Lagrange mekaniği, klasik mekaniğin yeniden formüle edilmesidir. İtalyan-Fransız matematikçi ve astronom Joseph-Louis Lagrange tarafından 1788’de geliştirilmiştir.
Lagrange mekaniğinde, parçacıkların ve parçacık sistemlerinin hareketleri ve gezingeleri Lagrange denklemlerinin iki formundan birinin çözülmesiyle bulunur. Birinci tip Lagrange denklemleri, parçacıkların hareketlerindeki kısıtlamaların, Lagrange’in kalkülüste de sık kullanılan Lagrange çarpanı yöntemi kullanılarak ifade edilmesidir. İkinci tip Lagrange denklemlerinde ise hareket kısıtlarını, sistemin yapısına uyacak makul seçimi ile direkt olarak sistem denklemlerine dahil etmek üzerine kuruludur. İki durumda da matematiksel bir fonksiyon olarak tanımlanan, Lagrange’in sistem hakkında verdiği bilgilerden faydalanılır. Lagrangian, genelleştirilmiş koordinatların, onların türevlerinin (genelleştirilmiş hızlar) ve zamanın bir fonksiyonudur.
Lagrange mekaniğinde dikkat edilmesi gereken husus; yeni bir fiziğin ortaya atılmıyor oluşudur. Keza, Lagrange mekaniği Newton mekaniğinden daha sığ bir kapsama sahiptir çünkü Newton mekaniği korunumlu olmayan sürtünme gibi kuvvetleri de içerir. Ancak bu tip kuvvetlerin doğru ifade edilmesi için hareketi kısıtlayan kuvvetlerin de sistem denklemlerinde ifade edilmesi gerekir ve kartezyen koordinat sistemi haricindeki koordinatlar bu yönteme pek uygun değildir. Ancak, Lagrange mekaniğindeki yöntemler ile kısıtlayıcı kuvvetlerin ve korunumsuz kuvvetlerin ekstra karmaşık denklemler yaratması önlenebilir. Lagrange mekaniği bu açıdan, korunumlu kuvvetlerin etki ettiği ve iç kuvvetler ile ilgilenmediğimiz sistemlerde çok etkilidir ve kartezyen koordinat harici istediğimiz koordinat sistemini kullanmamızda bize kolaylık sağlar. Ayrıca bazı korunumsuz kuvvetleri de göz ardı etmemize olanak tanıyabilir. Dolayısıyla, kontak noktalarındaki ve yapısal sistemlerle ilgilenilmeyen ve sadece genel dinamiğin ve hareketin önemli olduğu sistemlerde Lagrange mekaniği kullanımı çok etkilidir.
Genelleştirilmiş koordinatlar sistemin serbestlik derecesine göre istenildiği gibi seçilebilir. Ancak Lagrange mekaniğinin kolaylıklarından etkin bir şekilde faydalanmak için, sistemdeki simetrileri ve geometrik kısıtları ve özellikleri dikkate alarak uygun seçimler yapmak gerekir. Böylece matematiksel model ve denklemler önemli oranda basitleşir.
Lagrange mekaniği uygulama açısından kolaylıklarının yanında, teorik olarak doğadaki korunum yasaları yani fiziksel işleyiş hakkında da bize önemli bilgiler verir. Korunan her fiziksel değişken ve onların simetrisi üzerine kurulu olan bu bilgi Noether teoremi ile daha da genelleştirilmiştir. Bu teori aynı zamanda minimum eylem prensibi ile de yakından ilişkilidir. Yine, Lagrange mekaniği, sadece denge (dinamik-statik-kaotik) problemlerine odaklandığından daha sığ kalmaktadır. Ayrıca, Lagrange mekaniği, sadece olan sistemlere uygulanabilmektedir çünkü formülasyon için çalışmamaktadır. Örneğin, integrallenebilir olmayan kısıtlayıcı denklemler (hareket kısıtları hakkındaki denklemler), gibi doğrusal olmayan karmaşık korunumsuz kuvvetler ve aralıklar ile eşitsizliklerle tanımlanmış hareket kısıtlarını tanımlayan denklemlere sahip sistemlerde Lagrange mekaniği etkin olamamaktadır. özel analiz gerekmektedir. Bu durumlarda Newton mekaniği veya başka yöntemler kullanılabilir zira bu durumlarda Lagrangian’in temelini oluşturan enerji terimlerinin ifadelerinde sıkıntılar yaşanmaktadır. Çünkü bu terimler kuvvet ve yola bağlı terimlerin integralleri ile ifade edilmektedir.
Daha önce de bahsedildiği gibi, Lagrange formülasyonu pratikteki uygulama kolaylıklarının yanı sıra, mekanik fiziği ve doğanın mekanik davranışını anlamamızda bize derin bir bakış açısı sağlar. Kuantum mekaniğinde, Planck sabiti ile ilişkili olan etki ve kuantum fazlarda, minimum eylem prensibi dalga yayılımı ve dalga yayılım denklemleri ile anlaşılabilmekte ve benzer mekanik yaklaşımlar bu gibi apayrı alanlarda da türetilebilmektedir. Lagrangian eğer simetri altında değişmez ise, sonuçta ortaya çıkan hareket denklemi de simetri altında değişmezdir. Bu karakteristik de özel görelilik ve genel görelilik teorisindeki açıklamalar için çok önemlidir. Minimum eylem prensibi, Lagrange formülasyonları gibi konular Noether teoremi ile yakından ilişkilidir ve bu teorilerin sonucunda daha önce sadece gözleme veya basit derivasyonlara dayalı kalmış olan korunum yasaları ve korunan nicelikler; inceleme altındaki fiziksel sistemin sürekli simetrileri ile ilişkilendirilebilmiştir. Dolayısıyla, bu algı; momentum, kütle gibi temel korunum sahibi niceliklerin ötesinde her sistem için farklı ve daha genel korunum ifadeleri yazabileceğimizi ortaya atmış ve bunların nasıl türetileceği, hangi durumlar altında kullanılabileceği hakkında bize bilgi vermiştir. Lagrange mekaniği ve Noether teoremi ayrıca içeren için doğal bir biçimcilik ortaya koymuştur ve bunu belli terimler ile Lagrangian ile türetilmiş hareket denklemleri arasında göstermiştir.
Lagrange mekaniği, Newton mekaniğinin uygun olmadığı, çok vakit aldığı veya etkili sonuç çıkartamadığı yerlerde hem teorik fizikte hem de pratik mekanik uygulamalarda çok etkilidir. Ayrıca minimum eylem prensibi ile yakından ilişkili olduğundan optimizasyon problemlerinde de kullanılabilmektedir. Mekanik biliminde, ikinci tip Lagrange denklemleri birinci tipe göre çok daha sık kullanılmaktadır.
Giriş
Lagrange mekaniğinin gücü, hareketi kısıtlanmış mekanik sistemlerde, bu kısıtları etkili ifade ederek sistem çözümüne dahil edebilmesinden gelir. Aşağıdaki örnekler, konseptleri ve terminolojiyi anlamada etkili olacaktır.
Rijit bir eğimli yolu ifade eden bir telde hareket eden bir küreyi düşündüğümüzde, ağırlığın etkili olduğu 2 boyutlu uzayda; hareket kısıtları f(r) = 0 formunda ifade edilebilir. Burada kürenin hareketi r = (x(s), y(s)) olarak yazılabilir ve s olarak tanımlanır (her eğri, yay parçaları olarak ifade edilebileceğinden, dsi diferansiyel yay uzunluğu, si de yay boyuncaki koordinat olarak tanımlayabiliriz). Eğride her noktadaki x ve y birbirine bağımlı olduğundan, aslında x ve y gibi iki koordinat tanımlamak yerine tek bir s koordinatı hareketimizi tanımlamamıza ve kısıtlarımızı ifade etmemize yetecektir. Çünkü hareket kısıtlarını ifade eden denklemler x ve y arasında bir bağıntı vermekte ve serbestlik derecesini düşürmektedir. Böylece x ve y den biri bilindiğinde öbürü bulunabilir.
Hareket kısıtlarının bir sonucu olan kısıtlayıcı kuvvetler ise, hareketin kısıtlandığı yönde uygulanan kuvvetlerdir veya başka bir açıdan, kürenin istenilen yolda kalmasını sağlayan kuvvetlerdir. Ayrıca ağırlık da, kısıtlayıcı olmayan bir kuvvet olarak küreye etki etmektedir.
Eğer telin şekli zamanla değişiyorsa (örneğin esneme ile), o zaman kısıtlayıcı denklemler ve pozisyon zamana bağlı olarak da değişmeye başlar. Çünkü koordinatlar zamanla değişmektedir. Zaman, koordinat tanımlarında örtülü olarak kalırken, kısıtlayıcı denklemlerde açık olarak gelir.
Başka bir ilginç 2 boyutlu örnek ise kaotik/düzensiz bir dinamiğe sahip olan çift sarkaçtır (yine yer çekimi altında). Bir sarkaçın uzunluğu L1 ve diğerinin uzunluğu ise L2 olsun. Her bir kütle hareketlerinin kısıtlanmasını ifade eden denklemlere sahiptir. Her sarkacın kısıtlayıcı denklemi vardır,
Kütlelerin pozisyonları ise,
olarak ifade edilebilir.
θ 1 ve θ 2 belli bir referansa göre sarkaçların açısını ifade eder. Her sarkaç, kısıtlardan ötürü birer koordinatla ifade edilebilir. Çünkü bu kısıtlar mekansal koordinatları (2 tane) birbirine bağlar.
3 boyutlu bir örnek olarak, küresel eksenlerde hareket eden sarkaç örnek verilebilir. Sarkacın uzunluğu l ve sarkaç her yönde serbestçe sallanacak şekilde ağırlığının etkisine bırakılmış durumdadır. Bu durumda, hareket kısıtlanması şu şekilde ifade edilebilir;
Kütlenin pozisyonu ise daha önce s ve θ değişkenlerinin kullanıldığı gibi genel koordinatlarda şu şekilde ifade edilebilir;
ve burada (θ, φ) çifti küresel kutup açılarını ifade eder çünkü kütle bir kürenin yüzeyinde hareket edermişçesine davranır aynı zamanda küresel koordinatlarda tanımlanabilir ve aynı bu durumda olduğu gibi, yarıçapın sabit olduğu bir kürenin denklemi de kısıtımızı ifade eder. Böylece 3 koordinat yerine 2 koordinat bilgisi yeterli olmaktadır.
Özellikle sarkaç gibi sistemler, salınım hareketi yaparlar çünkü yükleme, pozisyon değişkeni olan açının sinüsel bir fonksiyonudur. Böylece basit harmonik osilatörler Lagrange mekaniği ile yine rahatça analiz edilebileceği anlaşılabilir. Ayrıca, bu tip enerji metotları denk sistemler bulmak, çoklu serbestlik dereceye sahip sistemlerin analizi gibi problemlerde ciddi işe yaramaktadırlar çünkü yazılımsal olarak adapte edilebilmeleri kolaydır. Dolayısıyla, bağlanmış harmonik osilatörler (çift sarkaç, üçlü sarkaç gibi) özellikle Lagrange dinamiği metotları ile incelenir.
3 boyutlu uzayda yer alan N partikül için, 3 değişkenli vektör fonksiyonları olarak şöyle ifade edilebilir;
Dolayısıyla, her bir parçanın net pozisyonunu bilmek için 3N kadar koordinata ihtiyacımız vardır. Zaten bir vektör uzayında da bir noktanın genel ifadesi r = (x, y, z). fonksiyonu ile yapılır. Bu partiküllerden herhangi birisi veya birkaçı tabi tutulursa, kısıt ifadesi f(r, t) = 0 şeklinde yazılabilir. Bu, herhangi bir anda partiküllerin pozisyonları birbirlerine bağlanmaya başlar ve bağımsız olmaktan çıkarlar. Eğer sistemde C kadar kısıtlayıcı var ise, bunların her birinin fonksiyonel ifadesi için,
Fonksiyon eşitlikleri kullanılır ve her bir denklem bir koordinat ihtiyacını eler. Dolayısıyla bağımsız koordinatların sayısı n = 3N − C kadardır. Unutulmamalıdır ki bağımlı koordinatlar kullanılarak yapılan hesaplar modeli karmaşıklaştıracaktır.
Dolayısıyla, partikülleri veya sistemi tanımlamamız için n tane koordinata ihtiyacımız bulunmaktadır. Her pozisyon vektörü istenilen n elemanlı genelleştirilmiş koordinat setine dönüştürülebilir. Ve uygun bir şekilde q = (q1, q2, ... qn) olarak ifade edilebilir. Dolayısıyla pozisyonlar şu şekilde ifade edilebilir;
Böylece, pozisyonlar, genelleştirilmiş koordinatların fonksiyonu olarak karşımıza çıkar çünkü pozisyon değişkenlerini herhangi bir sete dönüştürebiliriz.
Genelleştirilmiş koordinatların birinci türevine genelleştirilmiş hızlar denir ve her partikül için hız vektörlerinin dönüşümleri;
(Noktalar Newton notasyonu olarak zamana göre türevi ifade eder.)
Burada unutulmamalıdır ki hız, pozisyonun . Veya basitçe rk olarak tanımladığımız fonksiyonun zamana göre türevidir ve q da zamana bağlı olduğu için zincir kuralı kullanılır.
Önceki örneklerde, biri eğer her kütlenin hareketini partikül olarak inceleyecek basitleştirmeler yapabiliyorsa, Newton mekaniği zamana bağlı olarak değişen kısıtlayıcı kuvvetlerin (partikülleri kısıtlanmış hareket patikasında tutmaya yarayan kuvvetler) zamana göre değişimi ile uğraşmayı gerektirir (telin küreye uyguladığı kuvvet, çekme kuvvetinin sarkaca aktardığı kuvvet gibi).Aynı problem için Lagrange mekaniği, bizim partikülün aldığı yola bakarak uygun bir genelleştirilmiş koordinat seçmemize dayanır. Bu seçimlerdeki koordinatlar bağımsız olmalıdır ve hareketi tamamen karakterize edebilmelidir. Hareketin tamamen serbest olduğu koordinatlar seçilirse, kısıtlayıcı denklem ve kuvvetlerin işin içine girmesine gerek kalmaz. Örneğin x-y düzleminde tel üzerindeki bir kürenin hareketi her an tanjantlara dik olarak kısıtlanmıştır ama tek bir s koordinatı seçilirse, zaten o koordinat yolun ve hareketin kendisini tanımladığı için ve hareketin olmadığı yerlerde sıfır olduğu için ekstra kısıt ifadelerine gerek kalmaz. Böylece, kısıtların partiküller üzerindeki direkt etkisi hesaplanmadan daha az denklem çözülerek sistem modellenebilir.
Lagrangian'ın tanımı
Lagrange mekaniğindeki temel nicelik Lagrangian fonksiyonudur. Bu fonksiyon, sistemin dinamik davranışı hakkında önemli bilgiler barındırır. Ancak, her fiziksel sistem için tek bir Lagrangian ifadesi türetmek mümkün değildir. Esasen, fiziksel yasalarla uyumlu bir şekilde türetebilecek her fonksiyon Lagrangian olarak ele alınabilir. Ancak yine de, bazı gruplanabilecek sistemler için genel Lagrangian ifadeleri oluşturmak mümkündür.
Örneğin, görelilik etkilerin ihmal edilebileceği sistemler için Lagrangian;
olarak ifade edilebilir. (mekanikte en sık karşılaşılan ifade budur, ancak bunun tüm sistemler için genel bir ifade olmadığına dikkat edilmesi gerekir. Farklı fiziksel yasaların da işin içine girmesiyle değişmesi gerektiğini unutmamak gerekir.) Burada T, sistemin toplam kinetik enerjisini ve V ise potansiyel enerjisini ifade eder. Lagrangian’ın birimi, seçilen enerji birimleriyle aynıdır.
Kütleleri m1, m2, ..., mN olan N parçacıktan oluşan bir sistem için toplam kinetik enerji her bir parçacığın kinetik enerjisi toplanarak bulunabilir. (Enerji metodlarındaki toplanabilme özelliği bu açıdan çok güçlüdür.) Her parçacığın enerjisi sistemin hareketine göre şöyle tanımlanabilir;
Burada, işaretlerin doğru verilmesi için noktasal çarpım kullanılmıştır. Yani kinetik enerji ne olursa olsun pozitif bir ifadedir. Bu ifadeye göre, kinetik enerji sadece hızların yani vk terimlerinin bir fonksiyonudur. Kinetik enerji rk'ya yani parçacıkların pozisyonlarına ve zamana bağlı değildir. Dolayısıyla T(v1, v2, ...) olarak ifade edilebilir. Ancak, yukarıdaki genelleştirilmiş koordinat ve hız ifadeleri göz önüne alındığında, özellikle zamana bağlı bir değişim söz konusu ise; genelleştirilmiş koordinatlar çerçevesinde ifade edilen kinetik enerji genelleştirilmiş hızlara, koordinatlara ve pozisyon vektörleri zamana bağlı çarpanlar içeriyorsa zamana bağlıdır. Yani T = T(q, dq/dt, t) olarak daha doğru bir şekilde ifade edilebilir.
Potansiyel enerji V ise sistemdeki parçacıkların birbirleri ile olan ilişkilerini yansıtır. Başka bir deyişle, bir parçacığın diğer tüm parçacıklara ve dış etkilere göre ne kadar enerjisi olduğunu ifade eder. korunumlu kuvvetlerin etkisinden ötürü oluşan potansiyel enerji, sadece parçacıkların pozisyonlarına bağlıdır yani V = V(r1, r2, ...)’dir. Korunumlu olmayan kuvvetler için de uygun potansiyel enerji fonksiyonları türetilebilir. Ancak bu durumda işin içine hızlar da girmek zorundadır. Yani korunumsuz kuvvetler için V = V(r1, r2, ..., v1, v2, ...) olarak ifade edilebilir. Ayrıca dış bir fiziksel alan veya kuvvet zamana bağlı olarak değişiyorsa potansiyel enerji de bundan etkilenecektir. Dolayısıyla en genel haliyle; V = V(r1, r2, ..., v1, v2, ..., t) olacaktır.
Eğer potansiyel ve kinetik enerjilerden biri veya ikisi de zamana açık bir bağlılık gösteriyorsa (zamanla değişen kısıtlar, etkiler, çarpanlar veya sistem parametreleri) Lagrangian da zamana açık bir şekilde bağlı olacaktır. Yani L[q,dq/dt,t) olacaktır. Eğer potansiyel enerji ve kinetik enerji zamana göre değişmiyorsa bu durumda, Lagrangian, L(q, dq/dt) formunda olacaktır ve zamana açık bir bağlılık göstermeyecektir. Ancak zamana göre türev alındığı için zamana örtülü bir şekilde bağlı olacaktır. İki durumda da Lagrangian’ın zamana örtülü olarak bağlı olacağı kesindir (Genelleştirilmiş koordinatlar kullanılırsa).
Lagrangian’a ek olarak ayrıca, disipatif yani hareket süresince enerjiyi o an sistem içinde dönüştürülemez şekilde harcayan sistem elemanlarını göz önüne alarak çeşitli fonksiyonlar türetmek de mümkündür.
, L daha derin bir şekilde analiz edilip doğru ifade edilmelidir. Bunun için bakılabilir. (Enerji ifadeleri artık daha farklı olacak ve dönüşümler, zamana bağımlılık farklı bir yapı gösterecektir.)
Hareket denklemleri
Newton mekaniğinde, hareket Newton Yasaları ile ifade edilir. Newton’un ikinci yasası F = ma her parçacığa uygulanır ve 3 boyutta hareket sahibi olanN parçacıklı bir sistem için 3N tane adi diferansiyel denklem pozisyonların bulunması için çözülür(ivmenin iki kere integrali alınarak).
Lagrange mekaniğinde ise, Lagrangian fonksiyonu hareket denklemlerini türetir. Hareket denklemleri, kısmi türev ∂/∂ içerse bile, denklemler yine de genelleştirilmiş pozisyon koordinatlarında çalışan adi diferansiyel denklemlerdir. Ayrıca zaman göre toplam türev ifadesi,d/dt alınmasını gerektirebilir.
İki çeşit hareket denklemi vardır. Biri kısıtlayıcı kuvvetleri ve hareketlerin kısıtlarını ifade eden denklemlerini işin içine katarken, diğeri bunları modellemenin dışında tutarak sadece kısıtlayıcı olmayan ve hareket sağlayan kuvvetleri genelleştirilmiş koordinatlarda inceler. Bu ifadeleri Lagrangian’a koyup gerekli denklemleri çözerek, sınır ve katarak (hız ve pozisyon) parçacıkların pozisyonlarını zamana göre çözebilir ve sistemin zamana göre hareketini, değişimini bulabiliriz.
Birinci tip Lagrange denklemleri
3 boyutlu uzayda N parçacıktan oluşan ve C tane maruz kalan bir sistemin kısıtları yukarıda belirtildiği üzere, f2,..., fC gibi fonksiyonlarla ifade edilebilir ve sistemin dinamiği, Lagrangian L(r, dr/dt, t)'a bağlı olarak birinci tip Lagrange denklemleri ile şöyle ifade edilebilir;
burada k = 1, 2, ..., N her bir parçacığı ifade eder ve bu denklemler sisteme dahil olan her eleman veya parçacık için çözülmek üzere bir denklem sistemi oluşturur. Ayrıca, her bir kısıtlayıcı denklem fi için birer Lagrange çarpanı λi bulunur. Ve bu indisler her bir vektörün her bir ilgili değişkene göre türevini ifade etmede kolaylık sağlar.
Burada dikkat edilmesi gereken, Lagrangian’ın her bir vektöre göre türevi alınmasından ziyade yine mekansal koordinatlara göre türev alındığı ve buradaki gösterimin kolaylık olduğudur.
Bu prosedür Newton yasalarıyla çözülebilecek 3N denklem sayısını kısıtlayıcı denklemlerin de işin içine girmesiyle 3N + Cye çıkartır. Çünkü N parçacık için 3 boyuttta – 3 pozisyonda 3N denklem vardır ve C kadar hareket kısıtlarını ifade eden denklem vardır. Ancak burada etkili olan nokta Lagrange çarpanlarıdır ve bu çarpanlar kısıtlayıcı kuvvetler hakkında bize çözüm sırasında bilgi verir. Bu metotta genelleştirilmiş koordinatlar veya kısıt denklemlerinin temel hareket denklemlerine katılması kullanılarak denklemleri elimine etme ihtiyacı yoktur. Kısıt denklemleri ekstra denklemler olarak Lagrange çarpanları ile ifade edilir ve sistem çözülür.
İkinci tip Lagrange denklemleri
Euler-Lagrange denklemleri veya Lagrange’ın ikinci tip hareket denklemleri olarak adlandırılır. matematiksel bir sonucu olarak ortaya konmuştur. Bu sonuç fiziksel – mekanik sistemlerde de hem doğalarını anlamada hem de hareketlerini hesaplamada kullanılır.
Lagrangian’ın L(q, dq/dt, t) formulasyonu bu denkleme konduğunda her bir genelleştirilmiş koordinata karşılık bir denklem bulunur. Ve genelleştirilmiş koordinatlar eksenel koordinatlar – kısıtlar sayısı kadar seçildiğinden toplamda 3N-C kadar 2. Dereceden adi diferansiyel denklemi çözmemiz gerekir. Bu denklemler hareket kısıtlarını içermezler ve sadece kısıtlayıcı olmayan – hareketi gerçekleştiren kuvvetlerin modele katılması gerekir.
Bu metot, değişim kalkülüsündeki minimum değişim ve hareket prensibinin fiziksel bağlamda enerji olarak ifade edilebilecek bir değişim fonksiyonuyla etkili bir şekilde kullanımı ile ortaya çıkar.
Newton mekaniğinden Lagrange mekaniğine
Newton yasaları
Basitçe, Newton yasaları bir parçacık için en genel bir şekilde;
olarak ifade edilir. Burada a, ivme; pozisyonun 2. Türevidir. Bu sayede N parçacığa sahip bir sistemde her parçacığa bu prensip uygulanarak hareket denklemleri çıkartılır. F ise, parçacığa etkiyen toplam kuvvettir.
Üç mekansal koordinatta her bir parçacık için üç hareket denklemi ortaya çıkar. Ve bu denklemlerin her biri adi diferansiyel denklemdir. 3 boyutlu uzayda üç değişken içerecek sonuçlar, birer vektör olarak ifade edilebilir. Elbette, her bir çözüm ilk hız, ilk pozisyon gibi başlangıç değerlerine tabidir.
Newton yasalarının kartezyen koordinatlarda kullanımı çok rahattır. Ancak çoğu harekette (özellikle de eğrisel hareketlerde) kartezyen koordinat kullanımı zordur. Bu durumda kartezyen koordinatların uygun koordinatlara çevrilmesi ve denklemlerin bu şekilde ifade edilmesi gerekir. Ancak bu durumda da pozisyonların türevlenmesi gerektiği için hareket denklemleri karmaşıklaşır. Örneğin üç eğrisel koordinatta ξ = (ξ1, ξ2, ξ3), Newton yasası "Lagrange formunda" şöyle ifade edilebilir;
Burada Fa, kartezyen uzaydan eğrisel uzaya geçişte, uzayların taban vektörlerinin değişmesinden ötürü değişen kuvvetlerin a bileşenidir. Γa ise ikinci tip Christoffel sembolleridir. Burada bir parçacığın kinetik enerjisi;
olarak ifade edilebilir. gbc, eğrisel koordinat sisteminin ün bileşenidir.Her a, b, c, indisi 1,2,3 gibi değerler alır. Burada dikkat edilmesi gereken husus, eğrisel hareketin önemi vurgulandığından; bu koordinat sisteminin genelleştirilmiş koordinatlarla karıştırılmaması gerektiğidir.
Burada yapılan türetmeler Newton yasalarının fazlaca karmaşıklaştırılması olarak düşünülebilir. Ancak bu yöntemin de çeşitli avantajları bulunmaktadır. Christoffel sembolleri cinsinden ifade edilen ivme bileşenleri, yukarıda tanımlanan kinetik enerjinin türevleri alınarak ifade edilebilir ve böylece T gibi bir her referans yapısında aynı kalacak skalerin kolaylığı kullanılabilir. Zaten Lagrangian gibi enerji metodları da vektörlerin referanslara bağımlılığını elimine ederek işlemleri kolaylaştırma ihtiyacına dayanır (Bunu yaparken ise sistemin detaylarından feragat etmek durumunda kalırlar).
Eğer sistem üzerine etkiyen bir kuvvet yoksa, yani F = 0 ise, sistem ivmelenemez. Ya durur ya da hareketini değiştirmeden devam eder. Hareket durumu daha genel bir ifadeyle; doğru üzerinde sabit hızlı harekettir. Ancak bu, bildiğimiz anlamda doğru olmak zorunda değildir. Örneğin geçtiğimizde (jeodezik koordinatlar) doğrular artık keseller olarak karşımıza çıkar. Dolayısıyla, eğrisel yüzeyler üzerinde hareket etmek üzere kısıtlanmış veya o şekilde dengeye gelmiş parçacıkların hareket denklemlerinin çözümü keselleri verir. Keseller uzayda iki genel nokta arasındaki en kısa uzunluğa karşılık gelen eğrilere verilen genel addır. Düzlemde ise bunlar basitçe doğrulardır. Dolayısıyla 3 boyutlu uzayda da keseller düz doğrulara karşılık gelirler. Dolayısıyla, serbest bir parçacık için, Newton’un 2. Yasası geometrik jeodezik denklemleri ile uyum halindedir ve keselleri takip eden serbest parçacıkların hareketlerini ifade etmede kullanılır. Burada en önemli nokta, kesellerin 3 boyutlu uzayda parçacıkların iki nokta arasında izleyeceği en kısa yolu ifade etmesidir. Eğer parçacıklar belli bir kuvvet altında kalırlarsa ivmelenirler ve bu nedenle jeodezik hareketten sapmaya başlarlar.
Uzayda noktalar arası en kısa yolları bulma fikri mekanikte doğal bir merak konusudur. Özellikle enerjinin tanımından sonra mekanik sistemlerin minimum enerjiyle amaçlarını gerçekleştirmeleri önem kazanmıştır. Bu nedenle, (kalkülüs) metotlarının mekaniğe uygulanması ile yukarıda bahsedilen sonuçlar elde edilmiştir. Brachistochrone problemi (sabit ivme altında en kısa yol) gibi önemli konular değişimler hesabı sayesinde açıklığa kavuşturulmuştur. [[Johann Bernoulli|Jean Bernoulli)), Leibniz, Daniel Bernoulli, L’Hôpital gibi bilim insanları bu konu üzerine çalışmış ve farklı zamanlarda benzer çözümler bularak katkı sağlamışlardır. Newton’un kendisi bile değişimler hesabı prensiplerini o zamanlarda düşünmeye başlamıştı. Hatta yukarıda bahsedilen eğri uzunluğu gibi kavramları tanımlayıp, onların türevlerine bakarak düzlemde en kısa yolu ifade eden doğruları eğrilere nasıl adapte edebileceğini düşünmekteydi. Bu fikirler üzerine varyasyonel prensipler Fermat, Maupertuis, Euler ve Hamilton gibi bilim adamları tarafından net bir şekilde ortaya kondu. Ayrıca, uzay-zaman gibi 4 boyutlu uzaylara da uygun şekilde genelleştirilerek Einstein’ın genel görelilik teorisine katkı sağladı. Bahsedildiği gibi uzay eğrisel olarak, zamanda büküldüğünde oluşan uzay zaman boyunca; serbest parçacıklar, düzlemde doğruya karşılık gelecek şekilde jeodezik hareket yaparlar.
Ancak, Newton mekaniğinde, parçacıkların hareketlerini tam olarak modelleyebilmek için üzerlerine etkiyen kuvvetleri F bilmek gerekir. Genel bir harekette bu kuvvet, hareketi çeşitli eksenlerde kısıtlayan veya kısıtlamayan kuvvetlerin birleşimidir. Kısıtlayıcı kuvvetleri C, kısıtlayıcı olmayan ve hareketi direkt sağlayan kuvvetlere ise N dersek;
olarak ifade edebiliriz.
Kısıtlayıcı kuvvetler karmaşık olabilir ve yola göre değişkenlik gösterebilir. Kısıtlanan mekanik sistemlerde genelde hareket yolu olabildiğinden çoğunlukla zamana (veya harekete) bağlı olurlar. Bu durumlarda eğrisel koordinatlar bağımsız değillerdir ve çeşitli kısıt denklemleri ile bağlıdırlar.
D'Alembert prensibi
Analitik mekaniğin ilk temel sonucu olan 1708’de Jacques Bernoulli tarafından ortaya statik dengeyi anlamak için atıldı ve D’Alambert tarafından 1743’de dinamik problemlerini çözmek için geliştirildi.
Bu prensip, N parçacık için şu denklemi tanımlar;
Burada, δrk,sanal yer değiştirmeleri tanımlar. ise, sistem konfigurasyonundaki kısıtlar (hareket ve kuvvet bazında) ile uyumlu olan, diferansiyel (çok küçük) değişimlere denir. Değişimler çok küçük olduğundan, r, kısıtlanmış hareket eksenlerinde tanımlansa bile kısıtlayıcı kuvvetlerin etkisini bozmaz. Bu sayede her tip hareket incelenebilir ve denklemlere katılabilir. Burada kısıtlayıcı veya değil her kuvvetin sanal yer değiştirmeler boyunca yaptığı işlere adı verilir.
Kısıtlayıcı kuvvetler her parçacığın hareketine dik yönde etki eder. (En genel haliyle uzaylarda hareketi tanımlamak için n boyutlu uzay ise n kadar birbirine dik vektör ifadesi gerektiği için oluşacak tüm kısıtlayıcı kuvvetlerin bileşkesi harekete dik yönde olacaktır. Böylece o yöndeki vektör boyunca gerçekleşecek hareket iptal olacaktır.) Kısıtlayıcı kuvvetler tarafından gerçekleştirilen toplam sanal iş bu nedenle hareket boyunca sıfırdır (Noktasal çarpımdan ötürü).
dolayısıyla;
eşitliği elde edilir.
Bu nedenle, D’Alambert prensibi bize kısıtlayıcı olmayan kuvvetlere odaklanmamızı sağlar ve kısıtlayıcı kuvvetleri hareket denklemlerinden çıkartır. Hareket denklemlerinin bu formu aynı zamanda birbirinden bağımsız olarak sistemle uyumlu genelleştirilmiş koordinat seçimine de direkt uyum sağlar. Ancak, yine de bu denklemleri her parçacık ve genelleştirilmiş koordinat için ifade edip bağıl bir şekilde çözmek gereklidir.
D’Alambert prensibiden çıkartılan hareket denklemleri
Eğer k parçacığının üzerinde kısıtlar varsa, kartezyen uzaydaki rk = (xk, yk, zk) pozisyonundaki koordinatlar kısıt denklemleri ile birbirine bağlanır. Burada ; δrk = (δxk, δyk, δzk) olarak tanımlanabilir. Bu koordinatları hareket denklemleri içerisinde kısıt denklemleri ile uğraşmamak için genelleştirilmiş koordinatlara sanal yer değiştirme olarak dönüştürebiliriz. Sanal yer değiştirmeler diferansiyel boyutta olduğu için toplam diferansiyel formunu kullanabiliriz. Yani türevleri kullanarak yine işimizi analitik olarak kolaylaştırabiliriz.
Bu sayede direkt δrkyı kullanarak yaşayacağımız sorunları, genelleştirilmiş koordinatları kullanarak ve sanal küçük hareketlerin aslında diferansiyel (türev ile ilintili) olduğu gerçeğini kullanarak hareket denklemlerini çıkarmayı kolaylaştırabiliriz.
Unutulmamalıdır ki, burada zamana göre kısmi türevin yine küçük bir zaman artışıyla çarpımı yoktur. Burada artağan bir zamandan ziyade anlık bir zamandaki ufak-diferansiyel yer değiştirmeler söz konusudur dolayısıyla türevlemeler ve artışlar yer değiştirmeler cinsindendir.
D’alambert prensibinin birinci terimi, kısıtlayıcı olmayan Nk kuvvetlerinin diferansiyel δrk boyunca yaptığı sanal işi kapsar. Ve genel olarak bu terim analojisiyle ifade edilebilir(genelleştirilmiş koordinatlar boyunca etkiyen);
dolayısıyla,
şeklinde ifade edilir.
Burada yapılan genelleştirilmiş koordinatlara yapılan dönüşümün yarısını içerir. Geriye, ivmeleri içeren terimin genelleştirilmiş koordinatlara dönüştürülmesi kalır. Bu hemen görülebilir değildir. Yukarıda bahsedilen Newton Yasalarının Lagrange formu, kinetik enerjinin genelleştirilmiş koordinatlara ve hızlara göre kısmi türevini kullanarak istenilen sonucu verebilir;
Bu sayede D’alambert prensibini istediğimiz şekilde genelleştirilmiş koordinatlarda şu şekilde yazabiliriz;
Dolayısıyla artık sanal yer değiştirmeler genelleştirilmiş koordinatlar cinsinden yapılabilir. δqjler birbirlerinden bağımsız ve sıfırdan farklıdır. Çünkü herhangi bir zaman anında belirli bir yer değiştirmeden bahsediliyor. Bu nedenle δqjların katsayıları sıfıra eşitlenebilir. Bu katsayılar da özellikle statik durumlar için genelleştirilmiş kuvvetler olarak adlandırılabilir. Bu sayede, esasen Lagrange denklemlerini veya genelleştirilmiş hareket denklemlerini elde etmiş oluyoruz.
Lagrange Denklemleri ; Euler-Lagrange Denklemleriyle karıştırılmamalı, burada enerji terimleri yerine genelleştirilmiş kuvvet terimleri yer alır.
Bu denklemler, kısıtlayıcı olmayan kuvvetler altında bize Newton’un yasaları ile aynı sonucu verir. Yukarıdaki denklemlerdeki genelleştirilmiş kuvvetler sadece kısıtlayıcı olmayan kuvvetlerden türetilmiş ve kısıtlayıcı kuvvetler dışarıda D’Alambert’in sanal iş prensibi sayesinde bırakılmıştır ve ihtiyaç yoktur. D’Alambert prensibi kuvvetlerin korunumluluğu üzerinde geneldir. Bu kuvvetler D’Alambert prensibini sağladığı sürece korunumsuz olabilir.
Hamilton prensibi ile Euler-Lagrange denklemleri
Korunumlu olmayan kuvvetler, pozisyon ve zamana ek olarak, korunum kavramının tanımı gereği hıza da bağlıdır. Dolayısıyla, pozisyona ve hızlara bağlı bir potansiyel enerji fonksiyonu tanımlamak mümkündür. Eğer genelleştirilmiş kuvvetler bir V potansiyelinden şu şekilde türetilebiliyorsa;
ve Lagrangian’ı L = T − V olarak tanımlayıp bunu Lagrange denklemlerine eşitlersek ikinci tip Lagrange denklemlerini veya Euler-Lagrange denklemlerini elde ederiz;
Ancak, Euler-Lagrange denklemlerinde korunumsuz kuvvetler, sadece onları ifade edebilecek bir potansiyel fonksiyonu bulunursa ifade edilebilir. Dolayısıyla Lagrange denklemleri potansiyel içermediği, kuvvet içerdiği için Euler-Lagrange denklemlerinden daha geneldir. Çünkü Euler-Lagrange denklemlerinde kuvvetleri korunumlu veya korunumsuz; potansiyel fonksiyonları olarak ifade etmeye çalışıyoruz. Ve böyle bir potansiyel bulunamazsa EL denklemleri o kuvvetleri kapsayamıyor.
Euler-Lagrange denklemleri metotlarıyla bulunabilir. Lagrangian fonksiyonunun değişimi şöyle ifade edilebilir;
Bu tanım, Lnin toplam diferansiyeline çok benzerdir. Ancak sanal yer değiştirmeler ve onların zamana göre türevleri sadece diferansiyel terimlerle yer değiştirir (del operatörü ile, belli bir büyüklük olarak ifade edilirler). Ayrıca, sanal yer değiştirme’nin tanımına uyacak şekilde, zaman artışı bu tanımda yer almamaktadır. Onun yerine genelleştirilmiş koordinatların zamanda bir ana göre ifade edilir ve türevlerden ziyade diferansiyel terimlerin çarpımları kullanılır. Zaman göre uygulanan bir yöntemi genelleştirilmiş koordinatların türevlerini yani δqjı ∂L/∂(dqj/dt) terimine dönüştürür. Diğer bir deyişle d(δqj)/dtnın δqjya dönüşümü gerçekleştirilir. Buradan, bağımsız sanal yer değiştirmelerin Lagrangian fonksiyonunun türevi ile türetilebileceği ortaya çıkar;
Eğer δqj(t1) = δqj(t2) = 0 koşulu her j terimi için doğru oluyorsa, integrali alınmayan terimler sıfır olur. Buna ek olarak eğer δLin zamana göre integrali sıfır ise, δqj ‘ler bağımsız olduğu için, integralı sıfıra eşitlemenin tek yolu integrand’ın sıfır olması yani bağımsız genelleştirilmiş koordinat δqj'lerin katsayılarının sıfır olmasıdır. Burada, yukarıdaki figürde bahsedilen durağan etkiler altında, çok küçük değişimler sonucu alınan kırmızı yolun etkileri incelendiği için her durumda konfigurasyon değişimi sıfıra yakın olur (sanal yer değiştirme, diferansiyel yer değiştirme; δqj' çok küçük). Bu sonuçlardan, sistemin hareket denklemi ortaya konulabilir ve bu, ile şu şekilde özetlenebilir;
Bu duruma göre eğer sistem durağan etkiler altındaysa, Lagrangian’ın zamana göre toplamı sıfır olmaktadır. Eğer sistem üzerinde dinamik etkiler varsa, sistemin yukarıdaki hareket eğrisi kırmızıdan etkiye göre sapmakta ve mavi eğrilere gelmektedir. Bu durumda, Lagrangian’ın zaman göre integralı bize esasen dinamik etkileri verecektir. Dolayısıyla dinamik etkileri tanımlayan bir eylem ifadesini şu şekilde açıklayabiliriz;
S, yani eylem; bir (fonksiyonun fonksiyonu). Lagrangian fonksiyonunu t1den t2ye kadar alır ve skaler bir nicelik döndürür. Açısal momentum, [zaman].[enerji], [momentum].[uzunluk] gibi terimlerin birimiyle aynı birime sahiptir. Bu tanıma göre Hamilton’un minimum eylem prensibi sanal iş, sanal-difreansiyel yer değiştirme gibi nicelikler arasındaki ilişki şöyle özetlenebilir;
Dolayısıyla, Hamilton Prensibi ve Lagrangian yaklaşımı; Newton mekaniğindeki anlayışı tamamen değiştirmiş oluyor. (Metotlar doğru uygulandığında, sonuçların birebir aynı olduğu unutulmamalıdır.) Parçacıklar üzerindeki kuvvetlerin çıktısı olarak ivmeleri düşünmek yerine, modelimizi en az eyleme sahip olan yola ve eylemlerin o yolu nasıl değiştireceğine göre tanımlayabiliriz. Elbette burada eylem ve enerji fonksiyonlarını (Lagrangian) uygun tanımlamak ve genelleştirilmiş koordinatları veya değişkenleri doğru seçmek gerekmektedir. Parçacıkların konfigurasyon uzayında başlangıç ve bitiş anlık zamanları ile o zamanlara karşılık gelen noktaları tanımlayarak bu yolları ifade edebiliriz. Hamilton’un türettiği ilkeler bazen en az eylem ilkesi ile birebir tutulsa da, en az eylem ilkesinde hareket boyunca uygulanan eylemin durgun olması gerekmektedir. Hamilton prensipleri ile durgun olmayan dinamik eylemleri ve korunumsuz kuvvetleri de sistem modeline dahil etmemiz mümkündür ancak çalışmamız yine mümkün değildir. Holonomik olmayan kısıtlar için ise D’Alambert’in kavramından faydalanmamız gerekmektedir.
Lagrange çarpanları ve kısıtların ifade edilmesi
Lagrangian Lnin kartezyen rk koordinatlarında N parçacık için değişimini şu şekilde ifade edebiliriz;
Hamilton prensipleri, Lagrangian’daki genelleştirilmiş koordinatlar –sistemin davranışını tamamen tanımlıyor olması koşulu ile- bağımlı olsalar bile geçerlidir. Ancak kısıtların yine de holonomik olması gerekmektedir. Bu açıdan Hamilton prensipleri durum uzayı ifadeleri ile benzerlik gösterir.
Eğer seçilen genelleştirilmiş koordinatlar rkler bağımsız değil ise sanal işte ve yer değiştirmede yaptığımız gibi δrknin katsayılarını sıfıra eşitlememiz mümkün değildir. Çünkü artık bağımsız yer değiştirmelerin sıfır olmayacağından emin olsak bile bağlıların sıfır olma veya onları oluşturacak kuvvetlerin olmaması ya da olması gibi bilinmezlikler ortaya çıkmaktadır. Bu sorunu, Lagrange çarpanları metodunu kısıtları ifade edecek şekilde kullanarak çözebiliriz. Her kısıt denklemi fi(rk, t) = 0yı bir Lagrange çarpanı λi for i = 1, 2, ...,C ile çarpabiliriz. Ve bu ifadeleri orijinal Lagrangian ifadeleri ile birleştirdiğimizde artık yeni bir Lagrangian tanımlamış oluruz;
Bunu, bağımlı olarak tanımlanmış koordinatları bağımsız koordinatlara çevirmek yerine onları tanımlayan fonksiyonu değiştirmişiz gibi düşünebiliriz. Böylece, özellikle komplike sistemlerdeki bağımsız koordinat seçimi probleminden kurtularak; hesaplamaya daha uygun bir metodoloji ortaya konmuş olur.
Lagrange çarpanları zamanın herhangi birer fonksiyonudur, ancak genelleştirilmiş rk koordinatlarının fonksiyonu değillerdir. Dolayısıyla karmaşık fonksiyonlar oluşturmazlar(Çarpanlar, pozisyon koordinatları ile eşit düzeyde ifade bulmaktadırlar). Bu yeni Lagrangian, sistematik olarak koordinatlarımızın bağımsızlığı ve kısıtların ayrı ifadesi (ki bu iki durum birbirine yakından bağlıdır) sorunlarına çözüm bulabilmektedir. Dolayısıyla, yeni Lagrangian’ı Euler-Lagrange denklemlerine koyarak;
İfadesini kısıt denklemleri olarak elde edebiliriz. Ayrıca rk cinsinden hareket denklemlerini Lagrange’in birinci tip denklemleriylede şu şekilde ifade edebiliriz;
Bu denklemlerde yeni Lagrangian’ın yukarıda bahsettiğimiz değişimini zaman göre integre edersek;
ifadesini buluruz ve temel aldığımız prensiplerden ötürü, uç noktaların ve ona bağlı anların sabit olduğunu her k için unutmamamız gerekir. (δrk(t1) = δrk(t2) = 0) Çarpanlar, daha önceki metotlarda olduğu gibi δrkların katsayılarını sıfırlayacak şekilde seçilirse, karşılaştığımız çarpan problem sorunu çözülür ve kısıtlar ile bağlılık problemini içsel bir şekilde ifade etmiş oluruz. Böylece bağımsız olmayan genelleştirilmiş koordinatlar için uygun çarpanlarla (kısıtları ifade eden çarpanlar) hareket denklemini bulabiliriz.
Eğer bir korunumlu kuvvetin gradyanı sisteme bir potansiyel enerji V bazında etkiyorsa ve bu V sadece rkların birer fonksiyonu ise Lagrangian L = T − Vnin denklemlere konulması ile;
elde edilir. Newton’un 2. Yasasının bu Lagrangian formunda, kinetik enerjinin türevi(negatif olarak denklemde yer bulmakta); k parçacığına etkiyen toplam kuvvete; potansiyel enerjilerin türevi de kısıtlayıcı olmayan kuvvetlere karşılık gelmektedir. Yani;
Ve bunu yukarıdaki temel denkleme koyduğumuzda, kısıtlayıcı kuvvetleri şöyle buluruz;
ve en temel denklemimize dönersek; birinci terim (pozisyona göre türevlenmiş) momentumun türevini ifade ederken diğer terimler ise kuvvetleri ifade eder ve sistemi çözmemizi sağlar. Burada hem kısıtlayıcı (ve belki sistemimizden boş yere enerji çekecek) kuvvetleri hem de diğer kuvvetleri ayrı olarak bulmamız da önemlidir. Bu sayede sistem optimizasyonu da yapılabilir.
Lagrange-Euler denklemlerinin özellikleri
Bazı durumlarda; Lagrangian, hareket denklemlerini çözmeye gerek kalmadan bize sistem hakkında bilgi verebilir. Bunu Lagrange’in ikinci tip denklemleri sağlar.
Çözümlerin tekilliği
Bir sistem için Lagrangian fonksiyonu tekil değildir. Zira, sistemlerin özelliklerine göre de Lagrangian fonksiyonu farklı şekillerde tanımlanmalıdır. Lagrangian L sıfır olmayan bir çarpan a ile çarpılabilir ve rastgele bir b sabiti ile toplanabilir. Dolayısıyla yeni Lagrangian aL + b olacaktır ve bu fonksiyon, L ile aynı hareket tanımını gerçekleştirmektedir. Aynı zamanda Lagrangian, genelleştirilmiş koordinatlardan oluşan fonksiyonların kısmi olmayan, normal türevlerinden de etkilenmez.
Burada L′ ve L tamamen aynı hareketi tanımlarlar.
Noktasal değişimlerden bağımsızlık
Lagrangian’ın tanımlandığı genelleştirilmiş koordinat setini yani qyu başka bir genelleştirilmiş koordinat seti se çevirmek için kullanılacak q = q(s, t) uygulanırsa yeni Lagrangian L′ (yeni koordinat setinin bir fonksiyonu);
şeklinde ifade edilir. Ayrıca, zincir kuralı kısmi diferansiyellere uygulanırsa, Lagrange denklemlerinin bu tip bir noktasal dönüşüm altında değişmez olduğu görülür;
Bu sayede birçok denklem daha basit çalışabileceğimiz koordinat sistemlerine dönüştürülerek; hesaplama süresi azaltılabilir. Bu prosedür, Hamilton mekaniğindeki ile aynı mantığı içerir. Hamilton fonksiyonları da benzer şekilde, kanonik dönüşümlerden etkilenmezler.
Devrî koordinatlar ve korunum yasaları
Lagrangian’ın başka bir önemli özelliği ise, tanımladığı sistem içinde; dinamik davranış boyunca korunan özellikleri ifade etmesidir. Örneğin genelleştirilmiş momentum, kanonik olarak genelleştirilmiş koordinat qia eşleniktir ve şu şekilde tanımlanır;
Eğer, Lagrangian L qia bağlı değilse Euler-Lagrange denklemleri bize genelleştirilmiş momentumun korunan bir değer olduğunu söyler. Çünkü zamana bağlı türevi sıfırdır. Hareket de zamanın değişimiyle gerçekleştiğine göre momentumun hareket boyunca sabit kalması gerektiği sonucuna ulaşırız;
Bu, Noether teoreminin özel bir halidir. Bu tip koordinatlar devrî veya ihmal edilebilir koordinatlar olarak tanımlanır. Örneğin sistem şeklinde bir Lagrangian’a sahip olabilir. r ve z burada doğru boyuncaki uzunluklar, s eğrisel uzunluk, θ ve φ ise açılardır. Lagrangian’da z,s ve φnin bulunmadığına dikkat etmek gerekir. Ancak bu konumların hızları bulunmaktadır. Bu nedenle momentum değerleri;
olarak bulunur ve bunların hepsi korunan değerlerdir. Bu genelleştirilmiş momentumların birimleri tanımlandıkları koordinatlara bağlıdır. Örneğin pz yönündeki doğrusal hareket momentumu, psde s boyuncaki doğrusal momentum, pφ ise ölçüldüğü düzlemdeki açısal momentumu ifade eder. Ancak karmaşık hareketlere sahip olan sistemlerde bu korunumlar hareketi kompleksleştirir.
Enerji korunumu
Lagrangian’ın zamana göre alındığında çok genel bir sonuç elde ederiz;
Eğer bütün Lagrangian zamandan harici olarak bağımsız ise, Lagrangian’ın zamana göre kısmî türevi sıfırdır.(∂L/∂t = 0) Dolayısıyla parantez içindeki terimi şöyle tanımlayabiliriz;
Bu terim, bütün hareket boyunca sabit kalmalıdır. Buradan da kinetik enerjinin genelleştirilmiş koordinatlara bağlı ikinci dereceden olduğu sonucuna varabiliriz. Ayrıca, ek olarak potansiyel V de sadece genelleştirilmiş koordinatların birer fonksiyonu olup hızlardan bağımsız ise, direkt hesaplamayla veya Euler’in homojen fonksiyonlar için geliştirdiği teoremler ile;
sonucuna varılır. Bu durumlar altında, E sabiti şöyle tanımlanabilir;
Bu ise sistemin toplam korunan enerjisine karşılık gerekebilir. Sistem değiştikçe ve dinamik davranış gösterdikçe kinetik ve potansiyel enerjiler değişebilir ancak sistemin hareketi üzerindeki kısıt; toplam enerjisinin sıfır olmasıdır. Bu özellik hesaplamaları oldukça kolaylaştırmaktadır çünkü enerji yani E sanki sabit bir integrasyondaki herhangi bir sabitmiş gibi davranır. Ayrıca bu durumda, enerji ilişkilerinden hızların da integralini almak mümkündür. Ve bu, koordinatlar için yapılacak çözümlere kolaylık sağlar. İki durumda da (kinetik enerji veya hız) zamana bağlı olabilir; bu durumda simetri bozulur ve enerji korunmaz. Burada dikkat edilmesi gereken başka bir konu ise, ’ın Lagrangian ile Legendre dönüşümüne bağlı olan ilişkisinden bu sonuç yine türetilebilir;
Aynı durumlar geçerli ise, Hamilton fonksiyonu sistemin korunan toplam enerjisine eşittir.
Mekanik benzerlik
Eğer potansiyel enerji, genelleştirilmiş koordinatların zamandan bağımsız ise ve her pozisyon vektörü sıfır olmayan bir sabit ile büyütülürse, yani;
Ve zaman; bir beta faktörü ile büyütülürse, t′ = βt, bu durumda hızlar vkda α/β faktörü ile büyümüş olur(kinetik enerji de bunun karesi kadar). Tüm Lagrangian aslında aynı faktör ile büyütülür;
Uzunluklar ve zaman büyütüldüğü için, sistem parçacıklarının islediği yollar geometrik olarak benzer ama büyüklük olarak farklıdır. t zamanda alınmış l uzunluğu eğer orijinal yol ise, bu dönüşümlerle artık yeni bir l′ olacak, zaman ise t′ olacaktır ve bunlar şu şekilde tanımlanır;
İlişkili parçacıklar
Verilen bir sistem için iki alt sistem A ve B eğer ilişkili değilse sistemin toplam Lagrangian’ı;A and LB for the subsystems:
olarak ifade edilir. Ancak parçacıklar ilişkiliyse bu mümkün değildir. Bazı durumlarda sistemin toplam Lagrangian’ını alt parçaların Lagrangian’ları ile ifade etmek çok işe yarar. Bazı daha genel sistemlerde ise ilişkinin olmadığı Lagrangianlar ile ilişki hakkında bilgi taşıyan başka bir Lagrangian LAB ile toplayarak sistemi modellemek mümkündür.
Özellikle mekanik ilişkilerin bulunduğu sistemlerde bu doğrusal özellik çok kullanışlıdır. Bu uygulama, fiziksel olarak da etkileşim göstermeyen Lagrangian’ların kinetik enerjiyle ilişkili; etkileşim içinde olanların ise potansiyel enerjiye karşılık geleceği gibi gerçeklenebilir. Önemsenmeyen etkileşimler için Lab sıfır alınabilir. Burada, potansiyel enerjinin daha önceki denklemlerde, sistemlerin koordinatlar boyunca nasıl kısıtlandıkları hakkında bilgi verirken kinetik enerjinin hareket hakkında bilgi verdiği konusu da tekrarlanmış oluyor. Elbette, iki parçacıklı bir sistem için tanımlanan bu yöntem, çok parçacıklı sistemlere genelleştirilebilir. Bu durumda her parçacık arası ilişkilerin ifade edilmesi gerekir.
Lagrange mekaniğinin başka konulardaki uygulamaları
Hamiltonian, Lagrangian’a Legendre dönüşümü uygulanarak bulunur. Dolayısıyla, orijinal değişkenler ile kanonik olarak eşlenik yeni değişkenler elde edilmiş olur. Dolayısıyla Hamilton mekaniğinde değişken sayısı ve diferansiyel denklem sayısı iki katına çıkar ancak dereceler bire indirgenir. Bu, durum uzayı ifadeleri ile de esasen oldukça paraleldir. Hamilton fonksiyonu aynı Lagrangian fonksiyonunun Lagrange denklemleriyle olan ilişkisi gibi Hamilton mekaniğinin temelidir. Klasik görüşe göre zaman bağımsız bir değişkendir ve hız ile pozisyon zamana bağlıdır. Bu değişkenler ise genelde durum-faz uzayında incelenir ve çevrimler, dengeler ve stabilite bu şekilde incelenir.
(Routhian mekaniği); Lagrange ve Hamilton mekaniklerinin bir hibrit formülasyonudur. Ancak çevrimsel koordinatlar haricinde hesaplama açısından pek etkili değildir.
Mühendislikteki kullanımları
Circa 1963'te Lagrangian fonksiyonlarının mühendislikte kullanımını önermiş ancak birkaç yıl sonra, dinamik sistemlerdeki üstünlüklerine rağmen mühendislik müfredatlarından çıkarılarak teorik dinamik alanına kaydırılmıştır. Zira, Lagrangian sadece makina mühendisliğinde değil, Elektrik Elektronik Mühendisliği; finans, ekonomi, biyoloji ve birçok diferansiyel değişimin olduğu alanda kendine yer bulmuştur. Zira bu alanlarda birçok yol-integral ifadeleri ve parabolik kısmî diferansiyel denklemler bulunmaktadır.
Lagrangian fonksiyonları birçok mühendislik problemine hızlı, yazılıma uygun ve rahat çözümler sunmaktadır. Ayrıca, normal mekanikle formülasyonu bile çok zor olan sistemleri hem felsefi olarak hem de dinamik olarak daha rahat formüle etmemizi sağlar. Robotik, akışkanlar mekaniğinde akış modelleri, (), sinyal işleme, nanoteknoloji, süper bilgisayarlar, kimya mühendisliği, inşaat mühendisliği gibi alanlarda kendine yer bulur. Lagrangian gibi enerji fonksiyonları özellikle akış kavramının etkin olduğu diferansiyel denklemlerde kendine yer bulur. Özellikle doğrusal olmayan sistemlerde akış konsepti önemlidir ve bunları çözmek için geliştirilen da enerji temellidir.
Ayrıca bakınız
Notlar
- ^ a b Dvorak & Freistetter 2005, s. 24
- ^ Haken 2006, s. 61
- ^ Lanczos 1986, s. 4
- ^ Menzel & Zatzkis 1960, s. 160
- ^ Feynman
- ^ Goldstien, Poole & Safko 2001, s. 35
- ^ "Arşivlenmiş kopya" (PDF). 4 Mart 2016 tarihinde kaynağından (PDF). Erişim tarihi: 5 Ocak 2016.
- ^ Hand & Finch 2008, s. 36–40
- ^ Torby1984, p.270
- ^ a b Torby 1984, s. 269
- ^ Hand & Finch 2008, s. 60–61
- ^ {harvnb|Hand|Finch|2008|page=19}}
- ^ Penrose 2007
- ^ Schuam 1988, s. 156
- ^ Synge & Schild 1949, s. 150–152
- ^ a b Hand & Finch 2008, s. 44–45
- ^ Foster & Nightingale 1995, s. 89
- ^ Hand & Finch 2008, s. 4
- ^ Goldstein 1980, s. 16–18
- ^ Hand 2008, s. 15
- ^ Hand & Finch 2008, s. 15
- ^ Fetter & Walecka 1980, s. 53
- ^ Torby 1984, s. 264
- ^ Torby 1984, s. 269
- ^ Kibble & Berkshire 2004, s. 234
- ^ Fetter & Walecka 1980, s. 56
- ^ Hand & Finch 2008, s. 17
- ^ Hand & Finch 2008, s. 15–17
- ^ R. Penrose (2007). . Vintage books. s. 474. ISBN .
- ^ Goldstien 1980, s. 23
- ^ Kibble & Berkshire 2004, s. 234–235
- ^ Hand & Finch 2008, s. 51
- ^ Fetter & Walecka, ss. 68–70
- ^ a b Landau & Lifshitz 1976, s. 4
- ^ Goldstien, Poole & Safko 2002, s. 21
- ^ Landau & Lifshitz 1976, s. 4
- ^ Goldstein 1980, s. 21
- ^ Landau & Lifshitz 1976, s. 14
- ^ Landau & Lifshitz 1976, s. 22
Kaynakça
- Penrose, Roger (2007). The Road to Reality. Vintage books. ISBN .
- ; Mechanics (3.3sayfa=134 bas.). Butterworth Heinemann. ISBN .
- Landau, Lev; (1975). The Classical Theory of Fields. Elsevier Ltd. ISBN .
- Hand, L. N.; Finch, J. D. Analytical Mechanics (2.2sayfa=23 bas.). Cambridge University Press. ISBN .
- Louis N. Hand, Janet D. Finch (1998). Analytical mechanics. Cambridge University Press. ss. 140-141. ISBN . 24 Şubat 2021 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 6 Ocak 2016.
- Kibble, T. W. B.; Berkshire, F. H. Classical Mechanics (5.5yıl=2004 bas.). Imperial College Press. ss. 236. ISBN .
- . Classical Mechanics (2.2yıl=1980 bas.). San Francisco, CA: Addison Wesley. ss. 352-353. ISBN .
- ; Poole, Charles P., Jr.; Safko, John L. Classical Mechanics (3.3yıl=2002 bas.). San Francisco, CA: Addison Wesley. ss. 347-349. ISBN . 15 Ocak 2016 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 6 Ocak 2016.
- Lanczos, Cornelius (1986). "II §5 Auxiliary conditions: the Lagrangian λ-method". The variational principles of mechanics (Reprint of University of Toronto 1970 4th bas.). Courier Dover. s. 43. ISBN . 27 Haziran 2014 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 6 Ocak 2016.
- Fetter, A. L.; Walecka, J. D. (1980). Theoretical Mechanics of Particles and Continua. Dover. ss. 53-57. ISBN .
- The Principle of Least Action, R. Feynman
- Dvorak, R.; Freistetter, Florian (2005). "§ 3.2 Lagrange equations of the first kind". Chaos and stability in planetary systems. Birkhäuser. s. 24. ISBN . 27 Haziran 2014 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 6 Ocak 2016.
- Haken, H (2006). Information and self-organization (3.3yayıncı=Springer bas.). s. 61. ISBN . 27 Haziran 2014 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 6 Ocak 2016.
- Henry Zatzkis (1960). "§1.4 Lagrange equations of the second kind". DH Menzel (Ed.). Fundamental formulas of physics. 1 (2.2erişimtarihi=6 Ocak 2016 bas.). Courier Dover. s. 160. ISBN . 27 Haziran 2014 tarihinde kaynağından .
- Francis Begnaud Hildebrand (1992). Methods of applied mathematics (Reprint of Prentice-Hall 1965 2nd bas.). Courier Dover. s. 156. ISBN . 24 Şubat 2021 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 6 Ocak 2016.
- Michail Zak, Joseph P. Zbilut, Ronald E. Meyers (1997). From instability to intelligence. Springer. s. 202. ISBN . 24 Şubat 2021 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 6 Ocak 2016.
- Ahmed A. Shabana (2008). Computational continuum mechanics. Cambridge University Press. ss. 118-119. ISBN .
- John Robert Taylor (2005). Classical mechanics. University Science Books. s. 297. ISBN . 24 Şubat 2021 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 6 Ocak 2016.
- Padmanabhan, Thanu (2000). "§2.3.2 Motion in a rotating frame". Theoretical Astrophysics: Astrophysical processes (3.3yayıncı=Cambridge University Press bas.). s. 48. ISBN .
- Doughty, Noel A. (1990). Lagrangian Interaction. Addison-Wesley Publishers Ltd. ISBN .
- Kosyakov, B. P. (2007). Introduction to the classical theory of particles and fields. Berlin, Germany: Springer. doi:10.1007/978-3-540-40934-2.
- Galley, Chad R. (2013). "Classical Mechanics of Nonconservative Systems". Physical Review Letters. 110 (17). s. 174301. arXiv:1210.2745 $2. Bibcode:2013PhRvL.110q4301G. doi:10.1103/PhysRevLett.110.174301. (PMID) 23679733.
- Birnholtz, Ofek; Hadar, Shahar; Kol, Barak (2014). "Radiation reaction at the level of the action". International Journal of Modern Physics A. 29 (24). s. 1450132. arXiv:1402.2610 $2. Bibcode:2014IJMPA..2950132B. doi:10.1142/S0217751X14501322.
- Birnholtz, Ofek; Hadar, Shahar; Kol, Barak (2013). "Theory of post-Newtonian radiation and reaction". Physical Review D. 88 (10). s. 104037. arXiv:1305.6930 $2. Bibcode:2013PhRvD..88j4037B. doi:10.1103/PhysRevD.88.104037.
- Roger F Gans (2013). Engineering Dynamics: From the Lagrangian to Simulation. New York: Springer. ISBN . 24 Şubat 2021 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 6 Ocak 2016.
- Terry Gannon (2006). Moonshine beyond the monster: the bridge connecting algebra, modular forms and physics. Cambridge University Press. s. 267. ISBN . 24 Şubat 2021 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 6 Ocak 2016.
- Torby, Bruce (1984). "Energy Methods". Advanced Dynamics for Engineers. HRW Series in Mechanical Engineering. United States of America: CBS College Publishing. ISBN .
- Foster, J; Nightingale, J.D. (1995). (2.2başlık=A Short Course in General Relativity bas.). Springer. ISBN . Eksik ya da boş
|başlık=
() - M. P. Hobson, G. P. Efstathiou, A. N. Lasenby (2006). General Relativity: An Introduction for Physicists. Cambridge University Press. s. 79–80. ISBN . 7 Mart 2016 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 6 Ocak 2016.
Konuyla ilgili yayınlar
- Gupta, Kiran Chandra, Classical mechanics of particles and rigid bodies (Wiley, 1988).
- Cassel, Kevin W.: Variational Methods with Applications in Science and Engineering, Cambridge University Press, 2013.
wikipedia, wiki, viki, vikipedia, oku, kitap, kütüphane, kütübhane, ara, ara bul, bul, herşey, ne arasanız burada,hikayeler, makale, kitaplar, öğren, wiki, bilgi, tarih, yukle, izle, telefon için, turk, türk, türkçe, turkce, nasıl yapılır, ne demek, nasıl, yapmak, yapılır, indir, ücretsiz, ücretsiz indir, bedava, bedava indir, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, resim, müzik, şarkı, film, film, oyun, oyunlar, mobil, cep telefonu, telefon, android, ios, apple, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, pc, web, computer, bilgisayar
Lagrange mekanigi klasik mekanigin yeniden formule edilmesidir Italyan Fransiz matematikci ve astronom Joseph Louis Lagrange tarafindan 1788 de gelistirilmistir Joseph Louis Lagrange 1736 1813 Lagrange mekaniginde parcaciklarin ve parcacik sistemlerinin hareketleri ve gezingeleri Lagrange denklemlerinin iki formundan birinin cozulmesiyle bulunur Birinci tip Lagrange denklemleri parcaciklarin hareketlerindeki kisitlamalarin Lagrange in kalkuluste de sik kullanilan Lagrange carpani yontemi kullanilarak ifade edilmesidir Ikinci tip Lagrange denklemlerinde ise hareket kisitlarini sistemin yapisina uyacak makul secimi ile direkt olarak sistem denklemlerine dahil etmek uzerine kuruludur Iki durumda da matematiksel bir fonksiyon olarak tanimlanan Lagrange in sistem hakkinda verdigi bilgilerden faydalanilir Lagrangian genellestirilmis koordinatlarin onlarin turevlerinin genellestirilmis hizlar ve zamanin bir fonksiyonudur Lagrange mekaniginde dikkat edilmesi gereken husus yeni bir fizigin ortaya atilmiyor olusudur Keza Lagrange mekanigi Newton mekaniginden daha sig bir kapsama sahiptir cunku Newton mekanigi korunumlu olmayan surtunme gibi kuvvetleri de icerir Ancak bu tip kuvvetlerin dogru ifade edilmesi icin hareketi kisitlayan kuvvetlerin de sistem denklemlerinde ifade edilmesi gerekir ve kartezyen koordinat sistemi haricindeki koordinatlar bu yonteme pek uygun degildir Ancak Lagrange mekanigindeki yontemler ile kisitlayici kuvvetlerin ve korunumsuz kuvvetlerin ekstra karmasik denklemler yaratmasi onlenebilir Lagrange mekanigi bu acidan korunumlu kuvvetlerin etki ettigi ve ic kuvvetler ile ilgilenmedigimiz sistemlerde cok etkilidir ve kartezyen koordinat harici istedigimiz koordinat sistemini kullanmamizda bize kolaylik saglar Ayrica bazi korunumsuz kuvvetleri de goz ardi etmemize olanak taniyabilir Dolayisiyla kontak noktalarindaki ve yapisal sistemlerle ilgilenilmeyen ve sadece genel dinamigin ve hareketin onemli oldugu sistemlerde Lagrange mekanigi kullanimi cok etkilidir Genellestirilmis koordinatlar sistemin serbestlik derecesine gore istenildigi gibi secilebilir Ancak Lagrange mekaniginin kolayliklarindan etkin bir sekilde faydalanmak icin sistemdeki simetrileri ve geometrik kisitlari ve ozellikleri dikkate alarak uygun secimler yapmak gerekir Boylece matematiksel model ve denklemler onemli oranda basitlesir Lagrange mekanigi uygulama acisindan kolayliklarinin yaninda teorik olarak dogadaki korunum yasalari yani fiziksel isleyis hakkinda da bize onemli bilgiler verir Korunan her fiziksel degisken ve onlarin simetrisi uzerine kurulu olan bu bilgi Noether teoremi ile daha da genellestirilmistir Bu teori ayni zamanda minimum eylem prensibi ile de yakindan iliskilidir Yine Lagrange mekanigi sadece denge dinamik statik kaotik problemlerine odaklandigindan daha sig kalmaktadir Ayrica Lagrange mekanigi sadece olan sistemlere uygulanabilmektedir cunku formulasyon icin calismamaktadir Ornegin integrallenebilir olmayan kisitlayici denklemler hareket kisitlari hakkindaki denklemler gibi dogrusal olmayan karmasik korunumsuz kuvvetler ve araliklar ile esitsizliklerle tanimlanmis hareket kisitlarini tanimlayan denklemlere sahip sistemlerde Lagrange mekanigi etkin olamamaktadir ozel analiz gerekmektedir Bu durumlarda Newton mekanigi veya baska yontemler kullanilabilir zira bu durumlarda Lagrangian in temelini olusturan enerji terimlerinin ifadelerinde sikintilar yasanmaktadir Cunku bu terimler kuvvet ve yola bagli terimlerin integralleri ile ifade edilmektedir Daha once de bahsedildigi gibi Lagrange formulasyonu pratikteki uygulama kolayliklarinin yani sira mekanik fizigi ve doganin mekanik davranisini anlamamizda bize derin bir bakis acisi saglar Kuantum mekaniginde Planck sabiti ile iliskili olan etki ve kuantum fazlarda minimum eylem prensibi dalga yayilimi ve dalga yayilim denklemleri ile anlasilabilmekte ve benzer mekanik yaklasimlar bu gibi apayri alanlarda da turetilebilmektedir Lagrangian eger simetri altinda degismez ise sonucta ortaya cikan hareket denklemi de simetri altinda degismezdir Bu karakteristik de ozel gorelilik ve genel gorelilik teorisindeki aciklamalar icin cok onemlidir Minimum eylem prensibi Lagrange formulasyonlari gibi konular Noether teoremi ile yakindan iliskilidir ve bu teorilerin sonucunda daha once sadece gozleme veya basit derivasyonlara dayali kalmis olan korunum yasalari ve korunan nicelikler inceleme altindaki fiziksel sistemin surekli simetrileri ile iliskilendirilebilmistir Dolayisiyla bu algi momentum kutle gibi temel korunum sahibi niceliklerin otesinde her sistem icin farkli ve daha genel korunum ifadeleri yazabilecegimizi ortaya atmis ve bunlarin nasil turetilecegi hangi durumlar altinda kullanilabilecegi hakkinda bize bilgi vermistir Lagrange mekanigi ve Noether teoremi ayrica iceren icin dogal bir bicimcilik ortaya koymustur ve bunu belli terimler ile Lagrangian ile turetilmis hareket denklemleri arasinda gostermistir Lagrange mekanigi Newton mekaniginin uygun olmadigi cok vakit aldigi veya etkili sonuc cikartamadigi yerlerde hem teorik fizikte hem de pratik mekanik uygulamalarda cok etkilidir Ayrica minimum eylem prensibi ile yakindan iliskili oldugundan optimizasyon problemlerinde de kullanilabilmektedir Mekanik biliminde ikinci tip Lagrange denklemleri birinci tipe gore cok daha sik kullanilmaktadir GirisSurtunmesiz egimli bir yolda hareket etmeye zorlanmis delikli bir kure Her an hareket vektoru yolun o anki turevi yani yola dik vektor olarak tanimlanabilir Hiz hareketi tanimlar Dolayisiyla her an kisittan oturu harekete dik yonde bir C kuvveti kutle uzerinde uygulanacaktir ve N kuvveti de burada kisit degil yer cekimi kuvvetidir Yolun ilk pozisyonu yani kutlenin baslangic pozisyonu farkli hareketlere sebep olabilir Basit sarkac Burada kutlenin rijit bir cubuga bagli oldugunu kabul ediyoruz Bu durumda kutlenin cubuk boyunca hareketi kisitlanmistir Bu hareket kisiti f x y 0 formunda ifade edilebilir Kisitlayici kuvvet C ise cubuktaki gerilimdir N ise kisitlayici olmayan yercekimi kuvvetidir Cift sarkac iki tane basit sarkacin uc uca baglanmasi ile olusur Burada her sarkac topu icin bir kisit tanimlanabilir Kuresel sarkac acilar ve hizlar Lagrange mekaniginin gucu hareketi kisitlanmis mekanik sistemlerde bu kisitlari etkili ifade ederek sistem cozumune dahil edebilmesinden gelir Asagidaki ornekler konseptleri ve terminolojiyi anlamada etkili olacaktir Rijit bir egimli yolu ifade eden bir telde hareket eden bir kureyi dusundugumuzde agirligin etkili oldugu 2 boyutlu uzayda hareket kisitlari f r 0 formunda ifade edilebilir Burada kurenin hareketi r x s y s olarak yazilabilir ve s olarak tanimlanir her egri yay parcalari olarak ifade edilebileceginden dsi diferansiyel yay uzunlugu si de yay boyuncaki koordinat olarak tanimlayabiliriz Egride her noktadaki x ve y birbirine bagimli oldugundan aslinda x ve y gibi iki koordinat tanimlamak yerine tek bir s koordinati hareketimizi tanimlamamiza ve kisitlarimizi ifade etmemize yetecektir Cunku hareket kisitlarini ifade eden denklemler x ve y arasinda bir baginti vermekte ve serbestlik derecesini dusurmektedir Boylece x ve y den biri bilindiginde oburu bulunabilir Hareket kisitlarinin bir sonucu olan kisitlayici kuvvetler ise hareketin kisitlandigi yonde uygulanan kuvvetlerdir veya baska bir acidan kurenin istenilen yolda kalmasini saglayan kuvvetlerdir Ayrica agirlik da kisitlayici olmayan bir kuvvet olarak kureye etki etmektedir Eger telin sekli zamanla degisiyorsa ornegin esneme ile o zaman kisitlayici denklemler ve pozisyon zamana bagli olarak da degismeye baslar Cunku koordinatlar zamanla degismektedir Zaman koordinat tanimlarinda ortulu olarak kalirken kisitlayici denklemlerde acik olarak gelir f r t 0 r x s t y s t displaystyle f mathbf r t 0 quad mathbf r x s t y s t kivrimli acik yuzeyde uc noktasal kutle uc uzay mekansal boyutta duzlemsel olarak kisitlanmiskuresel yuzeyde iki boyutun uc boyuta genisletilmesisilindirik yuzeyde iki boyutun uc boyuta genisletilmesiYine her bir kutle kisitlayici kuvvet olarak Ck ye sahiptir ve ayni sekilde yer cekimi Nk altindadirlar f x y z 0 Baska bir ilginc 2 boyutlu ornek ise kaotik duzensiz bir dinamige sahip olan cift sarkactir yine yer cekimi altinda Bir sarkacin uzunlugu L1 ve digerinin uzunlugu ise L2 olsun Her bir kutle hareketlerinin kisitlanmasini ifade eden denklemlere sahiptir Her sarkacin kisitlayici denklemi vardir f r1 x12 y12 L12 0 f r2 x22 y22 L22 0 displaystyle f mathbf r 1 x 1 2 y 1 2 L 1 2 0 quad f mathbf r 2 x 2 2 y 2 2 L 2 2 0 Kutlelerin pozisyonlari ise r1 x1 81 y1 81 r2 x2 82 y2 82 displaystyle mathbf r 1 x 1 theta 1 y 1 theta 1 quad mathbf r 2 x 2 theta 2 y 2 theta 2 olarak ifade edilebilir 8 1 ve 8 2 belli bir referansa gore sarkaclarin acisini ifade eder Her sarkac kisitlardan oturu birer koordinatla ifade edilebilir Cunku bu kisitlar mekansal koordinatlari 2 tane birbirine baglar 3 boyutlu bir ornek olarak kuresel eksenlerde hareket eden sarkac ornek verilebilir Sarkacin uzunlugu l ve sarkac her yonde serbestce sallanacak sekilde agirliginin etkisine birakilmis durumdadir Bu durumda hareket kisitlanmasi su sekilde ifade edilebilir f r x2 y2 z2 l2 0 displaystyle f mathbf r x 2 y 2 z 2 l 2 0 Kutlenin pozisyonu ise daha once s ve 8 degiskenlerinin kullanildigi gibi genel koordinatlarda su sekilde ifade edilebilir r x 8 ϕ y 8 ϕ z 8 ϕ displaystyle mathbf r x theta phi y theta phi z theta phi ve burada 8 f cifti kuresel kutup acilarini ifade eder cunku kutle bir kurenin yuzeyinde hareket edermiscesine davranir ayni zamanda kuresel koordinatlarda tanimlanabilir ve ayni bu durumda oldugu gibi yaricapin sabit oldugu bir kurenin denklemi de kisitimizi ifade eder Boylece 3 koordinat yerine 2 koordinat bilgisi yeterli olmaktadir Ozellikle sarkac gibi sistemler salinim hareketi yaparlar cunku yukleme pozisyon degiskeni olan acinin sinusel bir fonksiyonudur Boylece basit harmonik osilatorler Lagrange mekanigi ile yine rahatca analiz edilebilecegi anlasilabilir Ayrica bu tip enerji metotlari denk sistemler bulmak coklu serbestlik dereceye sahip sistemlerin analizi gibi problemlerde ciddi ise yaramaktadirlar cunku yazilimsal olarak adapte edilebilmeleri kolaydir Dolayisiyla baglanmis harmonik osilatorler cift sarkac uclu sarkac gibi ozellikle Lagrange dinamigi metotlari ile incelenir 3 boyutlu uzayda yer alan N partikul icin 3 degiskenli vektor fonksiyonlari olarak soyle ifade edilebilir r1 x1 y1 z1 r2 x2 y2 z2 rN xN yN zN displaystyle mathbf r 1 x 1 y 1 z 1 quad mathbf r 2 x 2 y 2 z 2 ldots mathbf r N x N y N z N Dolayisiyla her bir parcanin net pozisyonunu bilmek icin 3N kadar koordinata ihtiyacimiz vardir Zaten bir vektor uzayinda da bir noktanin genel ifadesi r x y z fonksiyonu ile yapilir Bu partikullerden herhangi birisi veya birkaci tabi tutulursa kisit ifadesi f r t 0 seklinde yazilabilir Bu herhangi bir anda partikullerin pozisyonlari birbirlerine baglanmaya baslar ve bagimsiz olmaktan cikarlar Eger sistemde C kadar kisitlayici var ise bunlarin her birinin fonksiyonel ifadesi icin f1 r t 0 f2 r t 0 fC r t 0 displaystyle f 1 mathbf r t 0 quad f 2 mathbf r t 0 ldots f C mathbf r t 0 Fonksiyon esitlikleri kullanilir ve her bir denklem bir koordinat ihtiyacini eler Dolayisiyla bagimsiz koordinatlarin sayisi n 3N C kadardir Unutulmamalidir ki bagimli koordinatlar kullanilarak yapilan hesaplar modeli karmasiklastiracaktir Dolayisiyla partikulleri veya sistemi tanimlamamiz icin n tane koordinata ihtiyacimiz bulunmaktadir Her pozisyon vektoru istenilen n elemanli genellestirilmis koordinat setine donusturulebilir Ve uygun bir sekilde q q1 q2 qn olarak ifade edilebilir Dolayisiyla pozisyonlar su sekilde ifade edilebilir rk rk q t xk q t yk q t zk q t t displaystyle mathbf r k mathbf r k mathbf q t x k mathbf q t y k mathbf q t z k mathbf q t t Boylece pozisyonlar genellestirilmis koordinatlarin fonksiyonu olarak karsimiza cikar cunku pozisyon degiskenlerini herhangi bir sete donusturebiliriz Genellestirilmis koordinatlarin birinci turevine genellestirilmis hizlar denir ve her partikul icin hiz vektorlerinin donusumleri vk r k drkdt dxkdt dykdt dzkdt q j dqjdt vk j 1n rk qjq j rk t displaystyle mathbf v k dot mathbf r k frac d mathbf r k dt left frac dx k dt frac dy k dt frac dz k dt right quad dot q j frac dq j dt quad mathbf v k sum j 1 n frac partial mathbf r k partial q j dot q j frac partial mathbf r k partial t Noktalar Newton notasyonu olarak zamana gore turevi ifade eder Burada unutulmamalidir ki hiz pozisyonun Veya basitce rk olarak tanimladigimiz fonksiyonun zamana gore turevidir ve q da zamana bagli oldugu icin zincir kurali kullanilir Onceki orneklerde biri eger her kutlenin hareketini partikul olarak inceleyecek basitlestirmeler yapabiliyorsa Newton mekanigi zamana bagli olarak degisen kisitlayici kuvvetlerin partikulleri kisitlanmis hareket patikasinda tutmaya yarayan kuvvetler zamana gore degisimi ile ugrasmayi gerektirir telin kureye uyguladigi kuvvet cekme kuvvetinin sarkaca aktardigi kuvvet gibi Ayni problem icin Lagrange mekanigi bizim partikulun aldigi yola bakarak uygun bir genellestirilmis koordinat secmemize dayanir Bu secimlerdeki koordinatlar bagimsiz olmalidir ve hareketi tamamen karakterize edebilmelidir Hareketin tamamen serbest oldugu koordinatlar secilirse kisitlayici denklem ve kuvvetlerin isin icine girmesine gerek kalmaz Ornegin x y duzleminde tel uzerindeki bir kurenin hareketi her an tanjantlara dik olarak kisitlanmistir ama tek bir s koordinati secilirse zaten o koordinat yolun ve hareketin kendisini tanimladigi icin ve hareketin olmadigi yerlerde sifir oldugu icin ekstra kisit ifadelerine gerek kalmaz Boylece kisitlarin partikuller uzerindeki direkt etkisi hesaplanmadan daha az denklem cozulerek sistem modellenebilir Lagrangian in tanimiLagrange mekanigindeki temel nicelik Lagrangian fonksiyonudur Bu fonksiyon sistemin dinamik davranisi hakkinda onemli bilgiler barindirir Ancak her fiziksel sistem icin tek bir Lagrangian ifadesi turetmek mumkun degildir Esasen fiziksel yasalarla uyumlu bir sekilde turetebilecek her fonksiyon Lagrangian olarak ele alinabilir Ancak yine de bazi gruplanabilecek sistemler icin genel Lagrangian ifadeleri olusturmak mumkundur Ornegin gorelilik etkilerin ihmal edilebilecegi sistemler icin Lagrangian L T V displaystyle L T V olarak ifade edilebilir mekanikte en sik karsilasilan ifade budur ancak bunun tum sistemler icin genel bir ifade olmadigina dikkat edilmesi gerekir Farkli fiziksel yasalarin da isin icine girmesiyle degismesi gerektigini unutmamak gerekir Burada T sistemin toplam kinetik enerjisini ve V ise potansiyel enerjisini ifade eder Lagrangian in birimi secilen enerji birimleriyle aynidir Kutleleri m1 m2 mN olan N parcaciktan olusan bir sistem icin toplam kinetik enerji her bir parcacigin kinetik enerjisi toplanarak bulunabilir Enerji metodlarindaki toplanabilme ozelligi bu acidan cok gucludur Her parcacigin enerjisi sistemin hareketine gore soyle tanimlanabilir T 12 k 1Nmkvk2 vk2 vk vk r k r k displaystyle T frac 1 2 sum k 1 N m k v k 2 quad v k 2 mathbf v k cdot mathbf v k dot mathbf r k cdot dot mathbf r k Burada isaretlerin dogru verilmesi icin noktasal carpim kullanilmistir Yani kinetik enerji ne olursa olsun pozitif bir ifadedir Bu ifadeye gore kinetik enerji sadece hizlarin yani vk terimlerinin bir fonksiyonudur Kinetik enerji rk ya yani parcaciklarin pozisyonlarina ve zamana bagli degildir Dolayisiyla T v1 v2 olarak ifade edilebilir Ancak yukaridaki genellestirilmis koordinat ve hiz ifadeleri goz onune alindiginda ozellikle zamana bagli bir degisim soz konusu ise genellestirilmis koordinatlar cercevesinde ifade edilen kinetik enerji genellestirilmis hizlara koordinatlara ve pozisyon vektorleri zamana bagli carpanlar iceriyorsa zamana baglidir Yani T T q dq dt t olarak daha dogru bir sekilde ifade edilebilir Potansiyel enerji V ise sistemdeki parcaciklarin birbirleri ile olan iliskilerini yansitir Baska bir deyisle bir parcacigin diger tum parcaciklara ve dis etkilere gore ne kadar enerjisi oldugunu ifade eder korunumlu kuvvetlerin etkisinden oturu olusan potansiyel enerji sadece parcaciklarin pozisyonlarina baglidir yani V V r1 r2 dir Korunumlu olmayan kuvvetler icin de uygun potansiyel enerji fonksiyonlari turetilebilir Ancak bu durumda isin icine hizlar da girmek zorundadir Yani korunumsuz kuvvetler icin V V r1 r2 v1 v2 olarak ifade edilebilir Ayrica dis bir fiziksel alan veya kuvvet zamana bagli olarak degisiyorsa potansiyel enerji de bundan etkilenecektir Dolayisiyla en genel haliyle V V r1 r2 v1 v2 t olacaktir Eger potansiyel ve kinetik enerjilerden biri veya ikisi de zamana acik bir baglilik gosteriyorsa zamanla degisen kisitlar etkiler carpanlar veya sistem parametreleri Lagrangian da zamana acik bir sekilde bagli olacaktir Yani L q dq dt t olacaktir Eger potansiyel enerji ve kinetik enerji zamana gore degismiyorsa bu durumda Lagrangian L q dq dt formunda olacaktir ve zamana acik bir baglilik gostermeyecektir Ancak zamana gore turev alindigi icin zamana ortulu bir sekilde bagli olacaktir Iki durumda da Lagrangian in zamana ortulu olarak bagli olacagi kesindir Genellestirilmis koordinatlar kullanilirsa Lagrangian a ek olarak ayrica disipatif yani hareket suresince enerjiyi o an sistem icinde donusturulemez sekilde harcayan sistem elemanlarini goz onune alarak cesitli fonksiyonlar turetmek de mumkundur L daha derin bir sekilde analiz edilip dogru ifade edilmelidir Bunun icin bakilabilir Enerji ifadeleri artik daha farkli olacak ve donusumler zamana bagimlilik farkli bir yapi gosterecektir Hareket denklemleriNewton mekaniginde hareket Newton Yasalari ile ifade edilir Newton un ikinci yasasi F ma her parcaciga uygulanir ve 3 boyutta hareket sahibi olanN parcacikli bir sistem icin 3N tane adi diferansiyel denklem pozisyonlarin bulunmasi icin cozulur ivmenin iki kere integrali alinarak Lagrange mekaniginde ise Lagrangian fonksiyonu hareket denklemlerini turetir Hareket denklemleri kismi turev icerse bile denklemler yine de genellestirilmis pozisyon koordinatlarinda calisan adi diferansiyel denklemlerdir Ayrica zaman gore toplam turev ifadesi d dt alinmasini gerektirebilir Iki cesit hareket denklemi vardir Biri kisitlayici kuvvetleri ve hareketlerin kisitlarini ifade eden denklemlerini isin icine katarken digeri bunlari modellemenin disinda tutarak sadece kisitlayici olmayan ve hareket saglayan kuvvetleri genellestirilmis koordinatlarda inceler Bu ifadeleri Lagrangian a koyup gerekli denklemleri cozerek sinir ve katarak hiz ve pozisyon parcaciklarin pozisyonlarini zamana gore cozebilir ve sistemin zamana gore hareketini degisimini bulabiliriz Birinci tip Lagrange denklemleri 3 boyutlu uzayda N parcaciktan olusan ve C tane maruz kalan bir sistemin kisitlari yukarida belirtildigi uzere f2 fC gibi fonksiyonlarla ifade edilebilir ve sistemin dinamigi Lagrangian L r dr dt t a bagli olarak birinci tip Lagrange denklemleri ile soyle ifade edilebilir L rk ddt L r k i 1Cli fi rk 0 displaystyle frac partial L partial mathbf r k frac d dt frac partial L partial dot mathbf r k sum i 1 C lambda i frac partial f i partial mathbf r k 0 burada k 1 2 N her bir parcacigi ifade eder ve bu denklemler sisteme dahil olan her eleman veya parcacik icin cozulmek uzere bir denklem sistemi olusturur Ayrica her bir kisitlayici denklem fi icin birer Lagrange carpani li bulunur Ve bu indisler her bir vektorun her bir ilgili degiskene gore turevini ifade etmede kolaylik saglar rk xk yk zk r k x k y k z k displaystyle frac partial partial mathbf r k equiv left frac partial partial x k frac partial partial y k frac partial partial z k right quad frac partial partial dot mathbf r k equiv left frac partial partial dot x k frac partial partial dot y k frac partial partial dot z k right Burada dikkat edilmesi gereken Lagrangian in her bir vektore gore turevi alinmasindan ziyade yine mekansal koordinatlara gore turev alindigi ve buradaki gosterimin kolaylik oldugudur ddrk rk ddt r k displaystyle frac delta delta mathbf r k equiv frac partial partial mathbf r k frac d dt frac partial partial dot mathbf r k Bu prosedur Newton yasalariyla cozulebilecek 3N denklem sayisini kisitlayici denklemlerin de isin icine girmesiyle 3N Cye cikartir Cunku N parcacik icin 3 boyuttta 3 pozisyonda 3N denklem vardir ve C kadar hareket kisitlarini ifade eden denklem vardir Ancak burada etkili olan nokta Lagrange carpanlaridir ve bu carpanlar kisitlayici kuvvetler hakkinda bize cozum sirasinda bilgi verir Bu metotta genellestirilmis koordinatlar veya kisit denklemlerinin temel hareket denklemlerine katilmasi kullanilarak denklemleri elimine etme ihtiyaci yoktur Kisit denklemleri ekstra denklemler olarak Lagrange carpanlari ile ifade edilir ve sistem cozulur Ikinci tip Lagrange denklemleriEuler Lagrange denklemleri veya Lagrange in ikinci tip hareket denklemleri olarak adlandirilir matematiksel bir sonucu olarak ortaya konmustur Bu sonuc fiziksel mekanik sistemlerde de hem dogalarini anlamada hem de hareketlerini hesaplamada kullanilir ddt L q j L qj displaystyle frac d dt left frac partial L partial dot q j right frac partial L partial q j Lagrangian in L q dq dt t formulasyonu bu denkleme kondugunda her bir genellestirilmis koordinata karsilik bir denklem bulunur Ve genellestirilmis koordinatlar eksenel koordinatlar kisitlar sayisi kadar secildiginden toplamda 3N C kadar 2 Dereceden adi diferansiyel denklemi cozmemiz gerekir Bu denklemler hareket kisitlarini icermezler ve sadece kisitlayici olmayan hareketi gerceklestiren kuvvetlerin modele katilmasi gerekir Bu metot degisim kalkulusundeki minimum degisim ve hareket prensibinin fiziksel baglamda enerji olarak ifade edilebilecek bir degisim fonksiyonuyla etkili bir sekilde kullanimi ile ortaya cikar Newton mekaniginden Lagrange mekanigineNewton yasalari Isaac Newton 1642 1727 Basitce Newton yasalari bir parcacik icin en genel bir sekilde F ma displaystyle mathbf F m mathbf a olarak ifade edilir Burada a ivme pozisyonun 2 Turevidir Bu sayede N parcaciga sahip bir sistemde her parcaciga bu prensip uygulanarak hareket denklemleri cikartilir F ise parcaciga etkiyen toplam kuvvettir Uc mekansal koordinatta her bir parcacik icin uc hareket denklemi ortaya cikar Ve bu denklemlerin her biri adi diferansiyel denklemdir 3 boyutlu uzayda uc degisken icerecek sonuclar birer vektor olarak ifade edilebilir Elbette her bir cozum ilk hiz ilk pozisyon gibi baslangic degerlerine tabidir Newton yasalarinin kartezyen koordinatlarda kullanimi cok rahattir Ancak cogu harekette ozellikle de egrisel hareketlerde kartezyen koordinat kullanimi zordur Bu durumda kartezyen koordinatlarin uygun koordinatlara cevrilmesi ve denklemlerin bu sekilde ifade edilmesi gerekir Ancak bu durumda da pozisyonlarin turevlenmesi gerektigi icin hareket denklemleri karmasiklasir Ornegin uc egrisel koordinatta 3 31 32 33 Newton yasasi Lagrange formunda soyle ifade edilebilir Fa m d23adt2 Gabcd3bdtd3cdt ddt T 3 a T 3a 3 a d3adt displaystyle F a m left frac d 2 xi a dt 2 Gamma a bc frac d xi b dt frac d xi c dt right frac d dt frac partial T partial dot xi a frac partial T partial xi a quad dot xi a equiv frac d xi a dt Burada Fa kartezyen uzaydan egrisel uzaya geciste uzaylarin taban vektorlerinin degismesinden oturu degisen kuvvetlerin a bilesenidir Ga ise ikinci tip Christoffel sembolleridir Burada bir parcacigin kinetik enerjisi T 12mgbcd3bdtd3cdt displaystyle T frac 1 2 mg bc frac d xi b dt frac d xi c dt olarak ifade edilebilir gbc egrisel koordinat sisteminin un bilesenidir Her a b c indisi 1 2 3 gibi degerler alir Burada dikkat edilmesi gereken husus egrisel hareketin onemi vurgulandigindan bu koordinat sisteminin genellestirilmis koordinatlarla karistirilmamasi gerektigidir Burada yapilan turetmeler Newton yasalarinin fazlaca karmasiklastirilmasi olarak dusunulebilir Ancak bu yontemin de cesitli avantajlari bulunmaktadir Christoffel sembolleri cinsinden ifade edilen ivme bilesenleri yukarida tanimlanan kinetik enerjinin turevleri alinarak ifade edilebilir ve boylece T gibi bir her referans yapisinda ayni kalacak skalerin kolayligi kullanilabilir Zaten Lagrangian gibi enerji metodlari da vektorlerin referanslara bagimliligini elimine ederek islemleri kolaylastirma ihtiyacina dayanir Bunu yaparken ise sistemin detaylarindan feragat etmek durumunda kalirlar Eger sistem uzerine etkiyen bir kuvvet yoksa yani F 0 ise sistem ivmelenemez Ya durur ya da hareketini degistirmeden devam eder Hareket durumu daha genel bir ifadeyle dogru uzerinde sabit hizli harekettir Ancak bu bildigimiz anlamda dogru olmak zorunda degildir Ornegin gectigimizde jeodezik koordinatlar dogrular artik keseller olarak karsimiza cikar Dolayisiyla egrisel yuzeyler uzerinde hareket etmek uzere kisitlanmis veya o sekilde dengeye gelmis parcaciklarin hareket denklemlerinin cozumu keselleri verir Keseller uzayda iki genel nokta arasindaki en kisa uzunluga karsilik gelen egrilere verilen genel addir Duzlemde ise bunlar basitce dogrulardir Dolayisiyla 3 boyutlu uzayda da keseller duz dogrulara karsilik gelirler Dolayisiyla serbest bir parcacik icin Newton un 2 Yasasi geometrik jeodezik denklemleri ile uyum halindedir ve keselleri takip eden serbest parcaciklarin hareketlerini ifade etmede kullanilir Burada en onemli nokta kesellerin 3 boyutlu uzayda parcaciklarin iki nokta arasinda izleyecegi en kisa yolu ifade etmesidir Eger parcaciklar belli bir kuvvet altinda kalirlarsa ivmelenirler ve bu nedenle jeodezik hareketten sapmaya baslarlar Uzayda noktalar arasi en kisa yollari bulma fikri mekanikte dogal bir merak konusudur Ozellikle enerjinin tanimindan sonra mekanik sistemlerin minimum enerjiyle amaclarini gerceklestirmeleri onem kazanmistir Bu nedenle kalkulus metotlarinin mekanige uygulanmasi ile yukarida bahsedilen sonuclar elde edilmistir Brachistochrone problemi sabit ivme altinda en kisa yol gibi onemli konular degisimler hesabi sayesinde acikliga kavusturulmustur Johann Bernoulli Jean Bernoulli Leibniz Daniel Bernoulli L Hopital gibi bilim insanlari bu konu uzerine calismis ve farkli zamanlarda benzer cozumler bularak katki saglamislardir Newton un kendisi bile degisimler hesabi prensiplerini o zamanlarda dusunmeye baslamisti Hatta yukarida bahsedilen egri uzunlugu gibi kavramlari tanimlayip onlarin turevlerine bakarak duzlemde en kisa yolu ifade eden dogrulari egrilere nasil adapte edebilecegini dusunmekteydi Bu fikirler uzerine varyasyonel prensipler Fermat Maupertuis Euler ve Hamilton gibi bilim adamlari tarafindan net bir sekilde ortaya kondu Ayrica uzay zaman gibi 4 boyutlu uzaylara da uygun sekilde genellestirilerek Einstein in genel gorelilik teorisine katki sagladi Bahsedildigi gibi uzay egrisel olarak zamanda bukuldugunde olusan uzay zaman boyunca serbest parcaciklar duzlemde dogruya karsilik gelecek sekilde jeodezik hareket yaparlar Ancak Newton mekaniginde parcaciklarin hareketlerini tam olarak modelleyebilmek icin uzerlerine etkiyen kuvvetleri F bilmek gerekir Genel bir harekette bu kuvvet hareketi cesitli eksenlerde kisitlayan veya kisitlamayan kuvvetlerin birlesimidir Kisitlayici kuvvetleri C kisitlayici olmayan ve hareketi direkt saglayan kuvvetlere ise N dersek F C N displaystyle mathbf F mathbf C mathbf N olarak ifade edebiliriz Kisitlayici kuvvetler karmasik olabilir ve yola gore degiskenlik gosterebilir Kisitlanan mekanik sistemlerde genelde hareket yolu olabildiginden cogunlukla zamana veya harekete bagli olurlar Bu durumlarda egrisel koordinatlar bagimsiz degillerdir ve cesitli kisit denklemleri ile baglidirlar D Alembert prensibi 1717 1783 Tek serbestlik derecesi Cift serbestlik derecesi m kutleli bir parcacik icin kisitlayici C kuvveti ve sanal yer degistirme dr egrisel duzlemde sinirlandirilmis parcacik hareketi Toplam kisitlayici olmayan kuvvet N Analitik mekanigin ilk temel sonucu olan 1708 de Jacques Bernoulli tarafindan ortaya statik dengeyi anlamak icin atildi ve D Alambert tarafindan 1743 de dinamik problemlerini cozmek icin gelistirildi Bu prensip N parcacik icin su denklemi tanimlar k 1N Nk Ck mkak drk 0 displaystyle sum k 1 N mathbf N k mathbf C k m k mathbf a k cdot delta mathbf r k 0 Burada drk sanal yer degistirmeleri tanimlar ise sistem konfigurasyonundaki kisitlar hareket ve kuvvet bazinda ile uyumlu olan diferansiyel cok kucuk degisimlere denir Degisimler cok kucuk oldugundan r kisitlanmis hareket eksenlerinde tanimlansa bile kisitlayici kuvvetlerin etkisini bozmaz Bu sayede her tip hareket incelenebilir ve denklemlere katilabilir Burada kisitlayici veya degil her kuvvetin sanal yer degistirmeler boyunca yaptigi islere adi verilir Kisitlayici kuvvetler her parcacigin hareketine dik yonde etki eder En genel haliyle uzaylarda hareketi tanimlamak icin n boyutlu uzay ise n kadar birbirine dik vektor ifadesi gerektigi icin olusacak tum kisitlayici kuvvetlerin bileskesi harekete dik yonde olacaktir Boylece o yondeki vektor boyunca gerceklesecek hareket iptal olacaktir Kisitlayici kuvvetler tarafindan gerceklestirilen toplam sanal is bu nedenle hareket boyunca sifirdir Noktasal carpimdan oturu k 1NCk drk 0 displaystyle sum k 1 N mathbf C k cdot delta mathbf r k 0 dolayisiyla k 1N Nk mkak drk 0 displaystyle sum k 1 N mathbf N k m k mathbf a k cdot delta mathbf r k 0 esitligi elde edilir Bu nedenle D Alambert prensibi bize kisitlayici olmayan kuvvetlere odaklanmamizi saglar ve kisitlayici kuvvetleri hareket denklemlerinden cikartir Hareket denklemlerinin bu formu ayni zamanda birbirinden bagimsiz olarak sistemle uyumlu genellestirilmis koordinat secimine de direkt uyum saglar Ancak yine de bu denklemleri her parcacik ve genellestirilmis koordinat icin ifade edip bagil bir sekilde cozmek gereklidir D Alambert prensibiden cikartilan hareket denklemleri Eger k parcaciginin uzerinde kisitlar varsa kartezyen uzaydaki rk xk yk zk pozisyonundaki koordinatlar kisit denklemleri ile birbirine baglanir Burada drk dxk dyk dzk olarak tanimlanabilir Bu koordinatlari hareket denklemleri icerisinde kisit denklemleri ile ugrasmamak icin genellestirilmis koordinatlara sanal yer degistirme olarak donusturebiliriz Sanal yer degistirmeler diferansiyel boyutta oldugu icin toplam diferansiyel formunu kullanabiliriz Yani turevleri kullanarak yine isimizi analitik olarak kolaylastirabiliriz drk j 1n rk qjdqj displaystyle delta mathbf r k sum j 1 n frac partial mathbf r k partial q j delta q j Bu sayede direkt drkyi kullanarak yasayacagimiz sorunlari genellestirilmis koordinatlari kullanarak ve sanal kucuk hareketlerin aslinda diferansiyel turev ile ilintili oldugu gercegini kullanarak hareket denklemlerini cikarmayi kolaylastirabiliriz Unutulmamalidir ki burada zamana gore kismi turevin yine kucuk bir zaman artisiyla carpimi yoktur Burada artagan bir zamandan ziyade anlik bir zamandaki ufak diferansiyel yer degistirmeler soz konusudur dolayisiyla turevlemeler ve artislar yer degistirmeler cinsindendir D alambert prensibinin birinci terimi kisitlayici olmayan Nk kuvvetlerinin diferansiyel drk boyunca yaptigi sanal isi kapsar Ve genel olarak bu terim analojisiyle ifade edilebilir genellestirilmis koordinatlar boyunca etkiyen Qj k 1NNk rk qj displaystyle Q j sum k 1 N mathbf N k cdot frac partial mathbf r k partial q j dolayisiyla k 1NNk drk k 1NNk j 1n rk qjdqj j 1nQjdqj displaystyle sum k 1 N mathbf N k cdot delta mathbf r k sum k 1 N mathbf N k cdot sum j 1 n frac partial mathbf r k partial q j delta q j sum j 1 n Q j delta q j seklinde ifade edilir Burada yapilan genellestirilmis koordinatlara yapilan donusumun yarisini icerir Geriye ivmeleri iceren terimin genellestirilmis koordinatlara donusturulmesi kalir Bu hemen gorulebilir degildir Yukarida bahsedilen Newton Yasalarinin Lagrange formu kinetik enerjinin genellestirilmis koordinatlara ve hizlara gore kismi turevini kullanarak istenilen sonucu verebilir k 1Nmkak rk qj ddt T q j T qj displaystyle sum k 1 N m k mathbf a k cdot frac partial mathbf r k partial q j frac d dt frac partial T partial dot q j frac partial T partial q j Bu sayede D alambert prensibini istedigimiz sekilde genellestirilmis koordinatlarda su sekilde yazabiliriz j 1n Qj ddt T q j T qj dqj 0 displaystyle sum j 1 n left Q j left frac d dt frac partial T partial dot q j frac partial T partial q j right right delta q j 0 Dolayisiyla artik sanal yer degistirmeler genellestirilmis koordinatlar cinsinden yapilabilir dqjler birbirlerinden bagimsiz ve sifirdan farklidir Cunku herhangi bir zaman aninda belirli bir yer degistirmeden bahsediliyor Bu nedenle dqjlarin katsayilari sifira esitlenebilir Bu katsayilar da ozellikle statik durumlar icin genellestirilmis kuvvetler olarak adlandirilabilir Bu sayede esasen Lagrange denklemlerini veya genellestirilmis hareket denklemlerini elde etmis oluyoruz Qj ddt T q j T qj displaystyle Q j frac d dt frac partial T partial dot q j frac partial T partial q j Lagrange Denklemleri Euler Lagrange Denklemleriyle karistirilmamali burada enerji terimleri yerine genellestirilmis kuvvet terimleri yer alir Bu denklemler kisitlayici olmayan kuvvetler altinda bize Newton un yasalari ile ayni sonucu verir Yukaridaki denklemlerdeki genellestirilmis kuvvetler sadece kisitlayici olmayan kuvvetlerden turetilmis ve kisitlayici kuvvetler disarida D Alambert in sanal is prensibi sayesinde birakilmistir ve ihtiyac yoktur D Alambert prensibi kuvvetlerin korunumlulugu uzerinde geneldir Bu kuvvetler D Alambert prensibini sagladigi surece korunumsuz olabilir Hamilton prensibi ile Euler Lagrange denklemleri Sistemin degistigi sure icerisinde genellestirilmis konum degiskeni q konfigurasyon uzayinda belli bir patika izler Cesitli patika olasiliklarinin bazilari figurde gosterilmistir Sistemin sectigi yollardan biri kirmizi olani duragan etkiler sonucu ortaya cikmistir ve sistemin cok kucuk degisimlerle tanimlanir dS 0 Korunumlu olmayan kuvvetler pozisyon ve zamana ek olarak korunum kavraminin tanimi geregi hiza da baglidir Dolayisiyla pozisyona ve hizlara bagli bir potansiyel enerji fonksiyonu tanimlamak mumkundur Eger genellestirilmis kuvvetler bir V potansiyelinden su sekilde turetilebiliyorsa Qj ddt V q j V qj displaystyle Q j frac d dt frac partial V partial dot q j frac partial V partial q j ve Lagrangian i L T V olarak tanimlayip bunu Lagrange denklemlerine esitlersek ikinci tip Lagrange denklemlerini veya Euler Lagrange denklemlerini elde ederiz L qj ddt L q j 0 displaystyle frac partial L partial q j frac d dt frac partial L partial dot q j 0 Ancak Euler Lagrange denklemlerinde korunumsuz kuvvetler sadece onlari ifade edebilecek bir potansiyel fonksiyonu bulunursa ifade edilebilir Dolayisiyla Lagrange denklemleri potansiyel icermedigi kuvvet icerdigi icin Euler Lagrange denklemlerinden daha geneldir Cunku Euler Lagrange denklemlerinde kuvvetleri korunumlu veya korunumsuz potansiyel fonksiyonlari olarak ifade etmeye calisiyoruz Ve boyle bir potansiyel bulunamazsa EL denklemleri o kuvvetleri kapsayamiyor Euler Lagrange denklemleri metotlariyla bulunabilir Lagrangian fonksiyonunun degisimi soyle ifade edilebilir dL j 1n L qjdqj L q jdq j dq j ddqjdt d dqj dt displaystyle delta L sum j 1 n left frac partial L partial q j delta q j frac partial L partial dot q j delta dot q j right quad delta dot q j equiv delta frac dq j dt equiv frac d delta q j dt Bu tanim Lnin toplam diferansiyeline cok benzerdir Ancak sanal yer degistirmeler ve onlarin zamana gore turevleri sadece diferansiyel terimlerle yer degistirir del operatoru ile belli bir buyukluk olarak ifade edilirler Ayrica sanal yer degistirme nin tanimina uyacak sekilde zaman artisi bu tanimda yer almamaktadir Onun yerine genellestirilmis koordinatlarin zamanda bir ana gore ifade edilir ve turevlerden ziyade diferansiyel terimlerin carpimlari kullanilir Zaman gore uygulanan bir yontemi genellestirilmis koordinatlarin turevlerini yani dqji L dqj dt terimine donusturur Diger bir deyisle d dqj dtnin dqjya donusumu gerceklestirilir Buradan bagimsiz sanal yer degistirmelerin Lagrangian fonksiyonunun turevi ile turetilebilecegi ortaya cikar t1t2dLdt j 1n L q jdqj t1t2 t1t2 j 1n L qj ddt L q j dqjdt displaystyle int t 1 t 2 delta L dt sum j 1 n left frac partial L partial dot q j delta q j right t 1 t 2 int t 1 t 2 sum j 1 n left frac partial L partial q j frac d dt frac partial L partial dot q j right delta q j dt Eger dqj t1 dqj t2 0 kosulu her j terimi icin dogru oluyorsa integrali alinmayan terimler sifir olur Buna ek olarak eger dLin zamana gore integrali sifir ise dqj ler bagimsiz oldugu icin integrali sifira esitlemenin tek yolu integrand in sifir olmasi yani bagimsiz genellestirilmis koordinat dqj lerin katsayilarinin sifir olmasidir Burada yukaridaki figurde bahsedilen duragan etkiler altinda cok kucuk degisimler sonucu alinan kirmizi yolun etkileri incelendigi icin her durumda konfigurasyon degisimi sifira yakin olur sanal yer degistirme diferansiyel yer degistirme dqj cok kucuk Bu sonuclardan sistemin hareket denklemi ortaya konulabilir ve bu ile su sekilde ozetlenebilir t1t2dLdt 0 displaystyle int t 1 t 2 delta L dt 0 Bu duruma gore eger sistem duragan etkiler altindaysa Lagrangian in zamana gore toplami sifir olmaktadir Eger sistem uzerinde dinamik etkiler varsa sistemin yukaridaki hareket egrisi kirmizidan etkiye gore sapmakta ve mavi egrilere gelmektedir Bu durumda Lagrangian in zaman gore integrali bize esasen dinamik etkileri verecektir Dolayisiyla dinamik etkileri tanimlayan bir eylem ifadesini su sekilde aciklayabiliriz S t1t2Ldt displaystyle S int t 1 t 2 L dt S yani eylem bir fonksiyonun fonksiyonu Lagrangian fonksiyonunu t1den t2ye kadar alir ve skaler bir nicelik dondurur Acisal momentum zaman enerji momentum uzunluk gibi terimlerin birimiyle ayni birime sahiptir Bu tanima gore Hamilton un minimum eylem prensibi sanal is sanal difreansiyel yer degistirme gibi nicelikler arasindaki iliski soyle ozetlenebilir dS 0 displaystyle delta S 0 Dolayisiyla Hamilton Prensibi ve Lagrangian yaklasimi Newton mekanigindeki anlayisi tamamen degistirmis oluyor Metotlar dogru uygulandiginda sonuclarin birebir ayni oldugu unutulmamalidir Parcaciklar uzerindeki kuvvetlerin ciktisi olarak ivmeleri dusunmek yerine modelimizi en az eyleme sahip olan yola ve eylemlerin o yolu nasil degistirecegine gore tanimlayabiliriz Elbette burada eylem ve enerji fonksiyonlarini Lagrangian uygun tanimlamak ve genellestirilmis koordinatlari veya degiskenleri dogru secmek gerekmektedir Parcaciklarin konfigurasyon uzayinda baslangic ve bitis anlik zamanlari ile o zamanlara karsilik gelen noktalari tanimlayarak bu yollari ifade edebiliriz Hamilton un turettigi ilkeler bazen en az eylem ilkesi ile birebir tutulsa da en az eylem ilkesinde hareket boyunca uygulanan eylemin durgun olmasi gerekmektedir Hamilton prensipleri ile durgun olmayan dinamik eylemleri ve korunumsuz kuvvetleri de sistem modeline dahil etmemiz mumkundur ancak calismamiz yine mumkun degildir Holonomik olmayan kisitlar icin ise D Alambert in kavramindan faydalanmamiz gerekmektedir Lagrange carpanlari ve kisitlarin ifade edilmesi Lagrangian Lnin kartezyen rk koordinatlarinda N parcacik icin degisimini su sekilde ifade edebiliriz t1t2 k 1N L rk ddt L r k drkdt 0 displaystyle int t 1 t 2 sum k 1 N left frac partial L partial mathbf r k frac d dt frac partial L partial dot mathbf r k right cdot delta mathbf r k dt 0 Hamilton prensipleri Lagrangian daki genellestirilmis koordinatlar sistemin davranisini tamamen tanimliyor olmasi kosulu ile bagimli olsalar bile gecerlidir Ancak kisitlarin yine de holonomik olmasi gerekmektedir Bu acidan Hamilton prensipleri durum uzayi ifadeleri ile benzerlik gosterir Eger secilen genellestirilmis koordinatlar rkler bagimsiz degil ise sanal iste ve yer degistirmede yaptigimiz gibi drknin katsayilarini sifira esitlememiz mumkun degildir Cunku artik bagimsiz yer degistirmelerin sifir olmayacagindan emin olsak bile baglilarin sifir olma veya onlari olusturacak kuvvetlerin olmamasi ya da olmasi gibi bilinmezlikler ortaya cikmaktadir Bu sorunu Lagrange carpanlari metodunu kisitlari ifade edecek sekilde kullanarak cozebiliriz Her kisit denklemi fi rk t 0yi bir Lagrange carpani li for i 1 2 C ile carpabiliriz Ve bu ifadeleri orijinal Lagrangian ifadeleri ile birlestirdigimizde artik yeni bir Lagrangian tanimlamis oluruz L L r1 r2 r 1 r 2 t i 1Cli t fi rk t displaystyle L L mathbf r 1 mathbf r 2 ldots dot mathbf r 1 dot mathbf r 2 ldots t sum i 1 C lambda i t f i mathbf r k t Bunu bagimli olarak tanimlanmis koordinatlari bagimsiz koordinatlara cevirmek yerine onlari tanimlayan fonksiyonu degistirmisiz gibi dusunebiliriz Boylece ozellikle komplike sistemlerdeki bagimsiz koordinat secimi probleminden kurtularak hesaplamaya daha uygun bir metodoloji ortaya konmus olur Lagrange carpanlari zamanin herhangi birer fonksiyonudur ancak genellestirilmis rk koordinatlarinin fonksiyonu degillerdir Dolayisiyla karmasik fonksiyonlar olusturmazlar Carpanlar pozisyon koordinatlari ile esit duzeyde ifade bulmaktadirlar Bu yeni Lagrangian sistematik olarak koordinatlarimizin bagimsizligi ve kisitlarin ayri ifadesi ki bu iki durum birbirine yakindan baglidir sorunlarina cozum bulabilmektedir Dolayisiyla yeni Lagrangian i Euler Lagrange denklemlerine koyarak L li ddt L l i 0 fi rk t 0 displaystyle frac partial L partial lambda i frac d dt frac partial L partial dot lambda i 0 quad Rightarrow quad f i mathbf r k t 0 Ifadesini kisit denklemleri olarak elde edebiliriz Ayrica rk cinsinden hareket denklemlerini Lagrange in birinci tip denklemleriylede su sekilde ifade edebiliriz L rk ddt L r k 0 L rk ddt L r k i 1Cli fi rk 0 displaystyle frac partial L partial mathbf r k frac d dt frac partial L partial dot mathbf r k 0 quad Rightarrow quad frac partial L partial mathbf r k frac d dt frac partial L partial dot mathbf r k sum i 1 C lambda i frac partial f i partial mathbf r k 0 Bu denklemlerde yeni Lagrangian in yukarida bahsettigimiz degisimini zaman gore integre edersek t1t2 k 1N L rk ddt L r k i 1Cli fi rk drkdt 0 displaystyle int t 1 t 2 sum k 1 N left frac partial L partial mathbf r k frac d dt frac partial L partial dot mathbf r k sum i 1 C lambda i frac partial f i partial mathbf r k right cdot delta mathbf r k dt 0 ifadesini buluruz ve temel aldigimiz prensiplerden oturu uc noktalarin ve ona bagli anlarin sabit oldugunu her k icin unutmamamiz gerekir drk t1 drk t2 0 Carpanlar daha onceki metotlarda oldugu gibi drklarin katsayilarini sifirlayacak sekilde secilirse karsilastigimiz carpan problem sorunu cozulur ve kisitlar ile baglilik problemini icsel bir sekilde ifade etmis oluruz Boylece bagimsiz olmayan genellestirilmis koordinatlar icin uygun carpanlarla kisitlari ifade eden carpanlar hareket denklemini bulabiliriz Eger bir korunumlu kuvvetin gradyani sisteme bir potansiyel enerji V bazinda etkiyorsa ve bu V sadece rklarin birer fonksiyonu ise Lagrangian L T Vnin denklemlere konulmasi ile T rk ddt T r k V rk i 1Cli fi rk 0 displaystyle frac partial T partial mathbf r k frac d dt frac partial T partial dot mathbf r k frac partial V partial mathbf r k sum i 1 C lambda i frac partial f i partial mathbf r k 0 elde edilir Newton un 2 Yasasinin bu Lagrangian formunda kinetik enerjinin turevi negatif olarak denklemde yer bulmakta k parcacigina etkiyen toplam kuvvete potansiyel enerjilerin turevi de kisitlayici olmayan kuvvetlere karsilik gelmektedir Yani Fk T rk ddt T r k Nk V rk displaystyle mathbf F k frac partial T partial mathbf r k frac d dt frac partial T partial dot mathbf r k quad mathbf N k frac partial V partial mathbf r k Ve bunu yukaridaki temel denkleme koydugumuzda kisitlayici kuvvetleri soyle buluruz Ck i 1Cli fi rk displaystyle mathbf C k sum i 1 C lambda i frac partial f i partial mathbf r k ve en temel denklemimize donersek birinci terim pozisyona gore turevlenmis momentumun turevini ifade ederken diger terimler ise kuvvetleri ifade eder ve sistemi cozmemizi saglar Burada hem kisitlayici ve belki sistemimizden bos yere enerji cekecek kuvvetleri hem de diger kuvvetleri ayri olarak bulmamiz da onemlidir Bu sayede sistem optimizasyonu da yapilabilir Lagrange Euler denklemlerinin ozellikleriBazi durumlarda Lagrangian hareket denklemlerini cozmeye gerek kalmadan bize sistem hakkinda bilgi verebilir Bunu Lagrange in ikinci tip denklemleri saglar Cozumlerin tekilligi Bir sistem icin Lagrangian fonksiyonu tekil degildir Zira sistemlerin ozelliklerine gore de Lagrangian fonksiyonu farkli sekillerde tanimlanmalidir Lagrangian L sifir olmayan bir carpan a ile carpilabilir ve rastgele bir b sabiti ile toplanabilir Dolayisiyla yeni Lagrangian aL b olacaktir ve bu fonksiyon L ile ayni hareket tanimini gerceklestirmektedir Ayni zamanda Lagrangian genellestirilmis koordinatlardan olusan fonksiyonlarin kismi olmayan normal turevlerinden de etkilenmez L L df q t dt displaystyle L L frac df mathbf q t dt Burada L ve L tamamen ayni hareketi tanimlarlar Noktasal degisimlerden bagimsizlik Lagrangian in tanimlandigi genellestirilmis koordinat setini yani qyu baska bir genellestirilmis koordinat seti se cevirmek icin kullanilacak q q s t uygulanirsa yeni Lagrangian L yeni koordinat setinin bir fonksiyonu L q s t q s s t t L s s t displaystyle L mathbf q mathbf s t dot mathbf q mathbf s dot mathbf s t t L mathbf s dot mathbf s t seklinde ifade edilir Ayrica zincir kurali kismi diferansiyellere uygulanirsa Lagrange denklemlerinin bu tip bir noktasal donusum altinda degismez oldugu gorulur ddt L s i L si displaystyle frac d dt frac partial L partial dot s i frac partial L partial s i Bu sayede bircok denklem daha basit calisabilecegimiz koordinat sistemlerine donusturulerek hesaplama suresi azaltilabilir Bu prosedur Hamilton mekanigindeki ile ayni mantigi icerir Hamilton fonksiyonlari da benzer sekilde kanonik donusumlerden etkilenmezler Devri koordinatlar ve korunum yasalari Lagrangian in baska bir onemli ozelligi ise tanimladigi sistem icinde dinamik davranis boyunca korunan ozellikleri ifade etmesidir Ornegin genellestirilmis momentum kanonik olarak genellestirilmis koordinat qia esleniktir ve su sekilde tanimlanir pi L q i displaystyle p i frac partial L partial dot q i Eger Lagrangian L qia bagli degilse Euler Lagrange denklemleri bize genellestirilmis momentumun korunan bir deger oldugunu soyler Cunku zamana bagli turevi sifirdir Hareket de zamanin degisimiyle gerceklestigine gore momentumun hareket boyunca sabit kalmasi gerektigi sonucuna ulasiriz p i ddt L q i L qi 0 displaystyle dot p i frac d dt frac partial L partial dot q i frac partial L partial q i 0 Bu Noether teoreminin ozel bir halidir Bu tip koordinatlar devri veya ihmal edilebilir koordinatlar olarak tanimlanir Ornegin sistem seklinde bir Lagrangian a sahip olabilir r ve z burada dogru boyuncaki uzunluklar s egrisel uzunluk 8 ve f ise acilardir Lagrangian da z s ve fnin bulunmadigina dikkat etmek gerekir Ancak bu konumlarin hizlari bulunmaktadir Bu nedenle momentum degerleri pz L z ps L s pϕ L ϕ displaystyle p z frac partial L partial dot z quad p s frac partial L partial dot s quad p phi frac partial L partial dot phi olarak bulunur ve bunlarin hepsi korunan degerlerdir Bu genellestirilmis momentumlarin birimleri tanimlandiklari koordinatlara baglidir Ornegin pz yonundeki dogrusal hareket momentumu psde s boyuncaki dogrusal momentum pf ise olculdugu duzlemdeki acisal momentumu ifade eder Ancak karmasik hareketlere sahip olan sistemlerde bu korunumlar hareketi komplekslestirir Enerji korunumu Lagrangian in zamana gore alindiginda cok genel bir sonuc elde ederiz L t ddt i 1nq i L q i L displaystyle frac partial L partial t frac d dt left sum i 1 n dot q i frac partial L partial dot q i L right Eger butun Lagrangian zamandan harici olarak bagimsiz ise Lagrangian in zamana gore kismi turevi sifirdir L t 0 Dolayisiyla parantez icindeki terimi soyle tanimlayabiliriz E i 1nq i L q i L displaystyle E sum i 1 n dot q i frac partial L partial dot q i L Bu terim butun hareket boyunca sabit kalmalidir Buradan da kinetik enerjinin genellestirilmis koordinatlara bagli ikinci dereceden oldugu sonucuna varabiliriz Ayrica ek olarak potansiyel V de sadece genellestirilmis koordinatlarin birer fonksiyonu olup hizlardan bagimsiz ise direkt hesaplamayla veya Euler in homojen fonksiyonlar icin gelistirdigi teoremler ile i 1nq i L q i i 1nq i T q i 2T displaystyle sum i 1 n dot q i frac partial L partial dot q i sum i 1 n dot q i frac partial T partial dot q i 2T sonucuna varilir Bu durumlar altinda E sabiti soyle tanimlanabilir E 2T L T V displaystyle E 2T L T V Bu ise sistemin toplam korunan enerjisine karsilik gerekebilir Sistem degistikce ve dinamik davranis gosterdikce kinetik ve potansiyel enerjiler degisebilir ancak sistemin hareketi uzerindeki kisit toplam enerjisinin sifir olmasidir Bu ozellik hesaplamalari oldukca kolaylastirmaktadir cunku enerji yani E sanki sabit bir integrasyondaki herhangi bir sabitmis gibi davranir Ayrica bu durumda enerji iliskilerinden hizlarin da integralini almak mumkundur Ve bu koordinatlar icin yapilacak cozumlere kolaylik saglar Iki durumda da kinetik enerji veya hiz zamana bagli olabilir bu durumda simetri bozulur ve enerji korunmaz Burada dikkat edilmesi gereken baska bir konu ise in Lagrangian ile Legendre donusumune bagli olan iliskisinden bu sonuc yine turetilebilir H i 1nq i L q i L displaystyle H sum i 1 n dot q i frac partial L partial dot q i L Ayni durumlar gecerli ise Hamilton fonksiyonu sistemin korunan toplam enerjisine esittir Mekanik benzerlik Eger potansiyel enerji genellestirilmis koordinatlarin zamandan bagimsiz ise ve her pozisyon vektoru sifir olmayan bir sabit ile buyutulurse yani V ar1 ar2 arN aNV r1 r2 rN displaystyle V alpha mathbf r 1 alpha mathbf r 2 ldots alpha mathbf r N alpha N V mathbf r 1 mathbf r 2 ldots mathbf r N Ve zaman bir beta faktoru ile buyutulurse t bt bu durumda hizlar vkda a b faktoru ile buyumus olur kinetik enerji de bunun karesi kadar Tum Lagrangian aslinda ayni faktor ile buyutulur a2b2 aN b a1 N 2 displaystyle frac alpha 2 beta 2 alpha N quad Rightarrow quad beta alpha 1 N 2 Uzunluklar ve zaman buyutuldugu icin sistem parcaciklarinin isledigi yollar geometrik olarak benzer ama buyukluk olarak farklidir t zamanda alinmis l uzunlugu eger orijinal yol ise bu donusumlerle artik yeni bir l olacak zaman ise t olacaktir ve bunlar su sekilde tanimlanir t t l l 1 N 2 displaystyle frac t t left frac l l right 1 N 2 Iliskili parcaciklar Verilen bir sistem icin iki alt sistem A ve B eger iliskili degilse sistemin toplam Lagrangian i AandLBfor the subsystems L LA LB displaystyle L L A L B olarak ifade edilir Ancak parcaciklar iliskiliyse bu mumkun degildir Bazi durumlarda sistemin toplam Lagrangian ini alt parcalarin Lagrangian lari ile ifade etmek cok ise yarar Bazi daha genel sistemlerde ise iliskinin olmadigi Lagrangianlar ile iliski hakkinda bilgi tasiyan baska bir Lagrangian LAB ile toplayarak sistemi modellemek mumkundur L LA LB LAB displaystyle L L A L B L AB Ozellikle mekanik iliskilerin bulundugu sistemlerde bu dogrusal ozellik cok kullanislidir Bu uygulama fiziksel olarak da etkilesim gostermeyen Lagrangian larin kinetik enerjiyle iliskili etkilesim icinde olanlarin ise potansiyel enerjiye karsilik gelecegi gibi gerceklenebilir Onemsenmeyen etkilesimler icin Lab sifir alinabilir Burada potansiyel enerjinin daha onceki denklemlerde sistemlerin koordinatlar boyunca nasil kisitlandiklari hakkinda bilgi verirken kinetik enerjinin hareket hakkinda bilgi verdigi konusu da tekrarlanmis oluyor Elbette iki parcacikli bir sistem icin tanimlanan bu yontem cok parcacikli sistemlere genellestirilebilir Bu durumda her parcacik arasi iliskilerin ifade edilmesi gerekir Lagrange mekaniginin baska konulardaki uygulamalariHamiltonian Lagrangian a Legendre donusumu uygulanarak bulunur Dolayisiyla orijinal degiskenler ile kanonik olarak eslenik yeni degiskenler elde edilmis olur Dolayisiyla Hamilton mekaniginde degisken sayisi ve diferansiyel denklem sayisi iki katina cikar ancak dereceler bire indirgenir Bu durum uzayi ifadeleri ile de esasen oldukca paraleldir Hamilton fonksiyonu ayni Lagrangian fonksiyonunun Lagrange denklemleriyle olan iliskisi gibi Hamilton mekaniginin temelidir Klasik goruse gore zaman bagimsiz bir degiskendir ve hiz ile pozisyon zamana baglidir Bu degiskenler ise genelde durum faz uzayinda incelenir ve cevrimler dengeler ve stabilite bu sekilde incelenir Routhian mekanigi Lagrange ve Hamilton mekaniklerinin bir hibrit formulasyonudur Ancak cevrimsel koordinatlar haricinde hesaplama acisindan pek etkili degildir Muhendislikteki kullanimlari Circa 1963 te Lagrangian fonksiyonlarinin muhendislikte kullanimini onermis ancak birkac yil sonra dinamik sistemlerdeki ustunluklerine ragmen muhendislik mufredatlarindan cikarilarak teorik dinamik alanina kaydirilmistir Zira Lagrangian sadece makina muhendisliginde degil Elektrik Elektronik Muhendisligi finans ekonomi biyoloji ve bircok diferansiyel degisimin oldugu alanda kendine yer bulmustur Zira bu alanlarda bircok yol integral ifadeleri ve parabolik kismi diferansiyel denklemler bulunmaktadir Lagrangian fonksiyonlari bircok muhendislik problemine hizli yazilima uygun ve rahat cozumler sunmaktadir Ayrica normal mekanikle formulasyonu bile cok zor olan sistemleri hem felsefi olarak hem de dinamik olarak daha rahat formule etmemizi saglar Robotik akiskanlar mekaniginde akis modelleri sinyal isleme nanoteknoloji super bilgisayarlar kimya muhendisligi insaat muhendisligi gibi alanlarda kendine yer bulur Lagrangian gibi enerji fonksiyonlari ozellikle akis kavraminin etkin oldugu diferansiyel denklemlerde kendine yer bulur Ozellikle dogrusal olmayan sistemlerde akis konsepti onemlidir ve bunlari cozmek icin gelistirilen da enerji temellidir Ayrica bakinizLagrange noktalariNotlar a b Dvorak amp Freistetter 2005 s 24 Haken 2006 s 61 Lanczos 1986 s 4 Menzel amp Zatzkis 1960 s 160 Feynman Goldstien Poole amp Safko 2001 s 35 Arsivlenmis kopya PDF 4 Mart 2016 tarihinde kaynagindan PDF Erisim tarihi 5 Ocak 2016 Hand amp Finch 2008 s 36 40 Torby1984 p 270 a b Torby 1984 s 269 Hand amp Finch 2008 s 60 61 harvnb Hand Finch 2008 page 19 Penrose 2007 Schuam 1988 s 156 Synge amp Schild 1949 s 150 152 a b Hand amp Finch 2008 s 44 45 Foster amp Nightingale 1995 s 89 Hand amp Finch 2008 s 4 Goldstein 1980 s 16 18 Hand 2008 s 15 Hand amp Finch 2008 s 15 Fetter amp Walecka 1980 s 53 Torby 1984 s 264 Torby 1984 s 269 Kibble amp Berkshire 2004 s 234 Fetter amp Walecka 1980 s 56 Hand amp Finch 2008 s 17 Hand amp Finch 2008 s 15 17 R Penrose 2007 Vintage books s 474 ISBN 0 679 77631 1 Goldstien 1980 s 23 Kibble amp Berkshire 2004 s 234 235 Hand amp Finch 2008 s 51 Fetter amp Walecka ss 68 70 a b Landau amp Lifshitz 1976 s 4 Goldstien Poole amp Safko 2002 s 21 Landau amp Lifshitz 1976 s 4 Goldstein 1980 s 21 Landau amp Lifshitz 1976 s 14 Landau amp Lifshitz 1976 s 22KaynakcaPenrose Roger 2007 The Road to Reality Vintage books ISBN 0 679 77631 1 Mechanics 3 3sayfa 134 bas Butterworth Heinemann ISBN 9780750628969 Landau Lev 1975 The Classical Theory of Fields Elsevier Ltd ISBN 978 0 7506 2768 9 Hand L N Finch J D Analytical Mechanics 2 2sayfa 23 bas Cambridge University Press ISBN 9780521575720 Louis N Hand Janet D Finch 1998 Analytical mechanics Cambridge University Press ss 140 141 ISBN 0 521 57572 9 24 Subat 2021 tarihinde kaynagindan Erisim tarihi 6 Ocak 2016 Kibble T W B Berkshire F H Classical Mechanics 5 5yil 2004 bas Imperial College Press ss 236 ISBN 9781860944352 Classical Mechanics 2 2yil 1980 bas San Francisco CA Addison Wesley ss 352 353 ISBN 0201029189 Poole Charles P Jr Safko John L Classical Mechanics 3 3yil 2002 bas San Francisco CA Addison Wesley ss 347 349 ISBN 0 201 65702 3 15 Ocak 2016 tarihinde kaynagindan Erisim tarihi 6 Ocak 2016 Lanczos Cornelius 1986 II 5 Auxiliary conditions the Lagrangian l method The variational principles of mechanics Reprint of University of Toronto 1970 4th bas Courier Dover s 43 ISBN 0 486 65067 7 27 Haziran 2014 tarihinde kaynagindan Erisim tarihi 6 Ocak 2016 Fetter A L Walecka J D 1980 Theoretical Mechanics of Particles and Continua Dover ss 53 57 ISBN 978 0 486 43261 8 The Principle of Least Action R Feynman Dvorak R Freistetter Florian 2005 3 2 Lagrange equations of the first kind Chaos and stability in planetary systems Birkhauser s 24 ISBN 3 540 28208 4 27 Haziran 2014 tarihinde kaynagindan Erisim tarihi 6 Ocak 2016 Haken H 2006 Information and self organization 3 3yayinci Springer bas s 61 ISBN 3 540 33021 6 27 Haziran 2014 tarihinde kaynagindan Erisim tarihi 6 Ocak 2016 Henry Zatzkis 1960 1 4 Lagrange equations of the second kind DH Menzel Ed Fundamental formulas of physics 1 2 2erisimtarihi 6 Ocak 2016 bas Courier Dover s 160 ISBN 0 486 60595 7 27 Haziran 2014 tarihinde kaynagindan Francis Begnaud Hildebrand 1992 Methods of applied mathematics Reprint of Prentice Hall 1965 2nd bas Courier Dover s 156 ISBN 0 486 67002 3 24 Subat 2021 tarihinde kaynagindan Erisim tarihi 6 Ocak 2016 Michail Zak Joseph P Zbilut Ronald E Meyers 1997 From instability to intelligence Springer s 202 ISBN 3 540 63055 4 24 Subat 2021 tarihinde kaynagindan Erisim tarihi 6 Ocak 2016 KB1 bakim Birden fazla ad yazar listesi link Ahmed A Shabana 2008 Computational continuum mechanics Cambridge University Press ss 118 119 ISBN 0 521 88569 8 John Robert Taylor 2005 Classical mechanics University Science Books s 297 ISBN 1 891389 22 X 24 Subat 2021 tarihinde kaynagindan Erisim tarihi 6 Ocak 2016 Padmanabhan Thanu 2000 2 3 2 Motion in a rotating frame Theoretical Astrophysics Astrophysical processes 3 3yayinci Cambridge University Press bas s 48 ISBN 0 521 56632 0 Doughty Noel A 1990 Lagrangian Interaction Addison Wesley Publishers Ltd ISBN 0 201 41625 5 Kosyakov B P 2007 Introduction to the classical theory of particles and fields Berlin Germany Springer doi 10 1007 978 3 540 40934 2 Galley Chad R 2013 Classical Mechanics of Nonconservative Systems Physical Review Letters 110 17 s 174301 arXiv 1210 2745 2 Bibcode 2013PhRvL 110q4301G doi 10 1103 PhysRevLett 110 174301 PMID 23679733 Birnholtz Ofek Hadar Shahar Kol Barak 2014 Radiation reaction at the level of the action International Journal of Modern Physics A 29 24 s 1450132 arXiv 1402 2610 2 Bibcode 2014IJMPA 2950132B doi 10 1142 S0217751X14501322 Birnholtz Ofek Hadar Shahar Kol Barak 2013 Theory of post Newtonian radiation and reaction Physical Review D 88 10 s 104037 arXiv 1305 6930 2 Bibcode 2013PhRvD 88j4037B doi 10 1103 PhysRevD 88 104037 Roger F Gans 2013 Engineering Dynamics From the Lagrangian to Simulation New York Springer ISBN 978 1 4614 3929 5 24 Subat 2021 tarihinde kaynagindan Erisim tarihi 6 Ocak 2016 Terry Gannon 2006 Moonshine beyond the monster the bridge connecting algebra modular forms and physics Cambridge University Press s 267 ISBN 0 521 83531 3 24 Subat 2021 tarihinde kaynagindan Erisim tarihi 6 Ocak 2016 Torby Bruce 1984 Energy Methods Advanced Dynamics for Engineers HRW Series in Mechanical Engineering United States of America CBS College Publishing ISBN 0 03 063366 4 Foster J Nightingale J D 1995 2 2baslik A Short Course in General Relativity bas Springer ISBN 0 03 063366 4 Eksik ya da bos baslik yardim M P Hobson G P Efstathiou A N Lasenby 2006 General Relativity An Introduction for Physicists Cambridge University Press s 79 80 ISBN 9780521829519 7 Mart 2016 tarihinde kaynagindan Erisim tarihi 6 Ocak 2016 KB1 bakim Birden fazla ad yazar listesi link Konuyla ilgili yayinlarGupta Kiran Chandra Classical mechanics of particles and rigid bodies Wiley 1988 Cassel Kevin W Variational Methods with Applications in Science and Engineering Cambridge University Press 2013