Bu madde, uygun değildir.Şubat 2018) ( |
Standart sapma, Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında, bir , bir örneklem, bir olasılık dağılımı veya bir rassal değişken, veri değerlerinin yayılımının özetlenmesi için kullanılan bir ölçüdür. Matematik notasyonunda genel olarak, bir anakütle veya bir rassal değişken veya bir olasılık dağılımı için standart sapma σ (eski Yunan harfi olan küçük sigma) ile ifade edilir; örneklem verileri için standart sapma için ise s veya s' (anakütle σ değeri için yansız kestirim kullanılır.)
Standart sapma varyansın kareköküdür. Daha matematiksel bir ifade ile standart sapma veri değerlerinin aritmetik ortalamadan farklarının karelerinin toplamının veri sayısı -1'e bölümünün kareköküdür, yani verilerin ortalamadan sapmalarının kareler ortalamasının karekökü olarak tanımlanır. Standart sapma kavramının yayılma ölçüsü olarak kullanılmasını anlamak için ölçüm birimine bakmak gerekir. Diğer yayılma ölçüsü olan varyans verilerin ortalamadan farklarının karelerinin ortalaması olarak tanımlanır. Böylece varyans ölçüsü için veri birimlerinin karesi alınması gerekir ve varyansın birimi veri biriminin karesidir. Bu durum pratikte istenmeyen sonuçlar yaratabilir (Örneğin veriler birimi kilogram ise varyans birimi kilogram kare olur). Bundan kaçınmak için standart sapma için varyansın karekökü alınarak standart sapma birim veri birimi olması sağlanır ve verinin yayılımı böylece veri birimleri ile ölçülür.
Standart sapma genel olarak niceliksel ölçekli sayılar için en çok kullanılan verilerin ortalamaya göre yayılmasını gösteren bir istatistiksel ölçüdür. Eğer birçok veri ortalamaya yakın ise, standart sapma değeri küçüktür; eğer birçok veri ortalamadan uzakta yayılmışlarsa standart sapma değeri büyük olur. Eğer bütün veri değerleri tıpatıp ayni ise standart sapma değeri sıfırdır
Tanımlama ve hesaplama
Rassal değişken için standart sapma
Bir rassal değişken olan X için standart sapma şöyle tanımlanır:
Burada E(X) X için beklenen değer yani ortalama ve Var(X) X için varyans değeridir.
Her rassal değişken dağılım tipi için bir standart değer var olması gerekli değildir. Çünkü bazı dağılımlar için beklenen değer bulunamaz. Örneğin, Cauchy dağılımı gösteren bir rassal değişken X için bir standart sapma yoktur; çünkü E(X) tanımlanamaz.
Eğer bir rassal değişken X (reel sayılar olan) değerlerini eşit olasılıkla alırsa, o rassal değişken için standart sapma şöyle hesaplanır:
Önce, X için ortalama , şu toplam olarak tanımlanır:
Burada N alınan örneklem büyüklüğü sayısıdır.
Sonra, standart sapma ifadesi şöyle basitleştirilir:
Yani, bir aralıklı tekdüze dağılım gösteren rassal değişken X için standart sapma şöyle hesaplanır:
- Her değeri için xi le ortalama değer olan arasında olan farklar olarak bulunur.
- Bu farkların kareleri hesaplanır.
- Bu farkların karelerinin ortalaması bulunur. Bu değer varyans, yani σ2, olur.
- Bu varyans değerinin kare kökü alınır.
Ancak hesapları elle veya el hesap makinesi ile yapmak için genellikle daha uygun bir formül kullanılır:
Bu iki formülün birbire eşitliği biraz cebir kullanılarak gösterilebilir:
Anakütle standart sapma değerinin örneklem standart sapma kullanılarak kestirimi
Pratik hayatta, her bir anakütle elemanın ölçülmesini gerektiren bir anakütle standart sapma değeri bulmak, bazı çok nadir haller dışında (örnegin ), hiç realistik değildir. Nerede ise her halde, anakütleden bir rastgele örneklem alınır ve bu örneklemden anakütle standart sapması için bir kestirim değer bulunur. Bu kestirim, çok kere örneklem standart sapmasını anakütle standard sapmasının aynı olan bir formülü kullanmak suretiyle yapılır:
Burada örneklem değerleri ve örneklem ortalamasıdır. Bölen değer olan n − 1
- .
vektörü içinde bulunan olur.
Bu belki bir bakıma uygundur; çünkü eğer bir anakütle varyansının kavramsal olarak var olduğu biliniyorsa ve örneklem için anakütleden her eleman çekiminden sonra bu eleman geri konulursa, bilinmektedir ki örneklem varyansı (yani s2) anakütle varyansı (yani σ2) için bir olur. Ancak bu standart sapmalar için doğru değildir ; yani yukaridaki gibi bulunan örneklem standart sapması (s) anakütle standart sapması (σ) için yansız kestirim değeri değildir ve s ile anakütle standart sapması biraz daha küçükçe tahmin edilir. Eğer rassal değişken normal dağılım gösteriyorsa, bu yansız olan kestirim pratikte çok kolay olmayan bir dönüşüm ile elde edilebilmektedir. Ayrıca zaten bir kestirim için yansız olmak karakteri her zaman çok istenir bir özellik değildir.
Çok kullanılan diğer bir kestrim ise benzer bir ifade ile şöyle verilir:
olur. Eğer anakütle normal dağılım gösteriyorsa, bu şekildeki kestirim yansız kestirimden her zaman biraz daha küçük gösterir ve bu nedenle normal için maksimum olabilirlik kestirimi olur.
Bir sürekli rassal değişken için standart sapma
Sürekli olasılık dağılımları için genellikle standart sapma değerinin dağılıma özel olan parametreleri kullanılarak hesaplanması için formül vardır. Genel olarak ise, p(x) olasılık yoğunluk fonksiyonu olan bir sürekli rassal değişken olan X için standart sapma şöyle verilir:
Burada
Örneğin
Burada önce çok ufak bir anakütle veri serisi için standart sapma hesaplaması gösterilmektedir. Bu seri bir inşaat firmasının yabancılara yaptığı aylık daire satış sayılarını göstermektedir ve veri serisi şudur: { 5, 2, 11, 12, 3, 6 }.
1. Önce bir aritmetik ortalama şöyle hesaplanır:
- .
Burada i her veriye verilen sıra numarasıdır yani i=1,2,3,...,6. Yani
Bu halde N = 6 olup veri büyüklüğü veya anakütle hacmidir.
- N yerine 6
- Bu aritmetik ortalamadır.
2. Standart sapma değerini bulma:
- N yerine 6
- yerine 6.5
- Bu standart sapma değeri olur.
Bu sonucun dikkati çekecek bir yanı verilerin tam sayı olmasına rağmen standart sapmanın (ve ayni şekilde aritmetik ortalamanın) kesirli olmasıdır.
Bu hesaplamayı daha kolaylaştırmak için şu formül kullanılabilir:
1. Önce bir aritmetik ortalama hesaplanır:
- .
- Bu aritmetik ortalamadır.
2. Sonra toplam kareler bulunur:
- = 52 + 22 + 112 + 122 + 32 + 6 2
- = 25+4+121+144+9+36
- = 339
3. Bunlar formüle konulur:
Yani = 339 formüle girer:
- Bu standart sapma değeridir.
Açıklama ve uygulama
Belli bir seri sayı için standart sapma değerini bilmek ve bu kavramı anlamak demek bir ortalama etrafında bu serinin ne kadar yayılım gösterdiğini anlamaktır. Standart sapmanın büyük olması veri noktalarının ortalamadan daha uzak yayıldıklarını; küçük bir standart sapma ise ortalama etrafında daha çok yakın gruplaştıklarını gösterir.
Standart sapma belirsizliğin bir ölçüsü olarak hizmet edebilir. Fiziksel bilimlerde, tekrar tekrar yapılan deneyler ve deneylerde alınan ölçüler ise gösterilen standart sapma olgusu bu deneyin ölçülmesindeki kesinlik ve doğruluğunu gösterir. Ölçümlerin teoriye dayanan bir tahmin ile karşılaştırıp birbirine uygunluk gösterip göstermediğine karar vermede ölçümlerin standart sapması önemli rol oynar. Eğer ölçümlerin standart sapması teorik tahminden çok daha uzaksa, sınanan teorinin değiştirilmesi gerekir. İşte bu uzaklık standart sapmalarla belirlenir.
Finansmanda, standart sapma verilmiş bir menkul (hisse seneti, tahvil, emlak vb.) için rizikonun veya bir menkuller portföyü için rizikoları temsil eder. Bir yatırım portföyünün etkin olarak idare edilmesini tayin eden en önemli faktörlerden birisi rizikodur. Çünkü her tek bir menkulün veya bir menkuller portföyünün getirisindeki mümkün yayılımını riziko tanımlar ve rizikonun standart sapma ile tanımlanması ise yatırım kararları için bir matematiksel temel sağlar. En geniş kavramla, yatırım rizikosu arttıkça menkul veya menkuller portföyünün beklenen getirisi da artış gösterir. Buna neden yatırımcıların menkul getirileri için riziko primlerini artırmaları olarak açıklanır. Diğer bir deyişle, eğer bir yatırım daha yüksek riziko seviyesi taşıyorsa, yatırımcılar o yatırımından daha yüksek bir getiri beklemeleri gereklidir.
Uzunca bir zaman içinde herhangi bir menkul için yıllık getirilerinin ortalamasını bulmakla o menkul için beklenen getiri değerini vermektedir. Her yıl için elde edilen getiriden bu beklenen getiri farkı bulunursa buna finansmancılar ve muhasebeciler tarafından varyans adı verilir (Dikkat edilirse bu istatistiksel varyans kavramından farklıdır). Her bir yıl için varyansın karesini bulmak ve bu varyans karelerinin ortalamasının kare kökü o menkulün standart sapmasını yani rizikosunu gösterir. İşte bu rizikolar yani varyansların karelerinin toplamının ortalamasının kare kökü, standart sapmadır ve rizikoyu ölçer. Menkullerin karşılaştırılımı için temel çalışma işte bu ölçü ile yapılır.
Standart sapmalar için pratik uygulamalar daha değişik alanlarda da verilebilir; fakat burada bu ufak sayıda uygulamalar bile standart sapmanın uygun bir şekilde önemini ortaya çıkartmaktadır.
Normal dağılım gösteren veriler için kurallar
Pratikte, çok zaman verilerin yaklaşık olarak bir normal dağılım gösteren anakütleden geldiği varsayılır. Bu varsayıma neden olarak merkezsel limit teoreminin geçerliliği iddiası olur. Merkezsel limit teoremine göre birçok birbirinden bağımsız ve hepsi aynı dağılım gösteren rassal değişkenlerin toplamı limitte bir normal dağılıma göre eğilim gösterirler. Eğer bu varsayım geçerli ise, değerler yaklaşık %68,27 olasılıkla ortalamadan eksi ve artı bir standart sapma noktalarının arasında bulunur; ortalamadan artı ve eksi 2 standart sapma noktaları arasında %95,45 olasılıkla ve ortalamadan artı ve eksi 3 standart sapma noktaları arasında %99,73 olasılıkla bulunur. Bu veya bir emprik kural olarak bilinir.
şöyle gösterilebilir:
σ | %68,26894921371 |
2σ | %95,44997361036 |
3σ | %99,73002039367 |
4σ | %99,99366575163 |
5σ | %99,99994266969 |
6σ | %99,99999980268 |
7σ | %99,99999999974 |
Normal dağılımlar için ortalamadan bir standart sapma uzaklıktaki eğri üzerindeki noktalar bir enfeksiyon noktası da olurlar.
Çebişev'in eşitsizliği
Yakınlık standart sapma birimlerinde ifade edilirse, herhangi bir veri serisi için, Çebişev'in eşitsizliği ile ispat edilmiştir ki veri değerlerin çok büyük çoğunluğu ortalama değere yakındır. Çebişev'in eşitsizliği sadece normal dağılım gösteren seriler için değil, bütün rastgele dağılım gösteren veri serileri için geçerlidir. Buna göre, şu zayıf sınırlar ve bu sınırlar içinde bulunan veri yüzdesi şöyle verilebilir:
- Ortalamadan √2 standart sapma uzaklıkları arasında değerlerin en aşağı %50si bulunur.
- Ortalamadan 2 standart sapma uzaklıkları arasında değerlerin en aşağı %75i bulunur.
- Ortalamadan 3 standart sapma uzaklıkları arasında değerlerin en aşağı %89u bulunur.
- Ortalamadan 4 standart sapma uzaklıkları arasında değerlerin en aşağı %94ü bulunur.
- Ortalamadan 5 standart sapma uzaklıkları arasında değerlerin en aşağı %96sı bulunur.
- Ortalamadan 6 standart sapma uzaklıkları arasında değerlerin en aşağı %97si bulunur.
- Ortalamadan 7 standart sapma uzaklıkları arasında değerlerin en aşağı %98i bulunur.
Genel olarak:
- ortalamadan k standart sapma uzaklıkları arasında değerlerin en aşağı %(1 − 1/k2) × 100 si bulunur.
Standart sapma ve ortalama arasındaki ilişki
Çok kere bir veri serisinin özetlenmesinde ortalama ve standart sapma birlikte bildirilmektedir. Bir anlamda, eğer ortalama verilerinin merkezi olarak kullanılan ölçü ise, standart sapma veri yayılımının doğal ölçüsüdür. Buna neden ortalama noktasından standart sapmanın, verinin herhangi bir noktasından standarize edilmiş sapmadan daha küçük olduğudur. Bu matematiksel ifade ile şöyle gösterilebilir: x1, ..., xn reel sayılar olsun ve şu fonksiyon tanımlansın:
Ya birinci türev alınıp sıfıra eşit yaparak veya daha kolay bir cebirsel yol olan kullanarak σ(r) nın tek ve sadece tek bir minimum noktasının aritmetik ortalama olduğu; yani
gösterilebilir.
Standart sapma ile ortalama arasındaki diğer bir ilişki ise yayılım özelliğine dayanan veri karşılaştırılmaları için kullanılan varyasyon katsayısıdır. Bir veri serisi için varyasyon katsayısı standart sapma ile ortalama arasındaki orandır. Böylece, standart sapma (ve ortalama) veri birimleri ile boyutlu iken (örneğin veri TL ile ise standart sapma ve ortalama TL birimlerindedir); varyasyon katsayısı boyutsuz sırf bir sayıdır. Bu nedenle değişik birimlerde olan verilerin yayılımlarının karşılaştırılması için kullanılabilir.
Ayrıca bakınız
Kaynakça
Dış kaynaklar
- Spiegel, Murray R ve Stephens, Larry J. (Tr.Çev.: Çelebioğlu, Salih) (2013) İstatistik, İstanbul: Nobel Akademik Yayıncılık
Dış bağlantılar
- (İngilizce)
- Standart sapma - matematik kullanmadan bir açıklama10 Ocak 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde . (İngilizce)
- Standart sapma, bir basit giriş8 Şubat 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde . (İngilizce)
- Standart sapma: dergi ve gazete yazarları için basitce bir açıklama8 Şubat 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde . (İngilizce)
- Texas A&M standart sapma ve güven aralığı hesaplayıcıları12 Ocak 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde . (İngilizce)
wikipedia, wiki, viki, vikipedia, oku, kitap, kütüphane, kütübhane, ara, ara bul, bul, herşey, ne arasanız burada,hikayeler, makale, kitaplar, öğren, wiki, bilgi, tarih, yukle, izle, telefon için, turk, türk, türkçe, turkce, nasıl yapılır, ne demek, nasıl, yapmak, yapılır, indir, ücretsiz, ücretsiz indir, bedava, bedava indir, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, resim, müzik, şarkı, film, film, oyun, oyunlar, mobil, cep telefonu, telefon, android, ios, apple, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, pc, web, computer, bilgisayar
Bu madde Vikipedi bicem el kitabina uygun degildir Maddeyi Vikipedi standartlarina uygun bicimde duzenleyerek Vikipedi ye katkida bulunabilirsiniz Gerekli duzenleme yapilmadan bu sablon kaldirilmamalidir Subat 2018 Standart sapma Olasilik kurami ve istatistik bilim dallarinda bir bir orneklem bir olasilik dagilimi veya bir rassal degisken veri degerlerinin yayiliminin ozetlenmesi icin kullanilan bir olcudur Matematik notasyonunda genel olarak bir anakutle veya bir rassal degisken veya bir olasilik dagilimi icin standart sapma s eski Yunan harfi olan kucuk sigma ile ifade edilir orneklem verileri icin standart sapma icin ise s veya s anakutle s degeri icin yansiz kestirim kullanilir Standart sapma varyansin karekokudur Daha matematiksel bir ifade ile standart sapma veri degerlerinin aritmetik ortalamadan farklarinin karelerinin toplaminin veri sayisi 1 e bolumunun karekokudur yani verilerin ortalamadan sapmalarinin kareler ortalamasinin karekoku olarak tanimlanir Standart sapma kavraminin yayilma olcusu olarak kullanilmasini anlamak icin olcum birimine bakmak gerekir Diger yayilma olcusu olan varyans verilerin ortalamadan farklarinin karelerinin ortalamasi olarak tanimlanir Boylece varyans olcusu icin veri birimlerinin karesi alinmasi gerekir ve varyansin birimi veri biriminin karesidir Bu durum pratikte istenmeyen sonuclar yaratabilir Ornegin veriler birimi kilogram ise varyans birimi kilogram kare olur Bundan kacinmak icin standart sapma icin varyansin karekoku alinarak standart sapma birim veri birimi olmasi saglanir ve verinin yayilimi boylece veri birimleri ile olculur Standart sapma genel olarak niceliksel olcekli sayilar icin en cok kullanilan verilerin ortalamaya gore yayilmasini gosteren bir istatistiksel olcudur Eger bircok veri ortalamaya yakin ise standart sapma degeri kucuktur eger bircok veri ortalamadan uzakta yayilmislarsa standart sapma degeri buyuk olur Eger butun veri degerleri tipatip ayni ise standart sapma degeri sifirdir Mavi olarak gosterilen bir rassal degisken dagilimi icin standart sapma degeri s rassal degisken degerlerinin ortalama m degeri etrafinda yayilmasini gosterir Tanimlama ve hesaplamaRassal degisken icin standart sapma Bir rassal degisken olan X icin standart sapma soyle tanimlanir s E X E X 2 E X2 E X 2 Var X displaystyle begin array lcl sigma amp amp sqrt operatorname E X operatorname E X 2 sqrt operatorname E X 2 operatorname E X 2 amp amp sqrt operatorname Var X end array Burada E X X icin beklenen deger yani ortalama ve Var X X icin varyans degeridir Her rassal degisken dagilim tipi icin bir standart deger var olmasi gerekli degildir Cunku bazi dagilimlar icin beklenen deger bulunamaz Ornegin Cauchy dagilimi gosteren bir rassal degisken X icin bir standart sapma yoktur cunku E X tanimlanamaz Eger bir rassal degisken X reel sayilar olan x1 xn displaystyle scriptstyle x 1 dots x n degerlerini esit olasilikla alirsa o rassal degisken icin standart sapma soyle hesaplanir Once X icin ortalama x displaystyle overline x su toplam olarak tanimlanir x 1n i 1nxi x1 x2 xnn displaystyle overline x frac 1 n sum i 1 n x i frac x 1 x 2 cdots x n n Burada N alinan orneklem buyuklugu sayisidir Sonra standart sapma ifadesi soyle basitlestirilir s 1n i 1n xi x 2 displaystyle sigma sqrt frac 1 n sum i 1 n x i overline x 2 Yani bir aralikli tekduze dagilim gosteren rassal degisken X icin standart sapma soyle hesaplanir Her xi displaystyle x i degeri icin xi le ortalama deger olan x displaystyle scriptstyle overline x arasinda olan farklar xi x displaystyle scriptstyle x i overline x olarak bulunur Bu farklarin kareleri hesaplanir Bu farklarin karelerinin ortalamasi bulunur Bu deger varyans yani s2 olur Bu varyans degerinin kare koku alinir Ancak hesaplari elle veya el hesap makinesi ile yapmak icin genellikle daha uygun bir formul kullanilir s 1n i 1nxi2 nx 2 displaystyle sigma sqrt frac 1 n left sum i 1 n x i 2 n overline x 2 right Bu iki formulun birbire esitligi biraz cebir kullanilarak gosterilebilir i 1n xi x 2 i 1n xi2 2xix x 2 i 1nxi2 2x i 1nxi nx 2 i 1nxi2 2x nx nx 2 i 1nxi2 nx 2 displaystyle begin aligned sum i 1 n x i overline x 2 amp sum i 1 n x i 2 2x i overline x overline x 2 amp left sum i 1 n x i 2 right left 2 overline x sum i 1 n x i right n overline x 2 amp left sum i 1 n x i 2 right 2 overline x n overline x n overline x 2 amp left sum i 1 n x i 2 right n overline x 2 end aligned Anakutle standart sapma degerinin orneklem standart sapma kullanilarak kestirimi Pratik hayatta her bir anakutle elemanin olculmesini gerektiren bir anakutle standart sapma degeri bulmak bazi cok nadir haller disinda ornegin hic realistik degildir Nerede ise her halde anakutleden bir rastgele orneklem alinir ve bu orneklemden anakutle standart sapmasi icin bir kestirim deger bulunur Bu kestirim cok kere orneklem standart sapmasini anakutle standard sapmasinin ayni olan bir formulu kullanmak suretiyle yapilir s 1N 1 i 1N xi x 2 displaystyle s sqrt frac 1 N 1 sum i 1 N x i overline x 2 Burada x1 x2 xn displaystyle scriptstyle x 1 x 2 ldots x n orneklem degerleri ve x displaystyle scriptstyle overline x orneklem ortalamasidir Bolen deger olan n 1 x1 x xN x displaystyle scriptstyle x 1 overline x dots x N overline x vektoru icinde bulunan olur Bu belki bir bakima uygundur cunku eger bir anakutle varyansinin kavramsal olarak var oldugu biliniyorsa ve orneklem icin anakutleden her eleman cekiminden sonra bu eleman geri konulursa bilinmektedir ki orneklem varyansi yani s2 anakutle varyansi yani s2 icin bir olur Ancak bu standart sapmalar icin dogru degildir yani yukaridaki gibi bulunan orneklem standart sapmasi s anakutle standart sapmasi s icin yansiz kestirim degeri degildir ve s ile anakutle standart sapmasi biraz daha kucukce tahmin edilir Eger rassal degisken normal dagilim gosteriyorsa bu yansiz olan kestirim pratikte cok kolay olmayan bir donusum ile elde edilebilmektedir Ayrica zaten bir kestirim icin yansiz olmak karakteri her zaman cok istenir bir ozellik degildir Cok kullanilan diger bir kestrim ise benzer bir ifade ile soyle verilir 1n i 1n xi x 2 displaystyle sqrt frac 1 n sum i 1 n x i overline x 2 olur Eger anakutle normal dagilim gosteriyorsa bu sekildeki kestirim yansiz kestirimden her zaman biraz daha kucuk gosterir ve bu nedenle normal icin maksimum olabilirlik kestirimi olur Bir surekli rassal degisken icin standart sapma Surekli olasilik dagilimlari icin genellikle standart sapma degerinin dagilima ozel olan parametreleri kullanilarak hesaplanmasi icin formul vardir Genel olarak ise p x olasilik yogunluk fonksiyonu olan bir surekli rassal degisken olan X icin standart sapma soyle verilir s x m 2p x dx displaystyle sigma sqrt int x mu 2 p x dx Burada m xp x dx displaystyle mu int x p x dx OrneginBurada once cok ufak bir anakutle veri serisi icin standart sapma hesaplamasi gosterilmektedir Bu seri bir insaat firmasinin yabancilara yaptigi aylik daire satis sayilarini gostermektedir ve veri serisi sudur 5 2 11 12 3 6 1 Once bir aritmetik ortalama x displaystyle overline x soyle hesaplanir 1n i 1n xi x 2 displaystyle sqrt frac 1 n sum i 1 n x i overline x 2 Burada i her veriye verilen sira numarasidir yani i 1 2 3 6 Yani x1 5 displaystyle x 1 5 x2 2 displaystyle x 2 2 x3 11 displaystyle x 3 11 x4 12 displaystyle x 4 12 x5 3 displaystyle x 5 3 x6 6 displaystyle x 6 6 Bu halde N 6 olup veri buyuklugu veya anakutle hacmidir x 16 i 16xi displaystyle overline x frac 1 6 sum i 1 6 x i N yerine 6 x 16 x1 x2 x3 x4 x5 x6 displaystyle overline x frac 1 6 left x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 right x 16 5 2 11 12 3 6 displaystyle overline x frac 1 6 left 5 2 11 12 3 6 right x 6 5 displaystyle overline x 6 5 Bu aritmetik ortalamadir 2 Standart sapma s displaystyle sigma degerini bulma 1n i 1n xi x 2 displaystyle sqrt frac 1 n sum i 1 n x i overline x 2 s 16 i 16 xi x 2 displaystyle sigma sqrt frac 1 6 sum i 1 6 x i overline x 2 N yerine 6s 16 i 16 xi 6 5 2 displaystyle sigma sqrt frac 1 6 sum i 1 6 x i 6 5 2 x displaystyle overline x yerine 6 5s 16 5 6 5 2 2 6 5 2 11 6 5 2 12 6 5 2 3 6 5 2 6 6 5 2 displaystyle sigma sqrt frac 1 6 left 5 6 5 2 2 6 5 2 11 6 5 2 12 6 5 2 3 6 5 2 6 6 5 2 right s 16 1 5 2 4 5 2 4 5 2 5 5 2 3 5 2 0 5 2 displaystyle sigma sqrt frac 1 6 left 1 5 2 4 5 2 4 5 2 5 5 2 3 5 2 0 5 2 right s 16 2 25 20 25 20 25 30 25 12 25 0 25 displaystyle sigma sqrt frac 1 6 left 2 25 20 25 20 25 30 25 12 25 0 25 right s 85 56 displaystyle sigma sqrt frac 85 5 6 s 14 25 displaystyle sigma sqrt 14 25 s 3 77 displaystyle sigma 3 77 Bu standart sapma degeri olur Bu sonucun dikkati cekecek bir yani verilerin tam sayi olmasina ragmen standart sapmanin ve ayni sekilde aritmetik ortalamanin kesirli olmasidir Bu hesaplamayi daha kolaylastirmak icin su formul kullanilabilir s 1n i 1nxi2 nx 2 displaystyle sigma sqrt frac 1 n left sum i 1 n x i 2 n overline x 2 right 1 Once bir aritmetik ortalama x displaystyle overline x hesaplanir x 1N i 1Nxi displaystyle overline x frac 1 N sum i 1 N x i x 16 5 2 11 12 3 6 displaystyle overline x frac 1 6 left 5 2 11 12 3 6 right x 6 5 displaystyle overline x 6 5 Bu aritmetik ortalamadir 2 Sonra toplam kareler bulunur xi 2 displaystyle sum x i 2 52 22 112 122 32 6 2 xi 2 displaystyle sum x i 2 25 4 121 144 9 36 xi 2 displaystyle sum x i 2 339 3 Bunlar formule konulur Yani xi 2 displaystyle sum x i 2 339 x 6 5 displaystyle overline x 6 5 n 6 displaystyle n 6 formule girer s 16 339 6 6 52 displaystyle sigma sqrt frac 1 6 left 339 6 times 6 5 2 right s 16 339 253 5 displaystyle sigma sqrt frac 1 6 339 253 5 s 16 85 5 displaystyle sigma sqrt frac 1 6 85 5 s 14 25 displaystyle sigma sqrt 14 25 s 3 77 displaystyle sigma 3 77 Bu standart sapma degeridir Aciklama ve uygulamaBelli bir seri sayi icin standart sapma degerini bilmek ve bu kavrami anlamak demek bir ortalama etrafinda bu serinin ne kadar yayilim gosterdigini anlamaktir Standart sapmanin buyuk olmasi veri noktalarinin ortalamadan daha uzak yayildiklarini kucuk bir standart sapma ise ortalama etrafinda daha cok yakin gruplastiklarini gosterir Standart sapma belirsizligin bir olcusu olarak hizmet edebilir Fiziksel bilimlerde tekrar tekrar yapilan deneyler ve deneylerde alinan olculer ise gosterilen standart sapma olgusu bu deneyin olculmesindeki kesinlik ve dogrulugunu gosterir Olcumlerin teoriye dayanan bir tahmin ile karsilastirip birbirine uygunluk gosterip gostermedigine karar vermede olcumlerin standart sapmasi onemli rol oynar Eger olcumlerin standart sapmasi teorik tahminden cok daha uzaksa sinanan teorinin degistirilmesi gerekir Iste bu uzaklik standart sapmalarla belirlenir Finansmanda standart sapma verilmis bir menkul hisse seneti tahvil emlak vb icin rizikonun veya bir menkuller portfoyu icin rizikolari temsil eder Bir yatirim portfoyunun etkin olarak idare edilmesini tayin eden en onemli faktorlerden birisi rizikodur Cunku her tek bir menkulun veya bir menkuller portfoyunun getirisindeki mumkun yayilimini riziko tanimlar ve rizikonun standart sapma ile tanimlanmasi ise yatirim kararlari icin bir matematiksel temel saglar En genis kavramla yatirim rizikosu arttikca menkul veya menkuller portfoyunun beklenen getirisi da artis gosterir Buna neden yatirimcilarin menkul getirileri icin riziko primlerini artirmalari olarak aciklanir Diger bir deyisle eger bir yatirim daha yuksek riziko seviyesi tasiyorsa yatirimcilar o yatirimindan daha yuksek bir getiri beklemeleri gereklidir Uzunca bir zaman icinde herhangi bir menkul icin yillik getirilerinin ortalamasini bulmakla o menkul icin beklenen getiri degerini vermektedir Her yil icin elde edilen getiriden bu beklenen getiri farki bulunursa buna finansmancilar ve muhasebeciler tarafindan varyans adi verilir Dikkat edilirse bu istatistiksel varyans kavramindan farklidir Her bir yil icin varyansin karesini bulmak ve bu varyans karelerinin ortalamasinin kare koku o menkulun standart sapmasini yani rizikosunu gosterir Iste bu rizikolar yani varyanslarin karelerinin toplaminin ortalamasinin kare koku standart sapmadir ve rizikoyu olcer Menkullerin karsilastirilimi icin temel calisma iste bu olcu ile yapilir Standart sapmalar icin pratik uygulamalar daha degisik alanlarda da verilebilir fakat burada bu ufak sayida uygulamalar bile standart sapmanin uygun bir sekilde onemini ortaya cikartmaktadir Normal dagilim gosteren veriler icin kurallar Koyu mavi ortalamadan bir standart sapmadan daha dusuk degerleri gosterir Normal dagilim icin bu 68 27 olur orta ile koyu mavi ortalamadan iki standart sapma icin 95 45 acik orta ve koyu mavi icin ortalamadan uc standart sapma 99 73 olur Pratikte cok zaman verilerin yaklasik olarak bir normal dagilim gosteren anakutleden geldigi varsayilir Bu varsayima neden olarak merkezsel limit teoreminin gecerliligi iddiasi olur Merkezsel limit teoremine gore bircok birbirinden bagimsiz ve hepsi ayni dagilim gosteren rassal degiskenlerin toplami limitte bir normal dagilima gore egilim gosterirler Eger bu varsayim gecerli ise degerler yaklasik 68 27 olasilikla ortalamadan eksi ve arti bir standart sapma noktalarinin arasinda bulunur ortalamadan arti ve eksi 2 standart sapma noktalari arasinda 95 45 olasilikla ve ortalamadan arti ve eksi 3 standart sapma noktalari arasinda 99 73 olasilikla bulunur Bu veya bir emprik kural olarak bilinir soyle gosterilebilir s 68 268949213712s 95 449973610363s 99 730020393674s 99 993665751635s 99 999942669696s 99 999999802687s 99 99999999974 Normal dagilimlar icin ortalamadan bir standart sapma uzakliktaki egri uzerindeki noktalar bir enfeksiyon noktasi da olurlar Cebisev in esitsizligi Yakinlik standart sapma birimlerinde ifade edilirse herhangi bir veri serisi icin Cebisev in esitsizligi ile ispat edilmistir ki veri degerlerin cok buyuk cogunlugu ortalama degere yakindir Cebisev in esitsizligi sadece normal dagilim gosteren seriler icin degil butun rastgele dagilim gosteren veri serileri icin gecerlidir Buna gore su zayif sinirlar ve bu sinirlar icinde bulunan veri yuzdesi soyle verilebilir Ortalamadan 2 standart sapma uzakliklari arasinda degerlerin en asagi 50si bulunur Ortalamadan 2 standart sapma uzakliklari arasinda degerlerin en asagi 75i bulunur Ortalamadan 3 standart sapma uzakliklari arasinda degerlerin en asagi 89u bulunur Ortalamadan 4 standart sapma uzakliklari arasinda degerlerin en asagi 94u bulunur Ortalamadan 5 standart sapma uzakliklari arasinda degerlerin en asagi 96si bulunur Ortalamadan 6 standart sapma uzakliklari arasinda degerlerin en asagi 97si bulunur Ortalamadan 7 standart sapma uzakliklari arasinda degerlerin en asagi 98i bulunur Genel olarak ortalamadan k standart sapma uzakliklari arasinda degerlerin en asagi 1 1 k2 100 si bulunur Standart sapma ve ortalama arasindaki iliskiCok kere bir veri serisinin ozetlenmesinde ortalama ve standart sapma birlikte bildirilmektedir Bir anlamda eger ortalama verilerinin merkezi olarak kullanilan olcu ise standart sapma veri yayiliminin dogal olcusudur Buna neden ortalama noktasindan standart sapmanin verinin herhangi bir noktasindan standarize edilmis sapmadan daha kucuk oldugudur Bu matematiksel ifade ile soyle gosterilebilir x1 xn reel sayilar olsun ve su fonksiyon tanimlansin s r 1n i 1n xi r 2 displaystyle sigma r sqrt frac 1 n sum i 1 n x i r 2 Ya birinci turev alinip sifira esit yaparak veya daha kolay bir cebirsel yol olan kullanarak s r nin tek ve sadece tek bir minimum noktasinin aritmetik ortalama oldugu yani r x displaystyle r overline x gosterilebilir Standart sapma ile ortalama arasindaki diger bir iliski ise yayilim ozelligine dayanan veri karsilastirilmalari icin kullanilan varyasyon katsayisidir Bir veri serisi icin varyasyon katsayisi standart sapma ile ortalama arasindaki orandir Boylece standart sapma ve ortalama veri birimleri ile boyutlu iken ornegin veri TL ile ise standart sapma ve ortalama TL birimlerindedir varyasyon katsayisi boyutsuz sirf bir sayidir Bu nedenle degisik birimlerde olan verilerin yayilimlarinin karsilastirilmasi icin kullanilabilir Ayrica bakinizVaryans hesaplanmasi icin algoritmalar Cebisev in esitsizligi Basiklik Ortalama Carpiklik Standart hata VaryansKaynakcaDis kaynaklarSpiegel Murray R ve Stephens Larry J Tr Cev Celebioglu Salih 2013 Istatistik Istanbul Nobel Akademik Yayincilik ISBN 9786051337043Dis baglantilar Ingilizce Standart sapma matematik kullanmadan bir aciklama10 Ocak 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde Ingilizce Standart sapma bir basit giris8 Subat 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde Ingilizce Standart sapma dergi ve gazete yazarlari icin basitce bir aciklama8 Subat 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde Ingilizce Texas A amp M standart sapma ve guven araligi hesaplayicilari12 Ocak 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde Ingilizce