Ki-kare dağılımı

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında ki-kare dağılım (x² dağılımı) özellikle çıkarımsal istatistik analizde çok geniş bir pratik kullanım alanı bulmuştur.

ki-kare

Olasılık yoğunluk fonksiyonu
Yığmalı dağılım fonksiyonu
Parametreler	${\displaystyle k>0\,}$ serbestlik derecesi
	${\displaystyle x\in [0;+\infty )\,}$
Olasılık yoğunluk fonksiyonu (OYF)	${\displaystyle {\frac {(1/2)^{k/2}}{\Gamma (k/2)}}x^{k/2-1}e^{-x/2}\,}$
Birikimli dağılım fonksiyonu (YDF)	${\displaystyle {\frac {\gamma (k/2,x/2)}{\Gamma (k/2)}}\,}$
Ortalama	${\displaystyle k\,}$
Medyan	yaklaşık olarak ${\displaystyle k-2/3\,}$
Mod	${\displaystyle k-2\,}$ eğer ${\displaystyle k\geq 2\,}$
Varyans	${\displaystyle 2\,k\,}$
Çarpıklık	${\displaystyle {\sqrt {8/k}}\,}$
Fazladan basıklık	${\displaystyle 12/k\,}$
Entropi	${\displaystyle {\frac {k}{2}}\!+\!\ln(2\Gamma (k/2))\!+\!(1\!-\!k/2)\psi (k/2)}$
Moment üreten fonksiyon (mf)	${\displaystyle (1-2\,t)^{-k/2}}$ eğer ${\displaystyle 2\,t<1\,}$
Karakteristik fonksiyon	${\displaystyle (1-2\,i\,t)^{-k/2}\,}$

Bu dağılım, gamma dağılımından elde edilir.

x, ${\displaystyle \lambda }$ ve n parametreleri ile gamma dağılımına sahip olsun:

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\lambda ^{n}\Gamma (n)}}x^{n-1}e^{-{\frac {x}{\lambda }}}\qquad ,x>0}$ olur.

Burada ${\displaystyle \lambda =2}$ ve ${\displaystyle n=\nu /2}$ alınırsa, elde edilen yeni dağılıma, ${\displaystyle \nu }$ serbestlik derecesiyle ki-kare dağılımı denir ve ${\displaystyle \mathrm {X} _{\nu }^{2}}$ ile gösterilir.

x, ${\displaystyle \nu }$ serbestlik derecesiyle ki-kare dağılımına sahip ise:

ki-kare 1 n(0.1)'e eşittir ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2^{\frac {\nu }{2}}\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}x^{{\frac {\nu }{2}}-1}e^{-x/2}\qquad ,x>0}$ olur.

Teorem 1

${\displaystyle x\sim N(0,1)}$ ise ${\displaystyle x^{2}\sim \mathrm {X} _{1}^{2}}$ olur.

Teorem 2

${\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}}$ rassal değişkenler N(0,1) dağılımına sahip olsun.

${\displaystyle y=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}$ ise ${\displaystyle y\sim \mathrm {X} _{n}^{2}}$ olur.

Teorem 3

${\displaystyle \sigma ^{2}}$ varyansı bilinen, ${\displaystyle N(\mu ,\sigma ^{2})}$ dağılımına sahip rastgele örneklem ${\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}}$ ve ${\displaystyle s^{2}}$ örneklem varyansı olmak üzere:
${\displaystyle {\frac {(n-1)s^{2}}{\sigma ^{2}}}\sim \mathrm {X} _{n-1}^{2}}$ olur.

Karakteristikleri

Olasılık yoğunluk fonksiyonu

Ki-kare dağılım için olasılık yoğunluk fonksiyonu şu olur:

${\displaystyle f(x;k)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}}\,x^{(k/2)-1}e^{-x/2}&{\text{eğer }}x>0,\\0&{\text{eğer }}x\leq 0,\end{cases}}}$

Burada ${\displaystyle \Gamma }$ bir bulunduğunu gösterir ve bu gösterir.

Yığmalı dağılım fonksiyonu

Ki-kare dağılımının yığmalı dağılım fonksiyonu şudur:

${\displaystyle F(x;k)={\frac {\gamma (k/2,x/2)}{\Gamma (k/2)}}=P(k/2,x/2)}$

burada ${\displaystyle \gamma (k,z)}$ ve ${\displaystyle P(k,z)}$ ise olur.

Ki-karenin için verilen tablolar (biri aşağıda verilmiştir) yığmalı dağılim fonksiyonundan elde edilmektedir. Bu tablolar birçok değişik kaynaklardan bulunabilir. Örneğin bu fonksiyon için tablolar spreadsheet ve bulunmaktadır.

Karakteristik fonksiyonu

Ki-kare dağılımının karakteristik fonksiyonu şöyle yazılır:

${\displaystyle \chi (t;k)=(1-2it)^{-k/2}.\,}$

Özellikleri

• Ki-kare dağılımı analizde epeyce kullanış alanı bulmuştur. Parametrik istatistik olarak varyans değeri güvenlik aralığı ve hipotez testi, parametrik olamayan uygunluk iyiliği testi, olumsallık tablosu üzerinde bağımsızlık testi ve ki-kareye bağlı ortaklılık katsayıları, uzaklık ölçüleri vb.
• iki ki-kare dağılımının oranından ortaya çıkması dolayışıyla önemli rol oynamaktadır.

Normal yaklaşım

Eğer ${\displaystyle X\sim \chi _{k}^{2}}$ ise, limitte ${\displaystyle k}$ sonsuzluğa yaklaştıkça ${\displaystyle X}$ normal dağılıma yaklaşır. Ancak bu eğilim (çarpıklık ${\displaystyle {\sqrt {8/k}}}$ ve basıklık fazlalığı ${\displaystyle 12/k}$ olduğundan dolayı) yavaş gelişmektedir. Ki-kare dağılımının iki değişik dönüşüm fonksiyonu normalliğe çok daha hızla yaklaşma göstermektedir:

Fisher ispat etmiştir ki ${\displaystyle {\sqrt {2X}}}$ ifadesi, yaklaşık olarak ortalaması ${\displaystyle {\sqrt {2k-1}}}$ olan ve varyans değeri 1 olan bir normal dağılım gösterir.

Aynı normal yaklaşım sonucuna moment karşılaştırması yapılarak da erişilebilir. Bunu görmek için ki-dağılım gösteren rassal değişken ${\displaystyle z={\sqrt {X}}}$in ortalaması ve varyansı izlensin. Bunlar sırasıyla şöyle verilir:

${\displaystyle \mu _{z}={\sqrt {2}}{\frac {\Gamma \left(k/2+1/2\right)}{\Gamma \left(k/2\right)}}}$

ve

${\displaystyle \sigma _{z}^{2}=k-\mu _{z}^{2}}$

Burada ${\displaystyle \Gamma (\cdot )}$ bir Gamma fonksiyonudur. ${\displaystyle \mu _{z}}$ ifadeli gamma fonksiyonunun özel oranı (particular ratio) şu seri halinde açılabilir:

${\displaystyle {\frac {\Gamma \left(N+1/2\right)}{\Gamma \left(N\right)}}={\sqrt {N}}\left(1-{\frac {1}{8N}}+{\frac {1}{128N^{2}}}+{\frac {5}{1024N^{3}}}-{\frac {21}{32768N^{4}}}+\ldots \right).}$

${\displaystyle N\gg 1}$ olduğu halde bu oran için şöyle yaklaşım bulunur: ${\displaystyle {\frac {\Gamma \left(N+1/2\right)}{\Gamma \left(N\right)}}\approx {\sqrt {N}}\left(1-{\frac {1}{8N}}\right)\approx {\sqrt {N}}\left(1-{\frac {1}{4N}}\right)^{0.5}={\sqrt {N-1/4}}.}$

Sonra basitleşen moment karşılaştırılması sonuçları şu yaklaşık ${\displaystyle z}$ dağılımı verirler;

${\displaystyle z\sim {\mathcal {N}}\left({\sqrt {k-1/2}},{\frac {1}{2}}\right)}$,

Bundan da şu ifade hemen çıkartılabilir\:

${\displaystyle {\sqrt {2X}}\sim {\mathcal {N}}\left({\sqrt {2k-1}},1\right)}$.

Wilson ve Hilferty [1931] göstermiştir ki ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{X/k}}}$ ifadesi, ortalaması ${\displaystyle 1-2/(9k)}$ ve varyansı ${\displaystyle 2/(9k)}$ olan bir normal dağılıma yaklaşıktır.

${\displaystyle k}$ serbestlik derecesi olan bir ki-kare dağılımı gösteren bir rassal değişken için beklenen değer ${\displaystyle k}$ olur. Aynı dağılımın medyan değeri yaklaşık olarak şu ifade ile verilir:

${\displaystyle k-{\frac {2}{3}}+{\frac {4}{27k}}-{\frac {8}{729k^{2}}}.}$

Eğer serbestlik derecesi 2 ise üstel dağılım ile aynı dağılımdır.

Enformasyon entropisi

ifadesi şöyle verilir:

${\displaystyle H=\int _{-\infty }^{\infty }f(x;k)\ln(f(x;k))dx={\frac {k}{2}}+\ln \left(2\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)\right)+\left(1-{\frac {k}{2}}\right)\psi (k/2).}$

Burada ${\displaystyle \psi (x)}$ bir .

İlişkili dağılımlar

• Serbestlik derecesi 2ye eşit olan ${\displaystyle X\sim \chi _{2}^{2}}$ için ${\displaystyle X\sim \operatorname {Ustel} \left(\lambda ={\tfrac {1}{2}}\right)}$ bir üstel dağılım olur.

• Normal dağılım gösteren ve birbirinden bağımsız olan ${\displaystyle X_{i}\sim N(0,1)}$ değişkenleri için ${\displaystyle Y=\sum _{m=1}^{k}X_{m}^{2}}$ ise, ${\displaystyle Y\sim \chi _{k}^{2}}$ bir ki-kare dağılımı gösterir.
• Eğer ${\displaystyle X_{i}\sim N(\mu _{i},1)}$ dağılımlarının sıfır olmayan ortalamaları varsa, o halde ${\displaystyle Y=\sum _{m=1}^{k}X_{m}^{2}}$ bir çıkartılmıştır.
• ${\displaystyle X\sim \operatorname {Gamma} \left({\tfrac {\nu }{2}},2\right)}$ olduğundan dolayı, ki-kare dağılımı ${\displaystyle X\sim \chi _{\nu }^{2}}$ bir gamma dağılımının özel halidir.
• Eğer verilmiş serbestlik dereceleri ile ${\displaystyle X_{1}\sim \chi _{\nu _{1}}^{2}}$ ve ${\displaystyle X_{2}\sim \chi _{\nu _{2}}^{2}}$ birbirinden bağımsız iken ${\displaystyle Y={\frac {X_{1}/\nu _{1}}{X_{2}/\nu _{2}}}}$ ise, ${\displaystyle Y\sim \mathrm {F} (\nu _{1},\nu _{2})}$ bir F-dağılımı gösterir.
• ${\displaystyle Y=\sum _{m=1}^{N}X_{m}}$ ifadesi için ${\displaystyle X_{m}\sim \chi ^{2}(\nu _{m})}$ değişkenleri bağımsız ve ${\displaystyle {\bar {\nu }}=\sum _{m=1}^{N}\nu _{m}}$ ise, o halde ${\displaystyle Y\sim \chi ^{2}({\bar {\nu }})}$ ifadesi bir ki-kare dağılımı gösterir.
• Eğer ${\displaystyle X}$ ki-kare dağılımı gösterirse, o halde ${\displaystyle {\sqrt {X}}}$ ifadesi de ki-kare dağılımı gösterir.
• Özellikle, eğer ${\displaystyle X\sim \chi _{2}^{2}}$ (yani 2 serbestlik derecesi gösteren ki-kare ise), o halde ${\displaystyle {\sqrt {X}}}$ ifadesi Rayleigh dağılımı gösterir.
• Eğer ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ , yani hepsi ${\displaystyle N(\mu ,\sigma ^{2})}$ normal dağılım gösteren, rassal değişkenlerse, o halde

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X}})^{2}\sim \sigma ^{2}\chi _{n-1}^{2}}$

olur; burada ${\displaystyle {\bar {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$ dir.

• Eğer ${\displaystyle X\sim \operatorname {CarpikLogistik} \left({\tfrac {1}{2}}\right)\,}$, ise, o halde ${\displaystyle \log(1+e^{-X})\sim \chi _{2}^{2}\,}$ olur.

Çeşitli ki ve ki-kare dağılımları

İsim	İstatistik
Ki-kare dağılımı	${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}{\frac {\left(X_{i}-\mu _{i}\right)^{2}}{\sigma _{i}^{2}}}}$
	${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}$
	${\displaystyle {\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}}$
	${\displaystyle {\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}}$

Ki kare kritik değerler tablosu

g serbestlik derecesi için yukarı kuyruk alanının (olasılığın) α olmasına karşıt olan ki² kritik değeri

+-----+-----------------------------------------------------------------------+ | \ α| | | \ | 0.995 0.91 0.925 0.95 0.90 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 | |g \ | | +-----+-----------------------------------------------------------------------+ | 1 | 0.00 0.00 0.00 0.00 0.02 2.71 3.84 5.02 6.63 7.88 | | 2 | 0.01 0.02 0.05 0.10 0.21 4.61 5.99 7.38 9.21 10.60 | | 3 | 0.07 0.11 0.22 0.35 0.58 6.25 7.81 9.35 11.34 12.84 | | 4 | 0.21 0.30 0.48 0.71 1.06 7.78 9.49 11.14 13.28 14.86 | | 5 | 0.41 0.55 0.83 1.15 1.61 9.24 11.07 12.83 15.09 16.75 | | 6 | 0.68 0.87 1.24 1.64 2.20 10.64 12.59 14.45 16.81 18.55 | | 7 | 0.99 1.24 1.69 2.17 2.83 12.02 14.07 16.01 18.48 20.28 | | 8 | 1.34 1.65 2.18 2.73 3.49 13.36 15.51 17.53 20.09 21.95 | | 9 | 1.73 2.09 2.70 3.33 4.17 14.68 16.92 19.02 21.67 23.59 | | 10 | 2.16 2.56 3.25 3.94 4.87 15.99 18.31 20.48 23.21 25.19 | | 11 | 2.60 3.05 3.82 4.57 5.58 17.28 19.68 21.92 24.72 26.76 | | 12 | 3.07 3.57 4.40 5.23 6.30 18.55 21.03 23.34 26.22 28.30 | | 13 | 3.57 4.11 5.01 5.89 7.04 19.81 22.36 24.74 27.69 29.82 | | 14 | 4.07 4.66 5.63 6.57 7.79 21.06 23.68 26.12 29.14 31.32 | | 15 | 4.60 5.23 6.26 7.26 8.55 22.31 25.00 27.49 30.58 32.80 | | 16 | 5.14 5.81 6.91 7.96 9.31 23.54 26.30 28.85 32.00 34.27 | | 17 | 5.70 6.41 7.56 8.67 10.09 24.77 27.59 30.19 33.41 35.72 | | 18 | 6.26 7.01 8.23 9.39 10.86 25.99 28.87 31.53 34.81 37.16 | | 19 | 6.84 7.63 8.91 10.12 11.65 27.20 30.14 32.85 36.19 38.58 | | 20 | 7.43 8.26 9.59 10.85 12.44 28.41 31.41 34.17 37.57 40.00 | | 21 | 8.03 8.90 10.28 11.59 13.24 29.62 32.67 35.48 38.93 41.40 | | 22 | 8.64 9.54 10.98 12.34 14.04 30.81 33.92 36.78 40.29 42.80 | | 23 | 9.26 10.20 11.69 13.09 14.85 32.01 35.17 38.08 41.64 44.18 | | 24 | 9.89 10.86 12.40 13.85 15.66 33.20 36.42 39.36 42.98 45.56 | | 25 | 10.52 11.52 13.12 14.61 16.47 34.38 37.65 40.65 44.31 46.93 | | 26 | 11.16 12.20 13.84 15.38 17.29 35.56 38.89 41.92 45.64 48.29 | | 27 | 11.81 12.88 14.57 16.15 18.11 36.74 40.11 43.19 46.96 49.64 | | 28 | 12.46 13.56 15.31 16.93 18.94 37.92 41.34 44.46 48.28 50.99 | | 29 | 13.12 14.26 16.05 17.71 19.77 39.09 42.56 45.72 49.59 52.34 | | 30 | 13.79 14.95 16.79 18.49 20.60 40.26 43.77 46.98 50.89 53.67 | +-----+-----------------------------------------------------------------------+ 

Kaynak: Kritik değerler İtalyanca Wikipedia için serbest programının qchisq(,1:30) fonksiyonu kullanılarak bulunmuştur.

Serbestlik derecesi g>30 olursa kritik değerleri bulmak için şu ifadeyi kullanmak yeterli olacaktır.

χ²_α,g = 1/2 ( z_α + √(2g-1) )²

Burada z_α Standart Normal N(0,1) için kritik değerdir (örneğin z_0,95 = 1,645 olur.)

Ayrıca bakınız

• Serbestlik derecesi (istatistik)
• birleştirmek için

Kaynakça

1. ^ (PDF). 15 Ekim 2008 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi. Erişim tarihi: 6 Nisan 2008. 

Dış bağlantılar

• Ki-kare uyum-iyiliği sınaması ders notları 3 Mart 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde .

Yale University Stats 101 kodlu ders için ornekler hipotez sinamasi ve parametre tahminleri konularini kapsar.

• , Richard Lowry'nin istatistik web sitesinde.
• Dağılımlar hesaplayıcısı29 Ocak 2007 tarihinde Wayback Machine sitesinde . Normal, Student'in t, ki-kare ve F dağılımları için olasılıkları ve kritik değerleri hesaplar.
• Ki-kare kritik değerleri için Ki-kare hesaplayıcısı 24 Şubat 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde . South Carolina Universitesi'nde R.Webster West'in Java applet deposunda
• GraphPad tarafından hazırlanmış Ki-kare hesaplayıcısı 3 Aralık 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde .
• Ki-kare dağılımı için tablo 3 Aralık 2007 tarihinde Wayback Machine sitesinde .