Nabla operatörü

Yöney analizinde del işlemcisi, 3 boyutlu Kartezyen koordinatlarda denk gelir ve ${\displaystyle \nabla }$ simgesiyle gösterilir.

Del işlemcisi,

tarafından temsil edilir.

Bu işlemci ve yöney (vektör) analizinde büyük kolaylık sağlaması bakımından bir . Temelde kısmi türevdir ve tam türevin çarpanlarından biri olarak düşünülebilir. Bilinen çarpma ve çarpım işlemleriyle yöneysel (vektörel) ve (skaler) alanlara etkir. Ancak bilinen çarpmayla kullanıldığı halde değildir, yazılımda sağ tarafındaki çarpana uygulanır.

Tanım

Del işlemcisi tanımlanır:

${\displaystyle dF={\frac {\partial F}{\partial x}}dx+{\frac {\partial F}{\partial y}}dy+{\frac {\partial F}{\partial z}}dz=\left({\hat {e}}_{x}{\frac {\partial F}{\partial x}}+{\hat {e}}_{y}{\frac {\partial F}{\partial y}}+{\hat {e}}_{z}{\frac {\partial F}{\partial z}}\right)\cdot (e_{x}dx+e_{y}dy+e_{z}dz)={\vec {\nabla }}F\cdot d{\vec {r}}}$

O halde, işlemci

${\displaystyle {\vec {\nabla }}={\hat {e}}_{x}{\frac {\partial }{\partial x}}+{\hat {e}}_{y}{\frac {\partial }{\partial y}}+{\hat {e}}_{z}{\frac {\partial }{\partial z}}}$

olarak tanımlanmış olur. Burada ${\displaystyle {\partial }/{\partial x_{i}}}$ işlemcisi kısmi türev, ${\displaystyle {\hat {e}}_{i}}$'ler de . i=(1,2,3) n boyutlu Öklit uzayında bu gösterim:

${\displaystyle {\vec {\nabla }}=\sum _{i=1}^{n}{\hat {e}}_{i}{\partial \over \partial x_{i}}}$

olarak genellenebilir. Buradaki ${\displaystyle e_{i}}$ 'ler birim yöneylerdir ve i=1,2,...,n alınır.

Ayrıca gereği nabla işlemcisi tensör olarak:

${\displaystyle \nabla _{i}={\hat {e}}_{i}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}.}$

şeklinde de gösterilebilir. F 'ye etkiyen del işlemcisi virgülle de gösterilebilir:

${\displaystyle \nabla _{i}F={\frac {\partial F}{\partial x_{i}}}=\partial _{i}F=F_{,i}}$

Burada i=1,2,3 alınır.

Örnekler

• Del işlemcisinin matematikteki çeşitli kullanım alanları: Gradyan, Diverjans, Rotasyonel, Laplasyen.
• Elektromanyetizmada Maxwell Denklemleri del işlemcisiyle ifade edilir. ${\displaystyle \rho _{s}\,}$ ve ${\displaystyle {\vec {J}}_{s}}$ sırasıyla serbest yüklerin yoğunluğu ve akısı olmak üzere,

${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {D}}=\rho _{s}}$

${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {B}}=0}$

${\displaystyle \nabla \times {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}}$

${\displaystyle \nabla \times {\vec {H}}={\vec {J}}_{s}+{\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}}$

• Fizikte korunumlu kuvvetler için potansiyel ifadesi yazılır, bu yüzden korunumlu bir F kuvveti için:

${\displaystyle {\vec {F}}=-\nabla \Phi }$

ifadesi geçerlidir ki burada ${\displaystyle \Phi }$ göndermesi, eğer F elektrik alan, eğer F manyetik alan ya da eğer F kütleçekim kuvveti ise .

• Dalga denkleminde

${\displaystyle \nabla ^{2}F-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}F}{\partial ^{2}t}}=0}$

• d'Alembert İşlemcisi

${\displaystyle \square ={\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}}$

Özel görelilikte del işlemcisi

Genelde 3 boyutlu Öklityen uzay ile 4 boyutlu Minkowski uzayı arasındaki fark bu maddede de uygulandığı gibi, Latin harfleriyle (i,j,k,...) gösterilirken yunan harfleriyle (${\displaystyle \alpha ,\beta ,\dots ,\mu ,\nu ,\dots }$ ) gösterilmesi adet olmuştur.

Del işlemcisi genel olarak her yöne ait kısmi türevdir. Einstein'ın Özel Görelilik kuramında 4-del işlemcisi şu şekilde tanımlanır:

${\displaystyle \partial _{\mu }=({\frac {\partial }{\partial ct}},{\vec {\nabla }})=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},{\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)}$

Burada ${\displaystyle \mu =0,1,2,3}$ alınır ve c .

Tensör gösteriminde virgül türev olarak ifade edilir:

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x_{\mu }}}=\partial _{\mu }F=F_{,\mu }}$

Burada ${\displaystyle \mu ={0,1,2,3}}$ alınır.

Maxwell denklemlerinin tensör gösterimi

Maxwell Denklemler tensörlerle ifade edilebilir. Kaldı ki bu şekilde dört tane olan denklem sayısı ikiye inmiş olur.

${\displaystyle \partial _{\mu }F^{\mu \nu }=J^{\nu }}$

${\displaystyle \partial _{\sigma }F_{\mu \nu }+\partial _{\nu }F_{\sigma \mu }+\partial _{\mu }F_{\nu \sigma }=0}$

Bu denklemleri daha da sade yazabiliriz:

${\displaystyle {F^{\mu \sigma }}_{,\mu }=J^{\nu }}$

${\displaystyle \epsilon _{\tau \mu \nu \sigma }{F^{\nu \sigma }}_{,\mu }=0}$

Buradaki ${\displaystyle \epsilon _{\delta \alpha \beta \gamma }}$ çarpanı .

Notlar

1. ^ Schey, H. M. (1997). Div, Grad, Curl, and All That: An Informal Text on Vector Calculus. New York: Norton. ISBN . 
2. ^ Miller, Jeff. "Earliest Uses of Symbols of Calculus". 1 Mayıs 2015 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 5 Ekim 2013. 
3. ^ Moler, ed., Cleve (26 Ocak 1998). . netlib.org. 12 Mayıs 2012 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 5 Ekim 2013. KB1 bakım: Fazladan yazı: yazar listesi ()

Kaynakça