Zamanda sonlu farklar yöntemi, kısaca FDTD (İngilizce: Finite-difference time-domain) ya da Yee yöntemi, hesaplamalı elektromanyetizmada kullanılan bir sonlu farklar tekniğidir. Zaman düzleminde çalışan bir yöntem olduğundan ötürü, elektromanyetik spektrumun mikrodalga veya görünür ışık gibi farklı bölgelerinde anten veya fotonik aygıt tasarımı gibi çeşitli problemlerin çözümünde kullanılır. Aynı zamanda bu özellik, simülasyonu yapılan sistemin geniş bir frekans yelpazesine tepkisinin gözlenebilmesini sağlamaktadır. Matris tersinmesi gerektirmeyen bu FDTD, en yaygın elektromanyetik simülasyon yöntemlerinden biri olarak kabul edilir.
![image](https://www.wikipedia.tr-tr.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraXBlZGlhLnRyLXRyLm5pbmEuYXovaW1hZ2UvYUhSMGNITTZMeTkxY0d4dllXUXVkMmxyYVcxbFpHbGhMbTl5Wnk5M2FXdHBjR1ZrYVdFdlkyOXRiVzl1Y3k5MGFIVnRZaTltTDJZd0wwWkVWRVJmYlc5a1pXeGZiMlpmYkdsbmFIUmZjMk5oZEhSbGNtbHVaMTlpZVY5d2FHOTBiM0psWTJWd2RHOXlYMjUxWTJ4bGRYTXVjRzVuTHpJMU1IQjRMVVpFVkVSZmJXOWtaV3hmYjJaZmJHbG5hSFJmYzJOaGRIUmxjbWx1WjE5aWVWOXdhRzkwYjNKbFkyVndkRzl5WDI1MVkyeGxkWE11Y0c1bi5wbmc=.png)
FDTD yönteminin temeli, elektromanyetik teorinin temelini oluşturan Maxwell denklemleri'nin zamanda ve uzayda ayrıklaştırılmasına dayalıdır. Denklemlerdeki zamana ve uzaya bağlı kısmi türevlerinin sonlu farklar cinsinden yazılması ile yaklaşık bir çözüm elde edilebilir. Simülasyon yapılacak alan kare şeklindeki kafeslere bölünür ve elektrik ile manyetik alan değişkenleri bu kafesin kenarlarına yerleştirilir. Ayrıklaştırılmış denklemler kullanılarak her bir kafesteki değişkenler sırası ile uzaya ve zamana bağlı olarak ile güncellenir. Bu şekilde spesifik bir malzeme ya da aygıtta elektromanyetik dalgaların zamana ve uzaya göre değişimi yaklaşık olarak hesaplanabilmektedir. FDTD, problemlere özgün farklı sınır koşullarına uyarlanabilmektedir ve bu şekilde, açık radyasyon problemleri ve periyodik sistemler çözülebilir.
Zamanda sonlu farklar yöntemi, 1966 yılında Kane S. Yee tarafından keşfedilmiştir ve bundan ötürü Yee yöntemi olarak da adlandırılır. Yönteme FDTD ismi, Northwestern Üniversitesi'nde görevli Allen Taflove tarafından 1980 yılında verilmiştir. FDTD, bilgisayarların işlemci gücünün artması ile 1980'li ve 1990'lı yıllarda savunma sanayisinde ve akademide sıklıkla kullanılmaya başlanmıştır. Yöntemi kullanan çok sayıda simülasyon ve CAD yazılımı bulunur.
Yöntem
Yee algoritması
![image](https://www.wikipedia.tr-tr.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraXBlZGlhLnRyLXRyLm5pbmEuYXovaW1hZ2UvYUhSMGNITTZMeTkxY0d4dllXUXVkMmxyYVcxbFpHbGhMbTl5Wnk5M2FXdHBjR1ZrYVdFdlkyOXRiVzl1Y3k5MGFIVnRZaTh4THpGaUwwWkVWRVJmV1dWbFgyZHlhV1JmTW1RdE0yUXVjM1puTHpNeU5YQjRMVVpFVkVSZldXVmxYMmR5YVdSZk1tUXRNMlF1YzNabkxuQnVadz09LnBuZw==.png)
FDTD algoritmasında zamana bağlı Maxwell denklemleri merkezî sonlu fark yaklaşımı ile zaman ve uzayda ayrıklaştırılır. Daha sonra ayrıklaştırılan uzayda zamana bağlı olarak sırayla elektrik ve manyetik alan vektörleri iterasyon ile çözülür. FDTD'yi diğer sonlu farklarından ayıran ana özellik, bu yöntemdeki uzay ayrıklaştırmasında "Yee kafesi" ya da "Yee ızgarası" adı verilen spesifik bir şemanın kullanılmasıdır. Bu şemaya göre Kartezyen koordinat sisteminde üç boyutlu uzay, kutu şeklinde kafeslere bölünür. Kenarlarına elektrik alanı vektörleri, yüzey normallerine ise manyetik alan vektörlerinin yerleştirildiği kafesler, yarı boyları kadar uzayda hareket ettirilir. Her harekette rotasyonel operatör kullanılan Maxwell denklemleri çözülür. Simülasyon alanını oluşturan her noktalardaki elektrik alanları her bir koordinat ekseninde kendinden önceki ve sonraki manyetik alan vektörleri ile adım adım güncellenir ve aynısı, her zaman adımı için sırasıyla elektrik ve manyetik alanlar için yapılır. Her zaman iterasyonunda uzaydaki yeni elektrik alan değerleri için (Maxwell-Faraday denklemi), yeni manyetik alanlar için ise Maxwell-Ampère denklemi kullanılır. Bu algoritma, simülasyon alanında simetrinin olduğu durumlarda simülasyonu hızlandırmak için bir ve iki boyutlu uzaya da uygulanabilmektedir.
Kıvrımlı yüzeylerin ve geometrilerin kafeslerle ayrıklaştırılması her türlü nümerik hatalara yol açacağından uzaydaki bilinmeyen sayısını artırmak gerekebilir. Bu durum problemin karmaşıklığını artırabildiğinden, FDTD'nin bu durumlarda performansının artırılabilmesi için uyumlu ayrıklaştırma algoritmaları geliştirilmiştir. Yee algoritması, küp şeklinde olmayan ve silindirik koordinat sistemlerindeki kafeslere de uyarlanabilmektedir. Silindirik koordinat sistemindeki yöntem, BOR/FDTD olarak adlandırılır. Yee algoritması aynı zamanda paralelize edilebilmektedir ve algoritmaya devre modellemesinin uygulanabilmesi mümkündür.
Nümerik stabilite ve dağılma
FDTD simülasyonunun stabil olması ve sonsuz değerler sapmaması için bazı stabilite koşullarına uyması gerekir. Bunlardan biri ayrık noktalarda ilerleyen bir dalganın simülasyonunda kullanılan zaman adımı süresinin dalganın bir yandaki noktaya ilerleme süresinden daha kısa olması gerektiğini belirten Courant-Friedrichs-Lewy koşuludur. Üç boyutlu bir küp şeması için bu koşul şu şekilde ifade edilebilir:
Burada ışık hızı,
birim zaman adımı süresi ve
de birim uzay adımı uzunluğudur. Yee'nin orijinal makalesinde stabilite koşulu hatalı verilmiş ve Allen Taflove ile Morris Brodwin'in 1975 yılındaki makalesinde düzeltilmiştir.Von Neumann stabilite analizi diğer sonlu farklar metotlarında olduğu gibi FDTD için de geçerlidir. 1990'lı yıllardan itibaren koşulsuz stabil olan FDTD yöntemleri de geliştirilmiştir.
FDTD algoritması, farklı dalga boyları için, nümerik dağılma adı verilen yapay dağılma ve faz hatalarına yol açabilir. Bu durum, dalganın vakuma çok yakın özelliklere sahip ama tam da vakum olmayan bir ortamda ilerlemesine benzetilebilir. Nümerik dağılmada vakumda ilerleyen bir dalga darbesini oluşturan frekans elemanları hareket sırasında hiçbir fiziksel faktör olmamasına rağmen bozunma veya dağılma yaşayabilir. FDTD modellemesinde nümerik dağılmanın ve hata limitlerinin göz önünde bulundurulması gerekir; bu durumu telafi etmek için farklı metot ve algoritmalar mevcuttur. Nümerik dağılmayı azaltmakta kullanılan başlıca metotlardan biri zamanda yarı spektral yöntemdir (PSTD); bu yöntemde uzaydaki türevler ayrık Fourier dönüşümü yardımı ile alınır. Elektrik ve manyetik alanların Laguerre polinomları cinsinden açılımı ile de koşulsuz stabilite elde edilebilir. FDTD'nin zaman bazlı bir algoritma olmasından dolayı da malzemelerin farklı frekans tepkilerini modellemek için konvolüsyon temelli algoritmaların kullanılması gerekebilir; bağıl geçirgenliğin zaman bazlı tepkisi için malzemeye bağlı olarak Lorentz ve Debye modelleri kullanılır.Doğrusal olmayan malzemeler ve kazanç ortamları için benzer modellemeler de mevcuttur.
Sınır ve kaynak koşulları
![image](https://www.wikipedia.tr-tr.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraXBlZGlhLnRyLXRyLm5pbmEuYXovaW1hZ2UvYUhSMGNITTZMeTkxY0d4dllXUXVkMmxyYVcxbFpHbGhMbTl5Wnk5M2FXdHBjR1ZrYVdFdlkyOXRiVzl1Y3k5MGFIVnRZaTgzTHpjMkwwWkVWRVJmVkVaVFJsOGxNamhVZFhKcmFYTm9KVEk1TG5CdVp5OHlPVEJ3ZUMxR1JGUkVYMVJHVTBaZkpUSTRWSFZ5YTJsemFDVXlPUzV3Ym1jPS5wbmc=.png)
Maxwell denklemlerinin sınırsızve açık uzayda çözümü ilgili sınır koşullarının belirlenmesini gerektirir. FDTD iterasyonları her ne kadar teknik olarak açık uzayda sonsuza kadar devam ettirilebilir olsa da, hiçbir bilgisayarın sınırsız veriyi saklaması etkili ve mümkün olmamasından ötürü, çözümün arandığı alanı izole eden sınır koşulları belirlenmiştir. Bazı elektromanyetik analiz yöntemlerinde kullanılan mükemmel elektrik iletken (PEC) sınır koşulları birçok FDTD uygulamalarında fiziksel olarak anlamlı olmayan sonuçlar vermeyebilir. Bu nedenle yöntem için soğuran sınır koşulları veya yutucu sınır koşulları geliştirilmiştir.
Soğuran sınır koşullarında simülasyon sınırlarının dışına çıkan dalgaların geri yansıma yapmadan soğurulması hedeflenir. Bu sınır koşulları, simülasyon alanlarının kaplayan ve içinde hareket eden dalgaların yansımadan soğurulduğu bir katman olarak düşünülebilir. Yee kafesi için ilk stabil soğuran sınır koşulu modeli 1981'de G. Mur tarafından bulunmuştur. Buna karşın ilk soğuran sınır koşullu modelleri farklı frekanslar için dağılmadan çalışsa da, soğuran yüzeylere dik gelmeyen düzlem dalgalarda yapay yansımalara yol açmaktaydı. 1994'te J. Berenger tarafından icat edilen mükemmel eşlenmiş katman (PML) sınır koşulu yaygın olarak kullanılmaktadır. Bu yöntemde katmana farklı açılardan gelen dalgalar yapay bileşenlerine ayrılır ve bu bileşenlerin yeni ortamda dalga empedansları eşlenir. Bu sırada dalga üstel bir operatör ile soğurulur. Daha sonraki araştırmalarda PML'lerin etkinliği yapay anizotropi ve esnek koordinat dönüşümleri ile geliştirilmiştir. Aslında fiziksel olmayan PML yöntemi az da olsa yapay yansımalara ve negatif indisli metamalzeme gibi ortamlarda stabilite sorunlarına yol açabilir. Standart PML yöntemi aynı zamanda evanesan dalgaların etkili bir biçimde soğurulmasında sorun yaşayabilmekte, PML'in performansı bu durumlarda konvolüsyonel metotlar ile iyileştirilebilmektedir.
Fotonik kristal ve frekans seçici yüzey gibi periyodik yapıların FDTD simülasyonu için ise periyodik sınır koşulları kullanılabilir. Bu sınır koşulları periyodik yapıyı oluşturan tek bir birimin simülasyonu ile tüm yapının tepkisinin ölçülmesini sağlar. Bu şekilde periyodik yapılar için büyük simülasyon problemlerinin hesaplanması basitleştirilebilir. Fotonik kristallerde kullanılan sınır koşulları Bloch ile Floquet teorilerine göre modellenebilir.Anten ve radar problemlerinde ise uzak alan bölgesindeki radyasyonun hesaplanması gerekebilir. Bu tarz problemlerde simülasyon bölgesi genişletilmeden antenin yakın alan bölgesindeki elektrik ve manyetik alanların işlenmesi ile bu veriler elde edilebilir. FDTD teorisinde bu işlem yakın alan-uzak alan dönüşümü olarak ifade edilir.
FDTD simülasyonlarında probleme uygun bir elektromanyetik dalga kaynağının tanımlanması gerekmektedir. Bu kaynak simülasyon bölgesine tek bir noktada ya da birden fazla noktalarda tanımlı bir elektrik/manyetik alan veya elektrik/manyetik akım yoğunluğu değeri şeklinde entegre edilebilir. Biyoelektromanyetizma ve savunma sanayi gibi birçok alanda düzlem dalga kaynakları kullanılır. FDTD simülasyonlarındaki en yaygın düzlem dalga formülasyonlarından biri özellikle saçılma problemlerinde işleyiş gören "toplam alan ve saçılan alan" formülasyonudur. Bu tip dalga kaynaklarında simülasyon bölgesi toplam alanların ve saçılan alanların bulunduğu iki bölgeye ayrılır; toplam alanların bulunduğu bölge saçılmaya yol açan objeyi kapsar ve diğer bölge bu bölge ile sınır koşullarının arasını doldurur. Toplam alanlar bölgesinin bir tarafından gönderilen dalganın öbür tarafından çıkarılması ile süperpozisyon prensibi kullanılarak objenin elektromanyetik alana tepkisi hesaplanabilir. Dalga kılavuzu gibi rezonant modlara sahip yapılar için ise bu modlarda salınım yapan kaynakların kullanılması gerekir.Lazer simülasyonları için gereken Gauss ışını ve ultra kısa darbe kaynakları da "toplam alan ve saçılan alan" formülasyonu ile modellenebilir.
Avantajları ve dezavantajları
FDTD yönteminin avantajları arasında basitliği ve homojen olmayan malzemelerin kolaylıkla modellenebilmesi bulunur. FDTD özellikle dalga boyunun aygıt ya da cisim geometrisi ile kıyaslanabilir boyutlarda olduğu problemlerde verimlidir. Yöntemde matris tersinmesi gibi karmaşıklığı yüksek işlemlerin kullanılmasına ihtiyaç duyulmadığından FDTD, genellikle frekans temelli diğer yöntemlere göre çok büyük sayıda bilinmeyenli problemlerin çözümünde kullanılabilir. Yöntemin zamana bağlı olması tek bir simülasyon ile sistemin geniş bir yelpazedeki frekans tepkisinin ölçülebilmesini mümkün kılar. FDTD, aynı zamanda moment yönteminin (MoM) aksine modellenen yapının Green fonksiyonunun hesaplanmasını gerektirmez.
Yöntemin dezavantajları arasında kübik kafes kullanımı ve malzeme dispersiyonu modellemeleri bulunur. Yee algoritmasında kullanılan ortogonal kafesler eğimli ve kıvrımlı yapıların modellemesinde bazı ayrıklaştırma hatalarına yol açabilir. Ortogonal ve karesel olmayan kafes algoritmaları geliştirilmişse de, bunlar Yee algoritmasına göre basitliğini ve etkinliğini kaybeder. FDTD, aynı zamanda mükemmel ya da iyi iletken malzemelerin modellenmesinde MoM kadar etkili değildir. Bunun başlıca nedeni FDTD'nin aksine MoM'da iletken yapıların sadece yüzeylerinin ayrıklaştırılmasıdır. Simülasyon bölgesinin dalga boylarından çok daha büyük olması durumunda ise faz hataları oluşabilir. Aynı zamanda standart FDTD'de, Courant-Friedrichs-Lewy koşulunun getirdiği birim zaman adım sınırı nedeniyle bazı düşük frekans biyoelektromanyetizma ve çok geniş ölçekli tümleşim (VLSI) problemleri çözülemez ve bu problemler için daha karmaşık koşulsuz stabil FDTD formülasyonları gerekir.
Tarihçe ve uygulamaları
FDTD, elektromanyetik problemlerin çözümünde kullanılan en yaygın yöntemlerden birisi olarak kabul edilir. Yöntem, süper bilgisayarların yaygınlaşması ve kişisel bilgisayarların işlem kapasitelerinin büyük ölçüde artması ile 1970'lerden itibaren popülerlik kazanmıştır. Basitliği, matris tersinmesi gerektirmemesi ve işlemsel verimliliği nedeniyle akademide ve endüstride sıklıkla tercih edilir.
Kane S. Yee, Maxwell denklemleri için geliştirdiği kafes algoritması ile ilgili makaleyi 1966 yılında IEEE Transactions on Antennas and Propagation dergisinde yayımladı. Bu makale ilk dönemlerinde mühendislik camiasından ilgi görmemişti. İlk kez Taflove ve Brodwin tarafından 1975'te biyoelektromanyetik modellemelere uygulanan yöntem, daha sonraki yıllarda elektromanyetik darbe ile radar kesiti problemlerine uygulandı. 1970'ler ve 1980'lerde savunma sanayisinde çalışan araştırmacılar, o dönemki frekans bazlı yöntemlerin sınırlamaları nedeniyle FDTD'ye yöneldi. Taflove, 1980'deki dielektrik ve iletken malzemelerdeki sinüzoidal dalgaların Yee algoritması ile modellenmesi ile ilgili çalışmasında yönteme "zamanda sonlu farklar yöntemi" ("finite-difference time-domain") ismini verdi. 1980'ler itibari ile dalga kılavuzu, anten ve mikroşerit gibi elektronik aygıtların FDTD modelleri mühendislik literatüründe yayımlandı. Bu dönemlerde aynı zamanda insan vücudu gibi homojen olmayan malzemelerin elektromanyetik modellenmesine olan ilgi artması, FDTD'nin popülerliğine katkıda bulundu. 1990'larda Berenger tarafından mükemmel eşlenmiş katmanların icat edilmesi ile yöntemin açık problemlere uygulanması kolaylaştı. Bu dönemlerde anten ve optik problemlerinin FDTD çözümü ile ilgili mühendislik literatüründeki yayınlar artış gösterdi. 2000'lerde ise bu algoritmaları kullanan ticari yazılımlar yaygınlaştı. FDTD'nin 2000'li ve 2010'lu yıllarda elektromanyetik modelleme literatürüne temel bir yöntem olarak yerleşmesi ile alandaki teorik araştırmalar daha karmaşık algoritmalara yöneldi.
Anten ve mikrodalga mühendisliği dışında FDTD'nin kullanıldığı alanlar arasında optik, fotonik, nanoteknoloji, dijital elektronik, düşük frekanslı jeofizik, biyoelektromanyetizma ve tıbbi görüntüleme teknolojileri bulunur. Yöntemin zamana bağlı olması lazer ışımaları ve solitonlar gibi doğrusal olmayan süreçlerin doğal bir şekilde simülasyonunu mümkün kılar.Katı hâl yapıları gibi karmaşık ve stokastik sistemlerin simülasyonunda ise sisteme kuantum mekaniği ve moleküler dinamik formülleri Yee algoritması ile entegre edilebilirken benzer şekilde plazmalar ve elektriksel kırılım akışkanlar dinamiği ve benzeri prensipler kullanılarak modellenebilmiştir.
FDTD yöntemini kullanan birçok ticari ve açık kaynak yazılım bulunur. Akademi ve endüstride kullanılan bazı FDTD simülasyon yazılımlarına örnek olarak REMCON XFDTD, Lumerical FDTD, RSoft Full Wave ve Massachusetts Teknoloji Enstitüsü'nün açık kaynak yazılımı MEEP verilebilir. Mikrodalga mühendisliğinde sıklıkla kullanılan CST Microwave Studio yazılımında ise FDTD ile ilişki olan (sonlu integral tekniği) (FIT) kullanılır.
Ayrıca bakınız
Kaynakça
- Özel
- ^ Solovei, Irina; Kreysing, Moritz; Lanctôt, Christian; Kösem, Süleyman; Peich, Leo; Cremer, Thomas; Guck, Jochen; Joffe1, Boris (2009). "Nuclear Architecture of Rod Photoreceptor Cells Adapts to Vision in Mammalian Evolution". Cell (İngilizce). 137 (2): 356-368. doi:10.1016/j.cell.2009.01.052.
- ^ Taflove & Hagness 2005, ss. 58-79.
- ^ Taflove & Hagness 2005, s. 610.
- ^ Yu et al. 2006, s. 33.
- ^ Yu et al. 2006, ss. 11-13.
- ^ Yu et al. 2006, ss. 193-194.
- ^ Yu et al. 2006, s. 145.
- ^ Thomas, V. A.; Jones, M. E.; Piket-May, M.; Taflove, A.; Harrigan, E. (1994). "The use of SPICE lumped circuits as sub-grid models for FDTD analysis". IEEE Microwave and Guided Wave Letters (İngilizce). 4 (5): 141-143. doi:10.1109/75.289516.
- ^ Piket-May, M.; Taflove, A.; Baron, J. (1994). "FD-TD modeling of digital signal propagation in 3-D circuits with passive and active loads". IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques (İngilizce). 42 (8): 1514-1523. doi:10.1109/22.297814.
- ^ Taflove & Hagness 2005, ss. 133-135.
- ^ Taflove, A.; Brodwin, M. E. (1975). "Numerical solution of steady-state electromagnetic scattering problems using the time-dependent Maxwell's equations" (PDF). IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques (İngilizce). 23 (8): 623-630. Bibcode:1975ITMTT..23..623T. doi:10.1109/TMTT.1975.1128640. 26 Ocak 2021 tarihinde kaynağından (PDF). Erişim tarihi: 19 Haziran 2020.
- ^ Pereda, A.; Vielva, L. A.; Vegas, A.; Prieto, A. (2001). "Analyzing the stability of the FDTD technique by combining the von Neumann method with the Routh-Hurwitz criterion". IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques (İngilizce). 49 (2): 623-630. doi:10.1109/22.903100.
- ^ Zhen, Fenghua; Chen, Zhizhang; Zhang, Jiazong (1999). Toward the development of a three-dimensional unconditionally stable finite-difference time-domain method. IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. 47. ss. 2003-2007. doi:10.1109/22.795075.
- ^ Zhen, Fenghua; Chen, Zhizhang; Zhang, Jiazong (2000). Toward the development of a three-dimensional unconditionally stable finite-difference time-domain method. IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. 48. ss. 1550-1558. doi:10.1109/22.869007.
- ^ a b c Teixeira, F. L. (2010). "A Summary Review on 25 Years of Progress and Future Challenges in FDTD and FETD Techniques". ACES Journal (İngilizce). 25 (1): 1-14.
- ^ Taflove & Hagness 2005, s. 107.
- ^ Taflove & Hagness 2005, ss. 138-153.
- ^ Liu, Q. H. (1998). "The PSTD algorithm: A time‐domain method requiring only two cells per wavelength". Microwave and Optical Technology Letters (İngilizce). 15 (3): 158-165. doi:10.1002/(SICI)1098-2760(19970620)15:3<158::AID-MOP11>3.0.CO;2-3.
- ^ Taflove & Hagness 2005, ss. 156-160.
- ^ Taflove, Oskooi & Johnson 2013, ss. 21-22.
- ^ Taflove & Hagness 2005, ss. 353-359.
- ^ Kelley, D.F.; Luebbers, R.J. (1996). "Piecewise linear recursive convolution for dispersive media using FDTD". IEEE Transactions on Antennas and Propagation (İngilizce). 44 (6): 792-797. doi:10.1109/8.509882.
- ^ Taflove & Hagness 2005, ss. 353, 376-403.
- ^ Akleman, Funda (1998). Zamanda sonlu farklar yöntemi ve yutucu sınır koşulları (Yüksek lisans). İstanbul Teknik Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü.
- ^ Taflove & Hagness 2005, s. 229.
- ^ Namiki, T. (1981). "A new FDTD algorithm based on alternating-direction implicit method". IEEE Trans. Electromagn. Compat. (İngilizce). 23 (4): 377-382. doi:10.1109/TEMC.1981.303970.
- ^ Taflove & Hagness 2005, ss. 273-274.
- ^ Berenger, J. (1994). "A perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic waves". Journal of Computational Physics (İngilizce). 114 (2): 185-200. Bibcode:1994JCoPh.114..185B. doi:10.1006/jcph.1994.1159.
- ^ Sacks, Z. S.; Kingsland, D. M.; Lee, R.; Lee, J. F. (1995). "A perfectly matched anisotropic absorber for use as an absorbing boundary condition". IEEE Transactions on Antennas and Propagation (İngilizce). 43 (12): 1460-1463. Bibcode:1995ITAP...43.1460S. doi:10.1109/8.477075.
- ^ Gedney, S. D. (1996). "An anisotropic perfectly matched layer absorbing media for the truncation of FDTD lattices". IEEE Transactions on Antennas and Propagation (İngilizce). 44 (12): 1630-1639. Bibcode:1996ITAP...44.1630G. doi:10.1109/8.546249.
- ^ Chew, W. C.; Weedon, W. H. (1994). "A 3d perfectly matched medium from modified Maxwell's equations with stretched coordinates". Microwave Optical Tech. Letters (İngilizce). 7 (13): 599-604. Bibcode:1994MiOTL...7..599C. doi:10.1002/mop.4650071304.
- ^ Teixeira, F. L.; Chew, W. C. (1998). "General closed-form PML constitutive tensors to match arbitrary bianisotropic and dispersive linear media". IEEE Microwave and Guided Wave Letters (İngilizce). 8 (6): 223-225. doi:10.1109/75.678571.
- ^ Taflove & Hagness 2005, ss. 293-294.
- ^ Cummer, Steven A. (2004). "Perfectly matched layer behavior in negative refractive index materials". IEEE Ant. Wireless Prop. Lett (İngilizce). 3 sayfalar =172-175. doi:10.1109/lawp.2004.833710.
- ^ Dong, X. T.; Rao, X. S.; Gan, Y. B.; Guo, B.; Yin, W. Y. (2004). "Perfectly matched layer-absorbing boundary condition for left-handed materials". IEEE Microwave Wireless Components Lett. (İngilizce). 14: 301-333. doi:10.1109/lmwc.2004.827104.
- ^ Loh, Po-Ru; Oskooi, Ardavan F.; Ibanescu, Mihai; Skorobogatiy, Maksim; Johnson, Steven G. (2009). "Fundamental relation between phase and group velocity, and application to the failure of perfectly matched layers in backward-wave structures". Phys. Rev. E (İngilizce). 79 (6): 065601. doi:10.1103/PhysRevE.79.065601.
- ^ Berenger, J. (1999). "Evanescent Waves in PML's: Origin of the Numerical Reflection in Wave-Structure Interaction Problems". IEEE Transactions on Antennas and Propagation (İngilizce). 47 (10): 1497-1503. doi:10.1109/8.805891.
- ^ Kuzuoğlu, M.; Mittra, R. (1996). "Frequency Dependence of the Constitutive Parameters of Causal Perfectly Matched Anisotropic Absorber". IEEE Microwave and Guided Wave Letters (İngilizce). 6 (12): 447-449. doi:10.1109/75.544545.
- ^ Roden, J. Alan; Gedney, Stephen D. (2000). "Convolution PML (CPML): An efficient FDTD implementation of the CFS–PML for arbitrary media". Microwave and Optical Technology Letters (İngilizce). 27 (5): 334-339. doi:10.1002/1098-2760(20001205)27:5<334::AID-MOP14>3.0.CO;2-A.
- ^ a b Taflove & Hagness 2005, ss. 553-555.
- ^ Harms, P.; Mittra, R.; Ko, Wai (1994). "Implementation of the periodic boundary condition in the finite-difference time-domain algorithm for FSS structures". IEEE Transactions on Antennas and Propagation (İngilizce). 42 (9): 1317-1324. doi:10.1109/8.318653.
- ^ Taflove & Hagness 2005, s. 776.
- ^ Taflove & Hagness 2005, ss. 349-372.
- ^ Taflove & Hagness 2005, ss. 175-228.
- ^ Çapoğlu, İlker R.; Taflove, Allen; Backman, Vadim (2013). "Computation of tightly-focused laser beams in the FDTD method". Optics Express (İngilizce). 21 (1): 87-101. doi:10.1364/OE.21.000087.
- ^ Çapoğlu, İlker R.; Taflove, Allen; Backman, Vadim (2013). "Generation of an incident focused light pulse in FDTD". Optics Express (İngilizce). 16 (23): 19208-19220. doi:10.1364/OE.16.019208.
- ^ a b c d Taflove & Hagness 2005, ss. 3-4.
- ^ Bondeson, Rylander & Ingelström 2013, ss. 57-58.
- ^ a b c d Davidson 2005, ss. 9-10.
- ^ a b Davidson 2005, ss. 11-12.
- ^ a b c Davidson 2005, s. 11.
- ^ a b Bondeson, Rylander & Ingelström 2013, s. 82.
- ^ Davidson 2005, s. 119.
- ^ Taflove & Hagness 2005, ss. 160-161.
- ^ a b Shlager, K.L.; Schneider, J.B. (1996). "A selective survey of the finite-difference time-domain literature". IEEE Antennas and Propagation Magazine (İngilizce). 37 (4): 39-57. doi:10.1109/74.414731.
- ^ Davidson 2005, ss. 8-9.
- ^ Taflove & Hagness 2005, ss. 1-4.
- ^ Yee, Kane (1966). "Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell's equations in isotropic media". IEEE Transactions on Antennas and Propagation (İngilizce). 14 (3): 302-307. Bibcode:1966ITAP...14..302Y. doi:10.1109/TAP.1966.1138693.
- ^ Pile, David (2015). "Numerical solution". Nature Photonics (İngilizce). 9: 5-6. doi:10.1038/nphoton.2014.305.
- ^ Taflove, A.; Brodwin, M. E. (1975). "Computation of the electromagnetic fields and induced temperatures within a model of the microwave-irradiated human eye" (PDF). IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques (İngilizce). 23 (11): 888-896. Bibcode:1975ITMTT..23..888T. doi:10.1109/TMTT.1975.1128708. 4 Mart 2016 tarihinde kaynağından (PDF). Erişim tarihi: 31 Aralık 2020.
- ^ Holland, R. (1977). "Threde: A free-field EMP coupling and scattering code". IEEE Transactions on Nuclear Science. 24 (6): 2416-2421. Bibcode:1977ITNS...24.2416H. doi:10.1109/TNS.1977.4329229.
- ^ Taflove, A.; Umashankar, K. R. (1983). "Radar cross section of general three-dimensional scatterers" (PDF). IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility. 25 (4): 433-440. doi:10.1109/TEMC.1983.304133. 4 Mart 2016 tarihinde kaynağından (PDF). Erişim tarihi: 31 Aralık 2020.
- ^ Taflove, A. (1980). "Application of the finite-difference time-domain method to sinusoidal steady state electromagnetic penetration problems" (PDF). IEEE Trans. Electromagn. Compat. (İngilizce). 22 (3): 191-202. Bibcode:1980ITElC..22..191T. doi:10.1109/TEMC.1980.303879. 18 Ocak 2021 tarihinde kaynağından (PDF). Erişim tarihi: 19 Haziran 2020.
- ^ Choi, D. H.; Hoefer, W. J. (1986). "The finite-difference time-domain method and its application to eigenvalue problems". IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. 34 (12): 1464-1470. Bibcode:1986ITMTT..34.1464C. doi:10.1109/TMTT.1986.1133564.
- ^ Tirkas, P. A.; Balanis, C. A. (1991). Finite-difference time-domain technique for radiation by horn antennas. IEEE Antennas and Propagation Society International Symposium Digest. 3. ss. 1750-1753. doi:10.1109/APS.1991.175196. ISBN .
- ^ Kashiwa, T.; Fukai, I. (1990). "A treatment by FDTD method of dispersive characteristics associated with electronic polarization". Microwave and Optical Technology Letters. 3 (6): 203-205. doi:10.1002/mop.4650030606.
- ^ Zhang, X.; Fang, J.; Mei, K. K.; Liu, Y. (1988). "Calculation of the dispersive characteristics of microstrips by the time-domain finite-difference method". IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. 36 (2): 263-267. Bibcode:1988ITMTT..36..263Z. doi:10.1109/22.3514.
- ^ Bondeson, Rylander & Ingelström 2013, s. 58.
- ^ Taflove & Hagness 2005, ss. 19-29.
- ^ Huang, Yingyan; Ho, Seng-Tiong (1996). "Computational model of solid-state, molecular, or atomic media for FDTD simulation based on a multi-level multi-electron system governed by Pauli exclusion and Fermi-Dirac thermalization with application to semiconductor photonics". Optics Express (İngilizce). 14 (8): 3569-3587. doi:10.1364/OE.14.003569.
- ^ Chen, Hanning; McMahon, Jeffrey M.; Ratner, Mark A.; Schatz, George C. (2010). "Classical Electrodynamics Coupled to Quantum Mechanics for Calculation of Molecular Optical Properties: a RT-TDDFT/FDTD Approach". J. Phys. Chem. C (İngilizce). 114 (34): 14384-14392. doi:10.1021/jp1043392.
- ^ Willis, K. J.; Ayubi-Moak, J. S.; Hagness, S. C.; Knezevic, I. (2009). "Global modeling of carrier-field dynamics in semiconductors using EMC–FDTD". Journal of Computational Electronics (İngilizce). 8. doi:10.1007/s10825-009-0280-4.
- ^ Slavcheva, G. M.; Arnold, J. M.; Ziolkowski, R. W. (2004). "FDTD simulation of the nonlinear gain dynamics in active optical waveguides and semiconductor microcavities". IEEE Journal of Selected Topics in Quantum Electronics (İngilizce). 10 (5): 1052-1062. doi:10.1109/JSTQE.2004.836023.
- ^ Ward, J.; Swenson, C.; Furse, C. (2005). "The impedance of a short dipole antenna in a magnetized plasma via a finite difference time domain model". IEEE Transactions on Antennas and Propagation (İngilizce). 53 (8): 2711-2718. doi:10.1109/TAP.2005.851823.
- ^ Chaudhury, Bhaskar; Boeuf, Jean-Pierre (2010). "Computational Studies of Filamentary Pattern Formation in a High Power Microwave Breakdown Generated Air Plasma". IEEE Transactions on Plasma Science (İngilizce). 38 (9): 2281-2288. doi:10.1109/TPS.2010.2055893.
- ^ Su, Changyi; Ke, Haixin; Hubing, Todd (2009). "Overview of Electromagnetic Modeling Software". 25th Annual Review of Progress in Applied Computational Electromagnetics (İngilizce): 736-741.
- ^ Chrostowski & Hochberg 2015, s. 32.
- ^ F. Oskooi, Ardavan; Roundy, David; Ibanescu, Mihai; Bermel, Peter; Joannopoulos, J. D.; G. Johnson, Steven (2010). "Meep: A flexible free-software package for electromagnetic simulations by the FDTD method". Computer Physics Communications (İngilizce). 181 (3): 687-702. doi:10.1016/j.cpc.2009.11.008.
- ^ Davidson 2005, ss. 107-108.
- ^ Debes, Klaus. . microwaves101.com (İngilizce). 19 Eylül 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 7 Ocak 2021.
- Genel
- Bondeson, Anders; Rylander, Thomas; Ingelström, Pär (2013). Computational Electromagnetics (İngilizce). Springer. ISBN .
- Chrostowski, Lukas; Hochberg, Michael (2015). Silicon Photonics Design (İngilizce). Cambridge University Press. ISBN .
- Davidson, David B. (2005). Computational Electromagnetics for RF and Microwave Engineering (İngilizce). Cambridge University Press. ISBN .
- Kunz, Karl S.; Luebbers, Raymond J. (1993). The Finite Difference Time Domain Method for Electromagnetics (İngilizce). CRC Press. ISBN .
- Özen, Şükrü; Arı, Niyazi; Çolak, Ömer H.; Teşneli, Ahmet Y. (2008). Elektromanyetikte Sonlu Farklar Metodu (1 bas.). Palme. ISBN .
- Taflove, Allen; Hagness, Susan C. (2005). Computational Electrodynamics: The Finite-Difference Time-Domain Method (İngilizce) (3 bas.). Artech House Publishers. ISBN .
- Taflove, Allen; Oskooi, Ardavan; Johnson, Steven G., (Ed.) (2013). Advances in FDTD Computational Electrodynamics: Photonics and Nanotechnology (İngilizce). Artech House. ISBN .
- Yu, Wenhua; Mittra, Raj; Su, Tao; Yang, Xiaoling (2006). Parallel Finite-Difference Time-Domain Method (İngilizce). Artech House Publishers. ISBN .
- Sevgi, Levent (1999). Elektromagnetik Problemler ve Sayısal Yöntemler (1 bas.). Birsen Yayınevi. ISBN .
- Sullivan, Dennis M. (2013). Electromagnetic Simulation Using the FDTD Method (İngilizce) (2 bas.). IEEE. ISBN .
Dış bağlantılar
Wikimedia Commons'ta Zamanda sonlu farklar yöntemi ile ilgili ortam dosyaları bulunmaktadır. |
- Nature Photonics dergisinin Allen Taflove ile FDTD'nin tarihi üzerine röportajı (İngilizce)
- EMPossible'ın FDTD ile modelleme dersi 21 Haziran 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde . (İngilizce)
- FDTD yöntemini anlamak 22 Haziran 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde . (İngilizce)
- MIT profesörü S. G. Johnson'ın PML ders notları 1 Ağustos 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde . (İngilizce)
- FDTD temelleri 14 Şubat 2019 tarihinde Wayback Machine sitesinde . (İngilizce)
- (İngilizce)
wikipedia, wiki, viki, vikipedia, oku, kitap, kütüphane, kütübhane, ara, ara bul, bul, herşey, ne arasanız burada,hikayeler, makale, kitaplar, öğren, wiki, bilgi, tarih, yukle, izle, telefon için, turk, türk, türkçe, turkce, nasıl yapılır, ne demek, nasıl, yapmak, yapılır, indir, ücretsiz, ücretsiz indir, bedava, bedava indir, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, resim, müzik, şarkı, film, film, oyun, oyunlar, mobil, cep telefonu, telefon, android, ios, apple, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, pc, web, computer, bilgisayar
Zamanda sonlu farklar yontemi kisaca FDTD Ingilizce Finite difference time domain ya da Yee yontemi hesaplamali elektromanyetizmada kullanilan bir sonlu farklar teknigidir Zaman duzleminde calisan bir yontem oldugundan oturu elektromanyetik spektrumun mikrodalga veya gorunur isik gibi farkli bolgelerinde anten veya fotonik aygit tasarimi gibi cesitli problemlerin cozumunde kullanilir Ayni zamanda bu ozellik simulasyonu yapilan sistemin genis bir frekans yelpazesine tepkisinin gozlenebilmesini saglamaktadir Matris tersinmesi gerektirmeyen bu FDTD en yaygin elektromanyetik simulasyon yontemlerinden biri olarak kabul edilir Bir isik sacilmasi probleminin FDTD ile modellenmesi Sol ve sagdaki resimler 500 nm dalga boyundaki bir isik huzmesinin 5 µm capindaki birer fotoreseptor hucreden sacilmasini gostermektedir Ortadaki referans resmi ise ayni boyuttaki bir yariktan isigin kirinimini temsil eder FDTD yonteminin temeli elektromanyetik teorinin temelini olusturan Maxwell denklemleri nin zamanda ve uzayda ayriklastirilmasina dayalidir Denklemlerdeki zamana ve uzaya bagli kismi turevlerinin sonlu farklar cinsinden yazilmasi ile yaklasik bir cozum elde edilebilir Simulasyon yapilacak alan kare seklindeki kafeslere bolunur ve elektrik ile manyetik alan degiskenleri bu kafesin kenarlarina yerlestirilir Ayriklastirilmis denklemler kullanilarak her bir kafesteki degiskenler sirasi ile uzaya ve zamana bagli olarak ile guncellenir Bu sekilde spesifik bir malzeme ya da aygitta elektromanyetik dalgalarin zamana ve uzaya gore degisimi yaklasik olarak hesaplanabilmektedir FDTD problemlere ozgun farkli sinir kosullarina uyarlanabilmektedir ve bu sekilde acik radyasyon problemleri ve periyodik sistemler cozulebilir Zamanda sonlu farklar yontemi 1966 yilinda Kane S Yee tarafindan kesfedilmistir ve bundan oturu Yee yontemi olarak da adlandirilir Yonteme FDTD ismi Northwestern Universitesi nde gorevli Allen Taflove tarafindan 1980 yilinda verilmistir FDTD bilgisayarlarin islemci gucunun artmasi ile 1980 li ve 1990 li yillarda savunma sanayisinde ve akademide siklikla kullanilmaya baslanmistir Yontemi kullanan cok sayida simulasyon ve CAD yazilimi bulunur YontemYee algoritmasi FDTD yontemindeki ayriklastirma semalari a Iki boyutlu uzayda TE polarizasyonu icin dalga semasi b Iki boyutlu uzayda TM polarizasyonu icin dalga semasi c Uc boyutlu uzayda Yee kafesi FDTD algoritmasinda zamana bagli Maxwell denklemleri merkezi sonlu fark yaklasimi ile zaman ve uzayda ayriklastirilir Daha sonra ayriklastirilan uzayda zamana bagli olarak sirayla elektrik ve manyetik alan vektorleri iterasyon ile cozulur FDTD yi diger sonlu farklarindan ayiran ana ozellik bu yontemdeki uzay ayriklastirmasinda Yee kafesi ya da Yee izgarasi adi verilen spesifik bir semanin kullanilmasidir Bu semaya gore Kartezyen koordinat sisteminde uc boyutlu uzay kutu seklinde kafeslere bolunur Kenarlarina elektrik alani vektorleri yuzey normallerine ise manyetik alan vektorlerinin yerlestirildigi kafesler yari boylari kadar uzayda hareket ettirilir Her harekette rotasyonel operator kullanilan Maxwell denklemleri cozulur Simulasyon alanini olusturan her noktalardaki elektrik alanlari her bir koordinat ekseninde kendinden onceki ve sonraki manyetik alan vektorleri ile adim adim guncellenir ve aynisi her zaman adimi icin sirasiyla elektrik ve manyetik alanlar icin yapilir Her zaman iterasyonunda uzaydaki yeni elektrik alan degerleri icin Maxwell Faraday denklemi yeni manyetik alanlar icin ise Maxwell Ampere denklemi kullanilir Bu algoritma simulasyon alaninda simetrinin oldugu durumlarda simulasyonu hizlandirmak icin bir ve iki boyutlu uzaya da uygulanabilmektedir Kivrimli yuzeylerin ve geometrilerin kafeslerle ayriklastirilmasi her turlu numerik hatalara yol acacagindan uzaydaki bilinmeyen sayisini artirmak gerekebilir Bu durum problemin karmasikligini artirabildiginden FDTD nin bu durumlarda performansinin artirilabilmesi icin uyumlu ayriklastirma algoritmalari gelistirilmistir Yee algoritmasi kup seklinde olmayan ve silindirik koordinat sistemlerindeki kafeslere de uyarlanabilmektedir Silindirik koordinat sistemindeki yontem BOR FDTD olarak adlandirilir Yee algoritmasi ayni zamanda paralelize edilebilmektedir ve algoritmaya devre modellemesinin uygulanabilmesi mumkundur Numerik stabilite ve dagilma source source source Tek boyutlu basit bir FDTD simulasyonunda numerik dagilma Bu simulasyondaki elektrik alan darbesi bir bosluk ortaminda ilerlemesine ragmen hareket ettikce bozunur FDTD simulasyonunun stabil olmasi ve sonsuz degerler sapmamasi icin bazi stabilite kosullarina uymasi gerekir Bunlardan biri ayrik noktalarda ilerleyen bir dalganin simulasyonunda kullanilan zaman adimi suresinin dalganin bir yandaki noktaya ilerleme suresinden daha kisa olmasi gerektigini belirten Courant Friedrichs Lewy kosuludur Uc boyutlu bir kup semasi icin bu kosul su sekilde ifade edilebilir Dt 1c1Dx2 1Dy2 1Dz2 1c3Dx2 Dxc3 displaystyle Delta t leq frac 1 c sqrt frac 1 Delta x 2 frac 1 Delta y 2 frac 1 Delta z 2 frac 1 c sqrt frac 3 Delta x 2 frac Delta x c sqrt 3 Burada c displaystyle c isik hizi Dt displaystyle Delta t birim zaman adimi suresi ve Dx displaystyle Delta x de birim uzay adimi uzunlugudur Yee nin orijinal makalesinde stabilite kosulu hatali verilmis ve Allen Taflove ile Morris Brodwin in 1975 yilindaki makalesinde duzeltilmistir Von Neumann stabilite analizi diger sonlu farklar metotlarinda oldugu gibi FDTD icin de gecerlidir 1990 li yillardan itibaren kosulsuz stabil olan FDTD yontemleri de gelistirilmistir FDTD algoritmasi farkli dalga boylari icin numerik dagilma adi verilen yapay dagilma ve faz hatalarina yol acabilir Bu durum dalganin vakuma cok yakin ozelliklere sahip ama tam da vakum olmayan bir ortamda ilerlemesine benzetilebilir Numerik dagilmada vakumda ilerleyen bir dalga darbesini olusturan frekans elemanlari hareket sirasinda hicbir fiziksel faktor olmamasina ragmen bozunma veya dagilma yasayabilir FDTD modellemesinde numerik dagilmanin ve hata limitlerinin goz onunde bulundurulmasi gerekir bu durumu telafi etmek icin farkli metot ve algoritmalar mevcuttur Numerik dagilmayi azaltmakta kullanilan baslica metotlardan biri zamanda yari spektral yontemdir PSTD bu yontemde uzaydaki turevler ayrik Fourier donusumu yardimi ile alinir Elektrik ve manyetik alanlarin Laguerre polinomlari cinsinden acilimi ile de kosulsuz stabilite elde edilebilir FDTD nin zaman bazli bir algoritma olmasindan dolayi da malzemelerin farkli frekans tepkilerini modellemek icin konvolusyon temelli algoritmalarin kullanilmasi gerekebilir bagil gecirgenligin zaman bazli tepkisi icin malzemeye bagli olarak Lorentz ve Debye modelleri kullanilir Dogrusal olmayan malzemeler ve kazanc ortamlari icin benzer modellemeler de mevcuttur Sinir ve kaynak kosullari Bir sacilma problemi icin FDTD semasi Cizgili sinir alanlari mukemmel eslenmis katmanlari PML belirtmektedir Problemde toplam alan ve sacilan alan formulasyonu TFSF uygulanmaktadir objeden sacilan alanlar A noktasindan verilen duzlem dalga kaynaginin B noktasindaki toplam alandan cikarilmasi ile elde edilir Maxwell denklemlerinin sinirsizve acik uzayda cozumu ilgili sinir kosullarinin belirlenmesini gerektirir FDTD iterasyonlari her ne kadar teknik olarak acik uzayda sonsuza kadar devam ettirilebilir olsa da hicbir bilgisayarin sinirsiz veriyi saklamasi etkili ve mumkun olmamasindan oturu cozumun arandigi alani izole eden sinir kosullari belirlenmistir Bazi elektromanyetik analiz yontemlerinde kullanilan mukemmel elektrik iletken PEC sinir kosullari bircok FDTD uygulamalarinda fiziksel olarak anlamli olmayan sonuclar vermeyebilir Bu nedenle yontem icin soguran sinir kosullari veya yutucu sinir kosullari gelistirilmistir Soguran sinir kosullarinda simulasyon sinirlarinin disina cikan dalgalarin geri yansima yapmadan sogurulmasi hedeflenir Bu sinir kosullari simulasyon alanlarinin kaplayan ve icinde hareket eden dalgalarin yansimadan soguruldugu bir katman olarak dusunulebilir Yee kafesi icin ilk stabil soguran sinir kosulu modeli 1981 de G Mur tarafindan bulunmustur Buna karsin ilk soguran sinir kosullu modelleri farkli frekanslar icin dagilmadan calissa da soguran yuzeylere dik gelmeyen duzlem dalgalarda yapay yansimalara yol acmaktaydi 1994 te J Berenger tarafindan icat edilen mukemmel eslenmis katman PML sinir kosulu yaygin olarak kullanilmaktadir Bu yontemde katmana farkli acilardan gelen dalgalar yapay bilesenlerine ayrilir ve bu bilesenlerin yeni ortamda dalga empedanslari eslenir Bu sirada dalga ustel bir operator ile sogurulur Daha sonraki arastirmalarda PML lerin etkinligi yapay anizotropi ve esnek koordinat donusumleri ile gelistirilmistir Aslinda fiziksel olmayan PML yontemi az da olsa yapay yansimalara ve negatif indisli metamalzeme gibi ortamlarda stabilite sorunlarina yol acabilir Standart PML yontemi ayni zamanda evanesan dalgalarin etkili bir bicimde sogurulmasinda sorun yasayabilmekte PML in performansi bu durumlarda konvolusyonel metotlar ile iyilestirilebilmektedir Fotonik kristal ve frekans secici yuzey gibi periyodik yapilarin FDTD simulasyonu icin ise periyodik sinir kosullari kullanilabilir Bu sinir kosullari periyodik yapiyi olusturan tek bir birimin simulasyonu ile tum yapinin tepkisinin olculmesini saglar Bu sekilde periyodik yapilar icin buyuk simulasyon problemlerinin hesaplanmasi basitlestirilebilir Fotonik kristallerde kullanilan sinir kosullari Bloch ile Floquet teorilerine gore modellenebilir Anten ve radar problemlerinde ise uzak alan bolgesindeki radyasyonun hesaplanmasi gerekebilir Bu tarz problemlerde simulasyon bolgesi genisletilmeden antenin yakin alan bolgesindeki elektrik ve manyetik alanlarin islenmesi ile bu veriler elde edilebilir FDTD teorisinde bu islem yakin alan uzak alan donusumu olarak ifade edilir FDTD simulasyonlarinda probleme uygun bir elektromanyetik dalga kaynaginin tanimlanmasi gerekmektedir Bu kaynak simulasyon bolgesine tek bir noktada ya da birden fazla noktalarda tanimli bir elektrik manyetik alan veya elektrik manyetik akim yogunlugu degeri seklinde entegre edilebilir Biyoelektromanyetizma ve savunma sanayi gibi bircok alanda duzlem dalga kaynaklari kullanilir FDTD simulasyonlarindaki en yaygin duzlem dalga formulasyonlarindan biri ozellikle sacilma problemlerinde isleyis goren toplam alan ve sacilan alan formulasyonudur Bu tip dalga kaynaklarinda simulasyon bolgesi toplam alanlarin ve sacilan alanlarin bulundugu iki bolgeye ayrilir toplam alanlarin bulundugu bolge sacilmaya yol acan objeyi kapsar ve diger bolge bu bolge ile sinir kosullarinin arasini doldurur Toplam alanlar bolgesinin bir tarafindan gonderilen dalganin obur tarafindan cikarilmasi ile superpozisyon prensibi kullanilarak objenin elektromanyetik alana tepkisi hesaplanabilir Dalga kilavuzu gibi rezonant modlara sahip yapilar icin ise bu modlarda salinim yapan kaynaklarin kullanilmasi gerekir Lazer simulasyonlari icin gereken Gauss isini ve ultra kisa darbe kaynaklari da toplam alan ve sacilan alan formulasyonu ile modellenebilir Avantajlari ve dezavantajlariFDTD yonteminin avantajlari arasinda basitligi ve homojen olmayan malzemelerin kolaylikla modellenebilmesi bulunur FDTD ozellikle dalga boyunun aygit ya da cisim geometrisi ile kiyaslanabilir boyutlarda oldugu problemlerde verimlidir Yontemde matris tersinmesi gibi karmasikligi yuksek islemlerin kullanilmasina ihtiyac duyulmadigindan FDTD genellikle frekans temelli diger yontemlere gore cok buyuk sayida bilinmeyenli problemlerin cozumunde kullanilabilir Yontemin zamana bagli olmasi tek bir simulasyon ile sistemin genis bir yelpazedeki frekans tepkisinin olculebilmesini mumkun kilar FDTD ayni zamanda moment yonteminin MoM aksine modellenen yapinin Green fonksiyonunun hesaplanmasini gerektirmez Yontemin dezavantajlari arasinda kubik kafes kullanimi ve malzeme dispersiyonu modellemeleri bulunur Yee algoritmasinda kullanilan ortogonal kafesler egimli ve kivrimli yapilarin modellemesinde bazi ayriklastirma hatalarina yol acabilir Ortogonal ve karesel olmayan kafes algoritmalari gelistirilmisse de bunlar Yee algoritmasina gore basitligini ve etkinligini kaybeder FDTD ayni zamanda mukemmel ya da iyi iletken malzemelerin modellenmesinde MoM kadar etkili degildir Bunun baslica nedeni FDTD nin aksine MoM da iletken yapilarin sadece yuzeylerinin ayriklastirilmasidir Simulasyon bolgesinin dalga boylarindan cok daha buyuk olmasi durumunda ise faz hatalari olusabilir Ayni zamanda standart FDTD de Courant Friedrichs Lewy kosulunun getirdigi birim zaman adim siniri nedeniyle bazi dusuk frekans biyoelektromanyetizma ve cok genis olcekli tumlesim VLSI problemleri cozulemez ve bu problemler icin daha karmasik kosulsuz stabil FDTD formulasyonlari gerekir Tarihce ve uygulamalari source source source Plazmonik nanopartikullerin isikla duzlem dalga etkilesiminin FDTD simulasyonu Renk skalasi elektrik alan genligini gostermektedir Bu modelleme yontemin fotonikteki kullanimlarina bir ornektir FDTD elektromanyetik problemlerin cozumunde kullanilan en yaygin yontemlerden birisi olarak kabul edilir Yontem super bilgisayarlarin yayginlasmasi ve kisisel bilgisayarlarin islem kapasitelerinin buyuk olcude artmasi ile 1970 lerden itibaren populerlik kazanmistir Basitligi matris tersinmesi gerektirmemesi ve islemsel verimliligi nedeniyle akademide ve endustride siklikla tercih edilir Kane S Yee Maxwell denklemleri icin gelistirdigi kafes algoritmasi ile ilgili makaleyi 1966 yilinda IEEE Transactions on Antennas and Propagation dergisinde yayimladi Bu makale ilk donemlerinde muhendislik camiasindan ilgi gormemisti Ilk kez Taflove ve Brodwin tarafindan 1975 te biyoelektromanyetik modellemelere uygulanan yontem daha sonraki yillarda elektromanyetik darbe ile radar kesiti problemlerine uygulandi 1970 ler ve 1980 lerde savunma sanayisinde calisan arastirmacilar o donemki frekans bazli yontemlerin sinirlamalari nedeniyle FDTD ye yoneldi Taflove 1980 deki dielektrik ve iletken malzemelerdeki sinuzoidal dalgalarin Yee algoritmasi ile modellenmesi ile ilgili calismasinda yonteme zamanda sonlu farklar yontemi finite difference time domain ismini verdi 1980 ler itibari ile dalga kilavuzu anten ve mikroserit gibi elektronik aygitlarin FDTD modelleri muhendislik literaturunde yayimlandi Bu donemlerde ayni zamanda insan vucudu gibi homojen olmayan malzemelerin elektromanyetik modellenmesine olan ilgi artmasi FDTD nin populerligine katkida bulundu 1990 larda Berenger tarafindan mukemmel eslenmis katmanlarin icat edilmesi ile yontemin acik problemlere uygulanmasi kolaylasti Bu donemlerde anten ve optik problemlerinin FDTD cozumu ile ilgili muhendislik literaturundeki yayinlar artis gosterdi 2000 lerde ise bu algoritmalari kullanan ticari yazilimlar yayginlasti FDTD nin 2000 li ve 2010 lu yillarda elektromanyetik modelleme literaturune temel bir yontem olarak yerlesmesi ile alandaki teorik arastirmalar daha karmasik algoritmalara yoneldi Anten ve mikrodalga muhendisligi disinda FDTD nin kullanildigi alanlar arasinda optik fotonik nanoteknoloji dijital elektronik dusuk frekansli jeofizik biyoelektromanyetizma ve tibbi goruntuleme teknolojileri bulunur Yontemin zamana bagli olmasi lazer isimalari ve solitonlar gibi dogrusal olmayan sureclerin dogal bir sekilde simulasyonunu mumkun kilar Kati hal yapilari gibi karmasik ve stokastik sistemlerin simulasyonunda ise sisteme kuantum mekanigi ve molekuler dinamik formulleri Yee algoritmasi ile entegre edilebilirken benzer sekilde plazmalar ve elektriksel kirilim akiskanlar dinamigi ve benzeri prensipler kullanilarak modellenebilmistir FDTD yontemini kullanan bircok ticari ve acik kaynak yazilim bulunur Akademi ve endustride kullanilan bazi FDTD simulasyon yazilimlarina ornek olarak REMCON XFDTD Lumerical FDTD RSoft Full Wave ve Massachusetts Teknoloji Enstitusu nun acik kaynak yazilimi MEEP verilebilir Mikrodalga muhendisliginde siklikla kullanilan CST Microwave Studio yaziliminda ise FDTD ile iliski olan sonlu integral teknigi FIT kullanilir Ayrica bakinizSonlu elemanlar yontemi Sonlu hacim yontemiKaynakcaOzel Solovei Irina Kreysing Moritz Lanctot Christian Kosem Suleyman Peich Leo Cremer Thomas Guck Jochen Joffe1 Boris 2009 Nuclear Architecture of Rod Photoreceptor Cells Adapts to Vision in Mammalian Evolution Cell Ingilizce 137 2 356 368 doi 10 1016 j cell 2009 01 052 Taflove amp Hagness 2005 ss 58 79 Taflove amp Hagness 2005 s 610 Yu et al 2006 s 33 Yu et al 2006 ss 11 13 Yu et al 2006 ss 193 194 Yu et al 2006 s 145 Thomas V A Jones M E Piket May M Taflove A Harrigan E 1994 The use of SPICE lumped circuits as sub grid models for FDTD analysis IEEE Microwave and Guided Wave Letters Ingilizce 4 5 141 143 doi 10 1109 75 289516 Piket May M Taflove A Baron J 1994 FD TD modeling of digital signal propagation in 3 D circuits with passive and active loads IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques Ingilizce 42 8 1514 1523 doi 10 1109 22 297814 Taflove amp Hagness 2005 ss 133 135 Taflove A Brodwin M E 1975 Numerical solution of steady state electromagnetic scattering problems using the time dependent Maxwell s equations PDF IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques Ingilizce 23 8 623 630 Bibcode 1975ITMTT 23 623T doi 10 1109 TMTT 1975 1128640 26 Ocak 2021 tarihinde kaynagindan PDF Erisim tarihi 19 Haziran 2020 Pereda A Vielva L A Vegas A Prieto A 2001 Analyzing the stability of the FDTD technique by combining the von Neumann method with the Routh Hurwitz criterion IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques Ingilizce 49 2 623 630 doi 10 1109 22 903100 Zhen Fenghua Chen Zhizhang Zhang Jiazong 1999 Toward the development of a three dimensional unconditionally stable finite difference time domain method IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques 47 ss 2003 2007 doi 10 1109 22 795075 Zhen Fenghua Chen Zhizhang Zhang Jiazong 2000 Toward the development of a three dimensional unconditionally stable finite difference time domain method IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques 48 ss 1550 1558 doi 10 1109 22 869007 a b c Teixeira F L 2010 A Summary Review on 25 Years of Progress and Future Challenges in FDTD and FETD Techniques ACES Journal Ingilizce 25 1 1 14 Taflove amp Hagness 2005 s 107 Taflove amp Hagness 2005 ss 138 153 Liu Q H 1998 The PSTD algorithm A time domain method requiring only two cells per wavelength Microwave and Optical Technology Letters Ingilizce 15 3 158 165 doi 10 1002 SICI 1098 2760 19970620 15 3 lt 158 AID MOP11 gt 3 0 CO 2 3 Taflove amp Hagness 2005 ss 156 160 Taflove Oskooi amp Johnson 2013 ss 21 22 Taflove amp Hagness 2005 ss 353 359 Kelley D F Luebbers R J 1996 Piecewise linear recursive convolution for dispersive media using FDTD IEEE Transactions on Antennas and Propagation Ingilizce 44 6 792 797 doi 10 1109 8 509882 Taflove amp Hagness 2005 ss 353 376 403 Akleman Funda 1998 Zamanda sonlu farklar yontemi ve yutucu sinir kosullari Yuksek lisans Istanbul Teknik Universitesi Fen Bilimleri Enstitusu Taflove amp Hagness 2005 s 229 Namiki T 1981 A new FDTD algorithm based on alternating direction implicit method IEEE Trans Electromagn Compat Ingilizce 23 4 377 382 doi 10 1109 TEMC 1981 303970 Taflove amp Hagness 2005 ss 273 274 Berenger J 1994 A perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic waves Journal of Computational Physics Ingilizce 114 2 185 200 Bibcode 1994JCoPh 114 185B doi 10 1006 jcph 1994 1159 Sacks Z S Kingsland D M Lee R Lee J F 1995 A perfectly matched anisotropic absorber for use as an absorbing boundary condition IEEE Transactions on Antennas and Propagation Ingilizce 43 12 1460 1463 Bibcode 1995ITAP 43 1460S doi 10 1109 8 477075 Gedney S D 1996 An anisotropic perfectly matched layer absorbing media for the truncation of FDTD lattices IEEE Transactions on Antennas and Propagation Ingilizce 44 12 1630 1639 Bibcode 1996ITAP 44 1630G doi 10 1109 8 546249 Chew W C Weedon W H 1994 A 3d perfectly matched medium from modified Maxwell s equations with stretched coordinates Microwave Optical Tech Letters Ingilizce 7 13 599 604 Bibcode 1994MiOTL 7 599C doi 10 1002 mop 4650071304 Teixeira F L Chew W C 1998 General closed form PML constitutive tensors to match arbitrary bianisotropic and dispersive linear media IEEE Microwave and Guided Wave Letters Ingilizce 8 6 223 225 doi 10 1109 75 678571 Taflove amp Hagness 2005 ss 293 294 Cummer Steven A 2004 Perfectly matched layer behavior in negative refractive index materials IEEE Ant Wireless Prop Lett Ingilizce 3 sayfalar 172 175 doi 10 1109 lawp 2004 833710 KB1 bakim Dikey cizgi eksik link Dong X T Rao X S Gan Y B Guo B Yin W Y 2004 Perfectly matched layer absorbing boundary condition for left handed materials IEEE Microwave Wireless Components Lett Ingilizce 14 301 333 doi 10 1109 lmwc 2004 827104 Loh Po Ru Oskooi Ardavan F Ibanescu Mihai Skorobogatiy Maksim Johnson Steven G 2009 Fundamental relation between phase and group velocity and application to the failure of perfectly matched layers in backward wave structures Phys Rev E Ingilizce 79 6 065601 doi 10 1103 PhysRevE 79 065601 Berenger J 1999 Evanescent Waves in PML s Origin of the Numerical Reflection in Wave Structure Interaction Problems IEEE Transactions on Antennas and Propagation Ingilizce 47 10 1497 1503 doi 10 1109 8 805891 Kuzuoglu M Mittra R 1996 Frequency Dependence of the Constitutive Parameters of Causal Perfectly Matched Anisotropic Absorber IEEE Microwave and Guided Wave Letters Ingilizce 6 12 447 449 doi 10 1109 75 544545 Roden J Alan Gedney Stephen D 2000 Convolution PML CPML An efficient FDTD implementation of the CFS PML for arbitrary media Microwave and Optical Technology Letters Ingilizce 27 5 334 339 doi 10 1002 1098 2760 20001205 27 5 lt 334 AID MOP14 gt 3 0 CO 2 A a b Taflove amp Hagness 2005 ss 553 555 Harms P Mittra R Ko Wai 1994 Implementation of the periodic boundary condition in the finite difference time domain algorithm for FSS structures IEEE Transactions on Antennas and Propagation Ingilizce 42 9 1317 1324 doi 10 1109 8 318653 Taflove amp Hagness 2005 s 776 Taflove amp Hagness 2005 ss 349 372 Taflove amp Hagness 2005 ss 175 228 Capoglu Ilker R Taflove Allen Backman Vadim 2013 Computation of tightly focused laser beams in the FDTD method Optics Express Ingilizce 21 1 87 101 doi 10 1364 OE 21 000087 Capoglu Ilker R Taflove Allen Backman Vadim 2013 Generation of an incident focused light pulse in FDTD Optics Express Ingilizce 16 23 19208 19220 doi 10 1364 OE 16 019208 a b c d Taflove amp Hagness 2005 ss 3 4 Bondeson Rylander amp Ingelstrom 2013 ss 57 58 a b c d Davidson 2005 ss 9 10 a b Davidson 2005 ss 11 12 a b c Davidson 2005 s 11 a b Bondeson Rylander amp Ingelstrom 2013 s 82 Davidson 2005 s 119 Taflove amp Hagness 2005 ss 160 161 a b Shlager K L Schneider J B 1996 A selective survey of the finite difference time domain literature IEEE Antennas and Propagation Magazine Ingilizce 37 4 39 57 doi 10 1109 74 414731 Davidson 2005 ss 8 9 Taflove amp Hagness 2005 ss 1 4 Yee Kane 1966 Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell s equations in isotropic media IEEE Transactions on Antennas and Propagation Ingilizce 14 3 302 307 Bibcode 1966ITAP 14 302Y doi 10 1109 TAP 1966 1138693 Pile David 2015 Numerical solution Nature Photonics Ingilizce 9 5 6 doi 10 1038 nphoton 2014 305 Taflove A Brodwin M E 1975 Computation of the electromagnetic fields and induced temperatures within a model of the microwave irradiated human eye PDF IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques Ingilizce 23 11 888 896 Bibcode 1975ITMTT 23 888T doi 10 1109 TMTT 1975 1128708 4 Mart 2016 tarihinde kaynagindan PDF Erisim tarihi 31 Aralik 2020 Holland R 1977 Threde A free field EMP coupling and scattering code IEEE Transactions on Nuclear Science 24 6 2416 2421 Bibcode 1977ITNS 24 2416H doi 10 1109 TNS 1977 4329229 Taflove A Umashankar K R 1983 Radar cross section of general three dimensional scatterers PDF IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility 25 4 433 440 doi 10 1109 TEMC 1983 304133 4 Mart 2016 tarihinde kaynagindan PDF Erisim tarihi 31 Aralik 2020 Taflove A 1980 Application of the finite difference time domain method to sinusoidal steady state electromagnetic penetration problems PDF IEEE Trans Electromagn Compat Ingilizce 22 3 191 202 Bibcode 1980ITElC 22 191T doi 10 1109 TEMC 1980 303879 18 Ocak 2021 tarihinde kaynagindan PDF Erisim tarihi 19 Haziran 2020 Choi D H Hoefer W J 1986 The finite difference time domain method and its application to eigenvalue problems IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques 34 12 1464 1470 Bibcode 1986ITMTT 34 1464C doi 10 1109 TMTT 1986 1133564 Tirkas P A Balanis C A 1991 Finite difference time domain technique for radiation by horn antennas IEEE Antennas and Propagation Society International Symposium Digest 3 ss 1750 1753 doi 10 1109 APS 1991 175196 ISBN 978 0 7803 0144 3 Kashiwa T Fukai I 1990 A treatment by FDTD method of dispersive characteristics associated with electronic polarization Microwave and Optical Technology Letters 3 6 203 205 doi 10 1002 mop 4650030606 Zhang X Fang J Mei K K Liu Y 1988 Calculation of the dispersive characteristics of microstrips by the time domain finite difference method IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques 36 2 263 267 Bibcode 1988ITMTT 36 263Z doi 10 1109 22 3514 Bondeson Rylander amp Ingelstrom 2013 s 58 Taflove amp Hagness 2005 ss 19 29 Huang Yingyan Ho Seng Tiong 1996 Computational model of solid state molecular or atomic media for FDTD simulation based on a multi level multi electron system governed by Pauli exclusion and Fermi Dirac thermalization with application to semiconductor photonics Optics Express Ingilizce 14 8 3569 3587 doi 10 1364 OE 14 003569 Chen Hanning McMahon Jeffrey M Ratner Mark A Schatz George C 2010 Classical Electrodynamics Coupled to Quantum Mechanics for Calculation of Molecular Optical Properties a RT TDDFT FDTD Approach J Phys Chem C Ingilizce 114 34 14384 14392 doi 10 1021 jp1043392 Willis K J Ayubi Moak J S Hagness S C Knezevic I 2009 Global modeling of carrier field dynamics in semiconductors using EMC FDTD Journal of Computational Electronics Ingilizce 8 doi 10 1007 s10825 009 0280 4 Slavcheva G M Arnold J M Ziolkowski R W 2004 FDTD simulation of the nonlinear gain dynamics in active optical waveguides and semiconductor microcavities IEEE Journal of Selected Topics in Quantum Electronics Ingilizce 10 5 1052 1062 doi 10 1109 JSTQE 2004 836023 Ward J Swenson C Furse C 2005 The impedance of a short dipole antenna in a magnetized plasma via a finite difference time domain model IEEE Transactions on Antennas and Propagation Ingilizce 53 8 2711 2718 doi 10 1109 TAP 2005 851823 Chaudhury Bhaskar Boeuf Jean Pierre 2010 Computational Studies of Filamentary Pattern Formation in a High Power Microwave Breakdown Generated Air Plasma IEEE Transactions on Plasma Science Ingilizce 38 9 2281 2288 doi 10 1109 TPS 2010 2055893 Su Changyi Ke Haixin Hubing Todd 2009 Overview of Electromagnetic Modeling Software 25th Annual Review of Progress in Applied Computational Electromagnetics Ingilizce 736 741 Chrostowski amp Hochberg 2015 s 32 F Oskooi Ardavan Roundy David Ibanescu Mihai Bermel Peter Joannopoulos J D G Johnson Steven 2010 Meep A flexible free software package for electromagnetic simulations by the FDTD method Computer Physics Communications Ingilizce 181 3 687 702 doi 10 1016 j cpc 2009 11 008 Davidson 2005 ss 107 108 Debes Klaus microwaves101 com Ingilizce 19 Eylul 2020 tarihinde kaynagindan arsivlendi Erisim tarihi 7 Ocak 2021 GenelBondeson Anders Rylander Thomas Ingelstrom Par 2013 Computational Electromagnetics Ingilizce Springer ISBN 978 1 4614 5350 5 Chrostowski Lukas Hochberg Michael 2015 Silicon Photonics Design Ingilizce Cambridge University Press ISBN 9781316084168 Davidson David B 2005 Computational Electromagnetics for RF and Microwave Engineering Ingilizce Cambridge University Press ISBN 9780511778117 Kunz Karl S Luebbers Raymond J 1993 The Finite Difference Time Domain Method for Electromagnetics Ingilizce CRC Press ISBN 978 0 8493 8657 2 Ozen Sukru Ari Niyazi Colak Omer H Tesneli Ahmet Y 2008 Elektromanyetikte Sonlu Farklar Metodu 1 bas Palme ISBN 9789944341714 Taflove Allen Hagness Susan C 2005 Computational Electrodynamics The Finite Difference Time Domain Method Ingilizce 3 bas Artech House Publishers ISBN 978 1 58053 832 9 Taflove Allen Oskooi Ardavan Johnson Steven G Ed 2013 Advances in FDTD Computational Electrodynamics Photonics and Nanotechnology Ingilizce Artech House ISBN 978 1608071708 Yu Wenhua Mittra Raj Su Tao Yang Xiaoling 2006 Parallel Finite Difference Time Domain Method Ingilizce Artech House Publishers ISBN 978 1 59693 085 8 Sevgi Levent 1999 Elektromagnetik Problemler ve Sayisal Yontemler 1 bas Birsen Yayinevi ISBN 9789755112237 Sullivan Dennis M 2013 Electromagnetic Simulation Using the FDTD Method Ingilizce 2 bas IEEE ISBN 9781118459393 Dis baglantilarWikimedia Commons ta Zamanda sonlu farklar yontemi ile ilgili ortam dosyalari bulunmaktadir Nature Photonics dergisinin Allen Taflove ile FDTD nin tarihi uzerine roportaji Ingilizce EMPossible in FDTD ile modelleme dersi 21 Haziran 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde Ingilizce FDTD yontemini anlamak 22 Haziran 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde Ingilizce MIT profesoru S G Johnson in PML ders notlari 1 Agustos 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde Ingilizce FDTD temelleri 14 Subat 2019 tarihinde Wayback Machine sitesinde Ingilizce Ingilizce