Azərbaycanca
Беларускі
Dansk
Deutsch
Española
Français
Indonesia
Italiana
日本語
Қазақ
Lietuvos
Nederlands
Português
Русский
සිංහල
แบบไทย
Türkçe
Українська
中國人
United State
Afrikaans
Tarihte birleşik bir matematik teorisine ulaşmak için çeşitli girişimlerde bulunulmuştur. En büyük matematikçilerden bazıları, tüm konunun tek bir teoriye sığdırılması gerektiği görüşünü dile getirdiler.
Tarihi bakış açısı
Birleştirme süreci, bir disiplin olarak matematiği neyin oluşturduğunu tanımlamaya yardımcı olarak görülebilir.
Örneğin, cebir ve geometri büyük ölçüde farklı kabul edilirken, mekanik ve matematiksel analiz, 18. yüzyılda, diferansiyel denklem kavramıyla birleştirilen tek bir konuda müşterek biçimde birleştirildi. Şimdi analiz, cebir ve geometriyi ele alıyoruz, ancak mekanik değil, çünkü bunlar öncelikle tümdengelimli biçimsel bilimlerdir, fizik gibi mekanikler ise gözlemlerle ilerlemelidir. Eski anlamda analitik mekanik, şimdi daha yeni manifoldlar teorisine dayanan terimleriyle ifade edildiğinden, önemli bir içerik kaybı yoktur.
Matematiksel teoriler
Teori terimi, matematikte gayri resmi olarak, kendi içinde tutarlı bir , aksiyomlar, teoremler, örnekler vb. anlamına gelir. (Örnekler arasında grup teorisi, Galois teorisi, kontrol teorisi ve yer alır.) Özellikle varsayımsal bir çağrışım yoktur. Bu nedenle, birleştirici teori terimi daha çok matematikçilerin eylemlerini incelemek için kullanılan sosyolojik bir terim gibidir. Keşfedilmemiş bir bilimsel bağlantıya benzeyen varsayımsal hiçbir şey varsayılamayabilir. Matematikte, dilbilimdeki Proto-World veya Gaia hipotezi gibi kavramların gerçekten bir akrabası yoktur.
Bununla birlikte, matematik tarihinde, bireysel teorem kümelerinin tek bir birleştirici sonucun özel durumları olduğu veya bir matematik alanı geliştirirken nasıl ilerleyeceğine dair tek bir bakış açısının konunun birçok dalına verimli bir şekilde uygulanabileceği birkaç bölüm olmuştur.
Geometrik teoriler
İyi bilinen bir örnek, Descartes ve Fermat gibi matematikçilerin elinde, özel tipteki eğriler ve yüzeyler hakkında, her biri daha sonra aynı teknikler kullanılarak kanıtlanabilen, birçok teoremin cebirsel dilde (daha sonra yeni şekilde) ifade edilebileceğini gösteren analitik geometrinin gelişimiydi. aynı teknikler kullanılarak kanıtlanabilir. Yani, geometrik yorumlar farklı olsa bile teoremler cebirsel olarak çok benzerdi.
1859'da Arthur Cayley, kullanarak metrik geometrilerin birleştirilmesini başlattı. Daha sonra Felix Klein, Öklid dışı geometri için bir temel sağlamak için bu tür metrikleri kullandı.
1872'de Felix Klein, 19. yüzyılda geliştirilen birçok geometri dalının (, projektif geometri, hiperbolik geometri vb.) hepsinin tek tip bir şekilde ele alınabileceğini kaydetti. Bunu, geometrik nesnelerin değişmez olduğu grupları dikkate alarak yaptı. Geometrinin bu birleşimi adıyla anılır.
Genel açı teorisi, alan'ın ile birleştirilebilir. alan cinsinden tanımlanır, doğal logaritma ile ilişkilendirilen alana çok yakındır. Dairesel açı, yarıçapı ikinin kareköküne eşit olan bir daireye atıfta bulunulduğunda alan yorumuna da sahiptir. Bu alanlar sırasıyla ve dairesel dönüş açısından değişmezdir..Bu afin dönüşümler, özel lineer grup elemanları tarafından gerçekleştirilir. Bu grubun incelenmesi, eğimleri artıran veya azaltan ancak eğim farklılıklarının değişmediği (shear mappings) ortaya koymaktadır. Eğim farklılıklarına bağlı bir alan olarak da yorumlanan üçüncü bir açı türü, kayma haritasının alan koruması nedeniyle değişmezdir.
Belitleştirilmeye doğru
20. yüzyılın başlarında, matematiğin birçok bölümü, faydalı aksiyom kümelerini betimleyerek ve ardından sonuçlarını inceleyerek ele alınmaya başlandı. Bu nedenle, örneğin, tarafından ele alınan "" çalışmaları halka teorisinin dalları olarak aksiyomatik bir temele oturtulmuştur (bu durumda, karmaşık sayılar cismi üzerinde özel anlamı ile). Bu bağlamda bölüm halkası kavramı en güçlü birleştiricilerden biridir.
Bu, genel bir metodoloji değişikliğiydi, çünkü o zamana kadar uygulamaların ihtiyaçları, matematiğin çoğunun algoritmalar (veya algoritmik olmaya yakın süreçler) aracılığıyla öğretildiği anlamına geliyordu. Aritmetik hala bu şekilde öğretiliyor. Matematiksel mantığın matematiğin bağımsız bir dalı olarak gelişmesine paraleldi. 1930'larda sembolik mantığın kendisi matematiğe yeterince dahil edildi.
Çoğu durumda, incelenen matematiksel nesneler (kanonik olmasa da) kümeler olarak veya daha gayri resmi olarak, toplama işlemi gibi ek yapıya sahip kümeler olarak tanımlanabilir. Küme teorisi artık matematiksel temaların geliştirilmesi için bir ortak dil olarak hizmet vermektedir.
Bourbaki
Aksiyomatik gelişimin nedeni, Bourbaki matematikçiler grubu tarafından ciddiyetle ele alındı. En uç noktasına götürüldüğünde, bu tutumun matematiğin en büyük genelliğinde geliştirilmesini talep ettiği düşünülüyordu. Biri en genel aksiyomlardan başladı ve daha sonra örneğin değişmeli halkalar üzerinde modüller ekleyerek ve yalnızca kesinlikle gerekli olduğunda gerçek sayılar üzerinden vektör uzaylarıyla sınırlayarak uzmanlaştı. Uzmanlaşmalar birincil ilgi teoremleri olduğunda bile hikâye bu şekilde ilerledi.
Özellikle, bu bakış açısı, çalışma nesneleri genellikle özel olan veya konunun daha aksiyomatik dallarıyla yalnızca yüzeysel olarak ilişkilendirilebilecek durumlarda bulunan matematik alanlarına (kombinatorik gibi) çok az değer verdi.
Bir rakip olarak kategori teorisi
Kategori teorisi, başlangıçta 20. yüzyılın ikinci yarısında geliştirilen birleştirici bir matematik teorisidir. Bu açıdan küme teorisine bir alternatif ve tamamlayıcıdır. "Kategorik" bakış açısından anahtar bir tema, matematiğin yalnızca belirli türdeki nesneleri (Lie grupları, , vb.) değil, aynı zamanda yapılarını koruyan aralarındaki eşlemeleri de gerektirmesidir.
Özellikle bu, matematiksel nesnelerin aynı olarak kabul edilmesinin tam olarak ne anlama geldiğini netleştirir. (Örneğin, tüm eşkenar üçgenler aynı mıdır, yoksa boyut önemli midir?) , yeterli 'her yerde bulunan' (matematiğin çeşitli dallarında meydana gelen) herhangi bir kavramın, kendi başına tecrit etmeyi ve çalışmayı hak ettiğini öne sürdü. Kategori teorisi bu amaca diğer mevcut yaklaşımlardan tartışmasız daha iyi uyarlanmıştır. Sözde (abstract nonsense) güvenmenin dezavantajları, somut problemlerde köklerden kopma anlamında belli bir yavanlık ve soyutlamadır. Bununla birlikte, kategori teorisi yöntemleri, birçok alanda ( kadar) kabulde istikrarlı bir şekilde ilerlemiştir.
Birleştirici teoriler
Daha küçük bir ölçekte, matematiğin iki farklı dalındaki sonuç kümeleri arasındaki benzerlikler, paralellikleri açıklayabilecek birleştirici bir çerçevenin var olup olmadığı sorusunu gündeme getirir. Analitik geometri örneğini daha önce belirtmiştik ve daha genel olarak cebirsel geometri alanı, geometrik nesneler (cebirsel varyeteler veya daha genel olarak ) ile cebirsel nesneler () arasındaki bağlantıları tamamen geliştirir; Buradaki mihenk taşı sonucu ve kabaca konuşursak, iki tür nesne arasında doğal bire bir yazışma olduğunu gösterir.
Diğer teoremleri de aynı ışıkta görebiliriz. Örneğin, , bir alanın uzantıları ile alanın alt grupları arasında bire bir yazışma olduğunu iddia eder. Eliptik eğriler için (şimdi kanıtlanmış durumda), olarak tanımlanan eğriler ile rasyonel sayılar üzerinde tanımlanan arasında bire bir yazışma kurar. Bazen Monstrous Moonshine lakaplı bir araştırma alanı, modüler formlar ile olarak bilinen sonlu basit grup arasında bağlantılar geliştirdi ve yalnızca her birinde oldukça sıra dışı olan 196884 sayısının çok doğal bir şekilde ortaya çıkacağına dair sürpriz gözlemle yola çıktı. olarak bilinen başka bir alan da benzer şekilde görünüşte gelişigüzel benzerliklerle (bu durumda, sayı-teorik sonuçlar ve belirli grupların temsilleri arasında) başlar ve her iki sonuç kümesinin de doğal sonuçları olacağı yapıları arar.
Başlıca birleştirici kavramların referans listesi
Bu teorilerin kısa bir listesi şunları içerebilir:
Modüler teori ile ilgili son gelişmeler
İyi bilinen bir örnek, rasyonel sayılar üzerindeki her bir çevrilebileceğini (ilişkili koruyacak şekilde) öneren, şimdi olan . Bunu kelimenin tam anlamıyla bir izomorfizmle tanımlamanın zorlukları vardır. Bazı eğrilerin, varsayım formüle edilmeden önce (yaklaşık 1955) hem eliptik eğriler ( 1'in) hem de olduğu biliniyordu. Tahminin şaşırtıcı kısmı, cins > 1'in modüler eğrilerinin faktörlerine genişletilmesiydi. Varsayım açıklanmadan önce, bu tür rasyonel faktörlerin 'yeterli' olması muhtemelen makul görünmemişti; ve aslında sayısal kanıtlar, tabloların bunu doğrulamaya başladığı 1970'lere kadar çok azdı. eliptik eğriler durumu, 1964'te Shimura tarafından kanıtlandı. Bu varsayım, genel olarak kanıtlanmadan önce on yıllarca geçerliliğini korudu.
Aslında (veya felsefesi) daha çok birleştirici varsayımlar ağına benzer; gerçekten de genel teorisinin Robert Langlands tarafından tanıtılan tarafından düzenlendiğini varsayıyor. L-grubuna göre fonksiyonellik ilkesi, bilinen otomorfik formların kaldırılması türlerine göre çok büyük bir açıklayıcı değere sahiptir (şimdi daha geniş olarak olarak incelenmektedir). Bu teori bir anlamda Taniyama-Shimura varsayımıyla yakından bağlantılı olsa da, varsayımın aslında tam tersi yönde işlediği anlaşılmalıdır. kategorisinde (çok soyut olarak) yer alan bir nesneyle başlayan otomorfik bir formun varlığını gerektirir.
Bir diğer önemli ilgili nokta, Langlands yaklaşımının, Monstrous Moonshine'ın tetiklediği tüm gelişmeden (Fourier serisi olarak ve ve diğer grup temsilleri arasındaki bağlantılar) ayrı durmasıdır. Langlands felsefesi bu araştırma çizgisini ne önceden haber verdi ne de dahil edebildi.
K-teorisinde izomorfizm varsayımları
Şimdiye kadar daha az gelişmiş olan ancak matematiğin geniş bir alanını kapsayan başka bir durum, bazı bölümlerinin varsayımsal temelidir. Artık uzun süredir devam eden bir problem olan , olarak bilinen bir grupta başkaları da katıldı. Bunlar, ve içerir.
Ayrıca bakınız
Kaynakça
- ^ Thomas Hawkins (1984) "The Erlanger Program of Felix Klein: Reflections on Its Place In the History of Mathematics", Historia Mathematica 11:442–70.
- ^
![image]()
Geometry/Unified Angles at Wikibooks
wikipedia, wiki, viki, vikipedia, oku, kitap, kütüphane, kütübhane, ara, ara bul, bul, herşey, ne arasanız burada,hikayeler, makale, kitaplar, öğren, wiki, bilgi, tarih, yukle, izle, telefon için, turk, türk, türkçe, turkce, nasıl yapılır, ne demek, nasıl, yapmak, yapılır, indir, ücretsiz, ücretsiz indir, bedava, bedava indir, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, resim, müzik, şarkı, film, film, oyun, oyunlar, mobil, cep telefonu, telefon, android, ios, apple, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, pc, web, computer, bilgisayar
Tarihte birlesik bir matematik teorisine ulasmak icin cesitli girisimlerde bulunulmustur En buyuk matematikcilerden bazilari tum konunun tek bir teoriye sigdirilmasi gerektigi gorusunu dile getirdiler Tarihi bakis acisiBirlestirme sureci bir disiplin olarak matematigi neyin olusturdugunu tanimlamaya yardimci olarak gorulebilir Ornegin cebir ve geometri buyuk olcude farkli kabul edilirken mekanik ve matematiksel analiz 18 yuzyilda diferansiyel denklem kavramiyla birlestirilen tek bir konuda musterek bicimde birlestirildi Simdi analiz cebir ve geometriyi ele aliyoruz ancak mekanik degil cunku bunlar oncelikle tumdengelimli bicimsel bilimlerdir fizik gibi mekanikler ise gozlemlerle ilerlemelidir Eski anlamda analitik mekanik simdi daha yeni manifoldlar teorisine dayanan terimleriyle ifade edildiginden onemli bir icerik kaybi yoktur Matematiksel teorilerTeori terimi matematikte gayri resmi olarak kendi icinde tutarli bir aksiyomlar teoremler ornekler vb anlamina gelir Ornekler arasinda grup teorisi Galois teorisi kontrol teorisi ve yer alir Ozellikle varsayimsal bir cagrisim yoktur Bu nedenle birlestirici teori terimi daha cok matematikcilerin eylemlerini incelemek icin kullanilan sosyolojik bir terim gibidir Kesfedilmemis bir bilimsel baglantiya benzeyen varsayimsal hicbir sey varsayilamayabilir Matematikte dilbilimdeki Proto World veya Gaia hipotezi gibi kavramlarin gercekten bir akrabasi yoktur Bununla birlikte matematik tarihinde bireysel teorem kumelerinin tek bir birlestirici sonucun ozel durumlari oldugu veya bir matematik alani gelistirirken nasil ilerleyecegine dair tek bir bakis acisinin konunun bircok dalina verimli bir sekilde uygulanabilecegi birkac bolum olmustur Geometrik teorilerIyi bilinen bir ornek Descartes ve Fermat gibi matematikcilerin elinde ozel tipteki egriler ve yuzeyler hakkinda her biri daha sonra ayni teknikler kullanilarak kanitlanabilen bircok teoremin cebirsel dilde daha sonra yeni sekilde ifade edilebilecegini gosteren analitik geometrinin gelisimiydi ayni teknikler kullanilarak kanitlanabilir Yani geometrik yorumlar farkli olsa bile teoremler cebirsel olarak cok benzerdi 1859 da Arthur Cayley kullanarak metrik geometrilerin birlestirilmesini baslatti Daha sonra Felix Klein Oklid disi geometri icin bir temel saglamak icin bu tur metrikleri kullandi 1872 de Felix Klein 19 yuzyilda gelistirilen bircok geometri dalinin projektif geometri hiperbolik geometri vb hepsinin tek tip bir sekilde ele alinabilecegini kaydetti Bunu geometrik nesnelerin degismez oldugu gruplari dikkate alarak yapti Geometrinin bu birlesimi adiyla anilir Genel aci teorisi alan in ile birlestirilebilir alan cinsinden tanimlanir dogal logaritma ile iliskilendirilen alana cok yakindir Dairesel aci yaricapi ikinin karekokune esit olan bir daireye atifta bulunuldugunda alan yorumuna da sahiptir Bu alanlar sirasiyla ve dairesel donus acisindan degismezdir Bu afin donusumler ozel lineer grup elemanlari tarafindan gerceklestirilir Bu grubun incelenmesi egimleri artiran veya azaltan ancak egim farkliliklarinin degismedigi shear mappings ortaya koymaktadir Egim farkliliklarina bagli bir alan olarak da yorumlanan ucuncu bir aci turu kayma haritasinin alan korumasi nedeniyle degismezdir Belitlestirilmeye dogru20 yuzyilin baslarinda matematigin bircok bolumu faydali aksiyom kumelerini betimleyerek ve ardindan sonuclarini inceleyerek ele alinmaya baslandi Bu nedenle ornegin tarafindan ele alinan calismalari halka teorisinin dallari olarak aksiyomatik bir temele oturtulmustur bu durumda karmasik sayilar cismi uzerinde ozel anlami ile Bu baglamda bolum halkasi kavrami en guclu birlestiricilerden biridir Bu genel bir metodoloji degisikligiydi cunku o zamana kadar uygulamalarin ihtiyaclari matematigin cogunun algoritmalar veya algoritmik olmaya yakin surecler araciligiyla ogretildigi anlamina geliyordu Aritmetik hala bu sekilde ogretiliyor Matematiksel mantigin matematigin bagimsiz bir dali olarak gelismesine paraleldi 1930 larda sembolik mantigin kendisi matematige yeterince dahil edildi Cogu durumda incelenen matematiksel nesneler kanonik olmasa da kumeler olarak veya daha gayri resmi olarak toplama islemi gibi ek yapiya sahip kumeler olarak tanimlanabilir Kume teorisi artik matematiksel temalarin gelistirilmesi icin bir ortak dil olarak hizmet vermektedir Bourbaki Aksiyomatik gelisimin nedeni Bourbaki matematikciler grubu tarafindan ciddiyetle ele alindi En uc noktasina goturuldugunde bu tutumun matematigin en buyuk genelliginde gelistirilmesini talep ettigi dusunuluyordu Biri en genel aksiyomlardan basladi ve daha sonra ornegin degismeli halkalar uzerinde moduller ekleyerek ve yalnizca kesinlikle gerekli oldugunda gercek sayilar uzerinden vektor uzaylariyla sinirlayarak uzmanlasti Uzmanlasmalar birincil ilgi teoremleri oldugunda bile hikaye bu sekilde ilerledi Ozellikle bu bakis acisi calisma nesneleri genellikle ozel olan veya konunun daha aksiyomatik dallariyla yalnizca yuzeysel olarak iliskilendirilebilecek durumlarda bulunan matematik alanlarina kombinatorik gibi cok az deger verdi Bir rakip olarak kategori teorisiKategori teorisi baslangicta 20 yuzyilin ikinci yarisinda gelistirilen birlestirici bir matematik teorisidir Bu acidan kume teorisine bir alternatif ve tamamlayicidir Kategorik bakis acisindan anahtar bir tema matematigin yalnizca belirli turdeki nesneleri Lie gruplari vb degil ayni zamanda yapilarini koruyan aralarindaki eslemeleri de gerektirmesidir Ozellikle bu matematiksel nesnelerin ayni olarak kabul edilmesinin tam olarak ne anlama geldigini netlestirir Ornegin tum eskenar ucgenler ayni midir yoksa boyut onemli midir yeterli her yerde bulunan matematigin cesitli dallarinda meydana gelen herhangi bir kavramin kendi basina tecrit etmeyi ve calismayi hak ettigini one surdu Kategori teorisi bu amaca diger mevcut yaklasimlardan tartismasiz daha iyi uyarlanmistir Sozde abstract nonsense guvenmenin dezavantajlari somut problemlerde koklerden kopma anlaminda belli bir yavanlik ve soyutlamadir Bununla birlikte kategori teorisi yontemleri bircok alanda kadar kabulde istikrarli bir sekilde ilerlemistir Birlestirici teorilerDaha kucuk bir olcekte matematigin iki farkli dalindaki sonuc kumeleri arasindaki benzerlikler paralellikleri aciklayabilecek birlestirici bir cercevenin var olup olmadigi sorusunu gundeme getirir Analitik geometri ornegini daha once belirtmistik ve daha genel olarak cebirsel geometri alani geometrik nesneler cebirsel varyeteler veya daha genel olarak ile cebirsel nesneler arasindaki baglantilari tamamen gelistirir Buradaki mihenk tasi sonucu ve kabaca konusursak iki tur nesne arasinda dogal bire bir yazisma oldugunu gosterir Diger teoremleri de ayni isikta gorebiliriz Ornegin bir alanin uzantilari ile alanin alt gruplari arasinda bire bir yazisma oldugunu iddia eder Eliptik egriler icin simdi kanitlanmis durumda olarak tanimlanan egriler ile rasyonel sayilar uzerinde tanimlanan arasinda bire bir yazisma kurar Bazen Monstrous Moonshine lakapli bir arastirma alani moduler formlar ile olarak bilinen sonlu basit grup arasinda baglantilar gelistirdi ve yalnizca her birinde oldukca sira disi olan 196884 sayisinin cok dogal bir sekilde ortaya cikacagina dair surpriz gozlemle yola cikti olarak bilinen baska bir alan da benzer sekilde gorunuste gelisiguzel benzerliklerle bu durumda sayi teorik sonuclar ve belirli gruplarin temsilleri arasinda baslar ve her iki sonuc kumesinin de dogal sonuclari olacagi yapilari arar Baslica birlestirici kavramlarin referans listesiBu teorilerin kisa bir listesi sunlari icerebilir Kartezyen geometri Kalkulus Karmasik analiz Galois teorisi Lie grubu Kume teorisi Hilbert uzayi Hesaplanabilir fonksiyon Homolojik cebirModuler teori ile ilgili son gelismelerIyi bilinen bir ornek rasyonel sayilar uzerindeki her bir cevrilebilecegini iliskili koruyacak sekilde oneren simdi olan Bunu kelimenin tam anlamiyla bir izomorfizmle tanimlamanin zorluklari vardir Bazi egrilerin varsayim formule edilmeden once yaklasik 1955 hem eliptik egriler 1 in hem de oldugu biliniyordu Tahminin sasirtici kismi cins gt 1 in moduler egrilerinin faktorlerine genisletilmesiydi Varsayim aciklanmadan once bu tur rasyonel faktorlerin yeterli olmasi muhtemelen makul gorunmemisti ve aslinda sayisal kanitlar tablolarin bunu dogrulamaya basladigi 1970 lere kadar cok azdi eliptik egriler durumu 1964 te Shimura tarafindan kanitlandi Bu varsayim genel olarak kanitlanmadan once on yillarca gecerliligini korudu Aslinda veya felsefesi daha cok birlestirici varsayimlar agina benzer gercekten de genel teorisinin Robert Langlands tarafindan tanitilan tarafindan duzenlendigini varsayiyor L grubuna gore fonksiyonellik ilkesi bilinen otomorfik formlarin kaldirilmasi turlerine gore cok buyuk bir aciklayici degere sahiptir simdi daha genis olarak olarak incelenmektedir Bu teori bir anlamda Taniyama Shimura varsayimiyla yakindan baglantili olsa da varsayimin aslinda tam tersi yonde isledigi anlasilmalidir kategorisinde cok soyut olarak yer alan bir nesneyle baslayan otomorfik bir formun varligini gerektirir Bir diger onemli ilgili nokta Langlands yaklasiminin Monstrous Moonshine in tetikledigi tum gelismeden Fourier serisi olarak ve ve diger grup temsilleri arasindaki baglantilar ayri durmasidir Langlands felsefesi bu arastirma cizgisini ne onceden haber verdi ne de dahil edebildi K teorisinde izomorfizm varsayimlariSimdiye kadar daha az gelismis olan ancak matematigin genis bir alanini kapsayan baska bir durum bazi bolumlerinin varsayimsal temelidir Artik uzun suredir devam eden bir problem olan olarak bilinen bir grupta baskalari da katildi Bunlar ve icerir Ayrica bakinizMatematik felsefesi Matematigin temelleriKaynakca Thomas Hawkins 1984 The Erlanger Program of Felix Klein Reflections on Its Place In the History of Mathematics Historia Mathematica 11 442 70 Geometry Unified Angles at Wikibooks