Azərbaycanca
Беларускі
Dansk
Deutsch
Española
Français
Indonesia
Italiana
日本語
Қазақ
Lietuvos
Nederlands
Português
Русский
සිංහල
แบบไทย
Türkçe
Українська
中國人
United State
Afrikaans
Sayısal analiz, diğer adıyla nümerik analiz veya sayısal çözümleme, matematiksel analiz problemlerinin yaklaşık çözümlerinde kullanılan algoritmaları inceler. Bu nedenle birçok mühendislik dalı ve doğa bilimlerinde önem arz eden sayısal analiz, bilimsel hesaplama bilimi olarak da kabul edilebilir. Bilgisayarın işlem kapasitesinin artması ile gündelik hayatta ortaya çıkan birçok sistemin matematiksel modellenmesi mümkün olmuş ve sayısal analiz algoritmaları burada ön plana çıkmıştır. 21. yüzyıldan itibaren bilimsel hesaplama yöntemleri mühendislik ve doğa bilimleri ile sınırlı kalmamış ve sosyal bilimler ile işletme gibi alanları da etkilemiştir. Sayısal analizin alt başlıklarına adi diferansiyel denklemlerin yaklaşık çözümleri ve özellikle veri biliminde önem taşıyan sayısal lineer cebir ile optimizasyon örnek gösterilebilir.
Modern bilgisayarların icadından önce sayısal yöntemler kağıt üstünde uygulanıyordu. Her ne kadar 20. yüzyıl itibari ile ilgili hesaplamalar bilgisayarlar aracılığı ile yapılsa da, bu yazılımları oluşturan matematiksel algoritmaların temeli eski formüllere dayanmaktadır.
Temeller
Direkt ve yinelemeli yöntemler
Direkt yöntemler sonucu tek bir adımda verirken, yinelemeli yöntemler sonuca birden fazla adım veya iterasyonda ulaşır. Özellikle doğrusal olmayan problemlerin hesaplanmasında yinelemeli yöntemlerin kullanılması gerekebilir; buna karşın, matris faktörizasyonu ve lineer programlama gibi direkt sayısal yöntemler de mevcuttur.
Basit bir problemin direkt olarak cebir ve sayısal yineleme yöntemi ile çözümü şu şekilde karşılaştırılabilir:
x bilinmeyeninin olduğu
- 3x3 + 4 = 28
denklemini çözersek:
| 3x3 + 4 = 28. | |
| 4 çıkar | 3x3 = 24. |
| 3'e böl | x3 = 8. |
| Küp kökünü al | x = 2. |
Yineleme yöntemi olarak ikiye bölme metodu kullanılabilir; bu yöntemde fonksiyonun işaret değiştirdiği nokta tespit edilmeye çalışılır. Denklemi buna uygun olarak f(x) = 3x3 − 24 şeklinde yeniden yazabilir ve başlangıç değerleri olarak a = 0, b = 3, f(a) = −24 ve f(b) = 57 verebiliriz.
| a | b | mid | f(mid) |
|---|---|---|---|
| 0 | 3 | 1.5 | −13.875 |
| 1.5 | 3 | 2.25 | 10.17... |
| 1.5 | 2.25 | 1.875 | −4.22... |
| 1.875 | 2.25 | 2.0625 | 2.32... |
Tabloya göre sonuç 1.875 ile 2.0625 arasındadır. Algoritma bu aralık 0.2'den daha az bir hata ile herhangi bir sonucu verebilir.
Ayrıklaştırma
Ayrıklaştırma, bir fonksiyonun ya da operatörün ayrık değerlerle yaklaşık olarak hesaplanmasıdır. Örnek olarak, bir arabanın hızının yarım saatte bir ölçülmesiyle oluşturulan bir tablo ayrıklaştırılmış verileri gösterir; her ne kadar araba sürekli hareket etmiş olsa da veri tablosu ile zamana bağlı hızı gösteren ayrık bir fonksiyon elde edilebilir:
| Zaman | 0:20 | 0:40 | 1:00 | 1:20 | 1:40 |
|---|---|---|---|---|---|
| Hız (km/s) | 140 | 1:45 | 150 | 165 | 180 |
Fonksiyonların ayrıştırılmasına örnek olarak bir fonksiyonun türevi limit kullanarak şu şekilde yazılabilir:
Türevin yaklaşık olarak kullanılması gereken durumlarda limit yerine 
küçük ama sonlu bir değer alabilir ve bir x noktasındaki yaklaşık değer bu şekilde hesaplanabilir. Bu sayısal türev olarak ifade edilir. Aynı fonksiyonun x noktası için türevi Taylor serisi kullanılarak daha yakınsak bir şekilde de ifade edilebilir:
Ayrıklaştırma, diferansiyel denklemlerin çözümünde ve sayısal integrallerde de sıklıkla kullanılmaktadır.
Yuvarlama, kesme ve ayrıklaştırma hataları
Yuvarlama hataları, sayısal hesaplamaların yapıldığı bilgisayarların sınırlı hafızalarının olmasından kaynaklanmaktadır: reel sayıların tüm hanelerini dijital veri şeklinde saklayabilmek mümkün değildir. Kesme hatası yinelemeli bir yöntemin sonlandırılması, ayrıklaştırma hataları ise sürekli bir sistem veya fonksiyonun ayrık bir şekilde yakınsanması ile ortaya çıkar. Sayısal yöntemleri yakınsama temelli olduğu için birçok durumda sonucun az da olsa kesin çözümden farklı olması beklenir; buna karşılık elde edilen sonucun hatası tolerans sınırları içinde olmalıdır. Özellikle matris problemleri için hata üst sınırı koşul sayısı (condition number) ile belirtilebilir.
Nümerik stabilite
Bir algoritmanın nümerik açıdan stabil ya da kararlı olması, hatanın hesaplama sırasında çok büyümediğini ifade eder. Bu problemin "iyi koşullandırılmış" (well-conditioned) olmasını gerektirir. İyi koşullandırılma, verideki küçük bir değişikliğin sonuçta da küçük bir değişiklik yaratması olarak tanımlanabilir; bunun tersi "kötü koşullandırılmış" olarak tanımlanabilir.
Alt dalları
Fonksiyonların değerlerinin sayısal olarak hesabı
Fonksiyonların bir nokta için kesin hesabının etkili ya da mümkün olmadığı durumlarda Horner yöntemi gibi sayısal yöntemler kullanılabilir. Kök bulma algoritmaları için ise ikiye bölme metodu, Newton metodu, kiriş yöntemi ve Müller metodu örnek verilebilir.
Doğrusal denklem sistemlerinin çözümleri
Özellikle doğrusal denklem sistemlerinin matris çözümlerinde sayısal yöntemler sıklıkla kullanılır; bunlardan bazılarına Gauss eleme yöntemi ve LU ile QR ayrışımları örnek gösterilebilir. Büyük boyutlu sistemlerde ise Jacobi metodu, Gauss-Seidel yöntemi veya konjuge gradyan metodu gibi yinelemeli çözümlemeler kullanılır. Doğrusal olmayan sistemler doğrusala yakınsabilir ve bu sistemler için Newton'un doğrusal olmayan sistem yöntemi kullanılabilir.
Optimizasyon problemleri
Optimizasyon, bir fonksiyonun bazı sınırlamalar altındaki maksimum ya da minimum koşullarını sağlayan değerinin tespiti ile ilgilenir. Alt alanları arasında doğrusal programlama ve konveks optimizasyon örnek gösterilebilir.
İnterpolasyon, ekstrapolasyon ve regresyon
İnterpolasyon, bazı değerleri bilinen bir fonksiyonun ara değerlerinin tahmin edilerek doldurulması olarak tanımlanabilir. İnterpolasyon yöntemleri arasında noktaların doğrusal çizgiler ile birleştirilmesi (lineer interpolasyon) ve noktalara bir polinom fonksiyonun uyarlanması (polinom interpolasyonu) bulunmaktadır. Veri kümesi sınırları dışında bulunan bir noktadaki değerin tahmini ise ekstrapolasyondur.
İstatistikte önem arz eden ve sayısal analiz sınırlarına da giren regresyon yöntemleri ise iki ya da daha çok değişken arasındaki ilişkiyi tahmin etmeye çalışır. En basit regresyon tiplerinden biri olan doğrusal regresyonda veriye uyan bir doğrusal çizgi (fit) çekilir; bu en küçük kareler yöntemi ile yapılabilir.
Özdeğer problemleri
Özellikle fizik ve mühendislik gibi alanlarda birçok problem özdeğer problemi olarak modellenebilir; bu durum sistemlerin özdeğerlerine ya da tekil değerlerine ayrıştırılmasını gerektirebilir. İstatistikte kullanılan temel bileşen analizi buna örnek gösterilebilir.
Diferansiyel denklemlerin sayısal çözümü
Diferansiyel denklemlerin sayısal yöntemler ile çözümü bilimsel hesaplama için önem teşkil eden bir alt daldır. Özellikle birçok kısmi diferansiyel denklemlerin karmaşık geometrileri ve sınır koşulları için tam çözümü bulunamaz; bu nedenle denklemlerin ayrıklaştırılarak sınırlı bir alt uzayda çözülmesi gerekir.Sonlu elemanlar,sonlu farklar ve sonlu hacim yöntemleriısı ve dalga denklemi gibi birçok denklemin karmaşık sistemlerde çözülmesinde ve simülasyonunda kullanılır. Adi diferansiyel denklemlerin çözümlerinde ise Runge-Kutta yöntemleri kullanılabilir.
Sayısal integral hesabı
Belirli integrallerin yaklaşık olarak hesaplanması için kullanılan yöntemler arasında Yamuk kuralı formülü, Simpson (1/3) kuralı, Gauss dördünü ve Romberg yöntemi bulunmaktadır.
Ayrıca bakınız
Kaynakça
- ^ . 13 Ağustos 2012 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 7 Temmuz 2020.
- ^ Demmel, J. W. (1997). Applied numerical linear algebra. Society for Industrial and Applied Mathematics.
- ^ Ciarlet, P. G., Miara, B., & Thomas, J. M. (1989). Introduction to numerical linear algebra and optimization. Cambridge University Press.
- ^ Trefethen, Lloyd; Bau III, David (1997). Numerical Linear Algebra (1st ed.). Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics.
- ^ Brezinski, C., & Wuytack, L. (2012). Numerical analysis: Historical developments in the 20th century. Elsevier.
- ^ a b c d e f g h Ascher, Uri M.; Greif, Chen (2011). A First Course on Numerical Methods (5 bas.). Society for Industrial and Applied Mathematics. ISBN .
- ^ Higham, N. J. (2002). Accuracy and stability of numerical algorithms (Vol. 80). SIAM.
- ^ R. L. Burden, J. D. Faires, Numerical Analysis, 8th edition, Thomson Brooks/Cole, 2005.
- ^ Draper, N.R.; Smith, H. (1998). Applied Regression Analysis (3 bas.). John Wiley. ISBN .
- ^ Lever, Jake; Krzywinski, Martin; Altman, Naomi (2017). "Principal component analysis". Nature Methods (14): 641-642. doi:10.1038/nmeth.4346. 6 Nisan 2020 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 7 Temmuz 2020.
- ^ Ames, W. F. (2014). Numerical methods for partial differential equations. Academic Press.
- ^ Johnson, C. (2012). Numerical solution of partial differential equations by the finite element method. Courier Corporation.
- ^ Brenner, S., & Scott, R. (2007). The mathematical theory of finite element methods. Springer Science & Business Media.
- ^ Strang, G., & Fix, G. J. (1973). An analysis of the finite element method. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-hall.
- ^ Strikwerda, J. C. (2004). Finite difference schemes and partial differential equations. SIAM.
- ^ LeVeque, Randall (2002), Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, Cambridge University Press.
Dış bağlantılar
- İTÜ Ninova Açık Ders Malzemeleri25 Eylül 2013 tarihinde Wayback Machine sitesinde ., Sayısal yöntemler
- Massachusetts Teknoloji Enstitüsü ders notları11 Temmuz 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde ., Sayısal yöntemlere giriş (İngilizce)
wikipedia, wiki, viki, vikipedia, oku, kitap, kütüphane, kütübhane, ara, ara bul, bul, herşey, ne arasanız burada,hikayeler, makale, kitaplar, öğren, wiki, bilgi, tarih, yukle, izle, telefon için, turk, türk, türkçe, turkce, nasıl yapılır, ne demek, nasıl, yapmak, yapılır, indir, ücretsiz, ücretsiz indir, bedava, bedava indir, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, resim, müzik, şarkı, film, film, oyun, oyunlar, mobil, cep telefonu, telefon, android, ios, apple, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, pc, web, computer, bilgisayar
Sayisal analiz diger adiyla numerik analiz veya sayisal cozumleme matematiksel analiz problemlerinin yaklasik cozumlerinde kullanilan algoritmalari inceler Bu nedenle bircok muhendislik dali ve doga bilimlerinde onem arz eden sayisal analiz bilimsel hesaplama bilimi olarak da kabul edilebilir Bilgisayarin islem kapasitesinin artmasi ile gundelik hayatta ortaya cikan bircok sistemin matematiksel modellenmesi mumkun olmus ve sayisal analiz algoritmalari burada on plana cikmistir 21 yuzyildan itibaren bilimsel hesaplama yontemleri muhendislik ve doga bilimleri ile sinirli kalmamis ve sosyal bilimler ile isletme gibi alanlari da etkilemistir Sayisal analizin alt basliklarina adi diferansiyel denklemlerin yaklasik cozumleri ve ozellikle veri biliminde onem tasiyan sayisal lineer cebir ile optimizasyon ornek gosterilebilir Babil lerden kalma bir kil tablet YBC 7289 c MO 1800 1600 Tablette ikinin koku altmisar tabanda yaklasik olarak hesaplanmistir bu hesap onluk sistemde yaklasik olarak alti hanelik bir dogruluk payina denk gelir 1 24 60 51 602 10 603 1 41421296 Modern bilgisayarlarin icadindan once sayisal yontemler kagit ustunde uygulaniyordu Her ne kadar 20 yuzyil itibari ile ilgili hesaplamalar bilgisayarlar araciligi ile yapilsa da bu yazilimlari olusturan matematiksel algoritmalarin temeli eski formullere dayanmaktadir TemellerDirekt ve yinelemeli yontemler Direkt yontemler sonucu tek bir adimda verirken yinelemeli yontemler sonuca birden fazla adim veya iterasyonda ulasir Ozellikle dogrusal olmayan problemlerin hesaplanmasinda yinelemeli yontemlerin kullanilmasi gerekebilir buna karsin matris faktorizasyonu ve lineer programlama gibi direkt sayisal yontemler de mevcuttur Basit bir problemin direkt olarak cebir ve sayisal yineleme yontemi ile cozumu su sekilde karsilastirilabilir x bilinmeyeninin oldugu 3x3 4 28 denklemini cozersek Direkt cozum 3x3 4 28 4 cikar 3x3 24 3 e bol x3 8 Kup kokunu al x 2 Yineleme yontemi olarak ikiye bolme metodu kullanilabilir bu yontemde fonksiyonun isaret degistirdigi nokta tespit edilmeye calisilir Denklemi buna uygun olarak f x 3x3 24 seklinde yeniden yazabilir ve baslangic degerleri olarak a 0 b 3 f a 24 ve f b 57 verebiliriz Yinelemeli yontem a b mid f mid 0 3 1 5 13 8751 5 3 2 25 10 17 1 5 2 25 1 875 4 22 1 875 2 25 2 0625 2 32 Tabloya gore sonuc 1 875 ile 2 0625 arasindadir Algoritma bu aralik 0 2 den daha az bir hata ile herhangi bir sonucu verebilir Ayriklastirma Ayriklastirma bir fonksiyonun ya da operatorun ayrik degerlerle yaklasik olarak hesaplanmasidir Ornek olarak bir arabanin hizinin yarim saatte bir olculmesiyle olusturulan bir tablo ayriklastirilmis verileri gosterir her ne kadar araba surekli hareket etmis olsa da veri tablosu ile zamana bagli hizi gosteren ayrik bir fonksiyon elde edilebilir Zaman 0 20 0 40 1 00 1 20 1 40Hiz km s 140 1 45 150 165 180 Fonksiyonlarin ayristirilmasina ornek olarak bir fonksiyonun turevi limit kullanarak su sekilde yazilabilir ddxf x limDh 0f x Dh f x Dh displaystyle frac d dx f x lim Delta h to 0 frac f x Delta h f x Delta h Turevin yaklasik olarak kullanilmasi gereken durumlarda limit yerine Dh displaystyle Delta h kucuk ama sonlu bir deger alabilir ve bir x noktasindaki yaklasik deger bu sekilde hesaplanabilir Bu sayisal turev olarak ifade edilir Ayni fonksiyonun x noktasi icin turevi Taylor serisi kullanilarak daha yakinsak bir sekilde de ifade edilebilir ddxf x f x Dh2 f x Dh2 Dh displaystyle frac d dx f x approx frac f x frac Delta h 2 f x frac Delta h 2 Delta h Ayriklastirma diferansiyel denklemlerin cozumunde ve sayisal integrallerde de siklikla kullanilmaktadir Yuvarlama kesme ve ayriklastirma hatalari Yuvarlama hatalari sayisal hesaplamalarin yapildigi bilgisayarlarin sinirli hafizalarinin olmasindan kaynaklanmaktadir reel sayilarin tum hanelerini dijital veri seklinde saklayabilmek mumkun degildir Kesme hatasi yinelemeli bir yontemin sonlandirilmasi ayriklastirma hatalari ise surekli bir sistem veya fonksiyonun ayrik bir sekilde yakinsanmasi ile ortaya cikar Sayisal yontemleri yakinsama temelli oldugu icin bircok durumda sonucun az da olsa kesin cozumden farkli olmasi beklenir buna karsilik elde edilen sonucun hatasi tolerans sinirlari icinde olmalidir Ozellikle matris problemleri icin hata ust siniri kosul sayisi condition number ile belirtilebilir Numerik stabilite Bir algoritmanin numerik acidan stabil ya da kararli olmasi hatanin hesaplama sirasinda cok buyumedigini ifade eder Bu problemin iyi kosullandirilmis well conditioned olmasini gerektirir Iyi kosullandirilma verideki kucuk bir degisikligin sonucta da kucuk bir degisiklik yaratmasi olarak tanimlanabilir bunun tersi kotu kosullandirilmis olarak tanimlanabilir Alt dallariFonksiyonlarin degerlerinin sayisal olarak hesabi Bir fonksiyonun kokunun Newton yontemi ile bulunmasi Fonksiyonlarin bir nokta icin kesin hesabinin etkili ya da mumkun olmadigi durumlarda Horner yontemi gibi sayisal yontemler kullanilabilir Kok bulma algoritmalari icin ise ikiye bolme metodu Newton metodu kiris yontemi ve Muller metodu ornek verilebilir Dogrusal denklem sistemlerinin cozumleri Ozellikle dogrusal denklem sistemlerinin matris cozumlerinde sayisal yontemler siklikla kullanilir bunlardan bazilarina Gauss eleme yontemi ve LU ile QR ayrisimlari ornek gosterilebilir Buyuk boyutlu sistemlerde ise Jacobi metodu Gauss Seidel yontemi veya konjuge gradyan metodu gibi yinelemeli cozumlemeler kullanilir Dogrusal olmayan sistemler dogrusala yakinsabilir ve bu sistemler icin Newton un dogrusal olmayan sistem yontemi kullanilabilir Optimizasyon problemleri Optimizasyon bir fonksiyonun bazi sinirlamalar altindaki maksimum ya da minimum kosullarini saglayan degerinin tespiti ile ilgilenir Alt alanlari arasinda dogrusal programlama ve konveks optimizasyon ornek gosterilebilir Interpolasyon ekstrapolasyon ve regresyon Bir veri kumesinin dogrusal regresyonu Interpolasyon bazi degerleri bilinen bir fonksiyonun ara degerlerinin tahmin edilerek doldurulmasi olarak tanimlanabilir Interpolasyon yontemleri arasinda noktalarin dogrusal cizgiler ile birlestirilmesi lineer interpolasyon ve noktalara bir polinom fonksiyonun uyarlanmasi polinom interpolasyonu bulunmaktadir Veri kumesi sinirlari disinda bulunan bir noktadaki degerin tahmini ise ekstrapolasyondur Istatistikte onem arz eden ve sayisal analiz sinirlarina da giren regresyon yontemleri ise iki ya da daha cok degisken arasindaki iliskiyi tahmin etmeye calisir En basit regresyon tiplerinden biri olan dogrusal regresyonda veriye uyan bir dogrusal cizgi fit cekilir bu en kucuk kareler yontemi ile yapilabilir Ozdeger problemleri Ozellikle fizik ve muhendislik gibi alanlarda bircok problem ozdeger problemi olarak modellenebilir bu durum sistemlerin ozdegerlerine ya da tekil degerlerine ayristirilmasini gerektirebilir Istatistikte kullanilan temel bilesen analizi buna ornek gosterilebilir Diferansiyel denklemlerin sayisal cozumu Bir hesaplamali akiskanlar dinamigi simulasyonu diyaframli pompa Diferansiyel denklemlerin sayisal yontemler ile cozumu bilimsel hesaplama icin onem teskil eden bir alt daldir Ozellikle bircok kismi diferansiyel denklemlerin karmasik geometrileri ve sinir kosullari icin tam cozumu bulunamaz bu nedenle denklemlerin ayriklastirilarak sinirli bir alt uzayda cozulmesi gerekir Sonlu elemanlar sonlu farklar ve sonlu hacim yontemleriisi ve dalga denklemi gibi bircok denklemin karmasik sistemlerde cozulmesinde ve simulasyonunda kullanilir Adi diferansiyel denklemlerin cozumlerinde ise Runge Kutta yontemleri kullanilabilir Sayisal integral hesabi Belirli integrallerin yaklasik olarak hesaplanmasi icin kullanilan yontemler arasinda Yamuk kurali formulu Simpson 1 3 kurali Gauss dordunu ve Romberg yontemi bulunmaktadir Ayrica bakinizHesaplamali fizik Makine ogrenimi Veri bilimiKaynakca 13 Agustos 2012 tarihinde kaynagindan arsivlendi Erisim tarihi 7 Temmuz 2020 Demmel J W 1997 Applied numerical linear algebra Society for Industrial and Applied Mathematics Ciarlet P G Miara B amp Thomas J M 1989 Introduction to numerical linear algebra and optimization Cambridge University Press Trefethen Lloyd Bau III David 1997 Numerical Linear Algebra 1st ed Philadelphia Society for Industrial and Applied Mathematics Brezinski C amp Wuytack L 2012 Numerical analysis Historical developments in the 20th century Elsevier a b c d e f g h Ascher Uri M Greif Chen 2011 A First Course on Numerical Methods 5 bas Society for Industrial and Applied Mathematics ISBN 9780898719970 Higham N J 2002 Accuracy and stability of numerical algorithms Vol 80 SIAM R L Burden J D Faires Numerical Analysis 8th edition Thomson Brooks Cole 2005 0 534 39200 8 Draper N R Smith H 1998 Applied Regression Analysis 3 bas John Wiley ISBN 978 0 471 17082 2 Lever Jake Krzywinski Martin Altman Naomi 2017 Principal component analysis Nature Methods 14 641 642 doi 10 1038 nmeth 4346 6 Nisan 2020 tarihinde kaynagindan Erisim tarihi 7 Temmuz 2020 Ames W F 2014 Numerical methods for partial differential equations Academic Press Johnson C 2012 Numerical solution of partial differential equations by the finite element method Courier Corporation Brenner S amp Scott R 2007 The mathematical theory of finite element methods Springer Science amp Business Media Strang G amp Fix G J 1973 An analysis of the finite element method Englewood Cliffs NJ Prentice hall Strikwerda J C 2004 Finite difference schemes and partial differential equations SIAM LeVeque Randall 2002 Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems Cambridge University Press Dis baglantilarITU Ninova Acik Ders Malzemeleri25 Eylul 2013 tarihinde Wayback Machine sitesinde Sayisal yontemler Massachusetts Teknoloji Enstitusu ders notlari11 Temmuz 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde Sayisal yontemlere giris Ingilizce