Matematikte permütasyon n elemanlı bir kümenin k elemanlı alt kümelerinin kendi içinde k kere yer değiştirme say

Matematikte permütasyon, n elemanlı bir kümenin k elemanlı alt kümelerinin (kendi içinde) k kere yer değiştirme sayısıdır.

1'den 10'a kadar olan doğal sayıları içeren n elemanlı kümede r = 4 olarak alınırsa permütasyonların sayısı {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} kümesinden sırayı da gözetmek suretiyle oluşturulabilecek dört değişik elemanlı kümelerin sayısını ifade eder.

Permütasyonların hesaplanması

Permütasyonun kombinasyondan farkı, sıralamanın önemli olmasıdır.

Tekrarsız

Tekrarsız permütasyonda her eleman sadece bir kez kullanılabilir.

n elemanlı bir kümeden seçilen r elemanlı "tekrarsız" permütasyonların toplamı (n ≥ r olmak şartıyla) aşağıdaki formülle ifade edilir:

$P(n,r)={n \choose {n-r}}={\frac {n!}{(n-r)!}}$

Örnek

5 atın katıldığı bir yarışta seçilen 3 yarış atının "sırasıyla" birinci, ikinci ve üçüncü gelme olasılığı hesaplanırken bu formül kullanılabilir. Bir atın aynı yarışta iki kez birinci gelmesi mümkün değildir.

$P(5,3)={5 \choose {5-3}}={\frac {5!}{(5-3)!}}=60$

Seçilen sıralamanın doğru çıkma olasılığı 1/60'tır.

Tekrarlı

"Tekrarlı" permütasyonlar ise n^r formülü ile ifade edilir.

Bu formül ile örneğin 3 haneli rakamsal bir çanta şifresinin permütasyonları (seçilebilecek toplam şifre adedi) hesaplanabilir. Her çemberde 0-9 arası 10 rakam olduğu için toplam şifre sayısı 10 x 10 x 10 = 10³ = 1000'dir. Olası şifrelerin oluşturduğu seri 000, 001, 002 ... 997, 998, 999 şeklindedir. Yani rastgele denenen bir şifrenin çanta kilidini açma olasılığı 1/1000'dir.

Tekrarlı Permütasyon n tane farklı elemanın n¹ tanesi aynı n² tanesi aynı, ..., n™ tanesi aynı iken

 n¹ + n²+ ...+ n™ =n tane elemanın farklı sıralanışlarının sayısı _______n!______ n¹ ! .n² !....n™ ! kadardır .

Bilgisayarla hesaplama

Oluşturulacak küme sıralı olduğundan dört değişik elemanın olası seçilme şekillerinin düşünülüp bu dörtlü dizilerin seçilme şekillerinin sayısı hesaplanmalıdır:

10 elemanlı kümeden seçebilecek on eleman vardır.
Bir eleman seçildikten sonra bir daha seçilemediğinden, ikinci eleman seçilirken dokuz sayı kalır. Her ilk seçilen on eleman için dokuz ikinci eleman seçme imkânı olduğundan ikinci eleman 10 x 9 = 90 ayrı şekilde sıralanır.

Genelleştirilip n ve r değişkenleri ile ifade edilirse

İlk eleman için $n$
İkinci eleman için $n(n-1)$
r kadar eleman seçmek içinse $n(n-1)(n-2)...(n-r+1)$ adet seçenek vardır.

Örnekler

C programlama dili

C kodunda permütasyon şu şekilde hesaplanabilir:

long permutasyon (const int n, const int r) {  int i;  long sonuc = 1;  for (i = 0; i <= r; i++)  {  sonuc = sonuc*(n - i);  }  return sonuc; }

PHP programlama dili

PHP kodunda şu şekilde bulunabilir:

function permutasyon($n,$r){ $sonuc = 1; for((($i = ($n - $r) + 1)); $i <= $n; $i++){ $sonuc = $i*$sonuc; } return $sonuc; } permutasyon(7, 2); // 42

Python programlama dili

def permutasyon(n, r): sonuc = 1 for i in range(r): sonuc = sonuc * (n - i) return sonuc

Ayrıca bakınız

Kombinasyon