Azərbaycanca
Беларускі
Dansk
Deutsch
Española
Français
Indonesia
Italiana
日本語
Қазақ
Lietuvos
Nederlands
Português
Русский
සිංහල
แบบไทย
Türkçe
Українська
中國人
United State
Afrikaans
Lenart küresi, Öklityen olmayan geometriler için özellikle de , ve projektif geometri için bir eğitim ve öğretim modelidir. Lenart küresi, küre üzerindeki çokgenleri (özellikle üçgenleri) ve kenar-açı arasındaki ilişkileri görselleştirmek için bir “küresel yazı tahtası” olarak adlandırılır. Küre, , GeoGebra ve gibi görselleştirme yazılımları gibi kullanılır. (Ayrıntı Bilgi İçin Dış Bağlantılar Küresel Easel Bilgi, bakınız Öklidyen olmayan geometri için ve birçok diğer interaktif Projektif geometri uygulamaları ve programları). Lenart küresinin egitim uygulamaları Geodesy, GIS, astronomi, geometri, ışın izleme (grafik), perspektif (grafiksel), trigonometri ve göksel navigasyonu içerir.
Tarih
Lenart küresi István Lénárt tarafından Macaristan’da 1990 lı yılların başında icat edilmiş ve kullanımı da 2003 yılında düzlemsel ve küresel geometriyi karşılaştıran kitabında anlatılmıştır.
antik zamanlardan II. Dünya Savaşı sonlarına kadar önemli bir matematik konusu olmuş ve modern eğitim sisteminde ve (navigasyonda) GPS gibi daha algoritmik metotlar ile Haversine formülü, lineer cebir matris çarpımı ve Napier’in pentagonu da dahil olmak üzere yenilenmiştir. Lenart küresi Avrupa boyunca hala yaygın bir şekilde Öklityen olmayan geometrilerde ve GIS kurslarında kullanılır.
Uygulamalar
Glen Van Brummelen’den sonra(Reference 1 below, p. 129, ) küresel geometri artık tarihsel matematik haricinde, navigasyon, astronomi, coğrafya vb. alanların eski bilimsel ihtiyaçlarıyla ilgili olmamasına rağmen yine de simulasyon, oyun programlama, Autodesk Maya, kinematik, ve optik, fotoğrafçılık, sanat ve tıp gibi daha birçok farklı yeni alana bağlı olarak bir yeniden doğuş yaşamıştır.
2B’den 3B’ye geçiş (küresel bir şekilde) veya bunun tersi artık bilgisayar grafikleri, oyun motorları ve hatta GPU mimarisinde kendine yeni bir yuva bulan eski bir harita yapım tekniğidir. (although looking at spherical trigonometry in "reverse" by mapping spherical data onto planes – see Stereographic projection for details). Bu gelişmeler Lenart küresinin ve analog araçların, küresel trigonometrinin ve sayısız diğer geometrik modelleme araçlarının devam eden geçerliliğini astronomi, navigasyon ve coğrafyadaki kendi birincil ve tarihsel değerlerinin de ötesinde etkilemiştir. Matematiksel olarak, bu yeni gelişmelerin çoğu daha eski ve geniş bir bakış açısı ile bir çatı altında toplanabilir. ;Bu bakış açısı, küresel projeksiyonlardaki birçok uygulamasıyla tanımlayıcı ve projektif geometrinin bölümleri altında toplanabilir.
Persperktif geometrinin tarihi uygulamaları fotometrik ölçüm gibi bazı modern astronomik küre-projeksiyon arenalarında yeniden ele alınmıştır. (özellikle perspektifin ters problemlerinde ve fotometrik sistemlerdeki küresel yokolma noktalarında) Çoğu Lenart küresi trigonometrik yüzey ile olduğu gibi GIS ve astronomi ile de birlikte gelir.
Layman’ın tabiriyle, bir küreyi bir düzleme yansıttığınızda veya tam tersi durumda, perspektifin önemi (yakınsaklık ve ufuk çizgileri gibi) gölgelerin konusu ile ilgili olmasından dolayı genelde çok ilginçtir.
Bu sebeple hareket gölgelendirme projeksiyon ve perspektif(matris çarpımı ya da küresel trigonometri) 3B modelleme referanslarında kapalıdır.Günümüzde, 3B’den 2B küre ve düzlemlere haritalama aynı zamanda birden çok perspektifi göz önünde bulundurmalıdır, örneğin; kamera ve görüntüleyici gibi. Bunlar örnekleme ile yürütülür. Perspektif basamaklama adı verilen bir teknik, gölge haritasının parametrik hale getirilmesi ile ilgilidir (istatistiksel örnekleme) ve projeksiyonun kameradan görüntüleyiciye çevrilmesinde kullanılabilir. İkisi de Lenart küresi üzerinde noktasal ışık kaynakları kullanır ve geometrik bir yazılım ile modelleme çeşitli örneklerin etkisini gösterebilir.
İstatistik öğretmenleri Lenart küresi gibi çeşitli araçları perspektifin etkilerini (gölge örneklemesi gibi) göstermek için kullanabilirler, sonrasında da daha derinlerde yatan trigonometri ve lineer cebiri kullanarak örtüşme için koordinatları hesaplarlar. Bu durumda persfektif Fourier Dönüşümlerinin perspektif fonksiyonu olur. (Ayrıca bakınız ve Yumuşatma detayları için ilgili makaleler.)
Oyun programcıları Lenart küresinin trigonometrik haritalanmasından ve temeldeki küresel trigonometriden basitçe OpenGL derin sıkıştırma komutunu çağırarak, örneğin; otomatik olarak projektif matris yaratarak mesela 3B hareket gölgelendirme, kaçınabilirler.Bunun yanı sıra OpenGL komutunun temelinde, kompleks bir grup lineer cebir fonksiyonları yatar. Aslında, lineer cebir, vector ve tensör dizileri, matris cebiri ve diferansiyel denklemler yoluyla projektif ve tanımlayıcı geometriyi 3B koordinatların çözümü ile direkt matris çarpımını bypass ederek uygulanan ilk matematik metodlarından biridir. Bu daha yeni teknikler ve onların Fourier tabanlı algoritmaları geleneksel tarihi yaklaşımlardan daha hızlı, daha tutarlı küresel üçgen çözümleri verebilir. (bakınız p. 241 ve diğer Chauvenet referansları).
Ama bu çarpımların kesinliği ile belirli teknik problemler (ör. Z koordinatları>1) küresel trigonometri tekrar dikkate alınarak tıpkı dördeylerin 19. Yüzyılda 4B bilgisayar grafikleri hesaplamalarında yeniden ele alınarak çözülmesi gibi, çözülebilir. (ayrıntılar için bakınız Bölüm 10 (p. 314 et al.) Lengyel referansında.)
3B Küresel Grafikler ve Harmonikler
Tıpkı gölge hareketlerinin bir küreye yansıtılmasının bilgisayar grafiklerindeki Lenart küresinin eğitimsel uygulamalarının önemli olduğu gibi, ışık kaynaklarının küreye projeksiyonu (ve hareket), dolaylı ışıklandırma, , , vb. konuları genellikle dahil olan diğer ilişkili uygulamalardır. Lenart küresi katmanları hem pozitif hem de negatif harmonik gösterimleri ve polar ve küresel koordinat hesaplamaları için kullanılabilirler.
Bu uygulamaların çoğu asıl olarak Laplace denklemi ve küresel trigonometrinin bu etkileri göstermek için birincil araç olduğu zamanlardaki (1780’ler) Laplace dönüşümüne dahil olmuştur. Bugün, Argand (1806) diyagramları da Lenart küresiyle beraber hızlı Fourier dönüşümlerini ve kompleks düzlemdeki küresel-harmonik algoritmaları keşfetmek için kullanılabilir. Teknik olarak bunlar küresel harmoniğin özel alanındaki Laplace dönüşüm denklemlerinin çözüm setlerinin açısal kısmını bulurlar.
Genellikle, Laplace ve Fourier dönüşümleri birbiriyle ve frekans çözümleyerek sinyal işleme ve projeksiyonu dahilinde, osilasyon ve zaman problemleri (ikisi de önemli küresel projeksiyon ve harmonik durumlara sahiptir) ile ilişkilidir. Kürede ve küresel harmonik teoreminin eklenmesiyle, kişi Laplace kosinüs trigonometri tanım denkleminin sol tarafında polinomlar ve sağ tarafında da küresel harmonikler kullanır.
Sonra küresel y vektörlerini z eksenini gösterecek şekilde döndürür, x=y tayin eder ve Unsold teoremi ile (öncelikli olarak atomik küresel simetri ve solar/küresel hesaplamalar ile bilinir.) küreyi n=2 boyutta olacak şekilde yansıtıp genelleştirebiliriz, böylece daha yüksek boyutlar kürenin hacmine endekslenir. Bu teknikler küresel trigonometrinin 3B grafik uygulamalarını spectrum analizindeki, sinyal işlemlemedeki ve hızlı Fourier dönüşümlerindeki daha yeni uygulamalara genişletirler.
Bilgisayar grafiklerine ek olarak, projektif geometri 20. Yüzyılın başlarında teorik olarak bitmiş olmasına rağmen robotik ve gibi alanlarda yeni analitik uygulamalar bulmaktadır. (bakınız Mundy ve Zisserman yapay görme ile ilgili dış bağlantılara.).
Küresel Tesselasyon ve Sonlu Analiz
Bilgisayar grafiklerinde çokgen veri setlerini yönetmek ve onları çeviri için uygun biçime sokmak için tesselasyon kullanılır. Özellikle gerçek-zamanlı çeviri için veriler üçgenlere tesselasyon edilir, örneğin DirectX 11 ve OpenGL ‘de.
Bilgisayar destekli dizaynda, inşa edilmiş dizayn yüz ve kenarlarla sınırlı olan analitik 3B yüzey ve kıvrımların 3B gövdenin sürekli sınırlarını oluşturduğu sınır gösterimli topolojik model tarafından sunulur. Rastgele 3B gövdeler çoğunlukla direkt analiz için fazla karmaşıktır. Bu yüzden birbirine geçmiş küçük, analizi kolay 3B hacimler ağı ile – genellikle ya düzensiz dört yüzlü ya da düzensiz altı yüzlü yakınsanırlar. (tessele edilir) Bu ağ 3B grafiklerin (Lenart küresiyle ilgili durumlarda küreler, gezegenler, toplar, yıldızlar, vb.) ve yaratılmasında (sentez veya modelleme)
Lenart küresi, küresel tesselasyon tekniklerinin modelleme ve gösteriminde, özellikle sonlu analiz problemlerine uygulandıklarında son derece kullanışlıdır. 3B grafik programlarını veya Phyton kod örneklerini kullanarak (Açık kaynak Python kod örnekleri vs. için sekizinci referans linkine bakınız), çok daha büyük sayıdaki çokgenler sonlu elemanların analizi ve obje ve özelliklerin kürede sentezlenmesi için küreye doğru ve küreden yansıtılabilirler; örnekteki istilaya uğramış asteroid gibi.Bu durumda, Lenart küresi sonlu analiz ve kurgulamanın(teknik olarak: modelleme) son derece kompleks diferansiyel matematiğine sadeleştirme veya yakınsama kısayolu olarak tesselasyon (döşeme) için, özellikle hareketli objeler kullanışlıdır.
Ayrıca bakınız
Kaynakça
- ^ Van Brummelen, Glen (2013). Heavenly Mathematics: The Forgotten Art of Spherical Trigonometry. Princeton University Press. ISBN .
- ^ Lenart, Istvan (2003), Non-Euclidean Adventures on the Lenart Sphere: Activities Comparing Planar and Spherical Geometry, Key Curriculum Press, ISBN
- ^ Andersen, Kirsti (2007). The Geometry of an Art: The History of The Mathematical Theory of Perspective. Springer. s. 720. ISBN .
- ^ Eisemann, Elmar (2012). Real-Time Shadows. CRC Press. s. 85. ISBN .
- ^ Chauvenet, William (1887). A treatise on plane and spherical geometry. Lippincott. ISBN .
- ^ Lengyel, Eric (2009). Mathematics for 3D Game Programming and Computer Graphics. Cengage. ISBN .
- ^ Folland, Gerald (2000). Fourier Analysis and Its Applications. American Mathematical Society. s. 405. ISBN .
- ^ Folland, Gerald (2000). Fourier Analysis and Its Applications. American Mathematical Society. s. 179. ISBN .
- ^ Easton, Roger (2010). Fourier Methods in Imaging. Wiley. s. 54. ISBN .
- ^ Mechtley, Adam (2011). Maya Python for Games and Film. Morgan Kaufmann. ISBN .
Dış bağlantılar
- . 30 Mart 2015 tarihinde kaynağından arşivlendi.
- . 24 Eylül 2015 tarihinde kaynağından arşivlendi.
- . 24 Eylül 2015 tarihinde kaynağından arşivlendi.
- . 21 Ağustos 2019 tarihinde kaynağından arşivlendi.
- Copyright free copy of reference 5
- . 13 Mayıs 2016 tarihinde kaynağından arşivlendi.
- . 14 Nisan 2016 tarihinde kaynağından arşivlendi.
- . 18 Ocak 2015 tarihinde kaynağından arşivlendi.
- . 7 Aralık 2014 tarihinde kaynağından arşivlendi.
tutorial by Joe Mundy and Andrew Zisserman
wikipedia, wiki, viki, vikipedia, oku, kitap, kütüphane, kütübhane, ara, ara bul, bul, herşey, ne arasanız burada,hikayeler, makale, kitaplar, öğren, wiki, bilgi, tarih, yukle, izle, telefon için, turk, türk, türkçe, turkce, nasıl yapılır, ne demek, nasıl, yapmak, yapılır, indir, ücretsiz, ücretsiz indir, bedava, bedava indir, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, resim, müzik, şarkı, film, film, oyun, oyunlar, mobil, cep telefonu, telefon, android, ios, apple, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, pc, web, computer, bilgisayar
Lenart kuresi Oklityen olmayan geometriler icin ozellikle de ve projektif geometri icin bir egitim ve ogretim modelidir Lenart kuresi kure uzerindeki cokgenleri ozellikle ucgenleri ve kenar aci arasindaki iliskileri gorsellestirmek icin bir kuresel yazi tahtasi olarak adlandirilir Kure GeoGebra ve gibi gorsellestirme yazilimlari gibi kullanilir Ayrinti Bilgi Icin Dis Baglantilar Kuresel Easel Bilgi bakiniz Oklidyen olmayan geometri icin ve bircok diger interaktif Projektif geometri uygulamalari ve programlari Lenart kuresinin egitim uygulamalari Geodesy GIS astronomi geometri isin izleme grafik perspektif grafiksel trigonometri ve goksel navigasyonu icerir Istvan Lenart birkac Lenart kuresini tanitiyor TarihLenart kuresi Istvan Lenart tarafindan Macaristan da 1990 li yillarin basinda icat edilmis ve kullanimi da 2003 yilinda duzlemsel ve kuresel geometriyi karsilastiran kitabinda anlatilmistir antik zamanlardan II Dunya Savasi sonlarina kadar onemli bir matematik konusu olmus ve modern egitim sisteminde ve navigasyonda GPS gibi daha algoritmik metotlar ile Haversine formulu lineer cebir matris carpimi ve Napier in pentagonu da dahil olmak uzere yenilenmistir Lenart kuresi Avrupa boyunca hala yaygin bir sekilde Oklityen olmayan geometrilerde ve GIS kurslarinda kullanilir UygulamalarGlen Van Brummelen den sonra Reference 1 below p 129 kuresel geometri artik tarihsel matematik haricinde navigasyon astronomi cografya vb alanlarin eski bilimsel ihtiyaclariyla ilgili olmamasina ragmen yine de simulasyon oyun programlama Autodesk Maya kinematik ve optik fotografcilik sanat ve tip gibi daha bircok farkli yeni alana bagli olarak bir yeniden dogus yasamistir 2B den 3B ye gecis kuresel bir sekilde veya bunun tersi artik bilgisayar grafikleri oyun motorlari ve hatta GPU mimarisinde kendine yeni bir yuva bulan eski bir harita yapim teknigidir although looking at spherical trigonometry in reverse by mapping spherical data onto planes see Stereographic projection for details Bu gelismeler Lenart kuresinin ve analog araclarin kuresel trigonometrinin ve sayisiz diger geometrik modelleme araclarinin devam eden gecerliligini astronomi navigasyon ve cografyadaki kendi birincil ve tarihsel degerlerinin de otesinde etkilemistir Matematiksel olarak bu yeni gelismelerin cogu daha eski ve genis bir bakis acisi ile bir cati altinda toplanabilir Bu bakis acisi kuresel projeksiyonlardaki bircok uygulamasiyla tanimlayici ve projektif geometrinin bolumleri altinda toplanabilir Persperktif geometrinin tarihi uygulamalari fotometrik olcum gibi bazi modern astronomik kure projeksiyon arenalarinda yeniden ele alinmistir ozellikle perspektifin ters problemlerinde ve fotometrik sistemlerdeki kuresel yokolma noktalarinda Cogu Lenart kuresi trigonometrik yuzey ile oldugu gibi GIS ve astronomi ile de birlikte gelir Layman in tabiriyle bir kureyi bir duzleme yansittiginizda veya tam tersi durumda perspektifin onemi yakinsaklik ve ufuk cizgileri gibi golgelerin konusu ile ilgili olmasindan dolayi genelde cok ilginctir Bu sebeple hareket golgelendirme projeksiyon ve perspektif matris carpimi ya da kuresel trigonometri 3B modelleme referanslarinda kapalidir Gunumuzde 3B den 2B kure ve duzlemlere haritalama ayni zamanda birden cok perspektifi goz onunde bulundurmalidir ornegin kamera ve goruntuleyici gibi Bunlar ornekleme ile yurutulur Perspektif basamaklama adi verilen bir teknik golge haritasinin parametrik hale getirilmesi ile ilgilidir istatistiksel ornekleme ve projeksiyonun kameradan goruntuleyiciye cevrilmesinde kullanilabilir Ikisi de Lenart kuresi uzerinde noktasal isik kaynaklari kullanir ve geometrik bir yazilim ile modelleme cesitli orneklerin etkisini gosterebilir Istatistik ogretmenleri Lenart kuresi gibi cesitli araclari perspektifin etkilerini golge orneklemesi gibi gostermek icin kullanabilirler sonrasinda da daha derinlerde yatan trigonometri ve lineer cebiri kullanarak ortusme icin koordinatlari hesaplarlar Bu durumda persfektif Fourier Donusumlerinin perspektif fonksiyonu olur Ayrica bakiniz ve Yumusatma detaylari icin ilgili makaleler Oyun programcilari Lenart kuresinin trigonometrik haritalanmasindan ve temeldeki kuresel trigonometriden basitce OpenGL derin sikistirma komutunu cagirarak ornegin otomatik olarak projektif matris yaratarak mesela 3B hareket golgelendirme kacinabilirler Bunun yani sira OpenGL komutunun temelinde kompleks bir grup lineer cebir fonksiyonlari yatar Aslinda lineer cebir vector ve tensor dizileri matris cebiri ve diferansiyel denklemler yoluyla projektif ve tanimlayici geometriyi 3B koordinatlarin cozumu ile direkt matris carpimini bypass ederek uygulanan ilk matematik metodlarindan biridir Bu daha yeni teknikler ve onlarin Fourier tabanli algoritmalari geleneksel tarihi yaklasimlardan daha hizli daha tutarli kuresel ucgen cozumleri verebilir bakiniz p 241 ve diger Chauvenet referanslari Ama bu carpimlarin kesinligi ile belirli teknik problemler or Z koordinatlari gt 1 kuresel trigonometri tekrar dikkate alinarak tipki dordeylerin 19 Yuzyilda 4B bilgisayar grafikleri hesaplamalarinda yeniden ele alinarak cozulmesi gibi cozulebilir ayrintilar icin bakiniz Bolum 10 p 314 et al Lengyel referansinda 3B Kuresel Grafikler ve HarmoniklerTipki golge hareketlerinin bir kureye yansitilmasinin bilgisayar grafiklerindeki Lenart kuresinin egitimsel uygulamalarinin onemli oldugu gibi isik kaynaklarinin kureye projeksiyonu ve hareket dolayli isiklandirma vb konulari genellikle dahil olan diger iliskili uygulamalardir Lenart kuresi katmanlari hem pozitif hem de negatif harmonik gosterimleri ve polar ve kuresel koordinat hesaplamalari icin kullanilabilirler Bu uygulamalarin cogu asil olarak Laplace denklemi ve kuresel trigonometrinin bu etkileri gostermek icin birincil arac oldugu zamanlardaki 1780 ler Laplace donusumune dahil olmustur Bugun Argand 1806 diyagramlari da Lenart kuresiyle beraber hizli Fourier donusumlerini ve kompleks duzlemdeki kuresel harmonik algoritmalari kesfetmek icin kullanilabilir Teknik olarak bunlar kuresel harmonigin ozel alanindaki Laplace donusum denklemlerinin cozum setlerinin acisal kismini bulurlar Genellikle Laplace ve Fourier donusumleri birbiriyle ve frekans cozumleyerek sinyal isleme ve projeksiyonu dahilinde osilasyon ve zaman problemleri ikisi de onemli kuresel projeksiyon ve harmonik durumlara sahiptir ile iliskilidir Kurede ve kuresel harmonik teoreminin eklenmesiyle kisi Laplace kosinus trigonometri tanim denkleminin sol tarafinda polinomlar ve sag tarafinda da kuresel harmonikler kullanir Sonra kuresel y vektorlerini z eksenini gosterecek sekilde dondurur x y tayin eder ve Unsold teoremi ile oncelikli olarak atomik kuresel simetri ve solar kuresel hesaplamalar ile bilinir kureyi n 2 boyutta olacak sekilde yansitip genellestirebiliriz boylece daha yuksek boyutlar kurenin hacmine endekslenir Bu teknikler kuresel trigonometrinin 3B grafik uygulamalarini spectrum analizindeki sinyal islemlemedeki ve hizli Fourier donusumlerindeki daha yeni uygulamalara genisletirler Bilgisayar grafiklerine ek olarak projektif geometri 20 Yuzyilin baslarinda teorik olarak bitmis olmasina ragmen robotik ve gibi alanlarda yeni analitik uygulamalar bulmaktadir bakiniz Mundy ve Zisserman yapay gorme ile ilgili dis baglantilara Kuresel Tesselasyon ve Sonlu AnalizBilgisayar grafiklerinde cokgen veri setlerini yonetmek ve onlari ceviri icin uygun bicime sokmak icin tesselasyon kullanilir Ozellikle gercek zamanli ceviri icin veriler ucgenlere tesselasyon edilir ornegin DirectX 11 ve OpenGL de Bilgisayar destekli dizaynda insa edilmis dizayn yuz ve kenarlarla sinirli olan analitik 3B yuzey ve kivrimlarin 3B govdenin surekli sinirlarini olusturdugu sinir gosterimli topolojik model tarafindan sunulur Rastgele 3B govdeler cogunlukla direkt analiz icin fazla karmasiktir Bu yuzden birbirine gecmis kucuk analizi kolay 3B hacimler agi ile genellikle ya duzensiz dort yuzlu ya da duzensiz alti yuzlu yakinsanirlar tessele edilir Bu ag 3B grafiklerin Lenart kuresiyle ilgili durumlarda kureler gezegenler toplar yildizlar vb ve yaratilmasinda sentez veya modelleme Lenart kuresi kuresel tesselasyon tekniklerinin modelleme ve gosteriminde ozellikle sonlu analiz problemlerine uygulandiklarinda son derece kullanislidir 3B grafik programlarini veya Phyton kod orneklerini kullanarak Acik kaynak Python kod ornekleri vs icin sekizinci referans linkine bakiniz cok daha buyuk sayidaki cokgenler sonlu elemanlarin analizi ve obje ve ozelliklerin kurede sentezlenmesi icin kureye dogru ve kureden yansitilabilirler ornekteki istilaya ugramis asteroid gibi Bu durumda Lenart kuresi sonlu analiz ve kurgulamanin teknik olarak modelleme son derece kompleks diferansiyel matematigine sadelestirme veya yakinsama kisayolu olarak tesselasyon doseme icin ozellikle hareketli objeler kullanislidir Ayrica bakinizKartografya Oklit Disi Geometri KureKaynakca Van Brummelen Glen 2013 Heavenly Mathematics The Forgotten Art of Spherical Trigonometry Princeton University Press ISBN 978 0 691 14892 2 Lenart Istvan 2003 Non Euclidean Adventures on the Lenart Sphere Activities Comparing Planar and Spherical Geometry Key Curriculum Press ISBN 978 1559531030 Andersen Kirsti 2007 The Geometry of an Art The History of The Mathematical Theory of Perspective Springer s 720 ISBN 978 0387 25961 1 Eisemann Elmar 2012 Real Time Shadows CRC Press s 85 ISBN 978 1 56881 438 4 Chauvenet William 1887 A treatise on plane and spherical geometry Lippincott ISBN 1 4069 6824 2 Lengyel Eric 2009 Mathematics for 3D Game Programming and Computer Graphics Cengage ISBN 978 1 58450 277 7 Folland Gerald 2000 Fourier Analysis and Its Applications American Mathematical Society s 405 ISBN 978 0 8218 4790 9 Folland Gerald 2000 Fourier Analysis and Its Applications American Mathematical Society s 179 ISBN 978 0 8218 4790 9 Easton Roger 2010 Fourier Methods in Imaging Wiley s 54 ISBN 9780470689837 Mechtley Adam 2011 Maya Python for Games and Film Morgan Kaufmann ISBN 978 0123785787 Dis baglantilar 30 Mart 2015 tarihinde kaynagindan arsivlendi 24 Eylul 2015 tarihinde kaynagindan arsivlendi 24 Eylul 2015 tarihinde kaynagindan arsivlendi 21 Agustos 2019 tarihinde kaynagindan arsivlendi Copyright free copy of reference 5 13 Mayis 2016 tarihinde kaynagindan arsivlendi 14 Nisan 2016 tarihinde kaynagindan arsivlendi 18 Ocak 2015 tarihinde kaynagindan arsivlendi 7 Aralik 2014 tarihinde kaynagindan arsivlendi tutorial by Joe Mundy and Andrew Zisserman