Çemberin kareleştirilmesi

Çemberin kareleştirilmesi veya Dairenin kareleştirilmesi, ilk olarak Yunan matematiğinde gündeme gelen bir geometri problemidir. Bir pergel ve çizgeç ile sadece sonlu sayıda adım kullanarak verilen ile eş bir kare inşa etme uğraşısıdır. Problemin zorluğu, Öklid geometrisi'nin çizgiler ve dairelerin varlığına ilişkin aksiyomlarının böyle bir karenin varlığını gerektirip gerektirmediği sorusunu gündeme getirdi.

Daireyi kareleştirme: Bu karenin ve dairenin alanları ${\displaystyle \pi }$'ye eşittir. 1882 yılında, bu şeklin idealize edilmiş bir pergel ve çizgeç ile sonlu sayıda adımda inşa edilemeyeceği kanıtlanmıştır.

1882 yılında, pi'nin (${\displaystyle \pi }$) bir aşkın (transandantal) sayı olduğunu kanıtlayan sonucunda bu görevin imkansız olduğu kanıtlanmıştır. Yani, ${\displaystyle \pi }$, rasyonel katsayıları olan herhangi bir polinomun kökü değildir. ${\displaystyle \pi }$ transandantal olsaydı yapının imkansız olacağı onlarca yıldır biliniyordu, ancak bu gerçek 1882'ye kadar kanıtlanmamıştı. Verilen herhangi bir mükemmel olmayan doğruluğa sahip yaklaşık yapılar mevcuttur ve bu tür birçok yapı bulunmuştur.

İmkansız olduğunun kanıtlanmasına rağmen, dairenin kareştirilmesi girişimleri sözde matematikte (yani matematikçi çatlakların çalışmalarında) yaygındır. "Daireyi kareleştirme (squaring the circle)" ifadesi bazen imkansızı yapmaya çalışmak için bir metafor olarak kullanılır.

Dairenin kuadratürü terimi bazen daireyi kareleştirmekle eşanlamlı olarak kullanılır. Aynı zamanda 'nı bulmak için yaklaşık veya sayısal yöntemlere de atıfta bulunabilir. Genel olarak, veya kareleştirme diğer düzlem şekillerine de uygulanabilir.

Tarihçe

Verilen bir dairenin yaklaşık alanını hesaplamak için, daireyi kareleştirmenin öncül problemi olarak düşünülebilecek yöntemler, birçok eski kültürde zaten biliniyordu. Bu yöntemler, ürettikleri belirtilerek özetlenebilir. MÖ 2000 civarında, Babilli matematikçiler, ${\displaystyle \pi \approx {\tfrac {25}{8}}=3,125}$, yaklaşımını kullanmış ve yaklaşık aynı zamanda antik Mısırlı matematikçiler, ${\displaystyle \pi \approx {\tfrac {256}{81}}\approx 3,16}$. yaklaşımını kullanmıştır. 1000 yıldan fazla bir süre sonra, Eski Ahit daha basit bir yaklaşım olan ${\displaystyle \pi \approx 3}$'ü kullanmıştır. Eski , ve 'nda kaydedildiği üzere, ${\displaystyle \pi }$'ye to Arşimet bir dairenin alanı için bir formül kanıtlamıştır, buna göre ${\displaystyle 3\,{\tfrac {10}{71}}\approx 3,141<\pi <3\,{\tfrac {1}{7}}\approx 3,143}$. MS. 3. yüzyılda , Liu Hui Arşimet'inkine benzer bir yöntem kullanarak daha da doğru yaklaşımlar buldu ve beşinci yüzyılda , olarak bilinen bir yaklaşım olan ${\displaystyle \pi \approx 355/113\approx 3,141593}$ değerini buldu.

Alanı tam olarak bir dairenin alanı kadar olan bir kare inşa etme problemi Yunan matematiğinden gelmektedir. Yunan matematikçiler, herhangi bir çokgeni eşdeğer alana sahip bir kareye dönüştürmek için pergel ve çizgeç yapıları bulmuşlardır. Bu yapıyı, modern matematikte daha tipik olan sayısal alan hesaplamasından ziyade, çokgenlerin alanlarını geometrik olarak karşılaştırmak için kullanmışlardır. Proclus'un yüzyıllar sonra yazdığı gibi, bu durum çokgen olmayan şekillerle karşılaştırma yapmaya olanak tanıyacak yöntemlerin araştırılması konusunda eski matematikçileri motive etti:

Bu problemden yola çıkan eskilerin dairenin kuadratürünü de aradıklarına inanıyorum. Çünkü bir paralelkenar herhangi bir doğrusal şekle eşit bulunursa, doğrusal şekillerin dairesel yaylarla bağlı şekillere eşit olduğunun kanıtlanıp kanıtlanamayacağı araştırılmaya değerdir.

Görünürdeki bazı kısmi çözümler uzun süre boş umutlar vermiştir. Bu görseldeki, gölgeli şekil Hipokrat ayıdır. Alanı ABC üçgeninin alanına eşittir. (Sakız Adalı Hipokrat tarafından bulunmuştur).

Problem üzerinde çalıştığı bilinen ilk Yunanlı Anaksagoras hapisteyken bu problem üzerinde çalışmıştır. Sakız Adalı Hipokrat, bu probleme dairesel yaylarla sınırlandırılmış ve karesi alınabilen bir şekil, Hipokrat ayı olarak bilinen şekli bularak saldırmıştır. , bir dairenin içine düzenli çokgenler çizmenin ve kenar sayısını iki katına çıkarmanın sonunda dairenin alanını dolduracağına inanıyordu (bu tüketme yöntemidir). Herhangi bir çokgenin kareleştirilebildiğinden, dairenin karesinin alınabileceğini savunmuştur. Buna karşılık, Eudemus büyüklüklerin sınırsız bölünemeyeceğini, dolayısıyla dairenin alanının asla tükenmeyeceğini savunmuştur. Antiphon ile eşzamanlı olarak, Herakleialı Bryson, daha büyük ve daha küçük dairelerin her ikisi de var olduğundan, eşit alana sahip bir daire olması gerektiğini savundu; bu ilke modern bir biçimi olarak görülebilir. Tüm geometrik yapıları yalnızca pergel ve çizgeç kullanarak gerçekleştirmeye yönelik daha genel amaç genellikle Oenopides'e atfedilmiştir, ancak buna ilişkin kanıtlar ikinci derecededir.

Günümüzde kalkülüs'te entegrasyon veya sayısal analizde olarak bilinen keyfi bir eğrinin altındaki alanı bulma problemi, kalkülüsün icadından önce "kareleştirme" olarak biliniyordu. Kalkülüs teknikleri bilinmediğinden, genellikle kareleştirmenin geometrik inşalarla, yani pergel ve çizgeçle yapılması gerektiği varsayılırdı. Örneğin, Newton 1676'da 'a şöyle yazmıştır: "Sanırım M. Leibnitz mektubumun başında sayfa 4'te eğri çizgileri geometrik olarak kareleştirmek için kullandığım teoremden hoşlanmayacaktır." Modern matematikte bu terimlerin anlamları farklılaşmıştır; kuadratür genellikle kalkülüs yöntemlerine izin verildiğinde kullanılırken, eğrinin kareştirilmesi yalnızca sınırlı geometrik yöntemlerin kullanılması fikrini korumaktadır.

1667'de , Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura (Dairenin ve Hiperbolün Gerçek Kareleştirmesi) adlı eserinde daireyi kareleştirmenin imkânsızlığını kanıtlamaya çalışmıştır. İspatı hatalı olsa da, ${\displaystyle \pi }$'nin cebirsel özelliklerini kullanarak problemi çözmeye çalışan ilk makaleydi.Johann Heinrich Lambert, 1761 yılında ${\displaystyle \pi }$'nin bir irrasyonel sayı olduğunu kanıtlamıştır. 1882 yılında Ferdinand von Lindemann, π'nin aşkın sayı olduğunu kanıtlayarak ve buradan yola çıkarak pergel ile çizgeç yardımıyla daireyi kareleştirmenin imkansızlığını kanıtlayana kadar hiç kimse daha güçlü bir şekilde farklı bir kanıt üretmeyi başaramadı.

Lindemann'ın imkansızlık kanıtından sonra, problemin profesyonel matematikçiler tarafından çözüldüğü düşünülmüştür ve sonraki matematik tarihine sözde-matematiksel olarak büyük ölçüde amatörler tarafından yapılan daireyi kareleştirme girişimleri ve bu çabaların çürütülmesi hakimdir. Ayrıca, Srinivasa Ramanujan da dahil olmak üzere daha sonraki birkaç matematikçi, problemi birkaç adımda doğru bir şekilde yaklaştıran pergel ve çizgeç yapıları geliştirdi.

Yunan matematiğinde ele alınan üç klasik matematik problemi

Antik çağın imkânsızlıklarıyla ünlü diğer iki klasik problemi küpün hacmini ikiye katlama ve bir idi. Daireyi kareleştirme gibi, bunlar da pergel ve çizgeç ile çözülemez. Ancak, daireyi kareleştirmekten farklı bir karaktere sahiptirler, çünkü çözümleri aşkın olmaktan ziyade bir kübik denklemin kökünü içerir. Bu nedenle, veya gibi pergel ve çizgeç yapımından daha güçlü yöntemler bu problemlerin çözümlerini oluşturmak için kullanılabilir.

İmkânsızlık

Pergel ve çizgeç ile daireyi kareleştirme probleminin çözümü, alanı birim daireninkine eşit olan bir karenin kenar uzunluğu olan ${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$ sayısının oluşturulmasını gerektirir. Eğer ${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$ bir olsaydı, standart pergel ve çizgeç yapılarından ${\displaystyle \pi }$'nin de inşa edilebilir olacağı sonucu çıkardı. 1837'de pergel ve çizgeç ile inşa edilebilecek uzunlukların rasyonel katsayılı belirli polinom denklemlerinin çözümleri olması gerektiğini gösterdi. Bu nedenle, inşa edilebilir uzunluklar, cebirsel sayılar olmalıdır. Eğer daire sadece pergel ve çizgeç kullanılarak kareleştirilebiliyorsa, ${\displaystyle \pi }$ bir cebirsel sayı olmak zorundadır. Ancak 1882'de Ferdinand von Lindemann ${\displaystyle \pi }$'nin aşkınlığını kanıtladı ve böylece bu yapının imkânsızlığını gösterdi. Lindemann'ın fikri Euler sayısı'nın aşkınlığının kanıtını birleştirmekti. ${\displaystyle e}$, Charles Hermite tarafından 1873 yılında Euler özdeşliği ile gösterilmiştir: $${\displaystyle e^{i\pi }=-1.}$$ Bu özdeşlik hemen ${\displaystyle \pi }$'nin bir irrasyonel sayı olduğunu gösterir, çünkü transandantal bir sayının rasyonel bir kuvveti transandantal kalır. Lindemann bu argümanı ${\displaystyle e}$'nin cebirsel kuvvetlerinin lineer bağımsızlığı üzerine aracılığıyla genişleterek ${\displaystyle \pi }$'nin transandantal olduğunu ve dolayısıyla dairenin kareleştirilmesinin imkansız olduğunu göstermeyi başardı.

İlave bir araç sunarak, sonsuz sayıda pergel ve çizgeç işlemine izin vererek veya işlemleri belirli Öklid dışı geometriler içinde gerçekleştirerek kuralları bükmek, daireyi kareleştirmeyi bir anlamda mümkün kılar. Örneğin, Dinostratus teoremi daireyi kareleştirmek için kullanır, yani bu eğri bir şekilde zaten verilmişse, ondan eşit alanlı bir kare ve daire inşa edilebilir. Benzer bir başka yapı için, Arşimet spirali kullanılabilir. Daire Öklid uzayı içinde karesileştirilemese de, terimlerin uygun yorumları altında bazen hiperbolik geometri içinde bu başarılabilir. Hiperbolik düzlem, kareler (dört dik açılı ve dört eşit kenarlı dörtgenler) içermez, bunun yerine düzgün dörtgenler, dört eşit kenarlı ve dik açılardan daha keskin dört eşit açılı şekiller içerir. Hiperbolik düzlemde (sayılabilir) sonsuz sayıda inşa edilebilir daire ve eşit alana sahip inşa edilebilir düzgün dörtgen çifti vardır, ancak bunlar aynı anda inşa edilir. Rastgele bir düzgün dörtgenle başlayıp eşit alanlı bir daire inşa etmek için bir yöntem yoktur. Simetrik olarak, rastgele bir daireyle başlayıp eşit alana sahip düzgün bir dörtgen inşa etmek için bir yöntem yoktur ve yeterince büyük daireler için böyle bir dörtgen mevcut değildir.

Yaklaşık inşalar

Pergel ve çizgeç ile daireyi tam olarak kareleştirmek veya daireyi kareleştirme imkansız olsa da, ${\displaystyle \pi }$'ye yakın uzunluklar oluşturarak bu amaca yönelik yaklaşımlar verilebilir. Verilen herhangi bir rasyonel ${\displaystyle \pi }$ yaklaşımını karşılık gelen bir pergel ve çizgeç yapısına dönüştürmek yalnızca temel geometri gerektirir, ancak bu tür yapılar elde ettikleri doğruluğa kıyasla çok uzun soluklu olma eğilimindedir. Kesin problemin çözülemez olduğu kanıtlandıktan sonra, bazı matematikçiler yaratıcılıklarını, benzer hassasiyeti veren diğer akla gelebilecek yapılar arasında özellikle basit olan daireyi kareleştirme yaklaşımlarını bulmaya uyguladılar.

Kochański tarafından yapılan inşa

'nin yaklaşık inşası

Eşit alanlı daire ve kare ile sürdürme; ${\displaystyle r}$ başlangıç yarıçapını gösterir.

Pergel ve çizgeçe ilişkin pek çok erken tarihsel yaklaşımdan biri, Polonyalı Cizvit tarafından 1685 yılında yayınlanan ve ${\displaystyle \pi }$'den 5. ondalık basamakta uzaklaşan bir yaklaşım üreten bir makaledir. ${\displaystyle \pi }$ için çok daha kesin sayısal yaklaşımlar zaten bilinmesine rağmen, Kochański'nin yapısı oldukça basit olma avantajına sahiptir. Soldaki diyagramda $${\displaystyle |P_{3}P_{9}|=|P_{1}P_{2}|{\sqrt {{\frac {40}{3}}-2{\sqrt {3}}}}\approx 3,141\,5{\color {red}33\,338}\cdot |P_{1}P_{2}|\approx \pi r.}$$ Aynı çalışmada Kochański, ${\displaystyle \pi }$ için giderek artan doğrulukta bir dizi rasyonel yaklaşım da türetmiştir.

355/113 kullanan inşalar

Jacob de Gelder'in 355/113 inşası

Ramanujan'ın 355/113 inşası

Jacob de Gelder 1849 yılında, $${\displaystyle \pi \approx {\frac {355}{113}}=3,141\;592{\color {red}\;920\;\ldots }}$$ yaklaşımına dayanan bir inşa yayımladı. Bu değer altı ondalık basamağa kadar doğrudur ve Çin'de 5. yüzyıldan beri olarak, Avrupa'da ise 17. yüzyıldan beri bilinmektedir.

Gelder karenin kenarını oluşturmadı, $${\displaystyle {\overline {AH}}={\frac {4^{2}}{7^{2}+8^{2}}}.}$$ değerini bulması onun için yeterliydi. Resimde de Gelder'in inşası gösterilmektedir.

1914 yılında Hintli matematikçi Srinivasa Ramanujan aynı yaklaşım için başka bir geometrik yapı verdi.

Altın oranı kullanan inşalar

Hobson'ın altın oran inşası

Dixon'ın altın oran inşası

Beatrix'in 13-adımlı inşası

tarafından 1913 yılında yapılan yaklaşık bir inşa üç ondalık basamağa kadar doğrudur. Hobson'ın inşası yaklaşık olarak şu değere karşılık gelir: $${\displaystyle {\frac {6}{5}}\cdot \left(1+\varphi \right)=3,141\;{\color {red}640\;\ldots },}$$ burada ${\displaystyle \varphi }$ altın oran, ${\displaystyle \varphi =(1+{\sqrt {5}})/2}$'dir.

Aynı yaklaşık değer tarafından 1991 yılında yapılan bir çalışmada da görülmektedir. 2022 yılında Frédéric Beatrix 13-adımda bir yapı sundu.

Ramanujan tarafından yapılan ikinci inşa

Daireyi kareleştirme, 1914'te Ramanujan'a göre yaklaşık inşa, yapının devamı (kesikli çizgiler, ortalama orantılı kırmızı çizgi), bkz. animasyon.

"Srinivasa Ramanujan'ın el yazması kitabı 1"in taslağı, s. 54, Ramanujan'ın 355/113 inşası

1914 yılında Ramanujan, ${\displaystyle \pi }$ için yaklaşık değeri, $${\displaystyle \left(9^{2}+{\frac {19^{2}}{22}}\right)^{\frac {1}{4}}={\sqrt[{4}]{\frac {2143}{22}}}=3,141\;592\;65{\color {red}2\;582\;\ldots }}$$ olarak alınmasına eşdeğer olan ve ${\displaystyle \pi }$'nin sekiz ondalık basamağını veren bir inşa yöntemi verdi.

OS doğru parçasının inşasını aşağıdaki gibi tanımlamaktadır.

AB (Şekil 2) merkezi O olan bir dairenin çapı olsun. ACB yayını C'de ikiye bölün ve AO'yu T'de üçe bölün. BC'yi birleştirin ve ondan CM ve MN'yi AT'ye eşit olarak kesin. AM ve AN'yi birleştirin ve ikincisinden AM'ye eşit AP'yi kesin. P üzerinden MN'ye paralel ve AM ile Q'da buluşan PQ'yu çizin. OQ ile birleşin ve T üzerinden OQ'ya paralel ve AQ ile R'de buluşan TR'yi çizin. AO'ya dik ve AR'ye eşit AS'yi çizin ve OS ile birleştirin. O zaman OS ve OB arasındaki ortalama orantı neredeyse çevrenin altıda birine eşit olacaktır; çap 8000 mil uzunluğunda olduğunda hata bir inçin on ikide birinden daha az olacaktır.

Hatalı inşalar

İngiliz filozof Thomas Hobbes yaşlılığında, bir parçası olarak tarafından reddedilen bir iddia olan daireyi kareleştirmeyi başardığına kendini ikna etti. 18. ve 19. yüzyıllarda, daireyi kareleştirme probleminin bir şekilde ile ilişkili olduğu ve çözüm için büyük bir ödül verileceği yönündeki yanlış fikirler, daireyi kareştiren kişiler arasında yaygınlaştı. 1851'de John Parker, daireyi kareştirdiğini iddia ettiği Quadrature of the Circle adlı bir kitap yayınladı. Onun yöntemi aslında ${\displaystyle \pi }$'nin altı haneye kadar doğru bir yaklaşımını üretti.

Daha çok Lewis Carroll takma adıyla tanınan Viktorya Dönemi matematikçisi, mantıkçısı ve yazarı Charles Lutwidge Dodgson da mantıksız daireyi kareleştirme teorilerini çürütmeye ilgi duyduğunu ifade etmiştir. Dodgson, 1855 yılına ait günlük kayıtlarından birinde, yazmayı umduğu kitapları listelemiş ve bunlardan birinin adını da Daire Kareştirenler için Basit Gerçekler (Plain Facts for Circle-Squarers) olarak vermiştir. "A New Theory of Parallels" (Yeni Bir Paralellik Teorisi) kitabının girişinde Dodgson, bir çift daire kareştiriciye mantıksal hataları gösterme girişimini şöyle anlatmıştır:

Bu iki yanlış yönlendirilmiş vizyonerden ilki, insanoğlunun başardığını hiç duymadığım bir şeyi yapmak, yani bir daire kareştiricisini hatasına ikna etmek için beni büyük bir hırsla doldurdu! Arkadaşımın Pi sayısı için seçtiği değer 3.2 idi: bu muazzam hata, bunun bir hata olduğunun kolayca gösterilebileceği düşüncesiyle beni cezbetti. Hiç şansım olmadığına üzülerek ikna olana kadar, birçok harf yer değiştirdi.

Augustus De Morgan'ın ölümünden sonra dul eşi tarafından 1872'de yayınlanan A Budget of Paradoxes adlı kitabında daireyi kareleştirmeyle ilgili bir alay yer almaktadır. Çalışmayı ilk olarak dergisinde bir dizi makale olarak yayınlamış olan Morgan, öldüğü sırada yayınlanmak üzere gözden geçiriyordu. Daire kareleştirme, on dokuzuncu yüzyıldan sonra popülaritesini kaybetti ve De Morgan'ın çalışmasının buna yardımcı olduğuna inanılıyor.

Heisel'in kitabı, 1934

Bunun imkansız olduğu kanıtlandıktan sonra bile, 1894 yılında amatör matematikçi Edwin J. Goodwin daireyi kareleştirme için bir yöntem geliştirdiğini iddia etmiştir. Geliştirdiği teknik daireyi doğru bir şekilde kareleştirmemiş ve ${\displaystyle \pi }$'yi esasen 3,2'ye eşit olarak yeniden tanımlayan dairenin yanlış bir alanını vermiştir. Goodwin daha sonra Indiana eyalet yasama meclisinde, eyaletin kendisine telif ücreti ödemeden yöntemini eğitimde kullanmasına izin veren 'i önerdi. Tasarı eyalet meclisinde itirazsız kabul edildi, ancak basının artan alayları arasında Senatoda hiç oylanmadı.

Matematikçi da 1934 tarihli İşte! : artık çözümsüz olmayan büyük problem: çürütülemeyen daire kareleştirme (Behold! : the grand problem no longer unsolved: the circle squared beyond refutation.) adlı kitabında daireyi kareleştirdiğini iddia etmiştir. kitaptan "klasik bir çatlaklık kitabı" olarak bahsetmiştir.

Edebiyatta

Daireyi kareleştirme problemi, çeşitli metafor anlamlarıyla çok farklı edebi dönemlerde dile getirilmiştir. Edebi kullanımı en azından Aristophanes'in The Birds adlı oyununun ilk kez sahnelendiği MÖ. 414 yılına kadar uzanmaktadır. Oyunda Atinalı Meton karakteri, muhtemelen ütopik şehrinin paradoksal doğasını belirtmek için daireyi kareleştirmekten bahseder.

Vitruvian Man

Dante'nin , kanto XXXIII, 133-135. satırları bu dizeyi içerir:

Daireyi kareleştirmek için çalışıp kafa yoran
ama tüm kıvrak zekasına rağmen, her ne kadar denese de
gerekli formülü bulamayan bir geometrici nasıl olursa

As the geometer his mind applies
To square the circle, nor for all his wit
Finds the right formula, howe'er he tries

Qual è ’l geométra che tutto s’affige
per misurar lo cerchio, e non ritrova,
pensando, quel principio ond’elli indige,

Dante için daireyi kareleştirme, insan kavrayışının ötesinde bir görevi temsil eder ve bunu kendi Cennet'i kavrayamamasıyla karşılaştırır. Dante'nin imgesi, daha sonra Leonardo da Vinci'nin Vitruvius Adamı adlı tablosunda ünlü bir şekilde resmedilen Vitruvius'tan bir pasajı da akla getirmektedir: aynı anda bir daire ve bir kare içine çizilmiş bir adam. Dante daireyi Tanrı için bir sembol olarak kullanır ve bu şekil kombinasyonundan İsa'nın aynı anda ilahi ve insani doğasına atıfta bulunmak için bahsetmiş olabilir. Daha önce, XIII. kantoda Dante, Yunanlı daire kareleştirici Bryson'a bilgelik yerine bilgi peşinde koştuğu için seslenir.

17. yüzyıl şairi Margaret Cavendish'in çeşitli eserlerinde daire kareleştirme problemi ve bunun metaforik anlamları, gerçeğin birliği ile hizipçilik arasındaki karşıtlık ve "fantezi ile kadın doğasını" rasyonelleştirmenin imkansızlığı da dahil olmak üzere ayrıntılı bir şekilde ele alınmıştır. 1742'de Alexander Pope, adlı eserinin dördüncü kitabını yayınladığında, daireyi kareleştirme girişimleri "vahşi ve sonuçsuz" olarak görülmeye başlanmıştı:

Deli Mathesis hapsedilmemişti yalnız
Sadece zincirler değildi yeterli, dizginlemeye onu
Bazen bakardı semalara kendinden geçerek
Bazen koşardı peşinden çemberlerin, onu kareleyerek.

Mad Mathesis alone was unconfined,
Too mad for mere material chains to bind,
Now to pure space lifts her ecstatic stare,
Now, running round the circle, finds it square.

Benzer şekilde, Gilbert ve Sullivan komik operası , baş karakter tarafından yönetilen kadın üniversitesinin devamlı hareket bulmak gibi imkansız hedeflerini hicivli bir şekilde listeleyen bir şarkıya sahiptir. Bu hedeflerden biri şudur: "Ve çember - onu kare içine alacaklar/Bir gün."

İlk olarak 12. yüzyılda Arnaut Daniel tarafından kullanılan bir şiir formu olan sestinanın, tekrarlanan altı kelimeden oluşan dairesel bir şema ile kare sayıda mısra (her biri altı mısradan oluşan altı kıta) kullanımıyla mecazi olarak daireyi kare içine aldığı söylenmiştir. Spanos (1978) bu formun dairenin cenneti, karenin ise dünyayı temsil ettiği sembolik bir anlamı çağrıştırdığını yazar. Benzer bir metafor, O. Henry'nin 1908 tarihli kısa öyküsü "Squaring the Circle"da, uzun süredir devam eden bir aile kavgası hakkında kullanılmıştır. Bu öykünün başlığında daire doğal dünyayı, kare ise şehri, yani insanların dünyasını temsil etmektedir.

Daha sonraki eserlerde, James Joyce'un Ulysses romanındaki ve Thomas Mann'ın romanındaki Avukat Paravant gibi daire-kareleştiriciler, matematiksel imkansızlığının farkında olmayan ve asla ulaşamayacakları bir sonuç için görkemli planlar yapan üzücü bir şekilde kandırılmış veya dünyevi olmayan hayalperestler olarak görülür.

Ayrıca bakınız

• - Kesişen dairelerin alanları üzerine bir problem
• - Oksimoronların felsefi tedavisi
• Squircle - Kare ile daire arasında bir şekil
• - Bir diski kesip kare şeklinde yeniden birleştirme problemi

Kaynakça

1. ^ Ammer, Christine. "Square the Circle. Dictionary.com. The American Heritage® Dictionary of Idioms". Houghton Mifflin Company. 20 Ekim 2014 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 16 Nisan 2012. 
2. ^ ^{a b} ; ; ; (1997). "The quest for pi". . 19 (1). ss. 50-57. doi:10.1007/BF03024340. MR 1439159. 
3. ^ (2009). Mathematics in India. Princeton University Press. s. 27. ISBN . 
4. ^ Lam, Lay Yong; Ang, Tian Se (1986). "Circle measurements in ancient China". Historia Mathematica. 13 (4). ss. 325-340. doi:10.1016/0315-0860(86)90055-8 . MR 0875525.  Reprinted in Berggren, J. L.; Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter, (Ed.) (2004). Pi: A Source Book. Springer. ss. 20-35. ISBN . 
5. ^ ^{a b} Belirli bir çokgene alan olarak eşit bir karenin inşası Euclid's Elements, Kitap II'nin 14. önermesidir.
6. ^ Knorr (1986)'dan çeviri, s. 25
7. ^ (1921). History of Greek Mathematics. The Clarendon Press.  See in particular Anaxagoras, pp. 172–174; Lunes of Hippocrates, pp. 183–200; Later work, including Antiphon, Eudemus, and Aristophanes, pp. 220–235.
8. ^ Bos, Henk J. M. (2001). "The legitimation of geometrical procedures before 1590". Redefining Geometrical Exactness: Descartes' Transformation of the Early Modern Concept of Construction. Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences. New York: Springer. ss. 23-36. doi:10.1007/978-1-4613-0087-8_2. MR 1800805. 
9. ^ (1986). The Ancient Tradition of Geometric Problems. Boston: Birkhäuser. ss. 15-16. ISBN . MR 0884893. 
10. ^ Guicciardini, Niccolò (2009). Isaac Newton on Mathematical Certainty and Method. Transformations. 4. MIT Press. s. 10. ISBN . 23 Şubat 2024 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 23 Şubat 2024. 
11. ^ (1850). Correspondence of Sir Isaac Newton and Professor Cotes: Including letters of other eminent men. 
12. ^ (1667). Vera Circuli et Hyperbolæ Quadratura … [The true squaring of the circle and of the hyperbola …]. Padova: Giacomo Cadorino.  Available at: ETH Bibliothek (Zürich, Switzerland) 23 Şubat 2024 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
13. ^ Crippa, Davide (2019). "James Gregory and the impossibility of squaring the central conic sections". The Impossibility of Squaring the Circle in the 17th Century. Springer International Publishing. ss. 35-91. doi:10.1007/978-3-030-01638-8_2. 
14. ^ Lambert, Johann Heinrich (1761). "Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendentes circulaires et logarithmiques" [Memoir on some remarkable properties of circular transcendental and logarithmic quantities]. Histoire de l'Académie Royale des Sciences et des Belles-Lettres de Berlin (Fransızca). Cilt 17 (1768 tarihinde yayınlandı). ss. 265-322. 13 Ağustos 2023 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 23 Şubat 2024. 
15. ^ Laczkovich, M. (1997). "On Lambert's proof of the irrationality of π". . 104 (5). ss. 439-443. doi:10.1080/00029890.1997.11990661. JSTOR 2974737. MR 1447977. 
16. ^ ^{a b} Lindemann, F. (1882). "Über die Zahl π" [On the number π]. (Almanca). Cilt 20. ss. 213-225. doi:10.1007/bf01446522. 26 Mart 2023 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 23 Şubat 2024. 
17. ^ ^{a b} Fritsch, Rudolf (1984). "The transcendence of π has been known for about a century—but who was the man who discovered it?". . 7 (2). ss. 164-183. doi:10.1007/BF03322501. MR 0774394. 
18. ^ ^{a b} (1987). A Budget of Trisections. Springer-Verlag. ss. xi-xii. ISBN .  Reprinted as The Trisectors.
19. ^ ^{a b c d} Ramanujan, S. (1914). "Modular equations and approximations to π" (PDF). . Cilt 45. ss. 350-372. 9 Kasım 2022 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF). Erişim tarihi: 23 Şubat 2024. 
20. ^ ^{a b c} Castellanos, Dario (April 1988). "The ubiquitous π". . 61 (2). ss. 67-98. doi:10.1080/0025570X.1988.11977350. JSTOR 2690037. 
21. ^ (2005). "Trisections and totally real origami". . 112 (3). ss. 200-211. arXiv:math/0408159 $2. doi:10.2307/30037438. JSTOR 30037438. MR 2125383. 
22. ^ Fuchs, Clemens (2011). "Angle trisection with origami and related topics". . 66 (3). ss. 121-131. doi:10.4171/EM/179 . MR 2824428. 
23. ^ (1837). "Recherches sur les moyens de reconnaître si un problème de géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas" [Investigations into means of knowing if a problem of geometry can be solved with a straightedge and compass]. (Fransızca). Cilt 2. ss. 366-372. 23 Şubat 2024 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 23 Şubat 2024. 
24. ^ Cajori, Florian (1918). "Pierre Laurent Wantzel". . 24 (7). ss. 339-347. doi:10.1090/s0002-9904-1918-03088-7 . MR 1560082. 
25. ^ Boyer, Carl B.; Merzbach, Uta C. (11 Ocak 2011). A History of Mathematics (İngilizce). John Wiley & Sons. ss. 62-63, 113-115. ISBN . OCLC 839010064. 
26. ^ Jagy, William C. (1995). "Squaring circles in the hyperbolic plane" (PDF). . 17 (2). ss. 31-36. doi:10.1007/BF03024895. 23 Şubat 2024 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF). Erişim tarihi: 23 Şubat 2024. 
27. ^ (2008). Euclidean and Non-Euclidean Geometries. 4. W H Freeman. ss. 520-528. ISBN . 
28. ^ Więsław, Witold (2001). "Squaring the circle in XVI–XVIII centuries". Fuchs, Eduard (Ed.). Mathematics throughout the ages. Including papers from the 10th and 11th Novembertagung on the History of Mathematics held in Holbæk, October 28–31, 1999 and in Brno, November 2–5, 2000. Dějiny Matematiky/History of Mathematics. 17. Prag: Prometheus. ss. 7-20. MR 1872936. 
29. ^ Fukś, Henryk (2012). "Adam Adamandy Kochański's approximations of π: reconstruction of the algorithm". . 34 (4). ss. 40-45. arXiv:1111.1739 $2. doi:10.1007/s00283-012-9312-1. MR 3029928. 
30. ^ ^{a b} (1913). Squaring the Circle: A History of the Problem. Cambridge University Press. ss. 34-35. 
31. ^ (1987). "Squaring the circle". Mathographics. Blackwell. ss. 44-47.  Reprinted by Dover Publications, 1991
32. ^ Beatrix, Frédéric (2022). "Squaring the circle like a medieval master mason". Parabola. 58 (2). UNSW School of Mathematics and Statistics. 26 Mart 2023 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 23 Şubat 2024. 
33. ^ Bird, Alexander (1996). "Squaring the Circle: Hobbes on Philosophy and Geometry". . 57 (2). ss. 217-231. doi:10.1353/jhi.1996.0012. 16 Ocak 2022 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 23 Şubat 2024. 
34. ^ De Morgan, Augustus (1872). . s. 96. 
35. ^ Board of Longitude / Vol V / Confirmed Minutes. Cambridge University Library: Royal Observatory. 1737–1779. s. 48. 1 Ağustos 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 1 Ağustos 2021. 
36. ^ (2015). A History of Pi (İngilizce). St. Martin's Press. s. 178. ISBN . 
37. ^ ^{a b} Schepler, Herman C. (1950). "The chronology of pi". . 23 (3). ss. 165-170, 216-228, 279-283. doi:10.2307/3029284. JSTOR 3029832. MR 0037596. 
38. ^ Abeles, Francine F. (1993). "Charles L. Dodgson's geometric approach to arctangent relations for pi". Historia Mathematica. 20 (2). ss. 151-159. doi:10.1006/hmat.1993.1013 . MR 1221681. 
39. ^ Gardner, Martin (1996). The Universe in a Handkerchief: Lewis Carroll's Mathematical Recreations, Games, Puzzles, and Word Plays. New York: Copernicus. ss. 29-31. doi:10.1007/0-387-28952-6. ISBN . 
40. ^ Singmaster, David (1985). "The legal values of pi". . 7 (2). ss. 69-72. doi:10.1007/BF03024180. MR 0784946.  Reprinted in Berggren, Lennart; Borwein, Jonathan; Borwein, Peter (2004). Pi: a source book. Third. New York: Springer-Verlag. ss. 236-239. doi:10.1007/978-1-4757-4217-6_27. ISBN . MR 2065455. 
41. ^ (1934). Behold! : the grand problem the circle squared beyond refutation no longer unsolved (İngilizce). 
42. ^ (1970). "How to Write Mathematics". . 16 (2). ss. 123–152. 26 Mart 2023 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 23 Şubat 2024.  — Pdf 26 Haziran 2023 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
43. ^ ^{a b c d} Tubbs, Robert (Aralık 2020). "Squaring the circle: A literary history". Tubbs, Robert; Jenkins, Alice; Engelhardt, Nina (Ed.). The Palgrave Handbook of Literature and Mathematics. Springer International Publishing. ss. 169-185. doi:10.1007/978-3-030-55478-1_10. MR 4272388. 
44. ^ Amati, Matthew (2010). "Meton's star-city: Geometry and utopia in Aristophanes' Birds". . 105 (3). ss. 213-222. doi:10.5184/classicalj.105.3.213. JSTOR 10.5184/classicalj.105.3.213. 
45. ^ Herzman, Ronald B.; Towsley, Gary B. (1994). "Squaring the circle: Paradiso 33 and the poetics of geometry". Traditio. Cilt 49. ss. 95-125. doi:10.1017/S0362152900013015. JSTOR 27831895. 
46. ^ ^{a b} Kay, Richard (Temmuz 2005). "Vitruvius and Dante's Imago dei ". Word & Image. 21 (3). ss. 252-260. doi:10.1080/02666286.2005.10462116. 
47. ^ Dolid, William A. (1980). "Vivie Warren and the Tripos". . 23 (2). ss. 52-56. JSTOR 40682600.  Dolid contrasts Vivie Warren, a fictional female mathematics student in by George Bernard Shaw, with the satire of college women presented by Gilbert and Sullivan. He writes that "Vivie naturally knew better than to try to square circles."
48. ^ Spanos, Margaret (1978). "The Sestina: An Exploration of the Dynamics of Poetic Structure". . 53 (3). ss. 545-557. doi:10.2307/2855144. JSTOR 2855144. 
49. ^ Bloom, Harold (1987). Twentieth-century American literature. Chelsea House Publishers. s. 1848. ISBN . Similarly, the story "Squaring the Circle" is permeated with the integrating image: nature is a circle, the city a square. 
50. ^ Pendrick, Gerard (1994). "Two notes on "Ulysses"". . 32 (1). ss. 105-107. JSTOR 25473619. 
51. ^ Goggin, Joyce (1997). The Big Deal: Card Games in 20th-Century Fiction (PhD). University of Montréal. s. 196. 

Konuyla ilgili okumalar

Wikimedia Commons'ta Çemberin kareleştirilmesi ile ilgili ortam dosyaları bulunmaktadır.

Vikikaynak'ta Squaring the circle

ile ilgili metin bulabilirsiniz.

• Bogomolny, Alexander. "Squaring the Circle". Cut-the-Knot. 3 Nisan 2003 tarihinde kaynağından arşivlendi. 
• Grime, James. "Squaring the Circle". Numberphile. – YouTube vasıtasıyla. 
• Harper, Suzanne; Driskell, Shannon (August 2010). "An Investigation of Historical Geometric Constructions". Convergence. Mathematical Association of America. 
• O'Connor, J J; Robertson, E F (April 1999). "Squaring the circle". MacTutor History of Mathematics archive. 
• Otero, Daniel E. (Temmuz 2010). "The Quadrature of the Circle and Hippocrates' Lunes". Convergence. Mathematical Association of America. 
• . "2000 years unsolved: Why is doubling cubes and squaring circles impossible?". Mathologer – YouTube vasıtasıyla.