Sonsuz (matematik)

Sonsuz, eski Yunanca Lemniscate kelimesinden gelmektedir, (sembol: ∞) çoğunlukla matematik ve fizikte herhangi bir sonu olmayan şeyleri ve sayıları tarif etmekte kullanılan soyut bir kavramdır.

∞ sembolünün farklı yazı biçimleri

Matematikte “sonsuz” sıklıkla bir sayıymış gibi ele alınır (örn. Sonsuz sayıda terim vb.) ama aslında gerçek sayılar türünde bir sayı değildir. Sonsuz küçük değerlerini içeren sayı sistemlerinde bu son küçüklerin karşıtı bir sonsuz sayıdır. 19. yüzyıl ve 20. yüzyılın başlarında Georg Cantor sonsuz ve sonsuz kümeler ile ilgili birçok fikre şekil verdi. Geliştirdiği kuramda farklı boyutlarda yer almaktadır. Örneğin, tamsayıların oluştuğu küme sayılabilir sonsuzken gerçek sayıların oluşturduğu sonsuz küme ise sayılamaz sonsuzdur.

Tarihçe

Antik kültürler sonsuz hakkında çeşitli fikirlere sahipti. Antik Yunanlar ve sonsuz kavramının modern matematikçilerin tanımladığı şekilde tanımlamak yerine bu kavrama felsefi bir fikir olarak yaklaştılar.

Antik Yunan

Sonsuz hakkındaki ilk kaynaklar Milet’te yaşamış olan Sokrates öncesi düşünür Anaksimandros’a aittir. Sonsuzluğu ifade etmek için sınırsız gibi anlamlara gelen “aperion” kelimesini kullanmıştır. Ancak, sonsuzun matematiksel olarak kullanımına dair ilk örnekler Parmenides tarafından kurulan Elea okulunun bir üyesi olan Sokrates öncesi düşünür Elealı Zenon’a aittir. Aristoteles onu diyalektiğin mucidi olarak adlandırır. Asıl ünlü olduğu konu ise ’ın da belirttiği gibi ölçülemeyecek kadar akıllıca ve derin paradokslarıdır. Aristoteles’in geleneksel görüşü gereğince Helenistik dönemde potansiyel ve gerçek sonsuzu birbirinden ayırmayı tercih etmişlerdir. Örneğin, sonsuz sayıda asal sayı vardır demek yerine, Öklid, herhangi bir asal sayı grubunun içerdiği miktardan daha fazla sayıda asal sayı vardır demeyi tercih eder. (Elementler, Kitap IX)

Antik Hindistan

Hindistan’a ait olan bir Matematiksel yapıt olan tüm sayıları üç gruba ayırır. Bunlar: sayılabilir, sayılamaz ve sonsuzdur. Bu grupların her biri üç farklı alt gruba daha ayrılır.

• Sayılabilir: en düşük, ortalama, en yüksek.
• Sayısız: neredeyse sayısız, gerçekten sayısız ve çok büyük sayıda olduğundan dolayı sayısız.
• Sonsuz: neredeyse sonsuz, gerçekten sonsuz ve son derece sonsuz.

Bu sayı grupları kuramında iki tip sonsuz sayı birbirinden ayrılmıştır. Bu ayrım asaṃkhyāta (sayısız) ve ananta (sınırsız) yani kesin olarak sınırlandırılmış ve genel olarak sınırlandırılmış sonsuzlar arasındadır.

Matematik

Sonsuz Sembolü

Sonsuz sembolü (kelebek veya sekiz eğrisi diye de adlandırılır) sonsuzluğu ifade etmek için kullanılan matematiksel bir semboldür. Bu sembol, Unicode’da U+221E, LaTeX’te ise \infty olarak kodlanmıştır. İlk olarak 1655 yılında tarafından ortaya atılmıştır. Ortaya atıldığı günden beri matematik dışında modern mistisizm gibi matematik dışındaki alanlarda da kullanılmıştır.

Kalkülüs

Sonsuz küçük kalkülüsünün yaratıcılılarından biri olan Leibniz sonsuz sayılar ile oldukça ilgilenmiş ve matematikte kullanmıştır.

Gerçel Analiz

Gerçel analizde sonsuz işareti sınırsız limitleri göstermek için kullanılır. ${\displaystyle x\rightarrow \infty }$ ifadesi x 'in herhangi bir sınırı olmadan büyüdüğünü, ${\displaystyle x\to -\infty }$ ifadesi İse x’in herhangi bir sınırı olmadan azaldığını gösterir. Eğer her t değeri için f(t) ≥ 0 ise,

• ${\displaystyle \int _{a}^{b}\,f(t)\ dt\ =\infty }$ ifadesi f(t)’nin .${\displaystyle a}$ ve ${\displaystyle b}$ arasında herhangi bir alanı sınırlandırmadığını gösterir.
• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\,f(t)\ dt\ =\infty }$ ifadesi f(t)’nin altında kalan alanın sonsuz olduğunu gösterir.
• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\,f(t)\ dt\ =a}$ ifadesi f(t)’nin altında kalan alanın sınırlı ve ${\displaystyle a}$’ya eşit olduğunu gösterir.

Sonsuz aynı zamanda sonsuz serileri gösterirken de kullanılır.

• ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }\,f(i)=a}$ ifadesi, bu sonsuz serilerin toplamının ${\displaystyle a}$ gerçek değerine yakınsadığını gösterir.
• ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }\,f(i)=\infty }$ ifadesi, bu sonsuz serilerin toplamının ıraksadığını gösterir. Yani bu toplam herhangi bir sınır olmadan büyür.

Sonsuz, limit tanımlamanın dışında genişletilmiş gerçek sayılar kümesinde bir değer olarak da kullanılır. ${\displaystyle +\infty }$ ve ${\displaystyle -\infty }$ şeklinde gösterilen noktalar gerçek sayılar topolojik uzayına eklenebilir. Bu işlem bize genişletilmiş gerçek sayıları verir.

Karmaşık Analiz

Gerçel analizde olduğu gibi karmaşık analizde de ${\displaystyle \infty }$ sembolü sonsuz sembolü olarak kabul edilir ve işaretsiz bir sonsuz limiti ifade eder. ${\displaystyle x\rightarrow \infty }$ ifadesi, x’in büyüklüğünün ;${\displaystyle |x|}$ belirlenmiş bir değerin ötesine kadar büyüdüğünü gösterir.${\displaystyle \infty }$ olarak belirlenen nokta,karmaşık düzlemin tek noktada sıkıştırılmışını veren bir topolojik uzay olarak karmaşık düzleme eklenebilir. Bu işlem tamamlandığında elde edilen uzay tek boyutlu bir karmaşık katmanlı uzay ya da , genişletilmiş karmaşık yüzey ya da Riemann küresi olarak adlandırılır. Bu anlatılanlara benzer aritmetik işlemler genişletilmiş gerçek sayılar, işaretler için bir ayrım olmamasına rağmen, için de uygulanabilir. (sonsuz sayılar birbirine eklenemeyeceğinden tek istisna sonsuz sayılardadır.) Diğer taraftan, bu tip bir sonsuz sıfırdan farklı herhangi bir sayının sıfıra bölünmesiyle elde edilir. Örneğin sıfırdan farklı bir z sayısı için ${\displaystyle z/0=\infty }$ ifadesi sonsuz değerini verir. Bu yazıda meromorf işlevleri kutuplarda ${\displaystyle \infty }$ değerini alan Riemann küreleri için bir harita olarak düşünmek kolaylık sağlayabilir. Karmaşık değerli bir işlevin tanım kümesi sonsuz değerini alacak kadar da genişletilebilir. Bu tip işlevlere verilebilecek örnek grubudur.

Standart Dışı Analiz

Isaac Newton ve Gottfried Leibniz tarafından fomüle edilen sonsuz küçük kalkülüsünün orijinalinde sonsuz küçükler kullanılmıştır. 20. Yüzyılda bu tarz bir yaklaşımın ve de içeren çeşitli mantıksal sistemler boyunca sıkı bir temel oluşturabileceği gösterildi. sonsuz küçükler tersinirdir ve bunların tersinirleri sonsuz sayılardır. Bu açıdan bakıldığında sonsuz sayılar bir parçasıdır. Aralarında herhangi bir eşitlik yoktur. Örneğin H bir sonsuz sayı ise, H + H = 2H ve H + 1 farklı birer sonsuz sayıdır. Standart dışı kalkülüse bu yaklaşım tam olarak Keisler (1986)’de geliştirilmiştir.

Küme Kuramı

Sonsuz küme ve öz alt küme arasındaki birebirlik özelliği

Sonsuzun diğer farklı şekilleri olan sıral ve nicel sonsuzlar küme kuramındaki sonsuzlardır. Georg Cantor ilk sonlu ötesi alef-sıfır ${\displaystyle (\aleph _{0})}$ olan bir sonlu ötesi sistemi geliştirmiştir. Nicel sonsuzlara dair bu modern matematiksel görüş 19. Yüzyılın sonlarında Cantor, Gottlob Frege, Richard Dedekind ve diğerlerinin çalışmalarıyla ve grup ve kümelere dair fikirleriyle gelişmiştir. Dedekind’ın yaklaşımı temelde fikrini kümelerin boyutunu belirlemede standart olarak benimseyip, Galile’nin bütün, parçalar ile aynı boyutlarda olamaz görüşünü reddetmeye dayanır. Bir sonsuz küme en azından kendisinin alt kümelerinden biri ile aynı boyuta sahip olan bir küme olarak tanımlanabilir. Sonsuzun bu tanımı olarak bilinir. Verilen şema bu konuya bir örnek teşkil etmektedir: Doğruları sonsuz noktalar kümesi olarak düşündüğümüzde alttaki mavi doğrunun sol yarısı, yukarıdaki doğruya birebir şeklinde gösterilebilir. (Yeşil benzerlik çizgiler ile.) ve tersi yapıldığında, yukarıdakinden aşağıdaki mavi doğrunun tamamına, (Kırmızı benzerlik çizgileri ile) aşağıdaki mavi doğrunun tamamı ve sol yarısı aynı niceliğe ya da boyuta sahiptir. Cantor, sıral sayılar ve nicel sayılar olmak üzere iki farklı sonsuz sayı tanımlamıştır. Sıral sayılar, iyi-sıralı kümeler veya saymanın sonsuzdan sonraki noktaları da içeren herhangi bir durma noktasına kadar devam eden sayılar şeklinde tanımlanabilir. Nicel sayılar kümelerin boyutunu, kaç elemana sahip olduklarını, belirler ve belirli bir boyutun ilk sıral sayısının o boyutun nicel sayısını belirtmek için seçilmesi ile standartlaştırılırlar. En küçük sıral sonsuz pozitif tam sayılardır ve tam sayıların niceliğine sahip herhangi bir küme sayılabilir sonsuzdur. Eğer küme pozitif tam sayılarla birebir benzeşme yapmak için çok büyükse sayılamaz denir. Canton’un görüşü etkili oldu ve modern matematik gerçek sonsuzu kabul etti. gibi belirli genişletilmiş sayı sistemleri sonlu sayıları ve farklı boyutlardaki sonsuz sayıları kapsar.

Sürekliliğin Niceliği

Cantor’un ulaştığı en önemli sonuçlardan biri de sürekliliğin niceliği ${\displaystyle \mathbf {c} }$’nin doğal sayılarınkinden ${\displaystyle {\aleph _{0}}}$ büyük olmasıdır. Diğer bir deyişle doğal sayılardan N daha fazla gerçek sayı R vardır. Cantor bunu ${\displaystyle \mathbf {c} =2^{\aleph _{0}}>{\aleph _{0}}}$ şeklinde göstermiştir (bakınız Cantor'un köşegen yöntemi). Süreklilik hipotezi gerçek sayıların niceliği ile doğal sayıların niceliği arasında bir nicel sayı olmadığını söyler. Yani, ${\displaystyle \mathbf {c} =\aleph _{1}=\beth _{1}}$. Ancak bu hipotez yaygın olarak kabul görmüş ile ne kanıtlanabilir ne de yanlışlığı ortaya konulabilir. Nicel aritmetik sadece gerçek sayı doğrusundaki noktaların sayısının bu doğrudaki herhangi bir bölmedeki noktaların sayısına eşit olduğunu göstermek için kullanılmaz. Aynı zamanda bu, sonlu boyutlu herhangi bir uzaydaki bir düzlemdeki noktaların sayısının da eşit olduğunu belirtir.

Tek boyutlu bir çizgide iki boyutlu bir karedeki ile aynı sayıda nokta olduğunu gösteren fraktal yapının ilk üç adımı.

Bu sonuçların ilki (−π/2, π/2) Aralığı ve R arasında birebir benzeşme gösteren bir tanjant işlevi düşünüldüğünde aşikârdır. İkinci sonuç Cantor tarafından 1878’de kanıtlandı ancak 1980’de Giuseppe Peano boşluk dolduran eğrileri, dönüşler ve çeşitli bükülmeler sonucunda herhangi bir kareyi küpü ya da hiperküpü ya da sonlu boyutu olan bir uzayı dolduracak hale gelen eğri çizgiler, ortaya attığında sezgisel olarak anlaşılabilecek şekilde aşikâr oldu. Bu çizgiler bir karenin herhangi bir kenarındaki noktalar ile içindeki noktalar arasında birebir benzeşme kurmak için kullanılabilir.

Geometri ve Topoloji

Sonsuz boyutlu uzaylar geometri ve topolojide çokça kullanılmaktadır. Buna verilebilecek en yaygın örnekler sonsuz boyutlu karmaşık izdüşümsel uzay K(Z,2) ve sonsuz boyutlu karmaşık gerçek uzay K(Z/2Z,1) dir.

Fraktallar

Fraktal bir cismin yapısı temel olarak tekrarlanarak büyültme ile oluşur. Fraktallar yapıları bozulmadan sınırsız miktarda büyütülebilir ve düzgün hale gelirler. Çevre uzunlukları sonsuzdur ancak bazı fraktal cisimlerin sonsuz uzunlukta çevreleri olmasına rağmen sonlu miktarda yüzey alanları vardır. Sonsuz çevresi ve sonlu yüzey alanı olan bu tip fraktal eğrilere örnek olarak Koch kar tanesi örnek olarak gösterilebilir.

Sonsuzsuz Matematik

Leopold Kronecker sonsuz kavramına ve 1870 ve 1880lerde onu kullanan meslektaşlarına karşı şüphe ile yaklaştı. Matematik felsefesinde geliştirilen bu şüphecilik finitizm matematikte sadece sonlu kavramların varlığını kabul eden olarak adlandırıldı. Finitizm, oluşturmacı matematik ve sezgici matematiğin uç halidir.

Fizik

Fizikte, gerçek sayılar sürekli ölçümler için, doğal sayılar ise sayılabilir ölçümler için kullanılır. Bundan dolayı, ölçülemez miktarların sonsuz değere sahip olduğu fizikçiler tarafından kabul görmüştür. Örneğin, genişletilmiş gerçek sayılar sisteminde bir sonsuz değeri almak ya da sonsuz sayıdaki olayların sayılması. Ayrıca herhangi bir cismin sonsuz kütleye ya da enerjiye sahip olamayacağı farz edilir. Bir diğer yandan bazı sonsuz kavramların varlığı kabul edilir ancak bunlara dair deneysel bir bilgi yoktur.

Fiziksel Sonsuzun Kuramsal Uygulamaları

Ölçülebilir miktarlar için sonsuz değerleri reddetmek fikri ideolojik nedenlerden ötürü ortaya çıkan bir fikir değildir. Daha çok metodolojik ve faydacı görüşlerden dolayı ortaya çıkmıştır. Herhangi bir fiziksel veya bilimsel kuramın gerekliliklerinden biri gerçekle uyuşan ya da en azından benzerlik gösteren kullanılabilir bir formül üretmesidir. Örneğin, sonsuz kütleye sahip bir cismin var olması. Bu cismin Kütleçekim kuvvetini hesaplamaya yönelik kullanılacak her formülün sonucu sonsuz çıkacaktır ve bu sonuç cismin yerini veya diğer cisimlerin kütlesini yok sayarak yine aynı çıkacaktır ve hiçbir fayda sağlamayacaktır. Eğer sonsuz kütleli bir cisim var olsaydı, sonlu kütleye sahip herhangi bir cisim diğer cismin uygulayacağı sonsuz kuvvetten (ve bundan dolayı ivmeden) etkilenecekti. Bu tip bir olayı gerçekte gözlemlemek imkânsızdır. Bazen kuramdan elde edilen sonsuz sonucu kuramın yetersiz kaldığı ya da başarısız olduğu noktaya yaklaştığının göstergesi olabilir. Bu durum kuramın kısıtlamalarını belirlemede yardımcı olur.

Bu bakış açısı sonsuzun fizikte kullanılamayacağı anlamına gelmez. Kolaylık olsun diye genelde hesaplamalarda, denklemlerde, kuramlarda, yaklaşımlarda sonsuz seriler, sınırsız işlevler vb. kullanılır ve sonsuz miktarlarla işlemler de yapılır. Ancak fizikçiler elde edilen sonucun fiziksel olarak anlamlı olmasına gerek duyar. Kuantum kuramında sonsuz değere ulaşan sonuçlar fiziksel bir anlamı olması için yorumlanır. Bu sürece yeniden boyutlandırım adı verilir.

Ancak, sonucun sonsuz olduğu bazı kuramsal durumlar da vardır. Bu duruma kara delikleri tarif ederken kullanılan aykırılık örnek olarak verilebilir. Genel görelilik kuramındaki bazı denklemlerin çözümleri boyutsuz ve sonlu kütleli bu nedenle de sonsuz yoğunluğa sahip cisimlerin var olmasına izin verir. Bu matematiksel aykırılık denilen duruma ya da fiziksel kuramın çöktüğü yere bir örnektir. Bu fiziksel sonsuzların var olduğunu göstermez, daha çok kuramın bu tip durumları doğru açıklayamadığını gösterir. Diğer iki örnek ise ters kare kuvvet kanunları olan Newton’un çekim kuvveti yasası ve Coulomb’un elektrostatik yasasıdır. r=0 durumunda bu denklemler sonsuz değerini verir.

Kozmoloji

1584’te İtalyan filozof ve astronom olan Giordano Bruno “On the Infinite Universe and Worlds” (Sonuz Evren ve Dünyalar) adlı eserinde “ Sayılamayacak kadar çok güneş vardır ve sayılamayacak kadar dünya bunların etrafında bizim güneşimiz etrafında dönen yedi gezegen gibi dönmektedir. Canlılar bu dünyalar üzerinde yaşamlarını sürdürmektedir.” Şeklinde açıklayarak sonsuz evren fikrini ortaya atmıştır Kozmologlar uzun süre boyunca sonsuzun fiziksel dünyamızda var olup olmadığını keşfetmek için uğraştılar: “Sonsuz sayıda yıldız var mı? Evrenin sonlu bir hacmi var mı? Uzay sonsuza kadar devam mı ediyor?” gibi ucu açık sorularla bu konu üzerinde çalışmışlardır. Dikkat edilmesi gereken bir nokta ise sonsuz olmanın mantıken sınırı olmamaktan farklı şeyler olduğudur. Dünya’nın iki boyutlu yüzeyi sonludur ama sınırı yoktur. Düz bir doğru boyunca gidilirse sonuçta başlangıç noktasına geri dönülür. Evren de, en azından prensipte, bu tip benzer bir topolojiye sahip olabilir. Eğer öyleyse, evren boyunca düz bir çizgide ilerleyen birisi en sonunda başlangıç noktasına geri dönecektir. Diğer bir açıdan, eğer evren bir küre gibi eğrilmek yerine düz bir topolojiye sahipse hem sınırsız hem de sonsuz olabilir. Evrenin eğriliği kozmik arka plan ışımasındaki çok kutuplu momentler sayesinde ölçülür. WMAP uzay aracının kaydettiği ışıma analizleri evrenin düz bir topolojiye sahip olduğunun işaretlerini vermektedir. Bu durum sonsuz fiziksel evren ile tutarlı olacaktır. 2009’da fırlatılan Planck adlı uzay aracının bu kozmik ışımaları 10 kat daha hassas şekilde kaydetmesi ve evrenin sonsuz olup olmadığı konusunda daha fazla fikir edinilmesine yardımcı olması bekleniyor. Sonsuzluk fikri, astrofizikçi Michio Kaku tarafından açıklanan çoklu evren hipotezine kadar uzanmaktadır. Bu hipoteze göre birçok sayıda ve çeşitlilikte evrenler bulunmaktadır.

Mantık

Mantıkta sonsuz gerileme savı “ bir tezin hatalı olduğunu gösteren felsefi bir sav” olarak görülür çünkü “ Var olan bir sonsuz seri olsa da olmasa da bu sav sonsuz bir seri yaratır ve tezin sahip olduğu görevi (örn. Doğrulama) azaltır.”

Bilgisayar

Kayan standardı (IEEE 754) ve değerlerini açıkça belirtir. Bunlar aritmetik taşma, sıfıra bölme ve diğer istisnai işlemlerin sonucu olarak tanımlanmıştır.

Java ve J gibi bazı programlama dilleri kullanıcıya pozitif ve negatif sonsuz değerlerine dil sabiti olarak erişim izni verir. Bunlar en büyük ve en küçük elemanlar, kendilerinden büyük ve küçük olanlarla karşılaştırıldığında, olarak kullanılabilir. Pencereleme, arama ve sınıflandırma algoritmalarında başlangıç ve bitiş değerleri olarak kullanışlıdırlar.

En büyük ve en küçük elemanlara sahip olmayan ama ilişki operatörünün aşırı yüklenmesine izin veren dillerde programcı en büyük ve en küçük elemanları yaratabilir. Programın ilk durumunda bu tip değerlere izin vermeyen ama kayan nokta işaretçilerini uygulayan dillerde sonsuz değerleri belirli işlemlerin sonucu olarak hala ulaşılabilir ve kullanılabilir olabilir.

Sanat ve Kavramsal Bilimler

Sonsuzluk metaforunu kullanan çalışma

Perspektif sanatı, gözlemciden sonsuz uzaklıkta bulunan hayali bir kaybolma veya sonsuz noktası kullanır. Bu, sanatçıya mesafeleri, cisimleri ve resimdeki uzayı gerçekçi bir şekilde betimleme imkânı tanır. Sanatçı M. C. Escher sonsuzluğu eserlerinde bahsedilen ve diğer şekillerde kullanmasıyla ünlüdür.

Kavramsal bilimci George Lakoff matematik ve bilimdeki sonsuz kavramını bir metafor olarak görür. Bu görüş sürekli artan sıra olarak tanımlanan temel sonsuz metaforu (İng. BMI) üzerine kurulmuştur. Ayrıca sonsuz sembolü sonsuz aşkı simgelemek için de kullanılmıştır. Birçok takı türü bu amaçla sonsuz sembolü şeklinde üretilmiştir.