Kalkülüste Rolle teoremi veya Rolle lemması temel olarak iki farklı noktada eşit değerlere sahip herhangi bir ger�

Kalkülüste, Rolle teoremi veya Rolle lemması temel olarak, iki farklı noktada eşit değerlere sahip herhangi bir gerçel değerli , aralarında bir yerde, teğet doğrusunun eğiminin sıfır olduğu en az bir noktaya sahip olması gerektiğini belirtir. Böyle bir nokta, durağan nokta olarak bilinir. Bu nokta, fonksiyonun birinci türevinin sıfır olduğu noktadır. Teorem adını Michel Rolle'den almıştır.

Teoremin standart versiyonu

Eğer gerçel-değerli bir $f$ fonksiyonu, $[a, b]$ sürekli, $(a, b)$ türevlenebilir ve $f (a) = f (b)$ ise, $(a, b)$ açık aralığında öyle bir $c$ vardır ki $f'(c)=0$ olur.

Rolle teoreminin bu versiyonu, Rolle teoreminin aslında özel bir durumu olan ortalama değer teoremi'ni kanıtlamak için kullanılır. Aynı zamanda Taylor teoreminin ispatı için de temel oluşturur.

Tarihçe

Teorem adını Michel Rolle'den alsa da, Rolle'ün 1691 tarihli ispatı yalnızca polinom fonksiyonlar durumunu kapsıyordu. İspatında, hayatının o döneminde yanlış olduğunu düşündüğü diferansiyel hesap yöntemlerini kullanmamıştır. Teorem ilk olarak 1823 yılında Cauchy tarafından ortalama değer teoreminin ispatının bir sonucu olarak ispatlanmıştır.Rolle teoremi adı ilk olarak 1834'te Alman ve 1846'da İtalyan tarafından kullanılmıştır.

Örnekler

Birinci örnek

Bir yarıçap için $r > 0$ ,

$f(x)={\sqrt {r^{2}-x^{2}}},\quad x\in [-r,r].$

fonksiyonunu göz önünde bulundurun.

Bunun grafiği, orijin merkezli üst . Bu fonksiyon $[- r, r]$ kapalı aralığında süreklidir ve $(- r, r)$ açık aralığında türevlenebilir, ancak $- r$ ve $r$ uç noktalarında türevlenemez. $f (- r) = f (r)$ olduğundan, Rolle teoremi geçerlidir ve gerçekten de $f$ türevinin sıfır olduğu bir nokta vardır. Teorem, fonksiyon uç noktalarda türevlenemediğinde bile geçerlidir çünkü sadece fonksiyonun açık aralıkta türevlenebilir olmasını gerektirir.

İkinci örnek

Eğer türevlenebilirlik aralığın bir iç noktasında başarısız olursa, Rolle teoreminin sonucu geçerli olmayabilir.

$f(x)=|x|,\quad x\in [-1,1].$

mutlak değer fonksiyonunu düşünün.

O zaman $f (-1) = f (1)$ , ancak -1 ile 1 arasında $c$ yoktur ki $f'(c)$ sıfır olsun.Bunun nedeni, bu fonksiyonun sürekli olmasına rağmen $x = 0$ 'da türevlenebilir olmamasıdır. $f$ 'nin türevi $x = 0$ 'da işaret değiştirir, ancak 0 değerine ulaşmaz. Teorem bu fonksiyona uygulanamaz çünkü fonksiyonun açık aralıktaki her $x$ için türevlenebilir olması gerektiği koşulunu sağlamaz. Bununla birlikte, Rolle teoreminden türevlenebilirlik şartı çıkarıldığında, $f$ yine de $(a, b)$ açık aralığında bir sahip olacaktır, ancak yatay bir teğet vermeyebilir (grafikte temsil edilen mutlak değer durumunda olduğu gibi).

Genelleştirme

İkinci örnek, Rolle teoreminin aşağıdaki genellemesini göstermektedir:

Kapalı bir $[a, b]$ aralığında $f (a) = f (b)$ olan gerçel değerli, sürekli bir $f$ fonksiyonu düşünün. Eğer $(a, b)$ açık aralığındaki her $x$ için sağdan limit, $f'(x^{+}):=\lim _{h\to 0^{+}}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$ ve soldan limit, $f'(x^{-}):=\lim _{h\to 0^{-}}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$ ise , $[-\infty, \infty]$ 'de mevcuttur, o zaman $(a, b)$ açık aralığında öyle bir $c$ sayısı vardır ki iki limitten biri $f'(c^{+})\quad {\text{ve}}\quad f'(c^{-})$ $\geq 0$ ve diğeriyse $\leq 0$ 'dır.(genişletilmiş reel doğruda). Eğer sağdan ve soldan limitleri her $x$ için uyumluysa, o zaman özellikle $c$ için uyumludur, dolayısıyla $f$ 'nin $c$ 'de türevi vardır ve sıfıra eşittir.

Açıklamalar

Eğer $f$ dışbükey veya içbükey ise, o zaman sağ ve sol türevler her iç noktada mevcuttur, dolayısıyla yukarıdaki limitler mevcuttur ve gerçel sayılardır.
Teoremin bu genelleştirilmiş versiyonu, tek taraflı türevler olduğunda kanıtlamak için yeterlidir: $f'(x^{-})\leq f'(x^{+})\leq f'(y^{-}),\quad x<y.$

Genelleştirilmiş versiyonun ispatı

Rolle teoreminin standart versiyonu ile genellemesinin ispatı çok benzer olduğundan, genellemeyi ispatlıyoruz.

İspatın ana fikri, eğer $f (a) = f (b)$ ise, $f$ $a$ ile $b$ arasında bir yerde, örneğin $c$ 'de değerine ulaşmalı ve fonksiyon $c$ 'de artmaktan azalmaya (veya tam tersi) değişmelidir. Özellikle, eğer türev varsa, $c$ 'de sıfır olmalıdır.

Varsayım olarak, $f$ fonksiyonu, $[a, b]$ üzerinde süreklidir ve ile $[a, b]$ içinde hem maksimumuna hem de minimumuna ulaşır. Bunların her ikisi de $[a, b]$ 'nin uç noktalarında elde edilirse, $f$ fonksiyonu $[a, b]$ üzerinde sabittir ve bu nedenle $f$ 'nin türevi $(a, b)$ 'nin her noktasında sıfırdır.

Bu durumda maksimumun $(a, b)$ 'nin bir olan $c$ 'de elde edildiğini varsayalım (minimum için argüman çok benzerdir, sadece $- f$ olarak düşünün). Yukarıdaki sağ ve sol limitleri ayrı ayrı inceleyeceğiz.

$c + h$ , $[a, b]$ içinde olacak şekilde gerçel bir $h$ için $f (c + h)$ değeri $f (c)$ değerinden küçük veya ona eşittir, çünkü $f$ $c$ 'de maksimuma ulaşır. Bu nedenle, her $h > 0$ için,

${\frac {f(c+h)-f(c)}{h}}\leq 0,$ ve dolayısıyla $f'(c^{+}):=\lim _{h\to 0^{+}}{\frac {f(c+h)-f(c)}{h}}\leq 0,$ için limit varsayım gereği eksi sonsuz olabilir.

Benzer şekilde, her $h < 0$ için eşitsizlik tersine döner çünkü payda artık negatiftir ve

${\frac {f(c+h)-f(c)}{h}}\geq 0,$ dolayısıyla $f'(c^{-}):=\lim _{h\to 0^{-}}{\frac {f(c+h)-f(c)}{h}}\geq 0,$

elde ederiz, burada limit artı sonsuz olabilir.

Son olarak, yukarıdaki sağ ve sol limitler aynı olduğunda (özellikle $f$ türevlenebilir olduğunda), $f$ 'nin $c$ 'deki türevi sıfır olmalıdır.

(Alternatif olarak, doğrudan uygulayabiliriz).

Daha yüksek mertebeli türevlere genelleme

Rolle teoremini, $f$ 'nin eşit değerlere ve daha büyük düzenliliğe sahip daha fazla noktaya sahip olmasını gerektirerek de genelleştirebiliriz. Özellikle, varsayalım ki

$f$ fonksiyonu $(n - 1)$ kez (sürekli türevlenebilir) kapalı aralıkta $[a, b]$ ve $n$ 'inci türevi açık aralıkta $(a, b)$ mevcuttur ve
1'den $n$ 'e kadar her $k$ için $f (a k) = f (b k)$ olacak şekilde $[a, b]$ içinde $a 1 < b 1 \leq a 2 < b 2 \leq \dots \leq a n < b n$ tarafından verilen $n$ aralık vardır.

O zaman $(a, b)$ içinde $c$ sayısı vardır, öyle ki $c$ 'de $f$ 'nin $n$ 'inci türevi sıfırdır.

Kırmızı eğri, $[-3, 2]$ aralığında 3 kökü olan fonksiyonun grafiğidir. Dolayısıyla ikinci türevinin de (yeşil ile çizilmiş) aynı aralıkta bir kökü vardır.

$f$ 'nin $n$ 'inci türevine ilişkin gereklilikler, yukarıdaki genellemede olduğu gibi zayıflatılabilir ve $f$ yerine $f^{(n-1)}$ ile yukarıda tanımlanan sağ ve sol limitler için karşılık gelen (muhtemelen daha zayıf) iddiaları verir.

Özellikle, teoremin bu versiyonu, yeterince türevlenebilir bir fonksiyonun $n$ kökleri varsa (yani aynı değere, yani 0'a sahiplerse), $f^{(n-1)}$ 'in kaybolduğu bir iç nokta olduğunu iddia eder.

İspat

İspat, matematiksel tümevarım yöntemini kullanır. $n = 1$ durumu basitçe Rolle teoreminin standart versiyonudur. $n > 1$ için, tümevarım hipotezi olarak genellemenin $n - 1$ için doğru olduğunu kabul edin. Bunu $n$ için kanıtlamak istiyoruz. $f$ fonksiyonunun teoremin hipotezlerini karşıladığını varsayalım. Rolle teoreminin standart versiyonuna göre, 1 ile $n$ arasındaki her $k$ tam sayısı için, $(a k, b k)$ açık aralığında $f'(c k) = 0$ olacak şekilde bir $c k$ vardır. Dolayısıyla, birinci türev $n - 1$ kapalı $[c 1, c 2], \dots, [c n - 1, c n]$ aralıklarındaki varsayımları karşılar. Tümevarım hipotezine göre, öyle bir $c$ vardır ki $(n - 1)$ $c$ 'de $f'$ 'nin birinci türevi sıfırdır.

Diğer cisimlere genellemeler

Rolle teoremi, bir olan reel sayılar üzerinde türevlenebilir fonksiyonların bir özelliğidir. Bu nedenle, diğer cisimler için genelleştirilemez, ancak aşağıdaki sonuç genelleştirilebilir: gerçel bir polinom gerçel sayılar üzerinde çarpanlara ayrılırsa (tüm köklerine sahipse), türevi de ayrılır. Bir cismin bu özelliğine, Rolle özelliği denebilir.^[] Daha genel cisimler her zaman türevlenebilir fonksiyonlara sahip değildir, ancak her zaman sembolik olarak türevlenebilen polinomlara sahiptirler. Benzer şekilde, daha genel cisimler bir mertebeye sahip olmayabilir, ancak bir cisimde yer alan bir polinomun kökü kavramı vardır.

Böylece Rolle teoremi, gerçel sayıların Rolle özelliğine sahip olduğunu gösterir. Karmaşık sayılar gibi cebirsel olarak kapalı herhangi bir cisim Rolle özelliğine sahiptir. Ancak, rasyonel sayılar Rolle özelliğine sahip değildir – örneğin, $x 3 - x = x (x - 1)(x + 1)$ rasyonel sayılar üzerinde çarpanlara ayrılır, ancak türevi, $3x^{2}-1=3\left(x-{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}\right)\left(x+{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}\right),$ çarpanlara ayrılamaz. Hangi cisimlerin Rolle özelliğini karşıladığı sorusu Kaplansky 1972'de ortaya atılmıştır.Sonlu cisimler için cevap, sadece $F 2$ ve $F 4$ 'ün Rolle özelliğine sahip olduğudur.

Karmaşık bir versiyon için bakınız.

Ayrıca bakınız

Kaynakça

^ Besenyei, A. (17 Eylül 2012). "Ortalama değer teoreminin kısa tarihi" (PDF).
^ Bkz. Cajori, Florian (1999). A History of Mathematics. American Mathematical Soc. s. 224. ISBN .
^ (1964) [1931], The Gamma Function, Butler, Michael tarafından çevrildi, Holt, Rinehart and Winston, ss. 3-4 .
^ (1972), Fields and Rings .^[]
^ Craven, Thomas; Csordas, George (1977), "Multiplier sequences for fields", Illinois J. Math., 21 (4), ss. 801-817, doi:10.1215/ijm/1256048929  .
^ Ballantine, C.; Roberts, J. (January 2002), "A Simple Proof of Rolle's Theorem for Finite Fields", , Mathematical Association of America, 109 (1), ss. 72-74, doi:10.2307/2695770, JSTOR 2695770 .

Konuyla ilgili okumalar

(1972). The Calculus, with Analytic Geometry. 2nd. New York: Harper & Row. ss. 201-207. ISBN .
(1955). Advanced Calculus. Boston: Ginn and Company. ss. 30-37.

Dış bağlantılar

Hazewinkel, Michiel, (Ed.) (2001), "Rolle theorem", Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN
Rolle's and Mean Value Theorems at cut-the-knot.
ispat: http://mizar.org/version/current/html/rolle.html#T2

Wikimedia Commons'ta Rolle teoremi ile ilgili ortam dosyaları bulunmaktadır.

[1] Besenyei, A. (17 Eylül 2012). "Ortalama değer teoreminin kısa tarihi" (PDF).

[2] Bkz. Cajori, Florian (1999). A History of Mathematics. American Mathematical Soc. s. 224. ISBN .

[3] (1964) [1931], The Gamma Function, Butler, Michael tarafından çevrildi, Holt, Rinehart and Winston, ss. 3-4 .

[4] (1972), Fields and Rings .^[]

[5] Craven, Thomas; Csordas, George (1977), "Multiplier sequences for fields", Illinois J. Math., 21 (4), ss. 801-817, doi:10.1215/ijm/1256048929  .

[6] Ballantine, C.; Roberts, J. (January 2002), "A Simple Proof of Rolle's Theorem for Finite Fields", , Mathematical Association of America, 109 (1), ss. 72-74, doi:10.2307/2695770, JSTOR 2695770 .