Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında ki-kare dağılım (x2 dağılımı) özellikle çıkarımsal istatistik analizde çok geniş bir pratik kullanım alanı bulmuştur.
Olasılık yoğunluk fonksiyonu![]() | |
Yığmalı dağılım fonksiyonu![]() | |
Parametreler | serbestlik derecesi |
---|---|
Olasılık yoğunluk fonksiyonu (OYF) | |
Birikimli dağılım fonksiyonu (YDF) | |
Ortalama | |
Medyan | yaklaşık olarak |
Mod | eğer |
Varyans | |
Çarpıklık | |
Fazladan basıklık | |
Entropi | |
Moment üreten fonksiyon (mf) | eğer |
Karakteristik fonksiyon |
Bu dağılım, gamma dağılımından elde edilir.
x, ve n parametreleri ile gamma dağılımına sahip olsun:
olur.
Burada ve alınırsa, elde edilen yeni dağılıma, serbestlik derecesiyle ki-kare dağılımı denir ve ile gösterilir.
x, serbestlik derecesiyle ki-kare dağılımına sahip ise:
ki-kare 1 n(0.1)'e eşittir olur.
Teorem 1
ise olur.
Teorem 2
rassal değişkenler N(0,1) dağılımına sahip olsun.
ise olur.
Teorem 3
varyansı bilinen, dağılımına sahip rastgele örneklem ve örneklem varyansı olmak üzere:
olur.
Karakteristikleri
Olasılık yoğunluk fonksiyonu
Ki-kare dağılım için olasılık yoğunluk fonksiyonu şu olur:
Burada bir bulunduğunu gösterir ve bu gösterir.
Yığmalı dağılım fonksiyonu
Ki-kare dağılımının yığmalı dağılım fonksiyonu şudur:
burada ve
ise olur.
Ki-karenin için verilen tablolar (biri aşağıda verilmiştir) yığmalı dağılim fonksiyonundan elde edilmektedir. Bu tablolar birçok değişik kaynaklardan bulunabilir. Örneğin bu fonksiyon için tablolar (spreadsheet) ve bulunmaktadır.
Karakteristik fonksiyonu
Ki-kare dağılımının karakteristik fonksiyonu şöyle yazılır:
Özellikleri
- Ki-kare dağılımı analizde epeyce kullanış alanı bulmuştur. Parametrik istatistik olarak varyans değeri güvenlik aralığı ve hipotez testi, parametrik olamayan (uygunluk iyiliği) testi, olumsallık tablosu üzerinde bağımsızlık testi ve ki-kareye bağlı ortaklılık katsayıları, uzaklık ölçüleri vb.
- iki ki-kare dağılımının oranından ortaya çıkması dolayışıyla önemli rol oynamaktadır.
Normal yaklaşım
Eğer ise, limitte
sonsuzluğa yaklaştıkça
normal dağılıma yaklaşır. Ancak bu eğilim (çarpıklık
ve basıklık fazlalığı
olduğundan dolayı) yavaş gelişmektedir. Ki-kare dağılımının iki değişik dönüşüm fonksiyonu normalliğe çok daha hızla yaklaşma göstermektedir:
Fisher ispat etmiştir ki ifadesi, yaklaşık olarak ortalaması
olan ve varyans değeri 1 olan bir normal dağılım gösterir.
Aynı normal yaklaşım sonucuna moment karşılaştırması yapılarak da erişilebilir. Bunu görmek için ki-dağılım gösteren rassal değişken in ortalaması ve varyansı izlensin. Bunlar sırasıyla şöyle verilir:
ve
Burada bir Gamma fonksiyonudur.
ifadeli gamma fonksiyonunun özel oranı (particular ratio) şu seri halinde açılabilir:
olduğu halde bu oran için şöyle yaklaşım bulunur:
Sonra basitleşen moment karşılaştırılması sonuçları şu yaklaşık dağılımı verirler;
,
Bundan da şu ifade hemen çıkartılabilir\:
.
Wilson ve Hilferty [1931] göstermiştir ki ifadesi, ortalaması
ve varyansı
olan bir normal dağılıma yaklaşıktır.
serbestlik derecesi olan bir ki-kare dağılımı gösteren bir rassal değişken için beklenen değer
olur. Aynı dağılımın medyan değeri yaklaşık olarak şu ifade ile verilir:
Eğer serbestlik derecesi 2 ise üstel dağılım ile aynı dağılımdır.
Enformasyon entropisi
ifadesi şöyle verilir:
Burada bir .
İlişkili dağılımlar
- Serbestlik derecesi 2ye eşit olan
için
bir üstel dağılım olur.
- Normal dağılım gösteren ve birbirinden bağımsız olan
değişkenleri için
ise,
bir ki-kare dağılımı gösterir.
- Eğer
dağılımlarının sıfır olmayan ortalamaları varsa, o halde
bir çıkartılmıştır.
olduğundan dolayı, ki-kare dağılımı
bir gamma dağılımının özel halidir.
- Eğer verilmiş serbestlik dereceleri ile
ve
birbirinden bağımsız iken
ise,
bir F-dağılımı gösterir.
ifadesi için
değişkenleri bağımsız ve
ise, o halde
ifadesi bir ki-kare dağılımı gösterir.
- Eğer
ki-kare dağılımı gösterirse, o halde
ifadesi de ki-kare dağılımı gösterir.
- Özellikle, eğer
(yani 2 serbestlik derecesi gösteren ki-kare ise), o halde
ifadesi Rayleigh dağılımı gösterir.
- Eğer
, yani hepsi
normal dağılım gösteren, rassal değişkenlerse, o halde
olur; burada dir.
- Eğer
, ise, o halde
olur.
İsim | İstatistik |
---|---|
Ki-kare dağılımı | |
Ki kare kritik değerler tablosu
g serbestlik derecesi için yukarı kuyruk alanının (olasılığın) α olmasına karşıt olan ki2 kritik değeri
+-----+-----------------------------------------------------------------------+ | \ α| | | \ | 0.995 0.91 0.925 0.95 0.90 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 | |g \ | | +-----+-----------------------------------------------------------------------+ | 1 | 0.00 0.00 0.00 0.00 0.02 2.71 3.84 5.02 6.63 7.88 | | 2 | 0.01 0.02 0.05 0.10 0.21 4.61 5.99 7.38 9.21 10.60 | | 3 | 0.07 0.11 0.22 0.35 0.58 6.25 7.81 9.35 11.34 12.84 | | 4 | 0.21 0.30 0.48 0.71 1.06 7.78 9.49 11.14 13.28 14.86 | | 5 | 0.41 0.55 0.83 1.15 1.61 9.24 11.07 12.83 15.09 16.75 | | 6 | 0.68 0.87 1.24 1.64 2.20 10.64 12.59 14.45 16.81 18.55 | | 7 | 0.99 1.24 1.69 2.17 2.83 12.02 14.07 16.01 18.48 20.28 | | 8 | 1.34 1.65 2.18 2.73 3.49 13.36 15.51 17.53 20.09 21.95 | | 9 | 1.73 2.09 2.70 3.33 4.17 14.68 16.92 19.02 21.67 23.59 | | 10 | 2.16 2.56 3.25 3.94 4.87 15.99 18.31 20.48 23.21 25.19 | | 11 | 2.60 3.05 3.82 4.57 5.58 17.28 19.68 21.92 24.72 26.76 | | 12 | 3.07 3.57 4.40 5.23 6.30 18.55 21.03 23.34 26.22 28.30 | | 13 | 3.57 4.11 5.01 5.89 7.04 19.81 22.36 24.74 27.69 29.82 | | 14 | 4.07 4.66 5.63 6.57 7.79 21.06 23.68 26.12 29.14 31.32 | | 15 | 4.60 5.23 6.26 7.26 8.55 22.31 25.00 27.49 30.58 32.80 | | 16 | 5.14 5.81 6.91 7.96 9.31 23.54 26.30 28.85 32.00 34.27 | | 17 | 5.70 6.41 7.56 8.67 10.09 24.77 27.59 30.19 33.41 35.72 | | 18 | 6.26 7.01 8.23 9.39 10.86 25.99 28.87 31.53 34.81 37.16 | | 19 | 6.84 7.63 8.91 10.12 11.65 27.20 30.14 32.85 36.19 38.58 | | 20 | 7.43 8.26 9.59 10.85 12.44 28.41 31.41 34.17 37.57 40.00 | | 21 | 8.03 8.90 10.28 11.59 13.24 29.62 32.67 35.48 38.93 41.40 | | 22 | 8.64 9.54 10.98 12.34 14.04 30.81 33.92 36.78 40.29 42.80 | | 23 | 9.26 10.20 11.69 13.09 14.85 32.01 35.17 38.08 41.64 44.18 | | 24 | 9.89 10.86 12.40 13.85 15.66 33.20 36.42 39.36 42.98 45.56 | | 25 | 10.52 11.52 13.12 14.61 16.47 34.38 37.65 40.65 44.31 46.93 | | 26 | 11.16 12.20 13.84 15.38 17.29 35.56 38.89 41.92 45.64 48.29 | | 27 | 11.81 12.88 14.57 16.15 18.11 36.74 40.11 43.19 46.96 49.64 | | 28 | 12.46 13.56 15.31 16.93 18.94 37.92 41.34 44.46 48.28 50.99 | | 29 | 13.12 14.26 16.05 17.71 19.77 39.09 42.56 45.72 49.59 52.34 | | 30 | 13.79 14.95 16.79 18.49 20.60 40.26 43.77 46.98 50.89 53.67 | +-----+-----------------------------------------------------------------------+
Kaynak: Kritik değerler İtalyanca Wikipedia için serbest programının qchisq(,1:30) fonksiyonu kullanılarak bulunmuştur.
Serbestlik derecesi g>30 olursa kritik değerleri bulmak için şu ifadeyi kullanmak yeterli olacaktır.
- χ²α,g = 1/2 ( zα + √(2g-1) )²
Burada zα Standart Normal N(0,1) için kritik değerdir (örneğin z0,95 = 1,645 olur.)
Ayrıca bakınız
- Serbestlik derecesi (istatistik)
- birleştirmek için
Kaynakça
- ^ (PDF). 15 Ekim 2008 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi. Erişim tarihi: 6 Nisan 2008.
Dış bağlantılar
- Ki-kare uyum-iyiliği sınaması ders notları 3 Mart 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde .
Yale University Stats 101 kodlu ders için ornekler hipotez sinamasi ve parametre tahminleri konularini kapsar.
- , Richard Lowry'nin istatistik web sitesinde.
- Dağılımlar hesaplayıcısı29 Ocak 2007 tarihinde Wayback Machine sitesinde . Normal, Student'in t, ki-kare ve F dağılımları için olasılıkları ve kritik değerleri hesaplar.
- Ki-kare kritik değerleri için Ki-kare hesaplayıcısı 24 Şubat 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde . South Carolina Universitesi'nde R.Webster West'in Java applet deposunda
- GraphPad tarafından hazırlanmış Ki-kare hesaplayıcısı 3 Aralık 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde .
- Ki-kare dağılımı için tablo 3 Aralık 2007 tarihinde Wayback Machine sitesinde .
wikipedia, wiki, viki, vikipedia, oku, kitap, kütüphane, kütübhane, ara, ara bul, bul, herşey, ne arasanız burada,hikayeler, makale, kitaplar, öğren, wiki, bilgi, tarih, yukle, izle, telefon için, turk, türk, türkçe, turkce, nasıl yapılır, ne demek, nasıl, yapmak, yapılır, indir, ücretsiz, ücretsiz indir, bedava, bedava indir, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, resim, müzik, şarkı, film, film, oyun, oyunlar, mobil, cep telefonu, telefon, android, ios, apple, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, pc, web, computer, bilgisayar