Azərbaycanca AzərbaycancaБеларускі БеларускіDansk DanskDeutsch DeutschEspañola EspañolaFrançais FrançaisIndonesia IndonesiaItaliana Italiana日本語 日本語Қазақ ҚазақLietuvos LietuvosNederlands NederlandsPortuguês PortuguêsРусский Русскийසිංහල සිංහලแบบไทย แบบไทยTürkçe TürkçeУкраїнська Українська中國人 中國人United State United StateAfrikaans Afrikaans
Destek
www.wikipedia.tr-tr.nina.az
  • Vikipedi

Matematiğin bir alt dalı olan Milşteyn yöntemi ya da Milstein yöntemi stokastik diferansiyel denklemlere yaklaşık

Milstein yöntemi

Milstein yöntemi
www.wikipedia.tr-tr.nina.azhttps://www.wikipedia.tr-tr.nina.az

Matematiğin bir alt dalı olan Milşteyn yöntemi (ya da Milstein yöntemi) stokastik diferansiyel denklemlere yaklaşık sayısal çözümler üretmek için geliştirilmiş yöntemlerden biridir. Yöntem adını, bu yaklaşıklığı 1974'te yayınlayan 'den (Мильштейн, Г. Н.) almaktadır.

image

Yöntemin açıklaması

Wt, olsun. Başlangıç koşulu X0 = x0 olan ve

dXt=a(Xt,t)dt+b(Xt,t)dWt,{\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=a(X_{t},t)\,\mathrm {d} t+b(X_{t},t)\,\mathrm {d} W_{t},}image

hâlindeki stokastik bir diferansiyel denklemi [0, T] aralığında sayısal olarak çözmek istediğimizi varsayalım. Stokastik diferansiyel denklemin teorik çözümü X{\displaystyle X}image ile gösterilsin. X{\displaystyle X}image'in Milstein yaklaşıklığı aşağıdaki gibi kurulup tanımlanan ve bir Markov zinciri olan Y{\displaystyle Y}imagedir.

  • [0, T] aralığını N tane eşit altaralığa bölelim. Her altaralığın uzunluğu Δt>0{\displaystyle \Delta t>0}image ile gösterilsin. O zaman,
0=τ0<τ1<⋯<τN=T ve Δt=T/N{\displaystyle 0=\tau _{0}<\tau _{1}<\cdots <\tau _{N}=T{\text{ ve }}\Delta t=T/N}image
olacaktır.
  • Y0 = x0 tanımlansın.
  • 0 ≤ n ≤ N-1 için ΔWn=Wτn+1−Wτn{\displaystyle \Delta W_{n}=W_{\tau _{n+1}}-W_{\tau _{n}}}image olmak üzere, Yn terimleri yinelemeli olarak
Yn+1=Yn+a(Yn)Δt+b(Yn)ΔWn+12b(Yn)b′(Yn)((ΔWn)2−Δt){\displaystyle Y_{n+1}=Y_{n}+a(Y_{n})\Delta t+b(Y_{n})\Delta W_{n}+{\frac {1}{2}}b(Y_{n})b'(Y_{n})\left((\Delta W_{n})^{2}-\Delta t\right)}image
olarak tanımlansın. Burada, b′{\displaystyle b'}image ile türev, yani, b(x){\displaystyle b(x)}image fonksiyonunun x{\displaystyle x}image'e göre türevi, kastedilmiştir. Bahsi geçen ΔWn rasgele değişkenleri bağımsız ve özdeş dağılmış normal rastgele değişkenlerdir. Her birinin beklenen değeri sıfırdır ve her biri Δt varyansına sahiptir.

Yöntemin arkasındaki fikir

Yöntemin arkasındaki esas fikir b(Xt){\displaystyle b(X_{t})}image terimine Ito formülünü uygulayıp daha Euler yaklaşımlığını iyileştirmektir. Elbette, burada, bu terimdeki b{\displaystyle b}image fonksiyonun Ito formülünün koşullarına uyması beklenmektedir. ile db(Xt)=b′(Xt)dXt+12b″(Xt)b2(Xt)dt=[b′(Xt)a(Xt)+12b″(Xt)b2(Xt)]dt+b′(Xt)b(Xt)dWt=μb(Xt)dt+σb(Xt)dWt{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} b(X_{t})&=b'(X_{t})\mathrm {d} X_{t}+{\frac {1}{2}}b''(X_{t})b^{2}(X_{t})dt\\&=\left[b'(X_{t})a(X_{t})+{\frac {1}{2}}b''(X_{t})b^{2}(X_{t})\right]dt+b'(X_{t})b(X_{t})dW_{t}\\&=\mu _{b}(X_{t})dt+\sigma _{b}(X_{t})dW_{t}\\\end{aligned}}}image elde edilir.t≤u≤t+Δt{\displaystyle t\leq u\leq t+\Delta t}image şartını sağlayan bir u{\displaystyle u}image sayısı için, Euler-Maruyama yöntemi kullanılarak, yukarıda elde edilen db(Xt){\displaystyle \mathrm {d} b(X_{t})}image ifadesine yaklaşım sağlanır. Diğer deyişle, b(Xu)≈b(Xt)μb(Xt)[u−t]+σb(Xt)[Wu−Wt]=b(Xt)[b′(Xt)a(Xt)+12b″(Xt)b2(Xt)][u−t]+b′(Xt)b(Xt)[Wu−Wt]{\displaystyle {\begin{aligned}b(X_{u})&\approx b(X_{t})\mu _{b}(X_{t})[u-t]+\sigma _{b}(X_{t})[W_{u}-W_{t}]\\&=b(X_{t})\left[b'(X_{t})a(X_{t})+{\frac {1}{2}}b''(X_{t})b^{2}(X_{t})\right][u-t]+b'(X_{t})b(X_{t})[W_{u}-W_{t}]\end{aligned}}}image yazılabilir. Wu−Wt{\displaystyle W_{u}-W_{t}}image terimi olasılıkta O(u−t){\displaystyle O({\sqrt {u-t}})}image olduğundan ve bu yaklaşıklıktaki sürüklenme O(u−t){\displaystyle O(u-t)}image olduğundan, O(u−t){\displaystyle O(u-t)}image büyümesine sahip terimler düşürülüp b(Xu)≈b(Xt)+b′(Xt)b(Xt)[Wu−Wt],u∈[t,t+Δt]{\displaystyle {\begin{aligned}b(X_{u})&\approx b(X_{t})+b'(X_{t})b(X_{t})[W_{u}-W_{t}],\quad u\in [t,t+\Delta t]\end{aligned}}}image yazılır. Bu yüzden, ∫tt+Δtb(Xu)dWu≈∫tt+Δtb(Xt)+b′(Xt)b(Xt)[Wu−Wt]dW(u)=b(Xt)[Wt+Δt−Wt]+b′(Xt)b(Xt)∫tt+Δt[Wu−Wt]dW(u)=b(Xt)[Wt+Δt−Wt]+12b′(Xt)b(Xt)[(Wt+Δt−Wt)2−Δt].{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{t}^{t+\Delta t}b(X_{u})dW_{u}&\approx \int _{t}^{t+\Delta t}b(X_{t})+b'(X_{t})b(X_{t})[W_{u}-W_{t}]dW(u)\\&=b(X_{t})[W_{t+\Delta t}-W_{t}]+b'(X_{t})b(X_{t})\int _{t}^{t+\Delta t}[W_{u}-W_{t}]dW(u)\\&=b(X_{t})[W_{t+\Delta t}-W_{t}]+{\frac {1}{2}}b'(X_{t})b(X_{t})[(W_{t+\Delta t}-W_{t})^{2}-\Delta t].\\\end{aligned}}}image elde edilir. O zaman, Euler yaklaşımlığını biraz daha düzelterek Xt+Δt≈Xt+a(Xt)Δt+b(Xt)[Wt+Δt−Wt]+12b′(Xt)b(Xt)[(Wt+Δt−Wt)2−Δt]{\displaystyle {\begin{aligned}X_{t+\Delta t}\approx X_{t}+a(X_{t})\Delta t+b(X_{t})[W_{t+\Delta t}-W_{t}]+{\frac {1}{2}}b'(X_{t})b(X_{t})[(W_{t+\Delta t}-W_{t})^{2}-\Delta t]\end{aligned}}}image yazılır.

Programlama uygulaması

{dYt=μYdt+σYdWtY0=Yilk{\displaystyle {\begin{cases}dY_{t}=\mu Y\,{\mathrm {d} }t+\sigma Y\,{\mathrm {d} }W_{t}\\Y_{0}=Y_{\text{ilk}}\end{cases}}}image biçiminde verilmiş olan bir geometrik Brown hareketini sayısal olarak çözmek için Milşteyn yöntemi kullanılabilir.

Rastgele sayıların NumPy tarafından verildiği bir Python programlama kodu aşağıdaki gibi verilebilir: 

# -*- coding: utf-8 -*- import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from textwrap import wrap  class Model:  """Stokastik modelin sabitleri."""  MU = 0.05  SIGMA = 0.2  def dW(dt):  """Normal rastgele değişken çekilişi"""  return np.random.normal(loc=0.0, scale=np.sqrt(dt))  def simulasyon(t_i:int, t_s:int, adim_sayisi:int):  """bir simülasyon yolağı"""  T_ILK = t_i  T_SON = t_s  N = adim_sayisi  DT = float(T_SON - T_ILK) / N  Tler = np.arange(T_ILK, T_SON + DT, DT)  assert Tler.size == N + 1   Y_ILK = 1   yler = np.zeros(Tler.size)  yler[0] = Y_ILK  for i in range(1, Tler.size):  t = (i - 1) * DT  y = yler[i - 1]  dw = dW(DT)   #Milstein yontemindeki gibi terimleri topla  yler[i] = y + \  Model.MU * y * DT + \  Model.SIGMA * y * dw + \  (Model.SIGMA**2 / 2) * y * (dw**2 - DT)   return Tler, yler  #Birkaç simülasyonun aynı grafikte çizimi sim_sayisi=100 # [0, 1] aralığında 5000 zaman adımında hesaplıyoruz t_i=0# t_s=1 adim_sayisi=5000 for _ in range(sim_sayisi):  plt.plot(*simulasyon(t_i, t_s, adim_sayisi))  plt.xlabel("zaman (s)") plt.ylabel("y") plt.title("\n".join(wrap( r"$\mu=$ {} ve $\sigma=$ {} parametreleri verilen bir geometrik Brown hareketinin [{},{}] aralığında {} zaman adımlı Milşteyn yöntemiyle yapılan yaklaşıklamalarının {} yolaklı simülasyonu".format(Model.MU, Model.SIGMA, t_i, t_s, adim_sayisi, sim_sayisi))), fontsize='small') plt.savefig('Milstein.png', format="png") plt.show()

Ayrıca bakınız

  • Euler-Maruyama yöntemi

Kaynakça

  1. ^ Mil'shtein, G. N. (1974). "Approximate integration of stochastic differential equations". Teoriya Veroyatnostei i ee Primeneniya (Rusça). 19 (3). ss. 583-588. 20 Nisan 2024 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 27 Aralık 2024. 
  2. ^ Mil’shtein, G. N. (1975). "Approximate Integration of Stochastic Differential Equations". Theory of Probability & Its Applications. 19 (3). ss. 557-000. doi:10.1137/1119062. 
  3. ^ Glasserman, Paul (2003). Monte Carlo Methods in Financial Engineering. Springer New York, NY. ss. 341-343. doi:10.1007/978-0-387-21617-1. 

wikipedia, wiki, viki, vikipedia, oku, kitap, kütüphane, kütübhane, ara, ara bul, bul, herşey, ne arasanız burada,hikayeler, makale, kitaplar, öğren, wiki, bilgi, tarih, yukle, izle, telefon için, turk, türk, türkçe, turkce, nasıl yapılır, ne demek, nasıl, yapmak, yapılır, indir, ücretsiz, ücretsiz indir, bedava, bedava indir, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, resim, müzik, şarkı, film, film, oyun, oyunlar, mobil, cep telefonu, telefon, android, ios, apple, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, pc, web, computer, bilgisayar

Matematigin bir alt dali olan Milsteyn yontemi ya da Milstein yontemi stokastik diferansiyel denklemlere yaklasik sayisal cozumler uretmek icin gelistirilmis yontemlerden biridir Yontem adini bu yaklasikligi 1974 te yayinlayan den Milshtejn G N almaktadir Yontemin aciklamasiWt olsun Baslangic kosulu X0 x0 olan ve dXt a Xt t dt b Xt t dWt displaystyle mathrm d X t a X t t mathrm d t b X t t mathrm d W t halindeki stokastik bir diferansiyel denklemi 0 T araliginda sayisal olarak cozmek istedigimizi varsayalim Stokastik diferansiyel denklemin teorik cozumu X displaystyle X ile gosterilsin X displaystyle X in Milstein yaklasikligi asagidaki gibi kurulup tanimlanan ve bir Markov zinciri olan Y displaystyle Y dir 0 T araligini N tane esit altaraliga bolelim Her altaraligin uzunlugu Dt gt 0 displaystyle Delta t gt 0 ile gosterilsin O zaman 0 t0 lt t1 lt lt tN T ve Dt T N displaystyle 0 tau 0 lt tau 1 lt cdots lt tau N T text ve Delta t T N dd olacaktir Y0 x0 tanimlansin 0 n N 1 icin DWn Wtn 1 Wtn displaystyle Delta W n W tau n 1 W tau n olmak uzere Yn terimleri yinelemeli olarakYn 1 Yn a Yn Dt b Yn DWn 12b Yn b Yn DWn 2 Dt displaystyle Y n 1 Y n a Y n Delta t b Y n Delta W n frac 1 2 b Y n b Y n left Delta W n 2 Delta t right olarak tanimlansin Burada b displaystyle b ile turev yani b x displaystyle b x fonksiyonunun x displaystyle x e gore turevi kastedilmistir Bahsi gecen DWn rasgele degiskenleri bagimsiz ve ozdes dagilmis normal rastgele degiskenlerdir Her birinin beklenen degeri sifirdir ve her biri Dt varyansina sahiptir Yontemin arkasindaki fikirYontemin arkasindaki esas fikir b Xt displaystyle b X t terimine Ito formulunu uygulayip daha Euler yaklasimligini iyilestirmektir Elbette burada bu terimdeki b displaystyle b fonksiyonun Ito formulunun kosullarina uymasi beklenmektedir ile db Xt b Xt dXt 12b Xt b2 Xt dt b Xt a Xt 12b Xt b2 Xt dt b Xt b Xt dWt mb Xt dt sb Xt dWt displaystyle begin aligned mathrm d b X t amp b X t mathrm d X t frac 1 2 b X t b 2 X t dt amp left b X t a X t frac 1 2 b X t b 2 X t right dt b X t b X t dW t amp mu b X t dt sigma b X t dW t end aligned elde edilir t u t Dt displaystyle t leq u leq t Delta t sartini saglayan bir u displaystyle u sayisi icin Euler Maruyama yontemi kullanilarak yukarida elde edilen db Xt displaystyle mathrm d b X t ifadesine yaklasim saglanir Diger deyisle b Xu b Xt mb Xt u t sb Xt Wu Wt b Xt b Xt a Xt 12b Xt b2 Xt u t b Xt b Xt Wu Wt displaystyle begin aligned b X u amp approx b X t mu b X t u t sigma b X t W u W t amp b X t left b X t a X t frac 1 2 b X t b 2 X t right u t b X t b X t W u W t end aligned yazilabilir Wu Wt displaystyle W u W t terimi olasilikta O u t displaystyle O sqrt u t oldugundan ve bu yaklasikliktaki suruklenme O u t displaystyle O u t oldugundan O u t displaystyle O u t buyumesine sahip terimler dusurulup b Xu b Xt b Xt b Xt Wu Wt u t t Dt displaystyle begin aligned b X u amp approx b X t b X t b X t W u W t quad u in t t Delta t end aligned yazilir Bu yuzden tt Dtb Xu dWu tt Dtb Xt b Xt b Xt Wu Wt dW u b Xt Wt Dt Wt b Xt b Xt tt Dt Wu Wt dW u b Xt Wt Dt Wt 12b Xt b Xt Wt Dt Wt 2 Dt displaystyle begin aligned int t t Delta t b X u dW u amp approx int t t Delta t b X t b X t b X t W u W t dW u amp b X t W t Delta t W t b X t b X t int t t Delta t W u W t dW u amp b X t W t Delta t W t frac 1 2 b X t b X t W t Delta t W t 2 Delta t end aligned elde edilir O zaman Euler yaklasimligini biraz daha duzelterek Xt Dt Xt a Xt Dt b Xt Wt Dt Wt 12b Xt b Xt Wt Dt Wt 2 Dt displaystyle begin aligned X t Delta t approx X t a X t Delta t b X t W t Delta t W t frac 1 2 b X t b X t W t Delta t W t 2 Delta t end aligned yazilir Programlama uygulamasi dYt mYdt sYdWtY0 Yilk displaystyle begin cases dY t mu Y mathrm d t sigma Y mathrm d W t Y 0 Y text ilk end cases biciminde verilmis olan bir geometrik Brown hareketini sayisal olarak cozmek icin Milsteyn yontemi kullanilabilir Rastgele sayilarin NumPy tarafindan verildigi bir Python programlama kodu asagidaki gibi verilebilir coding utf 8 import numpy as np import matplotlib pyplot as plt from textwrap import wrap class Model Stokastik modelin sabitleri MU 0 05 SIGMA 0 2 def dW dt Normal rastgele degisken cekilisi return np random normal loc 0 0 scale np sqrt dt def simulasyon t i int t s int adim sayisi int bir simulasyon yolagi T ILK t i T SON t s N adim sayisi DT float T SON T ILK N Tler np arange T ILK T SON DT DT assert Tler size N 1 Y ILK 1 yler np zeros Tler size yler 0 Y ILK for i in range 1 Tler size t i 1 DT y yler i 1 dw dW DT Milstein yontemindeki gibi terimleri topla yler i y Model MU y DT Model SIGMA y dw Model SIGMA 2 2 y dw 2 DT return Tler yler Birkac simulasyonun ayni grafikte cizimi sim sayisi 100 0 1 araliginda 5000 zaman adiminda hesapliyoruz t i 0 t s 1 adim sayisi 5000 for in range sim sayisi plt plot simulasyon t i t s adim sayisi plt xlabel zaman s plt ylabel y plt title n join wrap r mu ve sigma parametreleri verilen bir geometrik Brown hareketinin araliginda zaman adimli Milsteyn yontemiyle yapilan yaklasiklamalarinin yolakli simulasyonu format Model MU Model SIGMA t i t s adim sayisi sim sayisi fontsize small plt savefig Milstein png format png plt show Ayrica bakinizEuler Maruyama yontemiKaynakca Mil shtein G N 1974 Approximate integration of stochastic differential equations Teoriya Veroyatnostei i ee Primeneniya Rusca 19 3 ss 583 588 20 Nisan 2024 tarihinde kaynagindan arsivlendi Erisim tarihi 27 Aralik 2024 Mil shtein G N 1975 Approximate Integration of Stochastic Differential Equations Theory of Probability amp Its Applications 19 3 ss 557 000 doi 10 1137 1119062 Glasserman Paul 2003 Monte Carlo Methods in Financial Engineering Springer New York NY ss 341 343 doi 10 1007 978 0 387 21617 1

Yayın tarihi: Ocak 19, 2025, 13:02 pm
En çok okunan
  • Ocak 06, 2025

    Polygala transvaalensis

  • Ocak 06, 2025

    Polygala tisserantii

  • Ocak 06, 2025

    Polygala tisseranta

  • Ocak 06, 2025

    Polygala tinctoria

  • Ocak 06, 2025

    Polygala timoutou

Günlük

  • Halkett botu

  • Homer Simpson

  • Bart Simpson

  • New Horizons

  • 2007

  • Yılın günleri listesi

  • II. Dünya Savaşı

  • Osman

  • Avusturya

  • Viyana

NiNa.Az - Stüdyo

  • Vikipedi

Bültene üye ol

Mail listemize abone olarak bizden her zaman en son haberleri alacaksınız.
Temasta ol
Bize Ulaşın
DMCA Sitemap Feeds
© 2019 nina.az - Her hakkı saklıdır.
Telif hakkı: Dadaş Mammedov
Üst