Wheeler-Feynman emme teorisi

Wheeler-Feynman emme teorisi, adını yaratıcıları olan fizikçiler Richard Feynman ve John Archibald Wheeler'dan alan Wheeler-Feynman soğurucu teorisi (Whelerer-Feynman zaman simetrisi teorisi olarak da adlandırılır), elektromanyetik alan denklemlerinin çözümlerinin şu varsayımdan türetilmiş bir elektrodinamiğin yorumudur: alan denklemlerinin kendileri gibi, zaman-ters dönüşüm altında değişmez olmalıdır. Gerçekten de, tercihli bir zaman yönünü öne çıkaran ve böylece geçmiş ile gelecek arasında bir ayrım yapan, zaman-ters simetrisinin kırılması için görünürde bir neden yoktur. Zamanın tersine çevrilmesiyle değişmeyen bir teori daha mantıklı ve zariftir. Bu yorumdan kaynaklanan ve Mach'ın Hugo Tetrode'a bağlı ilkesini hatırlatan bir diğer temel ilke, temel parçacıkların kendi kendine etkileşmediğidir. Bu, öz enerji sorununu hemen ortadan kaldırır.

T-simetrisi ve nedensellik

Zaman-tersine simetri gerekliliği, genel olarak, nedensellik ilkesiyle bağdaştırmak zordur. Maxwell denklemleri ve elektromanyetik dalgalar için denklemler genel olarak iki olası çözüme sahiptir: gecikmeli (gecikmeli) bir çözüm ve gelişmiş bir çözüm. Buna göre, herhangi bir yüklü parçacık, diyelim ki zaman zaman dalgalar üretir. ${\displaystyle t_{0}=0}$ ve nokta ${\displaystyle x_{0}=0}$, hangi noktaya varacak ${\displaystyle x_{1}}$ şu anda ${\displaystyle t_{1}=x_{1}/c}$ (Burada ${\displaystyle c}$ ışık hızıdır), emisyondan sonra (gecikmeli çözüm) ve aynı yere anında varacak diğer dalgalar ${\displaystyle t_{2}=-x_{1}/c}$, emisyondan önce (gelişmiş çözüm). Ancak ikincisi nedensellik ilkesini ihlal eder: gelişmiş dalgalar yayılmadan önce tespit edilebilir. Bu nedenle, elektromanyetik dalgaların yorumlanmasında gelişmiş çözümler genellikle göz ardı edilir. Soğurucu teorisinde bunun yerine yüklü parçacıklar hem yayıcı hem de soğurucu olarak kabul edilir ve emisyon süreci ile soğurma süreci şu şekilde bağlantılıdır: Hem yayıcıdan soğurucuya gecikmiş dalgalar hem de soğurucudan yayıcıya ilerlemiş dalgalar dikkate alınır. Bununla birlikte, ikisinin toplamı nedensel dalgalarla sonuçlanır, ancak nedensellik karşıtı (gelişmiş) çözümler a priori bir kenara atılmaz.

Feynman ve Wheeler bu sonucu çok basit ve zarif bir şekilde elde ettiler. Evrenimizde bulunan tüm yüklü parçacıkları (yayıcıları) dikkate aldılar ve hepsinin zamanı tersine çeviren simetrik dalgalar ürettiklerini varsaydılar. Ortaya çıkan alan

${\displaystyle E_{\text{tot}}(\mathbf {x} ,t)=\sum _{n}{\frac {E_{n}^{\text{ret}}(\mathbf {x} ,t)+E_{n}^{\text{adv}}(\mathbf {x} ,t)}{2}}.}$

${\displaystyle E_{\text{free}}(\mathbf {x} ,t)=\sum _{n}{\frac {E_{n}^{\text{ret}}(\mathbf {x} ,t)-E_{n}^{\text{adv}}(\mathbf {x} ,t)}{2}}=0}$

tutar, sonra ${\displaystyle E_{\text{free}}}$ homojen Maxwell denkleminin bir çözümü olan toplam alanı elde etmek için kullanılabilir

${\displaystyle E_{\text{tot}}(\mathbf {x} ,t)=\sum _{n}{\frac {E_{n}^{\text{ret}}(\mathbf {x} ,t)+E_{n}^{\text{adv}}(\mathbf {x} ,t)}{2}}+\sum _{n}{\frac {E_{n}^{\text{ret}}(\mathbf {x} ,t)-E_{n}^{\text{adv}}(\mathbf {x} ,t)}{2}}=\sum _{n}E_{n}^{\text{ret}}(\mathbf {x} ,t).}$

Toplam alan geciktirilir ve nedensellik ihlal edilmez.

Serbest alanın özdeş olarak sıfır olduğu varsayımı, soğurucu fikrinin özüdür. Bu, her bir parçacığın yaydığı radyasyonun, evrende bulunan diğer tüm parçacıklar tarafından tamamen soğurulduğu anlamına gelir. Bu noktayı daha iyi anlamak için soğurma mekanizmasının genel malzemelerde nasıl çalıştığını düşünmek faydalı olabilir. Mikroskobik ölçekte, gelen elektromanyetik dalganın ve dış pertürbasyona tepki veren malzemenin elektronlarından üretilen dalgaların toplamından kaynaklanır. Gelen dalga absorbe edilirse, sonuç sıfır giden bir alandır. Soğurucu teorisinde ise aynı kavram hem geciktirilmiş hem de ilerlemiş dalgaların varlığında kullanılır.

Ortaya çıkan dalga, nedenselliğe saygı duyduğu için tercih edilen bir zaman yönüne sahip gibi görünüyor. Ancak, bu sadece bir yanılsamadır. Gerçekten de, yayıcı ve soğurucu etiketlerini değiştirerek zaman yönünü tersine çevirmek her zaman mümkündür. Bu nedenle, görünüşte tercih edilen zaman yönü keyfi etiketlemeden kaynaklanır.

Alternatif olarak, Wheeler/Feynman'ın birincil denklemi bulma şekli şuydu: Lagrangian'larının yalnızca tek tek parçacıkların alanlarının uygun bir sıfır zamanı ile ayrıldığı zaman ve nerede etkileşime girdiğini varsaydılar. Bu nedenle, yalnızca kütlesiz parçacıklar emisyondan algılamaya sıfır uygun zaman ayrımı ile yayıldığı için, bu Lagrangian otomatik olarak elektromanyetik benzeri bir etkileşim gerektirir.

T-simetrisi ve kendi kendine etkileşim

Absorber teorisinin en önemli sonuçlarından biri, elektromanyetik radyasyon sürecinin zarif ve açık bir şekilde yorumlanmasıdır. Hızlanma yaşayan yüklü bir parçacığın elektromanyetik dalgalar yaydığı, yani enerji kaybettiği bilinmektedir. Bu nedenle, parçacık (F = M x A) için Newton denklemi, bu enerji kaybını hesaba katan bir dağıtıcı kuvvet (sönümleme terimi) içermelidir. Elektromanyetizmanın nedensel yorumunda, Lorentz ve Abraham, daha sonra Abraham-Lorentz kuvveti olarak adlandırılan böyle bir kuvvetin, parçacığın kendi alanıyla yavaş etkileşiminden kaynaklandığını öne sürdüler. Bununla birlikte, bu ilk yorum, teoride farklılıklara yol açtığı ve parçacığın yük dağılımının yapısı hakkında bazı varsayımlara ihtiyaç duyduğu için tamamen tatmin edici değildir. Dirac, formülü göreceli olarak değişmez yapmak için genelleştirdi. Bunu yaparken de farklı bir yorum önermiştir. Sönümleme teriminin, parçacığa kendi konumunda etki eden serbest alan cinsinden ifade edilebileceğini gösterdi:

${\displaystyle E^{\text{damping}}(\mathbf {x} _{j},t)={\frac {E_{j}^{\text{ret}}(\mathbf {x} _{j},t)-E_{j}^{\text{adv}}(\mathbf {x} _{j},t)}{2}}.}$

Ancak Dirac, bu yorumun herhangi bir fiziksel açıklamasını önermedi.

Bunun yerine, her parçacığın kendisiyle etkileşime girmediği şeklindeki basit fikirden yola çıkarak, soğurucu teorisi çerçevesinde açık ve basit bir açıklama elde edilebilir. Bu aslında ilk Abraham-Lorentz önerisinin tam tersidir. Parçacığa etki eden alan ${\displaystyle j}$ kendi konumunda (nokta ${\displaystyle x_{j}}$ ) o zaman

${\displaystyle E^{\text{tot}}(\mathbf {x} _{j},t)=\sum _{n\neq j}{\frac {E_{n}^{\text{ret}}(\mathbf {x} _{j},t)+E_{n}^{\text{adv}}(\mathbf {x} _{j},t)}{2}}.}$

Bu ifadenin serbest alan terimini toplarsak, şunu elde ederiz:

${\displaystyle E^{\text{tot}}(\mathbf {x} _{j},t)=\sum _{n\neq j}{\frac {E_{n}^{\text{ret}}(\mathbf {x} _{j},t)+E_{n}^{\text{adv}}(\mathbf {x} _{j},t)}{2}}+\sum _{n}{\frac {E_{n}^{\text{ret}}(\mathbf {x} _{j},t)-E_{n}^{\text{adv}}(\mathbf {x} _{j},t)}{2}}}$

ve Dirac'ın sonucu sayesinde,

${\displaystyle E^{\text{tot}}(\mathbf {x} _{j},t)=\sum _{n\neq j}E_{n}^{\text{ret}}(\mathbf {x} _{j},t)+E^{\text{damping}}(\mathbf {x} _{j},t).}$

Böylece sönümleme kuvveti, sapmalara yol açtığı bilinen kendi kendine etkileşime ihtiyaç duymadan elde edilir ve ayrıca Dirac tarafından türetilen ifadeye fiziksel bir gerekçe verir.

Eleştiri

Ancak Abraham-Lorentz kuvveti sorunsuz değildir. Göreceli olmayan sınırda yazıldığında, verir

${\displaystyle E^{\text{damping}}(\mathbf {x} _{j},t)={\frac {e}{6\pi c^{3}}}{\frac {\mathrm {d} ^{3}}{\mathrm {d} t^{3}}}x.}$

Göreceli formda (SI birimleri) yazılan kuvvetin büyüklüğü, uygun ivmenin uygun zaman türevidir:^[]

${\displaystyle F={\frac {e^{2}}{6\pi \epsilon _{0}c^{3}}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \tau }}\alpha (\tau ).}$

Zamana göre üçüncü türev ("sarsma" veya "sarsma" olarak da adlandırılır) hareket denklemine girdiğinden, bir çözüm türetmek için parçacığın yalnızca başlangıç konumu ve hızı değil, aynı zamanda ilk ivmesi de gerekir. . Bununla birlikte, bu bariz problem, soğurucu teorisinde, parçacığın hareket denkleminin alan için Maxwell denklemleriyle birlikte çözülmesi gerektiği gözlenerek çözülebilir. Bu durumda, başlangıç ivmesi yerine sadece başlangıç alanı ve sınır koşulunun belirtilmesi gerekir. Bu yorum, teorinin fiziksel yorumunun tutarlılığını geri kazandırır.

Bu sönümleme kuvvetinin varlığında yüklü bir parçacık için hareket denklemini çözmeye çalışırken başka zorluklar ortaya çıkabilir. Maxwell denklemlerinin klasik olduğu ve kuantum mekaniği etkilerinin ortaya çıkması gereken nokta benzeri bir parçacığın davranışı gibi mikroskobik olayları doğru bir şekilde açıklayamadığı yaygın olarak belirtilir. Bununla birlikte, soğurucu teorisi ile Wheeler ve Feynman, soruna tutarlı bir klasik yaklaşım yaratmayı başardılar (Abraham-Lorentz kuvvetinin "paradokslar" bölümüne de bakın).

Ayrıca, elektromanyetik dalgaların zaman-simetrik yorumu, zamanın belirli bir yönde aktığı ve dolayısıyla dünyamızda T-simetrisinin kırıldığı şeklindeki deneysel kanıtlarla çelişiyor gibi görünüyor. Bununla birlikte, bu simetri kırılmasının yalnızca termodinamik sınırda ortaya çıktığına yaygın olarak inanılmaktadır (örneğin, zaman okuna bakınız). Wheeler'ın kendisi, evrenin genişlemesinin termodinamik limitte zaman simetrik olmadığını kabul etti. Ancak bu, T-simetrisinin mikroskobik seviyede de kırılması gerektiği anlamına gelmez.

Son olarak, teorinin ana dezavantajı, parçacıkların kendi kendine etkileşime girmemesiydi. Gerçekten de, Hans Bethe'nin gösterdiği gibi, Kuzu kayması bir öz-enerji kavramının açıklanmasını gerekli kıldı. Feynman ve Bethe bu konu üzerinde yoğun bir tartışma yaşadılar ve sonunda Feynman'ın kendisi, bu etkiyi doğru bir şekilde açıklamak için kendi kendine etkileşimin gerekli olduğunu belirtti.

Orijinal formülasyondan bu yana gelişmeler

yerçekimi teorisi

Elektrodinamik için Wheeler-Feynman yutucu teorisinin Mahçı doğasından ilham alan Fred Hoyle ve Jayant Narlikar, genel görelilik bağlamında kendi yerçekimi teorilerini önerdiler. Bu model, teoriye meydan okuyan son astronomik gözlemlere rağmen hala var. Stephen Hawking, orijinal Hoyle-Narlikar teorisini, sonsuza giden ileri dalgaların, evren sadece genişleseydi gerçekten de olacağı gibi, bir sapmaya yol açacağına inanarak eleştirmişti.

Kuantum mekaniğinin işlemsel yorumu

Yine Wheeler-Feynman soğurucu teorisinden ilham alan, ilk kez 1986'da John G. Cramer tarafından önerilen kuantum mekaniğinin (TIQM) işlemsel yorumu, kuantum etkileşimlerini geciktirilmiş (ileri-ileri- zamanda) ve gelişmiş (zamanda geriye doğru) dalgalar. Cramer, Kopenhag yorumu ve gözlemcinin rolü ile ilgili felsefi sorunları ortadan kaldırdığını ve kuantum yerelsizliği, kuantum dolaşıklığı ve retrocausality gibi çeşitli kuantum paradokslarını çözdüğünü iddia ediyor.

Nedensellik çözüm girişimi

TC Scott ve RA Moore, gelişmiş Liénard-Wiechert potansiyellerinin varlığının öne sürdüğü bariz nedenselliğin, soğurucu fikrinin komplikasyonları olmadan, teoriyi yalnızca geciktirilmiş potansiyeller açısından yeniden şekillendirerek ortadan kaldırılabileceğini gösterdi. Bir parçacığı tanımlayan Lagrangian (${\displaystyle p_{1}}$ ) başka bir parçacık tarafından üretilen zaman-simetrik potansiyelin etkisi altında (${\displaystyle p_{2}}$ ) dır-dir

${\displaystyle L_{1}=T_{1}-{\frac {1}{2}}\left((V_{R})_{1}^{2}+(V_{A})_{1}^{2}\right),}$

Neresi ${\displaystyle T_{i}}$ parçacığın göreli kinetik enerjisi fonksiyonelidir ${\displaystyle p_{i}}$ ve ${\displaystyle (V_{R})_{i}^{j}}$ Ve ${\displaystyle (V_{A})_{i}^{j}}$ parçacık üzerinde etkili olan sırasıyla gecikmiş ve gelişmiş Liénard-Wiechert potansiyelleridir. ${\displaystyle p_{i}}$ ve parçacık tarafından üretilen ${\displaystyle p_{j}}$ . Parçacık için karşılık gelen Lagrangian ${\displaystyle p_{2}}$ dır-dir

${\displaystyle L_{2}=T_{2}-{\frac {1}{2}}\left((V_{R})_{2}^{1}+(V_{A})_{2}^{1}\right).}$

Başlangıçta bilgisayar cebiri ile gösterildi ve daha sonra analitik olarak kanıtlandı:${\displaystyle (V_{R})_{j}^{i}-(V_{A})_{i}^{j}}$

toplam bir zaman türevidir, yani varyasyonlar hesabındaki bir sapmadır ve bu nedenle Euler-Lagrange denklemlerine hiçbir katkısı yoktur. Bu sonuç sayesinde gelişmiş potansiyeller ortadan kaldırılabilir; burada toplam türev, serbest alanla aynı rolü oynar. N -cisim sistemi için Lagrangian bu nedenle

${\displaystyle L=\sum _{i=1}^{N}T_{i}-{\frac {1}{2}}\sum _{i\neq j}^{N}(V_{R})_{j}^{i}.}$

Ortaya çıkan Lagrangian, değişimi altında simetriktir. ${\displaystyle p_{i}}$ ile ${\displaystyle p_{j}}$ . İçin ${\displaystyle N=2}$ bu Lagrangian, tam olarak aynı hareket denklemlerini üretecektir. ${\displaystyle L_{1}}$ Ve ${\displaystyle L_{2}}$ . Dolayısıyla dışarıdan bir gözlemcinin bakış açısından her şey nedenseldir. Bu formülasyon, bir bütün olarak N -parçacık sistemine uygulanan değişkenlik ilkesi ve dolayısıyla Tetrode'un Machian ilkesi ile parçacık-parçacık simetrisini yansıtır. Yalnızca belirli bir cisme etki eden kuvvetleri izole edersek, ileri potansiyeller ortaya çıkar. Problemin bu şekilde yeniden şekillendirilmesinin bir bedeli vardır: N -cisimli Lagrangian, tüm parçacıklar tarafından izlenen eğrilerin her zaman türevlerine bağlıdır, yani Lagrangian sonsuz mertebelidir. Bununla birlikte, teoriyi nicelemenin çözülmemiş sorununun incelenmesinde çok ilerleme kaydedildi. Ayrıca, bu formülasyon, Breit denkleminin orijinal olarak türetildiği Darwin Lagrangian'ı kurtarır, ancak enerji tüketen terimler içermez. Bu, Kuzu kaymasına kadar ancak dahil olmamak üzere teori ve deneyle anlaşma sağlar. Klasik problemin sayısal çözümleri de bulundu. Ayrıca Moore, Feynman ve Hibbs'in bir modelinin birinci mertebeden daha yüksek Lagrangian yöntemlerine uygun olduğunu gösterdi ve kaotik benzeri çözümler ortaya koydu. Moore ve Scott, radyasyon reaksiyonunun alternatif olarak, yüklü parçacıkların bir koleksiyonu için net dipol momentinin sıfır olduğu fikri kullanılarak alternatif olarak türetilebileceğini, böylece soğurucu teorinin komplikasyonlarından kaçınılabileceğini gösterdiler. Yaklaşımlarının önemli bir avantajı, kuantum yerelsizliğinin ışığında kapsamlı bir inceleme makalesinde sunulduğu gibi, toplam korunmuş kanonik genelleştirilmiş momentumun formüle edilmesidir.

Bu aşikar nedensellik sadece görünüşte görülebilir ve tüm bu sorun ortadan kalkar. Einstein'ın karşıt bir görüşü vardı.^[]

Alternatif Lamb shift hesaplaması

Daha önce bahsedildiği gibi, soğurucu teoriye yönelik ciddi bir eleştiri, onun nokta parçacıkların kendi üzerlerinde hareket etmedikleri yönündeki Machçı varsayımının (sonsuz) öz enerjilere izin vermemesi ve dolayısıyla kuantum elektrodinamiğine (QED) göre Lamb kayması için bir açıklama getirmesidir. Ed Jaynes, Kuzu benzeri kaymanın, Wheeler-Feynman soğurucu teorisinin kendisiyle aynı kavramlara çok benzeyen diğer parçacıklarla etkileşime bağlı olduğu alternatif bir model önerdi. Basit bir model, bir osilatörün hareketini diğer pek çok osilatörle doğrudan bağlantılı olarak hesaplamaktır. Jaynes, klasik mekanikte hem spontan emisyon hem de Lamb shift davranışını elde etmenin kolay olduğunu göstermiştir. Ayrıca, Jaynes'in alternatifi, yeniden normalleştirme ile ilişkili "sonsuzların toplanması ve çıkarılması" sürecine bir çözüm sunar.

Bu model, Jaynes'in iki farklı fiziksel modelin matematiksel olarak birbirine izomorfik olabileceği ve bu nedenle aynı sonuçları verebileceği iddiasını doğrulayan, aynı tür Bethe logaritmasına (Lamb kaydırma hesaplamasının önemli bir parçası) yol açar; Scott ve Moore nedensellik konusunda.

Sonuçlar

Feynman'ın otobiyografik çalışması Elbette Şaka Yapıyorsunuz Bay Feynman! ve Ciltte. Feynman Fizik Dersleri'nin II. Başlangıç noktaları olarak bir Hamiltoniyen yerine bir Lagrangian ve eylem kullanan bir kuantum mekaniği çerçevesinin formüle edilmesine, yani Feynman'ın kuantum elektrodinamiği ve genel olarak kuantum alan teorisindeki ilk hesaplamalarında faydalı olduğu kanıtlanmış olan Feynman yol integrallerini kullanan formülasyona yol açtı. Hem geciktirilmiş hem de ilerletilmiş alanlar, sırasıyla geciktirilmiş ve ilerletilmiş yayıcılar olarak ve ayrıca Feynman yayıcı ve Dyson yayıcı olarak görünür. Geriye dönüp bakıldığında, burada gösterilen geciktirilmiş ve ileri potansiyeller arasındaki ilişki, alan teorisinde, gelişmiş yayıcının, alan kaynağı ve test parçacığının (genellikle Green'in işlev biçimciliğinin çekirdeği). Alan teorisinde, gelişmiş ve gecikmiş alanlar, Maxwell denklemlerinin kombinasyonlarına sınır koşulları tarafından karar verilen matematiksel çözümleri olarak görülür.

Ayrıca bakınız

• Nedensellik
• Fizikte simetri ve T-simetri
• İşlemsel yorumlama
• Abraham-Lorentz kuvveti
• geriye dönük nedensellik
• İki durumlu vektör biçimciliği
• Yerçekimi alanındaki bir yükün paradoksu

Notlar

1. ^ Genius: The Life and Science of Richard Feynman. New York : Vintage Books. 1993. ISBN . 
2. ^ F. Hoyle and J. V. Narlikar (1964). "A New Theory of Gravitation". . 282 (1389): 191-207. doi:10.1098/rspa.1964.0227. 
3. ^ . Time. 26 Haziran 1964. 13 Aralık 2011 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 7 Ağustos 2010. 
4. ^ Hoyle (1995). "Cosmology and action-at-a-distance electrodynamics" (PDF). Reviews of Modern Physics. 67 (1): 113-155. doi:10.1103/RevModPhys.67.113. 5 Kasım 2022 tarihinde kaynağından (PDF). Erişim tarihi: 29 Haziran 2023. 
5. ^ Edward L. Wright. "Errors in the Steady State and Quasi-SS Models". 28 Ekim 2019 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 7 Ağustos 2010. 
6. ^ Cramer (July 1986). "The Transactional Interpretation of Quantum Mechanics". Reviews of Modern Physics. 58 (3): 647-688. doi:10.1103/RevModPhys.58.647. 
7. ^ Cramer (February 1988). "An Overview of the Transactional Interpretation" (PDF). International Journal of Theoretical Physics. 27 (2): 227-236. doi:10.1007/BF00670751. 22 Aralık 2018 tarihinde kaynağından (PDF). Erişim tarihi: 29 Haziran 2023. 
8. ^ "Quantum Entanglement, Nonlocality, Back-in-Time Messages" (PPT). John G. Cramer's Home Page. University of Washington. 3 Nisan 2010. 29 Haziran 2023 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 29 Haziran 2023. 
9. ^ The Quantum Handshake: Entanglement, Nonlocality and Transactions. Springer Science+Business Media. 2016. ISBN . 
10. ^ ^{a b} R. A. Moore, T. C. Scott and M. B. Monagan (1987). "Relativistic, many-particle Lagrangean for electromagnetic interactions". Physical Review Letters. 59 (5): 525-527. doi:10.1103/PhysRevLett.59.525. (PMID) 10035796. 
11. ^ Moore (1988). "A Model for a Relativistic Many-Particle Lagrangian with Electromagnetic Interactions". . 66 (3): 206-211. doi:10.1139/p88-032. 
12. ^ T. C. Scott, R. A. Moore and M. B. Monagan (1989). "Resolution of Many Particle Electrodynamics by Symbolic Manipulation". . 52 (2): 261-281. doi:10.1016/0010-4655(89)90009-X. 
13. ^ ^{a b c} T. C. Scott (1986). "Relativistic Classical and Quantum Mechanical Treatment of the Two-body Problem". MMath Thesis. , Canada. 
14. ^ T. C. Scott and R. A. Moore (1989). "Quantization of Hamiltonians from High-Order Lagrangians". Nuclear Physics B: Proceedings Supplements. Proceedings of the International Symposium on Spacetime Symmetries, Univ. of Maryland. 6: 455-457. doi:10.1016/0920-5632(89)90498-2. 
15. ^ R. A. Moore and T. C. Scott (1991). "Quantization of Second-Order Lagrangians: Model Problem". Physical Review A. 44 (3): 1477-1484. doi:10.1103/PhysRevA.44.1477. (PMID) 9906108. 
16. ^ R. A. Moore and T. C. Scott (1992). "Quantization of Second-Order Lagrangians: The Fokker-Wheeler-Feynman model of electrodynamics". Physical Review A. 46 (7): 3637-3645. doi:10.1103/PhysRevA.46.3637. (PMID) 9908553. 
17. ^ R. A. Moore, D. Qi and T. C. Scott (1992). "Causality of Relativistic Many-Particle Classical Dynamics Theories". 70 (9): 772-781. doi:10.1139/p92-122. 
18. ^ R. A. Moore (1999). "Formal quantization of a chaotic model problem". . 77 (3): 221-233. doi:10.1139/p99-020. 
19. ^ T.C. Scott and D. Andrae (2015). "Quantum Nonlocality and Conservation of momentum". Physics Essays. 28 (3): 374-385. doi:10.4006/0836-1398-28.3.374. 15 Ekim 2015 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 18 Mart 2024.