Bu maddedeki üslubun, ansiklopedik bir yazıdan beklenen resmî ve ciddi üsluba uygun olmadığı düşünülmektedir. |
Büyük Sayılar Kanunu ya da Büyük Sayılar Yasası, bir rassal değişkenin uzun vadeli kararlılığını tanımlayan bir olasılık teoremidir. Sonlu bir beklenen değere sahip birbirinden bağımsız ve eşit dağılıma sahip bir rassal değişkenler örneklemi verildiğinde, bu gözlemlerin ortalaması sonuçta bu beklenen değere yakınsayacak ve bu değere yakın bir seyir izleyecektir.
Büyük Sayılar Kanunu bir zarın peş peşe atılması ile örneklenebilir. Öyle ki, multinom dağılımı sonucunda 1, 2, 3, 4, 5 ve 6 sayılarının gelme olasılığı eşittir. Bu sonuçların aritmetik ortalaması (ya da "beklenen değeri"),
- (1+2+3+4+5+6)/6=3,5 olur.
Sağdaki grafik bir zarın atılması deneyinin sonuçlarını göstermektedir. Bu deneyde görürüz ki, ilk başta zar atışlarının ortalaması fazlaca dalgalanmaktadır. Büyük sayılar yasası tarafından öngörüldüğü üzere, gözlem sayısı arttıkça, ortalama, beklenen değerin yani 3,5'in etrafında dengelenmektedir.
Bir başka örnek madeni para atılması olabilir. Bir madeni paranın peş peşe atılması durumunda, yazıların (ya da turaların) sıklığı, gözlem sayısı arttıkça, %50'ye gittikçe yaklaşacaktır. Fakat yazı ve tura sayıları arasındaki mutlak fark atış sayısı arttıkça açılacaktır. Örneğin, 1000 atıştan sonra 520 ve 10000 atıştan sonra 5096 yazı görebiliriz. Ortalama,%52'den %50,96'ya gittiği, gerçek %50'ye yaklaştığı halde, ortalamadan toplam fark 40'tan 192'ye yükselmiştir.
Büyük Sayılar Kanunu önemlidir, çünkü rastgele olaylardan kararlı uzun-vadeli sonuçlar alınacağını "garanti eder". Örneğin, bir gazino tek bir Amerikan Rulet dönüşünden para kaybedebilir, ama 1000'lerce dönüşe oynanan paranın tamamının %5,3'üne yakınını neredeyse kesin olarak kazanacaktır. Bir oyuncunun herhangi bir kazancı, sonuçta oyunun başlıca parametreleri tarafından soğurulacaktır. Büyük sayılar yasasının büyük sayıda gözlem yapıldığı zaman etkili olacağı unutulmamalıdır. Küçük miktardaki gözlem için sonucun beklenen değere yaklaşacağını veya bir sapmanın hemen bir başkasıyla "dengeleneceğini" beklemek için bir neden yoktur. Kumarbaz aldanmasına bakabilirsiniz.
Geçmiş
Büyük Sayılar Kanunu ilk olarak Jacob Bernoulli tarafından tanımlanmıştır. 1713'te (Varsayımın Sanatı) adlı eserinde yayınlanan yeterli derecede titiz bir kanıtı geliştirebilmesi 20 yılına mal olmuştur. Bunu kendisinin "Altın Teoremi" olarak adlandırmış, fakat yaygın olarak "Bernoulli'nin Kuramı" olarak bilinmektedir ( fizik kuramıyla karıştırılmaması gerekir). 1835'te S.D. Poisson, bu yasayı "La loi des grands nombres" (Büyük sayılar yasası) olarak adlandırmıştır. İki isimde de anılagelen bu yasa için "Büyük sayılar yasası" terimi daha fazla kullanılmaktadır.
Bernoulli ve Poisson kendi çalışmalarını yayımladıktan sonra, Chebyshev, Markov, Borel, Cantelli ve Kolmogorov'un da aralarında yer aldığı diğer matematikçiler de yasanın gelişmesine katkıda bulunmuşlardır. Bu çalışmalar yasanın iki belirgin biçiminin ortaya konulmasında etkili olmuştur. Bu biçimlerden biri "zayıf" yasa, diğeri de "güçlü" yasa olarak adlandırılır. Bu biçimler farklı yasaları tanımlamamaktadır, sadece ölçülmüş olasılığın, gerçek olasılığa yakınsamasını tanımlamanın farklı yollarıdır ve büyük olan küçüğü içerir.
İspatı
X1, X2, ... şeklinde, E(X1) = E(X2) = ... = µ < ∞ biçiminde ifade edilebilecek sonlu bir beklenen değere sahip, sonsuz sayıda (bağımsız ve özdeş dağılmış rastgele değişken) rastgele değişken serisi verildiğinde, örneklemin ortalamasının yakınsadığı değeri arıyoruz:
Büyük sayılar yasası - Zayıf yasa
Teorem:
Chebyshev'in eşitsizliğini kullanarak kanıtı
Bu kanıt veryansın sonlu olduğu varsayımına dayanır: (tüm değerleri için). Rastgele değişkenlerin bağımsız olması, aralarında herhangi bir korelasyon olmadığını belirtir ve ayrıca
Serinin genel ortalaması μ, örneklemin ortalamasıdır:
üzerinde kullanarak
elde edilebilir. Bu, aşağıdakini elde etmek için kullanılabilir:
n sonsuza gittikçe, ifadenin değeri 1'e yaklaşır. Olasılıktaki yakınsama tanımı (bkz. ) gereği,
sonucunu elde ederiz.
Karakteristik fonksiyonların yakınsamasını kullanarak kanıtı
gereğince herhangi bir rastgele değişkenin , X, μ sonlu ortalamasıyla, aşağıdaki şekilde yazılabilir:
Tüm X1, X2, ... değişkenleri aynı karakteristik fonksiyona sahiptir, böylece bunu φX ile belirtebiliriz.
Karakteristik fonksiyonların basit özelliklerini kullanarak
Bu kurallar, 'in φX: cinsinden karakteristik fonksiyonunu hesaplamak için kullanılabilir:
Limit eitμ, sabit rastgele değişken μ'nün karakteristik fonksiyonudur ve gereğince, dağılımda μ değerine yakınsar:
μ, dağılımdaki μ'ye yakınsamanın ve olasılıktaki μ'ye yakınsamanın eşit olduğunu ifade eden bir sabittir. (Bkz. ) Bu da şu anlama gelir:
Bu kanıt gerçekte şu anlama gelmektedir ki, olasılıkta örneklem ortalaması, var olduğu sürece, merkezdeki karakteristik fonksiyonun türevine yakınsar.
Biçimler
Yasanın her iki ifadesi de örneklem ortalamasının
beklenen değere yakınsadığını
ifade eder. Burada X1, X2, ... değerleri E(X1)=E(X2) = ... = µ < ∞ beklenen değerlerine sahip, bağımsız ve eş aralıklı () sonsuz rassal değişken sırasını simgeler.
Bir sonlu varyans Var(X1) = Var(X2) = ... = σ2 < ∞ varsayımına ihtiyaç yoktur. Büyük veya sonsuz varyans yakınsamayı daha yavaş kılacaktır, fakat büyük sayılar yasası hala geçerlidir. Kanıtları daha kolay ve kısa tutmak için bu varsayım genellikle yapılır.
Güçlü ve zayıf ifadeler arasındaki fark, hangi tür yakınsamadan bahsettiğimizdir.
Zayıf Yasa
Büyük sayıların zayıf yasası belirtmektedir ki, örneklem ortalamasının beklenen değere doğru gerçekleşir
Bu, herhangi bir pozitif ε sayısı için
()
Olasılıkta yakınsamayı yorumlarsak, zayıf yasa der ki, birçok gözlemin ortalaması giderek ne kadar küçük olduğuna bakılmaksızın, verilen herhangi bir sıfırdan farklı sınır dahilinde olmak üzere, ortalamaya yakın olacaktır.
Bu ifadeye zayıf yasa denir, çünkü olasılıkta yakınsama, rassal değişkenlerin zayıf yakınsamasıdır.
Zayıf büyük sayılar yasasının bir sonucu .
Güçlü Yasa
Büyük sayıların güçlü yasası der ki, örneklem ortalamasının beklenen değere doğru gerçekleşir.
Bu demektir ki,
Kanıt, zayıf yasadan daha karmaşıktır. Bu yasa bir rassal değişkenin beklenen değerini "art arda örneklemin uzun-vadeli ortalaması" olan sezgisel yorumunu doğrular.
Bu ifade güçlü yasa olarak adlandırılmıştır, çünkü yakınsama, rassal değişkenlerin güçlü yakınsamasıdır. Güçlü yasa, zayıfı kapsar.
Büyük sayıların güçlü yasası, 'in özel durumu olarak görülebilir.
Etkinlikler ve gösteriler
Kuramı ve büyük sayılar yasasının uygulamalarını interaktif araçlarla görselleştiren çeşitli uygulamalar mevcuttur. adlı hands-on learning activity15 Mart 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde . kaynak ile beraber Java applet (select the Coin Toss LLN Experiment)28 Aralık 2014 tarihinde Wayback Machine sitesinde . sitesinde yer alan örnekler büyük sayılar yasasını güzel bir şekilde ifade eder.
Ayrıca bakınız
Kaynakça
- ^ Tijms, Henk (2007). Understanding Probability: Chance Rules in Everyday Life. Cambridge University Press. s. 17. ISBN .
- ^ Jakob Bernoulli, Ars Conjectandi: Usum & Applicationem Praecedentis Doctrinae in Civilibus, Moralibus & Oeconomicis, 1713, Chapter 4,(Translated into English by Oscar Sheynin)
- ^ Hacking, Ian. (1983) "19th-century Cracks in the Concept of Determinism"
- Grimmett, G. R.; Stirzaker, D. R. (1992). Probability and Random Processes, 2nd Edition. Clarendon Press, Oxford. .
- Durrett, Richard (1995). Probability: Theory and Examples, 2nd Edition. Duxbury Press.
- Jacobsen, Martin (1992). Videregående Sandsynlighedsregning (Advanced Probability Theory) 3rd Edition. HCØ-tryk, Copenhagen. .
Dış bağlantılar
- [1] 4 Eylül 2021 tarihinde Wayback Machine sitesinde . MathWorld: Zayıf büyük sayılar yasası.
- [2] 23 Eylül 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde . MathWorld: Güçlü büyük sayılar yasası.
- Şans tabloları yasası - rastgele şansa bağlanabilenden daha büyük olduğu iddia edilen başarıların sınanması için kullanılır.
wikipedia, wiki, viki, vikipedia, oku, kitap, kütüphane, kütübhane, ara, ara bul, bul, herşey, ne arasanız burada,hikayeler, makale, kitaplar, öğren, wiki, bilgi, tarih, yukle, izle, telefon için, turk, türk, türkçe, turkce, nasıl yapılır, ne demek, nasıl, yapmak, yapılır, indir, ücretsiz, ücretsiz indir, bedava, bedava indir, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, resim, müzik, şarkı, film, film, oyun, oyunlar, mobil, cep telefonu, telefon, android, ios, apple, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, pc, web, computer, bilgisayar
Bu maddedeki uslubun ansiklopedik bir yazidan beklenen resmi ve ciddi usluba uygun olmadigi dusunulmektedir Maddeyi gelistirerek ya da konuyla ilgili tartismaya katilarak Vikipedi ye katkida bulunabilirsiniz Buyuk Sayilar Kanunu ya da Buyuk Sayilar Yasasi bir rassal degiskenin uzun vadeli kararliligini tanimlayan bir olasilik teoremidir Sonlu bir beklenen degere sahip birbirinden bagimsiz ve esit dagilima sahip bir rassal degiskenler orneklemi verildiginde bu gozlemlerin ortalamasi sonucta bu beklenen degere yakinsayacak ve bu degere yakin bir seyir izleyecektir Buyuk Sayilar Kanunu bir zarin pes pese atilmasi ile orneklenebilir Oyle ki multinom dagilimi sonucunda 1 2 3 4 5 ve 6 sayilarinin gelme olasiligi esittir Bu sonuclarin aritmetik ortalamasi ya da beklenen degeri 1 2 3 4 5 6 6 3 5 olur Sagdaki grafik bir zarin atilmasi deneyinin sonuclarini gostermektedir Bu deneyde goruruz ki ilk basta zar atislarinin ortalamasi fazlaca dalgalanmaktadir Buyuk sayilar yasasi tarafindan ongoruldugu uzere gozlem sayisi arttikca ortalama beklenen degerin yani 3 5 in etrafinda dengelenmektedir Bir baska ornek madeni para atilmasi olabilir Bir madeni paranin pes pese atilmasi durumunda yazilarin ya da turalarin sikligi gozlem sayisi arttikca 50 ye gittikce yaklasacaktir Fakat yazi ve tura sayilari arasindaki mutlak fark atis sayisi arttikca acilacaktir Ornegin 1000 atistan sonra 520 ve 10000 atistan sonra 5096 yazi gorebiliriz Ortalama 52 den 50 96 ya gittigi gercek 50 ye yaklastigi halde ortalamadan toplam fark 40 tan 192 ye yukselmistir Buyuk Sayilar Kanunu onemlidir cunku rastgele olaylardan kararli uzun vadeli sonuclar alinacagini garanti eder Ornegin bir gazino tek bir Amerikan Rulet donusunden para kaybedebilir ama 1000 lerce donuse oynanan paranin tamaminin 5 3 une yakinini neredeyse kesin olarak kazanacaktir Bir oyuncunun herhangi bir kazanci sonucta oyunun baslica parametreleri tarafindan sogurulacaktir Buyuk sayilar yasasinin buyuk sayida gozlem yapildigi zaman etkili olacagi unutulmamalidir Kucuk miktardaki gozlem icin sonucun beklenen degere yaklasacagini veya bir sapmanin hemen bir baskasiyla dengelenecegini beklemek icin bir neden yoktur Kumarbaz aldanmasina bakabilirsiniz GecmisBuyuk Sayilar Kanunu ilk olarak Jacob Bernoulli tarafindan tanimlanmistir 1713 te Varsayimin Sanati adli eserinde yayinlanan yeterli derecede titiz bir kaniti gelistirebilmesi 20 yilina mal olmustur Bunu kendisinin Altin Teoremi olarak adlandirmis fakat yaygin olarak Bernoulli nin Kurami olarak bilinmektedir fizik kuramiyla karistirilmamasi gerekir 1835 te S D Poisson bu yasayi La loi des grands nombres Buyuk sayilar yasasi olarak adlandirmistir Iki isimde de anilagelen bu yasa icin Buyuk sayilar yasasi terimi daha fazla kullanilmaktadir Bernoulli ve Poisson kendi calismalarini yayimladiktan sonra Chebyshev Markov Borel Cantelli ve Kolmogorov un da aralarinda yer aldigi diger matematikciler de yasanin gelismesine katkida bulunmuslardir Bu calismalar yasanin iki belirgin biciminin ortaya konulmasinda etkili olmustur Bu bicimlerden biri zayif yasa digeri de guclu yasa olarak adlandirilir Bu bicimler farkli yasalari tanimlamamaktadir sadece olculmus olasiligin gercek olasiliga yakinsamasini tanimlamanin farkli yollaridir ve buyuk olan kucugu icerir IspatiX1 X2 seklinde E X1 E X2 µ lt biciminde ifade edilebilecek sonlu bir beklenen degere sahip sonsuz sayida bagimsiz ve ozdes dagilmis rastgele degisken rastgele degisken serisi verildiginde orneklemin ortalamasinin yakinsadigi degeri ariyoruz X n 1n X1 Xn displaystyle overline X n tfrac 1 n X 1 cdots X n Buyuk sayilar yasasi Zayif yasa Teorem X n Pmforn displaystyle overline X n xrightarrow P mu qquad textrm for qquad n to infty Chebyshev in esitsizligini kullanarak kaniti Bu kanit veryansin sonlu oldugu varsayimina dayanir Var Xi s2 displaystyle operatorname Var X i sigma 2 tumi displaystyle i degerleri icin Rastgele degiskenlerin bagimsiz olmasi aralarinda herhangi bir korelasyon olmadigini belirtir ve ayrica Var X n ns2n2 s2n displaystyle operatorname Var overline X n frac n sigma 2 n 2 frac sigma 2 n Serinin genel ortalamasi m orneklemin ortalamasidir E X n m displaystyle E overline X n mu X n displaystyle overline X n uzerinde kullanarak P X n m e s2ne2 displaystyle operatorname P left overline X n mu right geq varepsilon leq frac sigma 2 n varepsilon 2 elde edilebilir Bu asagidakini elde etmek icin kullanilabilir P X n m lt e 1 P X n m e 1 s2ne2 displaystyle operatorname P left overline X n mu right lt varepsilon 1 operatorname P left overline X n mu right geq varepsilon geq 1 frac sigma 2 n varepsilon 2 n sonsuza gittikce ifadenin degeri 1 e yaklasir Olasiliktaki yakinsama tanimi bkz geregi X n Pmforn displaystyle overline X n xrightarrow P mu qquad textrm for qquad n to infty sonucunu elde ederiz Karakteristik fonksiyonlarin yakinsamasini kullanarak kaniti geregince herhangi bir rastgele degiskenin X m sonlu ortalamasiyla asagidaki sekilde yazilabilir fX t 1 itm o t t 0 displaystyle varphi X t 1 it mu o t quad t rightarrow 0 Tum X1 X2 degiskenleri ayni karakteristik fonksiyona sahiptir boylece bunu fX ile belirtebiliriz Karakteristik fonksiyonlarin basit ozelliklerini kullanarak f1nX t fX tn andfX Y t fX t fY t if XandYare independent displaystyle varphi frac 1 n X t varphi X tfrac t n quad textrm and quad varphi X Y t varphi X t varphi Y t quad textrm if X textrm and Y textrm are independent Bu kurallar X n displaystyle scriptstyle overline X n in fX cinsinden karakteristik fonksiyonunu hesaplamak icin kullanilabilir fX n t fX tn n 1 imtn o tn n eitm asn displaystyle varphi overline X n t left varphi X left t over n right right n left 1 i mu t over n o left t over n right right n rightarrow e it mu quad textrm as quad n rightarrow infty Limit eitm sabit rastgele degisken m nun karakteristik fonksiyonudur ve geregince X n displaystyle scriptstyle overline X n dagilimda m degerine yakinsar X n Dmforn displaystyle overline X n xrightarrow mathcal D mu qquad textrm for qquad n to infty m dagilimdaki m ye yakinsamanin ve olasiliktaki m ye yakinsamanin esit oldugunu ifade eden bir sabittir Bkz Bu da su anlama gelir X n Pmforn displaystyle overline X n xrightarrow P mu qquad textrm for qquad n to infty Bu kanit gercekte su anlama gelmektedir ki olasilikta orneklem ortalamasi var oldugu surece merkezdeki karakteristik fonksiyonun turevine yakinsar BicimlerYasanin her iki ifadesi de orneklem ortalamasinin X n 1n X1 Xn displaystyle overline X n frac 1 n X 1 cdots X n beklenen degere yakinsadigini X n mforn displaystyle overline X n to mu qquad textrm for qquad n to infty ifade eder Burada X1 X2 degerleri E X1 E X2 µ lt beklenen degerlerine sahip bagimsiz ve es aralikli sonsuz rassal degisken sirasini simgeler Bir sonlu varyans Var X1 Var X2 s2 lt varsayimina ihtiyac yoktur Buyuk veya sonsuz varyans yakinsamayi daha yavas kilacaktir fakat buyuk sayilar yasasi hala gecerlidir Kanitlari daha kolay ve kisa tutmak icin bu varsayim genellikle yapilir Guclu ve zayif ifadeler arasindaki fark hangi tur yakinsamadan bahsettigimizdir Zayif Yasa Buyuk sayilarin zayif yasasi belirtmektedir ki orneklem ortalamasinin beklenen degere dogru gerceklesir X n Pmforn displaystyle overline X n xrightarrow P mu qquad textrm for qquad n to infty Bu herhangi bir pozitif e sayisi icin limn P X n m lt e 1 displaystyle lim n rightarrow infty operatorname P left left overline X n mu right lt varepsilon right 1 Olasilikta yakinsamayi yorumlarsak zayif yasa der ki bircok gozlemin ortalamasi giderek ne kadar kucuk olduguna bakilmaksizin verilen herhangi bir sifirdan farkli sinir dahilinde olmak uzere ortalamaya yakin olacaktir Bu ifadeye zayif yasa denir cunku olasilikta yakinsama rassal degiskenlerin zayif yakinsamasidir Zayif buyuk sayilar yasasinin bir sonucu Guclu Yasa Buyuk sayilarin guclu yasasi der ki orneklem ortalamasinin beklenen degere dogru gerceklesir X n a s mforn displaystyle overline X n xrightarrow mathrm a s mu qquad textrm for qquad n to infty Bu demektir ki P limn X n m 1 displaystyle operatorname P left lim n rightarrow infty overline X n mu right 1 Kanit zayif yasadan daha karmasiktir Bu yasa bir rassal degiskenin beklenen degerini art arda orneklemin uzun vadeli ortalamasi olan sezgisel yorumunu dogrular Bu ifade guclu yasa olarak adlandirilmistir cunku yakinsama rassal degiskenlerin guclu yakinsamasidir Guclu yasa zayifi kapsar Buyuk sayilarin guclu yasasi in ozel durumu olarak gorulebilir Etkinlikler ve gosterilerKurami ve buyuk sayilar yasasinin uygulamalarini interaktif araclarla gorsellestiren cesitli uygulamalar mevcuttur adli hands on learning activity15 Mart 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde kaynak ile beraber Java applet select the Coin Toss LLN Experiment 28 Aralik 2014 tarihinde Wayback Machine sitesinde sitesinde yer alan ornekler buyuk sayilar yasasini guzel bir sekilde ifade eder Ayrica bakinizMerkezi limit teoremiKaynakca Tijms Henk 2007 Understanding Probability Chance Rules in Everyday Life Cambridge University Press s 17 ISBN 978 0 521 70172 3 Jakob Bernoulli Ars Conjectandi Usum amp Applicationem Praecedentis Doctrinae in Civilibus Moralibus amp Oeconomicis 1713 Chapter 4 Translated into English by Oscar Sheynin Hacking Ian 1983 19th century Cracks in the Concept of Determinism Grimmett G R Stirzaker D R 1992 Probability and Random Processes 2nd Edition Clarendon Press Oxford ISBN 0 19 853665 8 Durrett Richard 1995 Probability Theory and Examples 2nd Edition Duxbury Press Jacobsen Martin 1992 Videregaende Sandsynlighedsregning Advanced Probability Theory 3rd Edition HCO tryk Copenhagen ISBN 87 91180 71 6 Dis baglantilar 1 4 Eylul 2021 tarihinde Wayback Machine sitesinde MathWorld Zayif buyuk sayilar yasasi 2 23 Eylul 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde MathWorld Guclu buyuk sayilar yasasi Sans tablolari yasasi rastgele sansa baglanabilenden daha buyuk oldugu iddia edilen basarilarin sinanmasi icin kullanilir