun birer fonksiyonu iken ise Hamiltonyendir section Elektromanyetik alan icerisindeki yuklu parcacikElektromanyetik alan icerisinde bulunan yuklu bir parcacigin Hamiltonyeni Hamilton mekaniginin iyi bir illustrasyonudur Kartezyen koordinatlarda ornegin qi xi relativistik olmayan klasik bir parcacigin elektromanyetik alan icindeki Hamiltonyeni asagidaki gibidir standard birimler kullanildigi takdirde L i12mx i2 iex iAi ef displaystyle mathcal L sum i tfrac 1 2 m dot x i 2 sum i e dot x i A i e varphi ve denklem icerisindeki e elektrik yuku f skaler elektrik potansiyeli Ai yonlu manyetik vektor potansiyelinin elemanlaridir Bu durum minimum etkilesim olarak adlandirilir Genellestirilmis momentum ise asagidaki gibi ifade edilir pi L x i mx i eAi displaystyle p i frac partial mathcal L partial dot x i m dot x i eA i Hizlarin momentum cinsinden ifade edilmesinin ardindan denklem yeniden duzenlenir ve x i pi eAim displaystyle dot x i frac p i eA i m Eger ki momentumun tanimini ve hizin momentum cinsinden tanimini yukarida bulunan Hamiltonyene eklersek sonrasinda ise sadelestirme adimlarini yaparsak elde edecegimiz sonuc H ix ipi L i pi eAi 22m ef displaystyle mathcal H left sum i dot x i p i right mathcal L sum i frac left p i eA i right 2 2m e varphi Bu sonuc kuantum mekaniginde siklikla kullanilmaktadir Elektromanyetik alan icerisindeki relativistik yuklu parcacikRelativistik yuklu bir parcacigin Lagranjiyeni su sekilde tanimlanmaktadir L t mc21 x t 2c2 ef x t t ex t A x t t displaystyle mathcal L t mc 2 sqrt 1 frac dot mathbf x t 2 c 2 e varphi left mathbf x t t right e dot mathbf x t cdot mathbf A left mathbf x t t right Buna gore parcacigin toplam momentumu asagidaki gibidir P t L t x t mx t 1 x t 2c2 eA x t t displaystyle mathbf P t frac partial mathcal L t partial dot mathbf x t frac m dot mathbf x t sqrt 1 frac dot mathbf x t 2 c 2 e mathbf A left mathbf x t t right bu denklem kinetik momentum ve potansiyel momentumun toplami anlamina gelir Yukaridaki denklemi hiz icin cozdugumuzde elde edecegimiz sonuc x t P t eA x t t m2 1c2 P t eA x t t 2 displaystyle dot mathbf x t frac mathbf P t e mathbf A mathbf x t t sqrt m 2 frac 1 c 2 left mathbf P t e mathbf A left mathbf x t t right right 2 Boylece Hamiltonyen H t x t P t L t cm2c2 P t eA x t t 2 ef x t t displaystyle mathcal H t dot mathbf x t cdot mathbf P t mathcal L t c sqrt m 2 c 2 left mathbf P t e mathbf A mathbf x t t right 2 e varphi mathbf x t t Bununla birlikte kuvvet denklemi elde edilebilir bu denklem ayni zamanda Euler Lagrange denklemine denktir P H x e A x e f displaystyle dot mathbf P frac partial mathcal H partial mathbf x e boldsymbol nabla mathbf A cdot dot mathbf x e boldsymbol nabla varphi ayni zamanda asagidaki esitlik kolayca turetilebilir ddt mx 1 x 2c2 eE ex B displaystyle frac mathrm d mathrm d t left frac m dot mathbf x sqrt 1 frac dot mathbf x 2 c 2 right e mathbf E e dot mathbf x times mathbf B Buna denk olan bir baska Hamiltonyen tanimi asagidaki gibi gosterilebilir Burada Hamiltonyen relativistik kinetik momentuma bagli bir foksiyondur p gmẋ t H t x t p t mc2g ef x t t gmc2 ef x t t E V displaystyle mathcal H t dot mathbf x t cdot mathbf p t frac mc 2 gamma e varphi mathbf x t t gamma mc 2 e varphi mathbf x t t E V Bu yontem ile P nin deneysel olarak olculememesine karsin p deneysel olarak olculebilir Bu hesaplamada Hamiltonyenin toplam enerji relativistik enerji kinetik durgun kutle E gmc2 ve potansiyel enerji V ef toplami oldugu goz onunde bulundurulmalidir ONCEKI BASLIKLagranjiyen mekaniginin yeni bir formulasyonu olarak section Hamiltonyen sistemlerin geometrisiHamiltonyen bir sistem zaman R uzerinde bulunan lif yumagi E olarak anlasilabilir Fiberler Et t R burada konum uzaylaridir Boylece Lagranjiyen E uzerinde bulunan jet yumagi J dir Lagranjiyenin lif benzeri Legendre donusumlerinin alinmasiyla zaman uzerinde ciftle yumak fonksiyonlari olusturulur Burada t de bulunan lif kotanjant uzayi T Et dir Dogal simplektik form ile donatilmis ve bu fonksiyon Hamiltonyendir ONCEKI BASLIK section Possion parantezi yoluyla quantum mekanigine genellenmesi section Matematiksel kurguSimplektik manifold icerisinde herhangi bir duzgun smooth gercel degerli fonksyion Hamiltonyen sistem tanimlamak icin kullanilabilir foksiyonu Hamiltonyen olarak bilinir ve enerji fonksiyonu olarak da kullanilir Boylece simplektik manifold faz uzayi olarak da adlandirilir Hamiltonyen simplektik manifold uzerinde ozel bir vektor alani tanimlar ve bu alan Hamiltonyen vektor alani olarak adlandirilir Ozel bir cesit simplektik vektor alani olan Hamiltonyen vektor alani manifold uzerinde Hamiltonyen akisini olusturur Bu durum manifoldun tek parametreli donusum ailesidir Egrilerin parametreleri genel olarak zaman olarak adlandirilir Baska bir deyisle simplektikmorfizmin izotopisi ozdeslik ile baslar Liouville teorem ile birlikte her bir simplektikmofizm faz uzayindaki hacim formunu korur Hamiltonyen akis tarafindan olusturulan simplektikmorfizmin bir araya gelmesi genellikle Hamiltonyen sistemlerin Hamiltonyen mekanigi olarak adlandirilir Simplektik yapi Poisson parantezlerini de uretmektedir Possion parantezleri Lie cebiri yapilari manifoldlari uzerindeki fonksiyonlarin uzaylarini tanimlar Tanimlanan fonksiyon f ile ddtf tf f H displaystyle frac mathrm d mathrm d t f frac partial partial t f left f mathcal H right Eger ki r gibi bir olasilik dagilimi tanimlarsak bunun konvektif turevi 0 olarak gosterilir ve tr r H displaystyle frac partial partial t rho left rho mathcal H right bunun nedeni faz uzayi hizi ṗi q i nin diverjansinin sifir olmasidir ve olasilik korunmaktadir Bu durum Liouville teoremi olarak adlandirilir Simplektik manifold uzerindeki her bir duzgun smooth fonksiyon G simplektikmorfizmin tek parametreli bir ailesini meydana getirir Eger ki G H 0 durumu saglanir ise G korunur ve simplektikmorfizm bir simetri donusumudur Bir Hamiltonyen birden fazla korunan nicelik icerebilir Gi Eger ki simplektik manifold 2n boyuta sahipse ve sistemde n tane bagimsiz fonksiyonumsu olan korunmus nicelik Gi var ise Hamiltonyen Liouville integral alinabilirdir Liouville Arnold teoremi yerel olarak herhangi bir Liouville integral alinabilir Hamiltonyeninin bir simplektomorfizm vasitasiyla korunan nicelikleri Gi ile yeni bir Hamiltoniyene donusturulebilecegini ifade eder Gi koordinatlarinin bu yeni formu aksiyon acisi koordinatlari olarak adlandirilir Donusturulen Hamiltonyen sadece Gi a bagimlidir Boylece hareket denklemleri su basit forma sahip olurlar G i 0 f i F G displaystyle dot G i 0 quad quad dot varphi i F G Bu durum bazi F fonksiyonlari icin tanimlanir KAM teoremi tarafindan yonetilen integre edilebilir sistemlerden kucuk sapmalara odaklanan tam bir alan vardir Hamiltonyen vektor alaninin integral alinabilir olmasi ile ilgili acik bir soru vardir Genelde Hamiltonyen sistemler kaotikdir Olcum konsepti tamamlayicilik integral alinabilirlik ve duragan olma durumu yetersiz sekilde tanimlanir Bu durumda dinamik sistemlerin incelenmesi oncelikli olarak niteldir nicel bir bilim degildir Riemannian manifoldlarOnem arz eden ozel durumlardan bir tanesi ikinci dereceden quadratic olusan Hamiltonyenlerdir Bu durumda Hamiltonyen asagidaki sekilde yazilabilir H q p 12 p p q displaystyle mathcal H q p tfrac 1 2 langle p p rangle q Denklemde bulunan q bazen kometrik olarak da adlandirilir ve konfigurasyon uzayi q ya kotanjant uzayinda fiber T q Q da duzgunce degisiklik gosterir Bu Hamiltonyen tamamen kinetic kisimdan olusmaktadir Riemann manifold veya yari Riemann manifold goz onunde bulunduruldugunda Riemann metrigin tanjant ve kotanjant demetleri arasinda dogrusal izomorfizme yol actigi gorulur Bu isomorfizm kullanilarak kometric tanimlanabilir Koordinatlar icerisinde kometrigi tanimlayan matriks metrigi tanimlayan matriksin tersidir Hamiltonyen icin Hamilton Jacobi denklemlerinin cozumu manifoldlarda bulunan jeodezik ile aynidir Bilhassa bu durumda gozlenen Hamiltonyen akis jeodezik akis ile aynidir Bu cozumun varligina ve varliginin olusturdugu setin tamamlayiciligina dair detayli bilgi jeodezik makalesinde daha detayli anlatilmistir Alt Riemannyen Sub Riemannian manifoldlarKometrigin cometric in dejenere oldugu durumlar ayni zamanda tersine cevrilemedigi durumlardir Bu durumlarda Riemann manifoldunu ve dolayisiyla metrigi elde etmek olanaksizdir Buna ragmen Hamiltonyen halen daha hesaplanabilir Konfigurasyon manifold uzayi Q nun her bir noktasi q da dejenere halde bulunan kometrigin derecesi konfigurasyon manifold uzayi Q nun boyutundan daha azdir ve bu durum Alt Riemannyen manifoldu olarak adlandirilir Yine bu durumdaki Hamiltonyen Alt Riemannyen Hamiltonyen olarak adlandirilir Her bir Hamiltonyen ozgun olarak bir kometrik belirler ve ayni sekilde her bir kometrik ozgun bir Hamiltonyen belirler Buradan su sonuc cikarilabilir ki her bir Alt Riemannyen manifold ozgun olarak kendi Alt Riemannyen Hamiltonyeni tarafindan belirlenir Tersi de ayni zamanda gecerlidir Her bir Alt Riemannyen manifold ozgun bir Alt Riemannyen Hamiltonyene sahiptir Alt Riemanyenn jeodeziklerin varligi Chow Rashevskii teoremi tarafindan ortaya atilmistir Devamli ve gercel degerlerden olusan bir Heisenberg grubu Alt Riemanyenn manifoldlarina basit bir ornektir Heisenberg grubu icin Hamiltonyenin gosterimi ise asagidaki gibidir H x y z px py pz 12 px2 py2 displaystyle mathcal H left x y z p x p y p z right tfrac 1 2 left p x 2 p y 2 right ve pz Hamiltonyene eklenmemistir Poisson cebirHamiltonyen sistemler farkli yontemler ile genellestirilebilirler Simplektik manifold uzerinde bulunan duzgun smooth bir fonksiyonun cebirine basitce bakmak yerine Hamiltonyen mekanigi genel komutatif birimsel gercek Poisson cebir general commutative unital real Poisson algebra ustune formule edilebilir Bir durum Poisson cebirinde devamli dogrusal lineer fonksiyonumsudur Bu fonksiyonumsu bazi uygun topolojiler ile donatilmistir ve barindirdigi her element A icin A2 pozitif olmayan gercel sayilar kumesi duser Ileri seviyedeki genellestirmeler Nambu dinamikleri ile tanimlanmistir Kaynakca Bu turetme Arnol d 1989 ss 65 66 den Konuyla ilgili yayinlarLandau Lev Davidovich 1976 Mechanics 1 Sykes J B John Bradbury Bell J S 3 bas Oxford ISBN 0 08 021022 8 OCLC 2591126 16 Haziran 2020 tarihinde kaynagindan Erisim tarihi 16 Ocak 2022 1978 Foundations of mechanics 2d ed rev enl and reset bas Reading Mass Benjamin Cummings Pub Co ISBN 0 8053 0102 X OCLC 3516353 Arnol d V I Kozlov V V Neĩshtadt A I 1988 Mathematical aspects of classical and celestial mechanics Encyclopaedia of Mathematical Sciences Dynamical Systems III 3 Anosov D V Berlin Springer Verlag ISBN 0 387 17002 2 OCLC 16404140 9 Aralik 2022 tarihinde kaynagindan Erisim tarihi 16 Ocak 2022 Arnol d V I 1989 Mathematical methods of classical mechanics 2 bas New York Springer Verlag ISBN 0 387 96890 3 OCLC 18681352 Poole Charles P Jr Safko John L 2002 3 bas San Francisco Addison Wesley ISBN 0 201 31611 0 OCLC 47056311 Kupershmidt B A 31 Agustos 1977 The structure of Hamiltonian mechanics Russian Mathematical Surveys 32 4 177 243 Bibcode 1977RuMaS 32 177V doi 10 1070 RM1977v032n04ABEH001642 ISSN 0036 0279