Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında t-dağılımı ya da Student'in t dağılımı genel olarak örneklem sayısı veya sayıları küçük ise ve anakütle normal dağılım gösterdiği varsayılırsa uygulaması için çok kullanılan bir . Çok popüler olarak tek bir anakütle ortalaması için güven aralığı veya hipotez sınaması ve iki anakütle ortalamasının arasındaki fark için güven aralığı veya hipotez sınamasında, yani çıkarımsal istatistik analizlerde, uygulama görmektedir.
Olasılık yoğunluk fonksiyonu | |
Yığmalı dağılım fonksiyonu | |
Parametreler | serbestlik dereceleri (reel) |
---|---|
Olasılık yoğunluk fonksiyonu (OYF) | |
Birikimli dağılım fonksiyonu (YDF) | burada bir olur |
Ortalama | , diğer hallerde tanımlanmamış |
Medyan | |
Mod | |
Varyans | , diğer hallerde tanımlanmamış |
Çarpıklık | |
Fazladan basıklık | |
Entropi |
|
Moment üreten fonksiyon (mf) | () |
Karakteristik fonksiyon |
t-dağılımı ilk olarak 1908'de Dublin'de 'nda çalışan William Sealy Gosset tarafından yayımlanan bir makale ile ortaya konmuştur. Guinness'in, şirket sırlarının yayımlanmasını önlemek amacıyla çalışanlarının bilimsel yayın yapmasını yasaklamasından ötürü, bu yayının yazarı Student (öğrenci) olarak belirtilmişti. Gosset bu makalesinde "t" yerine "z" harfini kullanmıştır fakat sonradan "z" harfinin standart normal dağılım bağlamında kullanılmaya başlanmasıyla Student'in dağılımı "t" harfiyle anılmaya başlanmıştır.t-sınamaları ve ilişkili teori R.A. Fisher tarafından geliştirilmiş ve bu dağılım Student'in t dağılımı adıyla tanınmıştır.
Çıkarımsal istatistiksel çalışmalarda normal dağılımın yerine küçük orneklem bulunan problemler için kullanılmakla (ve bu nedenle normal dağılımın bir özel hali olarak yanlış intiba vermekle) beraber Student'in t-dağılımı teorik bakımdan bir özel halidir.
Farz edelim ki X1, ..., Xn istatistiksel olarak birbirlerinden bağımsız rassal değişkenlerdir ve beklenen değer μ ile dağılma σ değerleri ile normal dağılmaktadırlar.
örneklem ortalaması ve
Bu Z den, kesin standart sapma ifadesi olan yerine bir rassal değişken olan konulması suretiyle değişiklik gösterir. Teknik olarak : göre bir ki-kare dağılımı gösterir. Gosset yazısında Tnin şu olasılık yoğunluk fonksiyonu gösterdiğini ispat etmiştir:
Burada ν, n - 1 ifadesine eşittir ve Γ bir .
Bu ifade şöyle de yazılabilir:
Burada B bir Beta fonksiyonudur.
Sonradan T dağılımı t-dağılımı olarak anılmaya başlanmıştır. ν parametresi serbestlik derecesi olarak anılmaktadır. Dikkat edilirse t-dağılımı sadece ν parametresine dayanır ve (çıkarımsal istatistik analizi için bilinmeyen anakütle değerleri olan) μ veya σ t-dağılımı için parametre değildirler. İşte bu gerçek (yani μ ve σ nin parametre olmaması) hem teorik bakımdan ve daha belirgin olarak pratik çıkarımsal istatistik analizi bakımından, t-dağılımı istatistik bilimi için çok önemlidir.
t-dağılımının momentleri şunlardır:
Bir diğer işlemle de 0 < k < ν terimi, k çift sayı ise, özellikleri kullanılarak daha basitleştirilebilinir:
Daha ileri teori
Gosset'in sonuçlarının daha da genelleştirilmesi mümkündür.
Z, standart normal dağılıma ve V ise, serbestlik derecesi ile ki-kare dağılımına sahip olsun, Z ve V bağımsız ise, göre, şu orantı
ν serbestlik derecesi olan bir t-dağılımı olur.
Serbestlik derecesi ν olan bir t-dağılımı için beklenen değer 0 dır ve varyans
- ν/(ν - 2) eğer ν > 2.
Çarpıklık 0 olur ve basıklık eğer ν > 4 ise.
- 6/(ν - 4)
olur. Yığmalı dağılım fonksiyonu bir olup
ifadesi ile verilir ve burada
olur.
t-dağılımı ile F-dağılımı ilişkisi şöyle açıklanabilir; ν serbestlik derecesi olan t için kare değeri serbestlik derecesi 1 ve ν olan bir F-dağılımıdır.
t-dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonunu grafik şekli, ortalaması 0 ve varyansı 1 olan grafik şekline benzerlik gösterir. Ancak t-dağılımı daha yaygındır ve biraz daha basıktır. Serbestlik derecesi büyüdükçe, t-dağılımı standart normal dağılımına yaklaşım göstermektedir. Serbestlik derecesi 30 olduğu zaman t-dağılımı ve standart normal dağılım nerede ise aynı şekildedirler.
Aşağıdaki gösterimler ν serbestlik derecesi artış gösterirse t-dağılımı yoğunluk fonksiyonunun nasıl değiştiğini gösterirler. Karşılaştırma sağlamak için normal dağılım mavi çizgi ile gösterilmiştir. t-dağılımını gösteren kırmızı çizginin ν değeri artıkça normal dağılıma yakınlaşma gösterdiği açıkça gözlenebilmektedir. Eğer ν=30 t-dağılımı hemen hemen normal dağılım ile aynı olmaktadır.
Özel haller
Serbestlik derecesini ν için belli değerler özellikle basit olan bazı şekilleri verirler:
ν = 1
Dağılım fonksiyonu şu olur:
Yoğunluk fonksiyonu şudur:
Bakın Cauchy dağılımı
ν = 2
Dağılım fonksiyonu şu olur:
Yoğunluk fonksiyonu şudur:
Student'in t-dağılımı kullanarak kestirim aralığı bulunması
Bir sayı olan A öyle şekilde seçilsin ki
olsun. Burada T n - 1 serbestlik derecesi bulunan bir t-dağılımı göstersin. Bu ifade
ifadesi ile aynı olup A bu olasılık dağılımının 95inci yüzdebirlik değeridir veya
- .
Bu halde
olmaktadır ve bu da
ifadesine aynen eşittir. Bunun için uç-noktaları
olan açıklık μ için bir %90 güven aralığıdır.
Böylece eğer normal dağılım gösterdiğine epeyce emin olabilaceğimiz bir grup gözlem için ortalama değeri bulursak, t-dağılımını kullanarak bulunan ortalama için güvenlik limitlerinin (belki bir sıfır hipotez için tahmin edilmiş değerin) yahut daha önce teorik olarak tahmin edilmiş bir değerin, bu limitlerin arasında bulunup bulunmadığı araştırılabilir.
Bu sonuc kullanılmaktadır. İki normal dağılımdan alınan örneklemlerin ortalamalarının farkı da normal dağılım gösterdiği için, anakütle ortalamalarının arasındaki farkın sıfıra eşit olduğuna dair bir sonuç çıkarmanın makul olup olmadığını incelemede kullanılabilir.
Eğer veriler normal olarak dağılım gösterirlerse, ortalama için tek taraflı bir (1-a)-üst güvenlik limiti (UGL), şu verilen denklemi kullanarak hesaplanabilir.
Ortaya çıkarılan UGL değeri, bir verilmiş güvenlik aralığı ve anakütle büyüklüğü için ortaya çıkacak en büyük ortalama değeri olacaktır. Diğer bir terimle, değeri bir grup gözlemler için bir ortalama olursa, bu dağılımın ortalamasının değerinden daha düşük olmasının olasılığı güvenlik oranına (yani ye) eşittir.
Uygun büyüklükteki örneklemler için t-dağılımlarının ilgili sıfır hipotezi için uygulanabileceği birkaç diğer istatistikler bulunmaktadır. Böylece t-dagılımı, yalnizca tek ortalama ve iki ortalama arasındaki fark problemleri için uygulanan sonuç verici istatistik için bir özel teknik olmadığı açıktır. Örneğin Spearman'ın sıralama korelasyon katsayısı için sıfır hipotez bu katsayının 0 olabileceği ise, bu sıfır korelasyon için, eğer örneklem büyüklüğü 20 civarında ise, yaklaşık olarak bir t-dağılımı kullanılabilir.
Güçlü parametrik modelleme
t-dağılımı çok kere veri modeli kurmak için normal dağılıma bir alternatif olarak kullanılır. Çok kere pratik hayattan gelen gerçek veriler normal dağılımın kabul ettiğinden daha fazla ağırlıklı dağılım (şişman-kuyruklu dağılım) gösterir. Bu halde klasik çözum yolu bu alışılanın çok dışında olan değerleri (aykırı değerleri) teşhis edip bunların ağırlıklarını özel işlemlerle azaltmaya çaba göstermekle yapılmaktaydı. Ancak aykırı değerlerin teşhis edilmesi (özellikle yüksek boyut gösteren veriler arasında) hiç kolay olmamaktadır. Bu nedenle bu türlü verileri modellemek için doğasal seçim konusu olan ve için bir parametrik yaklaşım sağlayan t-dağılımının alternatif olarak kullanılması tavsiye edilmektedir.
Lange ve işbirlikçileri (1989) çeşitli kullanım alanlarında sisman kuyruklu veriler için güçlü modelleme içinde t-dağılımının kullanılması sorunu ayrıntılı olarak incelemişlerdir. Gelman ve işbirlikçilerinin (2003) yazısında bir Bayes-tipi yaklaşım gösterilmektedir. Serbestlik derecesi parametresi dağılımının basıklığını kontrol etmek için kullanılmakta ve bu ölçek parametresi ile korelasyon bağlantısı göstermektedir. Olabilirlilik çok sayıda yerel maksimum değerleri gösterdiği için, çok kere serbestlik derecesini ufak olan değerlerde sabitleştirmek ve bu sabit değer verilmiş gibi diğer parametreler için kestirimde bulunmak gerekmektedir. Bazı araştırıcılar bunun için en uygun değerlerin 3 ile 9 arasında olduğunu beyan etmişlerdir. Venebale ve Ripley (2002) ise 5 değerinin iyi bir seçim olacağını bildirmektedirler.
İlişkili dağılımlar
- Eğer bir ve ise bir normal dağılım gösteriyorlarsa, o halde bir t-dağılımı gösterir.
- Eğer ve Student'in t-dağılımı gösteriyorlarsa ifadesi bir F-dağılımı gösterir.
- iken ise bir gösterir.
- Eğer ise bir Cauchy dağılımı gösterir.
Ayrıca bakınız
Kaynakça
- ^ Salsburg, D. (2001). The lady tasting tea: How statistics revolutionized science in the twentieth century. Macmillan.
- ^ R.V.Hogg ve A.T.Craig [1978], Introduction to Mathematical Statistics, New York:Macmillan Kisimlar: 4.4 ve 4.8.
- ^ Lange,K.L., J.M.G. Taylor, R.J.A. Little (1989) "Robust Statistical Modeling Using the t Distribution", Journal of the American Statistical Association Cilt.84 say.881-896
- ^ Gelman,A., J.B.Carlin, H.S.Stern, D.B.Rubin (2003), Bayesian Data Analysis (2nd Ed.) CRC/Chapman ve Hall
- ^ Venables,W.N. ve B.D.Ripley (2002) Modern Applied Statistics with S (4. Ed.), Springer
Diğer
- Student [] (Mart 1908). "The probable error of a mean" (PDF). . 6 (1). ss. 1-25. 8 Mart 2008 tarihinde kaynağından (PDF). Erişim tarihi: 4 Mart 2008.
- Fisher, R. A. (1925). (PDF). Metron. Cilt 5. ss. 90-104. 13 Nisan 2011 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi. Erişim tarihi: 4 Mart 2008.
- (1989). "Robust Statistical Modeling Using the t Distribution". Journal of the American Statistical Association. Cilt 84. ss. 881-896.
- Hogg, R.V. (1978). Introduction to Mathematical Statistics. New York: Macmillan.
- Press, William H. (1992). Numerical Recipes in C: The Art of Scientific Computing. Cambridge University Press. 0-521-43108-5.
- Venables, W.N. (2002). Modern Applied Statistics with S (Fourth Edition). Springer.
- Gelman, Andrew (2003). Bayesian Data Analysis (Second Edition). CRC/Chapman & Hall. 1-584-88388-X.
Dış bağlantılar
- Kullanıcı tarafından belirtilen serbestlik derecesi için yoğunluk grafiği, kritik değerler vb.
- Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics3 Ekim 1999 tarihinde Wayback Machine sitesinde . ("Student'in dağılımı" teriminin tarihi üzerine bazı görüşler)
wikipedia, wiki, viki, vikipedia, oku, kitap, kütüphane, kütübhane, ara, ara bul, bul, herşey, ne arasanız burada,hikayeler, makale, kitaplar, öğren, wiki, bilgi, tarih, yukle, izle, telefon için, turk, türk, türkçe, turkce, nasıl yapılır, ne demek, nasıl, yapmak, yapılır, indir, ücretsiz, ücretsiz indir, bedava, bedava indir, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, resim, müzik, şarkı, film, film, oyun, oyunlar, mobil, cep telefonu, telefon, android, ios, apple, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, pc, web, computer, bilgisayar
Olasilik kurami ve istatistik bilim dallarinda t dagilimi ya da Student in t dagilimi genel olarak orneklem sayisi veya sayilari kucuk ise ve anakutle normal dagilim gosterdigi varsayilirsa uygulamasi icin cok kullanilan bir Cok populer olarak tek bir anakutle ortalamasi icin guven araligi veya hipotez sinamasi ve iki anakutle ortalamasinin arasindaki fark icin guven araligi veya hipotez sinamasinda yani cikarimsal istatistik analizlerde uygulama gormektedir Student in t Olasilik yogunluk fonksiyonuYigmali dagilim fonksiyonuParametreler n gt 0 displaystyle nu gt 0 serbestlik dereceleri reel x displaystyle x in infty infty Olasilik yogunluk fonksiyonu OYF G n 12 npG n2 1 x2n n 12 displaystyle frac Gamma frac nu 1 2 sqrt nu pi Gamma frac nu 2 left 1 frac x 2 nu right frac nu 1 2 Birikimli dagilim fonksiyonu YDF 12 xG n 12 2F1 12 n 12 32 x2n pnG n2 displaystyle begin matrix frac 1 2 x Gamma left frac nu 1 2 right cdot 0 5em frac 2 F 1 left frac 1 2 frac nu 1 2 frac 3 2 frac x 2 nu right sqrt pi nu Gamma frac nu 2 end matrix burada 2F1 displaystyle 2 F 1 bir olurOrtalama 0 eger n gt 1 displaystyle 0 text eger nu gt 1 diger hallerde tanimlanmamisMedyan 0 displaystyle 0 Mod 0 displaystyle 0 Varyans nn 2 eger n gt 2 displaystyle frac nu nu 2 text eger nu gt 2 diger hallerde tanimlanmamisCarpiklik 0 for n gt 3 displaystyle 0 text for nu gt 3 Fazladan basiklik 6n 4 for n gt 4 displaystyle frac 6 nu 4 text for nu gt 4 Entropi n 12 ps 1 n2 ps n2 log nB n2 12 displaystyle begin matrix frac nu 1 2 left psi frac 1 nu 2 psi frac nu 2 right 0 5em log left sqrt nu B frac nu 2 frac 1 2 right end matrix ps displaystyle psi B displaystyle B beta fonksiyonuMoment ureten fonksiyon mf Karakteristik fonksiyon t dagilimi ilk olarak 1908 de Dublin de nda calisan William Sealy Gosset tarafindan yayimlanan bir makale ile ortaya konmustur Guinness in sirket sirlarinin yayimlanmasini onlemek amaciyla calisanlarinin bilimsel yayin yapmasini yasaklamasindan oturu bu yayinin yazari Student ogrenci olarak belirtilmisti Gosset bu makalesinde t yerine z harfini kullanmistir fakat sonradan z harfinin standart normal dagilim baglaminda kullanilmaya baslanmasiyla Student in dagilimi t harfiyle anilmaya baslanmistir t sinamalari ve iliskili teori R A Fisher tarafindan gelistirilmis ve bu dagilim Student in t dagilimi adiyla taninmistir Cikarimsal istatistiksel calismalarda normal dagilimin yerine kucuk orneklem bulunan problemler icin kullanilmakla ve bu nedenle normal dagilimin bir ozel hali olarak yanlis intiba vermekle beraber Student in t dagilimi teorik bakimdan bir ozel halidir Farz edelim ki X1 Xn istatistiksel olarak birbirlerinden bagimsiz rassal degiskenlerdir ve beklenen deger m ile dagilma s degerleri ile normal dagilmaktadirlar X n X1 Xn n displaystyle overline X n X 1 cdots X n n orneklem ortalamasi ve Sn2 1n 1 i 1n Xi X n 2 displaystyle S n 2 frac 1 n 1 sum i 1 n left X i overline X n right 2 Bu Z den kesin standart sapma ifadesi olan s displaystyle scriptstyle sigma yerine bir rassal degisken olan Sn displaystyle scriptstyle S n konulmasi suretiyle degisiklik gosterir Teknik olarak n 1 Sn2 s2 displaystyle scriptstyle n 1 S n 2 sigma 2 gore bir ki kare dagilimi gosterir Gosset yazisinda Tnin su olasilik yogunluk fonksiyonu gosterdigini ispat etmistir f t G n 12 npG n2 1 t2n n 12 displaystyle f t frac Gamma frac nu 1 2 sqrt nu pi Gamma frac nu 2 left 1 frac t 2 nu right frac nu 1 2 Burada n n 1 ifadesine esittir ve G bir Bu ifade soyle de yazilabilir f t 1nB 12 n2 1 t2n n 12 displaystyle f t frac 1 sqrt nu B left frac 1 2 frac nu 2 right left 1 frac t 2 nu right frac nu 1 2 Burada B bir Beta fonksiyonudur Sonradan T dagilimi t dagilimi olarak anilmaya baslanmistir n parametresi serbestlik derecesi olarak anilmaktadir Dikkat edilirse t dagilimi sadece n parametresine dayanir ve cikarimsal istatistik analizi icin bilinmeyen anakutle degerleri olan m veya s t dagilimi icin parametre degildirler Iste bu gercek yani m ve s nin parametre olmamasi hem teorik bakimdan ve daha belirgin olarak pratik cikarimsal istatistik analizi bakimindan t dagilimi istatistik bilimi icin cok onemlidir t dagiliminin momentleri sunlardir E Tk 0k tek 0 lt k lt nG k 12 G n k2 nk 2pG n2 k cift 0 lt k lt nNaNk tek 0 lt n k k cift 0 lt n k displaystyle E T k begin cases 0 amp mbox k tek quad 0 lt k lt nu frac Gamma frac k 1 2 Gamma frac nu k 2 nu k 2 sqrt pi Gamma frac nu 2 amp mbox k cift quad 0 lt k lt nu mbox NaN amp mbox k tek quad 0 lt nu leq k infty amp mbox k cift quad 0 lt nu leq k end cases Bir diger islemle de 0 lt k lt n terimi k cift sayi ise ozellikleri kullanilarak daha basitlestirilebilinir E Tk i 1k 22i 1n 2ink 2k cift 0 lt k lt n displaystyle E T k prod i 1 k 2 frac 2i 1 nu 2i nu k 2 qquad k mbox cift quad 0 lt k lt nu Daha ileri teoriGosset in sonuclarinin daha da genellestirilmesi mumkundur Z standart normal dagilima ve V ise n displaystyle nu serbestlik derecesi ile ki kare dagilimina sahip olsun Z ve V bagimsiz ise gore su oranti ZV n displaystyle frac Z sqrt V nu n serbestlik derecesi olan bir t dagilimi olur Serbestlik derecesi n olan bir t dagilimi icin beklenen deger 0 dir ve varyans n n 2 eger n gt 2 Carpiklik 0 olur ve basiklik eger n gt 4 ise 6 n 4 olur Yigmali dagilim fonksiyonu bir olup tf u du Ix n2 n2 displaystyle int infty t f u du I x left frac nu 2 frac nu 2 right ifadesi ile verilir ve burada x t t2 n2t2 n displaystyle x frac t sqrt t 2 nu 2 sqrt t 2 nu olur t dagilimi ile F dagilimi iliskisi soyle aciklanabilir n serbestlik derecesi olan t icin kare degeri serbestlik derecesi 1 ve n olan bir F dagilimidir t dagiliminin olasilik yogunluk fonksiyonunu grafik sekli ortalamasi 0 ve varyansi 1 olan grafik sekline benzerlik gosterir Ancak t dagilimi daha yaygindir ve biraz daha basiktir Serbestlik derecesi buyudukce t dagilimi standart normal dagilimina yaklasim gostermektedir Serbestlik derecesi 30 oldugu zaman t dagilimi ve standart normal dagilim nerede ise ayni sekildedirler Asagidaki gosterimler n serbestlik derecesi artis gosterirse t dagilimi yogunluk fonksiyonunun nasil degistigini gosterirler Karsilastirma saglamak icin normal dagilim mavi cizgi ile gosterilmistir t dagilimini gosteren kirmizi cizginin n degeri artikca normal dagilima yakinlasma gosterdigi acikca gozlenebilmektedir Eger n 30 t dagilimi hemen hemen normal dagilim ile ayni olmaktadir Serbestlik dereceleri 1 2 3 5 10 ve 30 icin t dagilimi yogunluk fonksiyonu kirmizi ve yesil Normal dagilimla mavi karsilastirin Ozel hallerSerbestlik derecesini n icin belli degerler ozellikle basit olan bazi sekilleri verirler n 1 Dagilim fonksiyonu su olur F x 12 1parctan x displaystyle F x frac 1 2 frac 1 pi arctan x Yogunluk fonksiyonu sudur f x 1p 1 x2 displaystyle f x frac 1 pi 1 x 2 Bakin Cauchy dagilimi n 2 Dagilim fonksiyonu su olur F x 12 1 x2 x2 displaystyle F x frac 1 2 left 1 frac x sqrt 2 x 2 right Yogunluk fonksiyonu sudur f x 1 2 x2 3 2 displaystyle f x frac 1 left 2 x 2 right 3 2 Student in t dagilimi kullanarak kestirim araligi bulunmasiBir sayi olan A oyle sekilde secilsin ki Pr A lt T lt A 0 9 displaystyle Pr A lt T lt A 0 9 olsun Burada T n 1 serbestlik derecesi bulunan bir t dagilimi gostersin Bu ifade Pr T lt A 0 95 displaystyle Pr T lt A 0 95 ifadesi ile ayni olup A bu olasilik dagiliminin 95inci yuzdebirlik degeridir veya A t 0 05 n 1 displaystyle A t 0 05 n 1 Bu halde Pr A lt X n mSn n lt A 0 9 displaystyle Pr left A lt overline X n mu over S n sqrt n lt A right 0 9 olmaktadir ve bu da Pr X n ASnn lt m lt X n ASnn 0 9 displaystyle Pr left overline X n A S n over sqrt n lt mu lt overline X n A S n over sqrt n right 0 9 ifadesine aynen esittir Bunun icin uc noktalari X n ASnn displaystyle overline X n pm A frac S n sqrt n olan aciklik m icin bir 90 guven araligidir Boylece eger normal dagilim gosterdigine epeyce emin olabilacegimiz bir grup gozlem icin ortalama degeri bulursak t dagilimini kullanarak bulunan ortalama icin guvenlik limitlerinin belki bir sifir hipotez icin tahmin edilmis degerin yahut daha once teorik olarak tahmin edilmis bir degerin bu limitlerin arasinda bulunup bulunmadigi arastirilabilir Bu sonuc kullanilmaktadir Iki normal dagilimdan alinan orneklemlerin ortalamalarinin farki da normal dagilim gosterdigi icin anakutle ortalamalarinin arasindaki farkin sifira esit olduguna dair bir sonuc cikarmanin makul olup olmadigini incelemede kullanilabilir Eger veriler normal olarak dagilim gosterirlerse ortalama icin tek tarafli bir 1 a ust guvenlik limiti UGL su verilen denklemi kullanarak hesaplanabilir UGL1 a X n ta n 1Snn displaystyle mathrm UGL 1 a overline X n frac t a n 1 S n sqrt n Ortaya cikarilan UGL degeri bir verilmis guvenlik araligi ve anakutle buyuklugu icin ortaya cikacak en buyuk ortalama degeri olacaktir Diger bir terimle X n displaystyle overline X n degeri bir grup gozlemler icin bir ortalama olursa bu dagilimin ortalamasinin UCL1 a displaystyle mathrm UCL 1 a degerinden daha dusuk olmasinin olasiligi guvenlik oranina yani 1 a displaystyle 1 a ye esittir Uygun buyuklukteki orneklemler icin t dagilimlarinin ilgili sifir hipotezi icin uygulanabilecegi birkac diger istatistikler bulunmaktadir Boylece t dagilimi yalnizca tek ortalama ve iki ortalama arasindaki fark problemleri icin uygulanan sonuc verici istatistik icin bir ozel teknik olmadigi aciktir Ornegin Spearman in siralama korelasyon katsayisi icin sifir hipotez bu katsayinin 0 olabilecegi ise bu sifir korelasyon icin eger orneklem buyuklugu 20 civarinda ise yaklasik olarak bir t dagilimi kullanilabilir Guclu parametrik modellemet dagilimi cok kere veri modeli kurmak icin normal dagilima bir alternatif olarak kullanilir Cok kere pratik hayattan gelen gercek veriler normal dagilimin kabul ettiginden daha fazla agirlikli dagilim sisman kuyruklu dagilim gosterir Bu halde klasik cozum yolu bu alisilanin cok disinda olan degerleri aykiri degerleri teshis edip bunlarin agirliklarini ozel islemlerle azaltmaya caba gostermekle yapilmaktaydi Ancak aykiri degerlerin teshis edilmesi ozellikle yuksek boyut gosteren veriler arasinda hic kolay olmamaktadir Bu nedenle bu turlu verileri modellemek icin dogasal secim konusu olan ve icin bir parametrik yaklasim saglayan t dagiliminin alternatif olarak kullanilmasi tavsiye edilmektedir Lange ve isbirlikcileri 1989 cesitli kullanim alanlarinda sisman kuyruklu veriler icin guclu modelleme icinde t dagiliminin kullanilmasi sorunu ayrintili olarak incelemislerdir Gelman ve isbirlikcilerinin 2003 yazisinda bir Bayes tipi yaklasim gosterilmektedir Serbestlik derecesi parametresi dagiliminin basikligini kontrol etmek icin kullanilmakta ve bu olcek parametresi ile korelasyon baglantisi gostermektedir Olabilirlilik cok sayida yerel maksimum degerleri gosterdigi icin cok kere serbestlik derecesini ufak olan degerlerde sabitlestirmek ve bu sabit deger verilmis gibi diger parametreler icin kestirimde bulunmak gerekmektedir Bazi arastiricilar bunun icin en uygun degerlerin 3 ile 9 arasinda oldugunu beyan etmislerdir Venebale ve Ripley 2002 ise 5 degerinin iyi bir secim olacagini bildirmektedirler Iliskili dagilimlarEger s2 Inv x2 n 1 displaystyle sigma 2 sim mbox Inv chi 2 nu 1 bir ve X N 0 s2 displaystyle X sim mathrm N 0 sigma 2 ise bir normal dagilim gosteriyorlarsa o halde X t n displaystyle X sim mathrm t nu bir t dagilimi gosterir Eger Y X2 displaystyle Y X 2 ve X t n displaystyle X sim mathrm t nu Student in t dagilimi gosteriyorlarsa Y F n1 1 n2 n displaystyle Y sim mathrm F nu 1 1 nu 2 nu ifadesi bir F dagilimi gosterir X t n displaystyle X sim mathrm t nu iken Y limn X displaystyle Y lim nu to infty X ise Y N 0 1 displaystyle Y sim mathrm N 0 1 bir gosterir Eger X t n 1 displaystyle X sim mathrm t nu 1 ise X Cauchy 0 1 displaystyle X sim mathrm Cauchy 0 1 bir Cauchy dagilimi gosterir Ayrica bakinizKaynakca Salsburg D 2001 The lady tasting tea How statistics revolutionized science in the twentieth century Macmillan R V Hogg ve A T Craig 1978 Introduction to Mathematical Statistics New York Macmillan Kisimlar 4 4 ve 4 8 Lange K L J M G Taylor R J A Little 1989 Robust Statistical Modeling Using the t Distribution Journal of the American Statistical Association Cilt 84 say 881 896 Gelman A J B Carlin H S Stern D B Rubin 2003 Bayesian Data Analysis 2nd Ed CRC Chapman ve Hall Venables W N ve B D Ripley 2002 Modern Applied Statistics with S 4 Ed SpringerDigerStudent Mart 1908 The probable error of a mean PDF 6 1 ss 1 25 8 Mart 2008 tarihinde kaynagindan PDF Erisim tarihi 4 Mart 2008 Fisher R A 1925 PDF Metron Cilt 5 ss 90 104 13 Nisan 2011 tarihinde kaynagindan PDF arsivlendi Erisim tarihi 4 Mart 2008 1989 Robust Statistical Modeling Using the t Distribution Journal of the American Statistical Association Cilt 84 ss 881 896 Hogg R V 1978 Introduction to Mathematical Statistics New York Macmillan Press William H 1992 Numerical Recipes in C The Art of Scientific Computing Cambridge University Press 0 521 43108 5 Venables W N 2002 Modern Applied Statistics with S Fourth Edition Springer Gelman Andrew 2003 Bayesian Data Analysis Second Edition CRC Chapman amp Hall 1 584 88388 X Dis baglantilarKullanici tarafindan belirtilen serbestlik derecesi icin yogunluk grafigi kritik degerler vb Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics3 Ekim 1999 tarihinde Wayback Machine sitesinde Student in dagilimi teriminin tarihi uzerine bazi gorusler