Bochner formülü

Matematikte bir alt dalı olan diferansiyel geometride Bochner formülü bir üzerinde tanımlı harmonik fonksiyonları ilişkilendiren bir ifadedir. Bu ifade Galiçya doğumlu Amerikalı matematikçi Salomon Bochner'in adını taşımaktadır.

Formülün ifadesi

${\displaystyle (M,g)}$ Riemann manifoldu olsun ve ${\displaystyle u\colon M\rightarrow \mathbb {R} }$ ise sonsuz türevlenebilir bir fonksiyon olsun.

• ${\displaystyle \nabla u}$, ${\displaystyle u}$ fonksiyonun ${\displaystyle g}$'ye göre gradyanı
• ${\displaystyle \nabla ^{2}u}$, ${\displaystyle u}$ fonksiyonun ${\displaystyle g}$'ye göre Hesse matrisi
• ${\displaystyle {\mbox{Ric}}}$ ise

olsun. O zaman,

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\Delta |\nabla u|^{2}=g(\nabla \Delta u,\nabla u)+|\nabla ^{2}u|^{2}+{\mbox{Ric}}(\nabla u,\nabla u)}$

olur. Bunlara ek olarak, eğer ${\displaystyle u}$ harmonikse; yani, ${\displaystyle \Delta :=\Delta _{g}}$, ${\displaystyle g}$ metriğine göre olmak üzere ${\displaystyle \Delta u=0}$ ise, Bochner formülü

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\Delta |\nabla u|^{2}=|\nabla ^{2}u|^{2}+{\mbox{Ric}}(\nabla u,\nabla u)}$

haline dönüşür. Bochner bu formülü kullanarak ispatlamıştır.

Eğer ${\displaystyle (M,g)}$ sınırı olmayan bir Riemann manifoldu ve ${\displaystyle u\colon M\rightarrow \mathbb {R} }$ sonsuz türevlenebilir tıkız destekli bir fonksiyonsa, o zaman Bochner formülünün sonucu olarak

${\displaystyle \int _{M}(\Delta u)^{2}\,d{\mbox{vol}}=\int _{M}{\Big (}|\nabla ^{2}u|^{2}+{\mbox{Ric}}(\nabla u,\nabla u){\Big )}\,d{\mbox{vol}}}$

elde edilir. Gerçekten de, yukarıdaki formülün sol tarafı diverjans teoremi işe sıfır olur. Sağ taraftaki ilk ifadede de kısmi integral alma yöntemleri kullanılırsa sonuç elde edilir.

Ayrıca bakınız

• Bochner özdeşliği

Kaynakça

1. ^ Chow, Bennett; Lu, Peng; Ni, Lei (2006), Hamilton's Ricci flow, , 77, Providence, RI: Science Press, New York, s. 19, ISBN , MR 2274812 .