Azərbaycanca
Беларускі
Dansk
Deutsch
Española
Français
Indonesia
Italiana
日本語
Қазақ
Lietuvos
Nederlands
Português
Русский
සිංහල
แบบไทย
Türkçe
Українська
中國人
United State
Afrikaans
Matematikte, trigonometrik fonksiyon tabloları bir dizi alanda yararlıdır. Küçük hesap makinelerinin varlığından önce, trigonometrik tablolar navigasyon, bilim ve mühendislik için gerekliydi. Matematiksel tabloların hesaplanması önemli bir çalışma alanıydı ve bu da geliştirilmesine yol açtı.
Modern bilgisayarlar ve cep hesap makineleri artık özel matematiksel kod kütüphaneleri kullanarak talep üzerine trigonometrik fonksiyon değerleri üretmektedir. Bu kütüphaneler, genellikle önceden hesaplanmış tabloları dahili olarak kullanır ve gerekli değeri uygun bir interpolasyon (iç-değer biçme) yöntemi kullanarak hesaplar. Trigonometrik fonksiyonların basit aramalı tabloların interpolasyonu, yalnızca kabul edilebilir bir doğruluğun gerekli olabileceği ve hızın genellikle çok önemli olduğu bilgisayar grafikleri alanında hala kullanılmaktadır.
Trigonometrik tabloların ve hesaplama şemalarının bir diğer önemli uygulaması da hızlı Fourier dönüşümü (FFT) algoritmalarıdır; burada aynı trigonometrik fonksiyon değerleri (“twiddle faktörleri” olarak adlandırılır) belirli bir dönüşümde, özellikle de aynı boyutta birçok dönüşümün hesaplandığı yaygın durumda birçok kez değerlendirilmelidir. Bu durumda, her seferinde genel kütüphane rutinlerini çağırmak kabul edilemeyecek kadar yavaştır. Bir seçenek, ihtiyaç duyulacak trigonometrik değerlerin bir tablosunu oluşturmak için kütüphane rutinlerini bir kez çağırmaktır, ancak bu tabloyu saklamak için önemli miktarda bellek gerektirir. Diğer olasılık, düzenli bir değer dizisi gerektiğinden, trigonometrik değerleri anında hesaplamak için bir yineleme formülü kullanmaktır. FFT'nin doğruluğunu korumak için (trigonometrik hatalara karşı çok hassastır) doğru, kararlı yineleme şemaları bulmaya yönelik önemli araştırmalar yapılmıştır.
Trigonometri tablosu esasen çeşitli açılar için sinüs, kosinüs, tanjant ve diğer trigonometrik fonksiyonların değerlerini içeren ve kullanıcılara sunan bir referans tablosudur. Bu açılar genellikle tablonun üst sırası boyunca düzenlenirken, farklı trigonometrik fonksiyonlar soldaki ilk sütunda etiketlenir. Belirli bir açıda belirli bir trigonometrik fonksiyonun değerini bulmak için, fonksiyonun satırını bulur ve istenen açının altındaki sütuna kadar takip edersiniz.
Bir trigonometri tablosunu kullanmak birkaç basit adım içerir
- Trigonometrik değerleri bulmanız gereken spesifik açıyı belirleyin.
- Bu açıyı tablonun yatay ekseni (üst satır) boyunca arayıp bulun.
- Dikey eksenden (ilk sütun) ilgilendiğiniz trigonometrik fonksiyonu seçin.
- Fonksiyon boyunca ve açıdan aşağıya doğru tabloda kesiştikleri noktaya kadar izleyin; bu kesişme noktasındaki sayı, o açı için trigonometrik fonksiyonun değerini verir.
İsteğe bağlı hesaplama
Modern bilgisayarlar ve hesap makineleri keyfi açılar için talep üzerine trigonometrik fonksiyon değerleri sağlamak için çeşitli teknikler kullanmaktadır (Kantabutra, 1996). Özellikle kayan nokta birimlerine sahip üst düzey işlemcilerde yaygın bir yöntem, bir polinom veya (örneğin , en iyi düzgün yaklaşım, ve tipik olarak daha yüksek veya değişken kesinlikler için Taylor ve Laurent serisi) aralık azaltma ve tablo arama — önce küçük bir tabloda en yakın açıyı ararlar ve ardından düzeltmeyi hesaplamak için polinomu kullanırlar. Böyle bir interpolasyon gerçekleştirirken hassasiyeti korumak önemsizdir, ancak , Cody ve Waite aralık azaltma ve Payne ve Hanek radyan azaltma algoritmaları gibi yöntemler bu amaç için kullanılabilir. Bir bulunmayan daha basit cihazlarda, CORDIC (ve ilgili teknikler) adı verilen ve yalnızca ve toplama işlemlerini kullandığı için daha verimli olan bir algoritma vardır. Bu yöntemlerin tümü, performans nedenleriyle donanımda yaygın olarak uygulanmaktadır.
Bir trigonometrik fonksiyona yaklaşmak için kullanılan belirli polinom, bir yaklaşımı kullanılarak önceden oluşturulur.
hesaplamalar için, seri-genişleme yakınsaması çok yavaş olduğunda, trigonometrik fonksiyonlar ile yaklaştırılabilir, bu da trigonometrik fonksiyonu (kompleks) eliptik integral ile yaklaştırır (Brent, 1976).
2π'nin rasyonel katları olan açıların trigonometrik fonksiyonları cebirsel sayılardır. a/b-2π değerleri, n = a için de Moivre özdeşliği, aynı zamanda karmaşık düzlemde xb - 1 polinomunun bir kökü olan binci uygulanarak bulunabilir. Örneğin, 2π ⋅ 5/37'nin kosinüs ve sinüsü, sırasıyla, 37. x37 − 1 polinomunun bir kökü olan, cos(2π/37) + sin(2π/37)i birliğinin 37. kökünün 5. kuvvetinin gerçek ve sanal kısmıdır. Bu durum için, Newton yöntemi gibi bir kök bulma algoritması, benzer bir asimptotik oranda yakınsarken yukarıdaki aritmetik-geometrik ortalama algoritmalarından çok daha basittir. Ancak ikinci algoritmalar transandantal trigonometrik sabitler için gereklidir.
Yarım açı ve açı toplamı formülleri
Tarihsel olarak, trigonometrik tabloların hesaplandığı en eski ve bilgisayarların ortaya çıkışına kadar muhtemelen en yaygın olan yöntem, bilinen bir değerden başlayarak (sin(π/2) = 1, cos(π/2) = 0 gibi) yarım açı ve açı toplamı için trigonometrik özdeşlik yöntemlerini tekrar tekrar (yani yinelemeli olarak) uygulamaktı. Bu yöntem, astronomi üzerine bir inceleme olan Almagest adlı eserinde bunları türeten antik Yunan astronom Batlamyus tarafından kullanılmıştır. Modern formda, türettiği özdeşlikler aşağıdaki gibi ifade edilir (xin bulunduğu çeyrek tarafından belirlenen işaretlerle):
Bunlar astronomi problemlerine uygulanan Batlamyus kirişler tablosunu oluşturmak için kullanılmıştır.
Bu özdeşlikler üzerinde başka permütasyonlar da mümkündür: örneğin, bazı erken dönem trigonometrik tablolarda sinüs ve kosinüs değil, sinüs ve kullanılmıştır.
Hızlı ama kusurlu bir yaklaşım
N yaklaşım tablosunu hesaplamak için hızlı, ancak hatalı bir algoritma sin(2πn/N) için sn ve cos(2πn/N) için cn:
- s0 = 0
- c0 = 1
- sn+1 = sn + d × cn
- cn+1 = cn − d × sn
n = 0,...,N − 1 için, burada d = 2π/N.
Bu basitçe diferansiyel denklemin integralini almak için :
s(0) = 0 ve c(0) = 1 başlangıç koşulları ile analitik çözümü s = sin(t) ve c = cos(t) şeklindedir.
Ne yazık ki, bu sinüs tabloları oluşturmak için kullanışlı bir algoritma değildir çünkü 1/N ile orantılı önemli derecede bir hatası vardır.
Örneğin, N = 256 için sinüs değerlerindeki maksimum hata ~0.061'dir (s202 = −0,9757 yerine −1,0368). N = 1024 için, sinüs değerlerindeki maksimum hata ~0,015 (s803 = −0,97832 yerine −0,99321), yani yaklaşık 4 kat daha küçüktür. Eğer elde edilen sinüs ve kosinüs değerleri çizilecek olsaydı, bu algoritma bir daire yerine logaritmik bir spiral çizerdi.
Daha iyi, ancak hala kusurlu bir yineleme formülü
Trigonometrik tablolar oluşturmak için basit bir yineleme formülü, Euler formülü ve ilişkiye dayanır:
Bu, yukarıdaki gibi trigonometrik sn ve cn değerlerini hesaplamak için aşağıdaki yinelemeye yol açar:
- c0 = 1
- s0 = 0
- cn+1 = wrcn − wisn
- sn+1 = wicn + wrsn
n = 0, ..., N − 1 için, burada wr = cos(2π/N) ve wi = sin(2π/N). Bu iki başlangıç trigonometrik değeri genellikle mevcut kütüphane fonksiyonları kullanılarak hesaplanır (ancak örneğin karmaşık düzlemde Newton yöntemi kullanılarak zN − 1'in ilkel için çözülerek de bulunabilir).
Bu yöntem kesin aritmetikte tam bir tablo üretir, ancak sonlu hassasiyetli kayan nokta aritmetiğinde hatalar vardır. Aslında, hatalar O(ε N) olarak büyür (hem en kötü hem de ortalama durumlarda), burada ε kayan nokta hassasiyetidir.
Önemli bir gelişme, FFT uygulamaları için trigonometrik değerler üretmek üzere sıklıkla kullanılan bir hile (Singleton'a göre) olan yukarıdaki aşağıdaki modifikasyonu kullanmaktır:
- c0 = 1
- s0 = 0
- cn+1 = cn − (α cn + β sn)
- sn+1 = sn + (β cn − α sn)
Burada α = 2 sin2(π/N) ve β = sin(2π/N). Bu yöntemin hataları çok daha küçüktür, ortalama olarak O(ε √N) ve en kötü durumda O(ε N), ancak bu hala büyük boyutlardaki FFT'lerin doğruluğunu önemli ölçüde azaltacak kadar büyüktür.
Notlar
- ^ "Trigonometry Table: Learning of trigonometry table is simplified". Yogiraj notes | General study and Law study Notes (İngilizce). 2 Kasım 2023 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 2 Kasım 2023.
- ^ Singleton 1967
Ayrıca bakınız
Kaynakça
- Carl B. Boyer (1991) A History of Mathematics, 2nd edition, .
- Manfred Tasche and Hansmartin Zeuner (2002) "Improved roundoff error analysis for precomputed twiddle factors", Journal for Computational Analysis and Applications 4(1): 1–18.
- James C. Schatzman (1996) "Accuracy of the discrete Fourier transform and the fast Fourier transform", 17(5): 1150–1166.
- Vitit Kantabutra (1996) "On hardware for computing exponential and trigonometric functions," 45(3): 328–339 .
- (1976) "Fast Multiple-Precision Evaluation of Elementary Functions", 23: 242–251.
- Singleton, Richard C (1967). "On Computing The Fast Fourier Transform". . 10 (10). ss. 647-654. doi:10.1145/363717.363771
![image]()
. - William J. Cody Jr., William Waite, Software Manual for the Elementary Functions, Prentice-Hall, 1980, .
- Mary H. Payne, Robert N. Hanek, Radian reduction for trigonometric functions, ACM SIGNUM Newsletter 18: 19-24, 1983.
- Gal, Shmuel and Bachelis, Boris (1991) "An accurate elementary mathematical library for the IEEE floating point standard", .
wikipedia, wiki, viki, vikipedia, oku, kitap, kütüphane, kütübhane, ara, ara bul, bul, herşey, ne arasanız burada,hikayeler, makale, kitaplar, öğren, wiki, bilgi, tarih, yukle, izle, telefon için, turk, türk, türkçe, turkce, nasıl yapılır, ne demek, nasıl, yapmak, yapılır, indir, ücretsiz, ücretsiz indir, bedava, bedava indir, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, resim, müzik, şarkı, film, film, oyun, oyunlar, mobil, cep telefonu, telefon, android, ios, apple, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, pc, web, computer, bilgisayar
Matematikte trigonometrik fonksiyon tablolari bir dizi alanda yararlidir Kucuk hesap makinelerinin varligindan once trigonometrik tablolar navigasyon bilim ve muhendislik icin gerekliydi Matematiksel tablolarin hesaplanmasi onemli bir calisma alaniydi ve bu da gelistirilmesine yol acti Modern bilgisayarlar ve cep hesap makineleri artik ozel matematiksel kod kutuphaneleri kullanarak talep uzerine trigonometrik fonksiyon degerleri uretmektedir Bu kutuphaneler genellikle onceden hesaplanmis tablolari dahili olarak kullanir ve gerekli degeri uygun bir interpolasyon ic deger bicme yontemi kullanarak hesaplar Trigonometrik fonksiyonlarin basit aramali tablolarin interpolasyonu yalnizca kabul edilebilir bir dogrulugun gerekli olabilecegi ve hizin genellikle cok onemli oldugu bilgisayar grafikleri alaninda hala kullanilmaktadir Trigonometrik tablolarin ve hesaplama semalarinin bir diger onemli uygulamasi da hizli Fourier donusumu FFT algoritmalaridir burada ayni trigonometrik fonksiyon degerleri twiddle faktorleri olarak adlandirilir belirli bir donusumde ozellikle de ayni boyutta bircok donusumun hesaplandigi yaygin durumda bircok kez degerlendirilmelidir Bu durumda her seferinde genel kutuphane rutinlerini cagirmak kabul edilemeyecek kadar yavastir Bir secenek ihtiyac duyulacak trigonometrik degerlerin bir tablosunu olusturmak icin kutuphane rutinlerini bir kez cagirmaktir ancak bu tabloyu saklamak icin onemli miktarda bellek gerektirir Diger olasilik duzenli bir deger dizisi gerektiginden trigonometrik degerleri aninda hesaplamak icin bir yineleme formulu kullanmaktir FFT nin dogrulugunu korumak icin trigonometrik hatalara karsi cok hassastir dogru kararli yineleme semalari bulmaya yonelik onemli arastirmalar yapilmistir Trigonometri tablosu esasen cesitli acilar icin sinus kosinus tanjant ve diger trigonometrik fonksiyonlarin degerlerini iceren ve kullanicilara sunan bir referans tablosudur Bu acilar genellikle tablonun ust sirasi boyunca duzenlenirken farkli trigonometrik fonksiyonlar soldaki ilk sutunda etiketlenir Belirli bir acida belirli bir trigonometrik fonksiyonun degerini bulmak icin fonksiyonun satirini bulur ve istenen acinin altindaki sutuna kadar takip edersiniz Bir trigonometri tablosunu kullanmak birkac basit adim icerirTrigonometrik degerleri bulmaniz gereken spesifik aciyi belirleyin Bu aciyi tablonun yatay ekseni ust satir boyunca arayip bulun Dikey eksenden ilk sutun ilgilendiginiz trigonometrik fonksiyonu secin Fonksiyon boyunca ve acidan asagiya dogru tabloda kesistikleri noktaya kadar izleyin bu kesisme noktasindaki sayi o aci icin trigonometrik fonksiyonun degerini verir Istege bagli hesaplama1619 tarihli bir matematiksel tablo kitabindan bir sayfa Modern bilgisayarlar ve hesap makineleri keyfi acilar icin talep uzerine trigonometrik fonksiyon degerleri saglamak icin cesitli teknikler kullanmaktadir Kantabutra 1996 Ozellikle kayan nokta birimlerine sahip ust duzey islemcilerde yaygin bir yontem bir polinom veya ornegin en iyi duzgun yaklasim ve tipik olarak daha yuksek veya degisken kesinlikler icin Taylor ve Laurent serisi aralik azaltma ve tablo arama once kucuk bir tabloda en yakin aciyi ararlar ve ardindan duzeltmeyi hesaplamak icin polinomu kullanirlar Boyle bir interpolasyon gerceklestirirken hassasiyeti korumak onemsizdir ancak Cody ve Waite aralik azaltma ve Payne ve Hanek radyan azaltma algoritmalari gibi yontemler bu amac icin kullanilabilir Bir bulunmayan daha basit cihazlarda CORDIC ve ilgili teknikler adi verilen ve yalnizca ve toplama islemlerini kullandigi icin daha verimli olan bir algoritma vardir Bu yontemlerin tumu performans nedenleriyle donanimda yaygin olarak uygulanmaktadir Bir trigonometrik fonksiyona yaklasmak icin kullanilan belirli polinom bir yaklasimi kullanilarak onceden olusturulur hesaplamalar icin seri genisleme yakinsamasi cok yavas oldugunda trigonometrik fonksiyonlar ile yaklastirilabilir bu da trigonometrik fonksiyonu kompleks eliptik integral ile yaklastirir Brent 1976 2p nin rasyonel katlari olan acilarin trigonometrik fonksiyonlari cebirsel sayilardir a b 2p degerleri n a icin de Moivre ozdesligi ayni zamanda karmasik duzlemde xb 1 polinomunun bir koku olan binci uygulanarak bulunabilir Ornegin 2p 5 37 nin kosinus ve sinusu sirasiyla 37 x37 1 polinomunun bir koku olan cos 2p 37 sin 2p 37 i birliginin 37 kokunun 5 kuvvetinin gercek ve sanal kismidir Bu durum icin Newton yontemi gibi bir kok bulma algoritmasi benzer bir asimptotik oranda yakinsarken yukaridaki aritmetik geometrik ortalama algoritmalarindan cok daha basittir Ancak ikinci algoritmalar transandantal trigonometrik sabitler icin gereklidir Yarim aci ve aci toplami formulleriTarihsel olarak trigonometrik tablolarin hesaplandigi en eski ve bilgisayarlarin ortaya cikisina kadar muhtemelen en yaygin olan yontem bilinen bir degerden baslayarak sin p 2 1 cos p 2 0 gibi yarim aci ve aci toplami icin trigonometrik ozdeslik yontemlerini tekrar tekrar yani yinelemeli olarak uygulamakti Bu yontem astronomi uzerine bir inceleme olan Almagest adli eserinde bunlari tureten antik Yunan astronom Batlamyus tarafindan kullanilmistir Modern formda turettigi ozdeslikler asagidaki gibi ifade edilir xin bulundugu ceyrek tarafindan belirlenen isaretlerle cos x2 12 1 cos x displaystyle cos left frac x 2 right pm sqrt tfrac 1 2 1 cos x sin x2 12 1 cos x displaystyle sin left frac x 2 right pm sqrt tfrac 1 2 1 cos x sin x y sin x cos y cos x sin y displaystyle sin x pm y sin x cos y pm cos x sin y cos x y cos x cos y sin x sin y displaystyle cos x pm y cos x cos y mp sin x sin y Bunlar astronomi problemlerine uygulanan Batlamyus kirisler tablosunu olusturmak icin kullanilmistir Bu ozdeslikler uzerinde baska permutasyonlar da mumkundur ornegin bazi erken donem trigonometrik tablolarda sinus ve kosinus degil sinus ve kullanilmistir Hizli ama kusurlu bir yaklasimN yaklasim tablosunu hesaplamak icin hizli ancak hatali bir algoritma sin 2pn N icin sn ve cos 2pn N icin cn s0 0 c0 1 sn 1 sn d cn cn 1 cn d sn n 0 N 1 icin burada d 2p N Bu basitce diferansiyel denklemin integralini almak icin ds dt c displaystyle ds dt c dc dt s displaystyle dc dt s s 0 0 ve c 0 1 baslangic kosullari ile analitik cozumu s sin t ve c cos t seklindedir Ne yazik ki bu sinus tablolari olusturmak icin kullanisli bir algoritma degildir cunku 1 N ile orantili onemli derecede bir hatasi vardir Ornegin N 256 icin sinus degerlerindeki maksimum hata 0 061 dir s202 0 9757 yerine 1 0368 N 1024 icin sinus degerlerindeki maksimum hata 0 015 s803 0 97832 yerine 0 99321 yani yaklasik 4 kat daha kucuktur Eger elde edilen sinus ve kosinus degerleri cizilecek olsaydi bu algoritma bir daire yerine logaritmik bir spiral cizerdi Daha iyi ancak hala kusurlu bir yineleme formuluTrigonometrik tablolar olusturmak icin basit bir yineleme formulu Euler formulu ve iliskiye dayanir ei 8 D ei8 eiD8 displaystyle e i theta Delta e i theta times e i Delta theta Bu yukaridaki gibi trigonometrik sn ve cn degerlerini hesaplamak icin asagidaki yinelemeye yol acar c0 1 s0 0 cn 1 wrcn wisn sn 1 wicn wrsn n 0 N 1 icin burada wr cos 2p N ve wi sin 2p N Bu iki baslangic trigonometrik degeri genellikle mevcut kutuphane fonksiyonlari kullanilarak hesaplanir ancak ornegin karmasik duzlemde Newton yontemi kullanilarak zN 1 in ilkel icin cozulerek de bulunabilir Bu yontem kesin aritmetikte tam bir tablo uretir ancak sonlu hassasiyetli kayan nokta aritmetiginde hatalar vardir Aslinda hatalar O e N olarak buyur hem en kotu hem de ortalama durumlarda burada e kayan nokta hassasiyetidir Onemli bir gelisme FFT uygulamalari icin trigonometrik degerler uretmek uzere siklikla kullanilan bir hile Singleton a gore olan yukaridaki asagidaki modifikasyonu kullanmaktir c0 1 s0 0 cn 1 cn a cn b sn sn 1 sn b cn a sn Burada a 2 sin2 p N ve b sin 2p N Bu yontemin hatalari cok daha kucuktur ortalama olarak O e N ve en kotu durumda O e N ancak bu hala buyuk boyutlardaki FFT lerin dogrulugunu onemli olcude azaltacak kadar buyuktur Notlar look up table minimaks algortimasi Trigonometry Table Learning of trigonometry table is simplified Yogiraj notes General study and Law study Notes Ingilizce 2 Kasim 2023 tarihinde kaynagindan arsivlendi Erisim tarihi 2 Kasim 2023 Singleton 1967Ayrica bakinizCORDIC Tam trigonometrik degerler Sayisal analiz Plimpton 322KaynakcaCarl B Boyer 1991 A History of Mathematics 2nd edition John Wiley amp Sons Manfred Tasche and Hansmartin Zeuner 2002 Improved roundoff error analysis for precomputed twiddle factors Journal for Computational Analysis and Applications 4 1 1 18 James C Schatzman 1996 Accuracy of the discrete Fourier transform and the fast Fourier transform 17 5 1150 1166 Vitit Kantabutra 1996 On hardware for computing exponential and trigonometric functions 45 3 328 339 1976 Fast Multiple Precision Evaluation of Elementary Functions 23 242 251 Singleton Richard C 1967 On Computing The Fast Fourier Transform 10 10 ss 647 654 doi 10 1145 363717 363771 William J Cody Jr William Waite Software Manual for the Elementary Functions Prentice Hall 1980 0 13 822064 6 Mary H Payne Robert N Hanek Radian reduction for trigonometric functions ACM SIGNUM Newsletter 18 19 24 1983 Gal Shmuel and Bachelis Boris 1991 An accurate elementary mathematical library for the IEEE floating point standard