Trigonometrik özdeşlikler listesi

Bu sayfanın herhangi bir bulunmuyor; bu yüzden standartlara uygunluk açısından kontrol edilmemiş olabilir.

Trigonometride, trigonometrik özdeşlikler trigonometrik fonksiyonları içeren ve eşitliğin her iki tarafının da tanımlandığı değişkenlerin her değeri için doğru olan . Geometrik olarak, bunlar bir veya daha fazla açının belirli fonksiyonlarını içeren özdeşliklerdir. Bunlar (üçgen özdeşliklerinden) farklıdır, bunlar potansiyel olarak açıları içeren ama aynı zamanda kenar uzunluklarını veya bir üçgenin diğer uzunluklarını da içeren özdeşliklerdir.

Bu özdeşlikler, trigonometrik fonksiyonları içeren ifadelerin basitleştirilmesi gerektiğinde kullanışlıdır. Önemli bir uygulama, trigonometrik olmayan fonksiyonların integrasyonudur: yaygın bir teknik, önce bir trigonometrik fonksiyonla ikame kuralı kullanmayı ve ardından ortaya çıkan integrali bir trigonometrik özdeşlikle basitleştirmeyi içerir.

Pisagor özdeşlikleri

Trigonometrik fonksiyonlar ve bunların birim çember üzerindeki karşılıkları. Tüm dik açılı üçgenler benzerdir, yani karşılık gelen kenarları arasındaki oranlar aynıdır. ${\displaystyle Sin}$, ${\displaystyle cos}$ ve ${\displaystyle tan}$ için birim uzunluktaki yarıçap, onları tanımlayan üçgenin hipotenüsünü oluşturur. Karşılıklı özdeşlikler, bu birim çizginin artık hipotenüs olmadığı üçgenlerde kenarların oranları olarak ortaya çıkar. Mavi gölgeli üçgen ${\displaystyle 1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta }$ özdeşliğini, kırmızı gölgeli üçgen ise ${\displaystyle \tan ^{2}\theta +1=\sec ^{2}\theta }$ özdeşliğini göstermektedir.

arasındaki temel ilişki Pisagor özdeşliği ile verilir:

$${\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1,}$$

burada ${\displaystyle \sin ^{2}\theta =(\sin \theta )^{2}}$ ve ${\displaystyle \cos ^{2}\theta =(\cos \theta )^{2}}$ anlamına gelir.

Bu Pisagor teoreminin bir versiyonu olarak görülebilir ve birim çember için ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ denkleminden çıkar. Bu denklem sinüs ya da kosinüs için çözülebilir:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &=\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }},\\\cos \theta &=\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}.\end{aligned}}}$$

Burada işaret ${\displaystyle \theta }$'nın (kuadrantına) bağlıdır.

Bu özdeşliği ${\displaystyle \sin ^{2}\theta }$, ${\displaystyle \cos ^{2}\theta }$ veya her ikisine böldüğünüzde aşağıdaki özdeşlikler elde edilir:

$${\displaystyle {\begin{aligned}&1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta \\&1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta \\&\sec ^{2}\theta +\csc ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta \csc ^{2}\theta \end{aligned}}}$$

Bu özdeşlikleri kullanarak, herhangi bir trigonometrik fonksiyonu diğer herhangi bir fonksiyon cinsinden (artı veya eksi işaretin) ifade etmek mümkündür:

Her bir trigonometrik fonksiyon diğer beş fonksiyonun her biri cinsinden

cinsinden	${\displaystyle \sin \theta }$	${\displaystyle \csc \theta }$	${\displaystyle \cos \theta }$	${\displaystyle \sec \theta }$	${\displaystyle \tan \theta }$	${\displaystyle \cot \theta }$
${\displaystyle \sin \theta =}$	${\displaystyle \sin \theta }$	${\displaystyle {\frac {1}{\csc \theta }}}$	${\displaystyle \pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}$	${\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}{\sec \theta }}}$	${\displaystyle \pm {\frac {\tan \theta }{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}}$	${\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}}$
${\displaystyle \csc \theta =}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sin \theta }}}$	${\displaystyle \csc \theta }$	${\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}}$	${\displaystyle \pm {\frac {\sec \theta }{\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}}$	${\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}{\tan \theta }}}$	${\displaystyle \pm {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}$
${\displaystyle \cos \theta =}$	${\displaystyle \pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}$	${\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}{\csc \theta }}}$	${\displaystyle \cos \theta }$	${\displaystyle {\frac {1}{\sec \theta }}}$	${\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}}$	${\displaystyle \pm {\frac {\cot \theta }{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}}$
${\displaystyle \sec \theta =}$	${\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}}$	${\displaystyle \pm {\frac {\csc \theta }{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\cos \theta }}}$	${\displaystyle \sec \theta }$	${\displaystyle \pm {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}$	${\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}{\cot \theta }}}$
${\displaystyle \tan \theta =}$	${\displaystyle \pm {\frac {\sin \theta }{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}}$	${\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}}$	${\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}{\cos \theta }}}$	${\displaystyle \pm {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}$	${\displaystyle \tan \theta }$	${\displaystyle {\frac {1}{\cot \theta }}}$
${\displaystyle \cot \theta =}$	${\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}{\sin \theta }}}$	${\displaystyle \pm {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}$	${\displaystyle \pm {\frac {\cos \theta }{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}}$	${\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\tan \theta }}}$	${\displaystyle \cot \theta }$

Yansımalar, kaymalar ve periyodiklik

Birim çember incelenerek trigonometrik fonksiyonların aşağıdaki özellikleri belirlenebilir.

Yansımalar

${\displaystyle \alpha }$ yansıma açısını ${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$ artışlarla kaydırırken (a, b) koordinatlarının dönüşümü.

Bir Öklid vektörünün yönü bir ${\displaystyle \theta ,}$ açısı ile temsil edildiğinde, bu açı serbest vektör (orijinden başlayan) ve pozitif ${\displaystyle x}$-birim vektörü tarafından belirlenen açıdır. Aynı kavram, Öklid uzayında doğrulara da uygulanabilir; burada açı, verilen doğruya orijinden ve pozitif ${\displaystyle x}$-ekseninden geçen bir paralel doğru tarafından belirlenen açıdır. ${\displaystyle \theta }$ doğrultulu bir doğru (vektör) ${\displaystyle \alpha ,}$ doğrultulu bir doğru etrafında yansıtılırsa, bu yansıtılan doğrunun (vektörün) ${\displaystyle \theta ^{\prime }}$ doğrultu açısı $\theta ^{\prime }=2\alpha -\theta .$ değerine sahiptir.

Bu açıların trigonometrik fonksiyonlarının değerleri ${\displaystyle \theta ,\;\theta ^{\prime }}$ belirli açılar ${\displaystyle \alpha }$ için basit özdeşlikleri karşılar: ya eşittirler, ya zıt işaretlidirler ya da tamamlayıcı trigonometrik fonksiyon kullanırlar. Bunlar indirgeme formülleri olarak da bilinir.

${\displaystyle \alpha =0}$'da yansıtılan ${\displaystyle \theta }$ tek/çift özdeşlikler	${\displaystyle \alpha ={\frac {\pi }{4}}}$'te yansıtılan ${\displaystyle \theta }$	${\displaystyle \alpha ={\frac {\pi }{2}}}$'de yansıtılan ${\displaystyle \theta }$	${\displaystyle \alpha ={\frac {3\pi }{4}}}$'te yansıtılan ${\displaystyle \theta }$	${\displaystyle \alpha =\pi }$'de yansıtılan ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \alpha =0}$ ile karşılaştıtma
${\displaystyle \sin(-\theta )=-\sin \theta }$	${\displaystyle \sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\cos \theta }$	${\displaystyle \sin(\pi -\theta )=+\sin \theta }$	${\displaystyle \sin \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=-\cos \theta }$	${\displaystyle \sin(2\pi -\theta )=-\sin(\theta )=\sin(-\theta )}$
${\displaystyle \cos(-\theta )=+\cos \theta }$	${\displaystyle \cos \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\sin \theta }$	${\displaystyle \cos(\pi -\theta )=-\cos \theta }$	${\displaystyle \cos \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=-\sin \theta }$	${\displaystyle \cos(2\pi -\theta )=+\cos(\theta )=\cos(-\theta )}$
${\displaystyle \tan(-\theta )=-\tan \theta }$	${\displaystyle \tan \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\cot \theta }$	${\displaystyle \tan(\pi -\theta )=-\tan \theta }$	${\displaystyle \tan \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=+\cot \theta }$	${\displaystyle \tan(2\pi -\theta )=-\tan(\theta )=\tan(-\theta )}$
${\displaystyle \csc(-\theta )=-\csc \theta }$	${\displaystyle \csc \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\sec \theta }$	${\displaystyle \csc(\pi -\theta )=+\csc \theta }$	${\displaystyle \csc \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=-\sec \theta }$	${\displaystyle \csc(2\pi -\theta )=-\csc(\theta )=\csc(-\theta )}$
${\displaystyle \sec(-\theta )=+\sec \theta }$	${\displaystyle \sec \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\csc \theta }$	${\displaystyle \sec(\pi -\theta )=-\sec \theta }$	${\displaystyle \sec \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=-\csc \theta }$	${\displaystyle \sec(2\pi -\theta )=+\sec(\theta )=\sec(-\theta )}$
${\displaystyle \cot(-\theta )=-\cot \theta }$	${\displaystyle \cot \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\tan \theta }$	${\displaystyle \cot(\pi -\theta )=-\cot \theta }$	${\displaystyle \cot \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=+\tan \theta }$	${\displaystyle \cot(2\pi -\theta )=-\cot(\theta )=\cot(-\theta )}$

Kaymalar ve periyodiklik

${\displaystyle \theta }$ açısını ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$ artışlarla kaydırırken
(a, b) koordinatlarının dönüşümü.

Bir çeyrek periyot kaydırma	Bir yarım periyot kaydırma	Tam periyotlarla kaydırma	Periyot
${\displaystyle \sin(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=\pm \cos \theta }$	${\displaystyle \sin(\theta +\pi )=-\sin \theta }$	${\displaystyle \sin(\theta +k\cdot 2\pi )=+\sin \theta }$	${\displaystyle 2\pi }$
${\displaystyle \cos(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=\mp \sin \theta }$	${\displaystyle \cos(\theta +\pi )=-\cos \theta }$	${\displaystyle \cos(\theta +k\cdot 2\pi )=+\cos \theta }$	${\displaystyle 2\pi }$
${\displaystyle \csc(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=\pm \sec \theta }$	${\displaystyle \csc(\theta +\pi )=-\csc \theta }$	${\displaystyle \csc(\theta +k\cdot 2\pi )=+\csc \theta }$	${\displaystyle 2\pi }$
${\displaystyle \sec(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=\mp \csc \theta }$	${\displaystyle \sec(\theta +\pi )=-\sec \theta }$	${\displaystyle \sec(\theta +k\cdot 2\pi )=+\sec \theta }$	${\displaystyle 2\pi }$
${\displaystyle \tan(\theta \pm {\tfrac {\pi }{4}})={\tfrac {\tan \theta \pm 1}{1\mp \tan \theta }}}$	${\displaystyle \tan(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})=-\cot \theta }$	${\displaystyle \tan(\theta +k\cdot \pi )=+\tan \theta }$	${\displaystyle \pi }$
${\displaystyle \cot(\theta \pm {\tfrac {\pi }{4}})={\tfrac {\cot \theta \mp 1}{1\pm \cot \theta }}}$	${\displaystyle \cot(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})=-\tan \theta }$	${\displaystyle \cot(\theta +k\cdot \pi )=+\cot \theta }$	${\displaystyle \pi }$

İşaretler

Trigonometrik fonksiyonların işareti açının çeyreğine (kuadrantına) bağlıdır. Eğer ${\displaystyle {-\pi }<\theta \leq \pi }$ ve sgn işaret fonksiyonu ise,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sgn}(\sin \theta )=\operatorname {sgn}(\csc \theta )&={\begin{cases}+1&\ 0<\theta <\pi \ {\text{ ise}}\\-1&\ {-\pi }<\theta <0\ {\text{ ise}}\\0&\ \theta \in \{0,\pi \}\ {\text{ ise}}\end{cases}}\\[5mu]\operatorname {sgn}(\cos \theta )=\operatorname {sgn}(\sec \theta )&={\begin{cases}+1&\ {-{\tfrac {1}{2}}\pi }<\theta <{\tfrac {1}{2}}\pi \ {\text{ ise}}\\-1&\ {-\pi }<\theta <-{\tfrac {1}{2}}\pi \ \ {\text{veya}}\ \ {\tfrac {1}{2}}\pi <\theta <\pi \ {\text{ ise}}\\0&\ \theta \in {\bigl \{}{-{\tfrac {1}{2}}\pi },{\tfrac {1}{2}}\pi {\bigr \}}\ {\text{ ise}}\end{cases}}\\[5mu]\operatorname {sgn}(\tan \theta )=\operatorname {sgn}(\cot \theta )&={\begin{cases}+1&\ {-\pi }<\theta <-{\tfrac {1}{2}}\pi \ \ {\text{veya}}\ \ 0<\theta <{\tfrac {1}{2}}\pi \ {\text{ ise}}\\-1&\ {-{\tfrac {1}{2}}\pi }<\theta <0\ \ {\text{veya}}\ \ {\tfrac {1}{2}}\pi <\theta <\pi \ {\text{ ise}}\\0&\ \theta \in {\bigl \{}{-{\tfrac {1}{2}}\pi },0,{\tfrac {1}{2}}\pi ,\pi {\bigr \}}\ {\text{ ise}}\end{cases}}\end{aligned}}}$$

Trigonometrik fonksiyonlar ortak periyot ${\displaystyle 2\pi ,}$ ile periyodiktir, bu nedenle ${\displaystyle (-\pi ,\pi ],}$ aralığının dışındaki θ değerleri için tekrar eden değerler alırlar (yukarıdaki § Kaymalar ve periyodiklik bölümüne bakın).

Açı toplam ve fark özdeşlikleri

Dar açıların sinüs ve kosinüsleri için açı toplam formüllerinin gösterimi. Vurgulanan parça birim uzunluktadır.		${\displaystyle \sin(\alpha -\beta )}$ ve ${\displaystyle \cos(\alpha -\beta )}$ için açı farkı özdeşliklerini gösteren şekil.

Bunlar aynı zamanda açı toplam ve fark teoremleri (veya formülleri) olarak da bilinir.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\alpha +\beta )&=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta \\\sin(\alpha -\beta )&=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta \\\cos(\alpha +\beta )&=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \\\cos(\alpha -\beta )&=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \end{aligned}}}$$

${\displaystyle \sin(\alpha -\beta )}$ ve ${\displaystyle \cos(\alpha -\beta )}$ için açı farkı özdeşlikleri, ${\displaystyle -\beta }$ yerine ${\displaystyle \beta }$ koyarak ve ${\displaystyle \sin(-\beta )=-\sin(\beta )}$ ile ${\displaystyle \cos(-\beta )=\cos(\beta )}$ gerçeklerini kullanarak açı toplamı versiyonlarından türetilebilir. Açı toplamı özdeşlikleri için şeklin biraz değiştirilmiş bir versiyonu kullanılarak da elde edilebilirler, her ikisi de burada gösterilmektedir.

Bu özdeşlikler, diğer trigonometrik fonksiyonlar için toplam ve fark özdeşliklerini de içeren aşağıdaki tablonun ilk iki satırında özetlenmiştir.

Sinüs	${\displaystyle \sin(\alpha \pm \beta )}$			${\displaystyle =}$	${\displaystyle \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta }$
Kosinüs	${\displaystyle \cos(\alpha \pm \beta )}$			${\displaystyle =}$	${\displaystyle \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta }$
Tanjant	${\displaystyle \tan(\alpha \pm \beta )}$			${\displaystyle =}$	${\displaystyle {\frac {\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }}}$
Kosekant	${\displaystyle \csc(\alpha \pm \beta )}$			${\displaystyle =}$	${\displaystyle {\frac {\sec \alpha \sec \beta \csc \alpha \csc \beta }{\sec \alpha \csc \beta \pm \csc \alpha \sec \beta }}}$
Sekant	${\displaystyle \sec(\alpha \pm \beta )}$			${\displaystyle =}$	${\displaystyle {\frac {\sec \alpha \sec \beta \csc \alpha \csc \beta }{\csc \alpha \csc \beta \mp \sec \alpha \sec \beta }}}$
Kotanjant	${\displaystyle \cot(\alpha \pm \beta )}$			${\displaystyle =}$	${\displaystyle {\frac {\cot \alpha \cot \beta \mp 1}{\cot \beta \pm \cot \alpha }}}$
Arksinüs	${\displaystyle \arcsin x\pm \arcsin y}$			${\displaystyle =}$	${\displaystyle \arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}\pm y{\sqrt {1-x^{2}{\vphantom {y}}}}\right)}$
Arkkosinüs	${\displaystyle \arccos x\pm \arccos y}$			${\displaystyle =}$	${\displaystyle \arccos \left(xy\mp {\sqrt {\left(1-x^{2}\right)\left(1-y^{2}\right)}}\right)}$
Arktanjant	${\displaystyle \arctan x\pm \arctan y}$			${\displaystyle =}$	${\displaystyle \arctan \left({\frac {x\pm y}{1\mp xy}}\right)}$
Arkkotanjant	${\displaystyle \operatorname {arccot} x\pm \operatorname {arccot} y}$			${\displaystyle =}$	${\displaystyle \operatorname {arccot} \left({\frac {xy\mp 1}{y\pm x}}\right)}$

Sonsuz sayıda açının toplamlarının sinüs ve kosinüsleri

$\sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}$ serisi, mutlak yakınsar olduğunda;

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\sin }{\biggl (}\sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}{\biggl )}&=\sum _{{\text{tek}}\ k\geq 1}(-1)^{\frac {k-1}{2}}\!\!\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}{\biggl (}\prod _{i\in A}\sin \theta _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \theta _{i}{\biggr )}\\{\cos }{\biggl (}\sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}{\biggr )}&=\sum _{{\text{çift}}\ k\geq 0}(-1)^{\frac {k}{2}}\,\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}{\biggl (}\prod _{i\in A}\sin \theta _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \theta _{i}{\biggr )}.\end{aligned}}}$$

$\sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}$ serisi mutlak yakınsadığı için, $\lim _{i\to \infty }\theta _{i}=0,$ $\lim _{i\to \infty }\sin \theta _{i}=0,$ ve $\lim _{i\to \infty }\cos \theta _{i}=1.$ Özellikle, bu iki özdeşlikte sonlu sayıda açının toplamları durumunda görülmeyen bir asimetri ortaya çıkar: her çarpımda yalnızca sonlu sayıda sinüs çarpanı vardır, ancak çok sayıda kosinüs çarpanı vardır. Sonsuz sayıda sinüs çarpanı olan terimler zorunlu olarak sıfıra eşit olacaktır.

${\displaystyle \theta _{i}}$ açılarının yalnızca sonlu sayıda olanı sıfırdan farklı olduğunda, sağ taraftaki terimlerin yalnızca sonlu sayıda olanı sıfırdan farklıdır çünkü sonlu sayıda sinüs çarpanı hariç hepsi yok olur (sadeleşir). Ayrıca, her bir terimde sonlu sayıda kosinüs çarpanı hariç hepsi birimdir (tekildir).

Toplamların tanjantları ve kotanjantları

${\displaystyle e_{k}}$ (${\displaystyle k=0,1,2,3,\ldots }$ için) değişkenler içinde kinci derece olsun: $${\displaystyle x_{i}=\tan \theta _{i}}$$

${\displaystyle i=0,1,2,3,\ldots ,}$ için yani,

$${\displaystyle {\begin{aligned}e_{0}&=1\\[6pt]e_{1}&=\sum _{i}x_{i}&&=\sum _{i}\tan \theta _{i}\\[6pt]e_{2}&=\sum _{i<j}x_{i}x_{j}&&=\sum _{i<j}\tan \theta _{i}\tan \theta _{j}\\[6pt]e_{3}&=\sum _{i<j<k}x_{i}x_{j}x_{k}&&=\sum _{i<j<k}\tan \theta _{i}\tan \theta _{j}\tan \theta _{k}\\&\ \ \vdots &&\ \ \vdots \end{aligned}}}$$

Öyleyse yukarıdaki sinüs ve kosinüs toplam formüllerini kullanarak,

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\tan }{\Bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\Bigr )}&={\frac {{\sin }{\bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\bigr )}/\prod _{i}\cos \theta _{i}}{{\cos }{\bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\bigr )}/\prod _{i}\cos \theta _{i}}}\\[10pt]&={\frac {\displaystyle \sum _{{\text{tek}}\ k\geq 1}(-1)^{\frac {k-1}{2}}\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{1,2,3,\dots \}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}\prod _{i\in A}\tan \theta _{i}}{\displaystyle \sum _{{\text{çift}}\ k\geq 0}~(-1)^{\frac {k}{2}}~~\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{1,2,3,\dots \}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}\prod _{i\in A}\tan \theta _{i}}}={\frac {e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }}\\[10pt]{\cot }{\Bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\Bigr )}&={\frac {e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }{e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }}\end{aligned}}}$$

Sağ taraftaki terim sayısı sol taraftaki terim sayısına bağlıdır.

Örneğin: $${\displaystyle {\begin{aligned}\tan(\theta _{1}+\theta _{2})&={\frac {e_{1}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {x_{1}+x_{2}}{1\ -\ x_{1}x_{2}}}={\frac {\tan \theta _{1}+\tan \theta _{2}}{1\ -\ \tan \theta _{1}\tan \theta _{2}}},\\[8pt]\tan(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3})&={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})}},\\[8pt]\tan(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3}+\theta _{4})&={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}}}\\[8pt]&={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4})\ +\ (x_{1}x_{2}x_{3}x_{4})}},\end{aligned}}}$$

ve bunun gibi. Sadece sonlu sayıda terim olması durumu matematiksel tümevarım ile kanıtlanabilir. Sonsuz sayıda terim olması durumu, bazı temel eşitsizlikler kullanılarak kanıtlanabilir.

Toplamların sekantları ve kosekantları

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\sec }{\Bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\Bigr )}&={\frac {\prod _{i}\sec \theta _{i}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }}\\[8pt]{\csc }{\Bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\Bigr )}&={\frac {\prod _{i}\sec \theta _{i}}{e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }}\end{aligned}}}$$

Burada ${\displaystyle e_{k}}$, n değişkenlerinde kinci derece olup, ${\displaystyle x_{i}=\tan \theta _{i},}$ ${\displaystyle i=1,\dots ,n,}$ ve paydadaki terim sayısı ile paydaki çarpımdaki çarpan sayısı soldaki toplamdaki terim sayısına bağlıdır. Sadece sonlu sayıda terim olması durumu, bu tür terimlerin sayısı üzerine matematiksel tümevarım yoluyla kanıtlanabilir.

Örneğin,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sec(\alpha +\beta +\gamma )&={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{1-\tan \alpha \tan \beta -\tan \alpha \tan \gamma -\tan \beta \tan \gamma }}\\[8pt]\csc(\alpha +\beta +\gamma )&={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{\tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma -\tan \alpha \tan \beta \tan \gamma }}.\end{aligned}}}$$

Batlamyus teoremi

Batlamyus teoremi ile sinüs için açı toplamı trigonometri özdeşliği arasındaki ilişkiyi gösteren şekil. Batlamyus teoremi, karşılıklı kenarların uzunluklarının çarpımlarının toplamının köşegenlerin uzunluklarının çarpımına eşit olduğunu belirtir. Bu kenar uzunlukları yukarıdaki şekilde gösterilen sin ve cos değerleri cinsinden ifade edildiğinde, sinüs için açı toplamı trigonometrik özdeşliği elde edilir: sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β.

Batlamyus teoremi, trigonometrik özdeşlikler tarihinde önemlidir, çünkü sinüs ve kosinüs için toplam ve fark formüllerine eşdeğer sonuçlar ilk kez bu şekilde kanıtlanmıştır. Teorem, yandaki şekilde gösterildiği gibi ${\displaystyle ABCD}$ çembersel dörtgeninde, karşılıklı kenarların uzunluklarının çarpımlarının toplamının köşegenlerin uzunluklarının çarpımına eşit olduğunu belirtir. Köşegenlerden veya kenarlardan birinin dairenin çapı olduğu özel durumlarda, bu teorem doğrudan açı toplamı ve fark trigonometrik özdeşliklerine yol açar. Bu ilişki en kolay şekilde, burada gösterildiği gibi daire bir çap uzunluğunda olacak şekilde inşa edildiğinde ortaya çıkar.

Thales teoremi ile, ${\displaystyle \angle DAB}$ ve ${\displaystyle \angle DCB}$ her ikisi de dik açıdır. Dik açılı ${\displaystyle DAB}$ ve ${\displaystyle DCB}$ üçgenlerinin her ikisi de uzunluğu 1 olan ${\displaystyle {\overline {BD}}}$ hipotenüsünü paylaşır. Böylece kenar ${\displaystyle {\overline {AB}}=\sin \alpha }$, ${\displaystyle {\overline {AD}}=\cos \alpha }$, ${\displaystyle {\overline {BC}}=\sin \beta }$ ve ${\displaystyle {\overline {CD}}=\cos \beta }$ olur.

Çevre açı teoremine göre, çemberin merkezindeki ${\displaystyle {\overline {AC}}}$ akorunun merkezde oluşturduğu açı ${\displaystyle \angle ADC}$ açısının iki katıdır, yani ${\displaystyle 2(\alpha +\beta )}$. Dolayısıyla, simetrik kırmızı üçgen çiftinin her birinin merkezinde ${\displaystyle \alpha +\beta }$ açısı vardır. Bu üçgenlerin her birinin ${\frac {1}{2}}$ uzunluğunda bir hipotenüsü vardır, dolayısıyla ${\displaystyle {\overline {AC}}}$ uzunluğu $2\times {\frac {1}{2}}\sin(\alpha +\beta )$, yani basitçe ${\displaystyle \sin(\alpha +\beta )}$. Dörtgenin diğer köşegeni 1 uzunluğundaki çaptır, dolayısıyla köşegenlerin uzunluklarının çarpımı da ${\displaystyle \sin(\alpha +\beta )}$'dır.

Bu değerler, Batlamyus teoreminin ${\displaystyle |{\overline {AC}}|\cdot |{\overline {BD}}|=|{\overline {AB}}|\cdot |{\overline {CD}}|+|{\overline {AD}}|\cdot |{\overline {BC}}|}$ ifadesinde yerine konulduğunda, sinüs için açı toplamı trigonometrik özdeşliği elde edilir: ${\displaystyle \sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta }$. ${\displaystyle \sin(\alpha -\beta )}$ için açı farkı formülü, ${\displaystyle {\overline {CD}}}$ kenarının ${\displaystyle {\overline {BD}}}$ yerine çap olarak kullanılmasıyla benzer şekilde türetilebilir.

Açının katları ve yarım açı formülleri

Tn, ninci	${\displaystyle \cos(n\theta )=T_{n}(\cos \theta )}$
de Moivre formülü, i sanal birimdir	${\displaystyle \cos(n\theta )+i\sin(n\theta )=(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}}$

Açının katları formülleri

Çift açı formülleri

Sinüs için çift açı formülünün görsel ifadesi. Birim kenarlı ve ${\displaystyle 2\theta }$ açılı yukarıdaki ikizkenar üçgen için alan 1/2 × taban × yükseklik iki yönde hesaplanır. Dik durumdayken alan ${\displaystyle \sin \theta \cos \theta }$ şeklindedir. Yan yattığında ise aynı alan ${\frac {1}{2}}\sin 2\theta$. Bu nedenle, ${\displaystyle \sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta .}$

Bir açının iki katı için formüller.

${\displaystyle \sin(2\theta )=2\sin \theta \cos \theta =(\sin \theta +\cos \theta )^{2}-1={\frac {2\tan \theta }{1+\tan ^{2}\theta }}}$

${\displaystyle \cos(2\theta )=\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta =2\cos ^{2}\theta -1=1-2\sin ^{2}\theta ={\frac {1-\tan ^{2}\theta }{1+\tan ^{2}\theta }}}$

${\displaystyle \tan(2\theta )={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}}$

${\displaystyle \cot(2\theta )={\frac {\cot ^{2}\theta -1}{2\cot \theta }}={\frac {1-\tan ^{2}\theta }{2\tan \theta }}}$

${\displaystyle \sec(2\theta )={\frac {\sec ^{2}\theta }{2-\sec ^{2}\theta }}={\frac {1+\tan ^{2}\theta }{1-\tan ^{2}\theta }}}$

${\displaystyle \csc(2\theta )={\frac {\sec \theta \csc \theta }{2}}={\frac {1+\tan ^{2}\theta }{2\tan \theta }}}$

Üç kat açı formülleri

Üç kat açılar için formüller.

${\displaystyle \sin(3\theta )=3\sin \theta -4\sin ^{3}\theta =4\sin \theta \sin \left({\frac {\pi }{3}}-\theta \right)\sin \left({\frac {\pi }{3}}+\theta \right)}$

${\displaystyle \cos(3\theta )=4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta =4\cos \theta \cos \left({\frac {\pi }{3}}-\theta \right)\cos \left({\frac {\pi }{3}}+\theta \right)}$

${\displaystyle \tan(3\theta )={\frac {3\tan \theta -\tan ^{3}\theta }{1-3\tan ^{2}\theta }}=\tan \theta \tan \left({\frac {\pi }{3}}-\theta \right)\tan \left({\frac {\pi }{3}}+\theta \right)}$

${\displaystyle \cot(3\theta )={\frac {3\cot \theta -\cot ^{3}\theta }{1-3\cot ^{2}\theta }}}$

${\displaystyle \sec(3\theta )={\frac {\sec ^{3}\theta }{4-3\sec ^{2}\theta }}}$

${\displaystyle \csc(3\theta )={\frac {\csc ^{3}\theta }{3\csc ^{2}\theta -4}}}$

Çok kat açı formülleri

Çok katlı açılar için formüller.

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(n\theta )&=\sum _{k{\text{ tek}}}(-1)^{\frac {k-1}{2}}{n \choose k}\cos ^{n-k}\theta \sin ^{k}\theta =\sin \theta \sum _{i=0}^{(n+1)/2}\sum _{j=0}^{i}(-1)^{i-j}{n \choose 2i+1}{i \choose j}\cos ^{n-2(i-j)-1}\theta \\{}&=2^{(n-1)}\prod _{k=0}^{n-1}\sin(k\pi /n+\theta )\end{aligned}}}$

${\displaystyle \cos(n\theta )=\sum _{k{\text{ çift}}}(-1)^{\frac {k}{2}}{n \choose k}\cos ^{n-k}\theta \sin ^{k}\theta =\sum _{i=0}^{n/2}\sum _{j=0}^{i}(-1)^{i-j}{n \choose 2i}{i \choose j}\cos ^{n-2(i-j)}\theta }$

${\displaystyle \cos((2n+1)\theta )=(-1)^{n}2^{2n}\prod _{k=0}^{2n}\cos(k\pi /(2n+1)-\theta )}$

${\displaystyle \cos(2n\theta )=(-1)^{n}2^{2n-1}\prod _{k=0}^{2n-1}\cos((1+2k)\pi /(4n)-\theta )}$

${\displaystyle \tan (n\theta )=\frac{\sum _{k\text{ tek}}(-1{)}^{\frac{k-1}{2}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}){\tan }^k\theta }{\sum _{k\text{ çift}}(-1{)}^{\frac{k}{}}}}$