Bézout teoremi, cebirsel geometride n değişkenli n polinomun ortak sıfırlarının sayısı ile ilgili bir ifadedir. Orijinal biçiminde teorem, genel olarak ortak sıfırların sayısının, polinomların çarpımına eşit olduğunu belirtir. Adını Fransız matematikçi Étienne Bézout'dan almıştır.
Bazı temel metinlerde, Bézout'un teoremi yalnızca iki değişken durumuna atıfta bulunur ve ve dereceli iki düzlem cebirsel eğrisinin ortak bir bileşeni yoksa, bunların ile sayılan ve sonsuzdaki noktalar ile karmaşık koordinatlara sahip noktalar dahil sahip olduklarını iddia eder.
Modern formülasyonunda teorem şunu belirtir; N, n + 1 değişkenli tanımlanan n bir üzerindeki ortak noktaların sayısı ise, bu durumda N, sonsuzdur veya polinomların derecelerinin çarpımına eşittir. Dahası, sonlu durum neredeyse her zaman ortaya çıkar.
İki değişkenli durumda ve durumunda, sonsuzdaki katlılık sayıları ve noktalar sayılmazsa, bu teorem, neredeyse her zaman ulaşılan nokta sayısının yalnızca bir üst sınırını sağlar. Bu sınır genellikle Bézout sınırı olarak adlandırılır.
Bézout'un teoremi, çoğu problemin değişken sayısında en azından üstel olan bir hesaplama karmaşıklığına sahip olduğunu göstererek, bilgisayar cebiri ve etkili cebirsel geometride temeldir. Bu alanlarda, Bézout sınırında polinom olan bir karmaşıklığa sahip algoritmalarla umulabilecek en iyi karmaşıklık ortaya çıkacaktır.
Tarihçe
Düzlem eğriler söz konusu olduğunda, Bézout teoremi esasen Isaac Newton tarafından 1687'de Principia'nın 1. cildinin 28. lemmasının ispatında belirtildi, burada iki eğrinin derecelerinin çarpımı tarafından verilen sayıda kesişme noktasına sahip olduğunu iddia etti.
Genel teorem daha sonra 1779'da Étienne Bézout'un Théorie générale des équations algébriques adlı eserinde yayınlandı. O, denklemlerin "tam" olduğunu ve modern terminolojide jenerik olarak çevrilebileceğini düşünüyordu. Jenerik polinomlarda sonsuzda nokta olmadığından ve tüm katlılık sayıları bire eşit olduğundan, Bézout'un formülasyonu doğrudur, ancak kanıtı, kesinliğin modern gereklerini karşılamıyordu.
Bu ve kesişim katlılık sayısı (intersection multiplicity) kavramının zamanının bilgisi dışında olması, bazı yazarlar tarafından ispatının ne doğru ne de verilen ilk ispat olmadığını ifade eden bir algıya yol açtı.
Katlılık sayıları içeren ifadenin ispatı 20. yüzyıldan önce soyut cebir ve cebirsel geometrinin tanıtılmasıyla mümkün değildi.
Açıklama
Düzlem eğriler
X ve Y’nin, ortak bir bileşeni olmayan bir F cismi üzerinde tanımlanan iki düzlemsel izdüşümsel eğri olduğunu varsayalım (bu koşul, X ve Y'nin ortak sabit olmayan bir polinomun katları olmayan polinomlar tarafından tanımlandığı anlamına gelir; özellikle, bir çift "jenerik" eğri için geçerlidir).
Daha sonra, F’yi içeren bir E cismindeki koordinatlarla X ve Y'nin katlılık sayıları ile sayılan kesişme noktalarının toplam sayısı, X ve Y derecelerinin çarpımına eşittir.
Genel durum
Daha yüksek boyuttaki genelleme şu şekilde ifade edilebilir:
N tane izdüşümsel hiper yüzey, dereceli n + 1 değişkende n homojen polinom ile tanımlanan cebirsel olarak kapalı bir cisim üzerinde n boyutundaki bir izdüşümsel uzayda verilsin. O zaman ya kesişim noktalarının sayısı sonsuzdur ya da katlılık sayısı ile sayılan kesişme noktalarının sayısı çarpıma eşittir. Hiper yüzeyler indirgenemezse ve göreceli genel konumdaysa, o zaman hepsinin katlılık sayısı 1 olan kesişme noktası vardır.
Bu teoremin, tamamen cebirsel terimlerle ifade edilen veya dili veya cebirsel geometriyi kullanan çeşitli ispatları vardır. Üç cebirsel ispat aşağıda özetlenmiştir.
Bézout teoremi, çoklu homojen Bézout teoremi olarak genelleştirilmiştir.
Örnekler (düzlem eğriler)
İki doğru
Öklid düzleminde bir doğrunun denklemi doğrusaldır, yani birinci dereceden bir polinomu sıfıra eşittir. Bu nedenle, iki çizgi için Bézout sınırı 1'dir, yani iki doğru ya tek bir noktada kesişir ya da kesişmez. İkinci durumda, çizgiler paraleldir ve sonsuzda bir noktada kesişir.
Bunu denklemlerle doğrulayabilirsiniz. İlk satırın denklemi eğim-kesme noktası biçiminde olarak yazılabilir veya izdüşümsel koordinatlarda olarak yazılabilir (çizgi dikse, x ve y yer değiştirebilir). Eğer ikinci bir doğrunun denklemi (izdüşümsel koordinatlarda) , ise y yerine yazılırsa, elde edilir. Eğer , ise ikinci denklemi x değişkeninde çözülür ve t = 1 alınırsa x-koordinatının kesişme noktası elde edilir.
Eğer yani ise iki çizgi paraleldir ve aynı eğime sahiptir. Eğer ise bunlar farklıdır ve yerine konmuş denklem t = 0 verir. Bu, (1, s, 0) izdüşümsel koordinatların sonsuzdaki noktasını verir.
Bir doğru ve bir eğri
Yukarıdaki gibi, izdüşümsel koordinatlarda doğrunun denklemi: şeklinde yazılabilir. Eğri, izdüşümsel koordinatlarda n dereceden homojen bir polinomu ile tanımlanmışsa, y'nin yerine konması, x ve t türünden n. derece homojen bir polinom sağlar. Cebirin temel teoremi, doğrusal faktörlerde çarpanlarına ayrılabileceğini işaret eder. Her faktör, bir kesişme noktasının x ve t koordinatlarının oranını verir ve çarpanın katlılık sayısı, kesişme noktasının katlılık sayısıdır.
t sonsuz'un koordinatı olarak görülürse, t'ye eşit bir çarpan, sonsuzda bir kesişme noktasını temsil eder.
Polinom p'nin en az bir kısmi türevi, bir kesişme noktasında sıfır değilse, bu noktada eğrinin teğeti tanımlanır (bkz. ), ancak ve sadece doğru eğriye teğet ise kesişim katlılık sayısı birden büyüktür. Tüm kısmi türevler sıfırsa, kesişme noktası tekil bir noktadır ve kesişim katlılık sayısı en az ikidir.
İki konik kesit
İki konik kesit genellikle dört noktada kesişir ve bunlardan bazıları çakışabilir. Tüm kesişme noktalarını doğru bir şekilde hesaba katmak için, karmaşık koordinatlara izin vermek ve izdüşümsel düzlemde sonsuz doğru üzerindeki noktaları dahil etmek gerekli olabilir. Örneğin:
- Bézout'un teoremi dört taneyi tahmin ederken, iki çember düzlemde ikiden fazla noktada kesişmez. Tutarsızlık, her çemberin sonsuzda doğrunun aynı iki karmaşık noktasından geçmesinden kaynaklanır. Çemberi aşağıdaki denklemle yazarsak;
- homojen koordinatlarda,
- buluruz. Burada iki noktanın (1:i:0) ve (1:-i:0), her çemberin üzerinde olduğu açıktır. İki çember, gerçek düzlemde hiç kesişmediğinde, diğer iki kesişimin sıfır olmayan imajiner kısımları vardır veya eşmerkezli iseler, o zaman iki kesişim katlılık sayısı ile sonsuzda doğrunun iki noktasında buluşurlar.
- Teoreme göre herhangi bir konik, iki noktada sonsuzda doğruyla buluşmalıdır. Bir hiperbol, asimptotların iki yönüne karşılık gelen iki gerçek noktada karşılaşır. Bir elips, birbiriyle eşlenik olan iki karmaşık noktada buluşur - bir çember durumunda, noktalar (1 : i : 0) ve (1: -i : 0)'dir. Bir parabol, onunla yalnızca bir noktada karşılaşır, ancak bu bir teğet noktasıdır ve bu nedenle iki kez sayılır.
- Aşağıdaki resimler, x2 + y2 -1 = 0 çemberinin daha az kesişim noktasında başka bir elips ile karşılaştığı örnekleri gösterir, çünkü bunlardan en az biri 1'den büyük katlılık sayısına sahiptir:
- 2 katlılık sayısının iki kesişim noktası:
- 3 katlılık sayısının kesişim noktası:
- 4 katlılık sayısının kesişim noktası:
Katlılık sayısı (Multiplicity)
Katlılık sayısı kavramı, çok daha zayıf bir eşitsizlik yerine bir eşitliğe sahip olmasına izin verdiği için Bézout teoremi için temeldir.
Sezgisel olarak, birkaç polinomun ortak bir sıfırının katlılık sayısı, katsayılar düşük ihtimalle bölünebileceği sıfırların sayısıdır. Örneğin, bir eğriye teğet, eğriyi bir noktada kesen, doğru hafifçe hareket ettirilirse eğriyi birkaç noktada bölen bir doğrudur. Bu sayı genel olarak ikidir (sıradan noktalar), ancak daha fazla da olabilir (bükülme noktaları için üç, dalgalanma noktaları için dört vb.). Bu sayı, teğetin "temas katlılık sayısı (multiplicity of contact)"dır.
Deformasyon yoluyla katlılık sayılarının bu tanımı, 19. yüzyılın sonuna kadar yeterliydi, ancak daha uygun modern tanımlara yol açan birkaç problemi vardır: Deformasyonların değiştirilmesi zordur; örneğin, bir tek değişkenli polinomun bir kökü durumunda, deformasyonla elde edilen katlılık sayısının, polinomun karşılık gelen doğrusal faktörünün katlılık sayısına eşit olduğunu kanıtlamak için, köklerin katsayıların sürekli fonksiyonları olduğunu bilmek gerekir. Pozitif özellikli cisimler üzerinde deformasyonlar kullanılamaz. Ayrıca, uygun bir deformasyonun tanımlanmasının zor olduğu durumlar (ikiden fazla düzlem eğrinin ortak bir kesişme noktasına sahip olması durumunda olduğu gibi) ve hatta deformasyonun mümkün olmadığı durumlar vardır.
Şu anda, Jean-Pierre Serre'den sonra, katlılık sayısı genellikle katlılık sayısının dikkate alındığı nokta ile ilişkili yerel bir halkanın uzunluğu olarak tanımlanmaktadır. Çoğu spesifik tanım, Serre'nin tanımının özel durumu olarak gösterilebilir.
Bézout teoremi durumunda, teoremin her girdi denklemiyle, bu denklemlerin katsayılarında her çarpanın tek bir kesişme noktasına karşılık geleceği şekilde çarpanlara ayıran bir polinomu ilişkilendiren kanıtlar (aşağıya bakınız) olduğu için, genel kesişim teorisinden kaçınılabilir. Dolayısıyla, bir kesişim noktasının katlılık sayısı, çarpanlara ayırmanın çarpanının katlılık sayısına karşılık gelir. Bu katlılık sayısının deformasyonla elde edilene eşit olduğunun ispatı, kesişme noktalarının sürekli olarak köklere bağlı olmasından kaynaklanmaktadır.
İspatlar
Bileşkeyi (resultant) kullanma (düzlem eğriler)
P ve Q sırasıyla dereceleri p ve q, değişkenleri x, y, t olan iki homojen polinom olsun. Sıfırları, iki izdüşümsel eğrinin homojen koordinatlarıdır. Böylece kesişim noktalarının homojen koordinatları P ve Q'nun ortak sıfırlarıdır.
Birlikte tek bir değişkenin, y olsun, mertebesi toplanarak, katsayıları x ve t türünden homojen polinomlar olan tek değişkenli polinomlar elde edilir.
Teknik nedenlerden ötürü, P ve Q'nun y cinsinden derecelerinin toplam derecelerine (p ve q) eşit olması için koordinatların değiştirilmesi gerekir ve iki kesişme noktasından geçen her doğru (0, 1, 0) noktasından geçmez. (Bu, iki noktanın aynı x Kartezyen koordinatına sahip olmadığı anlamına gelir.)
y değişkenine göre P ve Q'nun ortaya çıkan bileşkesi R(x, t), x ve t türünden aşağıdaki özelliğe sahip homojen bir polinomdur: ile ancak ve ancak P ve Q'nun ortak bir sıfırı olacak şekilde mevcutsa (bkz. (Bileşke § Sıfırlar)). Yukarıdaki teknik durum şunları sağlar: benzersizdir. Yukarıdaki ilk teknik koşul, bileşkenin tanımında kullanılan derecelerin p ve q olduğu anlamına gelir; bu da R derecesinin pq olduğu anlamına gelir (bkz. (Bileşke § Homojenlik)).
R, iki değişkenli homojen bir polinom olduğundan, cebirin temel teoremi, R'nin pq doğrusal polinomların bir çarpımı olduğunu işaret eder. P ve Q ortak sıfırının katlılık sayısı, çarpımda karşılık gelen çarpanın tekrar sayısı olarak tanımlanırsa, Bézout'un teoremi böylece kanıtlanmış olur.
Az önce tanımlanan kesişim katlılık sayısının bir deformasyon açısından tanıma eşit olduğunu kanıtlamak için, bileşke ve dolayısıyla doğrusal çarpanlarının P ve Q katsayılarının sürekli fonksiyonları olduğunu belirtmek yeterlidir.
Diğer kesişme katlılık sayısı tanımlarıyla eşitliğin kanıtlanması, bu tanımların teknik özelliklerine dayanır ve bu nedenle bu makalenin kapsamı dışındadır.
U-bileşke'yi kullanma
20. yüzyılın başlarında, , n değişkenli n homojen polinomun çok değişkenli bileşkesini (Macaulay'ın bileşkesi olarak da bilinir) tanıttı; bu, iki polinomun olağan bileşkesinin genelleştirilmesidir. Macaulay'ın bileşkesi, katsayıları içeren cebirsel kapalı bir cisimde sadece ve sadece polinomların önemsiz olmayan (yani bir bileşeni sıfır olmayan) ortak sıfıra sahip olması durumunda sıfır olan n homojen polinomların katsayılarının bir polinom fonksiyonudur.
U-bileşke, Macaulay tarafından da tanıtılan Macaulay'ın bileşkesinin belirli bir örneğidir. , türünden n + 1 değişkenli n adet homojen polinomu verildiğinde U-bileşke, ve polinomlarının bileşkesidir; burada katsayıları yardımcı değişkenlerdir. U-bileşke, türünden derecesi derecelerinin çarpımı olan homojen bir polinomdur.
Çok değişkenli bir polinom genellikle indirgenemez olsa da, U-bileşke, katsayılarını içeren cebirsel kapalı bir cisim üzerinde doğrusal polinomlar olarak ( şeklinde) çarpanlara ayrılabilir. Bu doğrusal çarpanlar, aşağıdaki şekilde 'nin ortak sıfırlarına karşılık gelir: her ortak sıfıra doğrusal bir çarpan karşılık gelir ve tersi de söylenebilir.
Bu, ortak bir sıfırın katlılık sayısı, U-bileşkeye karşılık gelen doğrusal çarpanının katlılık sayısı olarak tanımlanırsa, Bézout teoremini kanıtlar. Önceki kanıta gelince, bu katlılık sayısının deformasyon yoluyla tanımla eşitliği, U- bileşkenin katsayılarının bir fonksiyonu olarak sürekliliğinden kaynaklanmaktadır.
Bézout'un teoreminin bu kanıtı, modern kesinlik kriterlerini karşılayan en eski kanıt gibi görünüyor.
Bir idealin derecesini kullanmak
Bézout teoremi, aşağıdaki teoremi kullanarak polinomların sayısının tekrarlanmasıyla kanıtlanabilir.
V, boyutu ve derecesinin bir izdüşümsel cebirsel kümesi ve H, herhangi bir indirgenemez V bileşeni içermeyen dereceli bir hiper yüzey (tek bir polinomla tanımlanan) olsun; bu hipotezler altında, V ve H kesişiminin boyutu ve derecesi vardır.
Hilbert dizilerini kullanarak bir (kabataslak) kanıt için, bkz. .
Bézout teoreminin kavramsal olarak basit bir ispatına izin vermenin yanı sıra, bu teorem için temeldir, çünkü bu teori esasen yukarıdaki teoremin hipotezleri geçerli olmadığında kesişme katlılık sayılarının incelenmesine adanmıştır.
Ayrıca bakınız
- – Diğer iki eğrinin tüm kesişim noktalarından geçen cebirsel eğriler hakkında
- – ortak karmaşık sıfırlarının sayısı hakkında
Notlar
- Dipnotlar
- ^ Bezu diye okunur. Nesin, Ali (2018). Fen Liseleri İçin Matematik 3-Tamsayılar Yapısı. s. 53. ISBN .
- Notlar
- ^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Bézout teoremi", MacTutor Matematik Tarihi arşivi
- ^ Kirwan, Frances Clare (1992). Complex Algebraic Curves. United Kingdom: Cambridge University Press. ISBN .
- ^ Kerner, D. (2008), On the δ= const Collisions of Singularities of Complex Plane Curves, s. 5
Konuyla ilgili yayınlar
- (PDF), 4 Eylül 2019 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi,
Kitap bölümü
- Toni Annala, Bézout's theorem (PDF), 7 Mayıs 2021 tarihinde kaynağından (PDF), erişim tarihi: 14 Ekim 2020
- (PDF), 30 Mart 2007 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi
- Andreas Gathmann, Applications of Bézout’s Theorem (PDF), 16 Ekim 2020 tarihinde kaynağından (PDF), erişim tarihi: 14 Ekim 2020,
Kitap bölümü
Dış bağlantılar
- Hazewinkel, Michiel, (Ed.) (2001), "Bezout theorem", Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN
- Eric W. Weisstein, Bézout's Theorem (MathWorld)
- , MathPages, 31 Ocak 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi
- YouTube'da Bezout's Theorem (Video, 15:02 dk)
Kaynaklar
- Fulton, William; Weiss, Richard (1974). Algebraic Curves: An Introduction to Algebraic Geometry. Mathematics Lecture Note Series. W.A. Benjamin. s. 112. ISBN .
- Newton (1966). Principia Vol. I The Motion of Bodies. based on Newton's 2nd edition (1713); translated by Andrew Motte (1729) and revised by Florian Cajori (1934). Berkeley, CA: University of California Press. ISBN . Newton Principia’nın önceki (2.) baskısının alternatif çevirisi.
- generalization of Bezout's Theorem?, erişim tarihi: 10 Mart 2021,
(Teoremin genelleştirilmesi)
wikipedia, wiki, viki, vikipedia, oku, kitap, kütüphane, kütübhane, ara, ara bul, bul, herşey, ne arasanız burada,hikayeler, makale, kitaplar, öğren, wiki, bilgi, tarih, yukle, izle, telefon için, turk, türk, türkçe, turkce, nasıl yapılır, ne demek, nasıl, yapmak, yapılır, indir, ücretsiz, ücretsiz indir, bedava, bedava indir, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, resim, müzik, şarkı, film, film, oyun, oyunlar, mobil, cep telefonu, telefon, android, ios, apple, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, pc, web, computer, bilgisayar
Bezout teoremi cebirsel geometride n degiskenli n polinomun ortak sifirlarinin sayisi ile ilgili bir ifadedir Orijinal biciminde teorem genel olarak ortak sifirlarin sayisinin polinomlarin carpimina esit oldugunu belirtir Adini Fransiz matematikci Etienne Bezout dan almistir Bezout Teoremi Bazi temel metinlerde Bezout un teoremi yalnizca iki degisken durumuna atifta bulunur ve d1 displaystyle d 1 ve d2 displaystyle d 2 dereceli iki duzlem cebirsel egrisinin ortak bir bileseni yoksa bunlarin ile sayilan ve sonsuzdaki noktalar ile karmasik koordinatlara sahip noktalar dahil d1d2 displaystyle d 1 d 2 sahip olduklarini iddia eder Modern formulasyonunda teorem sunu belirtir N n 1 degiskenli tanimlanan n bir uzerindeki ortak noktalarin sayisi ise bu durumda N sonsuzdur veya polinomlarin derecelerinin carpimina esittir Dahasi sonlu durum neredeyse her zaman ortaya cikar Iki degiskenli durumda ve durumunda sonsuzdaki katlilik sayilari ve noktalar sayilmazsa bu teorem neredeyse her zaman ulasilan nokta sayisinin yalnizca bir ust sinirini saglar Bu sinir genellikle Bezout siniri olarak adlandirilir Bezout un teoremi cogu problemin degisken sayisinda en azindan ustel olan bir hesaplama karmasikligina sahip oldugunu gostererek bilgisayar cebiri ve etkili cebirsel geometride temeldir Bu alanlarda Bezout sinirinda polinom olan bir karmasikliga sahip algoritmalarla umulabilecek en iyi karmasiklik ortaya cikacaktir TarihceDuzlem egriler soz konusu oldugunda Bezout teoremi esasen Isaac Newton tarafindan 1687 de Principia nin 1 cildinin 28 lemmasinin ispatinda belirtildi burada iki egrinin derecelerinin carpimi tarafindan verilen sayida kesisme noktasina sahip oldugunu iddia etti Genel teorem daha sonra 1779 da Etienne Bezout un Theorie generale des equations algebriques adli eserinde yayinlandi O denklemlerin tam oldugunu ve modern terminolojide jenerik olarak cevrilebilecegini dusunuyordu Jenerik polinomlarda sonsuzda nokta olmadigindan ve tum katlilik sayilari bire esit oldugundan Bezout un formulasyonu dogrudur ancak kaniti kesinligin modern gereklerini karsilamiyordu Bu ve kesisim katlilik sayisi intersection multiplicity kavraminin zamaninin bilgisi disinda olmasi bazi yazarlar tarafindan ispatinin ne dogru ne de verilen ilk ispat olmadigini ifade eden bir algiya yol acti Katlilik sayilari iceren ifadenin ispati 20 yuzyildan once soyut cebir ve cebirsel geometrinin tanitilmasiyla mumkun degildi AciklamaDuzlem egriler X ve Y nin ortak bir bileseni olmayan bir F cismi uzerinde tanimlanan iki duzlemsel izdusumsel egri oldugunu varsayalim bu kosul X ve Y nin ortak sabit olmayan bir polinomun katlari olmayan polinomlar tarafindan tanimlandigi anlamina gelir ozellikle bir cift jenerik egri icin gecerlidir Daha sonra F yi iceren bir E cismindeki koordinatlarla X ve Y nin katlilik sayilari ile sayilan kesisme noktalarinin toplam sayisi X ve Y derecelerinin carpimina esittir Genel durum Daha yuksek boyuttaki genelleme su sekilde ifade edilebilir N tane izdusumsel hiper yuzey d1 dn displaystyle d 1 ldots d n dereceli n 1 degiskende n homojen polinom ile tanimlanan cebirsel olarak kapali bir cisim uzerinde n boyutundaki bir izdusumsel uzayda verilsin O zaman ya kesisim noktalarinin sayisi sonsuzdur ya da katlilik sayisi ile sayilan kesisme noktalarinin sayisi carpima esittir Hiper yuzeyler indirgenemezse ve goreceli genel konumdaysa o zaman hepsinin katlilik sayisi 1 olan d1 dn displaystyle d 1 cdots d n kesisme noktasi vardir Bu teoremin tamamen cebirsel terimlerle ifade edilen veya dili veya cebirsel geometriyi kullanan cesitli ispatlari vardir Uc cebirsel ispat asagida ozetlenmistir Bezout teoremi coklu homojen Bezout teoremi olarak genellestirilmistir Ornekler duzlem egriler Iki dogru Oklid duzleminde bir dogrunun denklemi dogrusaldir yani birinci dereceden bir polinomu sifira esittir Bu nedenle iki cizgi icin Bezout siniri 1 dir yani iki dogru ya tek bir noktada kesisir ya da kesismez Ikinci durumda cizgiler paraleldir ve sonsuzda bir noktada kesisir Bunu denklemlerle dogrulayabilirsiniz Ilk satirin denklemi egim kesme noktasi biciminde y sx m displaystyle y sx m olarak yazilabilir veya izdusumsel koordinatlarda y sx mt displaystyle y sx mt olarak yazilabilir cizgi dikse x ve y yer degistirebilir Eger ikinci bir dogrunun denklemi izdusumsel koordinatlarda ax by ct 0 displaystyle ax by ct 0 ise y yerine sx mt displaystyle sx mt yazilirsa a bs x c bm t 0 displaystyle a bs x c bm t 0 elde edilir Eger a bs 0 displaystyle a bs neq 0 ise ikinci denklemi x degiskeninde cozulur ve t 1 alinirsa x koordinatinin kesisme noktasi elde edilir Eger a bs 0 displaystyle a bs 0 yani s a b displaystyle s a b ise iki cizgi paraleldir ve ayni egime sahiptir Eger m c b displaystyle m neq c b ise bunlar farklidir ve yerine konmus denklem t 0 verir Bu 1 s 0 izdusumsel koordinatlarin sonsuzdaki noktasini verir Bir dogru ve bir egri Yukaridaki gibi izdusumsel koordinatlarda dogrunun denklemi y sx mt displaystyle y sx mt seklinde yazilabilir Egri izdusumsel koordinatlarda n dereceden homojen bir p x y t displaystyle p x y t polinomu ile tanimlanmissa y nin yerine konmasi x ve t turunden n derece homojen bir polinom saglar Cebirin temel teoremi dogrusal faktorlerde carpanlarina ayrilabilecegini isaret eder Her faktor bir kesisme noktasinin x ve t koordinatlarinin oranini verir ve carpanin katlilik sayisi kesisme noktasinin katlilik sayisidir t sonsuz un koordinati olarak gorulurse t ye esit bir carpan sonsuzda bir kesisme noktasini temsil eder Polinom p nin en az bir kismi turevi bir kesisme noktasinda sifir degilse bu noktada egrinin tegeti tanimlanir bkz ancak ve sadece dogru egriye teget ise kesisim katlilik sayisi birden buyuktur Tum kismi turevler sifirsa kesisme noktasi tekil bir noktadir ve kesisim katlilik sayisi en az ikidir Iki konik kesit Iki konik kesit genellikle dort noktada kesisir ve bunlardan bazilari cakisabilir Tum kesisme noktalarini dogru bir sekilde hesaba katmak icin karmasik koordinatlara izin vermek ve izdusumsel duzlemde sonsuz dogru uzerindeki noktalari dahil etmek gerekli olabilir Ornegin Bezout un teoremi dort taneyi tahmin ederken iki cember duzlemde ikiden fazla noktada kesismez Tutarsizlik her cemberin sonsuzda dogrunun ayni iki karmasik noktasindan gecmesinden kaynaklanir Cemberi asagidaki denklemle yazarsak x a 2 y b 2 r2 displaystyle x a 2 y b 2 r 2 dd homojen koordinatlarda x az 2 y bz 2 r2z2 0 displaystyle x az 2 y bz 2 r 2 z 2 0 dd buluruz Burada iki noktanin 1 i 0 ve 1 i 0 her cemberin uzerinde oldugu aciktir Iki cember gercek duzlemde hic kesismediginde diger iki kesisimin sifir olmayan imajiner kisimlari vardir veya esmerkezli iseler o zaman iki kesisim katlilik sayisi ile sonsuzda dogrunun iki noktasinda bulusurlar Teoreme gore herhangi bir konik iki noktada sonsuzda dogruyla bulusmalidir Bir hiperbol asimptotlarin iki yonune karsilik gelen iki gercek noktada karsilasir Bir elips birbiriyle eslenik olan iki karmasik noktada bulusur bir cember durumunda noktalar 1 i 0 ve 1 i 0 dir Bir parabol onunla yalnizca bir noktada karsilasir ancak bu bir teget noktasidir ve bu nedenle iki kez sayilir Asagidaki resimler x2 y2 1 0 cemberinin daha az kesisim noktasinda baska bir elips ile karsilastigi ornekleri gosterir cunku bunlardan en az biri 1 den buyuk katlilik sayisina sahiptir Elips ile birim cember in kesisimi2 katlilik sayisinin iki kesisim noktasi x2 4y2 1 0 displaystyle x 2 4y 2 1 0 3 katlilik sayisinin kesisim noktasi 5x2 6xy 5y2 6y 5 0 displaystyle 5x 2 6xy 5y 2 6y 5 0 4 katlilik sayisinin kesisim noktasi 4x2 y2 6x 2 0 displaystyle 4x 2 y 2 6x 2 0 Katlilik sayisi Multiplicity Katlilik sayisi kavrami cok daha zayif bir esitsizlik yerine bir esitlige sahip olmasina izin verdigi icin Bezout teoremi icin temeldir Sezgisel olarak birkac polinomun ortak bir sifirinin katlilik sayisi katsayilar dusuk ihtimalle bolunebilecegi sifirlarin sayisidir Ornegin bir egriye teget egriyi bir noktada kesen dogru hafifce hareket ettirilirse egriyi birkac noktada bolen bir dogrudur Bu sayi genel olarak ikidir siradan noktalar ancak daha fazla da olabilir bukulme noktalari icin uc dalgalanma noktalari icin dort vb Bu sayi tegetin temas katlilik sayisi multiplicity of contact dir Deformasyon yoluyla katlilik sayilarinin bu tanimi 19 yuzyilin sonuna kadar yeterliydi ancak daha uygun modern tanimlara yol acan birkac problemi vardir Deformasyonlarin degistirilmesi zordur ornegin bir tek degiskenli polinomun bir koku durumunda deformasyonla elde edilen katlilik sayisinin polinomun karsilik gelen dogrusal faktorunun katlilik sayisina esit oldugunu kanitlamak icin koklerin katsayilarin surekli fonksiyonlari oldugunu bilmek gerekir Pozitif ozellikli cisimler uzerinde deformasyonlar kullanilamaz Ayrica uygun bir deformasyonun tanimlanmasinin zor oldugu durumlar ikiden fazla duzlem egrinin ortak bir kesisme noktasina sahip olmasi durumunda oldugu gibi ve hatta deformasyonun mumkun olmadigi durumlar vardir Su anda Jean Pierre Serre den sonra katlilik sayisi genellikle katlilik sayisinin dikkate alindigi nokta ile iliskili yerel bir halkanin uzunlugu olarak tanimlanmaktadir Cogu spesifik tanim Serre nin taniminin ozel durumu olarak gosterilebilir Bezout teoremi durumunda teoremin her girdi denklemiyle bu denklemlerin katsayilarinda her carpanin tek bir kesisme noktasina karsilik gelecegi sekilde carpanlara ayiran bir polinomu iliskilendiren kanitlar asagiya bakiniz oldugu icin genel kesisim teorisinden kacinilabilir Dolayisiyla bir kesisim noktasinin katlilik sayisi carpanlara ayirmanin carpaninin katlilik sayisina karsilik gelir Bu katlilik sayisinin deformasyonla elde edilene esit oldugunun ispati kesisme noktalarinin surekli olarak koklere bagli olmasindan kaynaklanmaktadir IspatlarBileskeyi resultant kullanma duzlem egriler P ve Q sirasiyla dereceleri p ve q degiskenleri x y t olan iki homojen polinom olsun Sifirlari iki izdusumsel egrinin homojen koordinatlaridir Boylece kesisim noktalarinin homojen koordinatlari P ve Q nun ortak sifirlaridir Birlikte tek bir degiskenin y olsun mertebesi toplanarak katsayilari x ve t turunden homojen polinomlar olan tek degiskenli polinomlar elde edilir Teknik nedenlerden oturu P ve Q nun y cinsinden derecelerinin toplam derecelerine p ve q esit olmasi icin koordinatlarin degistirilmesi gerekir ve iki kesisme noktasindan gecen her dogru 0 1 0 noktasindan gecmez Bu iki noktanin ayni x Kartezyen koordinatina sahip olmadigi anlamina gelir y degiskenine gore P ve Q nun ortaya cikan bileskesi R x t x ve t turunden asagidaki ozellige sahip homojen bir polinomdur a t 0 0 displaystyle alpha tau neq 0 0 ile R a t 0 displaystyle R alpha tau 0 ancak ve ancak a b t displaystyle alpha beta tau P ve Q nun ortak bir sifiri olacak sekilde b displaystyle beta mevcutsa bkz Bileske Sifirlar Yukaridaki teknik durum sunlari saglar b displaystyle beta benzersizdir Yukaridaki ilk teknik kosul bileskenin taniminda kullanilan derecelerin p ve q oldugu anlamina gelir bu da R derecesinin pq oldugu anlamina gelir bkz Bileske Homojenlik R iki degiskenli homojen bir polinom oldugundan cebirin temel teoremi R nin pq dogrusal polinomlarin bir carpimi oldugunu isaret eder P ve Q ortak sifirinin katlilik sayisi carpimda karsilik gelen carpanin tekrar sayisi olarak tanimlanirsa Bezout un teoremi boylece kanitlanmis olur Az once tanimlanan kesisim katlilik sayisinin bir deformasyon acisindan tanima esit oldugunu kanitlamak icin bileske ve dolayisiyla dogrusal carpanlarinin P ve Q katsayilarinin surekli fonksiyonlari oldugunu belirtmek yeterlidir Diger kesisme katlilik sayisi tanimlariyla esitligin kanitlanmasi bu tanimlarin teknik ozelliklerine dayanir ve bu nedenle bu makalenin kapsami disindadir U bileske yi kullanma 20 yuzyilin baslarinda n degiskenli n homojen polinomun cok degiskenli bileskesini Macaulay in bileskesi olarak da bilinir tanitti bu iki polinomun olagan bileskesinin genellestirilmesidir Macaulay in bileskesi katsayilari iceren cebirsel kapali bir cisimde sadece ve sadece polinomlarin onemsiz olmayan yani bir bileseni sifir olmayan ortak sifira sahip olmasi durumunda sifir olan n homojen polinomlarin katsayilarinin bir polinom fonksiyonudur U bileske Macaulay tarafindan da tanitilan Macaulay in bileskesinin belirli bir ornegidir x0 xn displaystyle x 0 ldots x n turunden n 1 degiskenli n adet f1 fn displaystyle f 1 ldots f n homojen polinomu verildiginde U bileske f1 fn displaystyle f 1 ldots f n ve U0x0 Unxn displaystyle U 0 x 0 cdots U n x n polinomlarinin bileskesidir burada U0 Un displaystyle U 0 ldots U n katsayilari yardimci degiskenlerdir U bileske U0 Un displaystyle U 0 ldots U n turunden derecesi fi displaystyle f i derecelerinin carpimi olan homojen bir polinomdur Cok degiskenli bir polinom genellikle indirgenemez olsa da U bileske fi displaystyle f i katsayilarini iceren cebirsel kapali bir cisim uzerinde dogrusal polinomlar olarak Ui displaystyle U i seklinde carpanlara ayrilabilir Bu dogrusal carpanlar asagidaki sekilde fi displaystyle f i nin ortak sifirlarina karsilik gelir her ortak sifira a0 an displaystyle alpha 0 ldots alpha n dogrusal bir carpan a0U0 anUn displaystyle alpha 0 U 0 cdots alpha n U n karsilik gelir ve tersi de soylenebilir Bu ortak bir sifirin katlilik sayisi U bileskeye karsilik gelen dogrusal carpaninin katlilik sayisi olarak tanimlanirsa Bezout teoremini kanitlar Onceki kanita gelince bu katlilik sayisinin deformasyon yoluyla tanimla esitligi U bileskenin fi displaystyle f i katsayilarinin bir fonksiyonu olarak surekliliginden kaynaklanmaktadir Bezout un teoreminin bu kaniti modern kesinlik kriterlerini karsilayan en eski kanit gibi gorunuyor Bir idealin derecesini kullanmak Bezout teoremi asagidaki teoremi kullanarak polinomlarin sayisinin tekrarlanmasiyla kanitlanabilir V d displaystyle delta boyutu ve d1 displaystyle d 1 derecesinin bir izdusumsel cebirsel kumesi ve H herhangi bir indirgenemez V bileseni icermeyen d2 displaystyle d 2 dereceli bir hiper yuzey tek bir polinomla tanimlanan olsun bu hipotezler altinda V ve H kesisiminin d 1 displaystyle delta 1 boyutu ve d1d2 displaystyle d 1 d 2 derecesi vardir Hilbert dizilerini kullanarak bir kabataslak kanit icin bkz Bezout teoreminin kavramsal olarak basit bir ispatina izin vermenin yani sira bu teorem icin temeldir cunku bu teori esasen yukaridaki teoremin hipotezleri gecerli olmadiginda kesisme katlilik sayilarinin incelenmesine adanmistir Ayrica bakiniz Diger iki egrinin tum kesisim noktalarindan gecen cebirsel egriler hakkinda ortak karmasik sifirlarinin sayisi hakkindaNotlarDipnotlar Bezu diye okunur Nesin Ali 2018 Fen Liseleri Icin Matematik 3 Tamsayilar Yapisi s 53 ISBN 9786059569187 Notlar O Connor John J Robertson Edmund F Bezout teoremi MacTutor Matematik Tarihi arsivi Kirwan Frances Clare 1992 Complex Algebraic Curves United Kingdom Cambridge University Press ISBN 0 521 42353 8 Kerner D 2008 On the d const Collisions of Singularities of Complex Plane Curves s 5 Konuyla ilgili yayinlar PDF 4 Eylul 2019 tarihinde kaynagindan PDF arsivlendi Kitap bolumu Toni Annala Bezout s theorem PDF 7 Mayis 2021 tarihinde kaynagindan PDF erisim tarihi 14 Ekim 2020 PDF 30 Mart 2007 tarihinde kaynagindan PDF arsivlendi Andreas Gathmann Applications of Bezout s Theorem PDF 16 Ekim 2020 tarihinde kaynagindan PDF erisim tarihi 14 Ekim 2020 Kitap bolumu Dis baglantilarHazewinkel Michiel Ed 2001 Bezout theorem Encyclopaedia of Mathematics Kluwer Academic Publishers ISBN 978 1556080104 Eric W Weisstein Bezout s Theorem MathWorld MathPages 31 Ocak 2020 tarihinde kaynagindan arsivlendi YouTube da Bezout s Theorem Video 15 02 dk KaynaklarFulton William Weiss Richard 1974 Algebraic Curves An Introduction to Algebraic Geometry Mathematics Lecture Note Series W A Benjamin s 112 ISBN 978 0805330823 Newton 1966 Principia Vol I The Motion of Bodies based on Newton s 2nd edition 1713 translated by Andrew Motte 1729 and revised by Florian Cajori 1934 Berkeley CA University of California Press ISBN 978 0 520 00928 8 Newton Principia nin onceki 2 baskisinin alternatif cevirisi generalization of Bezout s Theorem erisim tarihi 10 Mart 2021 Teoremin genellestirilmesi