Hesaplanabilir sayı

Matematikte, hesaplanabilir sayılar, belirlenen herhangi bir doğruluk seviyesine ulaşacak şekilde sonlu ve sona eren bir algoritma ile hesaplanabilen reel sayıları ifade eder. Bu sayılar, yinelemeli sayılar, etkili sayılar ya da hesaplanabilir reel sayılarolarak da adlandırılır. Hesaplanabilir reel sayılar kavramı, o dönemde mevcut olan sezgisel hesaplanabilirlik kavramı üzerinden Emile Borel tarafından 1912'de ortaya konmuştur.

π, istenilen herhangi bir doğruluk derecesine kadar hesaplanabilirken, neredeyse tüm reel sayılar hesaplanabilir nitelikte değildir.

, Turing makineleri veya λ-hesaplama gibi formal algoritma temsilleri kullanılarak eşdeğer tanımlamalar yapılabilir. Hesaplanabilir sayılar, bir oluşturur ve matematikte pek çok durumda, ancak her durumda olmamak üzere, reel sayıların yerini alabilirler.

Turing makinesi örneği üzerinden yapılan gayri resmi tanımlama

Aşağıdaki metinde, Marvin Minsky sayıların hesaplanması konusunu, Alan Turing'in 1936 yılında tanımladığı sayılarla benzer bir yöntemle ifade etmektedir; yani, 0 ile 1 arasında "ondalık kesirler olarak yorumlanan sayı dizileri" şeklinde:

Hesaplanabilir bir sayı, başlangıçta n verilerek çalıştırıldığında, o sayının ninci basamağını kodlanmış olarak sonuçlandıran bir Turing makinesi bulunması halidir.

Tanımın temelini oluşturan kavramlar şöyledir: (1) Başta tanımlanmış bir n değerinin mevcudiyeti, (2) Her bir n değerinde, işlemin yalnızca belirli sayıda adımda gerçekleştirilmesi ve ardından makinenin istenilen sonucu üreterek faaliyetine son vermesidir.

(2) maddesinin bir başka versiyonu şu şekildedir: Makine, üzerindeki şeritte sıralı olarak bulunan tüm n sayısını yazdırır ve ninci sayıyı yazdıktan sonra işlemini durdurur - Bu durum, Minsky'nin gözlemlerini belirginleştirir: (3) Bir Turing makinesinin kullanılmasıyla, makinenin durum tablosunun şeklini alan sonlu bir tanımın, potansiyel olarak sonsuz bir ondalık sayı dizisini tanımlamak için nasıl kullanıldığıdır.

Fakat bu durum, sonucun önceden belirlenmiş herhangi bir doğruluk seviyesine uygun olması gerektiğini öngören modern tanımı kapsamaz. Başlangıçta sunulan gayri resmi tanım, (İng. table-maker's dilemma) olarak bilinen ve modern tanımın uğraşmadığı bir yuvarlama problemi ile karşı karşıyadır.

Tanım

Bir reel sayı a, eğer belirli bir hesaplanabilir fonksiyon ${\displaystyle f:\mathbb {N} \to \mathbb {Z} }$ aracılığıyla aşağıdaki yöntemle yakınsanabiliyorsa, hesaplanabilir olarak kabul edilir: Pozitif her tam sayı n değeri için, fonksiyon, a sayısının aşağıdaki koşulu sağlamasını garantileyen bir f(n) tam sayısını hesaplar:

${\displaystyle {f(n)-1 \over n}\leq a\leq {f(n)+1 \over n}.}$

İki benzer ve denk tanım mevcuttur:

• Herhangi bir pozitif rasyonel ${\displaystyle \varepsilon }$ için, ${\displaystyle |r-a|\leq \varepsilon ,}$ koşulunu tatmin eden bir r rasyonel sayı elde edebilen hesaplanabilir bir fonksiyon vardır.
• Hesaplanabilir rasyonel sayılar dizisi ${\displaystyle q_{i}}$, a sayısına yakınsamakta ve her i için ${\displaystyle |q_{i}-q_{i+1}|<2^{-i},}$ eşitsizliğini sağlamaktadır.

Hesaplanabilir sayılar, hesaplanabilir aracılığıyla tanımlanabilen bir başka denk tanıma sahiptir. Bir hesaplanabilir Dedekind kesiti, bir rasyonel sayı ${\displaystyle r}$ girdisi sağlandığında ${\displaystyle D(r)=\mathrm {true} ;}$ ya da ${\displaystyle D(r)=\mathrm {false} ;}$ değerlerinden birini döndüren hesaplanabilir bir fonksiyon ${\displaystyle D}$'dir ve şu şartları karşılar:

${\displaystyle \exists rD(r)=\mathrm {true} ;}$

${\displaystyle \exists rD(r)=\mathrm {false} ;}$

${\displaystyle (D(r)=\mathrm {true} )\wedge (D(s)=\mathrm {false} )\Rightarrow r<s;}$

${\displaystyle D(r)=\mathrm {true} \Rightarrow \exists s>r,D(s)=\mathrm {true} .;}$

3 sayısının tanımlayan D adlı program tarafından sunulan bir örnekte, ${\displaystyle q>0;}$ olmak üzere, bu durum şu şekilde ifade edilir:

${\displaystyle p^{3}<3q^{3}\Rightarrow D(p/q)=\mathrm {true} ;}$

${\displaystyle p^{3}>3q^{3}\Rightarrow D(p/q)=\mathrm {false} .;}$

Bir reel sayının hesaplanabilir olması, ancak ve ancak ona tekabül eden hesaplanabilir bir Dedekind kesiti D'nin varlığı ile mümkündür. Her hesaplanabilir sayı için D fonksiyonu özgündür (tabii ki, farklı iki program aynı fonksiyonu temin edebilir).

Reel ve sanal parçaları hesaplanabilir olan bir karmaşık sayı, hesaplanabilir olarak tanımlanmaktadır.

Özellikler

Hesaplanabilir olarak sıralanamaz

Her bir Turing makinesi tanımına özgü bir tahsis edilmesi, hesaplanabilir sayılarla ilişkilendirilen doğal sayılar içerisinde bir ${\displaystyle S}$ alt kümesi oluşturur ve bu alt kümeden hesaplanabilir sayılara bir örten fonksiyonun varlığını işaret eder. Turing makinelerinin yalnızca sayılabilir miktarda olduğu bilinmekte olup, bu durum hesaplanabilir sayıların olduğunu ortaya koymaktadır. Ne var ki, bu Gödel sayılarının oluşturduğu ${\displaystyle S}$ kümesi nitelikte değildir (ve buna bağlı olarak, bu kümeyle ilintili olarak tanımlanan ${\displaystyle S}$ alt kümeleri de hesaplanabilir sıralanabilir değildir). Bu, hesaplanabilir reel sayıları üreten Turing makinelerine denk gelen Gödel sayılarını tespit edecek bir algoritmanın bulunmamasından kaynaklanmaktadır. Hesaplanabilir bir reel sayı üretmek için bir Turing makinesinin bir tam fonksiyon hesaplaması gerekmekte, fakat bu durumun ilişkili 0′′ kapsamındadır. Bu nedenle, doğal sayılardan hesaplanabilir reelleri temsil eden makinelerin oluşturduğu ${\displaystyle S}$ kümesine yönelik örten bir hesaplanabilir fonksiyon mevcut değildir ve , bunların sayılamayacak kadar çok olduğunu oluşturmacı bir biçimde ispatlamak için kullanılamaz.

Reel sayılar kümesinin olduğu bilinirken, hesaplanabilir sayılar kümesi klasik anlamda ve böylece reel sayıların büyük bir çoğunluğu hesaplanabilir nitelikte değildir. Bu durumda, herhangi bir hesaplanabilir sayı ${\displaystyle x}$ için, ${\displaystyle S}$ içinde ${\displaystyle x}$'e denk gelen minimal bir elementin varlığını öngörür; dolayısıyla, bu haritanın bir bijeksiyon olduğu minimal elemanlardan oluşan bir alt kümenin mevcut olduğu sonucuna varılır. Bu bijeksiyonun ters çevrimi, hesaplanabilir sayıların doğal sayılara enjeksiyonunu sağlar ve bunların sayılabilir olduğunu ispatlar. Ancak, hesaplanabilir reellerin kendileri sıralı olsa dahi, bu alt küme hesaplanabilir değildir.

Alan özellikleri

Hesaplanabilir sayılarda gerçekleştirilen aritmetik işlemler, a ve b reel sayıları hesaplanabilir olduğunda, a + b, a - b, ab ve b sıfır olmadığı durumda a/b olacak şekilde, bu reel sayıların da hesaplanabilir olduğu şekilde kendileri hesaplanabilir niteliktedir. Bu operasyonlar gerçekte tek tip olarak hesaplanabilirdir; bir örneğe göre, (A, B, ${\displaystyle \epsilon }$) girdisine sahip bir Turing makinesi, ayı yaklaşık olarak betimleyen A Turing makinesinin tanımı, byi yaklaşık olarak betimleyen B Turing makinesinin tanımı ve r, a+bnin bir ${\displaystyle \epsilon }$ yakınsaması olarak çıktı r üretebilir.

Hesaplanabilir reel sayıların bir alan oluşturduğu gerçeği, ilk defa tarafından 1954 yılında ispatlanmıştır.

Hesaplanabilir reel sayılar, bir hesaplanabilir alanın gerektirdiği etkin eşitlik tanımını karşılamadığı için, bir oluşturmamaktadır.

Sıralamanın hesaplanabilir olmaması

Hesaplanabilir sayılar arasındaki sıralama ilişkisi hesaplanabilir nitelikte değildir. A, ${\displaystyle a}$ sayısının yaklaşık değerini hesaplayan bir Turing makinesinin açıklaması olsun. Bu durumda, girdi A olduğunda, eğer ${\displaystyle a>0}$ ise "EVET", ${\displaystyle a\leq 0.}$ ise "HAYIR" yanıtını veren bir Turing makinesi mevcut değildir. Bunun nedenini anlamak için, A ile tanımlanan makinenin, ${\displaystyle \epsilon }$ yaklaşımları olarak sürekli olarak 0 değerini ürettiğini varsayın. Makinenin, a değerinin pozitif olacağını garanti altına alacak bir yaklaşım üretmeden önce ne kadar süre beklemesi gerektiği belirsizdir. Sonuç olarak, makine, bir çıktı sağlamak amacıyla sayının 0 olacağını tahmin etmek zorunda kalır; ancak dizi sonradan 0'dan farklı bir değer alabilir. Bu düşünce, eğer makine bir tam fonksiyon hesaplıyorsa, bazı dizilerde yanlış olduğunu göstermek için kullanılabilir. Hesaplanabilir gerçeklerin olarak ifade edilmesi durumunda benzer bir sorun meydana gelir. Eşitlik ilişkisi için de benzer bir durum söz konusudur: eşitliği test etme işlemi hesaplanabilir değildir.

Tam sıra ilişkisi hesaplanabilir olmamakla birlikte, birbirinden farklı sayı çiftlerine uygulanan kısıtlaması hesaplanabilir bir özellik göstermektedir. Bu bağlamda, ${\displaystyle a\neq b}$ koşulunu sağlayan, ${\displaystyle a}$ ve ${\displaystyle b}$ sayılarının yaklaşık değerlerini hesaplayan A ve B Turing makineleri için girdi alabilen ve sonuç olarak bu sayıların ${\displaystyle a<b}$ ya da ${\displaystyle a>b}$ ilişkisine sahip olup olmadığını belirleyen bir program mevcuttur. ${\displaystyle \epsilon <|b-a|/2,}$ olacak şekilde ${\displaystyle \epsilon }$-yaklaşımı kullanmak bu süreç için yeterli olup, ${\displaystyle \epsilon }$ değeri 0'a yaklaştıkça, ${\displaystyle a}$ ile ${\displaystyle b}$ arasındaki ilişkinin ${\displaystyle a<b}$ veya ${\displaystyle a>b}$ olduğuna dair kesin bir karara varılabilir.

Diğer özellikler

Hesaplanabilir reel sayılar, analiz disiplininde ele alınan reel sayıların tüm karakteristiklerini taşımazlar. Bir örnek olarak, hesaplanabilir reel sayılardan oluşturulan sınırlı ve artan bir dizinin en küçük üst sınırı, zorunlu olarak hesaplanabilir bir reel sayı olmayabilir. Bu tür bir diziye sahip olma özelliği, ilk olarak tarafından 1949'da tanıtılan bir olarak adlandırılır. Bu gibi karşıt örneklerin var oluşuna karşın, hesaplanabilir sayılar çerçevesinde kalkülüs ve reel analizin parçaları geliştirilebilir ve bu durum, alanının araştırılmasını teşvik eder.

Her hesaplanabilir sayı, aritmetiksel olarak tanımlanabilir niteliktedir, fakat bu ilişki karşılıklı olarak geçerli değildir. Aritmetiksel olarak tanımlanabilen ancak hesaplanamayan birçok reel sayı mevcuttur ki, bunlar arasında şunlar bulunmaktadır:

• Seçilen bir kodlama düzenine göre durma probleminin (veya diğer herhangi bir ) çözümünü içeren herhangi bir sayı.
• ${\displaystyle \Omega }$, durma problemine olan bir tür reel sayıdır.

Bu örnekler, her bir için tanımlanabilir, ancak hesaplanamayan sayıların sonsuz bir setini aslında tanımlamaktadır. Bir reel sayının hesaplanabilir olması, sadece bu sayının temsil ettiği doğal sayıların kümesi (ikili formatta yazılıp bir özellik fonksiyonu olarak değerlendirildiğinde) hesaplanabilir olduğu durumlarda söz konusudur.

Hesaplanabilir reel sayılar kümesi (aynı zamanda hesaplanabilir reeller'n sonu olmayan her sayılabilir, alt kümesi de dahil olmak üzere) rasyonel sayılar kümesiyle .

Rakam dizileri ve Cantor ile Baire uzayları

Turing'in orijinal makalesi hesaplanabilir sayıları şu şekilde tanımlamıştır:

Bir reel sayı, rakam dizisi bir algoritma ya da Turing makinesi tarafından üretilebiliyorsa hesaplanabilirdir. Algoritma, bir tam sayı ${\displaystyle n\geq 1}$ girdisi alır ve reel sayının ondalık genişlemesinin ${\displaystyle n}$-inci rakamını çıktı olarak üretir.

(a'nın ondalık genişlemesi yalnızca ondalık noktasından sonraki rakamlara atıfta bulunur.)

Turing, bu tanımının yukarıda sunulan ${\displaystyle \epsilon }$-yaklaşım tanımıyla eşdeğer olduğunu biliyordu. Argüman şöyle ilerler: Eğer bir sayı Turing bağlamında hesaplanabilirse, o zaman ${\displaystyle \epsilon }$ bağlamında da hesaplanabilir: ${\displaystyle n>\log _{10}(1/\epsilon )}$ olduğunda, a sayısının ondalık genişlemesinin ilk n rakamı, a için bir ${\displaystyle \epsilon }$ yaklaşımı temin eder. Tersini kanıtlamak için, ${\displaystyle \epsilon }$ ile hesaplanabilir bir reel sayı a alınır ve ondalık noktasından sonra gelen ninci rakam kesin olana kadar giderek daha doğru yaklaşımlar üretilir. Bu işlem her zaman a ile eşit bir ondalık genişleme sağlar ancak yanlış bir biçimde sonsuz bir 9 dizisiyle sonlanabilir ki bu durumda, sonlu (ve bu nedenle hesaplanabilir) bir düzgün ondalık genişlemesi olmalıdır.

Reel sayıların belirli topolojik özellikleri göz önüne alınmadığında, ${\displaystyle [0,1]}$ içerisindeki reel sayılar yerine ${\displaystyle 2^{\omega }}$ elemanlarıyla çalışmak sıklıkla daha avantajlıdır. ${\displaystyle 2^{\omega }}$ elemanları, ikili ondalık genişlemelerle özdeşleştirilebilir; ancak ${\displaystyle .d_{1}d_{2}\ldots d_{n}0111\ldots }$ ve ${\displaystyle .d_{1}d_{2}\ldots d_{n}10}$ ondalık genişlemeleri aynı reel sayıyı temsil ettiğinden, ${\displaystyle [0,1]}$ aralığı yalnızca sonu tümüyle 1'lerle bitmeyen ${\displaystyle 2^{\omega }}$ alt kümesiyle bijektif (ve alt küme topolojisi altında homeomorfik) bir biçimde özdeşleştirilebilir.

Ondalık genişlemelerin bu karakteristiği, ondalık genişleme temelinde tanımlanan hesaplanabilir reel sayılar ile ${\displaystyle \epsilon }$ yaklaşımı kavramı temelinde tanımlananlar arasında etkin bir şekilde ayrım yapılmasının mümkün olmadığını ortaya koymaktadır. Hirst, a hesaplanabilir sayısı için ${\displaystyle \epsilon }$ yaklaşımları üreten bir Turing makinesinin açıklamasını girdi olarak alan ve Turing'in tanımı çerçevesinde a sayısının rakamlarını enumerate eden bir Turing makinesi üreten bir algoritmanın var olmadığını ispatlamıştır. Aynı şekilde, bu durum, hesaplanabilir reel sayılar üzerindeki aritmetik işlemlerin, ondalık sayılar eklenirken karşılaşılan durumda olduğu gibi, bu sayıların ondalık temsilleri üzerinde etkin olmadığını da göstermektedir. Tek bir rakam elde etmek için, mevcut konuma bir taşımanın olup olmadığını tespit etmek amacıyla sağa doğru keyfi bir mesafe bakılması gerekebilir. Bu düzensizlik, çağdaş hesaplanabilir sayı tanımının ondalık genişlemeler yerine ${\displaystyle \epsilon }$ yaklaşımlarını tercih etmesinin temel sebeplerinden biridir.

Hesaplanabilirlik teorisi veya ölçüm teorisi açısından, ${\displaystyle 2^{\omega }}$ ve ${\displaystyle [0,1]}$ yapılarının özdeş olduğu kabul edilir. Bu bağlamda, hesaplanabilirlik teorisyenleri, genellikle ${\displaystyle 2^{\omega }}$ kümesinin elemanlarına reel sayılar olarak referans verirler. Her ne kadar ${\displaystyle 2^{\omega }}$, tamamen bağlantısız bir uzay olsa da, ${\displaystyle \Pi _{1}^{0}}$ sınıfları veya rastlantısallıkla ilgili soruların ele alınması ${\displaystyle 2^{\omega }}$ çerçevesinde daha mümkündür.

Öte yandan, ${\displaystyle \omega ^{\omega }}$ elemanlarına da zaman zaman reel sayılar denilmekte olup, bu yapı ${\displaystyle \mathbb {R} }$’nin bir homeomorfik yansımasını içermesine rağmen, yerel olarak kompakt olmaktan uzaktır (aynı zamanda tamamen bağlantısızdır). Bu durum, hesaplama özellikleri açısından belirgin farklılıklara neden olmaktadır. Örneğin, ${\displaystyle \phi (x,n)}$ niceliksiz ifadesiyle ${\displaystyle \forall (n\in \omega )\phi (x,n)}$ koşulunu sağlayan ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$, hesaplanabilir niteliktedir. Buna karşın, evrensel bir formülü sağlayan tekil ${\displaystyle x\in \omega ^{\omega }}$ elemanı, içerisinde keyfi bir yüksekliğe sahip olabilir.

Reel sayıların yerine kullanım

Hesaplanabilir sayılar, pratik uygulamalarda karşılaşılan belirli reel sayıları kapsar; bu sayılara tüm reel cebirsel sayılar, e, π ve pek çok transandantal sayı da dahildir. Hesaplanabilir reeller, hesaplamaya ya da yaklaşık değerlere ulaşmamız mümkün olan reel sayıları kapsamakla birlikte, tüm reel sayıların hesaplanabilir olduğu varsayımı, reel sayılar üzerine önemli ölçüde farklı çıkarımlarda bulunulmasına neden olur. Matematiğin tamamında tam reel sayılar kümesinin yerine hesaplanabilir sayıların kullanılabilirliği konusu doğal olarak gündeme gelir. Bu düşünce, oluşturmacı bir perspektiften ilgi çekicidir ve Errett Bishop ile Fred Richman tarafından Rus okulu olarak nitelendirilen oluşturmacı matematiğin bir dalı tarafından araştırılmıştır.

Hesaplanabilir sayılar temelinde analitik çalışmalar yapabilmek adına, belirli düzeylerde tedbirlerin alınması gerekliliği ortaya çıkmaktadır. Örnek vermek gerekirse, geleneksel bir dizi tanımı kullanıldığında, hesaplanabilir sayılar kümesinin, bir alma gibi temel bir işleme kapalı olmadığı görülür (bu durum, örneğinde olduğu gibi, ilgili bölüme müracaat edilebilir). Bu tür bir zorluğun üstesinden gelmek amacıyla, sadece hesaplanabilir bir bulunan dizilerin ele alınması önerilmektedir. Bu yaklaşımın matematikteki karşılığı, olarak isimlendirilen bir teori şeklinde kendini göstermektedir.

Reel sayıların kesin aritmetik temsilleri

Reel sayıları, yaklaşık değerler hesaplayan programlar olarak temsil eden bilgisayar yazılımları, "kesin aritmetik" adı altında ilk olarak 1985 yılında teklif edilmiştir. Çağdaş örnekler arasında CoRN kütüphanesi (Coq), ve RealLib paketi (C++) yer almaktadır. Bu alandaki ilişkili bir araştırma çizgisi, yeterli hassasiyette rasyonel veya kayan nokta sayılarıyla çalıştırılan bir programını temel almaktadır, paketi gibi.

Ayrıca bakınız

• Çizilebilir sayı

Notlar

1. ^ van der Hoeven (2006).
2. ^ P. Odifreddi, Classical Recursion Theory (1989), s.8. North-Holland, 0-444-87295-7
3. ^ Turing (1936).
4. ^ Minsky (1967).
5. ^ Rice (1954).
6. ^ Bridges & Richman (1987), s. 58.
7. ^ Specker (1949).
8. ^ Hirst (2007).
9. ^ Zalta, Edward N., (Ed.) (2022), "Russian School of Constructive Mathematics", Constructive Mathematics, Metaphysics Research Lab, Stanford University 
10. ^ Boehm, Hans-J.; Cartwright, Robert; Riggle, Mark; O'Donnell, Michael J. (8 Ağustos 1986). "Exact real arithmetic: A case study in higher order programming" (PDF). Proceedings of the 1986 ACM conference on LISP and functional programming - LFP '86. ss. 162-173. doi:10.1145/319838.319860. ISBN . 24 Eylül 2020 tarihinde kaynağından (PDF). 
11. ^ O’Connor, Russell (2008). "Certified Exact Transcendental Real Number Computation in Coq". Theorem Proving in Higher Order Logics. Lecture Notes in Computer Science. 5170. ss. 246-261. arXiv:0805.2438 $2. doi:10.1007/978-3-540-71067-7_21. ISBN . 
12. ^ Lambov (2015).
13. ^ Gowland, Paul; Lester, David (2001). "A Survey of Exact Arithmetic Implementations" (PDF). Computability and Complexity in Analysis. Lecture Notes in Computer Science (İngilizce). 2064. Springer. ss. 30-47. doi:10.1007/3-540-45335-0_3. ISBN . 24 Mart 2022 tarihinde kaynağından (PDF). 

Kaynakça

• Bridges, Douglas; Richman, Fred (1987). Varieties of Constructive Mathematics. Cambridge University Press. ISBN . 
• Hirst, Jeffry L. (2007). "Representations of reals in reverse mathematics". Bulletin of the Polish Academy of Sciences, Mathematics. 55 (4): 303-316. doi:10.4064/ba55-4-2. 
• Lambov, Branimir (5 Nisan 2015). "RealLib". GitHub. Arşivlenmesi gereken bağlantıya sahip kaynak şablonu içeren maddeler ()
• Minsky, Marvin (1967). "9. The Computable Real Numbers". Computation: Finite and Infinite Machines. Prentice-Hall. ISBN . OCLC 0131655639. 
• Rice, Henry Gordon (1954). "Recursive real numbers". Proceedings of the American Mathematical Society. 5 (5): 784-791. doi:10.1090/S0002-9939-1954-0063328-5. JSTOR 2031867. 
• (1949). "Nicht konstruktiv beweisbare Sätze der Analysis" (PDF). Journal of Symbolic Logic. 14 (3): 145-158. doi:10.2307/2267043. JSTOR 2267043. 21 Temmuz 2018 tarihinde kaynağından (PDF). 
• Turing, A. M. (1936). "On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem". Series 2. 42 (1) (1937 tarihinde yayınlandı): 230-65. doi:10.1112/plms/s2-42.1.230.  Bilinmeyen parametre |periyodik= görmezden gelindi ()
  Turing, A. M. (1938). "On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem: A correction". Series 2. 43 (6) (1937 tarihinde yayınlandı): 544-6. doi:10.1112/plms/s2-43.6.544.  Bilinmeyen parametre |periyodik= görmezden gelindi () Computable numbers (and Turing's a-machines) were introduced in this paper; the definition of computable numbers uses infinite decimal sequences.
• van der Hoeven, Joris (2006). "Computations with effective real numbers". Theoretical Computer Science. 351 (1): 52-60. doi:10.1016/j.tcs.2005.09.060. 

Ek okuma

• Aberth, Oliver (1968). "Analysis in the Computable Number Field". Journal of the Association for Computing Machinery. 15 (2): 276-299. doi:10.1145/321450.321460.  Bu çalışma, hesaplanabilir sayılar alanında kalkülüsün evrimini detaylandırmaktadır.
• Bishop, Errett; Bridges, Douglas (1985). Constructive Analysis. Springer. ISBN . 
• Stoltenberg-Hansen, V.; Tucker, J.V. (1999). "Computable Rings and Fields". Griffor, E.R. (Ed.). Handbook of Computability Theory. Elsevier. ss. 363-448. ISBN . 
• Weihrauch, Klaus (2000). Computable analysis. Texts in Theoretical Computer Science. Springer. ISBN .  §1.3.2, tekil gerçek sayıya yakınsayan aracılığıyla yapılan tanımı ele alır. Diğer gösterimler §4.1'de incelenmektedir.
• Weihrauch, Klaus (1995). A simple introduction to computable analysis. Fernuniv., Fachbereich Informatik.