Çember sıkıştırma teoremi (Koebe-Andreev-Thurston teoremi olarak da bilinir), düzlemde iç kısımları ayrık olan çemberler arasındaki olası teğetlik ilişkilerini tanımlar. Dairesel sıkıştırma, içleri ayrık olan bağlantılı bir çember koleksiyonudur (genel olarak herhangi bir Riemann yüzeyinde). Bir çember sıkıştırmasının kesişme çizgesi (grafı), her çember için bir tepe noktasına ve teğet olan her çember çifti için bir kenara sahip olan çizgedir. Çember sıkıştırma, düzlemde veya eşdeğer olarak küre üzerindeyse, kesişme çizgesine madeni para (coin) çizgesi denir; daha genel olarak, iç-ayrık geometrik nesnelerin kesişme çizgelerine, teğetlik çizgeleri veya temas çizgeleri denir. Madeni para çizgeleri her zaman bağlı, basit ve düzlemseldir. Çember sıkıştırma teoremi, bunların bir çizgenin madeni para çizgesi olması için tek gereklilik olduğunu belirtir:
![image](https://www.wikipedia.tr-tr.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraXBlZGlhLnRyLXRyLm5pbmEuYXovaW1hZ2UvYUhSMGNITTZMeTkxY0d4dllXUXVkMmxyYVcxbFpHbGhMbTl5Wnk5M2FXdHBjR1ZrYVdFdlkyOXRiVzl1Y3k5MGFIVnRZaTloTDJFd0wwTnBjbU5zWlY5d1lXTnJhVzVuWDNSb1pXOXlaVzFmU3pWZmJXbHVkWE5mWldSblpWOWxlR0Z0Y0d4bExuTjJaeTh5TWpCd2VDMURhWEpqYkdWZmNHRmphMmx1WjE5MGFHVnZjbVZ0WDBzMVgyMXBiblZ6WDJWa1oyVmZaWGhoYlhCc1pTNXpkbWN1Y0c1bi5wbmc=.png)
Çember sıkıştırma teoremi: Bağlı her basit düzlemsel G çizgesi için, düzlemde kesişme çizgesinin G (ile eşbiçimli -izomorfik-) olan bir çember sıkıştırması vardır.
Benzersizlik
Bir maksimal düzlemsel çizge G, düzlemselliği korurken daha fazla kenarın eklenemeyeceği sonlu basit bir düzlemsel çizgedir. Böyle bir çizgenin, gömme işleminin her yüzünün (dış yüz dahil) bir üçgen olduğu her zaman benzersiz bir düzlemsel gömmesi vardır. Diğer bir deyişle, her bir maksimal düzlemsel çizge G, küreye homeomorfik olan basit bir kompleksin 1-iskeletidir. Çember sıkıştırma teoremi, kesişme çizgesi G'ye izomorfik olan sonlu sayıda çember ile sıkıştırılmış bir çemberin varlığını garanti eder. Aşağıdaki teoremin daha formal olarak belirttiği gibi, her maksimal düzlemsel çizge en fazla bir sıkıştırmaya sahip olabilir.
Koebe–Andreev–Thurston teoremi: G sonlu bir maksimal düzlemsel çizge ise, teğet çizgesi G’ye izomorfik olan çember sıkıştırması, ve doğrulardaki yansımalara kadar benzersizdir.
Thurston, bu benzersizliğin bir sonucu olduğunu gözlemler. Bunu görmek için, G bir çember sıkıştırmasıyla temsil edilsin. Daha sonra çemberlerin sıkıştırıldığı düzlem, üç boyutlu hiperbolik uzay için bir yarı uzay modelinin sınırı olarak görülebilir; bu bakış açısıyla, her çember hiperbolik uzay içindeki bir düzlemin sınırıdır. Bu şekilde sıkıştırmanın çemberlerinden bir dizi ayrık düzlem ve sıkıştırma içindeki üç çemberin arasındaki her bir üçgen boşluğu çevreleyen çemberlerle tanımlanan ikinci bir ayrık düzlemler kümesi tanımlanabilir. Bu iki düzlem kümesinin dik açılarla kesişir ve temel alanı hiperbolik bir manifold olarak görülebilen bir yansıma grubunun jeneratörlerini oluşturur. Mostow rijitliği ile, bu alanın hiperbolik yapısı, hiperbolik uzayın izometrisine kadar benzersiz bir şekilde belirlenir; bu izometriler, yarı düzlem modelin sınırındaki Öklid düzlemindeki eylemleri açısından bakıldığında, Möbius dönüşümlerine çevrilir.
Maksimum prensibine ve üç karşılıklı teğet çemberin merkezlerini birbirine bağlayan üçgende, çemberlerden birinin merkezinde oluşan açı, yarıçapında azalan monoton, diğer iki yarıçapta artan monotondur ve aynı benzersizlik özelliğinin daha basit bir kanıtı da vardır. Aynı G çizgesi için iki sıkıştırma verildiğinde, bu iki sıkıştırmadaki dış çemberlerin birbirine karşılık gelmesi ve aynı yarıçaplara sahip olması için yansımalar ve Möbius dönüşümleri uygulanabilir. O halde v, iki sıkıştırmadaki çemberlerin olabildiğince birbirinden uzak boyutlara sahip olduğu bir G iç tepe noktası olsun: bu, v’nin iki sıkıştırmadaki çemberlerinin yarıçaplarının r1/r2 oranını maksimize etmek için seçilmesi demektir. G’nin v içeren her bir üçgen yüzü için, birinci sıkıştırmadaki v için çemberin merkezindeki açının, ikinci sıkıştırmadaki açıya eşit veya daha küçük olduğu izlenir; eşitlik yalnızca üçgeni oluşturan diğer iki daire iki sıkıştırmada aynı r1/r2 yarıçap oranına sahipken olur. Ancak, üçgenin merkezini çevreleyen tüm bu üçgenlerin açılarının toplamı, her iki sıkıştırmada da 2, olmalıdır, bu nedenle, v’ye komşu tüm köşeler, v’nin kendisiyle aynı orana sahip olmalıdır. Aynı argümanı diğer çemberlere sırayla uygulayarak, her iki sıkıştırmadaki tüm çemberlerin aynı orana sahip olduğu sonucu çıkar. Ancak dış çemberler oran 1 olacak şekilde dönüştürülmüştür, yani r1/r2 = 1 ve iki sıkıştırmada tüm çemberler için aynı yarıçaplara sahiptir.
Açıkorur dönüşüm (conformal mapping) teorisi ile ilişkiler
![image](https://www.wikipedia.tr-tr.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraXBlZGlhLnRyLXRyLm5pbmEuYXovaW1hZ2UvYUhSMGNITTZMeTkxY0d4dllXUXVkMmxyYVcxbFpHbGhMbTl5Wnk5M2FXdHBjR1ZrYVdFdlkyOXRiVzl1Y3k5MGFIVnRZaTlrTDJSa0wwTnBjbU5zWlZKcFpXMWhibTVOWVhBeExuTjJaeTh5TWpCd2VDMURhWEpqYkdWU2FXVnRZVzV1VFdGd01TNXpkbWN1Y0c1bi5wbmc=.png)
Düzlemdeki veya daha yüksek boyutlu bir uzaydaki iki açık küme arasındaki açıkorur dönüşüm, herhangi iki eğri arasındaki açıları koruyan bir kümeden diğerine sürekli bir fonksiyondur. 1851'de Bernhard Riemann tarafından formüle edilen , düzlemdeki herhangi iki açık topolojik disk için, bir diskten diğerine uyumlu bir dönüşüm olduğunu belirtir. Açıkorur dönüşümlerin ağ oluşturma, harita projeksiyonu ve diğer alanlarda uygulamaları vardır. Ancak, iki belirli alan arasında açık bir şekilde uyumlu bir dönüşüm oluşturmak her zaman kolay değildir.
1985'teki Bieberbach konferansında William Thurston, açıkorur dönüşümlere yaklaşmak için çember sıkıştırmaların kullanılabileceğini varsaydı. Daha doğrusu, Thurston, rastgele bir açık disk A’dan bir çemberin içine doğru uyumlu bir dönüşüm bulmak için çember sıkıştırmaları kullandı; bir topolojik disk A’dan başka bir disk B’ye dönüşüm, dönüşümün A’dan bir çembere, dönüşümün tersi ile B’den bir çembere oluşturulmasıyla bulunabilir.
Thurston'un fikri, bazı küçük r yarıçaplı çemberleri, A bölgesi içinde, A sınırına yakın dar bir bölge bırakarak, bu yarıçapın daha fazla çemberinin sığamayacağı r genişliğinde, düzlemin altıgen mozaiklemesine yerleştirmekti. Daha sonra, sıkıştırmanın sınırındaki tüm çemberlere bitişik bir ek tepe noktasıyla birlikte, çemberlerin kesişim çizgesinden maksimum düzlemsel bir G çizgesi oluşturur. Çember sıkıştırma teoremi ile, bu düzlemsel çizge, tüm kenarların (sınır tepe noktasına gelenler dahil) çemberlerin teğetleri ile temsil edildiği bir C çember sıkıştırmasıyla temsil edilebilir. A’nın sıkıştırmasındaki çemberler, A’nın sınırına karşılık gelen C’nin sınır çemberi dışında, C'deki çemberlere bire bir karşılık gelir. Çemberlerin bu uyuşması, A’dan C’ye, her çember ve üç çember arasındaki her boşluğun bir sıkıştırmadan diğerine bir Möbius dönüşümü ile eşlendiği sürekli bir fonksiyon oluşturmak için kullanılabilir. Thurston, r yarıçapı sıfıra yaklaştıkça sınırda, bu şekilde inşa edilen A’dan C’ye fonksiyonların Riemann dönüşüm teoremi tarafından verilen açıkorur fonksiyona yaklaşacağını varsaydı.
Thurston'un varsayımı Rodin & Sullivan (1987) tarafından kanıtlanmıştır. Daha kesin olarak, n sonsuza giderken, Thurston'un yöntemi kullanılarak belirlenen fn fonksiyonunun yarıçap-1/n çemberlerin altıgen sıkıştırmalarından A’nın kompakt alt kümeleri üzerinde düzgün bir şekilde A’dan C’ye açıkorur bir dönüşüme yakınsadığını gösterdiler.
Thurston varsayımının başarısına rağmen, bu yöntemin pratik uygulamaları, çember sıkıştırmalarının hesaplanmasının zorluğu ve nispeten yavaş yakınsama oranı nedeniyle engellenmiştir. Ancak, basit bir şekilde bağlanmamış alanlara uygulandığında ve çokgen alanların açıkorur dönüşüm için farklı bir teknik olan Schwarz-Christoffel dönüşümlerini hesaplayan sayısal teknikler için ilk yaklaşımları seçerken bazı avantajları vardır.
İspatlar
Çember sıkıştırma teoreminin bilinen birçok kanıtı vardır. Paul Koebe'nin orijinal kanıtı, sonlu bağlanmış bir düzlemsel alanın uygun olarak bir çember alanına eşdeğer olduğunu söyleyen açıkorur tek tipleştirme teoremine dayanmaktadır. Bilinen birkaç farklı topolojik kanıt vardır. Thurston'un kanıtı, Brouwer'in sabit nokta teoremine dayanmaktadır. Yüksek lisans öğrencisi olarak Oded Schramm, Princeton Üniversitesi'nde Thurston tarafından denetlendi. Rohde (2011, s. 1628) şöyle anlatıyor: Schramm'ın çember paketleme için varoluşun sabit nokta teoreminden nasıl çıkarılabileceğine dair tezinde "şiirsel bir açıklama" var: "Korkunç canavarın saf bir öfke içinde kollarını salladığını, dokunaçların birbirlerine sürtünürken korkunç bir tıslama yarattığını görebiliriz." Ayrıca, Perron'un Dirichlet problemine çözüm üretme yönteminin ayrı bir varyantını kullanan bir kanıt da vardır. Yves Colin de Verdière, belirli bir konfigürasyon uzayında bir dışbükey fonksiyonu en aza indiren çember sıkıştırmanın varlığını kanıtladı.
Uygulamalar
Çember sıkıştırma teoremi, düzlemsel geometri, açıkorur dönüşümler ve düzlemsel çizgelerdeki çeşitli problemleri incelemek için yararlı bir araçtır. İlk olarak Lipton ve Tarjan 'dan kaynaklanan düzlemsel ayırıcı teoreminin zarif bir kanıtı bu şekilde elde edilmiştir. Çember sıkıştırma teoreminin bir başka uygulaması, sınırlı derece düzlemsel çizgelerin tarafsız sınırlarının neredeyse kesin olarak tekrarlanmasıdır. Diğer uygulamalar kapsam süresi için çıkarımlar ve sınırlı-cins çizgelerinin en büyük özdeğeri için tahminler içerir.
Çizge çiziminde, sınırlı açısal çözünürlüğe ve sınırlı eğim sayısına sahip düzlemsel çizgelerin çizimlerini bulmak için çember sıkıştırma kullanılmıştır. Fáry teoremi, düzlemde kavisli kenarlar kullanılarak kesişme olmaksızın çizilebilen her çizgenin, düz çizgi parçası kenarları kullanılarak kesişmeler olmadan da çizilebileceğini, çember sıkıştırma teoreminin basit bir sonucunu izler: köşeleri çemberlerin merkezlerine yerleştirerek ve aralarında düz kenarlar çizilerek, düz bir düzlemsel gömme elde edilir.
![image](https://www.wikipedia.tr-tr.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraXBlZGlhLnRyLXRyLm5pbmEuYXovaW1hZ2UvYUhSMGNITTZMeTkxY0d4dllXUXVkMmxyYVcxbFpHbGhMbTl5Wnk5M2FXdHBjR1ZrYVdFdlkyOXRiVzl1Y3k5MGFIVnRZaTlsTDJWbEwwMXBaSE53YUdWeVpTNXdibWN2TWpJd2NIZ3RUV2xrYzNCb1pYSmxMbkJ1Wnc9PS5wbmc=.png)
Çember sıkıştırma teoreminin daha güçlü bir biçimi, herhangi birçok yüzlü çizgenin ve onun ikili çizgesinin, bir primal çizge kenarını temsil eden iki teğet çemberin ve aynı kenarın çiftini temsil eden iki teğet çemberin her zaman düzlemin aynı noktasında birbirlerine dik açılarda teğetlere sahip olacağı şekilde iki çember sıkıştırması ile temsil edilebileceğini ileri sürer. Bu tip bir sıkıştırma oluşturmak için kullanılabilecek bir dışbükey çok yüzlü, verilen çizgeyi temsil eder ve tüm kenarlarına teğet bir küre olan orta küreye (midsphere) sahiptir. Tersine, birçok yüzlü bir orta küreye sahipse, kürenin çok yüzlü yüzlerle kesişmelerinden oluşan çemberler ve her çok yüzlü tepe noktasından bakıldığında küre üzerinde ufukların oluşturduğu çemberler bu tipte ikili bir sıkıştırma oluşturur.
Algoritmik yönler
Collins & Stephenson (2003), William Thurston'un fikirlerine dayalı olarak, çember sıkıştırmaları bulmak için sayısal bir gevşetme algoritması tanımladılar. Çözdükleri çember sıkıştırma probleminin versiyonu, tüm iç yüzlerin üçgen olduğu ve dış köşelerin pozitif sayılarla etiketlendiği bir düzlemsel çizgeyi girdi olarak alır. Çıktı olarak, teğetleri verilen çizgeyi temsil eden ve bunun için dış köşeleri temsil eden çemberlerin girdide belirtilen yarıçaplara sahip olduğu bir çember sıkıştırması üretir. Önerdikleri gibi, sorunun anahtarı önce sıkıştırmanın içindeki çemberlerin yarıçaplarını hesaplamaktır; Yarıçaplar bilindiğinde, çemberlerin geometrik konumlarının hesaplanması zor değildir. Geçerli bir sıkıştırmaya karşılık gelmeyen bir dizi geçici yarıçapla başlarlar ve ardından aşağıdaki adımları tekrar tekrar gerçekleştirirler:
- Giriş çizgesinin dahili bir v tepe noktasını seçin.
- Komşular geçici yarıçaplarını kullanarak birbirlerine ve merkez çembere teğet yerleştirilmiş olsaydı, k komşu çemberlerinin v için çemberin etrafını kaplayacağı toplam θ açısını hesaplayın.
- Komşu çemberler için temsili bir yarıçap r belirleyin, öyle ki r yarıçaplı k çemberler v'nin komşularının verdiği gibi aynı θ kaplama açısını verecektir.
- v için yeni yarıçapı, r yarıçaplı k çemberlerin tam olarak 2π'lik bir kaplama açısı vereceği değer olarak ayarlayın.
Bu adımların her biri, basit trigonometrik hesaplamalarla gerçekleştirilebilir. Collins ve Stephenson'un iddia ettiği gibi, yarıçaplar sistemi, tüm kaplama açılarının tam olarak 2π olduğu benzersiz bir sabit noktaya hızla yakınsar. Sistem birleştikten sonra, her bir ardışık çemberin merkezini belirlemek için iki komşu çemberin konumları ve yarıçapları kullanılarak her aşamada çemberler birer birer yerleştirilebilir.
Mohar (1993), çok yüzlü bir çizgenin eşzamanlı sıkıştırmalarını bulmak için benzer bir yinelemeli tekniği ve ikili çemberlerin primal çemberlere dik açılarda olduğu ikiliğini açıklar. Yöntemin, çember sayısında ve log1/ε türünden zaman polinomu aldığını kanıtladı; burada ε, hesaplanan sıkıştırmanın merkezlerinin ve yarıçaplarının optimum sıkıştırmada olanlardan uzaklığına bağlıdır.
Genellemeler
Çember sıkıştırma teoremi, düzlemsel olmayan çizgelere genelleştirir. G, bir yüzeye S gömülebilir bir çizgedir, daha sonra bir sabit olduğu kavisli Riemannsal metrik S ve bir çember sıkıştırması (S, d) kontak çizgesi G'ye izomorfiktir. S kapalıysa (kompakt ve sınırsız) ve G, S'nin üçgenlemesiyse (S, d) ve sıkıştırma, açıkorur eşdeğerliğe kadar benzersizdir. S küre ise, o zaman bu eşdeğerlik Möbius dönüşümlerine bağlıdır; bir simit (torus) ise, S cinsi en az 2 ise, eşdeğerlik bir sabit ve izometrilere göre ölçeklendirmeye kadardır, böylece eşdeğerlik izometrilere kadardır.
Çember sıkıştırma teoreminin başka bir genellemesi, teğet koşulunun, komşu köşelere karşılık gelen çemberler arasındaki belirli bir kesişme açısı ile değiştirilmesini içerir. Özellikle zarif bir versiyon aşağıdaki gibidir. G’nin sonlu 3 bağlantılı bir düzlemsel çizge (yani çok yüzlü bir çizge) olduğunu varsayalım, o zaman bir çift çember dolgusu vardır, bunlardan birinin kesişme çizgesi G’ye izomorfiktir, diğeri kesişme çizgesi G’nin düzlemsel çiftine izomorfiktir ve G’deki her tepe noktası ve ona bitişik yüz için, tepe noktasına karşılık gelen birinci sıkıştırmadaki çember, yüze karşılık gelen ikinci sıkıştırmadaki çember ile ortogonal olarak kesişir. Örneğin, bu sonucun dört yüzlü çizgesine uygulanması, herhangi bir dört karşılıklı teğet çember için, her biri ilk dörtten üçüne ortogonal olan dört karşılıklı teğet çemberden oluşan ikinci bir set verir. Kesişme açısını ters mesafe ile değiştiren başka bir genelleme, bazı çemberlerin kesişme veya teğet olmaktan ziyade birbirinden ayrılması gereken sıkıştırmaların spesifikasyonuna izin verir.
Yine başka bir genelleme çeşidi, çember olmayan şekillere izin verir. Farz edin ki G = (V, E) sonlu bir düzlemsel çizgedir ve G’nin her tepe noktası v, kapalı birim diske homeomorfik ve sınırı düzgün olan bir şekline karşılık gelir. Sonra düzlemde bir
sıkıştırması vardır, öyle ki
ancak ve ancak
ve her bir
için
kümesi
'den çevirerek ve ölçeklendirerek elde edilir. (Orijinal çember sıkıştırma teoreminde, köşe başına üç gerçek parametre vardır, bunlardan ikisi karşılık gelen çemberin merkezini, biri yarıçapı tanımlamaktadır ve kenar başına bir denklem vardır. Bu aynı zamanda bu genellemede de geçerlidir.) Bu genellemenin bir kanıtı, Koebe'nin orijinal ispatı ve Brandt ve Harrington teoreminin uygulanmasıyla elde edilebilir; bu teorem, herhangi bir sonlu bağlanmış alanın, dönüşümlere ve ölçeklemeye kadar sınır bileşenleri belirli şekillere sahip olan bir düzlemsel alana açıkorur eşdeğer olduğunu belirtir.
Tarihçe
Çember sıkıştırma teoremi ilk olarak Paul Koebe tarafından kanıtlandı. William Thurston çember sıkıştırma teoremini yeniden keşfetti ve EM Andreev'in çalışmasından izlediğini belirtti. Thurston ayrıca, düzlemin basitçe bağlanmış uygun bir alt kümesinin birim diskin iç kısmına bir homeomorfizmi elde etmek için daire paketleme teoremini kullanmak için bir şema önerdi. Çember Sıkıştırmaları için Thurston Varsayımı (Thurston Conjecture for Circle Packings), çemberlerin yarıçapları sıfıra yöneldikçe homeomorfizmin Riemann dönüşümüne yakınsayacağı varsayımıdır. Thurston Varsayımı daha sonra Burton Rodin ve Dennis Sullivan tarafından kanıtlandı. Bu, çember sıkıştırma teoreminin uzantıları, açıkorur dönüşümlerle ilişkiler ve uygulamalar hakkında bir araştırma telaşına yol açtı.
Notlar
- ^ a b Thurston (1978–1981), Chap. 13.
- ^ a b c d e Stephenson (1999).
- ^ Beardon & Stephenson 1991, Carter & Rodin 1992
- ^ Colin de Verdière 1991
- ^ Lipton & Tarjan (1979)
- ^ Miller et al. (1997)
- ^ Benjamini & Schramm (2001)
- ^ Jonnason & Schramm (2000)
- ^ Kelner (2006)
- ^ Malitz & Papakostas (1994).
- ^ Keszegh, Pach & Pálvölgyi (2011).
- ^ Brightwell & Scheinerman (1993)
- ^ "An absolute property of four mutually tangent circles", Non-Euclidean geometries, Math. Appl. (N. Y.), 581, New York: Springer, 2006, ss. 109-114, doi:10.1007/0-387-29555-0_5
- ^ "8.2 Inversive distance packings", Uniformizing dessins and Belyĭ maps via circle packing, Memoirs of the American Mathematical Society, 805, 2004, ss. 78-82, doi:10.1090/memo/0805.
- ^ a b Koebe (1936)
- ^ Brandt (1980)
- ^ Harrington (1982)
- ^ Rodin & Sullivan (1987)
Konuyla ilgili yayınlar
- Nachmias Asaf. (2020) The Circle Packing Theorem. In: Planar Maps, Random Walks and Circle Packing. Lecture Notes in Mathematics, vol 2243. Springer, Cham. https://doi.org/10.1007/978-3-030-27968-4_3
- Kenneth Stephenson, (2003), Circle Packing: A Mathematical Tale, Makale 26 Ekim 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
- Sally Dong, Yin Tat Lee & Kent Quanrud, (2019), Computing Circle Packing Representations of Planar Graphs, https://arxiv.org/abs/1911.00612 24 Ekim 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
- Kevin Pratt, Connor Riley & Donald R. Sheehy, (1998), Exploring Circle Packing Algorithms, Makale 23 Ekim 2016 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
Ayrıca bakınız
- , üçgen boşlukların tekrar tekrar doldurulmasıyla oluşturulan sonsuz bir conta.
- , belirli teğetler olmadan yoğun çember düzenlemeleri
- , sonsuz 6 düzenli düzlemsel çizgeleri temsil eden çember sıkıştırmaları
- , rasyonel sayı doğrusu boyunca çemberler yığını
- , dairelerinin tümü eşit yarıçaplara sahip olan madeni para çizgeleri
- , bir ambalajdaki bitişik çemberlerin boyutlarına bağlı
Dış bağlantılar
- CirclePack 27 Eylül 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. (çizgelerden çember sıkıştırmaları oluşturmak için ücretsiz yazılım) ve Circle packing bibliography 20 Nisan 2019 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. Kenneth Stephenson, Tennessee Üniversitesi
Kaynakça
- Andreev, E. M. (1970), "Convex polyhedra in Lobačevskiĭ spaces", Mat. Sb. (N.S.), 81 (123), ss. 445-478, MR 0259734.
- Beardon, Alan F.; Stephenson, Kenneth (1990), "The uniformization theorem for circle packings", , cilt 39, ss. 1383-1425, 24 Ekim 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi, erişim tarihi: 21 Ekim 2020
- Beardon, Alan F.; Stephenson, Kenneth (1991), "The Schwarz-Pick lemma for circle packings", , cilt 35, ss. 577-606, 24 Ekim 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi, erişim tarihi: 21 Ekim 2020
- Andreev, E. M. (1970), "Convex polyhedra of finite volume in Lobačevskiĭ space", Mat. Sb. (N.S.), 83 (125), ss. 256-260, MR 0273510.
- ; (2001), "Recurrence of distributional limits of finite planar graphs", Electronic Journal of Probability, cilt 6, MR 1873300, 27 Eylül 2011 tarihinde kaynağından arşivlendi, erişim tarihi: 21 Ekim 2020.
- Brandt, M. (1980), "Ein Abbildungssatz fur endlich-vielfach zusammenhangende Gebiete", Bull. de la Soc. des Sc. et des Lettr. de Łódź, cilt 30.
- Brightwell, Graham R.; (1993), "Representations of planar graphs", SIAM J. Discrete Math., 6 (2), ss. 214-229, doi:10.1137/0406017.
- Carter, Ithiel; Rodin, Burt (1992), "An inverse problem for circle packing and conformal mapping", , cilt 334, ss. 861-875, 24 Ekim 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi, erişim tarihi: 21 Ekim 2020
- (1991), "Une principe variationnel pour les empilements de cercles", Inventiones Mathematicae, 104 (1), ss. 655-669, Bibcode:1991InMat.104..655C, doi:10.1007/BF01245096.
- Collins, Charles R.; Stephenson, Kenneth (2003), "A circle packing algorithm", , 25 (3), ss. 233-256, doi:10.1016/S0925-7721(02)00099-8, MR 1975216.
- Harrington, Andrew N. (1982), "Conformal mappings onto domains with arbitrarily specified boundary shapes", , 41 (1), ss. 39-53, doi:10.1007/BF02803393
- Jonnason, Johan; (2000), "On the cover time of planar graphs", Electronic Communications in Probability, cilt 5, ss. 85-90, 27 Eylül 2011 tarihinde kaynağından arşivlendi, erişim tarihi: 21 Ekim 2020.
- Kelner, Jonathan A. (2006), "Spectral partitioning, eigenvalue bounds, and circle packings for graphs of bounded genus", SIAM Journal on Computing, 35 (4), ss. 882-902, doi:10.1137/S0097539705447244, hdl:1721.1/30169.
- Keszegh, Balázs; ; Pálvölgyi, Dömötör (2011), "Drawing planar graphs of bounded degree with few slopes", Brandes, Ulrik; Cornelsen, Sabine (Ed.), Graph Drawing: 18th International Symposium, GD 2010, Konstanz, Germany, September 21-24, 2010, Revised Selected Papers, Lecture Notes in Computer Science, 6502, Heidelberg: Springer, ss. 293-304, arXiv:1009.1315 $2, doi:10.1007/978-3-642-18469-7_27, MR 2781274.
- (1936), "Kontaktprobleme der Konformen Abbildung", Ber. Sächs. Akad. Wiss. Leipzig, Math.-Phys. Kl., cilt 88, ss. 141-164.
- ; Tarjan, Robert E. (1979), "A separator theorem for planar graphs", SIAM Journal on Applied Mathematics, cilt 36, ss. 177-189, CiteSeerX 10.1.1.104.6528 $2, doi:10.1137/0136016.
- Malitz, Seth; Papakostas, Achilleas (1994), "On the angular resolution of planar graphs", , 7 (2), ss. 172-183, doi:10.1137/S0895480193242931, MR 1271989.
- ; ; Thurston, William; Vavasis, Stephen A. (1997), "Separators for sphere-packings and nearest neighbor graphs", J. ACM, 44 (1), ss. 1-29, doi:10.1145/256292.256294.
- (1993), "A polynomial time circle packing algorithm", Discrete Mathematics, 117 (1–3), ss. 257-263, doi:10.1016/0012-365X(93)90340-Y.
- ; Sullivan, Dennis (1987), "The convergence of circle packings to the Riemann mapping", Journal of Differential Geometry, 26 (2), ss. 349-360, 27 Ekim 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi, erişim tarihi: 21 Ekim 2020.
- Rohde, Steffen (2011), "Oded Schramm: from circle packing to SLE", , cilt 39, ss. 1621-1667
- Stephenson, Kenneth (1999), "The approximation of conformal structures via circle packing" (PDF), Computational methods and function theory 1997 (Nicosia), Ser. Approx. Decompos., 11, World Sci. Publ., River Edge, NJ, ss. 551-582, MR 1700374.
- Stephenson, Ken (2003), "Circle packing: a mathematical tale" (PDF), , cilt 50, ss. 1376-1388, 26 Ekim 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF), erişim tarihi: 21 Ekim 2020
- Stephenson, Ken (2005), Introduction to circle packing, the theory of discrete analytic functions, Cambridge: Cambridge University Press.
- Thurston, William (1985), The finite Riemann mapping theorem, Invited talk at the International Symposium at Purdue University on the occasion of the proof of the Bieberbach conjecture.
- Thurston, William (1978–1981), The geometry and topology of 3-manifolds, Princeton lecture notes, 12 Eylül 2010 tarihinde kaynağından arşivlendi, erişim tarihi: 21 Ekim 2020.
![]() | Matematik ile ilgili bu madde seviyesindedir. Madde içeriğini genişleterek Vikipedi'ye katkı sağlayabilirsiniz. |
wikipedia, wiki, viki, vikipedia, oku, kitap, kütüphane, kütübhane, ara, ara bul, bul, herşey, ne arasanız burada,hikayeler, makale, kitaplar, öğren, wiki, bilgi, tarih, yukle, izle, telefon için, turk, türk, türkçe, turkce, nasıl yapılır, ne demek, nasıl, yapmak, yapılır, indir, ücretsiz, ücretsiz indir, bedava, bedava indir, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, resim, müzik, şarkı, film, film, oyun, oyunlar, mobil, cep telefonu, telefon, android, ios, apple, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, pc, web, computer, bilgisayar
Cember sikistirma teoremi Koebe Andreev Thurston teoremi olarak da bilinir duzlemde ic kisimlari ayrik olan cemberler arasindaki olasi tegetlik iliskilerini tanimlar Dairesel sikistirma icleri ayrik olan baglantili bir cember koleksiyonudur genel olarak herhangi bir Riemann yuzeyinde Bir cember sikistirmasinin kesisme cizgesi grafi her cember icin bir tepe noktasina ve teget olan her cember cifti icin bir kenara sahip olan cizgedir Cember sikistirma duzlemde veya esdeger olarak kure uzerindeyse kesisme cizgesine madeni para coin cizgesi denir daha genel olarak ic ayrik geometrik nesnelerin kesisme cizgelerine tegetlik cizgeleri veya temas cizgeleri denir Madeni para cizgeleri her zaman bagli basit ve duzlemseldir Cember sikistirma teoremi bunlarin bir cizgenin madeni para cizgesi olmasi icin tek gereklilik oldugunu belirtir Bes koseli duzlemsel cizge icin bir cember sikistirma Cember sikistirma teoremi Bagli her basit duzlemsel G cizgesi icin duzlemde kesisme cizgesinin G ile esbicimli izomorfik olan bir cember sikistirmasi vardir BenzersizlikBir maksimal duzlemsel cizge G duzlemselligi korurken daha fazla kenarin eklenemeyecegi sonlu basit bir duzlemsel cizgedir Boyle bir cizgenin gomme isleminin her yuzunun dis yuz dahil bir ucgen oldugu her zaman benzersiz bir duzlemsel gommesi vardir Diger bir deyisle her bir maksimal duzlemsel cizge G kureye homeomorfik olan basit bir kompleksin 1 iskeletidir Cember sikistirma teoremi kesisme cizgesi G ye izomorfik olan sonlu sayida cember ile sikistirilmis bir cemberin varligini garanti eder Asagidaki teoremin daha formal olarak belirttigi gibi her maksimal duzlemsel cizge en fazla bir sikistirmaya sahip olabilir Koebe Andreev Thurston teoremi G sonlu bir maksimal duzlemsel cizge ise teget cizgesi G ye izomorfik olan cember sikistirmasi ve dogrulardaki yansimalara kadar benzersizdir Thurston bu benzersizligin bir sonucu oldugunu gozlemler Bunu gormek icin G bir cember sikistirmasiyla temsil edilsin Daha sonra cemberlerin sikistirildigi duzlem uc boyutlu hiperbolik uzay icin bir yari uzay modelinin siniri olarak gorulebilir bu bakis acisiyla her cember hiperbolik uzay icindeki bir duzlemin siniridir Bu sekilde sikistirmanin cemberlerinden bir dizi ayrik duzlem ve sikistirma icindeki uc cemberin arasindaki her bir ucgen boslugu cevreleyen cemberlerle tanimlanan ikinci bir ayrik duzlemler kumesi tanimlanabilir Bu iki duzlem kumesinin dik acilarla kesisir ve temel alani hiperbolik bir manifold olarak gorulebilen bir yansima grubunun jeneratorlerini olusturur Mostow rijitligi ile bu alanin hiperbolik yapisi hiperbolik uzayin izometrisine kadar benzersiz bir sekilde belirlenir bu izometriler yari duzlem modelin sinirindaki Oklid duzlemindeki eylemleri acisindan bakildiginda Mobius donusumlerine cevrilir Maksimum prensibine ve uc karsilikli teget cemberin merkezlerini birbirine baglayan ucgende cemberlerden birinin merkezinde olusan aci yaricapinda azalan monoton diger iki yaricapta artan monotondur ve ayni benzersizlik ozelliginin daha basit bir kaniti da vardir Ayni G cizgesi icin iki sikistirma verildiginde bu iki sikistirmadaki dis cemberlerin birbirine karsilik gelmesi ve ayni yaricaplara sahip olmasi icin yansimalar ve Mobius donusumleri uygulanabilir O halde v iki sikistirmadaki cemberlerin olabildigince birbirinden uzak boyutlara sahip oldugu bir G ic tepe noktasi olsun bu v nin iki sikistirmadaki cemberlerinin yaricaplarinin r1 r2 oranini maksimize etmek icin secilmesi demektir G nin v iceren her bir ucgen yuzu icin birinci sikistirmadaki v icin cemberin merkezindeki acinin ikinci sikistirmadaki aciya esit veya daha kucuk oldugu izlenir esitlik yalnizca ucgeni olusturan diger iki daire iki sikistirmada ayni r1 r2 yaricap oranina sahipken olur Ancak ucgenin merkezini cevreleyen tum bu ucgenlerin acilarinin toplami her iki sikistirmada da 2 olmalidir bu nedenle v ye komsu tum koseler v nin kendisiyle ayni orana sahip olmalidir Ayni argumani diger cemberlere sirayla uygulayarak her iki sikistirmadaki tum cemberlerin ayni orana sahip oldugu sonucu cikar Ancak dis cemberler oran 1 olacak sekilde donusturulmustur yani r1 r2 1 ve iki sikistirmada tum cemberler icin ayni yaricaplara sahiptir Acikorur donusum conformal mapping teorisi ile iliskilerCember sikistirmalari belirtilen alanlar arasindaki uyumlu eslemeleri yaklasik olarak belirlemek icin kullanilabilir Soldaki her daire sagdaki bir cembere karsilik gelir Duzlemdeki veya daha yuksek boyutlu bir uzaydaki iki acik kume arasindaki acikorur donusum herhangi iki egri arasindaki acilari koruyan bir kumeden digerine surekli bir fonksiyondur 1851 de Bernhard Riemann tarafindan formule edilen duzlemdeki herhangi iki acik topolojik disk icin bir diskten digerine uyumlu bir donusum oldugunu belirtir Acikorur donusumlerin ag olusturma harita projeksiyonu ve diger alanlarda uygulamalari vardir Ancak iki belirli alan arasinda acik bir sekilde uyumlu bir donusum olusturmak her zaman kolay degildir 1985 teki Bieberbach konferansinda William Thurston acikorur donusumlere yaklasmak icin cember sikistirmalarin kullanilabilecegini varsaydi Daha dogrusu Thurston rastgele bir acik disk A dan bir cemberin icine dogru uyumlu bir donusum bulmak icin cember sikistirmalari kullandi bir topolojik disk A dan baska bir disk B ye donusum donusumun A dan bir cembere donusumun tersi ile B den bir cembere olusturulmasiyla bulunabilir Thurston un fikri bazi kucuk r yaricapli cemberleri A bolgesi icinde A sinirina yakin dar bir bolge birakarak bu yaricapin daha fazla cemberinin sigamayacagi r genisliginde duzlemin altigen mozaiklemesine yerlestirmekti Daha sonra sikistirmanin sinirindaki tum cemberlere bitisik bir ek tepe noktasiyla birlikte cemberlerin kesisim cizgesinden maksimum duzlemsel bir G cizgesi olusturur Cember sikistirma teoremi ile bu duzlemsel cizge tum kenarlarin sinir tepe noktasina gelenler dahil cemberlerin tegetleri ile temsil edildigi bir C cember sikistirmasiyla temsil edilebilir A nin sikistirmasindaki cemberler A nin sinirina karsilik gelen C nin sinir cemberi disinda C deki cemberlere bire bir karsilik gelir Cemberlerin bu uyusmasi A dan C ye her cember ve uc cember arasindaki her boslugun bir sikistirmadan digerine bir Mobius donusumu ile eslendigi surekli bir fonksiyon olusturmak icin kullanilabilir Thurston r yaricapi sifira yaklastikca sinirda bu sekilde insa edilen A dan C ye fonksiyonlarin Riemann donusum teoremi tarafindan verilen acikorur fonksiyona yaklasacagini varsaydi Thurston un varsayimi Rodin amp Sullivan 1987 tarafindan kanitlanmistir Daha kesin olarak n sonsuza giderken Thurston un yontemi kullanilarak belirlenen fn fonksiyonunun yaricap 1 n cemberlerin altigen sikistirmalarindan A nin kompakt alt kumeleri uzerinde duzgun bir sekilde A dan C ye acikorur bir donusume yakinsadigini gosterdiler Thurston varsayiminin basarisina ragmen bu yontemin pratik uygulamalari cember sikistirmalarinin hesaplanmasinin zorlugu ve nispeten yavas yakinsama orani nedeniyle engellenmistir Ancak basit bir sekilde baglanmamis alanlara uygulandiginda ve cokgen alanlarin acikorur donusum icin farkli bir teknik olan Schwarz Christoffel donusumlerini hesaplayan sayisal teknikler icin ilk yaklasimlari secerken bazi avantajlari vardir IspatlarCember sikistirma teoreminin bilinen bircok kaniti vardir Paul Koebe nin orijinal kaniti sonlu baglanmis bir duzlemsel alanin uygun olarak bir cember alanina esdeger oldugunu soyleyen acikorur tek tiplestirme teoremine dayanmaktadir Bilinen birkac farkli topolojik kanit vardir Thurston un kaniti Brouwer in sabit nokta teoremine dayanmaktadir Yuksek lisans ogrencisi olarak Oded Schramm Princeton Universitesi nde Thurston tarafindan denetlendi Rohde 2011 s 1628 soyle anlatiyor Schramm in cember paketleme icin varolusun sabit nokta teoreminden nasil cikarilabilecegine dair tezinde siirsel bir aciklama var Korkunc canavarin saf bir ofke icinde kollarini salladigini dokunaclarin birbirlerine surtunurken korkunc bir tislama yarattigini gorebiliriz Ayrica Perron un Dirichlet problemine cozum uretme yonteminin ayri bir varyantini kullanan bir kanit da vardir Yves Colin de Verdiere belirli bir konfigurasyon uzayinda bir disbukey fonksiyonu en aza indiren cember sikistirmanin varligini kanitladi UygulamalarCember sikistirma teoremi duzlemsel geometri acikorur donusumler ve duzlemsel cizgelerdeki cesitli problemleri incelemek icin yararli bir aractir Ilk olarak Lipton ve Tarjan dan kaynaklanan duzlemsel ayirici teoreminin zarif bir kaniti bu sekilde elde edilmistir Cember sikistirma teoreminin bir baska uygulamasi sinirli derece duzlemsel cizgelerin tarafsiz sinirlarinin neredeyse kesin olarak tekrarlanmasidir Diger uygulamalar kapsam suresi icin cikarimlar ve sinirli cins cizgelerinin en buyuk ozdegeri icin tahminler icerir Cizge ciziminde sinirli acisal cozunurluge ve sinirli egim sayisina sahip duzlemsel cizgelerin cizimlerini bulmak icin cember sikistirma kullanilmistir Fary teoremi duzlemde kavisli kenarlar kullanilarak kesisme olmaksizin cizilebilen her cizgenin duz cizgi parcasi kenarlari kullanilarak kesismeler olmadan da cizilebilecegini cember sikistirma teoreminin basit bir sonucunu izler koseleri cemberlerin merkezlerine yerlestirerek ve aralarinda duz kenarlar cizilerek duz bir duzlemsel gomme elde edilir Bir cokyuzlu ve orta kuresi Cember sikistirma teoremi her cok yuzlu cizgenin orta kureye sahip bir cokyuzlunun cizgesi olarak temsil edilebilecegini ima eder Cember sikistirma teoreminin daha guclu bir bicimi herhangi bircok yuzlu cizgenin ve onun ikili cizgesinin bir primal cizge kenarini temsil eden iki teget cemberin ve ayni kenarin ciftini temsil eden iki teget cemberin her zaman duzlemin ayni noktasinda birbirlerine dik acilarda tegetlere sahip olacagi sekilde iki cember sikistirmasi ile temsil edilebilecegini ileri surer Bu tip bir sikistirma olusturmak icin kullanilabilecek bir disbukey cok yuzlu verilen cizgeyi temsil eder ve tum kenarlarina teget bir kure olan orta kureye midsphere sahiptir Tersine bircok yuzlu bir orta kureye sahipse kurenin cok yuzlu yuzlerle kesismelerinden olusan cemberler ve her cok yuzlu tepe noktasindan bakildiginda kure uzerinde ufuklarin olusturdugu cemberler bu tipte ikili bir sikistirma olusturur Algoritmik yonlerCollins amp Stephenson 2003 William Thurston un fikirlerine dayali olarak cember sikistirmalari bulmak icin sayisal bir gevsetme algoritmasi tanimladilar Cozdukleri cember sikistirma probleminin versiyonu tum ic yuzlerin ucgen oldugu ve dis koselerin pozitif sayilarla etiketlendigi bir duzlemsel cizgeyi girdi olarak alir Cikti olarak tegetleri verilen cizgeyi temsil eden ve bunun icin dis koseleri temsil eden cemberlerin girdide belirtilen yaricaplara sahip oldugu bir cember sikistirmasi uretir Onerdikleri gibi sorunun anahtari once sikistirmanin icindeki cemberlerin yaricaplarini hesaplamaktir Yaricaplar bilindiginde cemberlerin geometrik konumlarinin hesaplanmasi zor degildir Gecerli bir sikistirmaya karsilik gelmeyen bir dizi gecici yaricapla baslarlar ve ardindan asagidaki adimlari tekrar tekrar gerceklestirirler Giris cizgesinin dahili bir v tepe noktasini secin Komsular gecici yaricaplarini kullanarak birbirlerine ve merkez cembere teget yerlestirilmis olsaydi k komsu cemberlerinin v icin cemberin etrafini kaplayacagi toplam 8 acisini hesaplayin Komsu cemberler icin temsili bir yaricap r belirleyin oyle ki r yaricapli k cemberler v nin komsularinin verdigi gibi ayni 8 kaplama acisini verecektir v icin yeni yaricapi r yaricapli k cemberlerin tam olarak 2p lik bir kaplama acisi verecegi deger olarak ayarlayin Bu adimlarin her biri basit trigonometrik hesaplamalarla gerceklestirilebilir Collins ve Stephenson un iddia ettigi gibi yaricaplar sistemi tum kaplama acilarinin tam olarak 2p oldugu benzersiz bir sabit noktaya hizla yakinsar Sistem birlestikten sonra her bir ardisik cemberin merkezini belirlemek icin iki komsu cemberin konumlari ve yaricaplari kullanilarak her asamada cemberler birer birer yerlestirilebilir Mohar 1993 cok yuzlu bir cizgenin eszamanli sikistirmalarini bulmak icin benzer bir yinelemeli teknigi ve ikili cemberlerin primal cemberlere dik acilarda oldugu ikiligini aciklar Yontemin cember sayisinda ve log1 e turunden zaman polinomu aldigini kanitladi burada e hesaplanan sikistirmanin merkezlerinin ve yaricaplarinin optimum sikistirmada olanlardan uzakligina baglidir GenellemelerCember sikistirma teoremi duzlemsel olmayan cizgelere genellestirir G bir yuzeye S gomulebilir bir cizgedir daha sonra bir sabit oldugu kavisli Riemannsal metrik S ve bir cember sikistirmasi S d kontak cizgesi G ye izomorfiktir S kapaliysa kompakt ve sinirsiz ve G S nin ucgenlemesiyse S d ve sikistirma acikorur esdegerlige kadar benzersizdir S kure ise o zaman bu esdegerlik Mobius donusumlerine baglidir bir simit torus ise S cinsi en az 2 ise esdegerlik bir sabit ve izometrilere gore olceklendirmeye kadardir boylece esdegerlik izometrilere kadardir Cember sikistirma teoreminin baska bir genellemesi teget kosulunun komsu koselere karsilik gelen cemberler arasindaki belirli bir kesisme acisi ile degistirilmesini icerir Ozellikle zarif bir versiyon asagidaki gibidir G nin sonlu 3 baglantili bir duzlemsel cizge yani cok yuzlu bir cizge oldugunu varsayalim o zaman bir cift cember dolgusu vardir bunlardan birinin kesisme cizgesi G ye izomorfiktir digeri kesisme cizgesi G nin duzlemsel ciftine izomorfiktir ve G deki her tepe noktasi ve ona bitisik yuz icin tepe noktasina karsilik gelen birinci sikistirmadaki cember yuze karsilik gelen ikinci sikistirmadaki cember ile ortogonal olarak kesisir Ornegin bu sonucun dort yuzlu cizgesine uygulanmasi herhangi bir dort karsilikli teget cember icin her biri ilk dortten ucune ortogonal olan dort karsilikli teget cemberden olusan ikinci bir set verir Kesisme acisini ters mesafe ile degistiren baska bir genelleme bazi cemberlerin kesisme veya teget olmaktan ziyade birbirinden ayrilmasi gereken sikistirmalarin spesifikasyonuna izin verir Yine baska bir genelleme cesidi cember olmayan sekillere izin verir Farz edin ki G V E sonlu bir duzlemsel cizgedir ve G nin her tepe noktasi v kapali birim diske homeomorfik ve siniri duzgun olan bir Kv R2 displaystyle K v subset mathbb R 2 sekline karsilik gelir Sonra duzlemde bir P Kv v V displaystyle P K v v in V sikistirmasi vardir oyle ki Kv Ku displaystyle K v cap K u neq varnothing ancak ve ancak v u E displaystyle v u in E ve her bir v V displaystyle v in V icin Kv displaystyle K v kumesi Kv displaystyle K v den cevirerek ve olceklendirerek elde edilir Orijinal cember sikistirma teoreminde kose basina uc gercek parametre vardir bunlardan ikisi karsilik gelen cemberin merkezini biri yaricapi tanimlamaktadir ve kenar basina bir denklem vardir Bu ayni zamanda bu genellemede de gecerlidir Bu genellemenin bir kaniti Koebe nin orijinal ispati ve Brandt ve Harrington teoreminin uygulanmasiyla elde edilebilir bu teorem herhangi bir sonlu baglanmis alanin donusumlere ve olceklemeye kadar sinir bilesenleri belirli sekillere sahip olan bir duzlemsel alana acikorur esdeger oldugunu belirtir TarihceCember sikistirma teoremi ilk olarak Paul Koebe tarafindan kanitlandi William Thurston cember sikistirma teoremini yeniden kesfetti ve EM Andreev in calismasindan izledigini belirtti Thurston ayrica duzlemin basitce baglanmis uygun bir alt kumesinin birim diskin ic kismina bir homeomorfizmi elde etmek icin daire paketleme teoremini kullanmak icin bir sema onerdi Cember Sikistirmalari icin Thurston Varsayimi Thurston Conjecture for Circle Packings cemberlerin yaricaplari sifira yoneldikce homeomorfizmin Riemann donusumune yakinsayacagi varsayimidir Thurston Varsayimi daha sonra Burton Rodin ve Dennis Sullivan tarafindan kanitlandi Bu cember sikistirma teoreminin uzantilari acikorur donusumlerle iliskiler ve uygulamalar hakkinda bir arastirma telasina yol acti Notlar a b Thurston 1978 1981 Chap 13 a b c d e Stephenson 1999 Beardon amp Stephenson 1991 Carter amp Rodin 1992 Colin de Verdiere 1991 Lipton amp Tarjan 1979 Miller et al 1997 Benjamini amp Schramm 2001 Jonnason amp Schramm 2000 Kelner 2006 Malitz amp Papakostas 1994 Keszegh Pach amp Palvolgyi 2011 Brightwell amp Scheinerman 1993 An absolute property of four mutually tangent circles Non Euclidean geometries Math Appl N Y 581 New York Springer 2006 ss 109 114 doi 10 1007 0 387 29555 0 5 8 2 Inversive distance packings Uniformizing dessins and Belyĭ maps via circle packing Memoirs of the American Mathematical Society 805 2004 ss 78 82 doi 10 1090 memo 0805 a b Koebe 1936 Brandt 1980 Harrington 1982 Rodin amp Sullivan 1987 Konuyla ilgili yayinlarNachmias Asaf 2020 The Circle Packing Theorem In Planar Maps Random Walks and Circle Packing Lecture Notes in Mathematics vol 2243 Springer Cham https doi org 10 1007 978 3 030 27968 4 3 Kenneth Stephenson 2003 Circle Packing A Mathematical Tale Makale 26 Ekim 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arsivlendi Sally Dong Yin Tat Lee amp Kent Quanrud 2019 Computing Circle Packing Representations of Planar Graphs https arxiv org abs 1911 00612 24 Ekim 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arsivlendi Kevin Pratt Connor Riley amp Donald R Sheehy 1998 Exploring Circle Packing Algorithms Makale 23 Ekim 2016 tarihinde Wayback Machine sitesinde arsivlendi Ayrica bakiniz ucgen bosluklarin tekrar tekrar doldurulmasiyla olusturulan sonsuz bir conta belirli tegetler olmadan yogun cember duzenlemeleri sonsuz 6 duzenli duzlemsel cizgeleri temsil eden cember sikistirmalari rasyonel sayi dogrusu boyunca cemberler yigini dairelerinin tumu esit yaricaplara sahip olan madeni para cizgeleri bir ambalajdaki bitisik cemberlerin boyutlarina bagliDis baglantilarCirclePack 27 Eylul 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arsivlendi cizgelerden cember sikistirmalari olusturmak icin ucretsiz yazilim ve Circle packing bibliography 20 Nisan 2019 tarihinde Wayback Machine sitesinde arsivlendi Kenneth Stephenson Tennessee UniversitesiKaynakcaAndreev E M 1970 Convex polyhedra in Lobacevskiĭ spaces Mat Sb N S 81 123 ss 445 478 MR 0259734 Beardon Alan F Stephenson Kenneth 1990 The uniformization theorem for circle packings cilt 39 ss 1383 1425 24 Ekim 2020 tarihinde kaynagindan arsivlendi erisim tarihi 21 Ekim 2020 Beardon Alan F Stephenson Kenneth 1991 The Schwarz Pick lemma for circle packings cilt 35 ss 577 606 24 Ekim 2020 tarihinde kaynagindan arsivlendi erisim tarihi 21 Ekim 2020 Andreev E M 1970 Convex polyhedra of finite volume in Lobacevskiĭ space Mat Sb N S 83 125 ss 256 260 MR 0273510 2001 Recurrence of distributional limits of finite planar graphs Electronic Journal of Probability cilt 6 MR 1873300 27 Eylul 2011 tarihinde kaynagindan arsivlendi erisim tarihi 21 Ekim 2020 Brandt M 1980 Ein Abbildungssatz fur endlich vielfach zusammenhangende Gebiete Bull de la Soc des Sc et des Lettr de Lodz cilt 30 Brightwell Graham R 1993 Representations of planar graphs SIAM J Discrete Math 6 2 ss 214 229 doi 10 1137 0406017 Carter Ithiel Rodin Burt 1992 An inverse problem for circle packing and conformal mapping cilt 334 ss 861 875 24 Ekim 2020 tarihinde kaynagindan arsivlendi erisim tarihi 21 Ekim 2020 1991 Une principe variationnel pour les empilements de cercles Inventiones Mathematicae 104 1 ss 655 669 Bibcode 1991InMat 104 655C doi 10 1007 BF01245096 Collins Charles R Stephenson Kenneth 2003 A circle packing algorithm 25 3 ss 233 256 doi 10 1016 S0925 7721 02 00099 8 MR 1975216 Harrington Andrew N 1982 Conformal mappings onto domains with arbitrarily specified boundary shapes 41 1 ss 39 53 doi 10 1007 BF02803393 Jonnason Johan 2000 On the cover time of planar graphs Electronic Communications in Probability cilt 5 ss 85 90 27 Eylul 2011 tarihinde kaynagindan arsivlendi erisim tarihi 21 Ekim 2020 Kelner Jonathan A 2006 Spectral partitioning eigenvalue bounds and circle packings for graphs of bounded genus SIAM Journal on Computing 35 4 ss 882 902 doi 10 1137 S0097539705447244 hdl 1721 1 30169 Keszegh Balazs Palvolgyi Domotor 2011 Drawing planar graphs of bounded degree with few slopes Brandes Ulrik Cornelsen Sabine Ed Graph Drawing 18th International Symposium GD 2010 Konstanz Germany September 21 24 2010 Revised Selected Papers Lecture Notes in Computer Science 6502 Heidelberg Springer ss 293 304 arXiv 1009 1315 2 doi 10 1007 978 3 642 18469 7 27 MR 2781274 1936 Kontaktprobleme der Konformen Abbildung Ber Sachs Akad Wiss Leipzig Math Phys Kl cilt 88 ss 141 164 Tarjan Robert E 1979 A separator theorem for planar graphs SIAM Journal on Applied Mathematics cilt 36 ss 177 189 CiteSeerX 10 1 1 104 6528 2 doi 10 1137 0136016 Malitz Seth Papakostas Achilleas 1994 On the angular resolution of planar graphs 7 2 ss 172 183 doi 10 1137 S0895480193242931 MR 1271989 Thurston William Vavasis Stephen A 1997 Separators for sphere packings and nearest neighbor graphs J ACM 44 1 ss 1 29 doi 10 1145 256292 256294 1993 A polynomial time circle packing algorithm Discrete Mathematics 117 1 3 ss 257 263 doi 10 1016 0012 365X 93 90340 Y Sullivan Dennis 1987 The convergence of circle packings to the Riemann mapping Journal of Differential Geometry 26 2 ss 349 360 27 Ekim 2020 tarihinde kaynagindan arsivlendi erisim tarihi 21 Ekim 2020 Rohde Steffen 2011 Oded Schramm from circle packing to SLE cilt 39 ss 1621 1667 Stephenson Kenneth 1999 The approximation of conformal structures via circle packing PDF Computational methods and function theory 1997 Nicosia Ser Approx Decompos 11 World Sci Publ River Edge NJ ss 551 582 MR 1700374 Stephenson Ken 2003 Circle packing a mathematical tale PDF cilt 50 ss 1376 1388 26 Ekim 2020 tarihinde kaynagindan arsivlendi PDF erisim tarihi 21 Ekim 2020 Stephenson Ken 2005 Introduction to circle packing the theory of discrete analytic functions Cambridge Cambridge University Press Thurston William 1985 The finite Riemann mapping theorem Invited talk at the International Symposium at Purdue University on the occasion of the proof of the Bieberbach conjecture Thurston William 1978 1981 The geometry and topology of 3 manifolds Princeton lecture notes 12 Eylul 2010 tarihinde kaynagindan arsivlendi erisim tarihi 21 Ekim 2020 Matematik ile ilgili bu madde taslak seviyesindedir Madde icerigini genisleterek Vikipedi ye katki saglayabilirsiniz