Grup (tutam veya öbek), soyut cebirin en temel matematiksel yapısıdır. Grup, ayrıca bir ikili işlemin tanımlı olduğu bir kümedir. Bir grubun grup olabilmesi için aynı zamanda bu işlemin birleşmeli, birim elemanlı ve olması gerekir. Soyut cebirin halka, cisim, modül gibi diğer yapılarının temelini oluşturur.
Gruplar, ilk başta geometrik şekillerin simetrilerini araştırırken keşfedilmiştir. Dolayısıyla bir kübün simetrileri, bir sonlu grup örneği olarak verilebilir. Ama aynı şekilde, tam sayıların kümesi de toplama işlemiyle birlikte bir grup teşkil eder.
Tanımlar ve Özellikler
Tanım
Eğer üzerinde bir tane ikili işlemi tanımlanmış bir kümesi
- Bileşme: Her için
aksiyomunu sağlıyorsa bir yarı gruptur. Eğer bir yarı grup,
- Etkisiz eleman: Öyle bir mevcuttur ki her için
özelliğini sağlıyorsa bu kümeye monoid denir. Eğer bir monoid,
- : Her için öyle bir elemanı vardır ki
özelliğini de sağlıyorsa kümeye grup adı verilir. İşlemi vurgulamak için gösterimi kullanılır.
Ayrıca bir grup
- Değişme: Her için
özelliğini de sağlıyorsa değişmeli grup ya da 'in anısına Abelyen grup olarak adlandırılır.
Özellikler
Yukarıdaki aksiyomlar sağlandığında bazı özellikler otomatikman geçerli olur:
- Etkisiz Elemanın Biricikliği Bir grupta birden fazla etkisiz eleman bulunmaz.
- Ters Elemanların Biricikliği Her elemanının yegâne bir ters elemanı bulunur. Dolayısıyla elemanların tersini almak bir fonksiyondur ve bu fonksiyon şu özellikleri gösterir:
- Sadeleşme Özelliği ise
- Bölme Özelliği Her elemanları için özelliğini sağlayan bir ve yegâne bir mevcuttur.
- Üs n tane 'nın çarpımı kısaca olarak gösterilir. Bu gösterim, aşağıdaki özellikleri sağlar
- Sadece abelyen gruplar için
Temel Kavramlar
Homomorfizma
İki grubun yapısındaki benzerliklere homomorfizma ismi verilir. Resmen tanımlamak gerekirse, ve iki grup olsun, ise bu iki grup arasında tanımlı bir eşleme olsun. Eğer her için özelliği sağlanıyorsa 'ye bir homomorfizma denir. Homomorfizmalar bize hem hem de 'nin yapısı hakkında bilgi verdiği için çok kullanışlıdır.
Bir homomorfizma için, ile 'nin görüntüsü, yani 'de ile ulaşılabilen tüm elemanların kümesi kastedilir. daima 'nin bir altgrubudur. ile de 'nin çekirdeği, yani özelliğini sağlayan tüm elemanların kümesi kastedilir. daima 'nin bir altgrubudur, hatta normal bir altgruptur.
Bir homomorfizma, aynı zamanda birebir ve örten ise bu homomorfizmaya izomorfizma adı verilir. Aralarında bir izomorfizma bulunan iki gruba izomorfik denir ve bu durum şeklinde gösterilir. İki grubun izomorfik olması demek, iki grubun tanım kümeleri farklı da olsa yapılarının tamamen aynı olması demektir. Grup teoresinde, iki grubun birbiriyle "aynı" olduğu söylendiğinde çoğu zaman aslında izomorfik olduğu kastedilir.
İzomorfizma örneği vermek gerekirse, fonksiyonu, tam sayılar ve çift tam sayılar arasında bir izomorfizma teşkil eder. Dolayısıyla iki grubun tanım kümesi farklı olsa da belki şaşırtıcı bir şekilde yapılarının aynı olduğu ortaya çıkar.
Eğer , 'nin elemanlarını yine 'ye götüren bir homomorfizma ise 'ye bir endomorfizma denir. Eğer hem bir endomorfizma, hem de bir izomorfizma ise 'ye bir otomorfizma denir. 'nin tüm otomorfizmalarını alıp bir kümeye koyarsak, bu otomorfizmalar kendi aralarında bir grup teşkil eder, bu grup ile gösterilir.
Altgrup
Daha büyük bir grubun içinde bulunan gruplara altgrup ismi verilir. Resmen tanımlamak gerekirse, , 'nin bir altkümesi olsun. Eğer , 'nin işlemi ile kendi içinde de bir grupsa bu durumda 'ya 'nin altgrubu denir ve bu durum şeklinde gösterilir. Bir grubun altgrup olup olmadığını kontrol etmek için üç şeye bakmak gerekir:
- Her için de 'nun içinde
- Her elemanının tersi 'de 'nun içinde
- boşküme değil
Bu iki şart sağlanınca diğer grup aksiyomları otomatikman kanıtlanır. Ayrıyeten, 'nin eleman sayısı sonlu ise ikinci şart da otomatikman sağlanır.
Örnek vermek gerekirse, tüm çift sayıların kümesi, tüm tam sayıların kümesinin bir altgrubudur. Benzer şekilde, bir karenin tüm rotasyon simetrileri, karenin tüm simetrilerinin grubunun bir altgrubudur.
Şimdi , 'nin herhangi bir alt kümesi olsun. 'i içeren ve 'nin tüm altgrupların kesişimine tarafından üretilen altgrup denir ve ile gösterilir. Eşdeğer bir tanım ise, ve 'deki elemanların toplamları veya tersleri olarak yazılabilen tüm elemanların oluşturduğu altgruba denmesidir.
Eşkümeler
Şimdi bir grup, da bir altgrup olsun. Bir seçip 'nun elemanlarıyla tek tek çarpıp bunları bir kümeye yerleştirirsek bu kümeye bir eşküme denir ve bu şeklinde gösterilir. Eşkümeleri tanımlamanın başka bir yolu ise; bir eşküme ise her için olmasını gerektirmektir.
Meselâ 'yi bir karenin simetrileri olarak alırsak ve karenin rotasyon simetrilerinden oluşan altgrubunu ise ile gösterirsek, iki eşkümeye bölünür: 'nun kendisi ve bir yansıtmadan sonra ulaşılabilen simetrilerin kümesi. Veya 'yi alıp 3'ün katlarını içeren altgruba bölersek 3 eşküme elde ederiz: , ,
Grup çarpımı birebir olduğundan bir altgrubun tüm eşkümeleri eşit sayıda eleman içerir. Aynı zamanda, hiçbir eleman iki farklı eşkümenin aynı anda elemanı olamaz ve tüm eşkümelerin birleşimi de grubun tamamını verir. Bütün bunlar, Lagrange Teoremini kanıtlar: ise ve sonluysa 'nun eleman sayısı, 'nin eleman sayısının daima bir bölenidir.
Abelyen olmayan gruplarda, hem soldan çarparak şeklinde, hem de sağdan çarparak şeklinde eşkümeler elde etmek mümkündür. Bu eşkümelerin birbirinin aynısı olması da zorunlu değildir, ancak aynı olduğu durumlarda 'ya bir normal altgrup denir ve bu durum şeklinde gösterilir. Abelyen grupların tüm altgrupları normaldir.
Bölüm Grupları
Eğer , 'nin normal bir altgrubuysa, 'nun eşkümeleri arasında bir işlem tanımlamak mümkündür. Çünkü sadece normalse, 'nun iki eşkümesi ve 'den iki eleman alıp çarpınca yine tek bir eşkümeye ait elemanlar elde ederiz. normal bir altgrup değilse seçtiğimiz elemana göre farklı eşkümeler elde etmek mümkündür.
'nun eşkümeleri arasında bu şekilde bir işlem tanımlayıp elde ettiğimiz gruba 'nun bölüm grubu denir ve bu ile gösterilir. Bu şekilde 'yi daha basit olan iki parçaya ayırmış oluruz: ve .
Örnek vermek gerekirse, 'yi karenin simetri grubu olarak aldığımızda, sadece rotasyon simetrilerini içeren altgrup normaldir. Bu durumda iki elemandan oluşan bir altgrup verir ve 8 elemanlı 'yi 4 ve 2 elemanlı iki grup olarak parçalamış oluruz. Aynı şekilde tüm tam sayıları alıp 5'in katlarına bölersek 5 elemanlı bir grup elde etmiş oluruz. Bu bölüm grubu, sayılarının modülo 5 toplandığı gruba izomorftur.
Kaynakça
- Thomas W. Hungerford, Algebra, Springer-Verlag, Chapter I, 1974.
- Nathan Jacobson, Lectures in Abstract Algebra: I. Besic Concepts, Springer-Verlag, Chapter I, 1951.
- Serge Lang, Algebra, Addison-Wesley, 3. baskı, 1993.
- Yarasa Genel Müdürlüğü, Cebir, Hacettepe Üniversitesi FF, 2 cilt, 1987.
Ayrıca bakınız
Matematik ile ilgili bu madde seviyesindedir. Madde içeriğini genişleterek Vikipedi'ye katkı sağlayabilirsiniz. |
wikipedia, wiki, viki, vikipedia, oku, kitap, kütüphane, kütübhane, ara, ara bul, bul, herşey, ne arasanız burada,hikayeler, makale, kitaplar, öğren, wiki, bilgi, tarih, yukle, izle, telefon için, turk, türk, türkçe, turkce, nasıl yapılır, ne demek, nasıl, yapmak, yapılır, indir, ücretsiz, ücretsiz indir, bedava, bedava indir, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, resim, müzik, şarkı, film, film, oyun, oyunlar, mobil, cep telefonu, telefon, android, ios, apple, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, pc, web, computer, bilgisayar
Grup tutam veya obek soyut cebirin en temel matematiksel yapisidir Grup ayrica bir ikili islemin tanimli oldugu bir kumedir Bir grubun grup olabilmesi icin ayni zamanda bu islemin birlesmeli birim elemanli ve olmasi gerekir Soyut cebirin halka cisim modul gibi diger yapilarinin temelini olusturur Gruplar ilk basta geometrik sekillerin simetrilerini arastirirken kesfedilmistir Dolayisiyla bir kubun simetrileri bir sonlu grup ornegi olarak verilebilir Ama ayni sekilde tam sayilarin kumesi Z displaystyle mathbb mathbb Z de toplama islemiyle birlikte bir grup teskil eder Tanimlar ve OzelliklerTanim Eger uzerinde bir tane displaystyle ikili islemi tanimlanmis bir G displaystyle G kumesi Bilesme Her a b c G displaystyle a b c in G icin a b c a b c a b c displaystyle a b c a b c a b c aksiyomunu sagliyorsa bir yari gruptur Eger bir yari grup Etkisiz eleman Oyle bir e G displaystyle e in G mevcuttur ki her a G displaystyle a in G icin a e e a a displaystyle a e e a a ozelligini sagliyorsa bu kumeye monoid denir Eger bir monoid Her a G displaystyle a in G icin oyle bir a 1 G displaystyle a 1 in G elemani vardir ki a a 1 a 1 a e displaystyle a a 1 a 1 a e ozelligini de sagliyorsa kumeye grup adi verilir Islemi vurgulamak icin G displaystyle G gosterimi kullanilir Ayrica bir grup Degisme Her a b G displaystyle a b in G icin a b b a displaystyle a b b a ozelligini de sagliyorsa degismeli grup ya da in anisina Abelyen grup olarak adlandirilir Ozellikler Yukaridaki aksiyomlar saglandiginda bazi ozellikler otomatikman gecerli olur Etkisiz Elemanin Biricikligi Bir grupta birden fazla etkisiz eleman e displaystyle e bulunmaz Ters Elemanlarin Biricikligi Her a displaystyle a elemaninin yegane bir ters elemani a 1 displaystyle a 1 bulunur Dolayisiyla elemanlarin tersini almak bir fonksiyondur ve bu fonksiyon su ozellikleri gosterir ab 1 b 1a 1 displaystyle ab 1 b 1 a 1 e 1 e displaystyle e 1 e Sadelesme Ozelligi ab ac displaystyle ab ac ise b c displaystyle b c Bolme Ozelligi Her a b G displaystyle a b in G elemanlari icin b ac displaystyle b ac ozelligini saglayan bir ve yegane bir c displaystyle c mevcuttur Us n tane a a a displaystyle a a a nin carpimi kisaca an displaystyle a n olarak gosterilir Bu gosterim asagidaki ozellikleri saglar an 1 a 1 n a n displaystyle a n 1 a 1 n a n am n an m amn displaystyle a m n a n m a mn an am an m displaystyle a n a m a n m Sadece abelyen gruplar icin anbn ab n displaystyle a n b n ab n Temel KavramlarHomomorfizma Iki grubun yapisindaki benzerliklere homomorfizma ismi verilir Resmen tanimlamak gerekirse G displaystyle G ve H displaystyle H iki grup olsun ϕ G H displaystyle phi G mapsto H ise bu iki grup arasinda tanimli bir esleme olsun Eger her a b G displaystyle a b in G icin ϕ ab ϕ a ϕ b displaystyle phi ab phi a phi b ozelligi saglaniyorsa ϕ displaystyle phi ye bir homomorfizma denir Homomorfizmalar bize hem G displaystyle G hem de H displaystyle H nin yapisi hakkinda bilgi verdigi icin cok kullanislidir Bir homomorfizma icin imaj ϕ displaystyle mathrm imaj phi ile ϕ displaystyle phi nin goruntusu yani H displaystyle H de ϕ displaystyle phi ile ulasilabilen tum elemanlarin kumesi kastedilir imaj ϕ displaystyle mathrm imaj phi daima H displaystyle H nin bir altgrubudur ker ϕ displaystyle ker phi ile de ϕ displaystyle phi nin cekirdegi yani ϕ g e displaystyle phi g e ozelligini saglayan tum elemanlarin kumesi kastedilir ker ϕ displaystyle ker phi daima G displaystyle G nin bir altgrubudur hatta normal bir altgruptur Bir homomorfizma ayni zamanda birebir ve orten ise bu homomorfizmaya izomorfizma adi verilir Aralarinda bir izomorfizma bulunan iki gruba izomorfik denir ve bu durum G H displaystyle G cong H seklinde gosterilir Iki grubun izomorfik olmasi demek iki grubun tanim kumeleri farkli da olsa yapilarinin tamamen ayni olmasi demektir Grup teoresinde iki grubun birbiriyle ayni oldugu soylendiginde cogu zaman aslinda izomorfik oldugu kastedilir Izomorfizma ornegi vermek gerekirse ϕ x 2x displaystyle phi x mapsto 2x fonksiyonu tam sayilar ve cift tam sayilar arasinda bir izomorfizma teskil eder Dolayisiyla iki grubun tanim kumesi farkli olsa da belki sasirtici bir sekilde yapilarinin ayni oldugu ortaya cikar Eger ϕ G G displaystyle phi G mapsto G G displaystyle G nin elemanlarini yine G displaystyle G ye goturen bir homomorfizma ise ϕ displaystyle phi ye bir endomorfizma denir Eger ϕ displaystyle phi hem bir endomorfizma hem de bir izomorfizma ise ϕ displaystyle phi ye bir otomorfizma denir G displaystyle G nin tum otomorfizmalarini alip bir kumeye koyarsak bu otomorfizmalar kendi aralarinda bir grup teskil eder bu grup Aut G displaystyle mathrm Aut G ile gosterilir Altgrup Daha buyuk bir grubun icinde bulunan gruplara altgrup ismi verilir Resmen tanimlamak gerekirse U displaystyle U G displaystyle G nin bir altkumesi olsun Eger U displaystyle U G displaystyle G nin islemi ile kendi icinde de bir grupsa bu durumda U displaystyle U ya G displaystyle G nin altgrubu denir ve bu durum U G displaystyle U leq G seklinde gosterilir Bir grubun altgrup olup olmadigini kontrol etmek icin uc seye bakmak gerekir Her a b U displaystyle a b in U icin ab displaystyle ab de U displaystyle U nun icinde Her a displaystyle a elemaninin tersi a 1 displaystyle a 1 de U displaystyle U nun icinde U displaystyle U boskume degil Bu iki sart saglaninca diger grup aksiyomlari otomatikman kanitlanir Ayriyeten G displaystyle G nin eleman sayisi sonlu ise ikinci sart da otomatikman saglanir Ornek vermek gerekirse tum cift sayilarin kumesi tum tam sayilarin kumesinin bir altgrubudur Benzer sekilde bir karenin tum rotasyon simetrileri karenin tum simetrilerinin grubunun bir altgrubudur Simdi M displaystyle M G displaystyle G nin herhangi bir alt kumesi olsun M displaystyle M i iceren ve G displaystyle G nin tum altgruplarin kesisimine M displaystyle M tarafindan uretilen altgrup denir ve M displaystyle langle M rangle ile gosterilir Esdeger bir tanim ise M displaystyle M ve M displaystyle M deki elemanlarin toplamlari veya tersleri olarak yazilabilen tum elemanlarin olusturdugu altgruba M displaystyle langle M rangle denmesidir Eskumeler Simdi G displaystyle G bir grup U G displaystyle U leq G da bir altgrup olsun Bir g G displaystyle g in G secip U displaystyle U nun elemanlariyla tek tek carpip bunlari bir kumeye yerlestirirsek bu kumeye bir eskume denir ve bu gU displaystyle gU seklinde gosterilir Eskumeleri tanimlamanin baska bir yolu ise A displaystyle A bir eskume ise her a b A displaystyle a b in A icinab 1 U displaystyle ab 1 in U olmasini gerektirmektir Mesela G displaystyle G yi bir karenin simetrileri olarak alirsak ve karenin rotasyon simetrilerinden olusan altgrubunu ise U displaystyle U ile gosterirsek G displaystyle G iki eskumeye bolunur U displaystyle U nun kendisi ve bir yansitmadan sonra ulasilabilen simetrilerin kumesi Veya Z displaystyle mathbb Z yi alip 3 un katlarini iceren altgruba bolersek 3 eskume elde ederiz 6 3 0 3 6 displaystyle 6 3 0 3 6 5 2 1 4 7 displaystyle 5 2 1 4 7 4 1 2 5 7 displaystyle 4 1 2 5 7 Grup carpimi birebir oldugundan bir altgrubun tum eskumeleri esit sayida eleman icerir Ayni zamanda hicbir eleman iki farkli eskumenin ayni anda elemani olamaz ve tum eskumelerin birlesimi de grubun tamamini verir Butun bunlar Lagrange Teoremini kanitlar U G displaystyle U leq G ise ve G displaystyle G sonluysa U displaystyle U nun eleman sayisi G displaystyle G nin eleman sayisinin daima bir bolenidir Abelyen olmayan gruplarda hem soldan carparak gU displaystyle gU seklinde hem de sagdan carparak Ug displaystyle Ug seklinde eskumeler elde etmek mumkundur Bu eskumelerin birbirinin aynisi olmasi da zorunlu degildir ancak ayni oldugu durumlarda U displaystyle U ya bir normal altgrup denir ve bu durum U G displaystyle U trianglelefteq G seklinde gosterilir Abelyen gruplarin tum altgruplari normaldir Bolum Gruplari Eger U displaystyle U G displaystyle G nin normal bir altgrubuysa U displaystyle U nun eskumeleri arasinda bir islem tanimlamak mumkundur Cunku sadece U displaystyle U normalse U displaystyle U nun iki eskumesi A displaystyle A ve B displaystyle B den iki eleman alip carpinca yine tek bir eskumeye ait elemanlar elde ederiz U displaystyle U normal bir altgrup degilse sectigimiz elemana gore farkli eskumeler elde etmek mumkundur U displaystyle U nun eskumeleri arasinda bu sekilde bir islem tanimlayip elde ettigimiz gruba U displaystyle U nun bolum grubu denir ve bu G U displaystyle G U ile gosterilir Bu sekilde G displaystyle G yi daha basit olan iki parcaya ayirmis oluruz U displaystyle U ve G U displaystyle G U Ornek vermek gerekirse G displaystyle G yi karenin simetri grubu olarak aldigimizda sadece rotasyon simetrilerini iceren altgrup U displaystyle U normaldir Bu durumda G U displaystyle G U iki elemandan olusan bir altgrup verir ve 8 elemanli G displaystyle G yi 4 ve 2 elemanli iki grup olarak parcalamis oluruz Ayni sekilde tum tam sayilari alip 5 in katlarina bolersek 5 elemanli bir grup elde etmis oluruz Bu bolum grubu 0 1 2 3 4 displaystyle 0 1 2 3 4 sayilarinin modulo 5 toplandigi gruba izomorftur KaynakcaThomas W Hungerford Algebra Springer Verlag Chapter I 1974 Nathan Jacobson Lectures in Abstract Algebra I Besic Concepts Springer Verlag Chapter I 1951 Serge Lang Algebra Addison Wesley 3 baski 1993 Yarasa Genel Mudurlugu Cebir Hacettepe Universitesi FF 2 cilt 1987 Ayrica bakinizCisim HalkaMatematik ile ilgili bu madde taslak seviyesindedir Madde icerigini genisleterek Vikipedi ye katki saglayabilirsiniz