Altmışlık sayı sistemi

Altmış tabanı olarak da bilinen altmışlı,altmışlık sistem veya altmışlık düzen, taban olarak altmış olan bir sayı sistemidir. MÖ 3. binyılda eski Sümerlerde ortaya çıktı, eski Babillilere aktarıldı ve günümüzde hala zamanı, açıları ve coğrafi koordinatları ölçmek için geçmişten bir miras olarak değiştirilmiş bir biçimde kullanılmaktadır.

Bir olan 60 sayısı on iki çarpana sahiptir: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 ve 60, bunlardan 2, 3 ve 5 asal sayılardır. Bu kadar çok çarpanla, altmışlık sayıları içeren birçok kesir basitleştirilmiştir. Örneğin, bir saat eşit olarak 30 dakika, 20 dakika, 15 dakika, 12 dakika, 10 dakika, 6 dakika, 5 dakika, 4 dakika, 3 dakika, 2 dakika ve 1 dakikalık bölümlere bölünebilir. 60, 1'den 6'ya kadar her sayıya bölünebilen en küçük sayıdır; yani, 1, 2, 3, 4, 5 ve 6'nın en küçük ortak katı (EKOK)'dır.

Bu makalede, altmış tabanındaki rakamların tümü, aksi belirtilmediği sürece ondalık sayılarla temsil edilmektedir. Örneğin, 10, on sayısı ve 60, altmış sayısı anlamına gelir.

Kökeni

İnsanların yalnızca bir ellerini kullanarak 12'ye kadar saymaları mümkündür, başparmak sırayla her bir parmak kemiğini işaret eder. Asya'nın birçok bölgesinde hala kullanımda olan geleneksel bir sayma sistemi bu şekilde çalışır ve 10, 20 ve 5'e dayalı olanların yanı sıra 12 ve 60'a dayanan sayı sistemlerinin oluşumunu açıklamaya yardımcı olabilir. Bu sistemde, bir el tekrar tekrar 12'ye kadar sayar, diğerinde yineleme sayısını gösterir, beş düzine, yani 60'a ulaşana kadar.

'e göre, altmış tabanının kökenleri, genellikle tasvir edildiği kadar basit, tutarlı veya zaman açısından tekil değildir. Bugün zaman, açılar ve astronomik koordinat sistemleri gibi özel konular için devam eden yüzyıllar süren kullanımları boyunca, altmışlık tabanda gösterimler, örneğin altmışlık sayıların nasıl yazıldığı gibi, her zaman güçlü bir ondalık notasyonu içermiştir. Bunların kullanımı, her zaman tek bir metinde bile sayıları temsil edecek çeşitli tabanların nerede ve nasıl temsil ettiği konusundaki tutarsızlıkları içermiştir (ve içermeye devam etmektedir).

Erken Proto-çivi yazısı (MÖ 4. binyıl) ve alt-küçük sistem için çivi yazısı işaretleri (60, 600, 3600, vb.)

Altmışlık tabanın titiz ve tamamen kendi kendine tutarlı kullanımı için en güçlü itici güç, her zaman kesirleri yazmak ve hesaplamak için kullanılabilen matematiksel avantajları olmuştur. Eski metinlerde bu, altmışlık tabanın matematiksel veri tablolarında en düzgün ve tutarlı bir şekilde kullanıldığı gerçeğinde ortaya çıkar. Geçmişte altmışlık tabanın kullanımını matematiksel tablolardan daha az tutarlı olsa da genişletmeye yardımcı olan bir başka pratik etken, tüccarlara ve alıcılara, daha büyük miktarlarda mal için pazarlık yapmak ve bunları bölmek söz konusu olduğunda günlük finansal işlemleri kolaylaştırmak için sağladığı avantajlardı. Erken shekel özelde bir mana’nın altmışta biriydi, daha sonra Yunanlar bu ilişkiyi bir mina'nın ellide biri olan bir şekeli de 10 tabanına uyumlu oranda olmak zorunda bıraktılar.

Matematiksel tablolardan ayrı olarak, çoğu metinde sayıların temsil edilme şeklindeki tutarsızlıklar, sayısal büyüklükleri temsil etmek için kullanılan en temel çivi yazısı sembollerine kadar uzanmaktadır. Örneğin, 1 için çivi yazısı sembolü, kamıştan yapılmış kalemin yuvarlak ucunun kile belirli bir açıyla uygulanmasıyla yapılmış bir elips iken, 60'ın altmış tabanında sembolü daha büyük bir oval veya "büyük 1" idi. Ancak bu sembollerin kullanıldığı aynı metinlerde 10 rakamı kalemin yuvarlak ucunun kile dik olarak uygulanmasıyla yapılmış bir daire olarak temsil edilmiş ve 100'ü temsil etmek için daha büyük bir daire veya "büyük 10" kullanılmıştır. Bu tür çok tabanlı sayısal miktar sembolleri, tek bir sayı içinde bile birbirleriyle ve kısaltmalarla karıştırılabilir. Belirtilen ayrıntılar ve hatta büyüklükler (sıfır tutarlı bir şekilde kullanılmadığından) belirli zaman dönemleri, kültürler ve temsil edilen miktarlar veya kavramlar için deyimseldi yani dilin özelliklerini taşıyordu. Sayısal büyüklüklerin bu tür bağlama bağlı temsillerinin geriye dönüp bakıldığında eleştirilmesi kolay olsa da, modern zamanlarda hala düzinelerce düzenli olarak kullanılan konuya bağlı taban karma örneğine sahibiz, bunlara ondalık kesirlerin altmış-tabanında astronomik koordinatlara eklenmesiyle ilgili son yenilikler de dahildir.

Kullanımı

Babil matematiği

Eski Mezopotamya'da kullanıldığı şekliyle altmışlık sistem, basamakları için 60 farklı sembol kullanmadığı için saf bir taban 60 sistemi değildi. Bunun yerine, çivi yazısı rakamları, bir tarzında bir alt taban olarak on'u kullandı: Altmışlık düzende basamaklar, dokuza kadar birimleri temsil eden bir grup dar, kama şeklindeki işaretten (, , , , ..., ) ve beş onluğa kadar temsil edilen geniş, kama şeklindeki işaretler grubundan (, , , , ) oluşuyordu. Bu işaretlerle yazılan rakamın değeri, bileşen parçalarının değerlerinin toplamıydı:

59'dan büyük sayılar, basamak değeri gösteriminde bu formun birden çok sembol bloğuyla gösterildi. Sıfır için sembol olmadığından, bir sayının nasıl yorumlanması gerektiği her zaman hemen açık değildir ve gerçek değeri bazen bağlamına göre belirlenmiş olmalıdır. Örneğin, 1 ve 60 için semboller aynıdır. Daha sonra Babil metinlerinde sıfırı temsil etmek için bir yer tutucu () kullanıldı, ancak 13200 gibi sayılarda yaptığımız gibi sayının sağ tarafında değil, yalnızca yazılan sayının orta konumlarındaki rakam eksikliklerini gidermek için.

Diğer tarihsel kullanımlar

Çin takviminde, günlerin veya yılların on kök dizisinde ve 12 daldan oluşan başka bir dizide konumlarla adlandırıldığı bir altmışlık döngü yaygın olarak kullanılır. Aynı gövde ve dal, bu döngü boyunca her 60 adımda bir tekrar eder.

Platon Devlet’inin VIII. Kitabı, 60⁴ = 12960000 ve onun bölenleri üzerine odaklanan bir evlilik alegorisini içerir. Bu sayı, özellikle basit altmışlık temsili 1,0,0,0,0'a sahiptir. Daha sonraki bilim adamları, bu pasajı açıklamak için hem Babil matematiğini hem de müzik teorisini kullandılar.

Batlamyus'un Almagest adlı eseri, MS 2. yüzyılda matematiksel astronomi üzerine yazılmış bir inceleme, sayıların kesirli kısımlarını ifade etmek için 60 tabanını kullanır. Özellikle, bir milenyumdan (bin yıldan) fazla bir süredir esasen tek kapsamlı olan , bir derecenin 60 tabanına göre kesirli kısımlarına sahiptir.

Ortaçağ gökbilimcileri, zamanı not etmek için altmış tabanına göre sayıları da kullandılar. El-Birûni, 1000'de Yahudi aylarını tartışırken, ilk olarak saati 60 tabanına benzer şekilde dakikalara, saniyelere, üçüncülere ve dördüncülere ayırdı. 1235 civarında Sacroboscolu John bu geleneği sürdürdü, ancak Nothaft bunu yapan ilk kişinin Sacrobosco olduğunu düşündü. Paris versiyonu (yaklaşık 1320) günü temel zaman birimi olarak kullandı ve bir günün katlarını ve bölümlerini 60 tabana kaydederek gösterdi.

Altmışlık sayı sistemi, 1671'e kadar Avrupalı gökbilimciler tarafından hesaplamalar yapmak için sıklıkla kullanılmaya devam etti. Örneğin, ’'deki Jost Bürgi (1592'de İmparator II. Rudolf'a sunulmuştur), Fundamentum Astronomicum’daki meslektaşı Ursus ve muhtemelen , sinüsleri hesaplamak için 16. yüzyılın sonlarında seksagesimal (altmışlık) sisteme dayalı çarpım tablolarını kullandı.

On sekizinci yüzyılın sonlarında ve on dokuzuncu yüzyılın başlarında Tamilli gök bilimcilerin, Helenistik gök bilimciler tarafından geliştirilen ondalık ve altmışlık gösterimlerin bir karışımını kullanıp kabuklarla hesaplamalar yaparak astronomik hesaplamalar yaptıkları bulundu.

Taban-60 sayı sistemleri, Sümerlerle ilgisi olmayan diğer bazı kültürlerde, örneğin Batı Yeni Gine'deki tarafından da kullanılmıştır.

Modern kullanım

Altmışlık sistemin modern kullanımları arasında açıları ölçme, coğrafi koordinatlar, elektronik seyrüsefer ve zaman yer alır.

Bir saat 60 dakikaya, bir dakika 60 saniyeye bölünür. Bu nedenle, 3:23:17 (3 saat, 23 dakika ve 17 saniye) gibi bir zaman ölçümü, tam altmışlık bir sayı (altmışlık taban noktası yok) olarak yorumlanabilir, yani 3 × 60² + 23 × 60¹ + 17 × 60⁰ saniye. Ancak, bu sayıdaki üç altmışlık basamağın her biri (3, 23 ve 17) ondalık sistem kullanılarak yazılmıştır.

Benzer şekilde, pratik açısal ölçü birimi, bir daire içinde 360 (altı altmışlık) olan derecedir. Bir derecede 60 ve dakikada 60 vardır.

YAML

veri depolama formatının 1.1 sürümünde, altmışlık sayılar düz skaler için desteklenir ve hem tam sayılar hem de kayan nokta (float) sayıları resmi olarak destekler. Bu, karışıklığa yol açmıştır, çünkü örneğin, bazı MAC adresleri altmışlık olarak algılanacak ve tam sayılar olarak yüklenecektir, diğerleri ise bu şekilde yüklenemeyecek ve dizge olarak yüklenecektir. YAML 1.2'de seksagesimale yönelik destek kaldırıldı.

Gösterimler

Batlamyus'un yazıları gibi astronomik metinlerinde, altmışlık sayılar Yunan alfabetik rakamları kullanılarak yazılırdı ve her altmışlık rakam ayrı bir sayı olarak değerlendirilirdi. Helenistik gök bilimciler sıfır için yeni bir sembol, —°, benimsedi; bu, yüzyıllar boyunca normalde 70 anlamına gelen Yunanca omikron (sembolü: ο) harfi de dahil olmak üzere diğer biçimlere dönüştü, buna ancak herhangi bir pozisyonda maksimum değerin 59 olduğu altmışlık sistemde izin verilebilir. Yunanlar altmışlık sayıları bir sayının kesirli kısmıyla sınırladılar.

Orta Çağ Latince metinlerinde, altmışlık sayılar Arap rakamları kullanılarak yazılırdı; farklı kesir seviyeleri minuta (yani fraksiyon), minuta secunda, minuta tertia, vb. olarak belirtildi. On yedinci yüzyıla gelindiğinde, altmışlık sayıların tam sayı kısmını bir üst simge ile ve çeşitli kesirli bölümleri bir veya daha fazla vurgu işareti ile göstermek yaygın hale geldi. , Mathesis universalis’inde bu gösterimi 60'ın yüksek katlarını içerecek şekilde genelleştirdi; örnek olarak 49‵‵‵‵36‵‵‵25‵‵15‵1°15′2″36‴49⁗ ; soldaki sayılar 60'ın daha yüksek üsleriyle çarpıldığında, sağdaki sayılar 60'ın katlarına bölünür ve üst simge sıfır ile işaretlenen sayı, 1 ile çarpılır. Bu gösterim bizi, dereceler, dakikalar ve saniyeler için günümüzde kullandığımız modern işaretlere götürür. Aynı dakika ve saniye terminolojisi, zaman birimleri için de kullanılır ve saat, dakika ve saniyelerin ondalık olarak yazılan ve birbirinden iki nokta üst üste ile ayrıldığı modern zaman gösterimi, altmışlık bir gösterim biçimi olarak yorumlanabilir.

Bazı kullanım sistemlerinde, altmışlık noktadan sonra her pozisyon Latince veya Fransızca kökleri kullanılarak sayıldı: veya primus seconde veya secundus, tierce, quatre,, quinte vs. Bugüne kadar bir saatin ikinci dereceden kısmını veya "saniye" olarak adlandırıyoruz. En azından 18. yüzyıla kadar, saniyenin 1/60'ı "tierce (kademe)" veya "third (üçüncü)" olarak adlandırıldı.

1930'larda , Babil ve Helenistik sayılar için, sayının tam ve kesirli kısımlarını ayırmak için noktalı virgül (;) kullanırken her bölüm içindeki konumları ayırmak için de virgül (,) kullanan, her pozisyonda 0'dan 59'a kadar modern ondalık gösterimi destekleyen modern bir gösterim sistemi geliştirdi. Örneğin, hem Babil hem de Helenistik gök bilimciler tarafından kullanılan ve hala İbrani takviminde kullanılmakta olan ortalama sinodik ay 29; 31,50,8,20 gündür. Bu gösterim, bu makalede kullanılmaktadır.

Kesirler ve irrasyonel sayılar

Kesirler

Altmışlık sistemde, paydanın düzenli bir sayı ( çarpanları sadece 2, 3 ve 5 olan) olduğu herhangi bir kesir tam olarak ifade edilebilir. Burada, paydanın 60'tan küçük veya buna eşit olduğu bu türdeki tüm kesirler gösterilmektedir:

¹⁄₂ = 0;30

¹⁄₃ = 0;20

¹⁄₄ = 0;15

¹⁄₅ = 0;12

¹⁄₆ = 0;10

¹⁄₈ = 0;7,30

¹⁄₉ = 0;6,40

¹⁄₁₀ = 0;6

¹⁄₁₂ = 0;5

¹⁄₁₅ = 0;4

¹⁄₁₆ = 0;3,45

¹⁄₁₈ = 0;3,20

¹⁄₂₀ = 0;3

¹⁄₂₄ = 0;2,30

¹⁄₂₅ = 0;2,24

¹⁄₂₇ = 0;2,13,20

¹⁄₃₀ = 0;2

¹⁄₃₂ = 0;1,52,30

¹⁄₃₆ = 0;1,40

¹⁄₄₀ = 0;1,30

¹⁄₄₅ = 0;1,20

¹⁄₄₈ = 0;1,15

¹⁄₅₀ = 0;1,12

¹⁄₅₄ = 0;1,6,40

¹⁄₆₀ = 0;1

Ancak, düzenli olmayan sayılar daha karmaşık tekrarlayan kesirler oluşturur. Örneğin:

¹⁄₇ = 0;8,34,17 (çubuk altmışlık tabandaki rakamların dizisini gösterir 8,34,17 sonsuz sayıda defalarca tekrar eder)

¹⁄₁₁ = 0;5,27,16,21,49

¹⁄₁₃ = 0;4,36,55,23

¹⁄₁₄ = 0;4,17,8,34

¹⁄₁₇ = 0;3,31,45,52,56,28,14,7

¹⁄₁₉ = 0;3,9,28,25,15,47,22,6,18,56,50,31,34,44,12,37,53,41

¹⁄₅₉ = 0;1

¹⁄₆₁ = 0;0,59

Altmışa bitişik olan iki sayının, 59 ve 61'in her ikisinin de asal sayı olması gerçeği, bir veya iki altmışlık basamak periyoduyla tekrar eden kesirlerin paydalarının yalnızca düzgün sayı katları olan 59 veya 61 olabileceği anlamına gelir ve diğer düzgün olmayan sayıların daha uzun bir periyotta tekrar eden kesirleri vardır.

İrrasyonel sayılar

Yaklaşık olarak √2'ye eşit olan, altmışlık tabandaki 1;24,51,10 sayısını gösteren Babil tableti YBC 7289

Herhangi bir konumsal sayı sistemindeki irrasyonel sayıların temsili (ondalık ve altmışlık dahil) ne sona erer ne de tekrarlanır.

Bir köşegeninin uzunluğu olan 2'nin karekökü, Eski Babil Dönemi (MÖ 1900 – MÖ 1650) Babilliler tarafından aşağıdaki şekilde ifade edilmiştir:

${\displaystyle 1;24,51,10=1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}={\frac {30547}{21600}}\approx 1.41421296\ldots }$

Çünkü √2 ≈ 1,41421356 ... bir irrasyonel sayıdır, tam olarak altmışlık (veya aslında herhangi bir tam sayı tabanındaki sistem) olarak ifade edilemez, ancak altmışlık tabandaki genişlemesi böyle başlar: 1; 24,51,10,7,46,6,4, 44. . . ( A070197)

Yunan matematikçi ve bilim adamı Batlamyus tarafından kullanılan π değeri 3;8,30 = 3 + 8/60 + 30/60² = 377/120 ≈ 3,141666.... idi.

15. yüzyıldan Pers bir matematikçi olan Gıyaseddin Cemşid, 2π'yi dokuz alt rakama yuvarlandığında doğru değere sahip altmışlık tabanda bir ifade olarak hesapladı (dolayısıyla 1/60⁸); 2π için değer 6; 16,59,28,1,34,51,46,14,50 idi. Yukarıdaki √2 gibi, 2π de irrasyonel bir sayıdır ve tam olarak altmışlık düzende ifade edilemez. Altmışlık düzendeki açılımı 6; 16,59,28,1,34,51,46,14,49,55,12,35. . . şeklinde başlar. ( A091649)

Ayrıca bakınız

• Saat
• Enlem
• Trigonometri

Kaynakça

1. ^ ve şeklinde telaffuz edilir; bakınız "sexagesimal." Oxford Dictionary of English 2e, Oxford University Press, 2003.
2. ^ Ifrah, Georges (2000), The Universal History of Numbers: From prehistory to the invention of the computer., New York: John Wiley and Sons, ISBN , OCLC 42291138 . Fransızca'dan David Bellos, E.F. Harding, Sophie Wood ve Ian Monk tarafından çevrilmiştir.
3. ^ Macey, Samuel L. (1989), written at Atlanta, Georgia, The Dynamics of Progress: Time, Method, and Measure, Atina, Londra: University of Georgia Press, s. 92, ISBN , OCLC 1113278749, 14 Haziran 2020 tarihinde kaynağından , erişim tarihi: 28 Aralık 2020 
4. ^ ^{a b c} Neugebauer, Otto (1969), "The Exact Sciences In Antiquity", Acta Historica Scientiarum Naturalium et Medicinalium, New York: Dover, cilt 9, ss. 17-19, ISBN , OCLC 13409, (PMID) 14884919 
5. ^ Bello, Ignacio; Britton, Jack R.; Kaul, Anton (2009), Topics in Contemporary Mathematics (9. bas.), Avustralya, ABD: Cengage Learning, s. 182, ISBN , OCLC 326670156 .
6. ^ ^{a b} Lamb, Evelyn (31 Ağustos 2014), "Ancient Babylonian Number System Had No Zero", Scientific American, Roots of Unity, 17 Ekim 2014 tarihinde kaynağından , erişim tarihi: 28 Aralık 2020 
7. ^ Barton, George A. (1908), "On the Babylonian origin of Plato's nuptial number", Journal of the American Oriental Society, cilt 29, ss. 210-219, doi:10.2307/592627, JSTOR 592627 .
8. ^ ; Plato (1974), "Musical "Marriages" in Plato's "Republic"", Journal of Music Theory, 18 (2), ss. 242-272, doi:10.2307/843638, JSTOR 843638 
9. ^ Al-Biruni (1879) [1000], The Chronology of Ancient Nations, Sachau, C. Edward tarafından çevrildi, ss. 147-149, 25 Ağustos 2021 tarihinde kaynağından , erişim tarihi: 28 Aralık 2020 
10. ^ Nothaft, C. Philipp E. (2018), written at Oxford, Scandalous Error: Calendar Reform and Calendrical Astronomy in Medieval Europe, Oxford, Birleşik Krallık: Oxford University Press, s. 126, ISBN , OCLC 1022945273, Sacrobosco, altmışlık kesirlere geçti, ancak bunları güne değil saate uygulayarak takvimsel veya astronomik hesaplamada kullanıma daha uygun hale getirdi ve böylece 21. yüzyılda hala geçerli olan saat, dakika ve saniye kullanımını başlattı. 
11. ^ Nothaft, C. Philipp E. (2018), written at Oxford, Scandalous Error: Calendar Reform and Calendrical Astronomy in Medieval Europe, Oxford, Birleşik Krallık: Oxford University Press, s. 196, ISBN , OCLC 1022945273, Alfonsine Tablolarının Latin-Paris enkarnasyonlarında dikkate değer bir özelliği, tüm tablo haline getirilmiş parametrelerin katı şekilde 'altmış tabanına göre küçültülmesidir', çünkü hareketler ve zaman aralıkları tutarlı bir şekilde 60 taban katlarına ve günlerin veya derecelerin kesirlerine göre çözülmüştür. 
12. ^ Newton, Isaac (1671), The Method of Fluxions and Infinite Series: With Its Application to the Geometry of Curve-lines., Londra: (1736 tarihinde yayınlandı), s. 146, 24 Eylül 2020 tarihinde kaynağından , erişim tarihi: 28 Aralık 2020, Bunlardan en dikkat çekici olanı, Gökbilimciler arasında sıkça kullanılan Arithmetick'in Seksagesimal veya Altmışlık Ölçeği'dir; tüm olası Sayıları, Tam sayıları veya Kesirleri, Rasyonel veya Rasyonel olmayan, Altmışın kuvvetleri ve elli dokuzu aşmayan belirli sayı Katsayıları ile ifade eder. 
13. ^ Folkerts, Menso; Launert, Dieter; Thom, Andreas (2016), "Jost Bürgi's method for calculating sines", Historia Mathematica, 43 (2), ss. 133-147, arXiv:1510.03180 $2, doi:10.1016/j.hm.2016.03.001, MR 3489006 
14. ^ Neugebauer, Otto (1952), "Tamil Astronomy: A Study in the History of Astronomy in India", Osiris, cilt 10, ss. 252-276, doi:10.1086/368555 ; burada basılmıştır: Neugebauer, Otto (1983), Astronomy and History: Selected Essays, New York: Springer-Verlag, ISBN  
15. ^ Bowers, Nancy (1977), (PDF), Journal of the Polynesian Society, 86 (1), ss. 105-116, 5 Mart 2009 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi 
16. ^ Lean, Glendon Angove (1992), , Ph.D. thesis, , 5 Eylül 2007 tarihinde kaynağından arşivlendi . Özellikle bakınız; . 28 Eylül 2007 tarihinde kaynağından arşivlendi. 
17. ^ "Sexagesimal System", SpringerReference, Berlin/Heidelberg: Springer-Verlag, 2011, doi:10.1007/springerreference_78190 
18. ^ . 17 Ocak 2008 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 29 Aralık 2020. 
19. ^ . 9 Şubat 2005 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 29 Aralık 2020. 
20. ^ . 9 Şubat 2005 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 29 Aralık 2020. 
21. ^ YAML Ain't Markup Language (YAML™) Version 1.2 (3rd Edition, Patched at 2009-10-01) §10.3.2 Tag Resolution, The Official YAML Web Site, 1 Ekim 2009, 24 Ocak 2019 tarihinde kaynağından , erişim tarihi: 30 Ocak 2019 
22. ^ Neugebauer, Otto (1969) [1957], The Exact Sciences in Antiquity (2. bas.), Dover Publications, ss. 13-14, plate 2, ISBN , (PMID) 14884919 
23. ^ Mercier, Raymond, Consideration of the Greek symbol 'zero' (PDF), Home of Kairos, 5 Kasım 2020 tarihinde kaynağından (PDF), erişim tarihi: 28 Aralık 2020 
24. ^ Aaboe, Asger (1964), Episodes from the Early History of Mathematics, New Mathematical Library, 13, New York: Random House, ss. 103-104 
25. ^ Cajori, Florian (2007) [1928], A History of Mathematical Notations, 1, New York: Cosimo, Inc., s. 216, ISBN , 6 Temmuz 2014 tarihinde kaynağından , erişim tarihi: 28 Aralık 2020 
26. ^ Wade, Nicholas (1998), A natural history of vision, MIT Press, s. 193, ISBN  
27. ^ Lewis, Robert E. (1952), Middle English Dictionary, University of Michigan Press, s. 231, ISBN  
28. ^ Neugebauer, Otto; ; Götze, Albrecht (1945), Mathematical Cuneiform Texts, American Oriental Series, 29, New Haven: American Oriental Society and the American Schools of Oriental Research, s. 2, 2 Nisan 2019 tarihinde kaynağından , erişim tarihi: 28 Aralık 2020 
29. ^ Neugebauer, Otto E. (1955), Astronomical Cuneiform Texts, Londra: Lund Humphries 
30. ^ ; (1998), "Square root approximations in old Babylonian mathematics: YBC 7289 in context", Historia Mathematica, 25 (4), ss. 366-378, doi:10.1006/hmat.1998.2209 
31. ^ Toomer, G. J., (Ed.) (1984), Ptolemy's Almagest, New York: Springer Verlag, s. 302, ISBN  
32. ^ Youschkevitch, Adolf P., "Al-Kashi", Rosenfeld, Boris A. (Ed.), Dictionary of Scientific Biography, s. 256 .
33. ^ Aaboe (1964), s. 125

Konuyla ilgili yayınlar

• Ifrah, Georges (1999), The Universal History of Numbers: From Prehistory to the Invention of the Computer, Wiley, ISBN  .
• Nissen, Hans J.; Damerow, P.; Englund, R. (1993), Archaic Bookkeeping, University of Chicago Press, ISBN  
• Thureau-Dangin, François (1939), "Sketch of a history of the sexagesimal system", Osiris, cilt 7, ss. 95-141 
• Lewy, Hildegard (1949), "Origin and Development of the Sexagesimal System of Numeration", Journal of the American Oriental Society, 69 (1), ss. 1-11, 26 Mart 2020 tarihinde kaynağından , erişim tarihi: 28 Aralık 2020 
• Powell, Marvin A. (1972), The origin of the sexagesimal system: The interaction of language and writing (PDF), Cleveland Museum of Art, 3 Ağustos 2021 tarihinde kaynağından (PDF), erişim tarihi: 28 Aralık 2020 
• Mansfield, Daniel F.; Wildberger, Norman J. (2017), "Plimpton 322 is Babylonian exact sexagesimal trigonometry", Historia Mathematica, 44 (4), ss. 395-419, 4 Ocak 2021 tarihinde kaynağından , erişim tarihi: 28 Aralık 2020 
• Whiting, Robert M. (1984), "More evidence for sexagesimal calculations in the third millennium BC.", Zeitschrift für Assyriologie und vorderasiatische Archäologie, 74 (1), ss. 59-66 
• Laki, K. (1969), "On the Origin of the Sexagesimal System", Journal of the Washington Academy of Sciences, 59 (1/3), ss. 24-29 
• Muroi, Kazuo (2014), The Origin of the Mystical Number Seven in Mesopotamian Culture; Division by Seven in the Sexagesimal Number System, arXiv:1407.6246 $2 

Dış bağlantılar

• [Derece ve Dakikaların Hesaplanmasına İlişkin Gerçekler]. 23 Kasım 2011 tarihinde kaynağından arşivlendi. Sibṭ al-Māridīnī, Badr al-Dīn Muḥammad ibn Muḥammad (d. 1423) tarafından yazılan Arapça bir kitaptır. Bu çalışma, altmışlık tabanda matematiğin çok ayrıntılı bir incelemesini sunmakta ve altmışlık kesirlerin periyodikliğinden ilk söz edilenleri içeriyor gibi görünmektedir. 
• . 12 Eylül 2017 tarihinde kaynağından arşivlendi. 
• . 5 Aralık 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi. 
• "SEXAGESIMAL SYSTEM" (PDF). 20 Mart 2021 tarihinde kaynağından (PDF). Erişim tarihi: 28 Aralık 2020.