Kepler Yörüngesi

Gök mekaniği olarak, Kepler yörüngesi (veya Keplersel yörünge) üç boyutlu uzayda iki boyutlu bir yörünge düzlemi oluşturan bir elips, parabol, hiperbol benzeri bir yörünge cismininin hareketini açıklar. (Kepler yörüngesi aynı zamanda düz bir çizgi de çizebilir). Kepler yörüngesi yalnızca nokta iki cismin nokta benzeri yerçekimsel çekimlerini dikkate alır, atmosfer sürüklemesi, güneş radyasyonu baskısı, dairesel olmayan cisim merkezi ve bunun gibi bir takım şeylerin diğer cisimlerle girdiği çekim ilişkileri nedeniyle ihmal eder. Böylece Kepler problemi olarak bilinen iki-cisim probleminin, özel durumlara bir çözüm olarak atfedilir. Klasik mekaniğin bir teorisi olarak, aynı zamanda genel görelilik etkilerini dikkate almaz. Kepler yörüngeleri çeşitli şekillerde altı yörünge unsurları içine parametrize edilebilir.

Kepler Orbitand eksentriklerini çeşitli biçimlerde gösteren diyagram. Mavi bir hiperbolik yörünge (e> 1) 'dir. Yeşil bir parabolik yörünge (e = 1) 'dir. Kırmızı eliptik yörünge (0 <e <1). Gri bir dairesel yörünge (e = 0) 'dir. (e = 0).

Çoğu uygulamalarda, tüm sistemin kütle merkezi olarak kabul edilen büyük bir merkezi cisim ve kütle merkezi vardır. Ayrıştırma yapılınca, iki objenin benzer kütleleri, ikisinin ortak kütle merkezinin Kepler yörüngesi ya da barisentileri olarak açıklanabilir.

Giriş

Eski çağlardan itibaren 16. ve 17. yüzyıllara kadar gezegenlerin hareketlerinin Antik Yunan filozofları Aristo ve Batlamyus tarafından öğretildiği gibi mükemmel dairesel jeosentrik yolları takip ettiğine inanılırdı. Gezegenlerin hareketler değişimleri (epidaire) üst üste küçük dairesel yollar şeklinde açıklanmıştır.. Gezegenlerin ölçümleri giderek daha kesin olmaya başladığında, bu teoriye revizyonlar önerilmiştir. Hala gezegenlerin güneş merkezli mükemmel dairesel yörüngede gittiğine inanılmasına rağmen 1543 yılında Nicolaus Copernicus, güneş sisteminin bir güneş merkezli modelini yayınladı.

Yasaların geliştirilmesi

1601 yılında Johannes Kepler, Tycho Brahe tarafından yapılan gezegenlerin kapsamlı ve titiz gözlemlerini elde etti. Kepler, sonraki beş yılı Mars gezegeninin gözlemlerini çeşitli eğrilere uydurmaya çalışarak geçirecekti. 1609 yılında Kepler, gezegensel hareketin üç yasasından ilk ikisini yayınladı. Birinci yasa şöyledir:

"Güneş sistemindeki bütün gezegenler, odaklarının birinde Güneş olan elips şeklindeki bir yörüngede hareket ederler."

Daha genel anlatımla, Kepler hareketini yapan bir nesnenin yolu elips olduğu kadar, parabol veya hiperbol de olabilir. Bu bir grup şekil konik kesitler olarak bilinir. Matematiksel olarak, merkezi bir cisim ile yörüngedeki bir cisim arasındaki mesafe şu şekilde ifade edilebilir:

${\displaystyle r(\theta )={\frac {a(1-e^{2})}{1+e\cos(\theta )}}}$

• ${\displaystyle r}$ mesafedir
• ${\displaystyle a}$ yörüngenin boyutunu tanımlayan yarı büyük eksendir
• ${\displaystyle e}$ yörüngenin şeklini tanımlayan dış merkezliktir
• ${\displaystyle \theta }$ yörüngedeki nesnenin mevcut konumu ile yörüngedeki merkez cisme en yakın olduğu (enberi noktası olarak adlandırılan) konum arasındaki açı olan .

Alternatif olarak, denklem şu şekilde ifade edilebilir:

${\displaystyle r(\theta )={\frac {p}{1+e\cos(\theta )}}}$

Burada ${\displaystyle p}$, eğrinin yarı özkirişi olarak adlandırılır. Denklemin bu formu, özellikle yarı büyük ekseni sonsuz olan parabolik yörüngelerle uğraşırken kullanışlıdır.

Bu yasaları gözlemleriyle geliştiren Kepler, hiçbir zaman bu hareketleri açıklayacak bir teori geliştirememiştir.

Isaac Newton

Isaac Newton, 1665 ve 1666 yılları arasında hareket, kütleçekim ve diferansiyel hesap ile ilgili çeşitli kavramlar geliştirdi. Bununla birlikte bu kavramlar, 1687 yılında hareket yasalarını ve evrensel kütleçekim yasasını ana hatlarıyla belirttiği Principia'ya kadar yayınlanmadı. Üç hareket yasasından ikincisi şöyle der:

Bir cismin ivmesi, cisme etki eden net kuvvetle paralel ve doğru orantılıdır. Net kuvvet yönündedir ve cismin kütlesi ile ters orantılıdır:

${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} =m{\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}}$

• ${\displaystyle \mathbf {F} }$ kuvvet vektörüdür
• ${\displaystyle m}$ kuvvetin etki ettiği cismin kütlesidir
• ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ivme vektörüdür, ${\displaystyle \mathbf {r} }$ konum vektörünün ikinci zaman türevidir.

Kurallara bakılırsa, denklemin bu şekli yalnızca aşağıda yapılan basitleştirici varsayımlara dayalı olarak doğru olan sabit kütleli bir nesne için geçerlidir.

Newton'un evrensel kütleçekim yasasının mekanizmaları: Bir nokta kütle olan m₁ diğer bir nokta kütle olan m₂'yi, iki kütlenin çarpımı ile orantılı ve aralarındaki (r) uzaklığının karesi ile ters orantılı olan bir F₂ kuvveti ile çeker. Kütleler veya mesafeden bağımsız olarak, |F₁| ve |F₂|'nin büyüklükleri her zaman eşit olacaktır. G kütle çekimi sabitidir.

Newton'un kütleçekim yasası şöyle der:

Her nokta kütle, her iki noktayı kesen doğru boyunca işaret edilen bir kuvvetle diğer nokta kütleleri çeker. Kuvvet, iki kütlenin çarpımı ile orantılı ve nokta kütleler arasındaki uzaklığın karesi ile ters orantılıdır:

${\displaystyle F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}}$

• ${\displaystyle F}$ iki nokta kütlesi arasındaki kütleçekim kuvvetinin büyüklüğüdür.
• ${\displaystyle G}$ kütle çekimi sabitidir
• ${\displaystyle m_{1}}$ birinci nokta kütlesinin kütlesidir
• ${\displaystyle m_{2}}$ ikinci nokta kütlesinin kütlesidir
• ${\displaystyle r}$ iki nokta kütlesi arasındaki mesafedir

Newton, hareket yasaları ve evrensel kütleçekim yasasından astronomide yörünge hareketine özgü Kepler yasalarını türetebildi. Kepler yasaları gözlem verileriyle iyi bir şekilde desteklendiğinden, bu tutarlılık Newton'un genelleştirilmiş teorisinin ve birleşik göksel ve sıradan mekaniğin geçerliliğine güçlü bir destek sağladı. Bu hareket yasaları, 20. yüzyılın başlarında Albert Einstein özel ve genel görelilik kavramlarını ortaya koyana kadar modern gök mekaniğinin temelini oluşturdu. Çoğu kullanımda Kepler hareketi, gezegenlerin ve uyduların hareketlerini nispeten yüksek doğruluk derecelerine yaklaştırır ve astronomi ve astrodinamikte yaygın olarak kullanılır.

Sadeleştirilmiş iki cisim problemi

İki cisimli bir sistemde bir cismin hareketini çözmek için iki sadeleştirici varsayım yapılabilir:

1. Cisimler küresel olarak simetriktir ve nokta kütleler olarak ele alınabilir.
2. Cisimlere karşılıklı kütleçekimi dışında etki eden iç ve dış kuvvetler yoktur.

Büyük gök cisimlerinin şekilleri kürelere yakındır. Simetri ile, bir kütle noktasını homojen bir küreye doğru çeken net kütleçekim kuvveti, merkeze doğru yönlenmelidir. (Isaac Newton tarafından da kanıtlanmış olan), kürenin yoğunluğu derinliğe göre değişse bile (çoğu gök cisimleri için olduğu gibi) bu kuvvetin büyüklüğünün, kütlenin tamamı kürenin ortasında toplanmış gibi aynı olduğunu belirtir. Bundan hemen sonra iki homojen küre arasındaki çekim, her ikisinin de kütlesi merkezinde yoğunlaşmış gibidir.

Asteroitler veya uzay araçları gibi daha küçük nesneler genellikle bir küreden güçlü bir şekilde ayrılan bir şekle sahiptir. Ancak bu düzensizlikler tarafından üretilen kütleçekim kuvvetleri, merkezi cismin kütleçekimi ile karşılaştırıldığında genellikle önemsizdir. Düzensiz bir şekil ile mükemmel bir küre arasındaki fark da mesafelerle azalır ve yörünge mesafelerinin çoğu, yörüngedeki küçük bir cismin çapıyla karşılaştırıldığında çok büyüktür. Bu nedenle bazı durumlar için şekil düzensizliği, kesinlik üzerinde önemli bir etki olmaksızın ihmal edilebilir. Bu etki, özellikle alçak yörüngelerde bulunan yapay Dünya uyduları için oldukça belirgindir.

Gezegenler değişen hızlarda dönerler ve bu merkezkaç kuvveti nedeniyle hafif basık bir şekil alabilirler. Böyle yassı bir şekille kütle çekimi, homojen bir küreninkinden bir miktar sapacaktır. Daha büyük mesafelerde bu yassılığın etkisi ihmal edilebilir hale gelir. Güneş Sistemindeki gezegensel hareketler, nokta kütleler olarak ele alınırsa yeterli hassasiyetle hesaplanabilirler.

Kütleleri ${\displaystyle m_{1}}$ ve ${\displaystyle m_{2}}$ olan iki nokta kütle nesnesi ve bazı eylemsiz referans çerçevesine göreceli konum vektörleri ${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$ ve ${\displaystyle \mathbf {r} _{2}}$, kütleçekim kuvvetlerine maruz kalır:

${\displaystyle m_{1}{\ddot {\mathbf {r} }}_{1}={\frac {-Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} }$

${\displaystyle m_{2}{\ddot {\mathbf {r} }}_{2}={\frac {Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} }$

burada ${\displaystyle \mathbf {r} }$, kütle 1'in kütle 2'ye göre göreceli konum vektörüdür ve şu şekilde ifade edilir:

${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}}$

${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }$, o yöndeki birim vektördür ve ${\displaystyle r}$, bu vektörün (uzunluğudur).

Kendi kütlelerine bölmek ve ikinci denklemi birinciden çıkarmak, birinci cismin ikinciye göre ivmesi için hareket denklemini verir:

   

${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}=-{\frac {\alpha }{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} }$

(1)

   

${\displaystyle \alpha }$, yerçekimi parametresidir ve eşittir

${\displaystyle \alpha =G(m_{1}+m_{2})}$

Birçok uygulamada, üçüncü bir sadeleştirici varsayım yapılabilir:

Bu varsayım, sadeleştirilmiş iki cisim problemini çözmek için gerekli değildir, ancak özellikle Dünya yörüngesindeki uydular ve Güneş'in yörüngesindeki gezegenlerle ilgili hesaplamaları basitleştirir. Jüpiter'in kütlesi bile Güneş'inkinden 1047 kat daha azdır, bu da α değerinde %0,096'lık bir hata oluşturur. Dikkate değer istisnalar arasında Dünya-Ay sistemi (kütle oranı 81,3), Plüton-Charon sistemi (kütle oranı 8,9) ve ikili yıldız sistemleri sayılabilir.

Bu varsayımlar altında iki cisim problemi için diferansiyel denklem matematiksel olarak tamamen çözülebilir ve Kepler'in gezegensel hareket yasalarını takip ederek sonuçta oluşan yörüngeye "Kepler yörüngesi" denir. Tüm gezegenlerin yörüngeleri yüksek doğrulukta Güneş etrafındaki Kepler yörüngeleridir. Küçük sapmalar, gezegenler arasındaki çok daha zayıf kütleçekim etkilerinden ve Merkür durumunda genel görelilikten kaynaklanmaktadır. Dünya etrafındaki yapay uyduların yörüngeleri, makul bir tahminle Güneş, Ay ve Dünya'nın yassılığından dolayı küçük düzensizliklere sahip Kepler yörüngeleridir. Hareket denkleminin bütün kütleçekim ve kütleçekim olmayan kuvvetlerin (güneş radyasyon basıncı ve atmosfer direnci gibi) hesaba katılmasıyla sayısal olarak entegre edilmesi gereken yüksek doğruluktaki kullanımlarda, Kepler yörünge kavramları çok önemlidir ve yoğun olarak kullanılır.

Kepler yörünge öğeleri

Kepler yörünge öğeleri

Kepler yörüngesinin altı parametre ile tanımlanabilirliğinden söz etmek gerekir. Üç boyutlu uzayda hareket eden bir nesnenin hareket bir konum vektörü ve bir hız vektörü ile karakterize edilir. Her vektörün üç bileşeni vardır, bu yüzden uzayda bir yörünge tanımlamak için gerekli değerlerin toplam sayısı altıdır. Bir yörünge (Kepler Elementleri olarak bilinen) ve pozisyon ve hızına bağlı olarak ölçülebilen altı elementten oluşur ki bunların üçü daha önce gösterilmiştir. Bu altı uygun elementten beş tanesi yörünge için değişmezdir. (iki sürekli değişen vektöre bir tezat niteliğinde olmak üzere). Kendi yörüngesinde içindeki bir nesnenin gelecekteki konumu tahmin edilebilir ve yeni konum ve hız kolayca yörünge elemanları ile elde edilebilir.

Bunlardan ikisi eksenin boyutunu ve şeklin belirler:

• Yarımajör eksen (${\displaystyle a\,\!}$)
• eksantriklik (${\displaystyle e\,\!}$)

Üç tanesi yörünge alanının oryantasyonunu belirler:

• eğim (${\displaystyle i\,\!}$)yörünge düzlemi ile referans düzlemi arasındaki açıyı tanımlar.
• Yükselen nodun uzunluğu (${\displaystyle \Omega \,\!}$) Referans yönü ve referans düzlemi üzerinde yörüngeye yukarı kesişme (yükselen nod) arasındaki açıyı tanımlar.
• Periapsis argüman(${\displaystyle \omega \,\!}$) artan nod ve periapsis arasındaki açıyı belirler.

Ve son olarak:

• Gerçek anomali (${\displaystyle \nu }$)periapsis ölçülen yörünge boyunca yörüngedeki cismin konumunu tanımlar. Çeşitli başka değerlerin yerine gerçek bir anomali kullanılabilir, bunlardan en sık kullanılanları mean anomoli olan ${\displaystyle M}$ ve periapsisden yana geçen süre olan ${\displaystyle T}$’dir.

${\displaystyle i}$, ${\displaystyle \Omega }$ ve ${\displaystyle \omega }$ sadece yörünge düzlemi içinde nesnenin hareketini tartışırken referans çerçevesinde yörünge yönünü tanımlayan açısal ölçümlerdir ve kesin olarak gerekli değildir. Burada tamamlanmışlık adına belitilmişlerdir ancak aşağıdaki ispatlar için gerekli değillerdir.

Yukarıdaki diferansiyel denklemin (1) matematiksel çözümü

Herhangi bir merkez kuvveti altında yani r bir kuvvet paraleli ve hareket için, belirli bağıl açısal momentumu ${\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}}$ sabit kalır:
${\displaystyle {\dot {\mathbf {H} }}={\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}\right)={\dot {\mathbf {r} }}\times {\dot {\mathbf {r} }}+\mathbf {r} \times {\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {0} +\mathbf {0} =\mathbf {0} }$

Pozisyonun çapraz ürünü vektör ve onun hızı olduğu için sabit kaldığından, aynı düzelmde bulunmak zorundadırlar. (${\displaystyle \mathbf {H} }$’ye ortogonal). Bu vektör, fonksiyonun, bir düzlem eğrisi olduğu anlamına gelir. Denklemin kökeni etrafında simetri vardır, çünkü kutupsal koordinatlarda çözmek kolaydır. Bununla birlikte, bu denklem dikkat etmek önemlidir 1 doğrusal ivmeye refere eder ${\displaystyle \left({\ddot {\mathbf {r} }}\right)}$, açısalın karşıtı olarak ${\displaystyle \left({\ddot {\theta }}\right)}$ yahut radyal ${\displaystyle \left({\ddot {r}}\right)}$ ivmelenme. Bu nedenle, denklemi değiştiren kişinin dikkatli olması gerekir.Şimdi kartezyen koordinat sistemine ${\displaystyle ({\hat {\mathbf {x} }}\ ,\ {\hat {\mathbf {y} }})}$ ve kutupsal birim vektörlere ${\displaystyle ({\hat {\mathbf {r} }}\ ,\ {\hat {\boldsymbol {\theta }}})}$ düzlemi octoganelinde bakalım ${\displaystyle \mathbf {H} }$:

${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}=\cos(\theta ){\hat {\mathbf {x} }}+\sin(\theta ){\hat {\mathbf {y} }}}$
${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}=-\sin(\theta ){\hat {\mathbf {x} }}+\cos(\theta ){\hat {\mathbf {y} }}}$

Şimdi vektör ${\displaystyle \mathbf {r} }$ fonksiyonunu yeniden yazabiliriz ve diferansiyali şöyledir as:

${\displaystyle \mathbf {r} =r(\cos \theta {\hat {\mathbf {x} }}+\sin \theta {\hat {\mathbf {y} }})=r{\hat {\mathbf {r} }}}$

${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$

${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}=({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\hat {\mathbf {r} }}+(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}){\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$

(Vektör calculusunu inceleyiz). Bunları yerine yazarsak şunu buluruz:
(1)

${\displaystyle ({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\hat {\mathbf {r} }}+(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}){\hat {\boldsymbol {\theta }}}=\left(-{\frac {\mu }{r^{2}}}\right){\hat {\mathbf {r} }}+(0){\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$

Bu sıradan olmayan polar diferansiyel denklem verir:

   

${\displaystyle {\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}=-{\frac {\mu }{r^{2}}}}$

(2)

   

Bu denklemi çözmek için, öncelikle her zaman diferansiyel lineerini ortadan kaldırmak gerekir. Şuna ulaşırız:

${\displaystyle H=|\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}|=|(r\cos(\theta ),r\sin(\theta ),0)\times ({\dot {r}}\cos(\theta )-r\sin(\theta ){\dot {\theta }},{\dot {r}}\sin(\theta )+r\cos(\theta ){\dot {\theta }},0)|=|(0,0,r^{2}{\dot {\theta }})|=r^{2}{\dot {\theta }}}$

   

${\displaystyle {\dot {\theta }}={\frac {H}{r^{2}}}}$

(3)

   

(3)’ün zaman diferansiyalinii aldığımız zaman, şuna ulaşırız:

   

${\displaystyle {\ddot {\theta }}=-{\frac {2\cdot H\cdot {\dot {r}}}{r^{3}}}}$

(4)

   

(3) ve (4}) denklemleri ’ın diferansiyellerini elememize izin verir.. In order to eliminate the time derivatives of ${\displaystyle \theta }$’ın zaman diferansiyellerini ellimine etmek için uygun kısaltmaları bulmak bunun için de zincir kuralı kullanmamız gerekir.

   

${\displaystyle {\dot {r}}={\frac {dr}{d\theta }}\cdot {\dot {\theta }}}$

(5)

   

   

${\displaystyle {\ddot {r}}={\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}\cdot {\dot {\theta }}^{2}+{\frac {dr}{d\theta }}\cdot {\ddot {\theta }}}$

(6)

   

${\displaystyle {\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}=-{\frac {\mu }{r^{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}\cdot {\dot {\theta }}^{2}+{\frac {dr}{d\theta }}\cdot {\ddot {\theta }}-r{\dot {\theta }}^{2}=-{\frac {\mu }{r^{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}\cdot \left({\frac {H}{r^{2}}}\right)^{2}+{\frac {dr}{d\theta }}\cdot \left(-{\frac {2\cdot H\cdot {\dot {r}}}{r^{3}}}\right)-r\left({\frac {H}{r^{2}}}\right)^{2}=-{\frac {\mu }{r^{2}}}}$

   

${\displaystyle {\frac {H^{2}}{r^{4}}}\cdot \left({\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}-2\cdot {\frac {\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}}{r}}-r\right)=-{\frac {\mu }{r^{2}}}}$

(7)

   

Diferansiyel denklem (7) değişken değişimi ile analitik çözülebilir

   

${\displaystyle r={\frac {1}{s}}}$

(8)

   

Bu verilenleri kullanarak, in (2)’deki tüm zaman diferansiyelleri yoksayılabilir ve bizi ${\displaystyle r\theta \,}$.
${\displaystyle {\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}=-{\frac {\mu }{r^{2}}}}$

   

${\displaystyle {\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}={\frac {2}{s^{3}}}\cdot \left({\frac {ds}{d\theta }}\right)^{2}-{\frac {1}{s^{2}}}\cdot {\frac {d^{2}s}{d\theta ^{2}}}}$

(10)

   

(10) ve (9)’da belirtilenleri ${\displaystyle {\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}}$ ve ${\displaystyle {\frac {dr}{d\theta }}}$ için kullanarak

   

${\displaystyle H^{2}\cdot \left({\frac {d^{2}s}{d\theta ^{2}}}+s\right)=\mu }$

(11)

   

genel bir sonuca ulaşılır.

   

${\displaystyle s={\frac {\mu }{H^{2}}}\cdot \left(1+e\cdot \cos(\theta -\theta _{0})\right)}$

(12)

   

e ve ${\displaystyle \theta _{0}\,}$’un başlangıçtaki s ve ${\displaystyle {\frac {ds}{d\theta }}}$’n başlangıç değerlerinin integral sabitleri olursa, integralinin sabitini kullanmak yerine birim vektörleri kullanıma alınır ve seçilen yörünge alanındaki koordinat sistemini belirler, böylece sıfır değerini alır ve e is pozitiftir. Bu şu anlama gelir: ’in maksimum olduğu yerde sıfırdır ve böylece minimumdur. p parametresini ${\displaystyle {\frac {H^{2}}{\mu }}}$ olarak tanımlarsak şu ortaya çıkar.

Alternatif türevi

Bu denklemi polar diferansiyel denklemini kullanmadan çözmenin bir diğer yolu şöyledir:
${\displaystyle \mathbf {u} }$‘yu bir birim vektör olarak tanımlayın, örneğin,${\displaystyle \mathbf {r} =r\mathbf {u} }$ and ${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}=-{\frac {\mu }{r^{2}}}\mathbf {u} }$ gibi. Burdan yola çıkarak

${\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}=r\mathbf {u} \times {\frac {d}{dt}}(r\mathbf {u} )=r\mathbf {u} \times (r{\dot {\mathbf {u} }}+{\dot {r}}\mathbf {u} )=r^{2}(\mathbf {u} \times {\dot {\mathbf {u} }})+r{\dot {r}}(\mathbf {u} \times \mathbf {u} )=r^{2}\mathbf {u} \times {\dot {\mathbf {u} }}}$

Şimdi şunu değerlendiriniz

${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {H} =-{\frac {\mu }{r^{2}}}\mathbf {u} \times (r^{2}\mathbf {u} \times {\dot {\mathbf {u} }})=-\mu \mathbf {u} \times (\mathbf {u} \times {\dot {\mathbf {u} }})=-\mu [(\mathbf {u} \cdot {\dot {\mathbf {u} }})\mathbf {u} -(\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} ){\dot {\mathbf {u} }}]}$

(Üçlü vektör ürünü). Şunu dikkate alınız

${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {u} =|\mathbf {u} |^{2}=1}$

${\displaystyle \mathbf {u} \cdot {\dot {\mathbf {u} }}={\frac {1}{2}}(\mathbf {u} \cdot {\dot {\mathbf {u} }}+{\dot {\mathbf {u} }}\cdot \mathbf {u} )={\frac {1}{2}}{\frac {d}{dt}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} )=0}$

Bu verileri bir önceki denkleme yerleştirdiğimizde

${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {H} =\mu {\dot {\mathbf {u} }}}$

İki tarafın da integralini alırsak

${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {H} =\mu \mathbf {u} +\mathbf {c} }$

Burada c sabit vektördür. Bunu r' ile birleştirmek ortaya ilginç bir sonuç çıkarır

${\displaystyle \mathbf {r} \cdot ({\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {H} )=\mathbf {r} \cdot (\mu \mathbf {u} +\mathbf {c} )=\mu \mathbf {r} \cdot \mathbf {u} +\mathbf {r} \cdot \mathbf {c} =\mu r(\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} )+rc\cos(\theta )=r(\mu +c\cos(\theta ))}$

Burada ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\bar {r}}}$ ve ${\displaystyle {\bar {c}}}$ arasındaki açıdır. r’ye göre çözersek

${\displaystyle r={\frac {\mathbf {r} \cdot ({\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {H} )}{\mu +c\cos(\theta )}}={\frac {(\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }})\cdot \mathbf {H} }{\mu +c\cos(\theta )}}={\frac {|\mathbf {H} |^{2}}{\mu +c\cos(\theta )}}}$

Dikkat ediniz ki ${\displaystyle (r,\theta )}$ vektör fonksiyonunun polar koordinatlarıdır. Verilenleri yerine koyarsak ve, şu denkleme ulaşırız

   

${\displaystyle r={\frac {p}{1+e\cdot \cos \theta }}}$

(13)

   

Bu fokal noktada merkezi olan bir konik bölmenin polar koordinatlarının denklemidir. ${\displaystyle \theta \,}$ Argümanına gerçek anomali denir.

Yörünge denkleminin özellikleri

${\displaystyle e\ =\ 0\,}$ ise bu çapı p olan bir dairedir.

${\displaystyle 0\ <e\ <\ 1\,}$ ise bu aşağıdakine sahip bir elipstir.

   

${\displaystyle a={\frac {p}{1-e^{2}}}}$

(14)

   

   

${\displaystyle b={\frac {p}{\sqrt {1-e^{2}}}}=a\cdot {\sqrt {1-e^{2}}}}$

(15)

   

${\displaystyle e\ =\ 1\,}$ ise fokal uzunluğu ${\displaystyle {\frac {p}{2}}}$ olan bir dairedir. ${\displaystyle e\ >\ 1\,}$ ise bir aşağıdakine sahip bir hiperboldür.

   

${\displaystyle a={\frac {p}{e^{2}-1}}}$

(16)

   

   

${\displaystyle b={\frac {p}{\sqrt {e^{2}-1}}}=a\cdot {\sqrt {e^{2}-1}}}$

(17)

   

Sonraki görsel, bir elipsi (kırmızı), bir paraboolü (yeşil) ve bir hiperbolü (mavi) gösterir.

Dış merkezi 0.7 olan bir elips Kepler yörüngesi, Parabol Kepler yörüngesi ve dış merkezi 1.3 olan bir Kepler yörüngesi. Fokal noktaya olan uzaklık, denklemle de gösterildiği gibi polar açının yatay çizgiye yakın açısının bir fonksiyonudur(13)

Yatay çizgi üzerinde nokta odak noktasından sağa doğru çıkıyorsa nokta ${\displaystyle \theta =0\,}$ odak noktasına olan minimum uzaklık ${\displaystyle {\frac {p}{1+e}}}$ değerini alır (pericentre) .Elips için de odak uzaklığı maksimum değerini aldığı bir apocentre vardır${\displaystyle {\frac {p}{1-e}}}$. Hiperbol için ${\displaystyle \theta \,}$ ’nın aralığı:

${\displaystyle \left[-\cos ^{-1}\left(-{\frac {1}{e}}\right)<\theta <\cos ^{-1}\left(-{\frac {1}{e}}\right)\right]}$

Bir parabol için aralık;

${\displaystyle \left[-\pi <\theta <\pi \right]}$

Diferansiyelin zinci kuralını kullanarak (5), (2) denklemi ve p’nin tanımı ${\displaystyle {\frac {H^{2}}{\mu }}}$ olmak üzere radyal hız elemanı şudur.

   

${\displaystyle V_{r}={\dot {r}}={\frac {H}{p}}\cdot e\cdot \sin \theta ={\sqrt {\frac {\mu }{p}}}\cdot e\cdot \sin \theta }$

(18)

   

ve teğetsel bileşen olan (hız bileşeni ${\displaystyle V_{r}}$)’ye dik )

   

${\displaystyle V_{t}=r\cdot {\dot {\theta }}={\frac {H}{r}}={\sqrt {\frac {\mu }{p}}}\cdot (1+e\cdot \cos \theta )}$

(19)

   

Polar argümanı ${\displaystyle \theta \,}$ ve zaman t arasındaki bağlantı elips ve hiperbolik yörüngeler için küçük değişiklikler gösterebilir.

Elips şeklindeki bir yörünge için, dış merkezli anomali olan E’ye geçeriz ve burdan

   

${\displaystyle x=a\cdot (\cos E-e)}$

(20)

   

   

${\displaystyle y=b\cdot \sin E}$

(21)

   

ve sonuç olarak.

   

${\displaystyle {\dot {x}}=-a\cdot \sin E\cdot {\dot {E}}}$

(22)

   

   

${\displaystyle {\dot {y}}=b\cdot \cos E\cdot {\dot {E}}}$

(23)

   

açısal momentum H olmak üzere

   

${\displaystyle H=x\cdot {\dot {y}}-y\cdot {\dot {x}}=a\cdot b\cdot (1-e\cdot \cos E)\cdot {\dot {E}}}$

(24)

   

Zamana göre entegrasyon olan t ile şu sonuca ulaşılır.

   

${\displaystyle H\cdot t=a\cdot b\cdot (E-e\cdot \sin E)}$

(25)

   

zaman varsayımını yaparak integral sabiti 0 olur. p nin tanımı gereği

   

${\displaystyle H={\sqrt {\mu \cdot p}}}$

(26)

   

şu şekilde yazılabiir

   

${\displaystyle t=a\cdot {\sqrt {\frac {a}{\mu }}}(E-e\cdot \sin E)}$

(27)

   

Hiperbolik bir yörünge için parametre yaratmak için hiperbolik fonksiyon kullanılır.

   

${\displaystyle x=a\cdot (e-\cosh E)}$

(28)

   

   

${\displaystyle y=b\cdot \sinh E}$

(29)

   

bu durumda şuna ulaşılır

   

${\displaystyle {\dot {x}}=-a\cdot \sinh E\cdot {\dot {E}}}$

(30)

   

   

${\displaystyle {\dot {y}}=b\cdot \cosh E\cdot {\dot {E}}}$

(31)

   

açısal momentum H olmak üzere

   

${\displaystyle H=x\cdot {\dot {y}}-y\cdot {\dot {x}}=a\cdot b\cdot (e\cdot \cosh E-1)\cdot {\dot {E}}}$

(32)

   

Zamana göre entegrasyon olan t ile şu sonuca ulaşılır.

   

${\displaystyle H\cdot t=a\cdot b\cdot (e\cdot \sinh E-E)}$

(33)

   

örneğin

   

${\displaystyle t=a\cdot {\sqrt {\frac {a}{\mu }}}(e\cdot \sinh E-E)}$

(34)

   

t’nin hangi zamanda belirli bir gerçek anomaliye (${\displaystyle \theta \,}$) ne ulaştığını bulmak için, buna uyan parametre olan E’nin (27) ile zamana olan bağını hesaplaması, elips için (34) ile bağını ve hiperbolik yörünge için.

Dikkat ediniz ki (27) ve (34) bu aralıkta bir yer belirler. ${\displaystyle \left[-\infty <t<\infty \right]\longleftrightarrow \left[-\infty <E<\infty \right]}$

Bazı ilave formüller

Ayrıca bakınız: Merkez denklemi - analitik açılımlar

(20)ve (21)’den edilinen elips yörünge için

   

${\displaystyle r=a\cdot (1-e\cdot \cos E)}$

(35)

   

ve buna göre

   

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {x}{r}}={\frac {\cos E-e}{1-e\cdot \cos E}}}$

(36)

   

(36)’dan devam ettiğimizde şu sonuç çıkar

${\displaystyle \tan ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}={\frac {1-{\frac {\cos E-e}{1-e\cdot \cos E}}}{1+{\frac {\cos E-e}{1-e\cdot \cos E}}}}={\frac {1-e\cdot \cos E-\cos E+e}{1-e\cdot \cos E+\cos E-e}}={\frac {1+e}{1-e}}\ \cdot \ {\frac {1-\cos E}{1+\cos E}}={\frac {1+e}{1-e}}\ \cdot \ \tan ^{2}{\frac {E}{2}}}$

Dış merkezli anomalinin geometrik yapısını belirlemek için, açıkça vektörler${\displaystyle (\ \cos E\ ,\ \sin E\ )}$ ve ${\displaystyle (\ \cos \theta \ ,\ \sin \theta \ )}$‘nin x aksisiyle aynı yanda olmaları gerekir. Buradan yola çıkarak ${\displaystyle \left(\cos {\frac {E}{2}}\ ,\ \sin {\frac {E}{2}}\right)}$ ve ${\displaystyle \left(\cos {\frac {\theta }{2}}\ ,\ \sin {\frac {\theta }{2}}\right)}$ aynı çeyrek daireye sahiptir. Burdan yola çıkarak

   

${\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}\cdot \tan {\frac {E}{2}}}$

(37)

   

ve

   

${\displaystyle \theta =2\cdot \operatorname {arg} \left({\sqrt {1-e}}\ \cdot \ \cos {\frac {E}{2}}\ ,\ {\sqrt {1+e}}\ \cdot \ \sin {\frac {E}{2}}\right)+n\cdot 2\pi }$

(38)

   

   

${\displaystyle E=2\cdot \operatorname {arg} \left({\sqrt {1+e}}\ \cdot \ \cos {\frac {\theta }{2}}\ ,\ {\sqrt {1-e}}\ \cdot \ \sin {\frac {\theta }{2}}\right)+n\cdot 2\pi }$

(39)

   

${\displaystyle (\ x\ ,\ y\ )}$ vektörünün polar argümanlarınınve n "${\displaystyle \operatorname {arg} (x\ ,\ y)}$" örneğinde olduğu gibi seçilmiş olması gerekir.

${\displaystyle \operatorname {arg} (x\ ,\ y)}$nın sayısal hesaplaması için, standart ATAN2(y,x) fonksiyonunun, ( ya ikili DATAN2(y,x)), FORTRAN gibi programlama dillerinde kullanılması mümkündür.

Dikkate alınız ki bu aralıklar arasında alan vardır.

${\displaystyle \left[-\infty <\theta <\infty \right]\longleftrightarrow \left[-\infty <E<\infty \right]}$

Hiperbolik bir yörünge için (28) ve (29)dan yola çıkarak

   

${\displaystyle r=a\cdot (e\cdot \cosh E-1)}$

(40)

   

and therefore that

   

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {x}{r}}={\frac {e-\cosh E}{e\cdot \cosh E-1}}}$

(41)

   

ve sonuç olarak

${\displaystyle \tan ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}={\frac {1-{\frac {e-\cosh E}{e\cdot \cosh E-1}}}{1+{\frac {e-\cosh E}{e\cdot \cosh E-1}}}}={\frac {e\cdot \cosh E-e+\cosh E}{e\cdot \cosh E+e-\cosh E}}={\frac {e+1}{e-1}}\ \cdot \ {\frac {\cosh E-1}{\cosh E+1}}={\frac {e+1}{e-1}}\ \cdot \ \tanh ^{2}{\frac {E}{2}}}$

${\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}}$ ve ${\displaystyle \tanh {\frac {E}{2}}}$ aşağıdaki ifadeyi sağlayan aynı işarete sahiptir.

   

${\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {e+1}{e-1}}}\cdot \tanh {\frac {E}{2}}}$

(42)

   

Bu ilişki gerçek anomali ve E parametresi arasında geçiş yapmak için uygundur. (burada E (34)’e zaman yönünden bağlıdır.) Aralık arasındaki alana dikkat ediniz.

${\displaystyle \left[-\cos ^{-1}\left(-{\frac {1}{e}}\right)<\theta <\cos ^{-1}\left(-{\frac {1}{e}}\right)\right]\longleftrightarrow \left[-\infty <E<\infty \right]}$

ve aşağıdaki bağla açıklanabilir.

${\displaystyle \tanh ^{-1}x={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)}$

(27)’ye bakarak, P’nin elips bir yörünge için yörünge periyodu

   

${\displaystyle P=2\pi \cdot a\cdot {\sqrt {\frac {a}{\mu }}}}$

(43)

   

Kuvvet alanına potansiyel enerjinin ilgisi (1)

${\displaystyle -{\frac {\mu }{r}}}$

(13), (14), (18) ve (19)’ kadar kinetik ve potansiyel enerjinin özeti

${\displaystyle {\frac {{V_{r}}^{2}+{V_{t}}^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{r}}}$

Elips yörünge için

   

${\displaystyle -{\frac {\mu }{2\cdot a}}}$

(44)

   

(13), (16), (18) ve (19)’den sonra kinetik ve potansiyel enerjinin hiperbol yörünge için

${\displaystyle {\frac {{V_{r}}^{2}+{V_{t}}^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{r}}}$

Eylemsizlik koordinat sistemiyle ilişkisi

   

${\displaystyle -{\frac {\mu }{2\cdot a}}}$

(44)

   

and from (13), (16), olan bir yörünge düzleminde pericentre’ye doğru (18) ve (19)’dan yapılan hız elementleri çıkarımı

   

${\displaystyle {\frac {\mu }{2\cdot a}}}$

(45)

   

Belirli bir başlangıç durumuna karşılık Kepler yörüngesinin belirlenmesi

${\displaystyle {\hat {x}}\ ,\ {\hat {y}}}$

Bu diferansiyel denklemi (1) için "başlangıç değeri problemi" dir, ki 6 boyutlu bir durum vektründe ilk denklemdir ve şöyle yazılır

   

${\displaystyle V_{x}=\cos \theta \cdot V_{r}-\sin \theta \cdot V_{t}=-{\sqrt {\frac {\mu }{p}}}\cdot \sin \theta }$

(46)

   

   

${\displaystyle V_{y}=\sin \theta \cdot V_{r}+\cos \theta \cdot V_{t}={\sqrt {\frac {\mu }{p}}}\cdot (e+\cos \theta )}$

(47)

   

Başlangıç değeri vektörünün herhangi bir değeri için, bu başlangıç değeri probleminin çözümüne uygun Kepler Yörüngesi aşağıdaki algoritmayla bulunur

Ortogonal birim vektörleri ${\displaystyle ({\hat {r}}\ ,\ {\hat {t}})}$ tanımalamak gerekirse

   

${\displaystyle {\bar {r_{0}}}=r\cdot {\hat {r}}}$

(50)

   

   

${\displaystyle {\bar {v_{0}}}=V_{r}\cdot {\hat {r}}+V_{t}\cdot {\hat {t}}}$

(51)

   

ve ${\displaystyle r>0}$ and ${\displaystyle V_{t}>0}$

(13), (14), (18) ve (19)’dan sonra sırasını takip eder.

1.    

${\displaystyle p={\frac {{(r\cdot V_{t})}^{2}}{\mu }}}$

(52)

   

${\displaystyle e\geq 0}$ and ${\displaystyle \theta }$‘yı tanımlarken

   

${\displaystyle e\cdot \cos \theta ={\frac {V_{t}}{V_{0}}}-1}$

(53)

   

   

${\displaystyle e\cdot \sin \theta ={\frac {V_{r}}{V_{0}}}}$

(54)

   

aşağıdakinin olduğu yerde

1.    

${\displaystyle V_{0}={\sqrt {\frac {\mu }{p}}}}$

(55)

   

aynı r, ${\displaystyle V_{r}}$ and ${\displaystyle V_{t}}$ değerlerine sahip olan gerçek anomaliye sahip bir Kepler yörüngesi bulunur ve bu (50) ve (51)’de gösterilmiştir.

Eğer bu Kepler yörüngesi aynı vektörlerine sahipse ve gerçek anomalisi (50) ve (51)de tanımladığı gibi ise, Kepler yörüngesinin ${\displaystyle ({\hat {r}}\ ,\ {\hat {t}})}$ vektörleri istenen değer olan ${\displaystyle (\ {\bar {r_{0}}}\ ,{\bar {v_{0}}}\ )}$’yi gerçek anomalisi ${\displaystyle \theta }$ olmak üzere alır.

Standart atalet sabit koordinat sistemi ${\displaystyle ({\hat {x}}\ ,\ {\hat {y}})}$ yörüngesel düzlemde (${\displaystyle {\hat {x}}}$ pericentre'nin homojen küresindin merkezinden gelecek şekilde) konik alanın oryantasyonunu belirliyorsa (elips, parabol, hiperbol), bu ilişkiyle hesaplanabilir.

1.    

${\displaystyle {\hat {x}}=\cos \theta \cdot {\hat {r}}-\sin \theta \cdot {\hat {t}}}$

(56)

   

1.    

${\displaystyle {\hat {y}}=\sin \theta \cdot {\hat {r}}+\cos \theta \cdot {\hat {t}}}$

(57)

   

(53) ve (54)’ün ${\displaystyle V_{r}=0}$ olduğu durumda bağlantılı olduğuna dikkat ediniz ve

${\displaystyle V_{t}=V_{0}={\sqrt {\frac {\mu }{p}}}={\sqrt {\frac {\mu }{\frac {{(r\cdot V_{t})}^{2}}{\mu }}}}}$

örneğin

1.    

${\displaystyle V_{t}={\sqrt {\frac {\mu }{r}}}}$

(58)

   

Diaresel bir yörüngeye uyan başlangıç durumunu ${\displaystyle (\ {\bar {r_{0}}}\ ,{\bar {v_{0}}}\ )}$ gösterir.

Oskülatör kepler yörüngesi

${\displaystyle ({\bar {r}},{\bar {v}})}$ gibi herhangi bir durum vektörü için, bu durumdaki Kepler yörüngesi aşağıda tanılmlanan algoritma ile hesaplanabilir. İlk parametreler ${\displaystyle p,e,\theta }$ ile belirlenir ve ${\displaystyle {\hat {x}},{\hat {y}}}$ yörüngesel düzelemde ortogonal birim vektörleri de (56) ve (57) arasındaki ilişkiyi kullanarak bulunur.

Şimdi, eğer hareket denklemi aşağıdaki gibi ise

1.    

${\displaystyle {\ddot {\bar {r}}}=\operatorname {\bar {F}} ({\bar {r}},{\dot {\bar {r}}},t)}$

(59)

   

aşağıdakinin

${\displaystyle \operatorname {\bar {F}} ({\bar {r}},{\dot {\bar {r}}},t)}$

bir fonksyion olup

${\displaystyle -\mu \cdot {\frac {\hat {r}}{r^{2}}}}$

aşağıdaki parametlere sahip olmaması gerekir.

${\displaystyle p,\,e,\,\theta ,\,{\hat {x}},\,{\hat {y}}}$

${\displaystyle {\bar {r}},{\dot {\bar {r}}}}$ tarafından tanımlanmış, zaman içinde değişecek olan durumlar, Keppler Yörüngesinin tersine yalnızca ${\displaystyle \theta }$’da değişecektir.

T zamanında bu şekilde "hareket denkleminin" çözümü olarak aynı "durum vektör" olan (59) 'da hesaplanan Kepler yörüngesi bu durumda "oskülatör" olduğu söylenebilir. Bu konsept, şu durumda yararlıdır.

${\displaystyle \operatorname {\bar {F}} ({\bar {r}},{\dot {\bar {r}}},t)=-\mu \cdot {\frac {\hat {r}}{r^{2}}}+\operatorname {\bar {f}} ({\bar {r}},{\dot {\bar {r}}},t)}$

olmak üzere

${\displaystyle \operatorname {\bar {f}} ({\bar {r}},{\dot {\bar {r}}},t)}$

küçük bir “bozucu güç”tür çünkü, bir örnekle açıklamak gerekirse diğer gök cisimlerinden sönük bir yer çekimi bu durumda örnek gösterilebilir. Oskülasyon halindeki Kepler yörüngesinin parametreleri, ancak o zaman yavaşça değişecek ve oskülasyon halindeki Kepler yörüngesi iyi bir tahminle oskülasyonun öncesinde ve sonrasında gerçek yörüngeye hatrı sayılır bir zaman diliminde girecektir. Bu konsept aynı zamanda bir roket uçuşu için de faydalı olabilir çünkü itme kapatıldığı zaman hangi Keppler yörüngesinde devam edebileceği belirlenmiş olur. “Daire olmaya yakın” bir yörünge konsepti için, dışmerkezli vektörü şeklinde tanımlamak yararlıdır. (53), (54) ve (56)’dan yola çıkarak:

   

${\displaystyle {\bar {e}}={\frac {(V_{t}-V_{0})\cdot {\hat {r}}-V_{r}\cdot {\hat {t}}}{V_{0}}}}$

(60)

   

Örneğin ${\displaystyle ({\bar {r}},{\bar {v}})}$ durum vektörlerinin diferansiyel fonskyonlarıdır ${\displaystyle {\bar {e}}}$, ayrıca bu durum dairesel bir yörüngeye karşılık geliyor ise de geçerlidir.

Ayrıca bakınız

• İki cisim problemi
• Kütleçekimsel iki cisim problemi
• Kepler'in gezegensel hareket yasaları
• Eliptik yörünge
• Hiperbolik yörünge
• Kaçış yörüngesi

Kaynakça

1. ^ Bate, Mueller, White. s. 177-181
2. ^ "Arşivlenmiş kopya". 16 Şubat 2011 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 7 Kasım 2009. 

• El'Yasberg "Theory of flight of artificial earth satellites", Israel program for Scientific Translations (1967)
• Bate, Roger; Mueller, Donald; White, Jerry (1971). Fundamentals of Astrodynamics. Dover Publications, Inc., New York. ISBN . 
• Copernicus, Nicolaus (1952), "Book I, Chapter 4, The Movement of the Celestial Bodies Is Regular, Circular, and Everlasting-Or Else Compounded of Circular Movements", On the Revolutions of the Heavenly Spheres, Great Books of the Western World, 16, Chicago: William Benton, ss. 497-838