Kuadratik formül

Temel cebirde, kuadratik formül, bir ikinci dereceden denklemin köklerini (çözümlerini) bulan bir formüldür. İkinci dereceden bir denklemi çözmek için ikinci dereceden formülü kullanmak yerine çarpanlara ayırma (doğrudan çarpanlara ayırma, gruplama, (AC yöntemi)), , grafik çizme ve diğerleri gibi başka yollar da vardır.

${\displaystyle x_{0}=1}$ ve ${\displaystyle x_{1}=4}$ köklerine sahip ikinci dereceden bir fonksiyon.

Genel forma sahip ikinci dereceden denklemi verildiğinde

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$

bilinmeyen x; a, b ve c sabitlerken a ≠ 0 olmasıyla, kuadratik formül:$${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$$ buradaki "±" ikinci dereceden denklemin iki çözümü olduğunu gösterir. Formülden gelen çözümler (${\displaystyle x_{1}{\text{ ve }}x_{2}}$) ayrı yazıldığında:

${\displaystyle x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\quad {\text{ve}}\quad x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$

Bu iki çözümün her birine ikinci dereceden denklemin kökü (veya sıfırı) denir. Geometrik olarak, bu kökler y = ax² + bx + c olarak verilen parabolün, x ekseni üzerinden geçerinden geçtiği noktalar ve değerlerdirler.

Kuadratik formül, herhangi bir parabolün köklerini veren bir formül olmasının yanı sıra, parabolün simetri eksenini ve ikinci dereceden denklemin içerdiği gerçek köklerin sayısını, köklerin toplamlarını ve çarpımlarını, belirlemek için de kullanılabilir.

Eşdeğer formülasyonlar

Kuadratik formül şu şekilde de yazılabilir:

${\displaystyle x={\frac {-b}{2a}}\pm {\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}\ \ ,}$

ve bu da şu şekilde sadeleştirilebilir:

${\displaystyle x=-\left({\frac {b}{2a}}\right)\pm {\sqrt {\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {c}{a}}}}\ \ .}$

Formülün bu versiyonu, karmaşık kökler söz konusu olduğunda kullanışlıdır. Bu durumda, karekök dışındaki ifade gerçek(reel) kısım olacaktır ve karekökün içindeki ifade ise sanal (imajiner) kısım olacaktır. Karekök içindeki ifade diskriminanttır.

${\displaystyle x=-{\frac {\ b}{2a}}\pm i{\sqrt {{\Big |}\left({\frac {\ b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {c}{a}}{\Big |}}}\ \ .}$

Muller'in yöntemi

Daha az bilinen, Muller yönteminde kullanılan ve Vieta formüllerinden bulunabilen, kuadratik formül, denklemi aracılığıyla aynı kökleri sağlar:

${\displaystyle x={\frac {-2c}{b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}}={\frac {2c}{-b\mp {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}}\ \ .}$

Alternatif parametrelendirmelere dayalı formülasyonlar

İkinci dereceden denklemin standart parametrizasyonu şöyledir:

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\ \ .}$

Bazı kaynaklar, özellikle daha eski olanlar, ikinci dereceden denklemin şu şekilde olabilecek alternatif parametrelendirmelerini kullanır

${\displaystyle b_{1}=-b/2}$ iken, ${\displaystyle ax^{2}-2b_{1}x+c=0}$

veya

${\displaystyle b_{2}=b/2}$ iken, ${\displaystyle ax^{2}+2b_{2}x+c=0}$.

Bu alternatif parametrelendirmeler, çözüm için biraz farklı formlarla sonuçlanır, ancak bunlar standart olan parametreleştirmeye eşdeğerdir.

Formülün türetimi

Literatürde ikinci dereceden formülü türetmek için birçok farklı yöntem mevcuttur. Standart türetim, yönteminin basit bir uygulamasıdır. Alternatif yöntemler bazen tam kareye tamamlamaktan daha basittir ve matematiğin diğer alanları üzerinde ilginç bir kavrayış sağlayabilir.

"Tam Kareye tamamlama" tekniğini kullanarak

Standart yöntem

İkinci dereceden denklemi ${\displaystyle a}$'ya bölün, buna izin verildiği için ${\displaystyle a}$ sıfır olmayan bir sayı olmalıdır:

${\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0\ \ .}$

iki taraftan da ${\displaystyle {\frac {c}{a}}}$ çıkarın, böylece şu denklemi elde edersiniz:

${\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x=-{\frac {c}{a}}\ \ .}$ Bu ikinci dereceden denklem şimdi yönteminin uygulanabileceği bir formdadır. Hatta, denklemin her iki tarafına, sol tarafı tam bir kare olacak şekilde bir sabit ekleyerek, ikinci dereceden denklem şu hale getirilebilir:

${\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}=-{\frac {c}{a}}+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}\ \ ,}$

ve şu şekilde sadeleştirilebilir:

${\displaystyle \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}=-{\frac {c}{a}}+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}\ \ .}$

Buna göre, sağ taraftaki terimleri ortak bir paydaya sahip olacak şekilde yeniden düzenledikten sonra elde edilen eşitlik şu hale gelir:

${\displaystyle \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\ \ .}$

Böylece tam kare tamamlanır. Eşitliğin her iki tarafının karekökünü almak aşağıdaki denklemi verir:

${\displaystyle x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}{2a}}\ \ .}$

Bu durumda, ${\displaystyle x}$'i tek başına bırakmak kuadratik formülü verir:

${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}\ \ .}$

Bu türetmenin küçük farklılıklar içeren birçok alternatifi vardır, bunlar çoğunlukla ${\displaystyle a}$ sabitinin manipülasyonunu ilgilendirir.

İkinci yöntem

Son birkaç on yılda yayınlanan cebir metinlerinin çoğu, daha önce sıralanmış basamakları kullanarak öğretir:

1. Polinomu yapmak için her iki tarafı da ${\displaystyle a}$'ya bölün.
2. Eşitliği düzenleyin.
3. Kareye tamamlamak için her iki tarafa ${\displaystyle \textstyle \left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}}$ ekleyin.
4. Sağ taraftaki terimleri ortak bir paydaya sahip olacak şekilde yeniden düzenleyin.
5. Her iki tarafın da karekökünü alın.
6. ${\displaystyle x}$’i yalnız bırakın.

Karenin tamamlanması, bazen daha kısa ve basit bir sıralama ile de gerçekleştirilebilir:

1. Her iki tarafı da ${\displaystyle 4a}$’yla çarpın,
2. Eşitliği düzenleyin.
3. Kareye tamamlamak için her iki tarafa ${\displaystyle b^{2}}$ ekleyin.
4. Her iki tarafın karekökünü alın.
5. ${\displaystyle x}$’i yalnız bırakın.

Bu durumda, ikinci dereceden formül aşağıdaki gibi de türetilebilir:

${\displaystyle {\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&=0\\4a^{2}x^{2}+4abx+4ac&=0\\4a^{2}x^{2}+4abx&=-4ac\\4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}&=b^{2}-4ac\\(2ax+b)^{2}&=b^{2}-4ac\\2ax+b&=\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}\\2ax&=-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}\\x&={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\ \ .\end{aligned}}}$

İkinci dereceden formülün bu türetimi antiktir ve Hindistan'da en geç 1025 yılından beri bilinmektedir. Standart yöntemin türetimiyle karşılaştırıldığında, bu alternatif türetim, son aşamaya kadar kesirleri ve karesi alınan kesirleri önler ve bu nedenle, sağ tarafta ortak bir payda elde etmek için üçüncü aşamadan sonra yeniden düzenleme gerektirmez.

Üçüncü yöntem

Standart yönteme benzer olarak, eşitliğin sol tarafını bir yapmak için (mesela, ${\displaystyle x^{2}}$’nin katsayısı ${\displaystyle 1}$ olur) ikinci dereceden denklemin iki tarafını da ${\displaystyle a}$ ile bölün.

${\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0\ \ .}$

Denklemi daha kompakt ve kolayca değiştirilebilir bir biçimde yazın:

${\displaystyle x^{2}+Bx+C=0}$

${\displaystyle \textstyle B={\frac {b}{a}}}$ ve ${\displaystyle \textstyle C={\frac {c}{a}}}$ iken.

İlk iki terime ${\displaystyle \textstyle {\frac {B^{2}}{4}}}$ ekleyin ve eşitliği korumak için son terimden ${\displaystyle \textstyle {\frac {B^{2}}{4}}}$ çıkarın. Böylece, ilk iki terimle beraber olan ${\displaystyle \textstyle {\frac {B^{2}}{4}}}$ bir kare olacaktır.

${\displaystyle \left(x+{\frac {B}{2}}\right)^{2}+\left(C-{\frac {B^{2}}{4}}\right)=0}$

Sol tarafı iki kare farkı haline gelecek şekilde yeniden düzenleyin:

${\displaystyle \left(x+{\frac {B}{2}}\right)^{2}-\left({\sqrt {{\frac {B^{2}}{4}}-C}}\right)^{2}=0}$

çarpanlarına ayırın:

${\displaystyle \left(x+{\frac {B}{2}}+{\sqrt {{\frac {B^{2}}{4}}-C}}\right)\left(x+{\frac {B}{2}}-{\sqrt {{\frac {B^{2}}{4}}-C}}\right)=0}$

bu durumdan da anlaşılacaktır ki, ya

${\displaystyle x+{\frac {B}{2}}+{\sqrt {{\frac {B^{2}}{4}}-C}}=0}$

ya da

${\displaystyle x+{\frac {B}{2}}-{\sqrt {{\frac {B^{2}}{4}}-C}}=0}$

Elde edilen bu iki lineer denklem, ${\displaystyle x}$ tek başına bırakılarak, ${\displaystyle x}$ için şu şekilde çözülebilir:

${\displaystyle x=-{\frac {B}{2}}-{\sqrt {{\frac {B^{2}}{4}}-C}}}$ veya ${\displaystyle x=-{\frac {B}{2}}+{\sqrt {{\frac {B^{2}}{4}}-C}}}$

${\displaystyle B}$ ve ${\displaystyle C}$’yi, sırasıyla ${\displaystyle \textstyle {\frac {b}{a}}}$ ve ${\displaystyle \textstyle {\frac {c}{a}}}$ olarak, yeniden ifade ederek ikinci dereceden formül elde edilebilir. Bu değerler, aynı sırada, köklerin toplamının negatifi ve diğerinin de köklerin çarpımına eşit olmasıyla kolaylı sağlayabilir.

Yerine koyma tekniğini kullanarak

Diğer bir teknik, çözümdür. Bu teknikle ${\displaystyle x=y+m}$ eşitliğini kullanarak, ikinci dereceden denklemdeki ${\displaystyle x}$ değişkeninin yerine ${\displaystyle y+m}$ ifadesi koyulur:

${\displaystyle a(y+m)^{2}+b(y+m)+c=0\ \ .}$

Sonuç genişletilip, terimler ${\displaystyle y}$’nin kuvvetlerine göre sıralandığında:

${\displaystyle ay^{2}+y(2am+b)+\left(am^{2}+bm+c\right)=0\ \ .}$

${\displaystyle y}$ ve ${\displaystyle m}$ üzerine henüz ikinci bir şart koyulmadığından, üstteki denklemin orta terimi yok edecek şekilde bir ${\displaystyle m}$ değeri seçilmelidir. Bu değer, ${\displaystyle 2am+b=0}$ veya ${\displaystyle \textstyle m={\frac {-b}{2a}}}$’dır. Sabit terim (sağ tarafa taşınması için) denklemin her iki tarafından çıkarılıp iki taraf da ${\displaystyle a}$ ile bölünür:

${\displaystyle y^{2}={\frac {-\left(am^{2}+bm+c\right)}{a}}\ \ .}$

${\displaystyle m}$ değeri yerine koyulduğunda:

${\displaystyle y^{2}={\frac {-\left({\frac {b^{2}}{4a}}+{\frac {-b^{2}}{2a}}+c\right)}{a}}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\ \ .}$

Böylece,

${\displaystyle y=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}}$

${\displaystyle y}$’yi, ${\displaystyle x}$ bakımından, ${\displaystyle \textstyle x=y+m=y-{\frac {b}{2a}}}$ eşitliği kullanılarak, ifade edildiğinde, standart kuadratik formül tekrar elde edilebilir:

${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\ \ .}$

Cebirsel eşitlikleri kullanarak

Bu yöntem tarihteki birçok matematikçi tarafından kullanılmıştır:

İkinci dereceden denklemin kökleri r₁ ve r₂ olsun, türetme şu eşitlik üzerinden başlar:

${\displaystyle (r_{1}-r_{2})^{2}=(r_{1}+r_{2})^{2}-4r_{1}r_{2}\ \ .}$

Her iki tarafın da karekökü alındığında şu elde edilir:

${\displaystyle r_{1}-r_{2}=\pm {\sqrt {(r_{1}+r_{2})^{2}-4r_{1}r_{2}}}\ \ .}$

Standart formdaki ikinci dereceden, denklemin baş katsayısı, a ≠ 0 olduğundan, aynı köklere sahip ikinci dereceden bir polinom elde etmek için standart denklemi a ile bölebiliriz. Yani,

${\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=(x-r_{1})(x-r_{2})=x^{2}-(r_{1}+r_{2})x+r_{1}r_{2}\ \ .}$

Buradan da görülebileceği gibi standart ikinci dereceden denklemin köklerinin toplamının −b/a ile verildiğini ve bu köklerin çarpımının c/a ile verildiğini görebiliriz. Dolayısıyla eşitlik şu şekilde tekrar yazılabilir:

${\displaystyle r_{1}-r_{2}=\pm {\sqrt {\left(-{\frac {b}{a}}\right)^{2}-4{\frac {c}{a}}}}=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{a^{2}}}-{\frac {4ac}{a^{2}}}}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{a}}\ \ .}$

Şimdi,

${\displaystyle r_{1}={\frac {(r_{1}+r_{2})+(r_{1}-r_{2})}{2}}={\frac {-{\frac {b}{a}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{a}}}{2}}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\ \ .}$

r₂ = −r₁ − b/a olduğundan, eğer:

${\displaystyle r_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$

ise, o zaman bunu elde ederiz:

${\displaystyle r_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\ \ ;}$

ve eğer onun yerine

${\displaystyle r_{1}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$

olarak alırsak, o zaman da bunu elde ederiz:

${\displaystyle r_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\ \ .}$

Elde ettiğimiz sonuçları standart ± kısaltmasıyla birleştirebiliriz. Böylece, ikinci dereceden denklemin çözümleri:

${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\ \ .}$

Lagrange çözücülerini kullanarak

İkinci dereceden formülü elde etmenin başka bir yolu, Galois teorisinin erken bir parçası olan yöntemidir. Bu yöntem, kübik polinomların ve köklerini vermek için de genelleştirilebilir ve herhangi bir derecedeki cebirsel denklemlerin çözümünü, köklerinin simetri grubu olan açısından anlaşılmasını sağlayan Galois teorisine götürür.

Bu yaklaşım, orijinal denklemi yeniden düzenlemekten çok köklere odaklanır. İkinci dereceden bir verildiğinde;

${\displaystyle x^{2}+px+q\ \ ,}$

çarpanlarına ayrıldığını varsayalım

${\displaystyle x^{2}+px+q=(x-\alpha )(x-\beta )\ \ ,}$

parantezleri açarsak

${\displaystyle x^{2}+px+q=x^{2}-(\alpha +\beta )x+\alpha \beta \ \ ,}$

bu da bize şu eşitlikleri sağlayacaktır: p = −(α + β) ve q = αβ .

Çarpmanın değişme özelliğinden dolayı, ${\textstyle p}$ ve ${\displaystyle q}$ değerleri değişmezken ${\displaystyle \alpha }$ ve ${\displaystyle \beta }$ 'nın yerleri değiştirebilir ve: ${\textstyle p}$ ve ${\displaystyle q}$'nun ${\displaystyle \alpha }$ ve ${\displaystyle \beta }$ içinde olduğu söylenebilir. Aslında, bunlar - herhangi bir simetrik polinom içinde ${\displaystyle \alpha }$ ve ${\displaystyle \beta }$, ${\displaystyle \alpha +\beta }$ ve ${\displaystyle \alpha \beta }$ cinsinden ifade edilir. Galois teorisinin polinomları çöze ve analiz etme yaklaşımı şudur: kat sayıları verilen bir polinomun, ki bunlar köklerin içinde simetrik fonksiyonlardır, bir şekilde "simetriyi kırıp" kökler bulunabilir mi? Bu nedenle, n dereceli bir polinomun çözülmesi, n harfin üzerindeki olarak adlandırılan ve S_n ile gösterilen n tane terimin yeniden düzenleme ("permütasyon") yollarıyla ilgilidir. Kuadratik polinom için, iki terimi yeniden düzenlemenin tek yolu onların yerini değiştirmektir (onları " etmektir") ve böylece ikinci dereceden bir polinomu çözmek basittir.

${\displaystyle \alpha }$ ve ${\displaystyle \beta }$ köklerini bulmak için toplamlarını ve farklarını ele alalım:

${\displaystyle {\begin{aligned}r_{1}&=\alpha +\beta \\r_{2}&=\alpha -\beta \ \ .\end{aligned}}}$

Bunlar polinomun Lagrange çözücüleri olarak adlandırılır; bunlardan birinin köklerin sırasına bağlı olduğuna dikkat edin, bu kilit bir noktadır. Yukarıdaki denklemleri ters çevirerek çözücülerden kökler de çıkarılabilir:

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\textstyle {\frac {1}{2}}\left(r_{1}+r_{2}\right)\\\beta &=\textstyle {\frac {1}{2}}\left(r_{1}-r_{2}\right)\ \ .\end{aligned}}}$

Böylece, çözücüleri çözmek orijinal kökleri verir.

Şimdi ${\displaystyle \alpha }$ ve ${\displaystyle \beta }$'ya göre ${\displaystyle r_{1}=\alpha +\beta }$ simetrik bir fonksiyondur, bu nedenle ${\textstyle p}$ ve ${\displaystyle q}$ cinsinden ifade edilebilir ve aslında önceki ${\displaystyle x^{2}+px+q}$ notasyonunda belirtildiği gibi r₁ = −p olacaktır. Ancak ${\displaystyle \alpha }$ ve ${\displaystyle \beta }$, yerleri değiştirildiğinde farklı bir sonuç olarak −r₂ = β − α verdiğinden ${\displaystyle r_{2}=\alpha -\beta }$ simetrik değildir (formal olarak bu, köklerin simetrik grubunun bir olarak adlandırılır). r₂ simetrik olmadığından, ${\textstyle p}$ ve ${\displaystyle q}$ katsayılarıyla ifade edilemez, çünkü bunlar simetriktir ve dolayısıyla onları içeren herhangi bir polinom ifadesi de öyle olmalıdır. Köklerin sırasını değiştirmek sadece r₂'yi -1 faktörüyle değiştirir ve böylece r₂² = (α − β)² şeklinde yazılan bir eşitlik köklerde simetriktir ve bu nedenle ${\textstyle p}$ ve ${\displaystyle q}$ cinsinden ifade edilebilir. Denklemi kullanarak aşağıdakiler çıkarılabilir:

${\displaystyle (\alpha -\beta )^{2}=(\alpha +\beta )^{2}-4\alpha \beta \ \ }$

bu eşitliği yukarıda bulduklarımızla sadeleştirirsek

${\displaystyle r_{2}^{2}=p^{2}-4q\ \ }$

olacaktır ve böylece

${\displaystyle r_{2}=\pm {\sqrt {p^{2}-4q}}\ \ }$

Pozitif kökün alınacağını var sayıp, simetriyi bozarsak, şu elde edilir:

${\displaystyle {\begin{aligned}r_{1}&=-p\\r_{2}&={\sqrt {p^{2}-4q}}\end{aligned}}}$

ve böylece

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &={\tfrac {1}{2}}\left(-p+{\sqrt {p^{2}-4q}}\right)\\\beta &={\tfrac {1}{2}}\left(-p-{\sqrt {p^{2}-4q}}\right)\ \ .\end{aligned}}}$

Böylece kökler

${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}\left(-p\pm {\sqrt {p^{2}-4q}}\right)}$

olacaktır, bu ikinci dereceden formüldür. p = b/a, q = c/a eşitlikleri kullanılarak monic monik olmayan kuadratiklerin genel olarak bilinen hali tekrar elde edilebilir. Çözücüler şu şekilde tanınabilir: r₁/2 = −p/2 = −b/2a tepe noktasıdır ve r₂² = p² − 4q ayırt edici, yani diskriminanttır (monik bir polinomun).

Benzer ancak daha karmaşık bir yöntem kübik denklemler için de vardır, üç çözücü ve r₂ ve r₃ ile ilgili ikinci dereceden bir denklemle (buna "çözüm polinomu" denir) çözülebilir ve benzer şekilde bir (4.dereceden denklem) için, çözüm polinomu kübiktir ve bu da çözülebilir. için aynı yöntem, problemi basitleştirmeyen 24 dereceli bir polinom verir ki aslında da beşinci dereceden denklemlerin çözümleri genel olarak yalnızca kökler kullanılarak ifade edilemez.

Tarihsel gelişim

İkinci dereceden denklemleri çözmek için üretilen en eski yöntemler geometriktir. Babil çivi yazısı tabletleri, ikinci dereceden denklemleri çözmeye indirgenebilen problemler içerir.Orta Krallık'a (MÖ 2050 - MÖ 1650) dayanan Mısır Papirüsü, iki terimli ikinci dereceden bir denklemin çözümünü içerir.

Yunan matematikçi Öklid (y. MÖ 300), etkili bir matematiksel inceleme olan Elementler Kitabının ikincisinde ikinci dereceden denklemleri çözmek için geometrik yöntemler kullanmıştır. İkinci dereceden denklemler için kurallar MÖ 200 dolaylarında Çinde "Matematik Sanatı Üzerine Dokuz Bölüm"de görünür. Yunan matematikçi Diophantus (MS 250 civarı) Arithmetica adlı çalışmasında, ikinci dereceden denklemleri Öklid'in geometrik cebirinden daha tanınabilir cebirsel bir yöntemle çözdü. Çözümü, her iki kök de pozitif olsa bile yalnızca bir kök verir.

Hint matematikçi Brahmagupta (MS 597-668), MS 628'de yayınlanan eserinde ikinci dereceden formülü açık bir şekilde tanımlamıştır, ancak semboller yerine kelimelerle yazılmıştır. Brahmagupta'nın ikinci dereceden denklem ax² + bx = c'ye çözümü şöyleydi: "Karenin [katsayısının] dört katı ile çarpılan mutlak [sabit terim olan] sayıya [orta terimin katsayısı] karesini ekleyin; aynı, orta terimin [katsayısı] eksi, karenin [katsayısı] iki katına bölünmesi değerdir [çözümdür]." Bu şuna eşdeğerdir:

${\displaystyle x={\frac {{\sqrt {4ac+b^{2}}}-b}{2a}}\ \ .}$

9. yüzyılda İranlı matematikçi Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī, ikinci dereceden denklemleri cebirsel olarak çözdü. Tüm vakaları kapsayan ikinci dereceden formül ilk olarak 1594'te tarafından bulundu. 1637'de René Descartes, bugün bildiğimiz formdaki ikinci dereceden formülün özel durumlarını içeren ’yi yayınladı.

Önemli kullanımlar

Geometrik önemi

${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$ eşitliğinin ${\displaystyle a}$ katsayısı ve diskriminantı olan ${\displaystyle b^{2}-4ac}$'nin pozitifken,

 • Kökleri ve ${\textstyle y}$ ekseniyle kesiştiği noktaların kırmızıyla
 • Tepe noktası ve simetri ekseninin maviyle
 • Odak ve doğrultman doğrularının pembeyle
gösterildiği grafiği

Koordinat geometrisi açısından, bir parabol, (x, y) koordinatları ikinci derece bir polinom ile tanımlanan bir eğridir, yani formun herhangi bir denklemi:

${\displaystyle y=p(x)=a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\ \ ,}$

burada ${\displaystyle p}$, ikinci dereceden bir polinomunu temsil eder ve a₀, a₁, ve a₂ ≠ 0 olmak üzere alt indis ilgili terimin derecesine karşılık gelen sabit katsayılardır. Çözüm olarak çözdüğü ikinci dereceden formülün parabolünün ${\displaystyle x}$ ekseninden geçeceği yeri vermesidir. Ek olarak, kuadratik formüle iki terimli olarak bakıldığında,

${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}=-{\frac {b}{2a}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}{2a}}}$

böylelikle simetri ekseni, x = −b/2a doğrusu olarak görünür. Diğer terim, √b² − 4ac/2a, köklerin simetri ekseninden uzaklığını verir, burada artı işareti sağdaki mesafeyi ve eksi işareti soldaki mesafeyi temsil eder.

Bu mesafe terimi sıfıra düşürülürse simetri ekseni kökün x değeri olacaktır, yani ikinci dereceden denklemin tek bir olası çözümü olacaktır. Cebirsel olarak bu, √b² − 4ac = 0 veya basitçe b² − 4ac = 0 (burada sol taraf diskriminant olarak adlandırılır). Bu, parabolün diskriminantının, parabolün kaç sıfıra sahip olacağını gösterdiği üç durumdan biridir. Diskriminant pozitifse, mesafe sıfır olmayacak ve iki çözüm olacaktır. Bununla birlikte, diskriminantın sıfırdan küçük olduğu bir durum da vardır ve bu, mesafenin imajiner olacağını gösterir. – veya karmaşık birim i'nin bir katı olarak, burada i = √−1 – ve parabolün sıfırları karmaşık sayı olacaklardır. Karmaşık kökler, olacaktır ve burada karmaşık köklerin gerçek kısmı simetri ekseninin değeri olacaktır. Parabolün x ekseniyle kesiştiği yerde x gerçek değerleri olmayacaktır.

a, b ve/veya c sabitleri birimsiz değilse, o zaman ${\displaystyle x}$'in biriminin ${\textstyle {\frac {b}{a}}}$'nın birimine eşit olması gerekir, bu gerekliliğin sebebi ax² ve bx birimleri üzerinde uyumlu olmasıdır. Ayrıca, aynı mantıkla, c'nin birimi şu birime eşit olmalıdır: ${\textstyle {\frac {b^{2}}{a}}}$ için çözmeden doğrulanabilir. Bu, fiziksel büyüklüklerin ikinci dereceden ifadesini çözmeden önce, doğru bir şekilde kurulduğunu doğrulamak için güçlü bir araç olabilir.

Ayrıca bakınız

• Cebirin temel teoremi
• Vieta formülleri

Kaynakça

1. ^ . Math Vault (İngilizce). 13 Mart 2016. 10 Kasım 2019 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 10 Kasım 2019. 
2. ^ Sterling, Mary Jane (2010), Algebra I For Dummies, Wiley Publishing, s. 219, ISBN , 8 Şubat 2021 tarihinde kaynağından , erişim tarihi: 28 Mart 2021 
3. ^ . Khan Academy (İngilizce). 13 Eylül 2019 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 10 Kasım 2019. 
4. ^ www.mathwarehouse.com. 22 Mart 2007 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 10 Kasım 2019. 
5. ^ . Khan Academy (İngilizce). 10 Kasım 2019 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 10 Kasım 2019. 
6. ^ On the Cost of Floating-Point Computation Without Extra-Precise Arithmetic (PDF), 20 Kasım 2004, 18 Mart 2016 tarihinde kaynağından (PDF), erişim tarihi: 25 Aralık 2012 
7. ^ "Quadratic Formula", Proof Wiki, 10 Mart 2021 tarihinde kaynağından , erişim tarihi: 8 Ekim 2016 
8. ^ Schaum's Outline of Theory and Problems of Elementary Algebra, The McGraw–Hill Companies, 2004, ISBN , 31 Aralık 2020 tarihinde kaynağından , erişim tarihi: 28 Mart 2021 , Chapter 13 §4.4, p. 291 5 Şubat 2021 tarihinde Wayback Machine sitesinde .
9. ^ Li, Xuhui. An Investigation of Secondary School Algebra Teachers' Mathematical Knowledge for Teaching Algebraic Equation Solving, p. 56 (ProQuest, 2007): "The quadratic formula is the most general method for solving quadratic equations and is derived from another general method: completing the square."
10. ^ Rockswold, Gary. College algebra and trigonometry and precalculus, p. 178 (Addison Wesley, 2002).
11. ^ Beckenbach, Edwin et al. Modern college algebra and trigonometry, p. 81 (Wadsworth Pub. Co., 1986).
12. ^ ^{a b} Hoehn (1975). "A More Elegant Method of Deriving the Quadratic Formula". The Mathematics Teacher. 68 (5): 442–443. 
13. ^ History of Mathematics, Vol. II. Dover Publications. 1958. s. 446. ISBN . 
14. ^ Joseph J. Rotman. (2010). Advanced modern algebra (Vol. 114). American Mathematical Soc. Section 1.1
15. ^ Debnath (2009). "The legacy of Leonhard Euler – a tricentennial tribute". International Journal of Mathematical Education in Science and Technology. 40 (3): 353-388. doi:10.1080/00207390802642237. 
16. ^ ^{a b} Clark, A. (1984). Elements of abstract algebra. Courier Corporation. p. 146.
17. ^ Elliptic functions and elliptic integrals, AMS Bookstore, 1997, ISBN , 12 Nisan 2017 tarihinde kaynağından , erişim tarihi: 28 Mart 2021 , §6.2, p. 134 4 Haziran 2018 tarihinde Wayback Machine sitesinde .
18. ^ Beyond the Quadratic Formula. MAA. 2013. s. 34. ISBN . 12 Nisan 2018 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 28 Mart 2021. 
19. ^ The Cambridge Ancient History Part 2 Early History of the Middle East. Cambridge University Press. 1971. s. 530. ISBN . 30 Haziran 2014 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 28 Mart 2021. 
20. ^ (PDF). Mathematics Department, California State University. 6 Ekim 2014 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi. Erişim tarihi: 28 Nisan 2013. 
21. ^ History of Mathematics. Courier Dover Publications. 1958. s. 380. ISBN . 
22. ^ Beyond the Quadratic Formula. MAA. 2013. s. 39. ISBN . 12 Nisan 2018 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 28 Mart 2021. 
23. ^ History of Mathematics. Courier Dover Publications. 1958. s. 134. ISBN . 
24. ^ Bradley, Michael. The Birth of Mathematics: Ancient Times to 1300, p. 86 (Infobase Publishing 2006).
25. ^ Mackenzie, Dana. The Universe in Zero Words: The Story of Mathematics as Told through Equations, p. 61 (Princeton University Press, 2012).
26. ^ Mathematics and Its History (2nd ed.). Springer. 2004. s. 87. ISBN . 
27. ^ Beyond the Quadratic Formula. MAA. 2013. s. 42. ISBN . 12 Nisan 2018 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 28 Mart 2021. 
28. ^ The Principal Works of Simon Stevin, Mathematics (PDF), II–B, C. V. Swets & Zeitlinger, 1958, s. 470, 24 Şubat 2021 tarihinde kaynağından (PDF), erişim tarihi: 28 Mart 2021 
29. ^ Rene Descartes. The Geometry (İngilizce).