Akışkanlar dinamiği alanında sürükleme katsayısı genellikle cd displaystyle c mathrm d cx displaystyle c x veya

Akışkanlar dinamiği alanında, sürükleme katsayısı (genellikle $c_{\mathrm {d} }$ , $c_{x}$ veya $c_{\rm {w}}$ olarak gösterilir), bir nesnenin hava veya su gibi bir akışkan ortamında maruz kaldığı sürükleme veya direnç miktarını belirlemek için kullanılan bir boyutsuz niceliktir. Sürükleme denkleminde kullanılır ve daha düşük bir sürükleme katsayısı, nesnenin daha az aerodinamik veya hidrodinamik sürüklemeye sahip olacağını ifade eder. Sürükleme katsayısı her zaman belirli bir yüzey alanına bağlı olarak değerlendirilir.

Reynolds sayısı yaklaşık 10⁴ olan akışkanlarda sürükleme katsayıları Şekiller aynı projeksiyonlu ön alana sahiptir

Herhangi bir nesnenin sürükleme katsayısı, akışkan dinamiği sürüklemesine katkıda bulunan iki temel bileşenin etkilerini içerir: (İng. skin friction) ve (İng. form drag). Kaldırıcı bir kanat profili veya hidrofilin sürükleme katsayısı, ayrıca kaldırma kaynaklı sürükleme (İng. lift-induced drag) etkilerini de içerir. Bir uçak gibi komple bir yapının sürükleme katsayısı, aynı zamanda etkileşim sürüklemesi (İng. interference drag) etkilerini de içerir.

Tanım

10⁴ ile 10⁶ arasındaki Reynolds sayılarında, soldan sağa akış ile aynı projeksiyonlu ön alana sahip 2D şekiller (sağ sütun) ve 3D şekillerin (sol sütun) sürükleme katsayıları tablosu.

Sürükleme katsayısı $c_{\mathrm {d} }$ şu şekilde tanımlanır:

$c_{\mathrm {d} }={\dfrac {2F_{\mathrm {d} }}{\rho u^{2}A}}$

burada:

$F_{\mathrm {d} }$ , tanım gereği akış hızı yönündeki kuvvet bileşeni olan sürükleme kuvvetidir;
$\rho$ , akışkanın kütle yoğunluğudur;
$u$ , nesnenin akışkana göre akış hızıdır;
$A$ , referans alandır.

Referans alanı, hangi tür sürükleme katsayısının ölçüldüğüne bağlı olarak değişir. Otomobiller ve birçok diğer nesne için referans alanı, aracın projeksiyonlu ön alanıdır. Bu, kesit alanının nereden alındığına bağlı olarak aracın kesit alanı olmak zorunda değildir. Örneğin, bir küre için $A=\pi r^{2}$ eşittir (bu, yüzey alanı olan $4\pi r^{2}$ değildir).

Kanat profilleri için referans alanı nominal kanat alanıdır. Bu alan, genellikle ön alana kıyasla büyük olduğundan, ortaya çıkan sürükleme katsayıları, aynı sürükleme kuvveti, ön alan ve hız değerlerine sahip bir arabaya göre oldukça düşük olur.

Zeplinler ve bazı dönel cisimler için hacimsel sürükleme katsayısı kullanılır ve referans alanı, zeplin hacminin karesidir. Suya batmış akıcı şekilli cisimler ise ıslak yüzey alanını referans alır.

Aynı referans alanına sahip ve bir akışkan içinde aynı hızda hareket eden iki nesne, sürükleme katsayılarına orantılı bir sürükleme kuvvetine maruz kalır. Akıcı şekilli olmayan nesnelerin sürükleme katsayıları 1 veya daha fazla olabilirken, akıcı şekilli nesnelerin katsayıları çok daha düşük değerlerde olur.

Yukarıda belirtilen sürükleme katsayısının geleneksel tanımı olmasına rağmen, literatürde başka tanımlarla da karşılaşılabileceği unutulmamalıdır. Bunun nedeni, geleneksel tanımın en anlamlı olduğu yerin Newton rejimi olmasıdır; bu, yüksek Reynolds sayısında meydana gelen durumlardır ve bu durumda sürüklemeyi nesnenin ön alanına giren momentum akısına göre ölçeklendirmek mantıklıdır. Ancak, başka akış rejimleri de bulunmaktadır. Özellikle çok düşük Reynolds sayısında, sürükleme kuvvetini nesnenin hızının karesi yerine, hızı ile çarpılan bir sürükleme katsayısı ile orantılı olarak yazmak daha doğaldır. Böyle bir rejimin bir örneği, aerosol partiküllerinin, örneğin duman partiküllerinin, hareketliliğinin incelenmesidir. Bu durum, elbette, "sürükleme katsayısı"nın farklı bir resmi tanımına yol açar.

Cauchy momentum denklemi

Cauchy momentum denkleminin boyutsuz formunda, yüzey sürükleme katsayısı veya yüzey sürtünme katsayısı (İng. skin-friction coefficient) sürükleme kuvvetine dik alan referans alınarak ifade edilir ve bu nedenle katsayı yerel olarak şu şekilde tanımlanır:

$c_{\mathrm {d} }={\dfrac {\tau }{q}}={\dfrac {2\tau }{\rho u^{2}}}$

burada:

$\tau$ , yerel kayma gerilmesi olup, tanım gereği yerel akış hızı yönündeki gerilme bileşenidir;
$q$ , akışkanın yerel ;
$\rho$ , akışkanın yerel kütle yoğunluğudur;
$u$ , akışkanın yerel akış hızıdır.

Arka plan

Bir plaka etrafındaki akışı gösteren durgunluk noktası. Üst yapıdaki kuvvet şu şekildedir
$F={\frac {1}{2}}\rho u^{2}A$
ve alt yapıdaki kuvvet
$F_{d}={\tfrac {1}{2}}\rho u^{2}c_{d}A$

Sürükleme denklemi

F_{\rm {d}}={\tfrac {1}{2}}\rho u^{2}c_{\rm {d}}A

temelde, herhangi bir nesne üzerindeki sürükleme kuvvetinin, akışkanın yoğunluğu ve nesne ile akışkan arasındaki göreceli akış hızının karesi ile orantılı olduğunu ifade eder. $1/2$ faktörü, akışkanın gelir ve bu, kinetik enerji yoğunluğuna eşittir.

$c_{\mathrm {d} }$ değeri sabit değildir ve akış hızı, akış yönü, nesnenin konumu, nesne boyutu, akışkan yoğunluğu ve akışkanın viskozitesi gibi faktörlere bağlı olarak değişir. Hız, kinematik viskozite ve nesnenin karakteristik , Reynolds sayısı $\mathrm {Re}$ olarak adlandırılan boyutsuz bir büyüklükte birleştirilir. Böylece $c_{\mathrm {d} }$ , $\mathrm {Re}$ 'nin bir fonksiyonudur. Sıkıştırılabilir bir akışta, ses hızı önemli olup $c_{\mathrm {d} }$ aynı zamanda Mach sayısı $\mathrm {Ma}$ 'nın da bir fonksiyonudur.

Belirli cisim şekilleri için, sürükleme katsayısı $c_{\mathrm {d} }$ yalnızca Reynolds sayısı $\mathrm {Re}$ , Mach sayısı $\mathrm {Ma}$ ve akış yönüne bağlıdır. Düşük Mach sayılarında $\mathrm {Ma}$ , sürükleme katsayısı Mach sayısından bağımsızdır. Ayrıca, Reynolds sayısı $\mathrm {Re}$ ile pratik bir ilgi aralığında değişim genellikle küçüktür, otoyol hızındaki arabalar ve seyir hızındaki uçaklar için gelen akış yönü de aşağı yukarı aynıdır. Bu nedenle, sürükleme katsayısı $c_{\mathrm {d} }$ genellikle sabit olarak kabul edilebilir.

Akıcı şekilli bir cismin düşük sürükleme katsayısına ulaşması için, cismin etrafındaki mümkün olduğunca uzun süre yüzeye yapışık kalmalı ve bu da (İng. wake) dar olmasına neden olmalıdır. Yüksek şekil sürüklemesi (İng. form drag) geniş bir kuyruk oluşturur. Cismin etrafındaki akışın Reynolds sayısı yeterince büyükse, sınır tabaka laminerden türbulansa geçer. Daha yüksek hızlar, daha büyük cisimler ve daha düşük viskoziteler daha büyük Reynolds sayılarına katkıda bulunur.

Laboratuvar deneylerinden elde edilen Reynolds sayısının Re bir fonksiyonu olarak bir kürenin sürükleme katsayısı C_d. Koyu çizgi, pürüzsüz yüzeye sahip bir küre için, açık çizgi ise pürüzlü yüzey için. Çizgi boyunca sayılar, birkaç akış rejimini ve sürükleme katsayısındaki değişiklikleri belirtir:
•2: yapışık akış (Stokes akışı) ve ayrılmış akış,
•3: ayrılmış kararsız akış, ayırma noktasının yukarısında laminer akış olan ve bir (İng. *vortex street*) üreten akış,
•4: ayrılmadan önce yukarı akış tarafında laminer sınır tabakası ile ayrılmış kararsız akış, kürenin arkasında kaotik türbülanslı kuyruk,
•5: kritik nokta sonrası türbülanslı sınır tabakası ile ayrılmış akış.

Küçük parçacıklar gibi diğer nesneler için, sürükleme katsayısı $c_{\mathrm {d} }$ 'nin sabit olduğunu varsaymak artık mümkün değildir; kesinlikle Reynolds sayısının bir fonksiyonudur.

Düşük Reynolds sayısında, cismin etrafındaki akış türbülansa geçmez, yüzeyden ayrıldığı noktaya kadar laminer kalır. Çok düşük Reynolds sayılarında, akış ayrılmadan, sürükleme kuvveti $F_{\mathrm {d} }$ $v^{2}$ yerine $v$ ile orantılıdır; bir küre için bu olarak bilinir. Küçük cisimler, düşük hızlar ve yüksek viskoziteli akışkanlar için Reynolds sayısı düşük olacaktır.

Tüm akışkanın cisme çarptığı ve cismin tüm ön yüzeyinde (İng. stagnation pressure) oluşturduğu bir durumda $c_{\mathrm {d} }$ değeri 1 olurdu. Üstteki şekil, akışın sağdan geldiği ve plakada durduğu düz bir plakayı gösterir. Solundaki grafik, yüzey boyunca eşit basıncı gösterir. Gerçek bir düz plakada, akışkan kenarların etrafında dönmelidir ve tam durgunluk basıncı yalnızca merkezde bulunur, kenarlara doğru azalır. Yalnızca ön yüzeyi dikkate alırsak, gerçek bir düz plakanın $c_{\mathrm {d} }$ değeri 1'den küçük olur; bunun dışında, arka tarafta emiş olacaktır: negatif basınç (çevreye göre). Gerçek bir kare düz plakanın akışa dik genel $c_{\mathrm {d} }$ değeri genellikle 1.17 olarak verilir. Bazı şekiller için akış desenleri ve dolayısıyla $c_{\mathrm {d} }$ , Reynolds sayısı ve yüzeylerin pürüzlülüğü ile değişebilir.

Sürükleme katsayısı örnekleri

Genel

Genel olarak, $c_{\mathrm {d} }$ belirli bir cisim şekli için mutlak bir sabit değildir. Hava akış hızıyla (ya da daha genel olarak Reynolds sayısı $\mathrm {Re}$ ile) değişir. Örneğin, pürüzsüz bir kürenin $c_{\mathrm {d} }$ değeri, laminer akış için yüksek değerlerden türbülanslı akış için 0.47'ye kadar değişir. Sürükleme katsayısı $\mathrm {Re}$ arttıkça azalırken, sürükleme kuvveti artar.

c_d	Öğe
0.001	Akışa paralel laminer düz plaka ( $\mathrm {Re} <10^{6}$ )
0.005	Akışa paralel türbülanslı düz plaka ( $\mathrm {Re} >10^{6}$ )
0.1	Pürüzsüz küre ( $\mathrm {Re} =10^{6}$ )
0.47	Pürüzlü küre ( $\mathrm {Re} =10^{6}$ )
0.81	Üçgen trapez (45°)
0.9-1.7	Üçgen tabanlı trapez (45°)
0.295	Mermi (subsonik hızda, ojiv olmayan)
1.0–1.1	Kayakçı
1.0–1.3	Tel ve kablolar
1.0–1.3	Yetişkin insan (dik duruş)
1.1-1.3	Kayakla atlayıcı
1.28	Akışa dik düz plaka (3D)
1.3–1.5	Empire State Binası
1.8–2.0	Eiffel Kulesi
1.98–2.05	Akışa dik uzun düz plaka (2D)

Uçaklar

Yukarıda belirtildiği gibi, uçaklar $c_{\mathrm {d} }$ hesaplamalarında kanat alanlarını referans alan olarak kullanırken, otomobiller (ve birçok diğer nesne) projeksiyonlu ön alanı kullanır; dolayısıyla, bu araç sınıfları arasında katsayılar doğrudan karşılaştırılamaz. Havacılık endüstrisinde, sürükleme katsayısı bazen sürükleme birimleriyle (İng. drag count) ifade edilir; burada 1 = 0.0001 $c_{\mathrm {d} }$ ’dir.

c_d	Sürükleme birimi	Uçak türü
0.021	210	F-4 Phantom II (subsonik)
0.022	220	Learjet 24
0.024	240	Boeing 787
0.0265	265	Airbus A380
0.027	270	Cessna 172/182
0.027	270	Cessna 310
0.031	310	Boeing 747
0.044	440	F-4 Phantom II (süpersonik)
0.048	480	F-104 Starfighter

Otomobil

Künt ve akıcı şekilli cisim akışları

Kavram

Bir akışkan ve bir cisim arasındaki kuvvet, göreceli hareket olduğunda, yalnızca normal basınç ve teğetsel sürtünme gerilmeleriyle iletilebilir. Dolayısıyla, tüm cisim için, yaklaşan akışkan hareketi ile aynı doğrultuda olan kuvvetin sürükleme bileşeni, sürtünme sürüklemesi (viskoz sürükleme, İng. frictional drag/viscous drag) ve basınç sürüklemesinden (şekil sürüklemesi, İng. pressure drag/form drag) oluşur. Toplam sürükleme ve bileşen sürükleme kuvvetleri şu şekilde ilişkilendirilebilir:

${\begin{aligned}c_{\mathrm {d} }&={\dfrac {2F_{\mathrm {d} }}{\rho v^{2}A}}\\&=c_{\mathrm {p} }+c_{\mathrm {f} }\\&=\underbrace {{\dfrac {2}{\rho v^{2}A}}\displaystyle \int _{S}\mathrm {d} S(p-p_{o})\left({\hat {\mathbf {n} }}\cdot {\hat {\mathbf {i} }}\right)} _{c_{\mathrm {p} }}+\underbrace {{\dfrac {2}{\rho v^{2}A}}\displaystyle \int _{S}\mathrm {d} S\left({\hat {\mathbf {t} }}\cdot {\hat {\mathbf {i} }}\right)T_{\rm {w}}} _{c_{\mathrm {f} }}\end{aligned}}$

burada:

$A$ , cismin planform alanı,
$S$ , cismin ıslak yüzey alanı,
$c_{\mathrm {p} }$ , basınç sürükleme katsayısı,
$c_{\mathrm {f} }$ , sürtünme sürükleme katsayısı,
${\hat {\mathbf {t} }}$ , cismin yüzeyindeki kayma gerilmesi yönündeki birim vektör,
${\hat {\mathbf {n} }}$ , akışkandan katıya doğru işaret eden, cismin yüzeyine dik yöndeki birim vektör,
$T_{\mathrm {w} }$ , cismin yüzeyindeki kayma gerilmesi büyüklüğü,
$p_{\mathrm {o} }$ , cisimden uzak mesafedeki basınç (bu sabit nihai sonucu etkilemez),
$p$ , yüzeydeki dS basıncı,
${\hat {\mathbf {i} }}$ , serbest akış yönündeki birim vektör.

Bu nedenle, sürükleme sürtünme bileşeni tarafından baskın olduğunda, cisim akıcı şekilli cisim olarak adlandırılır; baskın basınç sürüklemesi durumunda ise, cisim künt cisim olarak adlandırılır. Böylece, cismin şekli ve hücum açısı sürükleme türünü belirler. Örneğin, bir kanat profili, üzerinden geçen akışkan tarafından küçük bir hücum açısına sahip bir cisim olarak kabul edilir. Bu, daha az basınç sürüklemesi üreten yapışık sahip olduğu anlamına gelir.

Sıfır kaldırma sürüklemesi ile kaldırma kaynaklı sürükleme arasındaki denge ilişkisi

Üretilen (İng. wake) çok küçüktür ve sürükleme, sürtünme bileşeni tarafından baskın hale gelir. Bu nedenle, böyle bir cisim (burada bir kanat profili), akıcı şekilli olarak tanımlanırken, yüksek hücum açısında akışkan akışına sahip cisimlerde sınır tabakası ayrılması meydana gelir. Bu, genellikle kanat profilinin üst ve arka kısımlarında ters nedeniyle meydana gelir.

Bu nedenle kuyruk oluşumu meydana gelir ve bu da girdap oluşumuna ve basınç sürüklemesi nedeniyle basınç kaybına yol açar. Böyle durumlarda, kanat profili stall olur ve sürtünme sürüklemesinden daha yüksek basınç sürüklemesine sahip olur. Bu durumda cisim künt cisim olarak tanımlanır.

Akıcı şekilli bir cisim, bir balık (ton balığı) vb. veya küçük hücum açısına sahip bir kanat profili gibi görünürken, künt bir cisim bir tuğla, bir silindir veya yüksek hücum açısına sahip bir kanat profili gibi görünür. Belirli bir ön alan ve hız için, akıcı şekilli bir cisim, künt bir cisme göre daha düşük dirence sahip olacaktır. Silindirler ve küreler, yüksek Reynolds sayısında kuyruk bölgesindeki basınç bileşeninin baskın olması nedeniyle künt cisimler olarak kabul edilir.

Bu sürüklemeyi azaltmak için ya akış ayrılmasını azaltabilir ya da akışkanla temas eden yüzey alanını (sürtünme sürüklemesini azaltmak için) azaltabiliriz. Bu azalma, titreşim ve gürültü üretimini önlemek için arabalar, bisikletler vb. cihazlarda gereklidir.

Ayrıca bakınız

Notlar

^ Baker, W.E. (1983). Explosion Hazards and Evaluation, Volume 5. Elsevier Science. ISBN . 4 Ekim 2022 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 26 Mayıs 2024.
^ AARØNÆS, ANTON STADE (2014). Dynamic response of pipe rack steel structures to explosion loads (PDF). CHALMERS UNIVERSITY OF TECHNOLOGY. 4 Şubat 2023 tarihinde kaynağından (PDF). Erişim tarihi: 26 Mayıs 2024.
^ McCormick, Barnes W. (1979). Aerodynamics, Aeronautics, and Flight Mechanics. New York: John Wiley & Sons, Inc. s. 24. ISBN .
^ Clancy, L. J. (1975). "5.18". Aerodynamics. Wiley. ISBN .
^ , and Von Doenhoff, Albert E.: Theory of Wing Sections. Sections 1.2 and 1.3
^ "Modern Drag Equation". Wright.nasa.gov. 25 Mart 2010. 2 Mart 2011 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 7 Aralık 2010.
^ Clancy, L. J.: Aerodynamics. Section 11.17
^ Hoerner, Sighard F. (1965). Fluid-Dynamic Drag : Practical Information on Aerodynamic Drag and Hydrodynamic Resistance. 2. s. 3–17.
^ ^a ^b Bakınız kaldırma kuvveti ve akış yönüne dik kuvvet bileşenleri için olası açıklamalardır
^ ^a ^b Dünya atmosferi için hava yoğunluğu kullanılarak bulunabilir. Hava, 0°C'de ve 1 atmosfer basınçta 1.293 kg/m³ yoğunluğa sahiptir.
^ Clancy, L. J.: Aerodynamics. Sections 4.15 and 5.4
^ ^a ^b Clancy, L. J.: Aerodynamics. Section 4.17
^ Clift R., Grace J. R., Weber M. E.: Bubbles, drops, and particles. Academic Press NY (1978).
^ Briens C. L.: Powder Technology. 67, 1991, 87-91.
^ Haider A., Levenspiel O.: Powder Technology. 58, 1989, 63-70.
^
^ "Drag Coefficient". Engineeringtoolbox.com. 4 Aralık 2010 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 7 Aralık 2010.
^ "Shape Effects on Drag". NASA. 16 Şubat 2013 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 11 Mart 2013.
^ Basha, W. A. and Ghaly, W. S., "Drag Prediction in Transitional Flow over Airfoils," Journal of Aircraft, Vol. 44, 2007, p. 824–32.
^ "Ask Us – Drag Coefficient & Lifting Line Theory". Aerospaceweb.org. 11 Temmuz 2004. 13 Aralık 2010 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 7 Aralık 2010.
^ "Boeing 787 Dreamliner : Analysis". Lissys.demon.co.uk. 21 Haziran 2006. 13 Ağustos 2010 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 7 Aralık 2010.
^ "Airbus A380" (PDF). 2 Mayıs 2005. 23 Eylül 2015 tarihinde kaynağından (PDF). Erişim tarihi: 6 Ekim 2014.

Kaynakça

(1975): Aerodynamics. Pitman Publishing Limited, London,
Abbott, Ira H., and Von Doenhoff, Albert E. (1959): Theory of Wing Sections. Dover Publications Inc., New York, Standard Book Number 486-60586-8
Hoerner, Dr. Sighard F., Fluid-Dynamic Drag, Hoerner Fluid Dynamics, Bricktown New Jersey, 1965.
Bluff Body:
Drag of Blunt Bodies and Streamlined Bodies: http://www.princeton.edu/~asmits/Bicycle_web/blunt.html
Hucho, W.H., Janssen, L.J., Emmelmann, H.J. 6(1975): The optimization of body details-A method for reducing the aerodynamics drag. SAE 760185.

[1] Baker, W.E. (1983). Explosion Hazards and Evaluation, Volume 5. Elsevier Science. ISBN . 4 Ekim 2022 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 26 Mayıs 2024.

[2] AARØNÆS, ANTON STADE (2014). Dynamic response of pipe rack steel structures to explosion loads (PDF). CHALMERS UNIVERSITY OF TECHNOLOGY. 4 Şubat 2023 tarihinde kaynağından (PDF). Erişim tarihi: 26 Mayıs 2024.

[3] McCormick, Barnes W. (1979). Aerodynamics, Aeronautics, and Flight Mechanics. New York: John Wiley & Sons, Inc. s. 24. ISBN .

[4] Clancy, L. J. (1975). "5.18". Aerodynamics. Wiley. ISBN .

[5] , and Von Doenhoff, Albert E.: Theory of Wing Sections. Sections 1.2 and 1.3

[6] "Modern Drag Equation". Wright.nasa.gov. 25 Mart 2010. 2 Mart 2011 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 7 Aralık 2010.

[7] Clancy, L. J.: Aerodynamics. Section 11.17

[8] Hoerner, Sighard F. (1965). Fluid-Dynamic Drag : Practical Information on Aerodynamic Drag and Hydrodynamic Resistance. 2. s. 3–17.

[ReferenceA-9] Bakınız kaldırma kuvveti ve akış yönüne dik kuvvet bileşenleri için olası açıklamalardır

[ReferenceB-10] Dünya atmosferi için hava yoğunluğu kullanılarak bulunabilir. Hava, 0°C'de ve 1 atmosfer basınçta 1.293 kg/m³ yoğunluğa sahiptir.

[11] Clancy, L. J.: Aerodynamics. Sections 4.15 and 5.4

[Clancy_4.17-12] Clancy, L. J.: Aerodynamics. Section 4.17

[13] Clift R., Grace J. R., Weber M. E.: Bubbles, drops, and particles. Academic Press NY (1978).

[14] Briens C. L.: Powder Technology. 67, 1991, 87-91.

[15] Haider A., Levenspiel O.: Powder Technology. 58, 1989, 63-70.

[16] ^

[tool-17] "Drag Coefficient". Engineeringtoolbox.com. 4 Aralık 2010 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 7 Aralık 2010.

[18] "Shape Effects on Drag". NASA. 16 Şubat 2013 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 11 Mart 2013.

[19] Basha, W. A. and Ghaly, W. S., "Drag Prediction in Transitional Flow over Airfoils," Journal of Aircraft, Vol. 44, 2007, p. 824–32.

[20] "Ask Us – Drag Coefficient & Lifting Line Theory". Aerospaceweb.org. 11 Temmuz 2004. 13 Aralık 2010 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 7 Aralık 2010.

[21] "Boeing 787 Dreamliner : Analysis". Lissys.demon.co.uk. 21 Haziran 2006. 13 Ağustos 2010 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 7 Aralık 2010.

[22] "Airbus A380" (PDF). 2 Mayıs 2005. 23 Eylül 2015 tarihinde kaynağından (PDF). Erişim tarihi: 6 Ekim 2014.